Regresión lineal múltiple
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Regresión lineal múltiple Presentation Transcript

  • 1. Modelo general de regresión lineal múltiple
  • 2. Variables
    • Y :
      • Variable dependiente
      • Variable endógena
      • Variable explicada
    • X j :
      • Variables exógenas
      • Variables independientes
      • Variables explicativas
    Sólo una Al menos una
  • 3. Ejemplo de ilustración
  • 4. Ejemplo de ilustración
    • Y : Ingresos del supermercado
    • X 1 : Habitantes del municipio del supermercado
    • X 2 : Superficie del supermercado (m 2 )
  • 5. Tabla de datos Ingresos (Y) Habitantes (X1) Superficie (X2) 198 70 21 209 35 26 197 55 14 156 25 10 85 28 12 187 43 20 43 15 5 211 33 28 120 23 9 62 4 6 176 45 10 117 20 8 273 56 36
  • 6. Modelo de regresión lineal Ejemplo de ilustración
    • Deseamos explicar los ingresos del supermercado ( Y ), mediante la población del municipio ( X 1 ) y la superficie del supermercado ( X 2 ).
    • Si la relación existente entre las variables fuera de tipo lineal utilizaríamos la siguiente expresión:
  • 7. Modelo de regresión lineal (II) Ejemplo de ilustración
    • Pero la relación entre las variables no es necesariamente perfecta. Por ese motivo añadimos un elemento aleatorio a cada observación:
  • 8. Modelo de regresión lineal (III) Ejemplo de ilustración Renta de los habitantes Medio rural o urbano ... Edad promedio de los habitantes Variables que no hemos considerado
  • 9. Modelo de regresión lineal (IV) Ejemplo de ilustración
    • Es el término constante del modelo y es desconocido.
    • Son los coeficientes desconocidos de la combinación lineal.
    • Es el i-ésimo término de error (desconocido)
  • 10. Modelo de regresión lineal (V) Ejemplo de ilustración
    • Es el término constante del modelo y es desconocido.
    • Son los coeficientes desconocidos de la combinación lineal.
    • Es el i-ésimo término de error (desconocido)
  • 11. Modelo de regresión lineal (VI) Ejemplo de ilustración
    • Es el término constante del modelo y es desconocido.
    • Son los coeficientes desconocidos de la combinación lineal.
    • Es el i-ésimo término de error (desconocido)
  • 12. Modelo de regresión lineal (VII) Ejemplo de ilustración
    • Este sistema de ecuaciónes:
      • Consta de 13 ecuaciones y 16 incógnitas.
      • Tiene infinitas soluciones.
    • Podemos asignar valores arbitrarios a cualesquiera tres incógnitas y calcular las demás.
  • 13. Especificación del modelo Ejemplo de ilustración
    • Así lo haremos:
      • Nuestro objetivo es que los valores de las incógnitas sean lo más pequeños posible.
      • Determinaremos cuáles son los valores más adecuados de los coeficientes del modelo para alcanzar este objetivo.
      • Llamaremos residuos a los valores que toman las incógnitas en la solución del sistema de ecuaciones.
  • 14. Especificación del modelo(II) Ejemplo de ilustración
    • Dicho de otro modo:
      • queremos encontrar valores concretos para las incógnitas a los que llamaremos
      • Estos valores concretos consiguen que los valores de las incógnitas sean lo más pequeños posible.
  • 15. Especificación del modelo(III) Ejemplo de ilustración
    • Para minimizar los residuos de manera global emplearemos la siguiente expresión:
    • Es decir, debemos encontrar los valores de los coeficientes que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos .
    • A este criterio se le llama de los “ mínimos cuadrados ”.
  • 16. Especificación del modelo(IV) Ejemplo de ilustración Deseamos minimizar esta suma
  • 17. Especificación del modelo (V) Ejemplo de ilustración
    • Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones será la siguiente:
      • Las incógnitas tomarán los valores . Estos valores consiguen que los valores de las icógnitas sean lo más pequeños posible.
      • Las incógnitas tomarán los valores
  • 18. Modelo de ajuste lineal Ejemplo de ilustración
    • Después de calcular los valores de los parámetros de la combinación lineal, podremos construir el modelo de ajuste lineal :
    • Los valores calculados para la variable dependiente mediante el modelo de ajuste lineal serán los llamados valores estimados .
  • 19. Modelo de ajuste lineal (II) Ejemplo de ilustración
    • A la diferencia entre los valores observados y los valores estimados para la variable dependiente los llamamos residuos:
  • 20. ¡Cuidado!
    • Es muy importante distinguir los residuos de los errores :
      • Los errores son cantidades desconocidas y aleatorias. Miden el efecto de las variables que no hemos tomado en cuenta.
      • Los residuos , por el contrario, son valores conocidos. Miden las diferencias entre los valores observados y los valores estimados de la variable dependiente.
  • 21. Estimación de los parámetros Ejemplo de ilustración
    • Recordemos:
      • Queremos encontrar unos valores concretos para las incógnitas .
      • Estas estimaciones consiguen que los valores concretos de las incógnitas -a los que llamamos - sean lo más pequeños posible.
  • 22. Estimación de los parámetros (II) Ejemplo de ilustración   Ecuaciones normales (3 ecuaciones, 3 incógnitas)
  • 23. Estimación de los parámetros (III) Ejemplo de ilustración  
    • Empleando matrices:
  • 24. Estimación de los parámetros (IV) Ejemplo de ilustración  
    • En nuestro ejemplo de ilustración:
  • 25. Caso general
  • 26. Modelo de regresión lineal Caso general
    • Cuando tenemos más de dos variables explicativas:
    • Empleando matrices:
  • 27. Modelo de regresión lineal (II) Caso general
  • 28. Modelo de regresión lineal (III) Caso general
    • Podemos expresar el modelo de regresión lineal de un modo más sencillo:
    Modelo de regresión lineal n ecuaciones n+k+1 incógnitas
  • 29. Modelo de regresión lineal (IV) Caso general
  • 30. Especificación del modelo Caso general
      • Nuestro objetivo es conseguir que los valores de las incógnitas sean lo más pequeños posible.
      • Buscaremos los valores de los coeficientes del modelo que resulten los más adecuados de cara a cumplir con el objetivo planteado.
      • A los valores que en la solución del sistema de ecuaciones toman las inógnitas los llamaremos residuos.
  • 31. Especificación del modelo (II) Caso general
    • Expresado de otro modo:
      • Deseamos encontrar un vector , que es un valor concreto del vector .
      • Este vector concreto consigue que los valores de las incógnitas sean lo más pequeños posible.
  • 32. Esepecificación del modelo (III) Caso general
    • Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones será la siguiente:
      • El vector tomará el valor . Este valor del vector consigue que el valor del vector sea mínimo.
      • El vector tomará el valor
  • 33. Especificación del modelo (IV) Caso general
    • Para minimizar los residuos de manera global emplearemos la siguiente expresión:
    • Es decir, tenemos que encontrar los valores de los coeficientes del modelo que hacen mínima la suma de los cuadrados de los residuos.
    • A este criterio se le da el nombre de “ criterio de los mínimos cuadrados ”.
  • 34. Modelo de ajuste lineal Caso general
    • Cuando tenemos más de dos variables explicativas:
    • Empleando matrices:
  • 35. Modelo de ajuste lineal (II) Caso general
    • Podemos expresar el modelo de ajuste lineal de una forma más sencilla:
    Modelo de ajuste lineal
  • 36. Modelo de ajuste lineal (III) Caso general
  • 37. Modelo de ajuste lineal (IV) Caso general
    • El valor estimado de la variable dependiente para un individuo será el siguiente:
    • Con:
  • 38. Estimación de los parámetros Caso general
    • Recordemos:
      • Queremos encontrar un vector de valores concretos para el vector .
      • Este vector debe ser tal que minimice globalmente los residuos.
  • 39. Estimación de los parámetros (II) Caso general
    • Teniendo en cuenta que:
    • Derivando respecto a B:
  • 40. Estimación de los parámetros (III) Caso general
    • Igualando la derivada a cero:
    • Si la matriz es no singular:
  • 41. Estimación de los parámetros (IV) Caso general
    • ¿La solución que se ha encontrado consigue minimizar la SCR?
    • Supongamos que es otra solución. Entonces:
  • 42. Datos centrados
  • 43. Modelo de ajuste Datos centrados
    • Cuando las variables explicativas toman sus respectivos valores promedio el valor estimado para la variable dependiente es su media:
    • Es decir, el hiperplano del modelo de ajuste pasa por la media de las variables.
  • 44. Modelo de ajuste (II) Datos centrados
    • Por lo tanto podemos escribir el modelo de ajuste lineal de otro modo:
    • O empleando matrices:
  • 45. Modelo de ajuste (III) Datos centrados
    • Con:
  • 46. Estimación de los parámetros Datos centrados
    • Recordemos:
      • Para encontrar el vector debemos minimizar de manera global los residuos.
  • 47. Estimación de los parámetros (II) Datos centrados
    • Teniendo en cuenta que:
    • Dervando respecto a B:
  • 48. Estimación de los parámetros (III) Datos centrados
    • Igualando a cero la derivada anterior:
    • Si la matriz es no singular:
  • 49. Modelo de ajuste lineal Datos centrados
    • Si trabajamos con datos centrados:
    • y:
  • 50. Modelo de ajuste lineal (II) Datos centrados
    • Con:
  • 51. Modelo de ajuste lineal (III) Datos centrados
    • Para obtener el término constante utilizaremos la siguiente expresión:
    • Por lo tanto:
  • 52. Datos centrados
    • Trabajar con datos centrados supone una gran ventaja:
      • Con datos originales, la dimensión de es ( k +1, k +1).
      • Con datos centrados, la dimensión de es ( k , k ).
    • Por lo tanto, el cálculo de la matriz inversa es más sencillo en el caso de la matriz .
  • 53. Matriz de varianzas y covarianzas
  • 54. Matriz de varianzas y covarianzas
  • 55. Matriz de varianzas y covarianzas
  • 56. Matriz de varianzas y covarianzas
  • 57. Modelo de ajuste lineal Matriz de varianzas y covarianzas
  • 58. Modelo de ajuste Datos centrados