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我的数学之路(丘成桐)
 

我的数学之路(丘成桐)

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    我的数学之路(丘成桐) 我的数学之路(丘成桐) Presentation Transcript

    • 我的數學之路 丘成桐教授 哈佛大学 中国科学院 浙江大学 二零零四年三月二十日
    • 我在香港的郊區 ── 元朗和沙田 ── 長大。 那裏沒有電,也沒有自來水。小時候就在河 中洗澡。家中有八兄弟姐妹,食物少得可 憐。五歲時參加某著名小學的入學試,結果 沒考上。原因是用了錯誤的記號,如把 57反 寫成75,69反寫成96等。
    • 我只能上一所小小的鄉村學校。那裏有很多 來自農村的粗野小孩。受到這些小孩的威 嚇,加上老師處理不善,不到一年,我便身 患重病。在家中養病的半年,我思索如何跟 同學老師相處。升上小六時,我已經是一群 小孩的首領,帶著他們在街頭亂闖。
    • 家父是位教授。他教了我不少中國文學。可 是,他並不知道我曾曠課好一段日子。 ﹙ 或 者這是因為我在家中循規蹈矩,他教授的詩 詞我也能背誦如流。 ﹚ 逃學的原因是老師不 怎樣教學,在學校悶得發慌,不久連上街也 覺得無聊了。當時香港有統一的升中試。我 考得並不好,但幸好分數落在分界線上。
    • 政府允許這些落在分界線上的學生申請私立 中學,並提供學費。我進入了培正中學。培 正是一所很好的中學。中學生涯的第一年乏 善可陳。我的成績不大好,老師常常對我很 生 氣 。 大 概 剛 從 鄉 村 出 來 ,“ 野 性” 未 改 吧 。 我熱中於養蠶、養小魚,到山上去捉各種小 動物。沙田的風景美麗清新,在大自然的懷抱裏, 倒是自得其趣,到如今還不能忘懷。
    • 當時武俠小說盛行,我很喜歡讀這些小說, 沒有錢去買,就向鄰居借。父親不贊成我讀 這些小說,認為膚淺,但我還是偷偷去看, 也看了各種不同的章回小說如七俠五義、說 岳全傳、東周列國志等雜書。
    • 父親從我小學五年級教我詩詞、古文和古典 小說如三國演義、水滸傳、紅樓夢、西廂記 等。父親堅持我在看這些小說時,要背誦其 中的詩詞。當時雖以為苦,但順口吟誦,也 慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說 来得刺激。
    • 但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中 國古典文學深深影響了我做學問的氣質和修 養。近代的作品,如魯迅的也有閱讀。記憶 深刻的︰ 「路是人行出來的,自己的路更要 自己去走。」
    • 我們家中常有父親的學生來訪,往往興高采 烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學,雖然 我對希臘哲學不大了解,但卻對它留下深刻的印 象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做 學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法 的討論使我莫名其妙,但是久而久之,竟然引起了 我對自然科學的興奮。西方的作品如浮士德、戰爭 與和平等文學著作,雖有接觸,但遠不如中國文學 對我的印象深厚。
    • 我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤 其著迷。這不僅是由於其文字優美、音調鏗 鏘,還是因為它敘事求真,史觀獨特。直到 現在,我還不時披閱這書。史學大師駐足高 涯,俯視整個歷史,與大科學家的思入風 雲,干宇宙之奧秘遙相呼應。
    • 在當時讀這些文章,大多部份不能夠領會,尤其困難的是讀 馮友蘭寫的新原道和新原人,但是重複的去讀,總有點收 穫。 晉  陶淵明 好讀書,不求甚解, 每有會意,便欣然忘食。 其實在做科學時,也往往有同樣的經驗,讀書只要有興趣, 不一定要全懂,慢慢自然領會其中心思想,同時一定要做 到︰ 不戚戚於貧賤,不汲汲於富貴。 這是古人的經驗,陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質,深得 自然之趣,我們做科學的學者也需要得到自然界的氣息,需 要同樣的精神。
    • 在以後的日子裏,我都以此作為原則,以研 讀學問為樂事,不以為苦。在父親的循循善 導下,我開始建立我對人生的看法。 到如今,我讀史記至以下一段時,仍然使我心志清 新︰ 司馬遷 孔子世家贊 天下君王至於賢人,眾矣! 當時則榮,沒則已焉,孔子布衣, 傳十餘世,學者宗之。
    • 假如我們追求的永恆的真理,即使一時的挫折,也不覺灰心。 韓愈 苟余行之不迷,雖顛沛其何傷。 我讀左傳,始知有不朽的事情。 左傳 叔孫豹論三不朽 太上有立德,其次有立功,其次有立言, 雖久不廢,此之謂不朽。 以前我以為立德跟立言沒有關係,但是數十年的觀察才知道 立德的重要性。立德立功立言之道,必以謙讓質樸為主。
    • 我有一個學生在南京大學電視台訪問自炫 ︰ 「會當凌絕頂,一覽眾山小」,真輕妄浮誇 之言。其實遠山微小,越近越覺其宏大。往 往眾人合作才能跨過困難的地方,在沒有嘗 試創作性的學問時,才會說這種膚淺的說話。
    • 在培正的第二年,我多言多動,老師要記我 小過。她是我的班主任,責任心強,誠然是 為我好。當她知道家父是位教授,但卻拿著 微薄的薪酬後,大為震動。此後在她悉心栽 培下,我在課堂上規矩多了。 就在這年,我們開始學習平面幾何。
    • 同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常 聽父親談論哲學,對利用公理進行推導的做 法,我一點也不覺得見外。 學習幾何後,我對父親的講話,又多明白了 幾分。利用簡單的公理,卻能推出美妙的定 理,實在令人神往。
    • 對幾何的狂熱,提高了對數學 ──包括代數 ──的鑑賞能力。當你喜歡某科目時,所有 有關的東西都變得淺易。 我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作 一整體觀。 事件是如何發生的? 到底是甚麼原故? 將來會如何?
    • 就在這時,父親完成了他的西方哲學史。他 跟學生談話,總是說應整體地看歷史。這種 觀念深深地影響了我。 這種想法,在往後的日子中,指引我去尋找 研究項目。 父親的書對我有很深的影響。
    • 書中第一頁的引言 ︰ 文心雕龍 諸子 身與時舛,志共道申。 標心於萬古之上,而送懷與千載之下。 這是何等的胸襟。
    • 哲學史的目的有三, 一曰求因,哲學思潮其源甚夥,必先上溯 以求之。 二曰明變,往昔哲學思想交纏屈結,故重 理其脈絡,是為要務。 三曰評論,所有思潮及其流派,皆一一評 論,作警策精闢之言。 這三點和自然科學的研究有密切的關係,再 加上創新,則可以概括研究的方法了。
    • 十四歲時,父親便去世了。這或許是我一生 中最大的打擊。在一段頗長的日子裏,對父 親離開了我和家人的事實,我都不能置信。 家中經濟,頓入困境,我們面臨輟學。幸得 母親苦心操持,先父舊交弟子的援手,我們 才倖免如此。
    • 家中遽變,令我更成熟堅強。困境中人情冷 暖,父親生前的教導,竟變得真實起來。以 前誦讀的詩詞古文,有了進一步的體會。 我花了整整半年,研習古典文學和中國歷 史,藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人 欣賞自然之美。
    • 我閱讀了大量數學書籍,並考慮書中的難題。當這些難題都 解決掉後,我開始創造自己認為有挑戰性的題目。 由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學 校的課本已經不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。 我花了許多時間打書釘,閱讀那些買不起的書本。我讀了華 羅庚先生寫的很多參考書,無論在分析或數論上的討論,都 漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題,例如陳明哲寫的一些 小冊子,一般來說,我會比課程早一個學期做完所有的習 題,所以聽數學課是一程享受。
    • 打從十五歲起,我開始替低年級學生當家 教,以幫補家計。我找到一些巧妙的方法, 使成績低劣的孩子搖身變成優等生,為此我 覺得有點飄飄然。 我積累了教導年青人的經驗,同時也體會到 教學相長的道理。
    • 我們的數學老師十分好。他教授的內容,比 課程要求來得艱深,但我覺得絲毫不費氣 力。其實我的同學們雖然叫苦,但是總的來 說,數學都不錯,這叫做取法乎其上,得乎 其中。 近代數學的教學方法,恐怕適得其反,取法 乎其中,得乎其下。
    • 當時我們的物理老師不太行,對此不無失 望。中學時養成不了物理上的基本直觀,至 今於心還有戚戚焉。 國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。 他教導我們思想要不落俗套。
    • 國文教師說思惟要自出機杼,讀好書之餘, 爛書也無妨一讀,以資比較。因此我甚麼書 都啃。他這種觀點,就是放諸我日後的科學 生涯中,也有其可取之處。 作文堂的一個典型題目︰ 豬的哲學觀 於是大伙兒興高采烈,自由發揮。 在班裏我並非名列前茅,數學科的等級也不見得最 高。但我比同班諸子想得更深,書也讀得更多。
    • 中學讀書,除數學外,真正對我前途有影響的是國 文和歷史。 現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的 是立志,覺得做學問是一輩子的志願。 典論 論文 曹丕 蓋文章,經國之大業,不朽之盛事。年壽有 時 而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期,夫若文章 之無窮。是以古之作者,寄身於翰墨,見意於篇 籍,不假良史之辭,不託飛馳之勢,而聲名自傳於 後。
    • 立志之後,必需培養興趣,而做習題和思考 是不二法門 ︰ 論語 學而時習之,不亦樂乎。 學而不思則罔,思而不學則殆。 楚辭 路曼曼其修遠兮 吾將上下而求索
    • 做學問要有興趣,才能深入,但追求學問的道路曲 折有致,必須要有毅力,才能持久。 楚辭 亦余心之所善兮 雖九死其猶未悔 抽思 惟郢路之遼遠兮 魂一夕而九逝
    • 在中學和大學的教育中最重要的一環是 ︰ 培養氣質 孟子︰我知言,我善養吾浩然之氣。 曹丕︰譬諸音樂,曲度雖均,節奏同 檢,至於引氣不齊,巧拙有素,雖在父 兄,不能以移子弟。 岑參︰性靈出萬象。
    • 但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷 雅志。 汪中︰撫弦動曲,乃移我情。
    • 做學問,無論是自然科學或文學都有氣質的 問題,從文章中,往往可以看出作者的修養。 古代注重音樂,從樂聲中可以看見國家的盛 衰,也是同樣的道理。
    • 季札觀樂 ﹙左傳﹚ 吳公子札來聘,請觀於同樂,使工為之歌周南 召 南。曰美哉,始基之矣。猶未也,然勤而不怨矣 …… 為之歌鄭,曰美哉,其細已甚。民不堪也,是 其先 亡乎。 為之歌齊,曰美哉,泱泱乎,大風也哉。表東 海 者,其太公乎 …… 為之歌大雅,曰廣哉,熙熙乎,曲而有直體, 其文 王之德乎。
    • 在培養氣質上,師友的關係至為重要。 韓愈 師者,傳道授業解惑者也。 論語 三人行,必有我師焉。
    • 在與師友相交之際,言必及義,而最重要的善於發問。 善問者如叩鐘,問之大者則大鳴,問之小者則小鳴。 中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是 屈原的天問篇︰ 遂古之初,誰傳道之,上下未形, 何由考之……。日月安屬,列星安陳。 以後的學者很少有這種精神,可能是科學不發達的一個 原因。
    • 善於發問後,才能尋找到自己志趣所在,才能夠擇 善而固執之。 楚辭 民生各有所樂兮 余獨好修以為常 雖體解吾猶未變兮 豈余心之可懲 涉江 苟余心其端真兮 雖僻遠之何傷
    • 很多同學開始時讀書讀得很好,以後就灰心了,不求上進,一方 面是基礎沒有打好,又不敢重新再學,一方面是跟師友之間的關 係沒有搞好,言不及義,得不到精神上的支持。有些則名利薰 心,不求上進。我有些學生畢業時很踏實,受到表揚,就以為自 己了不起,事實上學問還沒有成熟就凋謝了。 離騷 何昔日之芳草兮, 今直為此蕭艾也。 豈其有他故兮, 莫好修之害也。
    • 以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考︰ 韓愈 答李翊書 始者非三代兩漢之書不敢觀,非聖人之志不敢存, 處 若忘,行若遺,儼乎其若思,茫乎其若迷。當其取於心而注 於手也,惟陳言之務去,戛戛乎其難哉!…… 於手也,惟陳言之務去,戛戛乎其難哉!…… 其觀於人也,毀之則以為喜,譽之則以為憂,以其 猶有 人之說者存也。如是者亦有年,然後浩乎其沛然矣。吾又惧 其雜也,迎而距之,平心而察之。其皆醇也,然後肆焉。雖 然,不可以不養也。行之乎仁義之途,遊之乎詩、書之源, 無迷其途,無絕其源,終吾身而己矣。
    • 一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱 著濃厚的興趣,我還是選擇了數學作為我的 事業。 就在這時,中學時唸的高等數學漸漸消化, 開始時還不大懂,但一下子全都懂了。我比 班中同輩高明不少。
    • 大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都 可以嚴格的建立起來,著實另人興奮萬分。當我了 解數學是如此建構後,我寫信給教授,表達我的喜 悅。這是本人賞析數學之始。 一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港,他名叫史提 芬沙拉夫﹙Stephen Salaff﹚。他對我大為讚賞, 我們合寫了一本有關常微分方程的書。
    • 另外一位老師布狄 ﹙Brody﹚來自普林斯 頓。他有一套獨特的教學法。他找來一本高 深的數學著作,然後要求學生在書中找尋錯 誤,並提出改正的方法。 這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時 也訓練了我對書本上定理採取存疑的態度。 我有時將某些定理推廣了,在課堂上說出 來,他聽了很高興。
    • 這些教導的重要性在於 ── 培養成獨立思考的習慣 ── 在人前表達數學同時在表達數 學的時候,找出自己的弱點,與同學和老 師一同切磋。 這不論對自己或對自己日後的教學都十分要 緊。
    • 古人說學無常師,其實教亦無常法,有之,因人而 施教也。 孔門弟子問仁,孔子對每個人有不同的回答方法, 而孔門弟子因此各有所長。 孔子教學有禮樂射御書數。 西方Plato教學有幾何、數論、天文和音樂,合稱 數學。 古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。
    • 現代社會需要政界和工商業的領袖,也需要大量的 工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級,訓 練他們可能有不同的層次。 但是有一點很重要的︰作為一個知識份子必需要具 有推理的能力。 自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。 在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理 系統。熟習證明使我們思考清晰。
    • 良好的中學教科書,必需要包含公理系統的 學習。平面幾何的本身可能沒有用途,但是 它的方法卻是最重要的。 正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要, 但我們要學他的文字的應用,書寫流暢的做 法。 學習需要融匯貫通,更需要博聞強記。
    • 有些人以為數學每一步都可推理,不宜強 記,這是極為可笑的說法,我還沒有親眼看 過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做 研究的時候,我們不能不記憶前人或近人的 工作,使我們能夠向前作新的研究。
    • 往往記熟某一門技巧後,我們會突然融匯貫 通,所以多做習題是很緊要的事,假如能夠 讓學生在課堂上有所表現,不單老師對他們 瞭解,他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。
    • 學生既要強記,亦要貫通,兩者能混而為一乃是絕 妙之處。 同一個問題,可能有超過很多個不同的解法,學生 能用不同的方法解題,值得鼓勵。譬如來說,畢氏 定理是數學中最基本的定理,古往今來有無數的不 同證明,能夠舉出一些不同的證明,會讓學生瞭解 不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發 展,往往起源於用不同的手法解決同一的問題,所 以不可少看這些不同的證明。
    • 數學既可以實用,亦獨立為一至為美麗的學科,習 題可以重視實用,但絕對要討論看來無用但美麗的 工作,重要的數學的發展可以從實用而形成,也可 以追求純美而成功,要注意的是 ︰所有重要的實用 數學都建基在純美的數學上。 數學家和數學是分不開的,能夠多談數學歷史和數 學家的經歷,會對培養學生的興趣有極大的幫助。
    • 一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成 功的教科書,可以講故事 ﹙數學家的故事、創造 這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫 的數學、阿拉伯的數學,都是有意思而影響著近 代數學家思維的常識。 ﹚,可以跟其他學科如物 理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討 論。 能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。
    • 雖然只讀了三年大學,已經完成了大學的課程。在沙拉 夫教授的幫助下,我進入了柏克萊的研究院。柏克萊的 數學系當時在世界數一數二。我八月入校,便認識了陳 省身教授。他後來成為我的論文導師。 在香港時我醉心於極度抽象的數學 ﹙當然我的分析功夫 也很紮實 ﹚,覺得數學愈廣泛愈好。我打算唸泛函分 析,已經學了不少這方面的東西,包括丹福一史華滋有 關的巨冊,還有不少有關算子代數的書。 到柏克萊後,認識不少卓越的學者,我的看法改變了。
    • 我如飢似渴地從他們處學習不同的科目。從早上八 時到下午五時我都在上課 ﹙有時在班上吃午飯 ﹚ 。 這些學科包括拓樸、幾何、微分方程、李群、數 論、組合學、概率及動力系統。我並非科科都精 通,但對某幾門學問格外留神。 學拓樸時,發現跟以前學的完全不同。班上五十 人,每個人看來都醒目在行,比我好多了。他們表 現出色,說話條理分明。
    • 於是我埋首做好功課,不久之後,我發現自己畢竟也不 賴。關鍵是做好所有棘手的題目,並把這些題目想通想 透。 我讀了約翰米拿 ﹙John Milnor﹚的一本書,對裏面 講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學 者。 我開始思考與這書有關的問題,並大部分時間呆在圖書 館。當時研究生並沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少, 然而不久之後,我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書 館裏我讀了不少書藉和期刊。
    • 在柏克萊的第二個學期,我漸漸能證出一些 不簡單的定理。這些定理與群論有關。在崇 基時,我跟老師聊天時曾談及有關的內容, 我現在把它用到幾何上去。教授都為我的進 展而驚訝不已,欣慰非常。其中一位教授開 始與我合作,寫了兩篇論文。陳省身教授其 時正在放年假。當他回來時,對我的表現甚 為嘉許。
    • 縱然如此,對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授 ﹙Charles B. Morrey﹚有關非線性偏微分方程的 Morrey﹚ 課, 另人難忘。他教授的非線性技巧,當時並不流行。 他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧 十分深奧,對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心 地學習這些技巧。雖在盛名之下,聽他課的學生同 事都不多。到學期終結時,我竟成為他班上唯一的 學生。他索性就在辦公室裏授課了。這科目後來成 為我數學生涯的基石。
    • 完成幾篇文章後,陳教授到處說我是何的出 色,雖然他對我的工作認識不深。我開始全 盤地思考數學,尤其是幾何。我也試圖去研 究幾何學的其它問題,可是進度緩慢。 這年夏天老友鄭紹遠從香港來了,我們在校 園旁租了一所 〝柏文〞,心情更加開朗了。
    • 就在這個夏天,我請求陳教授當我的論文導師,他 答應了。約一個月後,他告訴我,我在一年級時的 文章,已夠格作為畢業論文。我有點悶納,心想這 些工作還不夠好,而且我還希望多學點東西。 就這樣,在第二個學年中我學了不少複幾何及拓 樸。陳師對我期望甚殷,他提議考慮黎曼猜想。十 分遺憾的是,到目前為止,我還沒有想過它。
    • 代而之者,我嘗試去了解空間的曲率。我確 認卡拉比﹙E. Calabi ﹚在五十年代作出的某 Calabi﹚ 建議,會是理解這概念的關鍵。當時我不認 為卡拉比是對的。我開始對此深思苦想。這 並不是個當代幾何學者研究的標準課題,明 顯地,這是分析學上的一道難題,沒有人願 意跟它沾上邊。
    • 我漸漸養成把分析作為工具引進幾何中的志 趣。在此之前,曾有人把非線性理論用於三 維空間的曲面上。但我考慮的,卻是任意維 數的抽象空間。 由於摩里教授及陳師對極小曲面的興趣,我 亦對這項目深深著迷。對調和映照尤其情有 獨鍾,並因此鑽研了變分法。
    • 我對幾何中的所有分析內容都感興趣。簡而 言之,就是要把非線性微分方程和幾何融匯 成一體。要了解非線性方程,就必須先了解 線性方程。因此我建立了在流形上調和函數 的主要定理。在我的影響下,鄭紹遠研究了 有關的特徵值及特徵函數等問題。我們合作 寫了幾篇重要文章,到而今還是這項目的基 礎。
    • 畢業時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研 究所,那兒的薪水不及哈佛提供的一半。但我 還是到那兒去了。在高等研究所我認識了其它 科目出色的數學家。同時提升了對拓樸,尤其 是空間對稱理論的鑑賞力。事實上,利用分析 的想法 ﹙在流形上的群作用 ﹚,我解決了這科 目的一些重要課題。
    • 由於簽証的問題,我到了紐約石溪分校。當時石溪 是尺度幾何的重鎮,事實上那兒真的不錯,聚集了 一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧,但 並不認為那是幾何的正確方向。 一年後我到了史丹福,當時那裏並沒有幾何學者。 史丹福環境安寧,非線性偏微分方程很出色。在那 裏我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們 一起拓展了在幾何上的非線性分析。
    • 晉  陶淵明 久在樊籠裏,復得返自然。
    • 我剛到史丹福時,一個幾何大會正在舉行。 有位物理學家應邀就廣義相對論發言。 當時我對物理還不算在行。但對他提及有關 相對論的一個幾何問題卻一見傾心。賦予空 間的數學解釋,與空間物理導出數學問題, 兩者皆令人神往。
    • 這問題當時對我而言,還是遙遠不可及。但 我對它念念不忘。 在會議期中,我找到了一個辦法,去反證卡 拉比的提議。我發表了我的想法,反應似乎 不錯,沒人提出異議。人們都鬆了口氣,畢 竟大家都猜對了,卡拉比猜想是不對的。
    • 兩個月後,卡拉比教授寫信給我,釐清了我 的一些想法。 我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研 究生涯中,這可說是最痛苦的經歷了。我輾 轉反側,不能成眠。
    • 差不多兩個星期都失眠,眼見名譽因犯錯 ﹙雖然我沒把想法成文發表 ﹚而毀於一旦。 經過反覆仔細審閱每個步驟後,我相信問題 反過來才對。為卡拉比猜想舉出反例,其論 據是先假設它是對的,然後考慮其後果。數 年後,當我解答了這個猜想,很多有關的自 然推論就水到渠成了。
    • 意識到卡拉比猜想是對的後,我便朝著正確的方 向邁進。在準備最後的證明前,需要大量的準備 工作。我和鄭紹遠合作研究蒙奇 ─安培方程、仿 射幾何、極大曲面等相關問題。與孫理察合作搞 調和影照,與孫理察和李安西門搞極小曲面。在 短短兩年裏,我們於與幾何有關的非線性分析, 碩果纍纍。這是幾何學的黃金時代。
    • 屈原 固余心之所善兮, 雖九死而猶未悔。
    • 新婚伊始,我找到完成卡拉比猜想的正確想法。 我終於掌握了凱勒 ﹙Kahler﹚幾何中的曲率了。 一些老大難的代數幾何問題,都因卡拉比猜想的 證明而解決掉。 當時我認為我首先瞭解到 Kahler幾何的曲率結構 後,有物我相融的感覺 ︰ 落花人獨立 微雨燕雙飛
    • 2003年9月2日 紐約時報 宇宙一懸案 眾人答案殊 弦理論中的一個困難在於它要用十維的時空來描述, 而我們生存的空間只有四維而已。史創敏格 ﹙ S t r o m in g e r ﹚ 博士回憶起他在找到數學家丘成桐博士 的一份論文時的萬分喜悅之情。丘博士現在任教於哈 佛大學及香港中文大學。在這篇文章裏他證明了尤金 尼奧   卡拉比 ﹙ Eugenio Calabi﹚ 博士提出的猜想。卡拉 Calabi﹚ 比博士現已從賓夕凡尼亞大學退休。猜想指出這些額 外的維數雖然不可捉摸,但在微觀下可以想像它們卷曲起來, 就像地毯的小毛圈。
    • 完成卡拉比猜想的證明後,我看出自己建立 了 融 合 兩 門 重 要 科 目─ ─ 非 線 性 偏 微 分 方 程 和幾何── 和幾何──的架構。 一九七六年我在UCLA碰見老友麥克斯 ﹙Meeks ﹚,他是我在研究院時的同學。他的 景 況 不 大 好 。M e e k s 是 位 具 原 創 性 的 數 學 家 , 我向他提議合作,試圖把極小曲面和三維流 形的拓樸聯繫起來。
    • 結果成績斐然。我們解決在這兩門科目中的 兩個經典難題 ︰ 1.當一塊肥皂膜的邊界是凸時,膜面不能自相 交。 2.史密斯猜想的證明,這是與霍斯頓 ﹙Thurston﹚工作結合的成果。 Thurston﹚ 一旦把方向校正了,很多古典問題便能迎刃 而解。
    • 次年,我回到柏克萊訪問,並組織了 “幾何上 非線性問題 ”的研討班。孫理察和鄭紹遠都在 那兒。和理察一起,我們終於解決了那個使 我念念不忘的有關廣義相對論的難題。 這道難題叫做正質量猜想,它在廣義相對論 中佔基本的地位。 ﹙只有當質量為正時,時 空才能穩定。 ﹚
    • 一九七八年我又回到史丹福。和蕭蔭棠一 起,我們利用極小曲面作為工具,解決了複 幾何上有名的法恩科﹙Frenkel ﹚猜想。我也 利用了調和映照作為工具去研究離散的群對 稱。這些想法,迄今仍有其價值。 利用我們在廣義相對論的工作,孫理察和我 研究了具正純量曲率的流形的結構。
    • 一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何 年。差不多所有幾何學家都來了。我們為幾 何學釐定了發展的方向。我提出一百條在幾 何裏的有趣問題。到目前為止,有的已經解 掉了,但有的還是迄立不動。 七十年代確是幾何學的豐收期。
    • 到了七十年末期,我在數學界可說是略有名 望。對於我解決的難題,媒體也有廣泛報導。 然而,認為我的奮鬥目標是獎項,是成名成 家,那就不對了。這些都不是本人研究的首要 目標。 我對數學的興趣,源於人類智能足以參悟自然 的欣喜。從幾何上看,大自然的美是永恒不朽 的。
    • 與朋輩如孫理察、西門、鄭紹遠、麥克斯 ﹙Meeks﹚ 、烏蘭貝克 ﹙K . Uhlenbeck﹚ 、 漢 密爾頓﹙R. Hamilton﹚,和稍後的當勞遜﹙ . S Donaldson﹚、塔貝斯﹙H. Taubes﹚、惠斯 根 ﹙G . Huisken﹚ 等人的共同努力下,幾何上 的 非線性分析已匯成大流。它於探討自然之美 中的作用不容低估。晚近的進展更顯示它在
    • 當幾個重要領域 ── 幾何、非線性分析、代 數幾何、數學物理──自然地融合在一起 後,經典的老大難題便會迎刃而解。解決難 題可以視為人們理解大自然的路燈柱。
    • 但是幾何學實在超越了科學家的想象,它日新月 異,觀念層出不窮,偉大的數學家高斯曾說 ︰ C. F. 高斯 (1817) “ 竊意以為幾何之本,其真偽實非人類心智所能證 明,亦非人類心智所能理解者,余意於此,日久邇 堅。此等空間之屬性,莫測高深,後之來者,或有 灼見,得窺堂奧。惟今之世,吾輩宜視幾何學與純 先驗之算術為殊途,宜彼與力學並列也。 ”
    • 在過去十年間,我和合作伙伴正在致力研究 基本物理在幾何中的作用。為了從物理中掌 握動機後面的直觀,我花了不少時間參加物 理系辦的研討班。在與理論物理學家的交往 中,我們獲得了一些數學上深刻的定理。 其中重要的概念是所謂對偶性。
    • 對偶性這概念,優美典雅。它指出在某理論 中的強作用等同於另一理論中的弱作用。 這與中國道家或陰陽有不少共通之處。但對 偶性嚴格得多,同時它是定量的。利用它我 們可以算出某些數學量。如果用其它方法來 進行,那是極度困難的。
    • 為數學而數學,實屬顯然,何須三思。 於無用諸物理學之種種數學理論,均需 一視同仁,與其它理論無分軒輊。 - 彭加箂
    • 使余復稚年,童蒙初習,則願從柏拉圖 之教晦,自數學始。 - 伽里略
    • 關於香港數學課程的評論,在上述個人 的經歷中,我已經指出我在香港受到良 好的數學教育,但是由我接觸到的香港 學生和教育工作同事的談論中,我發覺 香港的數學教育質素,與當年的名校相 比,質素有明顥的下降。
    • 一方面注重普及教育,在有意和無意間,將 有興趣和有意義的數學教育忽略。即使學生質素良 好,只是學習淺易的課題,既無挑戰性又無興趣, 慢慢就喪失學習的目標,而自暴自棄。在九零年 代,香港很多好的中學生高中到外國留學實在不 少,但是即使留學的中學生,大多不想念研究院, 與五零年代到八零年代中葉大不相同,留在香港讀 大學的學生,對基本科學的興趣也極為缺乏。
    • 但是這三年來香港學生開始對學問又重 新拾起興趣,但是太過注重普及教育, 而不教育美麗而能夠幫助訓練學生邏輯 的幾何學,是一個很大的錯誤。
    • 數學裏面種種的分枝,如概率論、線性 方程組、微積分、代數和它們在物理 學、工程學和經濟學上的應用都應當使 學生有所接觸,更重要的是要求他們做 習題,融會貫通的唯一方法是多學多思 考多討論,並多接觸課外書。
    • Thank you all!