probabilidades

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  • 1.  Las preguntas más importantes de la vida son, para la myor parte, realmente solo problemas de probabilidad. Pierre Simon Laplace  La estadística demuestra que el matrimonio es la causa determinante del divorcio Groucho Marx
  • 2. Conceptos básicos Factorial.- n! = n x (n-1) x … x 2 x , con 0!=1 Variación.- Se denomina variación a cada uno de los arreglos ordenados de k elementos, tomados de otro de n elementos (k≤n), de manera que estos arreglos difieren en algún elemento o en el orden de colocación
  • 3.  Combinación.- Se denomina combinación a cada uno de los subconjuntos de k elementos, tomados de otro de n elementos (k≤n), sin tener en cuenta el orden de los mismos de manera que no pueden haber dos combinaciones con los mismos elementos
  • 4.  Permutación (sin repetición).- Una permutación de n elementos es cada una de las variaciones de los n elementos distintos = n! Pn  Parejas. Con los m elementos de A y los n elementos de que B es posible formar mxn parejas (aj,bk) contengan un elemento de cada conjunto
  • 5.  Arreglos múltiples.- Consideremos los conjuntos A = {a1, a2,…., an} de m elementos, B= {b1, b2,…., bn} de n elementos hasta G={g1, g2,…., gn} de s elementos . Con ellos es posible formar m x n x …….x s arreglos {a1, b2,…., gn} que contiene un elemento de cada conjunto  Permutación (con repetición).- Una permutación con repetición, de k elementos obtenidos a partir de un conjunto de n elementos, es un arreglo de k elementos ordenados en el que los elementos pueden repetirse arbitrariamente.
  • 6.  Evento.- Se llama evento notado como ω a cualquiera de los resultados posibles de un experimento u otra situación que involucre incertidumbre  Espacio muestral.- La colección de todos los eventos elementales, notado por Ω, se denomina espacio muestral:  Ω={ω/ ω es evento elemental}
  • 7. Notación Interpretación en la teoría de Interpretación en la cojuntos teoría de probabilidades ω Elemento o punto Evento o suceso Ω Conjunto de puntos Espacio muestral (suceso seguro) Ø Conjunto vacío Evento imposible AUB Unión de conjuntos Por lo menos uno de los eventos Ao B ocurre AB Intersección de conjuntos Ambos eventos A y B ocurren AB Diferencia de conjuntos A ocurre y B no ocurre AC = Ω A Conjunto complementario No ocurre A AB=Ø Conjuntos disjuntos A y B se excluyen mutuamente AB A es subconjunto de B Si A ocurre, también B
  • 8.  Dos eventos son igualmente probables si Pr (A) = Pr (B)  El evento A es más probable que B si Pr (A) > Pr (B).  Evento cierto.- Es el que siempre aparece en la realización de un experiemento, su probabilidad es igual a 1.  Evento imposible.- Es aquel que jamás puede ocurrir, su probabilidad es igual a 0.
  • 9. Cálculo de Probabilidades  Espacio muestral finito Pr (A) = Casos favorables de A Casos posibles = Card (A) = k Card (Ω) N  Espacios muestrales infinitos numerables  Espacios muestrales continuos  Pr (A) = Área de A  Área de Ω
  • 10. Independencia y Condicionalidad  Independencia.- Dos eventos A y B se llaman independientes si la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de las probabilidades de los dos eventos individuales  Condicionalidad.- Consideremos un espacio muestral Ω y un evento B que pertenece a Ω tal que Pr (B) ≠ 0. La probabilidad condicional de que un evento A ocurra, en el supuesto que B ha ocurrido, se representa por Pr(A|B) (que se lee << probabilidad de A, dado B>>), se define como: Pr (A|B) = Pr (A B) Pr(B)
  • 11. Teorema de Bayes B3 B1 B12 A  Supongamos que el evento A puede ocurrir a condición de que aparezca uno de los eventos B1, B2, …., Bn. Si A ya ocurrió la probabilidad condicional del evento Bk es igual a