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Probabilidades - parte 2 (ISMT)
 

Probabilidades - parte 2 (ISMT)

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    Probabilidades - parte 2 (ISMT) Probabilidades - parte 2 (ISMT) Presentation Transcript

    • Definição Axiomática de Probabilidade Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa intuição ou experiência, que não se demonstram e se aceitam como verdadeiras. Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar, usando raciocínios lógicos, lógicos que ela resulta de outras consideradas verdadeiras.  Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos axiomas ou de outras proposições já demonstradas. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 16
    • Axiomas das Probabilidades (i) P ( A)  0 ( () (Probabilidade é um número não negativo) g ) (ii) P ( S )  1 (Probabilidade do espaço de amostras é unitário) (iii) Se A  B   , então P ( A  B )  P ( A)  P ( B ). ) Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas p g probabilidades) www.joaoleal.net Professor: João José Leal 17
    • Teoremas 1. A probabilidade de um acontecimento impossível é zero. P   0 2. A probabilidade de qualquer acontecimento A é um número do intervalo [0, 1]. 0  P  A  1 www.joaoleal.net Professor: João José Leal 18
    • Teoremas 3. A probabilidade do acontecimento contrário A é igual à diferença entre 1 e a probabilidade de A.   P A  1  P  A 4. Probabilidade da reunião de dois acontecimentos P  A  B   P  A  P  B   P  A  B  www.joaoleal.net Professor: João José Leal 19
    • Probabilidade Condicionada (Regra de Bayes) Bayes) Dos 100 alunos que frequentam um centro de explicações, 40 têm explicações de Matemática, 25 de Física e 5 de Matemática e Fí i Física. No diagrama de Venn seguinte está representada a situação: Onde, M = {alunos que têm explicações de Matemática} F = {alunos que têm explicações de Física} C = {alunos que frequentam o centro de explicações} Encontra-se um dos 100 alunos ao acaso. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 20
    • 1. Qual é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática e Física? 5 P( M  F )  100 2. Numa sala encontram-se os 25 alunos que têm explicações de Física. Seleccionando, ao acaso, um destes 25 alunos, qual a probabilidade d este t t bé explicações d M t áti ? b bilid d de t ter também li õ de Matemática? Ou seja, é a probabilidade de ele ter explicações de Matemática dado que (ou sabendo que) tem de Física. Assim sendo, 5 P( M  F ) 100 5 100 5 1 P( M / F )       P( F ) 25 100 25 25 5 100 www.joaoleal.net Professor: João José Leal 21
    • Podemos calcular a Probabilidade do seguinte modo: Partimos de dois acontecimentos A e B Representando se Representando-se por P(A/B) a probabilidade da ocorrência de A A, na hipótese de B se ter realizado, é: P( A  B) P( A / B)  P( B) (Ou seja, pretendemos determinar a probabilidade de A sabendo que se realizou B) www.joaoleal.net Professor: João José Leal 22
    • Acontecimentos Independentes Dois acontecimentos dizem-se independentes se a p ob b d de probabilidade de realização e ç o de u um de es deles não o afecta ect a probabilidade de realização do outro. Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) www.joaoleal.net Professor: João José Leal 23
    • Factorial Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como sendo n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n  2. E por definição : Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , t P teremos : 1! = 1 Exemplos: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 2940 3! = 3.2.1 = 6 Muitas vezes utilizamos uma f M it tili forma mais sintética para nos f ilit i i téti facilitar os cálculos: 11! =11.10.9.8.7! 6! = 6 5 4! 6.5.4! www.joaoleal.net Professor: João José Leal 24
    • Princípio fundamental da contagem - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de n1 maneiras diferentes, a segunda de n2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por T = n1. n2 . n3 . ... . nm www.joaoleal.net Professor: João José Leal 25
    • Permutações Permutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros pela ordem de q g p seus elementos. Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado p n!, isto é por , Pn = n! no exemplo anterior 3!=3.2.1=6 p www.joaoleal.net Professor: João José Leal 26
    • Arranjos sem repetição Dado um conjunto com n elementos , chama se arranjo simples de chama-se taxa p , a todo agrupamento de p elementos distintos dispostos numa certa ordem. ordem Dois arranjos diferem entre si pela ordem de colocação dos si, elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos d t ) j de taxa 2 ab, ac, b b ca, cb. 2: b bc, ba, b b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p por nAp, teremos a seguinte fórmula: n! n Ap  (n  p )! www.joaoleal.net Professor: João José Leal 27
    • Arranjos com repetição Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p por nA’p, sendo estes diferentes ou não teremos a seguinte fórmula: A não, n A n ' p p www.joaoleal.net Professor: João José Leal 28
    • Combinações sem repetição Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p (aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. l t ã l d Exemplo: No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd. c) combinações de taxa 4: abcd. www.joaoleal.net Professor: João José Leal 29
    • Representando o número total de combinações de n elementos tomados p a p por nCp, teremos a seguinte fórmula: n! n! n Cp  p !(n  p )! É fácil mostrar que n  n      p n  p www.joaoleal.net Professor: João José Leal 30
    • Triângulo de Pascal www.joaoleal.net Professor: João José Leal 31
    • Propriedades Do triângulo de Pascal, poderemos retirar que: www.joaoleal.net Professor: João José Leal 32
    • Exercícios www.joaoleal.net Professor: João José Leal 33
    • www.joaoleal.net Professor: João José Leal 34
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