Your SlideShare is downloading. ×
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

ข้อสอบคณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ ปี 2557

6,902

Published on

Published in: Education
0 Comments
9 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
6,902
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
366
Comments
0
Likes
9
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 1 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) วันเสาร์ที 4 มกราคม 2557 เวลา 11.00 - 12.30 น. ตอนที 1 แบบระบายตัวเลขทีเป็นคําตอบ จํานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. กําหนดให้ ‫ݖ‬ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึง ‫ݖ‬ = ݅ି଻ + ݅ିହ + ݅ିଷ + ݅ ค่าของ |‫ݖ‬ଶ| เท่ากับเท่าใด 2. กําหนดให้ ݊ เป็นจํานวนนับทีมากทีสุดทีหาร 166 และ 1101 แล้วได้เศษเหลือ 1 แล้ว ݊ มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. ผลบวกของคําตอบของสมการ 2 arcsinሺ‫ݔ‬ଶ − 3‫ݔ‬ + 1ሻ + ߨ = 0 มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. กําหนดให้ ݉ เป็นจํานวนจริงบวกซึงทําให้ ݉ܽത + ܾത ตังฉากกับ ݉ܽത − ܾത โดยที |ܽത| = 2 และ หܾതห = 5 แล้ว ݉ มีค่าเท่ากับเท่าใด
  • 2. 2 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 5. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ เป็นจํานวนจริงซึง ൥ 1 2 ܽ 3 1 ܾ −1 0 ܿ ൩ ~ ൥ 1 2 −1 0 −5 7 −1 0 2 ൩ โดยการดําเนินการตามแถว ܴଶ − 3ܴଵ แล้วค่าของ ܽ + ܾ + ܿ มีค่าเท่ากับเท่าใด 6. ค่าของ logଶ൫3୪୭୥య ଵ଺ ൯ เท่ากับเท่าใด 7. ชันอนุบาลของโรงเรียนแห่งหนึงประกอบไปด้วยนักเรียน 4 ห้องซึงมีจํานวนนักเรียนและค่าเฉลียของนําหนักของ นักเรียนในแต่ละห้องดังตาราง แล้วค่าเฉลียนําหนักของนักเรียนอนุบาลทังระดับชันมีค่าเท่ากับเท่าใด 8. 6 0= ∑ r ሺ−1ሻ௥ ൫଺ ௥ ൯7଺ି௥ 5௥ เท่ากับเท่าใด จํานวนนักเรียนแต่ละห้อง นําหนักเฉลียของนักเรียนแต่ละห้อง 22 17 23 16 25 14 30 15
  • 3. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 3 9. 0 lim →x ሺଵା௫ሻሺଵା଺௫ሻିଵ ௫ มีค่าเท่ากับเท่าใด 10. ถ้า ‫ݔ‬ = ଵ √ଷ య แล้วค่าของ ∞ = ∑ 0n ሺ−1ሻ௡ ‫ݔ‬ଷ௡ เท่ากับเท่าใด ตอนที 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก จํานวน 20 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน 11. กําหนดให้ ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ เป็นรากของสมการ 8‫ݔ‬ଷ + 6‫ݔ‬ଶ − 5‫ݔ‬ − 3 = 0 โดยที ‫ݔ‬ଵ < ‫ݔ‬ଶ < ‫ݔ‬ଷ แล้วค่าของ ‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଷ มีค่าเท่ากับเท่าใด 12. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = [ܽ௜௝] เป็นเป็นเมทริกซ์มิติ 3 × 3 โดยที detሺ‫ܣ‬ሻ > 0 กําหนดให้ ‫ܯ‬௜௝ሺ‫ܣ‬ሻ แทนไมเนอร์ของสมาชิกในตาแหน่ง ܽ௜௝ โดยที ൣ‫ܯ‬௜௝ሺ‫ܣ‬ሻ൧ = ൥ 1 −1 2 3 2 −4 5 1 3 ൩ ถ้า ‫ܣ‬ିଵ = [ܾ௜௝] แล้ว ܾଵଵ + ܾଵଶ + ܾଵଷ มีค่าเท่ากับเท่าใด
  • 4. 4 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 13. กําหนดให้ F เป็นโฟกัสในควอดรันต์ที 1 ของไฮเพอร์โบลาทีมีสมการเป็น ௫మ ଽ − ሺ௬ିଶሻమ ଵ଺ = 1 แล้ววงกลมทีมี ศูนย์กลางอยู่ทีจุด F และสัมผัสกับเส้นกํากับทังสองของโฮเพอร์โบลา มีรัศมียาวเท่ากับเท่าใด 14. คําตอบของสมการ 2௫ ∙ 2௫ାଵ ∙ 2௫ାଶ = 4௫ + 4௫ାଵ + 4௫ାଶ มีค่าเท่ากับเท่าใด 15. ผลบวกของคําตอบของสมการ logଶ ‫ݔ‬ + 6 log௫ 2 − 5 = 0 มีค่าเท่ากับเท่าใด 16. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม C෠ เป็นมุมฉาก และ A෡ < B෡ ถ้า ሺcos2A + cos Bሻଶ + ሺsin2A + sin Bሻଶ = 3 แล้ว tan 3A มีค่าเท่ากับเท่าใด
  • 5. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 5 17. กําหนดให้ ‫ݑ‬ത และ ‫̅ݒ‬ เป็นเวกเตอร์ใดๆใน 3 มิติทีไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์และไม่ขนานกัน พิจารณาข้อความต่อไปนี (1) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬| ≤ |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| (2) ‫ݑ‬ത × ሺ‫ݑ‬ത + ‫̅ݒ‬ሻ = ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ (3) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬|ଶ + |‫ݑ‬ത ∙ ‫̅ݒ‬|ଶ = |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶ (4) ሺ5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ሻ ∙ 5‫̅ݒ‬ = 25 มีข้อความทีถูกต้องกีข้อความ 18. ให้ ‫ݖ‬ଵ, ‫ݖ‬ଶ, ‫ݖ‬ଷ เป็นรากที 3 ของจํานวนเชิงซ้อนจํานวนหนึง ถ้า ‫ݖ‬ଵ = √2ሺcos15° + ݅ sin15°ሻ แล้ว ‫ݖ‬ଶ‫ݖ‬ଷ มีค่าเท่ากับเท่าใด 19. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = {−13, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, 13} และ ܵ = { ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ | ܽ, ܾ ∈ ‫ܣ‬ } แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับเท่าใด
  • 6. 6 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 20. กําหนดให้ ܵ = {1, 2, 3, … , 10} และ ‫ܯ‬ = { ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ | ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ ܵ } สุ่มหยิบ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ มา 1 ตัว จากเซต ‫ܯ‬ ความน่าจะเป็นทีจะได้คู่อันดับ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ซึง ‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ < 25 มีค่าเท่ากับเท่าใด 21. กําหนดให้ ܵ = {1, 2, 3, … , 10} และ ‫ܯ‬ = ቄ ቂ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݖ‬ ‫ݔ‬ ቃ ቚ ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ ∈ ܵ ቅ สุ่มเลือกเมทริกซ์ ቂ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݖ‬ ‫ݔ‬ ቃ มา 1 เมทริกซ์จากเซต ‫ܯ‬ ความน่าจะเป็นทีจะได้เมทริกซ์ซึงมีสมบัติว่า ‫ݔ‬ < ‫ݕ‬ และ ‫ݔ‬ < ‫ݖ‬ มีค่าเท่ากับเท่าใด 22. ในการสอบครังหนึง ครูผู้สอนกําหนดว่า นักเรียนทีจะได้เกรด A ใน วิชาคณิตศาสตร์ จะต้องเป็นนักเรียนในกลุ่ม 10% ของคะแนน สูงสุดของนักเรียนทังห้อง โดยนักเรียนห้องนีมีทังหมด 80 คน และ มีผลคะแนนของนักเรียนดังตาราง ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที 20 ของคะแนนสอบห้องนีเท่ากับ 50.5 คะแนน แล้วนักเรียนทีได้คะแนนตําสุดของนักเรียนทีได้เกรด A วิชา คณิตศาสตร์ ได้คะแนนสอบกีคะแนน คะแนนสอบ จํานวนนักเรียน 31 – 40 6 41 – 50 ‫ݔ‬ 51 – 60 18 61 – 70 25 71 – 80 10 81 – 90 ‫ݕ‬ 91 – 100 3
  • 7. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 7 23. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึงมีการแจกแจงปกติ โดยทีมีนักเรียน 10% ของนักเรียนทังหมดมีคะแนนมากกว่า 80 คะแนน และมีนักเรียน 10% ของนักเรียนทังหมดทีมีคะแนนน้อยกว่า 40 คะแนน แล้วจํานวนนักเรียนทีได้ คะแนนมากกว่า 65 คะแนนคิดเป็นกีเปอร์เซ็นต์ (ให้ตารางมาเยอะ แต่ใช้จริงๆคือ ‫ݖ‬ = 1.28 จะได้ ‫ܣ‬ = 0.4 และ ‫ݖ‬ = 0.32 จะได้ ‫ܣ‬ = 0.1255) 24. กําหนดให้ ܽ เป็นจํานวนจริงซึง |ܽ| < 1 และกําหนดให้ ܵ௡ = ሺܽ + 1ሻଶ + ሺܽଶ + 1ሻଶ + ሺܽଷ + 1ሻଶ + … + ሺܽ௡ + 1ሻଶ แล้วค่าของ ∞→n lim ሺܵ௡ − ݊ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด 25. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽଽ เรียงกันเป็นลําดับเลขคณิต ทีมีมัธยฐานเท่ากับ 15 แล้วผลบวกของ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽଽ มีค่าเท่ากับเท่าใด
  • 8. 8 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 26. กําหนดให้ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นฟังก์ชันพหุนามทีทําให้ฟังก์ชัน ݂ ทีนิยามโดย ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ൜ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ; ‫ݔ‬ ≤ 1 ‫ݔ‬ଷ + 2‫ݔ‬ ; ‫ݔ‬ > 1 เป็น ฟังก์ชันต่อเนืองที ‫ݔ‬ = 1 ถ้า ሺ݂ ∘ ݃ሻᇱሺ1ሻ = 58 แล้ว ݃ᇱሺ1ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด 27. กําหนดให้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ቤ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ 0 ‫ݔ‬ − 3 ‫ݔ‬ 0 0 ‫ݔ‬ + 3 ቤ โดยที ݉ และ ‫ܯ‬ เป็นค่าตําสุดสัมพัทธ์และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ ݂ ตามลําดับ ถ้า ܵ = ቄ ܽ ቚ ܽ เป็นจํานวนเต็มทีทําให้ ݉ ≤ ݂ሺܽሻ ≤ ‫ܯ‬ ቅ แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับเท่าใด 28. กําหนดให้ ݂ เป็นฟังก์ชันซึงมีความชัน ณ จุดใดๆ เป็น 4‫ݔ‬ + 1 และกราฟของฟังก์ชัน ݂ ผ่านจุด ሺ1, 0ሻ ถ้า ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึงของฟังก์ชัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ แล้วค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ‫ܨ‬ อยู่ทีตําแหน่งใด
  • 9. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 9 29. เศษเหลือจากการหาร 4ଽଽଽ + 9ହହହ ด้วย 5 มีค่าเท่ากับเท่าใด 30. กําหนดให้ ݉ และ ݊ เป็นจํานวนเต็มบวกซึง ݉ = ݊ + 2 และ ค.ร.น. ของ ݉ และ ݊ เท่ากับ 180 แล้วผลคูณ ݉݊ มีค่าเท่ากับเท่าใด
  • 10. 10 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) เฉลย 1. 4 7. 15.42 13. 4 19. 43 25. 135 2. 55 8. 64 14. logଶ ଶଵ ଼ 20. ଵଷ ଵ଴଴ 26. 2 3. 3 9. 7 15. 12 21. ଶ଼ହ ଵ଴଴଴ 27. 7 4. 2.5 10. 0.75 16. ଵ √ଷ 22. 84.25 28. ‫ݔ‬ = − ଷ ଶ 5. 5 11. −0.25 17. 3 23. 37.45% 29. 3 6. 4 12. 0.6 18. √3 + ݅ 24. ଷ௔మାଶ௔ ଵି௔మ 30. 360 แนวคิด 1. 4 ݅௡ จะวนซําเดิมทุกๆ 4 ตัว คือ ݅ , −1 , −݅ , 1 ดังนัน เอา 4 หาร แล้วหาเศษมาดูว่าตกตัวไหน ก็จะหา ݅௡ ได้ ݅ି଻ + ݅ିହ + ݅ିଷ + ݅ = ଵ ௜ళ + ଵ ௜ఱ + ଵ ௜య + ݅ → ทําส่วนให้เลขชีกําลัง ÷ 4 ลงตัว = ௜భ ௜ఴ + ௜య ௜ఴ + ௜భ ௜ర + ݅ = ௜ ଵ + ି௜ ଵ + ௜ ଵ + ݅ = 2݅ ดังนัน |‫ݖ‬ଶ| = |‫|ݖ‬ଶ = |2݅|ଶ = 2ଶ = 4 2. 55 ข้อนีต้องระวังเรืองวิธีอ่านการหาร : “݊ หาร 166” จะหมายถึง 166 ÷ ݊ ถ้าจะหมายถึง ݊ ÷ 166 ต้องอ่านว่า “݊ หารด้วย 166” 166 ÷ ݊ และ 1101 ÷ ݊ เหลือเศษ 1 แสดงว่า ถ้าหัก 1 ออก เหลือ 165 และ 1100 จะหาร ݊ ลงตัว นันเอง จํานวนทีมากทีสุดทีหาร 165 และ 1100 ลงตัว คือ ห.ร.ม. นันเอง ดังนัน ݊ = ห.ร.ม. = 5 × 11 = 55 3. 3 ย้ายข้าง จะได้ arcsinሺ‫ݔ‬ଶ − 3‫ݔ‬ + 1ሻ = − గ ଶ ใส่ sin ทังสองฝัง ฝังซ้ายจะตัดกับ arcsin ได้ เหลือ ข้อนีไม่ต้องตรวจคําตอบก็ได้ เพราะเราแก้สมการ ‫ݔ‬ଶ − 3‫ݔ‬ + 1 = −1 มา ซึง arcsin ሺ−1ሻ จะหาค่าได้แน่นอน ดังนัน ผลบวกคําตอบ = 1 + 2 = 3 4. 2.5 ตังฉากกัน แสดงว่า ดอทกันได้ 0 และเนืองจากการดอท มีสมบัติสลับทีและกระจายในการบวกลบได้ ดังนัน ൫݉ܽത + ܾത൯ ∙ ൫݉ܽത − ܾത൯ = ݉ଶሺܽത ∙ ܽതሻ − ݉൫ܽത ∙ ܾത൯ + ݉൫ܾത ∙ ܽത൯ − ൫ܾത ∙ ܾത൯ = ݉ଶ |ܽത|ଶ − หܾതห ଶ = 4݉ଶ − 25 ดังนัน 4݉ଶ − 25 = 0 แก้จะได้ ݉ = ± ହ ଶ = ±2.5 แต่ ݉ เป็นบวก ดังนัน ตอบ 2.5 เศษ 1 เศษ 2 เศษ 3 ลงตัว ݅ −1 −݅ 1 5 165 1100 11 33 220 3 20 ‫ݔ‬ଶ − 3‫ݔ‬ + 1 = −1 ‫ݔ‬ଶ − 3‫ݔ‬ + 2 = 0 ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ − 2ሻ = 0 ‫ݔ‬ = 1, 2
  • 11. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 11 5. 5 3ܴଵ คือ 3 คูณแถวหนึง 3[1 2 ܽ] ได้เป็น [3 6 3ܽ] ܴଶ − 3ܴଵ คือเอาแถวสอง [3 1 ܾ] ตังลบ [3 6 3ܽ] ได้เป็น [0 −5 ܾ − 3ܽ] ดังนัน ൥ 1 2 ܽ 3 1 ܾ −1 0 ܿ ൩ ܴଶ − 3ܴଵ ~ ൥ 1 2 ܽ 0 −5 ܾ − 3ܽ −1 0 ܿ ൩ เทียบกับทีโจทย์ให้จะได้ ܽ = −1 , ܾ − 3ܽ = 7 , ܿ = 2 จะได้ ܾ = 7 + 3ܽ = 7 + 3ሺ−1ሻ = 4 ดังนัน ܽ + ܾ + ܿ = −1 + 4 + 2 = 5 6. 4 จากกฎ ܽ୪୭୥ೌ ௠ = ݉ จะได้ logଶ൫3୪୭୥య ଵ଺ ൯ = logଶሺ16ሻ = logଶሺ2ସሻ = 4 7. 15.42 คิดตรงๆจาก ሺଶଶ×ଵ଻ሻାሺଶଷ×ଵ଺ሻାሺଶହ×ଵସሻାሺଷ଴×ଵହሻ ଶଶାଶଷାଶହାଷ଴ = ଵହସଶ ଵ଴଴ = 15.42 ก็ได้ แต่ก็ต้องคิดเลขเยอะ อีกวิธีคือ เราสามารถลดทอนข้อมูลได้ โดยเอาข้อมูล 17, 16, 14, 15 มาลบ 15 ก่อน ได้เป็น 2, 1, −1, 0 แล้วหาค่าเฉลียได้เป็น ሺଶଶ×ଶሻାሺଶଷ×ଵሻାሺଶହ×ିଵሻାሺଷ଴×଴ሻ ଶଶାଶଷାଶହାଷ଴ = ସସାଶଷିଶହା଴ ଵ଴଴ = 0.42 แล้วค่อย บวก 15 กลับไปเป็นเลขในระบบเดิม จะได้ ค่าเฉลีย = 15 + 0.42 = 15.42 หมายเหตุ : จะใช้เลขอืนทีไม่ใช่ 15 ก็ได้ แต่ถ้าใช้ 15 ซึงมาจากห้องทีนักเรียนเยอะสุด จะทําให้ห้องนักเรียนเยอะสุด มี ผลรวมนําหนัก = 30×0 = 0 ทําให้คิดเลขน้อยกว่า 8. 64 กระจายออกมา จะได้เป็น ൫଺ ଴ ൯7଺ − ൫଺ ଵ ൯7ହ 5ଵ + ൫଺ ଶ ൯7ସ 5ଶ − ൫଺ ଷ ൯7ଷ 5ସ + ⋯ + ൫଺ ଺ ൯5଺ ซึงจะเห็นว่า เข้าสูตรทวินามได้เป็น ሺ7 − 5ሻ଺ ได้พอดี ดังนัน ตอบ ሺ7 − 5ሻ଺ = 2଺ = 64 9. 7 แทนแล้วเป็น ଴ ଴ ต้องจัดรูปให้ ‫ݔ‬ ตัดกันก่อน ሺଵା௫ሻሺଵା଺௫ሻିଵ ௫ = ଵା଻௫ା଺௫మିଵ ௫ = ଻௫ା଺௫మ ௫ = ௫ሺ଻ା଺௫ሻ ௫ = 7 + 6‫ݔ‬ ดังนัน 0 lim →x ሺଵା௫ሻሺଵା଺௫ሻିଵ ௫ = 0 lim →x 7 + 6‫ݔ‬ = 7 + 6ሺ0ሻ = 7 10. 0.75 กระจาย ∑ ได้เป็น 1 − ‫ݔ‬ଷ + ‫ݔ‬଺ − ‫ݔ‬ଽ + … จะเห็นว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ทีมี ‫ݎ‬ = −‫ݔ‬ଷ = − ቀ ଵ √ଷ య ቁ ଷ = − ଵ ଷ เนืองจาก |‫|ݎ‬ = ଵ ଷ < 1 ดังนัน อนุกรมอนันต์นีจะหาค่าได้ด้วยสูตร ܵஶ = ௔భ ଵି௥ = ଵ ଵିቀି భ య ቁ = 1 × ଷ ସ = 0.75 11. −0.25 ต้องแยกตัวประกอบด้วยทฤษฎีเศษ โดยแทน ‫ݔ‬ = ± ตัวประกอบของ ଷ ตัวประกอบของ ଼ ซึงได้แก่ ±1 , ±3 , ± ଵ ଶ , ± ଷ ଶ , ± ଵ ସ , ± ଷ ସ , ± ଵ ଼ , ± ଷ ଼ แล้วดูว่าตัวไหนได้ 0 : ‫ݔ‬ = 1 : 8ሺ1ሻଷ + 6ሺ1ሻଶ − 5ሺ1ሻ − 3 = 6 ใช้ไม่ได้ ‫ݔ‬ = −1 : 8ሺ−1ሻଷ + 6ሺ−1ሻଶ − 5ሺ−1ሻ − 3 = 0 ใช้ได้
  • 12. 12 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) เอา −1 ไปหารสังเคราะห์ ดังนัน จะได้คําตอบคือ −1 , ଷ ସ , − ଵ ଶ ดังนัน ‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଷ = ตัวน้อยสุด + ตัวมากสุด = −1 + ଷ ସ = − ଵ ସ = −0.25 12. 0.6 เอาไมเนอร์มาเปลียนเครืองหมายตรงที ݅ + ݆ เป็นคี จะได้โคแฟกเตอร์ คือ ൥− 1 1 2 3 2 4 5 −1 3 ൩ เอาโคแฟกเตอร์ มาทรานสโพส จะได้ adjሺ‫ܣ‬ሻ = ൥ 1 −3 5 1 2 −1 2 4 3 ൩ ซึงจาก adjሺ‫ܣ‬ሻ เราจะหา detሺ‫ܣ‬ሻ ได้จากสูตร det൫adjሺ‫ܣ‬ሻ൯ = ሺdetሺ‫ܣ‬ሻሻ௡ିଵ det൫adjሺ‫ܣ‬ሻ൯ = ሺ6 + 6 + 20ሻ − ሺ20 − 4 − 9ሻ = 25 ดังนัน ሺdetሺ‫ܣ‬ሻሻଷିଵ = 25 จะได้ detሺ‫ܣ‬ሻ = ±5 แต่โจทย์บอก detሺ‫ܣ‬ሻ > 0 ดังนัน detሺ‫ܣ‬ሻ = 5 จะได้ ‫ܣ‬ିଵ = ଵ ୢୣ୲ሺ஺ሻ ∙ adjሺ‫ܣ‬ሻ = ଵ ହ ൥ 1 −3 5 1 2 −1 2 4 3 ൩ กระจาย ଵ ହ เข้าไป จะได้ ଵ ହ + ିଷ ହ + ହ ହ = 0.6 13. 4 จากรูปแบบสมการ จะเป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน จุดศูนย์กลาง ሺ0, 2ሻ โดย ܽ = 3 , ܾ = 4 ดังนัน ܿ = √3ଶ + 4ଶ = 5 ดังนัน โฟกัสอยู่ที ሺ5, 2ሻ และ ሺ−5, 2ሻ แต่ F อยู่ Qଵ ดังนัน Fሺ5, 2ሻ และจากสูตรเส้นกํากับ ௫ି௛ ௔ = ± ௬ି௞ ௕ จะได้เส้นกํากับ คือ ௫ ଷ = ± ௬ିଶ ସ วงกลม สัมผัสเส้นกํากับ แสดงว่า ระยะจากศูนย์กลางวงกลม ไปยังเส้นกํากับ = รัศมี ศูนย์กลางวงกลม คือ Fሺ5, 2ሻ และเลือกเส้นกํากับมาหนึงเส้น → เอา ௫ ଷ = ௬ିଶ ସ ซึงจัดรูปได้เป็น 4‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ + 6 = 0 ดังนัน รัศมี = ระยะจาก ሺ5, 2ሻ ไป 4‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ + 6 = 0 = |ସሺହሻିଷሺଶሻା଺| √ସమାଷమ = ଶ଴ ହ = 4 14. logଶ ଶଵ ଼ แก้สมการ ดังนี 15. 12 จากสมบัติของ log จะได้ logଶ ‫ݔ‬ และ log௫ 2 เป็นส่วนกลับของกันและกัน ดังนัน ถ้าให้ logଶ ‫ݔ‬ = ‫ܣ‬ จะได้ log௫ 2 = ଵ ஺ ดังนัน สมการคือ ‫ܣ‬ + ଺ ஺ − 5 = 0 −1 8 6 −5 −3 −8 2 3 8 −2 −3 0 8‫ݔ‬ଷ + 6‫ݔ‬ଶ − 5‫ݔ‬ − 3 = ൫‫ݔ‬ − ሺ−1ሻ൯ሺ8‫ݔ‬ଶ − 2‫ݔ‬ − 3ሻ = ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ4‫ݔ‬ − 3ሻሺ2‫ݔ‬ + 1ሻ ሺ0,2ሻ ሺ5,2ሻ 2௫ ∙ 2௫ାଵ ∙ 2௫ାଶ = 4௫ + 4௫ାଵ + 4௫ାଶ 2௫ ା ௫ାଵ ା ௫ାଶ = 4௫ሺ1 + 4ଵ + 4ଶሻ 2ଷ௫ାଷ = 2ଶ௫ሺ21ሻ ଶయೣ∙ଶయ ଶమೣ = 21 2௫ = ଶଵ ଼ ‫ݔ‬ = logଶ ଶଵ ଼
  • 13. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 13 คูณ ‫ܣ‬ ตลอด ได้ แทนค่า ‫ܣ‬ กลับ จะได้ logଶ ‫ݔ‬ = 2, 3 ดังนัน ‫ݔ‬ = 2ଶ , 2ଷ และจะได้ผลบวกคําตอบ = 2ଶ + 2ଷ = 12 16. ଵ √ଷ กระจาย ได้ เนืองจาก C෠ เป็นมุมฉาก ดังนัน A + B เหลือ 90° และเนืองจาก A < B ดังนัน 0 < A < 45° และ 45° < B < 90° ดังนัน 2A – B มากสุด เมือ A มากสุด และ B น้อยสุด = 2ሺ45°ሻ – 45° = 45° 2A – B น้อยสุด เมือ A น้อยสุด และ B มากสุด = 2ሺ0ሻ – 90° = −90° ดังนัน −90° < 2A – B < 45° แต่ cosሺ2A − Bሻ = ଵ ଶ พิจารณาจากช่วงค่าทีเป็นไปได้ของ 2A − B จะได้ 2A − B = −60° …ሺ1ሻ แต่ A + B = 90° …ሺ2ሻ บวกสองสมการ จะได้ 3A = 30° ดังนัน tan 3A = tan 30° = ଵ √ଷ 17. 3 (1) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬| = |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| sinߠ แต่ sin ߠ ≤ 1 ดังนัน |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬| ≤ |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| → ถูก (2) ‫ݑ‬ത × ሺ‫ݑ‬ത + ‫̅ݒ‬ሻ = ‫ݑ‬ത × ‫ݑ‬ത + ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ = 0ത + ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ = ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ → ถูก (3) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬|ଶ + |‫ݑ‬ത ∙ ‫̅ݒ‬|ଶ = ሺ|‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| sinߠሻଶ + ሺ|‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| cos ߠሻଶ = |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶሺsinଶ ߠ + cosଶ ߠሻ = |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶሺ1ሻ = |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶ → ถูก (4) 5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ในทิศตังฉากกับระนาบที ‫ݑ‬ത และ ‫̅ݒ‬ วางอยู่ ดังนัน 5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ จะตังฉากกับ ‫̅ݒ‬ ดังนัน 5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ จะตังฉากกับ 5‫̅ݒ‬ ด้วย จึง dot กันเป็น 0 เสมอ ดังนัน ሺ5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ሻ ∙ 5‫̅ݒ‬ = 0 → ผิด 18. √3 + ݅ รากอีก 2 ค่าทีเหลือ จะได้จากการนํารากตัวแรกมาบวกมุมเพิมไปทีละ ଷ଺଴° ଷ = 120° รากตัวแรก คือ √2 ∠ 15° ดังนัน รากอีกสองตัวทีเหลือคือ √2 ∠ 135° และ √2 ∠ 255° ดังนัน ‫ݖ‬ଶ‫ݖ‬ଷ = ൫√2 ∠ 135°൯൫√2 ∠ 255°൯ = ൫√2 × √2൯ ∠ ሺ135° + 255°ሻ = 2 ∠ 390° = 2 ∠ 30° = 2ሺcos30° + ݅ sin30°ሻ = 2 ቀ √ଷ ଶ + ଵ ଶ ݅ቁ = √3 + ݅ 19. 43 จะเห็นว่า ‫ܣ‬ มีจํานวนบวกอยู่ 6 จํานวน จํานวนลบอยู่ 6 จํานวน และตัวเลขของทุกตัวเป็นจํานวนเฉพาะ กรณี ܽ, ܾ เป็นบวกทังคู่ : จะได้ ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ = ܾܽ + ܾܽ = 2ܾܽ กรณี ܽ ≠ ܾ : เนืองจากลําดับก่อนหลังของ ܽ, ܾ ไม่มีผลกับค่า 2ܾܽ จึงต้องนับจํานวนแบบของ ܽ, ܾ แบบไม่สน ลําดับ ซึงจะมีจํานวนแบบ = ൫଺ ଶ ൯ = ଺×ହ ଶ = 15 แบบ เนืองจาก จํานวนบวกทัง 6 จํานวนเป็นจํานวนเฉพาะ ดังนัน ใน 15 แบบนี จะไม่มีแบบไหนที 2ܾܽ เท่ากันได้ กรณี ܽ = ܾ : มีจํานวนบวก 6 จํานวน จะเลือก ܽ ได้ 6 แบบ แต่ ܾ ต้องตาม ܽ ได้แบบเดียว ดังนัน จํานวนแบบ = 6 แบบ ‫ܣ‬ଶ + 6 − 5‫ܣ‬ = 0 ሺ‫ܣ‬ − 2ሻሺ‫ܣ‬ − 3ሻ = 0 ‫ܣ‬ = 2 , 3 cosଶ 2A + 2 cos 2A cos B + cosଶ B + sinଶ 2A + 2 sin2A cosB + sinଶ B = 3 ሺcosଶ 2A + sinଶ 2Aሻ + ሺcosଶ B + sinଶ Bሻ + 2 cos 2A cos B + 2 sin 2A cosB = 3 1 + 1 + 2ሺcos 2A cos B + sin2A cosBሻ = 3 cosሺ2A − Bሻ = ଵ ଶ
  • 14. 14 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) รวมสองกรณี จะได้กรณีที ܽ, ܾ เป็นบวกทังคู่ มีค่า ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ ทังหมด 15 + 6 = 21 แบบ กรณี ܽ, ܾ เป็นลบทังคู่ : จะได้ ܽ|ܾ| และ |ܽ|ܾ เป็นลบทังสองจํานวน ดังนัน ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ จะเหมือน กรณีแรก เพียงแต่จะได้ค่า ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ ติดลบ ดังนัน จะได้จํานวนแบบเพิมอีก 21 แบบ กรณี ܽ, ܾ เป็นบวกหนึงตัว ลบหนึงตัว : จะได้ ܽ|ܾ| และ |ܽ|ܾ เป็นบวกหนึงตัว ลบหนึงตัว ดังนัน ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ จะ หักกันกลายเป็น 0 เสมอ ดังนัน กรณีนี จะได้ ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ แบบเดียว คือ ศูนย์ รวมทุกกรณี จะได้จํานวนแบบ = 21 + 21 + 1 = 43 แบบ 20. ଵଷ ଵ଴଴ จํานวนแบบทังหมด : เลือก ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ ได้อย่างละ 10 ตัว ดังนัน จํานวนแบบทังหมด = 10 × 10 = 100 จํานวนแบบที ‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ < 25 ต้องใช้แรงลุยนับ จะมีทังหมด 13 แบบ ดังนัน ความน่าจะเป็น = ଵଷ ଵ଴଴ 21. ଶ଼ହ ଵ଴଴଴ หาจํานวนแบบทังหมดก่อน เนืองจาก ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เลือกเป็น 1, 2, 3, … , 10 ได้ตัวละ 10 แบบ ดังนัน จํานวนแบบทังหมด = 10 × 10 × 10 = 1000 จํานวนแบบที ‫ݔ‬ < ‫ݕ‬ และ ‫ݔ‬ < ‫ݖ‬ จะแบ่งกรณีนับ ตามค่า ‫ݔ‬ กรณี ‫ݔ‬ = 1 : จะได้ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เป็นได้แค่ 2, 3, 4, … , 10 ได้ตัวละ 9 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 9ଶ แบบ กรณี ‫ݔ‬ = 2 : จะได้ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เป็นได้แค่ 3, 4, 5, … , 10 ได้ตัวละ 8 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 8ଶ แบบ ⋮ กรณี ‫ݔ‬ = 9 : จะได้ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เป็นได้แค่ 10 เท่านัน ได้ตัวละ 1 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 1ଶ แบบ กรณี ‫ݔ‬ = 10 : จะไม่มี ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ ทีสอดคล้องกับเงือนไข ดังนัน จํานวนแบบตามเงือนไข = 9ଶ + 8ଶ + 7ଶ + … + 1ଶ = ଽሺଽାଵሻሺଶሺଽሻାଵሻ ଺ = 285 แบบ ดังนัน ความน่าจะเป็น = ଶ଼ହ ଵ଴଴଴ 22. 84.25 Pଶ଴ = 50.5 = ขอบบนของชันที 2 พอดี เนืองจากขอบบนของชัน จะเท่ากับตัวสุดท้ายของชัน ดังนัน Pଶ଴ = ตัวสุดท้ายของชันที 2 = ตัวที 6 + ‫ݔ‬ แต่มีคน 80 คน ดังนัน Pଶ଴ = ตัวที ଶ଴ ଵ଴଴ × 80 = 16 ดังนัน 6 + ‫ݔ‬ = 16 จะได้ ‫ݔ‬ = 10 มี 80 คน ดังนัน 6 + ‫ݔ‬ + 18 + 25 + 10 + ‫ݕ‬ + 3 = 80 แทน ‫ݔ‬ = 10 จะแก้สมการได้ ‫ݕ‬ = 8 จะสร้างช่องความถีสะสมได้ดังรูป เกรด A มี 10% ดังนัน ตําสุดของเกรด A คือ Pଽ଴ ซึง Pଽ଴ จะอยู่ตัวที ଽ଴ ଵ଴଴ × 80 = 72 ซึงจะอยู่ในชันรองสุดท้าย (เพราะความถีสะสมถึง 72 ในชันนี) ดังนัน Pଽ଴ = ‫ܮ‬ + ቆ వబሺఴబሻ భబబ – ிಽ ௙ು ቇ × ‫ܫ‬ = 80.5 + ቀ ଻ଶ – ଺ଽ ଼ ቁ × 10 = 80.5 + 3.75 = 84.25 ሺ1,1ሻ , ሺ1,2ሻ , ሺ1,3ሻ , ሺ1,4ሻ ሺ2,1ሻ , ሺ2,2ሻ , ሺ2,3ሻ , ሺ2,4ሻ ሺ3,1ሻ , ሺ3,2ሻ , ሺ3,3ሻ ሺ4,1ሻ , ሺ4,2ሻ คะแนนสอบ ความถี ความถีสะสม 31 – 40 6 6 41 – 50 10 16 51 – 60 18 34 61 – 70 25 59 71 – 80 10 69 81 – 90 8 77 91 – 100 3 80
  • 15. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 15 23. 37.45% 10% ได้มากกว่า 80 จะวาดได้ดังรูป พืนทีทีใช้เปิดตาราง จะเป็นพืนทีทีวัดจากแกนกลางไปทางขวา เนืองจากพืนทีใต้โค้งแบ่งเป็นฝังซ้ายขวาฝังละ 0.5 ดังนัน ‫ܣ‬ = 0.5 − 0.1 = 0.4 เปิดตาราง จะได้ ‫ݖ‬ = 1.28 ดังนัน ଼଴ି௫̅ ௦ = 1.28 → 80 – ‫̅ݔ‬ = 1.28‫ݏ‬ …ሺ1ሻ ถัดมา 10% ได้น้อยกว่า 40 จะวาดได้ดังรูป ทําแบบเดิม แต่ฝังซ้ายจะใช้ ‫ݖ‬ ติดลบ จะได้ ‫ݖ‬ = −1.28 ดังนัน ସ଴ି௫̅ ௦ = −1.28 → 40 – ‫̅ݔ‬ = −1.28‫ݏ‬ …ሺ2ሻ แก้ ሺ1ሻ และ ሺ2ሻ จะหา ‫̅ݔ‬ และ ‫ݏ‬ ได้ : ሺ1ሻ + ሺ2ሻ จะได้ 120 − 2‫̅ݔ‬ = 0 ดังนัน ‫̅ݔ‬ = 60 แทน ‫̅ݔ‬ = 60 ใน ሺ1ሻ จะได้ ‫ݏ‬ = ଶ଴ ଵ.ଶ଼ ดังนัน 65 คะแนน คิดเป็น ‫ݖ‬ = ଺ହି଺଴ మబ భ.మఴ = 5 × ଵ.ଶ଼ ଶ଴ = 0.1255 ซึงจากตารางทีโจทย์ให้ จะได้ ‫ܣ‬ = 0.1255 และจะวาดได้ดังรูป ดังนัน พืนทีทางขวาของ 65 จะเท่ากับ 0.5 − 0.1255 = 0.3745 = 37.45% 24. ଷ௔మାଶ௔ ଵି௔మ กระจาย ܵ௡ ดังนัน ܵ௡ − ݊ จะตัด ݊ ได้ เหลือ ሺܽଶ + ܽସ + ܽ଺ + … + ܽଶ௡ሻ + 2ሺܽ + ܽଶ + ܽଷ + … + ܽ௡ሻ จะเห็นว่า ∞→n lim ሺܵ௡ − ݊ሻ จะกลายเป็นอนุกรมอนันต์ 2 อัน ทีมีอัตราส่วนร่วมคือ ܽଶ และ ܽ ซึงโจทย์บอกว่า |ܽ| < 1 ดังนัน |ܽଶ| < 1 จะได้อนุกรมลู่เข้า และ ใช้สูตร ௔భ ଵି௥ ได้ จะได้คําตอบ = ௔మ ଵି௔మ + 2 ቀ ௔ ଵି௔ ቁ = ௔మ ଵି௔మ + ଶ௔ሺଵା௔ሻ ሺଵି௔ሻሺଵା௔ሻ = ଷ௔మାଶ௔ ଵି௔మ 25. 135 มัธยฐาน จะอยู่ตัวตรงกลาง คือตัวที ଽାଵ ଶ = 5 ดังนัน ܽହ = 15 จากสูตรลําดับเลขคณิต จะได้ ܽହ = ܽଵ + 4݀ ดังนัน ܽଵ + 4݀ = 15 จากสูตรอนุกรมเลขคณิต จะได้ผลบวกทีโจทย์ถาม = ܵଽ = ଽ ଶ ሺ2ܽଵ + 8݀ሻ = ଽ ଶ ∙ 2ሺܽଵ + 4݀ሻ = ଽ ଶ ∙ 2ሺ15ሻ = 135 26. 2 ต่อเนืองที ‫ݔ‬ = 1 แสดงว่า ถ้าแทน ‫ݔ‬ = 1 ลงไปตรงรอยต่อของสูตร คือ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ กับ ‫ݔ‬ଷ + 2‫ݔ‬ ต้องได้ค่าเท่ากัน ดังนัน จะได้ ݃ሺ1ሻ = 1ଷ + 2ሺ1ሻ = 3 เนืองจาก ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ‫ݔ‬ሻ = ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ดังนัน ሺ݂ ∘ ݃ሻᇱሺ‫ݔ‬ሻ = ௗ ௗ௫ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = ௗ ௗ ௚ሺ௫ሻ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∙ ௗ ௗ௫ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ௗ ௗ ௚ሺ௫ሻ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∙ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ แต่โจทย์ให้ ሺ݂ ∘ ݃ሻᇱሺ1ሻ = 58 ดังนัน ௗ ௗ ௚ሺ௫ሻ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∙ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ขณะที ‫ݔ‬ = 1 จะต้องได้ 58 …ሺ∗ሻ 80 0.10 0.40 40 0.10 0.40 65 0.1255 = ܽଶ + 2ܽ + 1 + ܽସ + 2ܽଶ + 1 + ܽ଺ + 2ܽଷ + 1 + … + ܽଶ௡ + 2ܽ௡ + 1 = ሺܽଶ + ܽସ + ܽ଺ + … + ܽଶ௡ሻ + ሺ2ܽ + 2ܽଶ + 2ܽଷ + … + 2ܽ௡ሻ + ሺ1 + 1 + 1 + … + 1ሻ = ሺܽଶ + ܽସ + ܽ଺ + … + ܽଶ௡ሻ + 2ሺܽ + ܽଶ + ܽଷ + … + ܽ௡ሻ + ݊ กฏลูกโซ่
  • 16. 16 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) เนืองจาก ݃ሺ1ሻ = 3 ดังนัน ถ้าจะหา ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ เมือ ‫ݔ‬ เข้าใกล้ 1 จะต้องใช้สูตรทีสองของ ݂ จะได้ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = ൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ଷ + 2݃ሺ‫ݔ‬ሻ ดังนัน ௗ ௗ ௚ሺ௫ሻ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = 3൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ଶ + 2 แทนใน ሺ∗ሻ และคิดขณะที ‫ݔ‬ = 1 จะได้ ቀ3൫݃ሺ1ሻ൯ ଶ + 2ቁ ∙ ݃ᇱሺ1ሻ = 58 ሺ3ሺ 3 ሻଶ + 2ሻ ∙ ݃ᇱሺ1ሻ = 58 แก้สมการ จะได้ ݃ᇱሺ1ሻ = 2 27. 7 จะเห็นว่าสมาชิกใต้แนวเส้นแทยงมุมหลักเป็น 0 หมด → จะได้ det เท่ากับผลคูณตัวเลขทีอยู่ในแนวเส้นแทยงมุมหลัก ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 3ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ = ‫ݔ‬ଷ − 9‫ݔ‬ หาค่าสูงสุดตําสุดสัมพัทธ์ ต้องดิฟ แล้วจับ = 0 จะได้ แทน ‫ݔ‬ = ±√3 เพือหาค่าสูงสุดตําสุดสัมพัทธ์ จะได้ ݂൫√3൯ = ൫√3൯ ଷ − 9൫√3൯ = −6√3 → ݉ และ ݂൫−√3൯ = ൫−√3൯ ଷ − 9൫−√3൯= 6√3 → ‫ܯ‬ ดังนัน ต้องหาจํานวนเต็ม ܽ ทีทําให้ เนืองจาก ค่าสูงสุดตําสุดสัมพัทธ์ เกิดที ±√3 ดังนัน จํานวนเต็ม ܽ ทีอยู่ในช่วง [−√3 , √3] ซึงได้แก่ −1, 0, 1 จะ สอดคล้องกับ ݉ ≤ ݂ሺܽሻ ≤ ‫ܯ‬ อย่างแน่นอน ทีเหลือต้องแทนค่าดู ถ้าเลยจาก −4 กับ 4 ไป จะไม่มีจุดสัมพัทธ์ให้ ݂ሺܽሻ วกกลับแล้ว ดังนัน จะมีแค่ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ทังหมด 7 จํานวนเท่านัน ทีสอดคล้องกับเงือนไขของ ܵ 28. ‫ݔ‬ = − ଷ ଶ จาก ความชัน = ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ แต่โจทย์บอกว่าความชันคือ 4‫ݔ‬ + 1 ดังนัน ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 4‫ݔ‬ + 1 อินทิเกรต จะได้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬ + ‫ܥ‬ …ሺ∗ሻ แต่ ݂ ผ่านจุด ሺ1, 0ሻ แสดงว่าถ้าแทน ‫ݔ‬ = 1 ใน ሺ∗ሻ จะได้ 2ሺ1ሻଶ + 1 + ‫ܥ‬ = 0 แก้สมการได้ ‫ܥ‬ = −3 ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬ − 3 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ‫ܨ‬ จะหาได้จากการดิฟ ‫ܨ‬ แล้วจับเท่ากับ 0 เนืองจาก ‫ܨ‬ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ ݂ ดังนัน ดิฟ ‫ܨ‬ จะย้อนกลับไปเป็น ݂ จับ ݂ เท่ากับ 0 ได้ ถัดมา ต้องตัดสินว่า − ଷ ଶ กับ 1 อันไหนเป็นสูงสุดสัมพัทธ์ อันไหนเป็นตําสุดสัมพัทธ์ วิธีการคือ ดิฟต่อไปอีกเทียว แล้วแทน − ଷ ଶ กับ 1 ลงไป ถ้าได้ค่าบวกเป็นตําสุดสัมพัทธ์ ถ้าได้ค่าลบเป็นสูงสุดสัมพัทธ์ ดิฟ 2‫ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬ − 3 ได้เป็น 4‫ݔ‬ + 1 จะเห็นว่า 4 ቀ− ଷ ଶ ቁ + 1 = −5 เป็นลบ → สูงสุดสัมพัทธ์ 4ሺ 1 ሻ + 1 = 5 เป็นบวก → ตําสุดสัมพัทธ์ ดังนัน ‫ݔ‬ = − ଷ ଶ จะเป็นตําแหน่งทีทําให้ ‫ܨ‬ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ݔ‬ଶ − 9 = 0 ‫ݔ‬ଶ = 3 ‫ݔ‬ = ±√3 −6√3 ≤ ݂ሺܽሻ ≤ 6√3 −6ሺ1.73ሻ ≤ ݂ሺܽሻ ≤ 6ሺ1.73ሻ −10.38 ≤ ݂ሺܽሻ ≤ 10.38 ݂ሺ−2ሻ = ሺ−2ሻଷ − 9ሺ−2ሻ = 10 ݂ሺ−3ሻ = ሺ−3ሻଷ − 9ሺ−3ሻ = 0 ݂ሺ−4ሻ = ሺ−4ሻଷ − 9ሺ−4ሻ = −28 ݂ሺ2ሻ = ሺ2ሻଷ − 9ሺ2ሻ = −10 ݂ሺ3ሻ = ሺ3ሻଷ − 9ሺ3ሻ = 0 ݂ሺ4ሻ = ሺ4ሻଷ − 9ሺ4ሻ = 28 2‫ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬ − 3 = 0 ሺ2‫ݔ‬ + 3ሻሺ‫ݔ‬ − 1ሻ= 0 ‫ݔ‬ = − ଷ ଶ , 1
  • 17. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 17 29. 3 วิธีที 1 : เนืองจากเลขยกกําลัง จะมีหลักหน่วยทีวนรอบซําเป็นจังหวะสันๆ เราจะหาหลักหน่วยของ 4ଽଽଽ + 9ହହହ ก่อน คิดเฉพาะหลักหน่วย จะเห็นว่า 4௠ และ 9௡ มีจังหวะการวนของหลักหน่วยทุก 2 ตัว : 999 เป็นเลขคี ดังนัน 4ଽଽଽ ลงท้ายด้วย 4 555 เป็นเลขคี ดังนัน 9ହହହ ลงท้ายด้วย 9 ดังนัน 4ଽଽଽ + 9ହହହ ลงท้ายด้วย 4 + 9 = 13 ลงท้ายด้วย 3 ซึงจํานวนทีลงท้ายด้วย 3 จะหารด้วย 5 เหลือเศษ 3 เสมอ วิธีที 2 : 4ଽଽଽ + 9ହହହ = ሺ5 − 1ሻଽଽଽ + ሺ10 − 1ሻହହହ จากทฤษฏีบททวินาม : ሺ5 − 1ሻଽଽଽ = 5ଽଽଽ + ൫ଽଽଽ ଵ ൯5ଽଽ଼ሺ−1ሻଵ + … + ൫ଽଽଽ ଽଽ଼ ൯5ଵሺ−1ሻଽଽ଼ + ሺ−1ሻଽଽଽ ሺ10 − 1ሻହହହ = 10ହହହ + ൫ହହହ ଵ ൯10ହହସሺ−1ሻଵ + … + ൫ହହହ ହହସ ൯10ଵሺ−1ሻହହସ + ሺ−1ሻହହହ จะเห็นว่าทุกตัวทีกระจายออกมา หารด้วย 5 ลงตัวหมด ยกเว้นตัวสุดท้าย ሺ−1ሻଽଽଽ กับ ሺ−1ሻହହହ ซึงรวมกันได้ −2 ดังนัน 4ଽଽଽ + 9ହହହ = จํานวนทีหารด้วย 5 ลงตัว − 2 นันคือ ถ้าบวก 4ଽଽଽ + 9ହହହ เพิมไปอีก 2 มันจะหารด้วย 5 ลงตัว ดังนัน 4ଽଽଽ + 9ହହହ หารด้วย 5 เหลือเสษ 3 30. 360 จาก ݉ = ݊ + 2 ดังนัน ห.ร.ม. ชอง ݉ และ ݊ = ห.ร.ม. ชอง ݊ + 2 และ ݊ ถ้าเอา ݊ + 2 กับ ݊ ไปหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีตังสองแถว จะเห็นว่ารอบแรกก็เหลือ 2 แล้ว ดังนัน ห.ร.ม. ของ ݉ และ ݊ จะไม่มีทางเกิน 2 ไปได้ …ሺ1ሻ และเนืองจาก ค.ร.น. = 180 เป็นเลขคู่ ดังนัน ݉ และ ݊ ต้องมีเลขคู่อยู่อย่างน้อย 1 ตัว จาก ݉ = ݊ + 2 จะเห็นว่า ถ้า ݊ เป็นคี จะได้ ݉ เป็นคี ซึงเป็นไปไม่ได้ (เพราะเลขคีสองตัว จะมี ค.ร.น. เป็นคู่ไม่ได้) ดังนัน ݊ ต้องเป็นคู่ และจะได้ ݉ เป็นคู่ด้วย ทําให้ ห.ร.ม. จะมี 2 เป็นอย่างน้อย …ሺ2ሻ จาก ሺ1ሻ และ ሺ2ሻ สรุปได้ว่า ห.ร.ม. = 2 ได้สถานเดียว จากสมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะได้ ݉݊ = ห.ร.ม. × ค.ร.น. = 2 × 180 = 360 เครดิต ขอบคุณ ข้อสอบ และเฉลย จาก อาจารย์ศิลา สุขรัศมี (Facebook : Sila Sookrasameeሻ จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ ทีจําข้อสอบออกมาได้เป๊ ะทุกข้อนะครับ 555 ขอบคุณ เฉลยของคุณ ติวเตอร์อุ๋ย http://www.tutoroui.com/ และ http://www.tutoroui-plus.com/ ด้วย ครับ ผมใช้เป็นแนวทางในการทําเฉลยและช่วยผมได้เยอะเลย ขอบคุณ คุณ Tarm Chaidirek ทีช่วยบอกจุดผิดในข้อ 9 ให้ด้วยครับ 4ଵ = 4 ลงท้ายด้วย 4 4ଶ = 4 × 4 ลงท้ายด้วย 6 4ଷ = 6 × 4 ลงท้ายด้วย 4 ซําแล้ว 9ଵ = 9 ลงท้ายด้วย 9 9ଶ = 9 × 9 ลงท้ายด้วย 1 9ଷ = 1 × 9 ลงท้ายด้วย 9 ซําแล้ว 1 ݊ + 2 ݊ ݊ 2

×