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FACULDADE DE CIÊNCIAS APLICADAS DR. LEÃO SAMPAIOCURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS ECIÊNCIAS CONTÁBEISPROFESSORES: FLAVIO ME...
ÍNDICE1. JUROS E DESCONTOS SIMPLES 032. JUROS COMPOSTOS 133. DESCONTO COMPOSTO 264. RENDAS 315. EMPRESTIMOS 436. FUNÇÕES F...
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2.2. Cálculo do valor de (1 + i)nnão tabeladoQuando o valor da expressão (1 + i)nnão for fornecido diretamente pela tábua ...
X = 0,058196(1,055)8= 1,477455 + 0,058196(1,055)8= 1,535652F = 1.000,00 x 1,535652F = 1.535,65EXEMPLO (com n não tabelado)...
Taxas proporcionaisQuando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem.Exemplo: a) A tax...
i2 = 12,1 −i2 =1,0954-1i2 = 0,0954 ou 9,54% ao semestre2- Qual a taxa anual equivalente a 6% ao trimestre?ik = 0,06k = 4i ...
EXERCÍCIOS PROPOSTOS1. Qual o montante de um capital $6.000,00 aplicados a juros de 36% a.a. capitalizadosmensalmente dura...
20. Qual a taxa anual de juros que capitalizado semestralmente, faz com que um capital de$2.500,00 produza $2.000,00 em 3 ...
A taxa real(r) de juros é aquela paga realmente na operação financeira.A taxa de inflação(t) é a correção monetária, ou se...
)10,01()24,01()1(++=+ r ⇒ 1)10,1()24,1(−=r ⇒ r = 1,127273-1 ⇒ r = 0,127273r = 12,73% a.a.3- Uma instituição financeira pag...
18% 8% - Resp.:9,26%21% - 3% Resp.: 17,48%13% 5% - Resp.: 7,62%4 – Qual montante de uma aplicação de $ 1.000,00?a) 2,34% a...
4. Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram $10.000,00 de juros ao fim de 5 anos, sea taxa de juros for de:a) 4% ...
10. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a.Se o investidor souber de ou...
CAPÍTULO III3. DESCONTO COMPOSTOEntende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um titulo ...
F = P (1 + i)n⇒ 9.000,00 = 6.800,00 (1 + 0,04)n⇒ 6.800 x (1,04)n= 9.000 ⇒(1,04)n=800.6000.9⇒ 1,323529 F/P(4%,n) = 1,323529...
Estabelecendo a taxa de 18% a . a. com capitalizações semestrais para o desconto, calcular o valordesses pagamentos.a) Res...
X0 + X1 + X2 = 300X + X(0,943396) + X(0,889996) = 300X (1+0,943396 +0,889996 = 300X . 2,833392 = 300X = 300 : 2,833392X = ...
12. Um título de valor nominal $ 1.000,00, com vencimento para 2 anos será substituído por outropara 3 anos. Calcular o va...
CAPÍTULO IV4. RENDAS4.1. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA IMEDIATASSeja um processo de capitalização em que são aplicadas n parcelas...
EXEMPLOS:1. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que a taxa é de 2% a.m., comcapitalização mensal quanto...
4.2 CAPITALIZAÇÃO DE RENDAS ANTECIPADASO montante de uma renda antecipada é dado por FAe apresenta o seguinte esquema:FA= ...
4.3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA DE RENDAS DIFERIDASDenomina-se montante diferido de uma renda aquele que, depois de constituído...
3. Uma pessoa deposita, durante dois anos, $500,00 no fim de cada mês, a 3% a.m. O capitalconstituído no fim desse tempo f...
3. Qual é o depósito antecipado durante 4 anos consecutivos que produz o montante de$200.000,00? Considerar as taxas de ju...
EXEMPLOS:1.Qual o valor atual de uma renda de 10 termos iguais a $100,00, à taxa de 1% a.m.?P = ?; A = 100,00; n = 10; i =...
A = $ 757,024.5. VALOR ATUAL DE UMA RENDA ANTECIPADAA representação do valor atual de uma renda antecipada é PAO esquema d...
X = 126223,0079417,05,0 x⇒ X = 0,31 logo i = 1,5 + 0,31 = 1,81% a.m.4.6 VALOR ATUAL DE RENDAS DIFERIDASA representação do ...
nniiiAP)1(1)1(+−+= (Quando n tente para infinito temos:) P/A(i,∞)iiiiiiiiiLimiiiLimnnnnnnnnn01)1(11)1()1()1(1)1()1()1(1)1(...
9. Qual o termo trimestral antecipado, à taxa de 20% a.a.,de uma renda perpétua cujo valor atual éde $ 2.500,00?Resp:. $11...
18. Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista, é de $50.000,00. Qual é o valor daprestação mensal, se o carr...
CAPÍTULO V5. Empréstimos5.1. Amortização de empréstimoExistem vários sistemas para fazer o resgate de um empréstimo. Os pr...
SISTEMAS OU TABELAS DE PRICEAs prestações, neste sistema também amortizam capital mais juros. A diferença é que as prestaç...
OUTROS EXERCÍCIOS:1. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SISTEMA PRICE referente a um financiamentode $ 15.000...
EXEMPLOUma empresa contraiu um empréstimo de $ 20.000,00 para ser resgatado no fim de 4 anos comjuros de 10% a.a. (sistema...
A depreciação pode ser real ou teórica. A depreciação real é aquela que corresponde à diferençaentre os valores do bem no ...
MétodosA depreciação teórica representa uma estimativa da depreciação real. Vários são os métodosutilizados para o seu cál...
CAPITULO VI6. Funções Financeiras na HP 12Cn i PV PMT FVn Numero de períodosi Taxa de juros do períodoPV Valor presentePMT...
EXEMPLO 3Uma pessoa emprestou a um amigo a importância de $ 1.000.000,00, à taxa se 120% ao ano,(muiamigo) pelo prazo de 3...
3.1 ENTER 3,10 1+ a taxa anual unitária360 1/x yx1,00 1+ a taxa diária unitária1 - 100 x i 0,31 Taxa diária (em % )n 221,0...
12 n 12,00 Introduz node prestações10,5 i 10,50 Introduz taxa de jurosPMT 270.678,14 Valor das prestaçõesEXEMPLO 7Uma empr...
X >< Y 78.215,90 Parcela de amortização correspondente a 3aprestaçãoRCL PV -86.037,50 Saldo devedor após a 3aprestação1 f ...
TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradores100000 CHS g CFo -100.000,00 Valor do investimento300000 g CFj...
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12000 g CFj 12.000,00 Valor do fluxo do 1o. pagamento5000 g CFj 5.000,00 Valor do fluxo do 2o. pagamento8000 g CFj 8.000,0...
CAPITULO VII7. Análise de Investimentos7.1. IntroduçãoQualquer tipo de empresa, seja ela industrial, comercial ou de prest...
d) Expansão Através de Novos Produtos - são dispêndios necessários para a fabricação de novosprodutos. Envolvem decisões a...
monetários no futuro. Isto é, o projeto em estudo deve apresentar uma taxa de atratividademínima. É, portanto, necessário ...
7.8.2. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)Consiste em calcular (obter) a taxa de juros (taxa de remuneração do capital...
7.8.4. Seleção de AlternativasPor vezes, em decorrências de restrições de ordem técnica ou orçamentária, há necessidade de...
c. A Hipótese do Reinvestimento - o cálculo da TIR pressupõe que todo fluxo de caixa gerado estásendo reinvestido (ou capt...
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  1. 1. FACULDADE DE CIÊNCIAS APLICADAS DR. LEÃO SAMPAIOCURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS ECIÊNCIAS CONTÁBEISPROFESSORES: FLAVIO MENDONÇA BEZERRA e JOFLÁBETSILVESTRE BEZERRAJUAZEIRO DO NORTE/ CE, 2005
  2. 2. ÍNDICE1. JUROS E DESCONTOS SIMPLES 032. JUROS COMPOSTOS 133. DESCONTO COMPOSTO 264. RENDAS 315. EMPRESTIMOS 436. FUNÇÕES FINANCEIRAS NA HP – 12C 497. ANÁLISE E DECISÕES DE INVESTIMENTO 578. BIBLIOGRAFIA 712
  3. 3. CAPITULO I1. Juros e Descontos SimplesNoções preliminares sobre capital e juro. Ao emprestarmos certa quantia a uma pessoa, é justorecebermos a quantia emprestada mais outra quantia que representa o aluguel pago peloempréstimo.Assim trabalhando-se para outro, recebe-se o salário pelo trabalho executado; cedendo-se umprédio para residência, recebe-se o aluguel.Pois bem: a quantia emprestada, o trabalho executado e o prédio alugado representamcapitais; o aluguel e o salário representam juros.Definição de juros simples• Juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado.• Juro é o preço do “mercadoria” dinheiro.• Juro é o aluguel do dinheiro.Assim se uma pessoa empresta a outra a importância de $1000,00 e no fim de um ano recebe,além da quantia emprestada, $120,00 como prêmio desse empréstimo, diremos que esse $120,00representam o juro do capital emprestado.Observamos que $120,00 correspondem a 12% de seu valor em um ano, ou seja a cada$100,00 temos $12,00 como prêmio ou remuneração do capitalDesse modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percentagem docapital, cuja taxa se chama taxa de juro.No problema proposto, temos o capital $1000,00, que foi a quantia emprestada; $120,00,rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pêlos 12%; o tempo durante oqual o capital rendeu juros é 1 ano.As taxas de juro geralmente são apresentadas de dois modos:Forma porcentualNeste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-seo capital por 100.EXEMPLO:Qual o juro que rende um capital de $1.000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano?Resolução:300,100$11000,101101001000=××=⇒××= jurosjuros
  4. 4. 1.1. Forma unitáriaAgora a taxa refere-se à unidade de capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação deuma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $1,00 por um ano gera juro de $0,12.EXEMPLO:O exercício anterior, com a taxa na forma unitária (0,10 a.a.).Resolução:00,100$110,000,1000 =⇒××= jurosjurosPara transformar a forma porcentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na porcentual por100FORMA PORCENTUAL TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA34 % 34:100 0,346% 6:100 0,06432% 432:100 4,320,7% 0,7:100 0,00740% 40:100 0,41.2. Calculo do JuroQuando o regime é juros simples, a remuneração pelo capital aplicado (também chamado deprincipal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator deproporcionalidade é a taxa de juros.EXEMPLOS:1. Suponhamos que se tome emprestado a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 4 anos e a taxa de10% a.a. Qual será o valor a ser pago de juros?Resolução:Capital inicial (P) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 10% = 0,1 (taxa unitária)Numero de períodos (n) = 4 anosJuros (J) = ?Período Calculo de juros numérico Cálculo de juros literal1 º J1 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J1 = Pi2 º J2 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J2 = Pi3 º J3 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J3 = Pi4 º J4 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00 J4 = Pisoma J = J1+ J2+ J3+ J4 = $400,00 J = J1+ J2+ J3+ J4 = 4xPiPinJ =Esta é a formula básica para o cálculo de juros em um regime de capitalização simples. Observeque, dados 3 valores da formula, podemos obter o quarto, por simples transformação algébrica:4
  5. 5. ===⇒=PiJnPnJiinJPPinJ2. Quanto rende um capital de $100,00, aplicado à juros de 5% ao semestre por um prazo de 2 anos?Dados: P = 100,00; i = 5% a.s. = 0,05; n = 2 anos = 4 semestresJ = Pin ⇒ J = 100 x 0,05 x 4 ⇒ J = $20,001.3. MontanteDefine-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo asoma do capital inicial mais o juro.Sendo P o capital inicial, aplicado por n períodos à uma taxa i, temos o montante (F) como sendo:F = P + JF = P + PinF = P(1+in)De modo análogo ao visto para o juro, dados 3 valores da fórmula podemos obter o quarto valor:−=−=+=⇒+=iPFnnPFiinFPinPF111)1(EXEMPLO:Qual é o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de doisanos?Resolução:P = 1.000,00 i = 0,10 n = 2F = P (1+in) ⇒ F = 1.000,00( 1+ 0,1 x 2 ) ⇒ F = 1,000 x 1,2 ⇒ F = $1.200,00É possível resolver o problema seguindo-se a definição para o montante:a) Calculando o juro devido:J = Pin ⇒ J = 1.000,00 x 0.1 x 2 ⇒ J = $200,00b) Somando-se o juro ao principal (capital)F = P+ J ⇒ F = 1.000,00 + 200,00 ⇒F = $1.200,005
  6. 6. 1.4. Juro Exato e Juro ComercialNas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressa em termos anuais, os prazos sãofixados em dias. Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o juros simples, torna-senecessário calcular a taxa proporcional referente a 1 dia.Neste caso, podemos ter dois enfoques, dependendo do numero de dias adotado para o ano:a) ano civil: 365 dias;b) ano comercial: 360 dias;nas aplicações práticas, onde é adotada a convenção de ano comercial, o mês comercial tem 30dias. Por outro lado, como a contagem de dias deve ser exata, é necessário levar em conta também aexistência de anos bissextos.EXEMPLO:Dada a taxa de 72% ao ano, qual a taxa proporcional ao dia para convenção do ano civil e do anocomercial?Resolução:Pelo ano civil: i365 = =365%720,197% ao diaPelo ano comercial: i360 = =360%720,2% ao diaJuro ExatoChama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada aconvenção de ano civil:Je =365PinEXEMPLO:Qual é o juro exato de um capital de $10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% ao ano?Je =365Pin⇒3654036,0000.10 ××⇒ Je = $394,52Juro ComercialDenomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota como base o anocomercial:Jc =360PinAnalogamente, neste caso o período (n) deverá ser expresso em números de dias.EXEMPLO:Calcular o juro comercial correspondente ao exercício anterior?Jc =360Pin⇒3604036,0000.10 ××⇒ Jc = $400,00EXERCÍCIOS1. Calcular os juros anuais de $100,00, a 6% a.a..Resp.: $6,006
  7. 7. 2. Calcular o juro mensal de $8.000,00, a taxa de 10% a.a..Resp.: $66,673. Qual o rendimento de $600,00, a 5% a.a., em 2 anos e 6 meses?Resp.: $75,004. $28,80 renderam durante certo tempo $6,00, a taxa de 5% a.a. Determine esse tempo.Resp.: 4anos e 2meses5. Calcular os juros de $14.400,00, a 6% a.a., de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano (anocivil).Resp.: $331,406. Quais os juros de $122,00, a 8% a.a. de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil bissesto)?Resp.:$3,207. Qual o capital que a taxa de 9% a.a. produz $10,80, em dois anos?Resp.: $60,008. Qual o capital que a taxa de 4% a.a. em 40 dias produz um montante $72,32?Resp.: $72,009. A que taxa anual o capital de $144,00, em 2 meses e 15 dias renderia $3,30 de juros?Resp.: 11%aa10. A que taxa anual um capital qualquer renderia em 2a, 1/5 do seu valor?Resp.: 10%aa11. Uma pessoa coloca 2/5 do seu capital a taxa de 6% a.a. e o restante a 5% a.a., recebendo umjuro anual de $324,00. Qual o capital?Resp.: $6.000,0012. A que taxa devemos colocar um certo capital para que em 8 anos ele dobre?Resp.: 12,5% a.a.13. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% a.a., ela triplique?Resp.: 16 anos e 8 meses1.5. Generalidades sobre a operação de desconto.Como veremos mais adiante, a expressão máxima do progresso comercial é o crédito garantido porinstrumentos jurídicos denominados títulos de crédito. Entre eles destacaremos a letra de câmbio, anota promissória e a duplicata. Não vamos, neste trabalho, estudar estes títulos; apenas osmencionamos para justificar essas denominações no enunciado de nossos problemas, e sobre elesadiantar que gozam de todas as garantias de lei, podendo, portanto, ser transferidos e, com isto,facilitando de modo extraordinário a circulação da riqueza.Assim sendo, originam esses títulos as operações de desconto.Com efeito: suponhamos que o possuidor de uma letra de câmbio, com vencimento para alguns diasmais tarde, necessite de dinheiro. Que deve fazer? Procurar um que lhe adiante a importância dotítulo deduzida de uma certa quantia, que é o desconto.Devemos, então, considerar o valor indicado no título, que é a importância que deverá ser paga nodia do vencimento: valor nominal; o líquido recebido pelo possuidor do título, antes do vencimento:valor atual.Então, desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga antes do vencimento.Assim, se devêssemos uma certa quantia, $500,00. Por exemplo, a ser paga em uma determinadadata, e a pagássemos antes, teríamos uma redução na nossa dívida. Em vez de $ 500,00 pagaríamos,por exemplo $460,00. O desconto seria de $40,00.7
  8. 8. Nessa operação temos dois valores: $500,00, valor que deveria ser pago no dia do vencimento:valor nominal; $460,00, valor pago no dia em que se efetua o desconto: valor atual.Os problemas de descontos se resolvem do mesmo modo que os de juros simples, conhecido dostrês elementos: valor nominal(F), valor atual (P), taxa (r), tempo (n), desconto (d) e (i) taxaunitária.Desconto por fora, comercial ou bancário.O desconto comercial equivale ao juro simples do valor nominal.As fórmulas de desconto comercial são, pois, análogas às de juros simples, dadas anteriormente,bastando substituir P por F e j por d.Onde,F = Valor Nominald = descontor = taxan = tempoP = Valor AtualCálculo do Valor Atual:EXERCÍCIOS1. Qual é o desconto, a 6% a.a., sobre uma letra de $70,00, paga 2 meses antes do vencimento?2. Uma letra de $500,00, paga 6 meses antes do vencimento, se reduziu a $488,75. Qual foi a taxade desconto?3. Devia paga uma certa quantia no dia 16 de outubro. Paguei-a no dia 17 de agosto do mesmo anoe obtive $0,14 de desconto, à taxa de 7% a.a. Qual é o valor nominal da letra? n = o número dedias de 17 de agosto a 16 de outubro = 60 dias4. Uma letra de $500,00, descontada a 6% a.a., se reduz a $440,00. Por quanto tempo foidescontada?Desconto por dentro ou racional.O desconto por dentro ou racional equivale aos juros simples do valor atual.Esta espécie de desconto não é usada na prática.8100ri = Find =( )inPFinFPFinFPdFP−=−=−=−=11
  9. 9. EXERCÍCIOS1. Calcular o desconto por dentro de uma letra de $250,00, a 6% a.a., que se vence em 18 deoutubro de e é negociada em 7 de agosto do mesmo ano.2. Uma nota promissória foi descontada 3 meses antes de seu vencimento sendo pago por ela ovalor de $3.500,00. Se a taxa de desconto usada foi de 9% a.m., qual o valor nominal dessaN.P? (D.R.S.).3. Uma duplicata de $15.800,00 foi descontada 5 meses antes de seu vencimento, com uma taxa dedesconto de 7% a.m. Qual o valor líquido recebido? (D.C.S.).4. Um lojista está precisando de capital de giro no valor de $20.000,00. Para tanto, deseja fazeruma operação de desconto usando os cheques pré-datados de seus clientes, os quais vencerãodentro de 2 meses. Se a taxa de desconto encontrada por ele foi de 14% a.m., qual o valor totaldos cheques que ele deve apresentar para obter o capital desejado? (D.C.S).5. Uma nota promissória de $18.500,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento, gerandoum valor líquido de $12.500,00. Qual a taxa de desconto percentual mensal usando naoperação? (D.R.S.)1.6. Equivalência de capitais diferidosDois ou mais capitais são diferidos quando são exigíveis em datas diferentes.Dessa forma, títulos de créditos que têm vencimentos distintos são capitais diferidosDois ou mais capitais diferidos são equivalentes em certa época se, nessa época, seus valores atuaisforem iguais.EXEMPLO:Um título de valor nominal $100,00 tem vencimento para 3 meses e outro título de valor nominal$109,31 tem vencimento para 7 meses. Verificar se esses títulos são equivalentes, considerando ataxa de juros de 2% a.m.?Pn = F(1-in)P3 = 100(1-0,02x3) = $94,00P7 = 109,31(1-0,02x7) = $94,00EXERCICIO1. Um título de valor nominal $1.000,00, vencível em 3 meses, vai ser substituído por outro, comvencimento para 5 meses. Admitindo-se à taxa 1% ao mês. Qual o valor nominal do novotítulo?2. Uma empresa deve pagar dois títulos: um de $720,00 para 2 meses e outro de $960,00 para 3meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao credor substituí-los porum único título para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título empregando a taxa de1,2% ao mês?3. Um título de valor nominal $70,40 com vencimento para 5 meses, vai ser substituído por outrode valor nominal $66,00 vencível em 2 meses. Qual a taxa dessa transação?9
  10. 10. 4. Dois títulos $100,00 cada e vencíveis em 3 e 4 meses, respectivamente, serão substituídos pordois novos títulos, de mesmo valor nominal, para 5 e 6 meses, respectivamente. Sendo de 9%ao ano a taxa do desconto, calcular o valor nominal dos novos títulos?EXERCÍCIOS PROPOSTOS:1. Calcular o juro simples referente a um capital de $1.000,00 aplicado conforme hipótesesabaixo:Taxa de juros Prazo Respostaa) 15% a.a. 1 ano $150,00b) 17% a.a. 4 anos $680,00c) 21% a.a. 5 meses $87,50d) 26,8% a.a. 30 meses $670,00e) 30,8% a.a. 5 anos e meio $1.694,00f) 38% a.a. 4 anos e 8 meses $1.773,332. Que montante receberá um aplicador que tenha investido $5.000,00, se as hipóteses de taxasde aplicação e respectivos prazos forem:Taxa de juros Prazo Respostaa) 18% a.a. 6 meses $5.450,00b)31,8% a.a. 2 anos e 7 meses $9.107,50c) 42% a.a. 4 anos e 3 meses $13.925,003. Qual é a taxa de juros anual cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa aplicou ocapital de $1.000,00 e recebeu:Montante Prazo Respostaa) $1.420,00 2 anos 21% a.a.b)$1.150,00 10 meses 18% a.a.c) $1.350,00 1 ano e 9 meses 20% a.a.4. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejamverdadeiras?Capital Inicial Montante Taxa de juros Resposta10
  11. 11. a) $800,00 $832,00 16% a.a. 3 mesesb)$1.200,00 $2.366,00 22% a.a. 4 anos e cinco meses5. Uma loja vende um gravador por $1.500,00 a vista. A prazo, vende por $1.800,00, sendo$200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada?Resp.: 23,07% a.a.6. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes ocapital, se a taxa de juros for de 25% a.a.?Resp.: 20 anos.7. Em quanto tempo o montante produzido por um capital de $1.920,00 aplicado a 25% a.a. seiguala ao montante de um capital de $2.400,00 aplicado a 15% a.a.? Admitir que ambossejam investidos na mesma data.Resp.: 1 ano, 6 meses e 14 dias.8. Se um capital de $2.000,00 rendeu $840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de jurostrimestral?Resp.: 5,25% a.t.9. Uma pessoa aplicou $1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de$3.000,00. Que taxa semestral recebeu?Resp.: 10% a.s.10. A quantia de $1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a. pelo prazo de 100 dias. Qualserá o juro desta aplicação se for considerado:a) Juro comercial?Resp.: $175,00b) Juro exato?Resp.: $172,6011. Qual é o valor nominal de uma Nota Promissória de $7.575,76, assinada hoje comvencimento daqui a 10 meses, se a taxa de aplicação for de 38,4% a.a.?Resp.: $11.140,8212. O valor nominal de uma Nota Promissória é de $4.770,00. Qual é seu valor atual 3 mesesantes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.?Resp.: $4.483,8011
  12. 12. 13. Certa pessoa aplicou $10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antesda data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quantodeverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a. na ocasião datransferência?Resp.: $11.558,5412
  13. 13. CAPÍTULO II2. JUROS COMPOSTOSO regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período sãoacrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por suavez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capitalinicial , dos juros acumulados e dos juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, ondeunicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros em períodos anteriores.Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao juros simples, principalmente pelapossibilidade de fracionamento dos prazos. No critério composto, a equivalência entre capitaispode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime dejuro simples.2.1 FORMULA DE JUROS COMPOSTOSNo regime de juros compostos, os juros são capitalizados, juros sobre juros periodicamente.Para desenvolver este conceito e definir suas formulas de cálculo, admita ilustrativamenteuma aplicação de $1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês. Indentificando-se por P o valorpresente (capital) e F o valor futuro (montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cadaperíodo:♦ Final do 1omês:capital de $1.000,00 produz juros de $100,00 (0,1 x $1.000,00) e ummontante de $1.100,00 ($1.000,00 + $100,00), ou seja:F = 1.000,00 x ( 1 + 0,1 ) = 1.000,00 x (1,1) = $1.100,00F = P ( 1 + i)♦ Final do 2omês: o montante do mês anterior ($1.100,00) é o capital deste 2omês, servindocomo base para o cálculo dos juros deste período. Assim:F = 1.100,00 x (1,1) ⇒1.000,00 x (1,1 ) x (1,1 ) ⇒ 1.000,00 (1,1)2F = 1.000,00 x (1,21) = $1.210,00F = P (1 + i)2♦ Final do 30mês: dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:F = 1.210,00 x (1,1 ) ⇒ 1.000,00 x (1,1)x(1,1)x(1,1) ⇒ 1.000,00 (1,1)3F = 1.000,00 x (1,331) = $1.331,00F = P (1 + i)3♦ Final do 4omês: dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:F = 1.331,00 x (1,1 ) ⇒ 1.000,00 x (1,1)x(1,1)x(1,1)x(1,1) ⇒ 1.000,00 (1,1)4F = 1.000,00 x (1,4641) = $1.464,10F = P (1 + i)4♦ Final do enésimo mês: aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada umdos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:F = 1.000,00 x (1,1)x(1,1)x(1,1)x(1,1).. ( n vezes )F = 1.000,00 x (1,1)nF = P (1 + i)n(1 + i )n= F/P(i,n) Resultado da tábua I(1 + i )nFator de capitalização para um único capital13
  14. 14. EXEMPLOS1. Calcular o montante de um capital de $ 5.000,00 aplicado a juros de 6% ao mês durante doisanos.P = 5.000,00 i = 0,06 n = 24 F = ?F = 5.000 x (1 + 0,06)24F = 5.000 x (1,06)24(1,06)24= F/P(6%,24) = 4,048935F= 5.000 x 4,048935F = 20.244,672. Que capital gera um montante $ 193,26 em 2anos e seis meses, capitalizados semestralmente ajuros de 20% ao ano.?P = ? i = 20% a .a. = 10% a .s. = 0,01 n = 2a 6m = 5 semestres193,26 = P (1,1)5⇒ 5)1,1(26,193=P (1,1)5= F/P(10%,5) = 1,61051000,120610510,126,193==P3. Um capital de $3.000,00 foi emprestado durante 1 ano e 8 meses, capitalizados mensalmente,rendendo um montante de $ 4.457,84. Qual a taxa de juros anual?P = $3.000,00 F = $4.457,84 n = 1anos 8 meses = 20 meses i = ?4.457,84 = 3.000,00(1+i)20485947,100,000.384,457.4)1( 20==+iPara n igual a 20 na tábua I temos F/P(i,20)=1,485947O termo correspondente é taxa de 2% a.m. proporcional a 24% ao ano.4. Em quanto tempo um capital $10.000,00 a 10% a.a. rende um montante de $13.310,00?P = $10.000,00 F = $13.310,00 i = 10% = 0,1 n = ?13.310,00 = 10.000,00 (1,1)n331,100,000.1000,310.13)1,1( ==nPara i = 10% na tábua I o valor de n correspondente ao termo é 3 anos.14
  15. 15. 2.2. Cálculo do valor de (1 + i)nnão tabeladoQuando o valor da expressão (1 + i)nnão for fornecido diretamente pela tábua financeira,isto é, a tábua não tiver a taxa do problema ou o n for um numero que não consta na tábua, pode-seachar o valor dessa expressão com auxilio de logaritmos ou fazendo interpolação dos valorestabelados. Obviamente, se não dispuser de uma calculadora que faça potenciação.Calculo de (1 + i)ncom emprego de logaritmosX = (1 + i)nLogX = (1 + i)nLogX = n log(1 + i)X= antilog[n log(1 + i)]EXEMPLOQual o montante de um capital de $1.000,00 a taxa de 5,5% a .t. durante dois anos ?F = ? P = 1.000,00 n = 2 anos = 8 trimestres i = 0,055F = 1.000,00 x (1,055)8X = (1,055)8Log X = log(1,055)8Log X = 8 x log(1,055)Log X = 8 x 0,0232525Log X = 0,18602X = antilog 0,18602X = 1,534687Portanto (1,055)8= 1,534687F = 1.000,00 x 1,534687F = $1.534,69Interpolação de valores tabelados(dados do exemplo anterior)O valor procurado está entre 5% e 6% para n igual a 8 temos:5% 1,477455 1% 0,1163936% 1,593848 0,5% XX = 0,5 x 0,11639315
  16. 16. X = 0,058196(1,055)8= 1,477455 + 0,058196(1,055)8= 1,535652F = 1.000,00 x 1,535652F = 1.535,65EXEMPLO (com n não tabelado)Um capital de $2.000,00 é colocado por dois anos e dois meses a juros de 20% a . a capitalizadossemestralmente .Qual o montanteF = ? P = 2.000,00 i = 10% n = 4s 2m = ss314624 =4 1,464105 1,6105101 0,146411/3 XX =31x 0,14641X = 0,048803portanto 512903,1048803,04641,1)1,1( 314=+=Logo F = 2.000,00 x 1,512903 =3.025,81Capitalização mistaCalcula-se o montante a juros composto da parte inteira de n e,em seguida, calcula-se os jurossimples desse montante da parte fracionaria de n.F = 2.000,00 x (1 + i )nx (1 + in )F = 2.000,00 x (1,1)4x ( 1+0,1x2/6 )F = 2.000,00 x 1,4641 x 1,033333 = 3.025,812.3. TAXAS16
  17. 17. Taxas proporcionaisQuando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem.Exemplo: a) A taxa de 12% ao ano é proporcional á 6% ao semestre.b) A taxa de 5% ao trimestre é proporcional á 20% ao anoTaxas equivalentesDuas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempos diferentes, fazem com que ocapital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo.Por exemplo, a taxa de 1,39% ao mês é equivalente á taxa de 18% ao ano, pois um capital colocadoa 1,39% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 18% ao ano.Calculo da taxa equivalenteSeja: i = taxa anualk = numero de períodos de capitalização por anoik = taxa equivalente a iConsiderando um capital P, aplicados durante um ano, os montantes às taxas i e ik são,respectivamente:F1 = P (1 + i) e Fk = P (1 + ik)kF1 = Fk temos que P (1 + i) = P (1 + ik)kLogo(1 + i) = (1 + ik)ki = (1 + ik)k–1ou kk ii +=+ 1111 −+= kk iiEXEMPLOS1- Qual a taxa semestral equivalente a 20% ao ano ?i = 0,2k = 2 (duas capitalizações por ano)i2 = ?i2 = 12,01 −+17
  18. 18. i2 = 12,1 −i2 =1,0954-1i2 = 0,0954 ou 9,54% ao semestre2- Qual a taxa anual equivalente a 6% ao trimestre?ik = 0,06k = 4i = (1,06 )4–1( 1,06 )4= F/P(6%,4) = 1,262477i = 1,262477-1i = 0,2625 ou 26,25%Taxa nominal e taxa efetivaQuando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim do anosão maiores do que a taxa oferecida.Por exemplo, se um capital de $100,00 for colocado a 20% a.a. capitalizado semestralmente por umano, temos:F = ? P = 100,00 i = 0,1 (10%) n = 2F = 100 x (1,1)2(1,1)2= F/P(10%,2) = 1,21F = 100 x 1,21 = $121,00Que eqüivale á 21%EXEMPLOSabendo-se que a caderneta de poupança paga 6%a.a. com capitalização mensal. Qual a taxa efetivapaga?ik = 0,005k = 12i = (1 + 0,005)12–1i = (1,005)12–1 (1,005)12= F/P(0,5%,12) = 1,061678i = 1,061678 – 1i = 0,061678 ou 6,168%18
  19. 19. EXERCÍCIOS PROPOSTOS1. Qual o montante de um capital $6.000,00 aplicados a juros de 36% a.a. capitalizadosmensalmente durante 2 anos e 6 meses?Resp.: $14.563,572. Que capital gera um montante de $2.143,59 aplicado por 4 anos a juros de 20% a.a., comcapitalização semestral?Resp.: $1.000,003. Emprestei $30,00 a juro composto de 6% aa. Quanto receberei no final de oito anos?Resp.: $47,824. Calcular o montante de $40.000,00, a juro composto de 10% aa com capitalização semestraldurante 8 anos e 6 meses?Resp.: $91.680,735. A que taxa devo colocar $4.000,00, para em 12 anos ter um montante de $5.703,04?Resp.: 3% a.a.6. Que capital gera o montante de $5.000,00, em 5 meses a taxa de 2% ao mês?Resp.: $4.528,657. Calcular os juros de $5.000,00, aplicado a 4% a.m. durante 9 meses?Resp.: $2.116,568. Quanto terei que depositar hoje para daqui a 15 meses a juros de 4% a.m., ter um capital de$3.601,89?Resp.: $2.000,009. A que taxa mensal devo colocar $1.000,00 para em 3 anos ter um capital de $1.430,77?Resp.: 1% a.m.10. Em quanto tempo um capital de $2.500,00 a 6% a.a. produz juros de $1.723,70?Resp.: 9 anos11. Sendo capitalizado semestralmente, a que taxa anual devo colocar $2.000,00, para em 5anos terum capital de $2.687,83?Resp.: 6% a.a.12. Qual o tempo que um capital de $1.200,00 a juro de 2% a.m. gera um montante de $1.968,73?Resp.: 25 meses13. Sendo capitalizado semestralmente, qual o tempo que levará um capital qualquer, para que àjuros de 14% a.a. duplique?Resp.: 5 anos , 1 mês e 15 dias14. Qual o montante de $5.000,00 a juros de 0,5% a.m. durante 5anos?Resp.: $ 6.744,2515. Quanto deverei depositar em uma poupança que paga 8% a.a. para em 18 anos ter um capital de$1.198,81?Resp.: $ 300,0016. Depositei em um banco certa quantia a juros de 6%a.a. com capitalização semestral e recebi nofinal de 4 anos a quantia de $4.500,00. Qual a quantia depositada?Resp.: $3.552,3417. Em quanto tempo um capital de $600,00 a juro de 7% a.a. gera um montante de $900,44?Resp.: 6 anos18. Em quanto tempo um capital dobrará de valor há 16% a.a., capitalizado trimestralmente?Resp.: 4anos e 5 meses e 1 dia19. Um capital de $1.000,00, produziu um montante de $1.695,88, em 3 anos. Qual a taxa trimestralde juros?Resp.: 4,5 % a.t.19
  20. 20. 20. Qual a taxa anual de juros que capitalizado semestralmente, faz com que um capital de$2.500,00 produza $2.000,00 em 3 anos e 6 meses?Resp.: 17,52 % a.a.Exemplos de calculo do tempo e da taxa para dados não tabelados:1. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $2.000,00 para que a 8% a.a, produza ummontante de $3.350,00?F = 3.350,00 P = 2.000,00 i = 8% = 0,08 n = ?niPF )1( +=n)08.1(000.2350.3 = ⇒000.2350.3)08.1( =n⇒ 675,1)08.1( =nNa tábua I, o número 1,675 a taxa de 8% está compreendido entre 6 e 76 anos ⇒ 1,586874 1ano ⇒ (1,713824 – 1,586874) = 0,126957 anos ⇒ 1,713824 X ⇒ (1,675000 – 1,586874) = 0,088126X 12695,0088126,0= ⇒ 0,694179O tempo é 6 anos + 0,694179 ano⇒ 6 anos + 360 x 0,694170 = 6 anos e 250 diasComo 250 dias são 8 meses e 10 dias a resposta é 6 anos, 8 meses e 10 dias.2. A que taxa devo emprestar um capital qualquer para em 8 meses, com capitalização mensal,para se ter um montante 80% a mais que o capital inicial?P = 100 F = 180 n = 8 i = ?F = P(1 + i)n⇒ 180 = 100(1 + i)8⇒ (1 + i)8100180= ⇒ (1 + i)8= 1,8Na tábua I, para n = 8, o numero 1,8 está compreendido entre 7% e 8%.7% ⇒ 1,718186 1% ⇒ (1,850930 – 1,718186) = 0,1327448% ⇒ 1,850930 X% ⇒ (1,800000 - 1,718186) = 0,081814X = 132744,0081814,0= ⇒ X = 0,616329 ⇒ A taxa será 7 + 0,616329 = 7,62% a.m.TAXA NOMINAL, TAXA REAL E TAXA DE INFLAÇÃOA taxa nominal(i) de juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes de mercado,incluindo os efeitos inflacionários.20
  21. 21. A taxa real(r) de juros é aquela paga realmente na operação financeira.A taxa de inflação(t) é a correção monetária, ou seja a recuperação do poder aquisitivo do dinheiroenvolvido na operação financeira.Seja P um capital aplicado a uma taxa real(r) de juros, em um período que teve uma inflação(t)Para haver uma compensação da inflação ou seja para que o aplicador não tenha prejuízo, seránecessário que seja feita uma correção monetária do valor aplicado antes da aplicação da taxa realde juros.P = capital aplicado i = taxa nominal r = taxa real t = taxa de inflaçãoValor corrigido = P (1 + t)Valor corrigido + taxa real = P (1 + t) (1 + r)Valor nominal = P (1 + i)Como o valor nominal é igual ao valor corrigido aplicado à taxa real temos que:P(1 + i) = P(1 + t)(1 + r) (dividindo ambos os termos por P) temos:(1 + i) = (1 + t)(1 + r)i = (1 + t)(1 + r) - 1 (TAXA NOMINAL))1()1()1(rit++=+ ⇒ 1)1()1(−++=rit (TAXA DE INFLAÇÃO))1()1()1(tir++=+ ⇒ 1)1()1(−++=tir (TAXA REAL)EXEMPLOS:1- Se a poupança paga 0,5% a.m. e neste mês a inflação foi de 2%. Qual deve ser a taxa nominalpaga pela instituição financeira?i = ? r = 0,5% = 0,005 t = 2% = 0,02i = (1 + 0,02)(1 + 0,005) –1 ⇒ i = (1,02)(1,005) –1 ⇒ i = 1,0251 – 1 ⇒ i = 0,0251i =2,51%2- Qual a taxa real paga por uma aplicação que tem uma taxa nominal de 24% a.a, sabendo-se queneste ano a inflação de 10% ?i = 24% =0,24 t = 10% r = ?21
  22. 22. )10,01()24,01()1(++=+ r ⇒ 1)10,1()24,1(−=r ⇒ r = 1,127273-1 ⇒ r = 0,127273r = 12,73% a.a.3- Uma instituição financeira paga 9% a. s. de taxa real, sabendo-se que a mesma pagou 11% detaxa nominal.Qual a taxa de inflação do período considerado?i = 11% = 0,11 r = 9% = 0,09 t = ?)09,01()11,01()1(++=+t ⇒ 1)09,1()11,1(−=t ⇒ t = 1,018349-1 ⇒ t = 0,018349t = 1,83%EXERCÍCIOS :1 – Qual a taxa anual equivalente:a) 3% a.t. b) 7% a.s. c) 5% a.b. d) 2% a.m.Resp.: a) 12,55%; b) 14,49%; c) 34,01%; d) 26,82%2 – Sendo a taxa mensal 4% quais a taxas equivalentes:a) anual b) trimestral c) semestral d) bimestralResp.: a) 60,1; b) 12,49; c) 26,53; d)8,163 – Complete o quadro abaixo:NOMINAL INFLAÇÃO REAL12% 4% - Resp.: 7,69%- 2% 8% Resp.: 10,16%8% - 3% Resp.: 4,85%- 10% 7% Resp.:17,7%- 3% 9% Resp.: 12,27%6% - 4% Resp.: 1,92%22
  23. 23. 18% 8% - Resp.:9,26%21% - 3% Resp.: 17,48%13% 5% - Resp.: 7,62%4 – Qual montante de uma aplicação de $ 1.000,00?a) 2,34% a.a. em 4 anos. Resp.: $ 1.096,94b) 4,6% a.s. em 3 anos. Resp.: $ 1.309,76c) 6,25% a.t. em 5anos. Resp.: $ 3.361,85d) 1,3% a.m. em 1 ano e 5 meses Resp.: $ 1.245,55EXERCICIOS PROPOSTOS:1. Calcular o montante de uma aplicação de $10.000,00 sob as hipóteses abaixo:Taxa Prazo Respostaa) 20% a.a. 5 anos $24.883,20b) 5% a.s. 3 anos e meio $14.071,00c) 2,5% a.m. 1 ano $13.448,892. Qual é o juro auferido de um capital de $1.500,00, aplicado segundo as hipóteses abaixo:Taxa Prazo Respostaa) 10% a.a. 10 anos $2.390,61b) 8% a.t. 18 meses $880,31c) 1% à semana 2 meses $124,293. Se eu quiser comprar um carro no valor de $60.000,00, quanto devo aplicar hoje para quedaqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicação:a) 2,5% a.m. Resp.: $33.172,52b) 10% a.s. Resp.: $40.980,81c) 20% a.a. Resp.: $41.666,6723
  24. 24. 4. Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram $10.000,00 de juros ao fim de 5 anos, sea taxa de juros for de:a) 4% a.t. Resp.: $8.395,44b)20% a.quad. Resp.: $694,11c) 30% a.a. Resp.: $3.686,055. Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica $1.000,00 e resgata osmontantes, segundo as hipóteses abaixo:a) $ 1.076,89 3 meses Resp.: 2,5% a.m.b)$ 1.125,51 4 meses Resp.: 3% a.m.c) $ 1.340,10 6 meses Resp.: 5% a.m.6. Uma pessoa aplicou $15.000,00 e após um ano recebeu $18.782,87 de juros. Qual foi a taxade juros mensal paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado?Resp.: 7% a.m.7. Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2anos, o montante de $45.666,57, sendo $25.666,57 referente a juros?Resp.: 3,5% a.m.8. Um investidor aplicou $25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo períodode tempo, ele recebeu $35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e ocapital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?Resp.: 12 meses9. Um apartamento é vendido, a vista, por $220.000,00. Caso o comprador opte por pagar emuma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige $61.618,59 como juros,pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima?Resp.: 10 meses24
  25. 25. 10. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a.Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% a.t., qual será sua escolha?Resp.: A segunda alternativa25
  26. 26. CAPÍTULO III3. DESCONTO COMPOSTOEntende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um titulo em suadata de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação ou seja, ovalor futuro ( F ).A operação de se liquidar um titulo antes do seu vencimento envolve geralmente uma recompensa,ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como adiferença entre o valor nominal (valor futuro) de um titulo e seu valor atualizado (valor presente)apurando n períodos antes de seu vencimento.Tendo: F = Valor nominal P = Valor atual d = Desconto d = F – PF = P (1+i)n⇒ P = niF)1( +EXEMPLO1 - Calcular o valor atual de um titulo de valor nominal igual a $1.000,00, resgatado 4 anos antes dovencimento, a 10% a.a..F = 1.000,00 i = 0,1 n = 4 P = ?P = niF)1( +⇒ P = 4)1,01(000.1+⇒ P = 4)1,1(000.1(1,1)4= F/P(10%,4) = 1,464100F =4641,1000.1⇒ P = $683,012 – A que taxa devo descontar uma letra de valor nominal $ 300,00, com vencimento para 6 mesese receber um valor liquido de $ 189,05 ?F = 300,00 i = ? n = 6 P = 189,05P = niF)1( +⇒ 189,05 = 6)1(300i+⇒ ( 1 + i )6= 05,189300⇒ ( 1 + i )6= 1,586882Na tábua I F/P(i,6) = 1,586882 para n = 6 i = 8% a . m3 – Um banco libera a um cliente $ 6.800,00 provenientes do desconto de um titulo de valornominal de $ 9.000,00 descontado à taxa de 4% a . m. Calcular o prazo de antecipação que foidescontado neste titulo.F = 9.000,00 P = 6.800,00 i = 0,04 n = ?26
  27. 27. F = P (1 + i)n⇒ 9.000,00 = 6.800,00 (1 + 0,04)n⇒ 6.800 x (1,04)n= 9.000 ⇒(1,04)n=800.6000.9⇒ 1,323529 F/P(4%,n) = 1,323529Para 4% na tábua I, temos n entre os valores 7 e 8 respectivamente.7 ⇒ 1,315932 (8 – 7) = 1 ⇒ (1,368569 – 1,315932) = 0,0526378 ⇒ 1,368569 X⇒ (1,323529 - 1,315932) = 0,007597X = 0,007598 : 0,052638 = 0,144328 x 30 =4,333 equivalente a 4 dias.Logo o tempo de antecipação foi de 7 meses e 4 dias4 – Comprei um titulo de valor $ 1.200,00 vencível daqui a 5 meses, por $ 1.000,00, se a taxa dejuros do mercado e 3% a . m,. Será que fiz um bom negócio ?F = 1.200,00 i = 0,03 n = 5 P = ?P = niF)1( +⇒ P = 5)03.1(200.1F/P(3%,5) = 1,159274P =159274,1200.1⇒ P = 1.035,13O valor atual do titulo a juros de mercado é $ 1.035,13 como comprei o titulo por $ 1.000,00 istosignifica que ganhei $ 35,13.EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOSAo estudar juros e desconto simples, viu-se que dois ou mais capitais, realizáveis em datas distintas,são equivalentes se, na época, seus valores atuais forem iguais.Entretanto, pelo sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto compostoreal), a equivalência dos capitais diferidos pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualqueroutra data, pois os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.EXEMPLOS:1. No fluxo abaixo determine o valor de X à uma taxa i nas datas focais 0,2,6,7 e 10.X0 = 5)1( iX+X2 = 3)1( iX+X6 = )1( iX +X7 = 2)1( iX +X10 = 5)1( iX +2. Uma pessoa devedora de um titulo de valor nominal de $ 1.000,00 para 3 anos, deseja resgataresta divida com dois pagamentos anuais iguais um no fim de um ano e o outro no fim de dois anos.271 74X0 632 8 9 1 05
  28. 28. Estabelecendo a taxa de 18% a . a. com capitalizações semestrais para o desconto, calcular o valordesses pagamentos.a) Resolução pela equivalência dos valores atuais:P6 = valor atual do titulo para 3 anosP2 = valor atual do titulo para 1 anoP4 = valor atual do titulo para 2 anosP6 = P2 + P4P6 = 6)09.1(000.1⇒ P6 =677100,1000.1⇒ P6 = 596,2673666 F/P(9%,6) = 1,677100P2 = 2)09.1(X⇒ P2 = 188100,1X⇒ P4 = X 0,841680 F/P(9%,2) = 1,188100P4 = 4)09.1(X⇒ P4 = 411581,1X⇒ P4 = X 0,708425 F/P(9%,4) = 1,411581X 0,841680 + X 0,708425 = 596,2673666X (0,841680 + 0,708425) = 596,2673666X (1,550105) = 596,2673666X =550105,12673666,596⇒ X = 384,66b) Resolução pela equivalência dos montantes:F6 = F2 + F4F6 = 1000,00F2 = X (1,09 )2⇒ F2 = X (1,188100) F/P(9%,2) = 1,188100F4 = X (1,09 )4⇒ F4 = X (1,411581) F/P(9%,4) = 1,411581X (1,188100) + X (1,411581) = 1000,00X (1,188100 + 1,411581) = 1000,00X (2,599681) = 1000,00X = 599681,21000⇒ X = 384,663. Uma pessoa compra uma mercadoria no valor de $ 300,00 para pagar em 3 prestações mensais(1+2) à taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor das prestações?P0 = 300,00X0 = XX1 = 1)06.1(X⇒ X1 = 06,1X⇒ X1 = X 0,943396X2 = 2)06.1(X⇒ X2 = 1236,1X⇒ X2 = X 0,889996282XX01 0 0 0641XXX3 0 00 2
  29. 29. X0 + X1 + X2 = 300X + X(0,943396) + X(0,889996) = 300X (1+0,943396 +0,889996 = 300X . 2,833392 = 300X = 300 : 2,833392X = $ 105,88EXERCICIOS PROPOSTOS1. Calcular o desconto concedido a uma letra de $ 200,00 paga, a 8%a.a., 3 anos antes dovencimento.Resp.: $ 41,232. Calcular o valor atual de um título de $ 500,00, pago, com 5%a.a. de desconto, 4 anos antes dovencimento.Resp.: $ 411,353. Devo R$ 50.000,00 com vencimento para 5 anos. Quanto pagarei hoje com um desconto de 6%a.a.?Resp.: $ 37.362,914. Uma dívida de R$ 60.000,00 foi descontada 3 anos antes do vencimento, a 5% a.a. Em quantoimportou o desconto?Resp.: $ 8.169,745. Um título de R$ 20.000,00, disponível no fim de 4 anos, foi pago e se reduziu a R$ 16.454,00.Qual será a taxa?Resp.: 5% a.a.6. De quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$ 28.466,24, sabendo que, descontado a 4%a.a., o seu valor se reduziu a R$ 20.000,00?Resp.: 9 anos7. A que taxa devo descontar uma duplicata de valor nominal $3.000,00 para que a mesma sofraum desconto de $631,77 com 8 meses de antecedência?Resp.: 3% a .m8. Um título de $ 500,00 foi resgatado antes do vencimento por $ 400,00. Calcular o tempo deantecipação do resgate, sabendo-se que o desconto foi de 20% a..a. capitalizadostrimestralmente.Resp.: 1 ano 1 mês e 21 dias.9. Um titulo de $300,00, foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimento por $180,00.qual foi ataxa trimestral de desconto?Resp.: .8,89%10. Uma empresa contraiu um empréstimo hoje de $ 25.000,00 por 5 anos, com juros de 20% a.a.capitalizados trimestralmente. Passados 3 anos, a empresa decide resgatar a dívida; o descontoconcedido é de 20% a.a. capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate?Resp.: $ 45.305,9111. Um proprietário, ao vender um imóvel, recebeu as seguintes propostas:A - $1.000,00 à vista, $300,00 em 6 meses e $500,00 em 1 ano.B - $500,00 à vista, $800,00 em 6 meses e $700,00 em 1 ano.Qual a proposta mais vantajosa para o proprietário, admitindo-se que os títulos podem serdescontados à taxa de 2% a.m?Resp.: Proposta B29
  30. 30. 12. Um título de valor nominal $ 1.000,00, com vencimento para 2 anos será substituído por outropara 3 anos. Calcular o valor do novo título, empregando a taxa de 16% a.a. com capitalizaçõessemestrais.Resp.: $1.166,4013. Um título de valor nominal de $20.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendosido contratada a taxa de 2,5% a.m. Qual foi o desconto comercial concedido?Resp.: $1.428,0114. Ao descontar uma Nota Promissória no valor de $5.000,00 no vencimento, a financeirainformou que sua taxa de desconto comercial era de 30% a.a. Se o desconto fosse efetuado 2meses antes do vencimento, qual seria o valor líquido (valor de resgate) recebido pelo possuidordo título?Resp.: $4.786,0715. Numa operação de desconto, o possuidor do título recebeu $10.000,00 como valor de resgate.Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de $1.401,75, pergunta-se qual foi ataxa de juros anual adotada.Resp.: 30% a.a.16. Em um título no valor nominal de $6.500,00, o desconto sofrido foi de $835,63. Se a taxa dejuros de mercado for de 3,5% a.m., qual deverá ser o prazo de antecipação?Resp.: 4 meses17. Um título de valor nominal de $2.000,00 foi descontado num estabelecimento financeiro onde éadotado o desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de juros considerada foi de 1%a.m. e que a antecipação foi de 2 meses, qual foi o valor do desconto?Resp.: $39,4118. Qual é o valor descontado de um título com vencimento para 6 meses, cujo valor nominal é de$4.500,00, se a taxa de desconto comercial for de 2% a.m.?Resp.: $504,1319. O desconto comercial de um compromisso com vencimento para 4 meses é de $2.102,63. Qual éa taxa de desconto comercial adotada, se o valor do resgate for de $10.397,37?Resp.: 4,71% a.m.20. O valor líquido recebido em uma operação de desconto comercial foi de $2.477,26. Sabendo-seque o valor no vencimento seria de $2.800,00 e que a taxa de juros adotada foi de 4% a.m., qualo prazo de antecipação?Resp.: 3 meses21. Um título no valor de $15.000,00, em seu vencimento, foi resgatado com 3 meses deantecedência. A financeira tem como norma aplicar o desconto comercial, sendo que neste casoadotou-se a taxa de juros de 2,5%a.m. Quanto recebeu o possuidor do título e qual foi a taxa dejuros efetivamente cobrada pela financeira?Resp.: $13.902,89 e 2,56% a.m.22. O desconto comercial cobrado sobre um título foi de $2.167,29, numa antecipação de 6 meses.Sabendo-se que o valor nominal é de $25.000,00 e que a taxa de desconto comercial empregadafoi de 1,5% a.m., qual foi a taxa efetiva anual cobrada?Resp.: 19,89% a.a.30
  31. 31. CAPÍTULO IV4. RENDAS4.1. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA IMEDIATASSeja um processo de capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais a A, periódicas eimediatas, a uma taxa i, referida ao mesmo período dos termos. O problema é determinar omontante ( F ) na data focal n, que resulta deste processo de capitalização.A representação gráfica deste modelo é a seguinte:O montante ( F ) é o resultado da soma dos montantes de cada um dos termos, à uma taxa i, na datafocal n. Vamos admitir que estejamos fazendo esta soma a partir do termo de n-ésima ordem (ouseja, o último termo) e até o termo de 1aordem (que é o primeiro termo):F = A + A(1 + i)1+ A(1 + i)2+ A(1 + i)3+ ........ + A(1 + i)n-1Colocando A em evidência:F = A[1 + (1 + i)1+ (1 + i)2+ (1 + i)3+ ........ + (1 + i)n-1]Seja a seguinte notação para o valor da soma entre colchetes:Sn =1 + (1 + i) + (1 + i)2+ (1 + i)3+ ........ + (1 + i)n-1A expressão acima representa a soma dos termos de uma progressão geométrica onde:1otermo é 1; 2oé (1 + i); 3oé (1 + i)2, a razão é (1 + i) e o ultimo termo é (1 + i)n-1Sn =11−−qaqanF = A x SnSn =1)1(1)1()1( 1−+−++ −iixi nF = Aii n1)1( −+Sn=ii n1)1( −+ii n1)1( −+= F/A(i,n) (TABUA II)3110A A A A AF2 3 N - 1 N
  32. 32. EXEMPLOS:1. Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se que a taxa é de 2% a.m., comcapitalização mensal quanto possuirá no final de 2 anos?F = ?, A = 1000,00; n = 24; i = 0,02; F = A x F/A(i,n)F =1000 x02,01)02,1( 24−02,01)02,1( 24−= F/A(2%,24) = 30,421862F = 1.000 x 30,421862 ⇒ F = $ 30.421,862. Qual o montante de 12 depósitos trimestrais, de $1000,00 à taxa de 28% a.a?F = ?, A = 1.000,00, n = 12, i = 7% a.t.F =1.000 x07,01)07,1( 12−⇒07,01)07,1( 12−= F/A(7%,12) = 17,888451F = 1.000 x 17,888451 ⇒ F = $ 17.888,453. Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no fim de cada trimestre, a 20% a.a., para nofim de 2 anos, possuir $ 10.000,00?F = 10.000,00 A = ? n = 8, i = 5% a.a.10.000 =A x05,01)05,1( 8−⇒05,01)05,1( 8−= F/A(5%,8) = 9,54910910.000 = A x 9,549109 ⇒ A = 10.000 : 9,549109 ⇒ A = $ 1.047,224. Realizando depósitos imediatos bimestrais de $ 200,00, obteve-se, no fim de 3 anos a quantia de$ 4.282,46. Qual a taxa de juro bimestral?F = 4.282,46 A = 200,00 n = 18, i = ?4.242,46 = 200 xii 1)1( 18−+⇒ii 1)1( 18−+=20046,282.4= 21,4123F/A(i,18) =21,4123 na TÁBUA II PARA n = 18 temos uma taxa de 2% a.b.5. Quantas mensalidades de $150,00 serão necessárias aplicar todo fim de mês em uma poupançaque paga 5% a.m., para constituir um capital de $ 5.357,89?F = 5.357,89 A = 150 n = ?, i = 5%5.357,89 = 150 x05,01)05,1( −n⇒05,01)05,1( −n=15089,5357= 35,719252F/A(5%,n) =35,719252 na TÁBUA II PARA i = 5% temos n = 21 meses32
  33. 33. 4.2 CAPITALIZAÇÃO DE RENDAS ANTECIPADASO montante de uma renda antecipada é dado por FAe apresenta o seguinte esquema:FA= A x F/A(i,n+1) - A ⇒ FA= A ( F/A(i,n+1) - 1 )EXEMPLOS:1. Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos iguais a $ 100,00, à taxa de 1%a.m.?FA= ? A = 100,00, i = 1% n = 19 (antecipada)FA= 100 x (F/A(1%,19) -1) ⇒ FA= 100 x (20,810895 – 1) ⇒ FA= 100 x 19,810895FA= $ 1.981,092. Quanto se deve depositar no inicio de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18%a.a., para constituir o montante de $ 5.000,00 no fim de 3 anos?FA= 5.000,00 A = ? i = 9% n = 7 (antecipada)5.000 = A x (F/A(9%,7) -1) ⇒ 5.000 = A x (9,200435 – 1) ⇒ 5.000 = A x 8,200435A = 200435,8000.5⇒ A = $ 609,723. Uma pessoa deposita 20 mensalidades antecipadas de $300,00 e retira no final um montante de $8.302,95. Qual a taxa de juro?FA= 8.302,95 A = 300,00 i = ? n = 21 (antecipada)8.302,95 = 300 x (F/A(i,21) -1) ⇒ (F/A(i,21) -1) =30095,302.8⇒ (F/A(i,21) -1) = 27,676486F/A(i,21) = 27,676486 + 1 ⇒ F/A(i,21) = 28,676486Na TÁBUA II para n = 21 temos que a taxa correspondente é 3% a.m.3310A A A AAF2 3 N - 1 N
  34. 34. 4.3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA DE RENDAS DIFERIDASDenomina-se montante diferido de uma renda aquele que, depois de constituído, só se torna exigívelapós certo números de períodos.No esquema acima, a renda (imediata ou antecipada) de n termos tem o seu montante constituído nofim de n períodos, mas este deverá permanecer capitalizando juros durante m períodos. O montantetorna-se disponível no fim de n+m períodos.4.3.1. Desta forma, o montante diferido de uma renda imediata pode ser obtido na Tábua II com afórmula de transformação:F = A x m/F/A(i,n) F = A(F/A(i,n+m) – F/A(i,m))EXEMPLOS:1. Qual o montante de uma renda imediata de $ 100,00, depositada mensalmente durante um anocom 6 meses de diferimento, a juros de 2% a.m.?F = ? A = 100,00, i = 2%, n = 12, m = 6, n + m = 18,F = 100 x 6/F/A(2%,12) ⇒ F = 100 x (F/A(2%,18) – F/A(2%,6))F = 100 x (21,412312 – 6,308121) ⇒ F = 100 x 15,104191F = $ 1.510,422. Uma pessoa deposita, durante dois anos, $500,00 no fim de cada mês, a 3% a.m. O capitalconstituído no fim desse tempo ficará depositado por mais um ano. Qual será o montante?F = ? A = 500,00, i = 3%, n = 24, m = 12, n + m = 36,F = 500 x 12/F/A(3%,24) ⇒ F = 500 x (F/A(3%,36) – F/A(3%,12))F = 500 x (63,275944 – 14,192029) ⇒ F = 500 x 49,083915F = $ 24.541,96Outra maneira de resolver problemas de “capitalização composta diferida” poderá ser:F = A x F/A(i,n) x F/P(i,n)341AAA AF0P R A Z O D E R E N D A P E R ÍO D O S D E D E F E R IM E N TOM -10 2 MNN - 121
  35. 35. 3. Uma pessoa deposita, durante dois anos, $500,00 no fim de cada mês, a 3% a.m. O capitalconstituído no fim desse tempo ficará depositado por mais um ano. Qual será o montante?F = ? A = 500,00, i = 3%, n = 24, m = 12,F = 500 x F/A(3%,24) x F/P(3%,12)F = 500 x 34,426470 x 1,425760F = $ 24.541,954.3.2. Portanto, o montante diferido de uma renda antecipada pode ser obtido na Tábua II, com afórmula de transformação:FA= A x m/F/A(i,n) FA= A(F/A(i,n+m+1) – F/A(i,m+1))EXEMPLOS:1. Calcular o montante de uma renda antecipada de 12 termos trimestrais de $2.000,00, à 5% a.t.,com uno de diferimento.FA= ? A = 2.000,00, i = 5%, n = 12, m + 1 = 5, n + m + 1 = 17FA= 2.000 x 5/F/A(5%,12) ⇒ F = 2.000 x (F/A(5%,17) – F/A(5%,5))FA= 2.000 x (25,840366 – 5,525631) ⇒ F = 2.000 x 20,314735FA= $ 40.629,472. Uma pessoa deposita $300,00, no inicio de cada mês, durante 1 ano e 2 meses, numa instituiçãoque paga juros de 1,5% a.m.. Depois desse tempo, deixa seu capital depositado por mais seismeses. Qual o montante?FA= ? A = 300,00, i = 1,5%, n = 14, m + 1 = 7, n + m + 1 = 21FA= 300 x 6/F/A(1,5%,14) ⇒ F = 300 x (F/A(1,5%,21) – F/A(1,5%,7))FA= 300 x (24,470522 – 7,322994) ⇒ F = 300 x 17,147528FA= $ 5.144,26EXERCÍCIOS PROPOSTOS:1. Qual o montante de uma anuidade periódica e imediata de $ 250,00, nas hipóteses abaixo:Taxa Prazoa) 2% a.m. 2 anosb) 5% a.b 2 anosc) 6% a.t 2 anosd) 9% a.s. 10 anosResp.: a) $7.605,47 b) $3.979,28 c) $2.474,37 d) $12.790,032. Qual o montante do exercício anterior no caso de rendas antecipadas?Resp.: a) $7.757,56 b) $4.178,25 c) $2.622,83 d) $13.941,1335
  36. 36. 3. Qual é o depósito antecipado durante 4 anos consecutivos que produz o montante de$200.000,00? Considerar as taxas de juros abaixo:a) 4% a.m.b) 5% a.b.c) 3% a.t.d) 8% a.s.e) 12% a.a.Resp.: a) $1.380,89 b) $4.280,17 c) $9.633,17 d) $17.410,14 e) $37.363,294. Qual o depósito imediato para o exercício anterior?Resp.: a) $1.436,13 b) $4.494,18 c) $9.922,17 d) $18.802,95 e) $41.846,895. Qual o montante de uma renda mensal imediata de $600,00 durante 1 ano a taxa de 4%a.m. parao casos de permanência de aplicação por mais:a) 2 meses.b) 3 meses.c) 4 meses.d) 5 meses.Resp.: a) $9.751,14 b) $10.141,19 c) $10.546,84 d) $10.968,716. Qual o montante de renda antecipada do exercício anterior?Resp.: a) $10.141,19 b) $10.546,84 c) $10.968,71 d) $11.407,464.4. VALOR ATUAL DE UMA RENDA IMEDIATAO valor atual (P) (ou valor presente) de uma renda imediata equivale ao valor de uma dívida(empréstimo, valor a vista de uma mercadoria) que será paga com prestações constantes eperiódicas (A).O valor atual da renda é igual à soma dos valores atuais de seus termos, calculados com descontocomposto real a determinada taxa (i).Considere o fluxo abaixo com n termos iguais a A a uma taxa i.Considere as formulas estudadas até agora:niFP)1( += (I) (valor atual de uma renda)iiAFn1)1( −+= (II) (valor futuro de n rendas)Substituindo F da equação (II) na equação (I) temos:nniiiAP)1(1)1(+−+= ⇒ nnixiiAP)1(11)1(+−+= ⇒ nniiiAP)1(1)1(+−+=O termo nniii)1(1)1(+−+é P/A(i,n) é o resultado da Tábua III361A0A A A AP2 3 N -1 N
  37. 37. EXEMPLOS:1.Qual o valor atual de uma renda de 10 termos iguais a $100,00, à taxa de 1% a.m.?P = ?; A = 100,00; n = 10; i = 0,011010)01,1(01,01)01,1(100−=P 1010)01,1(01,01)01,1( −= P/A(1%,10) = 9,471304 (Tábua III)P = 100 x 9,471304 ⇒ P = $ 947,132. Que divida pode ser amortizada com 20 prestações trimestrais de $5.000,00, com juros de20%a.a.?P = ?; A = 5.000,00; n = 20; i =20%a.a. = 5%a.t.2020)05,1(05,01)05,1(5000−=P 2020)05,1(05,01)05,1( −= P/A(5%,20) = 12,462210 (Tábua III)P = 5000 x 12,462210 ⇒ P = $ 62.311,053. Calcular o valor da prestação mensal para amortizar, com 12 pagamentos, um empréstimo de $60.000,00 com juros de 4% ao mês.P = 60.000,00; A = ?; n = 12; i =4%a.m..1212)04,1(04,01)04,1( −= P/A(4%,12) = 9,385074 (Tábua III)60.000 = A x 9,385074 ⇒ A = 60.000 : 9,385074 ⇒ A = $ 6.393,134. para resgatar um empréstimo de $ 26.930,98, serão necessários 8 pagamentos trimestrais de $4.000,00. Qual a taxa anual de juros?P = 26.930,98; A = 4.000,00; n = 8; i =?88)1(1)1(400098,26930iii+−+= 88)1(1)1(iii+−+= P/A(i,8) = 6,732745 (Tábua III)400098,26930)1(1)1(88=+−+iii= 6,732745 temos i = 4% a.t = 16% a.a.5. Qual o valor da prestação de um empréstimo de $ 5.000.00, a ser pago em 10 meses sem entradaà juros de 8,36% ao mês?P = 5.000,00; n = 10; A = ? i = 8,36% (não tabelado)P/A(8,36%,10)8,36% encontra-se entre 8% e 9% em n = 108% ⇒ 6,7100818,36%{ } P/A(8,36%,10) = 6,710081 -X9% ⇒ 6,4176581% ⇒ -0,2924230,36%⇒ XX = 0,36 x (-0.292423) ⇒ X = -0,105272P/A(8,36%,10) = 6,710081 – 0,105272 ⇒ P/A(8,36%,10) = 6,604809A = 5.000 : 6,60480937
  38. 38. A = $ 757,024.5. VALOR ATUAL DE UMA RENDA ANTECIPADAA representação do valor atual de uma renda antecipada é PAO esquema de uma renda antecipada(A) de n termos a uma taxa i tem o fluxo de caixa abaixo:Partindo do principio que a primeira prestação é paga no ato do empréstimo ou da compra,teoricamente ficará um débito de (n-1) prestações, ficando a seguinte formula:PA= A + A x P/A(i,n-1) ⇒ PA= A(1 + P/A(i,n-1))EXEMPLOS:1. Qual o valor atual de uma renda antecipada de 20 termos iguais a $ 100,00,à taxa 5% aotrimestre.PA= ?; A = 100,00; i = 5%; n -1 = 19PA= 100(1 + P/A(5%,19)) ⇒ PA= 100(1 +12,085321) ⇒ PA= 100(13,085321) ⇒ PA= 1308,53PA=$ 1308,532. Calcular o valor à vista de um bem que é vendido em 10 prestações mensais de $ 1.000,00, ajuros de 2% ao mês sendo a primeira prestação paga no ato da compra?PA= ?; A = 1.000,00; i = 2%; n -1 = 9PA= 1000(1 + P/A(2%,9)) ⇒ PA= 1000(1 +8,162237) ⇒ PA= 1000(9,162237) ⇒ PA= 9.162,24PA=$ 9.162,243. Qual o valor da prestação de uma mercadoria que é vendida em 6 prestações mensaisantecipada, sabendo-se que a mesma é vendida à vista por $ 5.782,65, com taxa de 1,5% a.m.?PA= 5.782,65; A = ?; i = 1,5%; n -1 = 55.782,65 = A(1 + P/A(1,5%,5)) ⇒ 5.782,65 = A(1 +4,782645) ⇒ 5.782,64 = A x 5,782645⇒ A = 5.782,65 : 5,782645 ⇒ A = $ 1.000,004. Uma dívida de $ 1.000,00 deverá ser paga com 8 prestações mensais antecipadas de $133,00,qual a taxa de juros?PA= 1.000,00; A = 133,00; i = ? n -1 = 71000 = 133(1 + P/A(i,7)) ⇒ 1 + P/A(i,7) = 1000 : 133 ⇒ P/A(i,7) + 1 = 7,518797 ⇒P/A(i,7) = 7,518797 – 1 ⇒ P/A(i,7) = 6,518797na tábua III para n = 7, temos que a taxa está entre 1,5% e 2%1,5% ⇒ 6,5982142% ⇒ 6,4719910,5% ⇒ - 0,126223 (6,471991-6,598214)X% ⇒ - 0,079417 (6,471991-6,518797)381A A A AAP2 3 N -1 N
  39. 39. X = 126223,0079417,05,0 x⇒ X = 0,31 logo i = 1,5 + 0,31 = 1,81% a.m.4.6 VALOR ATUAL DE RENDAS DIFERIDASA representação do valor atual de renda A de n termos com m períodos de carência a uma taxa i ém/P. Com o fluxo de caixa abaixo:Os valores de m/P/A(i,n) não são tabelados, mas podem ser obtidos em função de P/A(i.n)(Tábua III)Portanto m/P/A(i,n) = P/A(i,n+m) – P/A(i,m) , pois P/A(i,m) é o período sem pagamentos.EXEMPLOS:1. Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de $ 200,00, com 9 meses decarência, à taxa de 20% a.a.?P = ?; A = 200,00 i = 20%a.a. = 5%a.t.; n = 10; n + m = 13P = 200 x 3/P/A(5%,10)P = 200 x ( P/A(5%,13) – P/A(5%,3) )P = 200 x ( 9,393573 – 2,723248 )P = 200 x 6,670325P = $1.334,072. Um empréstimo de $100.000,00 vai ser amortizado com 12 prestações mensais com 6 meses decarência e juros de 5% a.m. Calcular o valor da prestação?P = 100.000; A = ?; i = 5% a.m.; n = 12; n + m = 18100.000 = A x 6/P/A(5%,12)100.000 = A x ( P/A(5%,18) – P/A(5%,6) )100.000 = A x (11,689587 – 5,075692)100.000 = A x 6,613895A = 100.000 : 6,613895A = $ 15.119,68O mesmo exercício pode ser resolvido da seguinte maneira:1aetapa: F6 = 100.000 x F/P(5%,6) ( tábua I )F6 = 100.000 x 1,340096F6 = 134.009,60 ( calculo do montante no período de carência )F6 = P (Valor no inicio dos pagamentos após o período de carência)2aetapa P = A x P/A(5%,12) ( tábua III )134.009,60 = A x 8,863252A = 134.009,60 : 8,863252A = $ 15.119,694.7. VALOR ATUAL DE RENDAS PERPÉTUAS IMEDIATAS3911A AA AP0P R A Z O D E D E F E R IM E N TO P E R ÍO D O S D E PA G A M E N TOM - 1N - 102 MN2
  40. 40. nniiiAP)1(1)1(+−+= (Quando n tente para infinito temos:) P/A(i,∞)iiiiiiiiiLimiiiLimnnnnnnnnn01)1(11)1()1()1(1)1()1()1(1)1( −=+−⇒+++−++⇒+−+ ∞∞→∞→iAP i1/ ),( =∞iAP1=⇒EXEMPLOS:1.Se a mensalidade de um clube é $12,00. Calcular o preço de uma ação remido sabendo-se que ataxa de juros de mercado é de 3% ao mês?P = ?; A = 12,00; i = 3% = 0,0303,0112=P03,012=⇒P ⇒ P = $ 400,002. Qual o valor atual de uma renda mensal perpétua antecipada de $300,00, à taxa de 2% ao mês.P = ?; A = 300,00; i = 2% = 0,02; Como a renda é antecipada temos:P = A + A x P/A(2%,∞)02,01300300 +=P02,0300300 +=⇒ P ⇒ P = 300+15.000 ⇒ P = $ 15.300,00EXERCICIOS PROPOSTOS:1. Qual a anuidade capaz de, a 6% a.m., e 15 prestações mensais, saldar uma divida $30.884,95,sendo a primeira prestação paga no ato do empréstimo?Resp:. $ 3.000,002. Determine o valor da prestação mensal que se deve pagar para, a 8% a.m., saldar uma dívida de$ 19.630,60 com 20 mensalidades?Resp:. $ 1.999,423. Qual o valor atual de uma renda anual antecipada de 15 termos iguais a $ 30,00, a 6% a.a.?Resp:. $ 308,854. Calcular o valor da anuidade que se deve pagar para liquidar um empréstimo de $ 6.636,00,com 18 anuidades e juros de 5% a.a., diferida de 7 anos?Resp:. $ 798,795. Quantas mensalidades de $ 200,00 se devem pagar para, a 5% a.m., saldar uma dívida de $2.000,00?Resp:. 14 de $ 200,00 e a 15ade $ 42,166. Uma dívida de $ 129.264,30 foi saldada com 8 anuidades imediatas de $ 20.000,00. Determinea taxa anual de juros?Resp:.5% a.a.7. Calcular o valor de cada prestação que se deve pagar para a 9% a.a., em 10 anos, resgatar umadívida de $ 20.000,00, sendo a primeira prestação paga 6 anos depois de contraído oempréstimo.Resp:. $ 5.226,518. Uma máquina foi comprada com $ 2.000,00, de entrada e 12 prestações trimestrais de $ 800,00,diferidas de um ano. Sendo os juros de 8% ao trimestre, qual o preço a vista da máquina?Resp:. $ 6.431,3940
  41. 41. 9. Qual o termo trimestral antecipado, à taxa de 20% a.a.,de uma renda perpétua cujo valor atual éde $ 2.500,00?Resp:. $119,0510. Para resgatar um empréstimo de $26.930,98, serão necessárias 8 pagamentos trimestrais de$4.000,00. Qual a taxa de juros?Resp:. 4% ao trimestre11. Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $1.000,00, nas hipóteses abaixo:Taxa de juros Prazo Respostaa) 1% a.m. 24 meses $21.243,39b)5% a.b. 12 bimestres $8.863,25c) 8% a.t. 10 trimestres $6.710,08d)10% a.s. 20 semestres $8.513,56e) 30% a.a. 30 anos $3.332,0612. Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $300,00, se as taxas eprazos abaixo forem considerados:a) 3% a.m. 24 meses Respostab)3% a.m. 36 meses $5.080,66c) 4% a.m. 24 meses $6.549,68d)5% a.m. 12 meses $4.574,0913. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $97,49 ou em 24 prestações mensais de$61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros docrédito pessoal é de 2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador?Resp.: primeira alternativa ($1.000,03)14. Um carro está à venda por $10.000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $2.236,51.Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $1.613,16, sendo neste caso exigidauma entrada de $12.000,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3%a.m.?Resp.: segunda alternativa ($47.218,92)15. A Imobiliária Barracão S/A vende um pequeno apartamento usado por $150.000,00 a vista.Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento:Plano A: Entrada de $50.000,00 mais 4 prestações trimestrais de $31.600,00.Plano B: Entrada de $30.000,00 mais 8 prestações trimestrais de $23.000,00.Resp.: Melhor opção a vista.16. Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor de $10.000,00, se forem observadas as taxasa prazos abaixo:Taxa de juros Prazo Respostaa) 2,5% a.m. 24 meses $559,13b)4,0% a.m. 12 meses $1.065,52c) 30,0% a.a. 5 anos $4.105,8517. Uma loja vende a geladeira X por $2.000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5%a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencerapós um mês?Resp.: $151,6341
  42. 42. 18. Numa agência de automóveis o preço de um carro, a vista, é de $50.000,00. Qual é o valor daprestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses, sem entrada, e a taxa de juroscontratada for de 3% a.m.Resp.: $2.952,3719. A loja de confecções Roupa Certa Ltda vende um terno por $3.000,00. No crediário é exigidauma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% a.m. Qual será o valordas prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais?Resp.: $354,6320. O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidadede capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igualà prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é de 4% a.m., quais são oscoeficientes unitários nas hipóteses de prazos abaixo?a) 6 meses Resp.: 0,190762b)12 meses Resp.: 0,106552c) 18 meses Resp.: 0,078993d)24 meses Resp.: 0,06558742
  43. 43. CAPÍTULO V5. Empréstimos5.1. Amortização de empréstimoExistem vários sistemas para fazer o resgate de um empréstimo. Os principais são:a) pagar, no vencimento, o capital e seus juros acumulados - Sistema do Montante (SM);b) pagar, periodicamente, os juros e, no vencimento, o capital - Sistema Americano (SAm);c) pagar, periodicamente, os juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização do capital -Sistema Francês (SF);d) pagar, periodicamente, os juros antecipados e uma quota de amortização do capital - SistemaAlemão (SAI);e) pagar, periodicamente, uma quota de amortização constante e os juros sobre o saldo devedor -Sistema de Amortização Constante (SAC); ef) Sistema de Amortização Misto (SAM), utilizado pelo BNH, cujos pagamentos constituem amédia aritmética dos pagamentos pêlos Sistemas Francês (Price) e de Amortização Constante(SAC).Assim, são conhecidos diversos sistemas de amortização, dos quais destacamos, em razão de seremmais utilizados, o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTES - SAC e o SISTEMA DEPRESTAÇÕES CONTANTES - PRICE.SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTES - (SAC)Nesse sistema o pagamento é feito de prestações que amortizam capital e juros simultaneamente. Ovalor da amortização do capital é constante em todas as prestações. Porem os juros vão diminuindoa cada parcela, uma vez que são aplicados sobre o saldo devedor do capital. O valor das prestaçõesdecresce a cada período.EXERCÍCIOS:1. Uma composição de dívida de $ 70.000,00 a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa dejuros de 6% a.a..Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor0 - - - 70.000,001234Divide-se o valor da composição pelo número de parcelas e tem-se o valor das amortizações.Os juros do período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior .À prestação é a soma das parcelas de amortização e juros.43
  44. 44. SISTEMAS OU TABELAS DE PRICEAs prestações, neste sistema também amortizam capital mais juros. A diferença é que as prestaçõessão iguais em todos em períodos e a parte referente à amortização do capital aumenta a cadapagamento, ao passo que a referente aos juros diminui na mesma proporção.EXEMPLOUsaremos a mesma composição de dívida do SAC, para que se possa fazer uma comparação com oSistema Price.EXERCÍCIOS1. Uma composição de dívida de $ 70.000,00 a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa dejuros de 6% a.a.Cálculo da prestaçãoA = P : P/A(i,n) (TÁBUA III)A = 70.000,00 : P/A(6%,4)A = 70.000,00 : 3,465105A= 20.201,40Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor0 - - - 70.000,001 20.201,402 20.201,403 20.201,404 20.201,40No sistema SAC as prestações são decrescente, pois a parcela de amortização de capital é constante,mas a parcela de juros vai diminuindo.No sistema PRICE as prestações são constantes: as amortizações crescem e os juros decrescem.Este sistema de amortização é um dos mais usados, pois o fato das prestações terem valoresconstantes, permitem ao mutuário um planejamento para a efetivação dos pagamentos. É muitousado nos CDC (Crédito Direto ao Consumidor) para compra de automóveis, aquisição deeletrodomésticos e etc).Os dois são equivalentes, pois:a) reembolsam ao financiador o principal;b) remuneram, a uma taxa contratada, todo o capital, pelo tempo que permanecer nas mãos dofinanciado.Matematicamente não é possível afirmar qual o melhor plano, pois são equivalentes. Deve-seobservar as condições que envolvem o negócio tais como: capacidade de pagamento, necessidadede caixa, etc.44
  45. 45. OUTROS EXERCÍCIOS:1. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SISTEMA PRICE referente a um financiamentode $ 15.000,00, à taxa 4% a.m., pago em 3 parcelas mensais.Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor0 - - - 15.000,001232. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SAC referente a um financiamento de $15.000,00, à taxa de 4% a.m., pago em 3 parcelas mensais.Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor0 - - - 15.000,001233. Complete a planilha de amortização abaixo, pelo SISTEMA PRICE referente a umfinanciamento de $ 39.000,00, à taxa de 7% a.m., pago em 4 parcelas mensais, com 2 meses decarência?Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor012345.2. PLANOS DE REEMBOLSOO plano de reembolso é um plano analítico que apresenta, no fim de cada período, o dispêndio dodevedor, os juros devedor e credor, a quota de amortização e o futuro constituindo para amortizaçãoda dívida.45
  46. 46. EXEMPLOUma empresa contraiu um empréstimo de $ 20.000,00 para ser resgatado no fim de 4 anos comjuros de 10% a.a. (sistema de montante). Desejando construir um fundo de amortzação, a empresafaz depósitos anuais a 8% a.a. Elaborar o plano de reembolso.Cálculo do montanteF = P x F/P(i,n)F = 20.000,00 x F/P(10%,4) (TÁBUA I)F = 20.000,00 x 1,464100F = 29.282,00Cálculo do dispêndio anual (depósitos)A = F : F/A(i,n)A = 29.282,00 : F/A(8%,4) (TABUA II)A = 29.282:4,506112A = 6.498,285Plano de reembolso:n Disp6endio Juro credor Quota deAmortizaçãoFundo deAmortização1 6.498,285 - 6.498,285 6.498,2852 6.498,285 519,863 7.018 148 13.516,4333 6.498,285 1.081,315 7.579,600 21.096,0334 6.498,285 1.687,683 8.185,968 29.282,0015.3. DEPRECIAÇÃOConceitoOs bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a constantes desvalorizações, devido,principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. A diferença entre o preço de compra de um bem eseu valor de troca (valor residual) no fim de certo tempo, chama-se depreciação.Por exemplo, uma máquina que foi comprada por $ 4.000 e, após 10 anos, pode ser revendida por $500,00, teve uma depreciação de $3.500,00.Existem ainda, bens que sofrem desvalorização total após certo tempo, isto é, não possuem valorresidual, geralmente são os bens imateriais: marca de fábrica, patentes, royalties, etc.A legislação brasileira estabelece limites mínimos para o cálculo do tempo de depreciação dos bensdo ativo das empresas. Por exemplo, para móveis e máquinas, em geral, a depreciação anual podeser calculada à taxa máxima de 10% a.a. (tempo mínimo de dez anos), anquanto os veículos podemser depreciados em até 20 % a.a. A tabela a seguir apresenta alguns bens e as respectivas vidas úteise taxas anuais de depreciação admitidas pela legislação.46
  47. 47. A depreciação pode ser real ou teórica. A depreciação real é aquela que corresponde à diferençaentre os valores do bem no início e no fim de um período (ano). A depreciação teórica é baseada emprevisões do tempo de vida útil do bem e de seu valor residual.É praticamente impossível calcular a depreciação real, pois seria necessário que, ao cabo de cadaperíodo, se fizesse uma avaliação total do patrimônio da empresa e preços constantes, isto é,descontada a inflação. Seria um trabalho bastante oneroso e, portanto, antieconômico. Por isso, naprática, faz-se a depreciação de conformidade com a tabela admitida pela legislação, ou seja, usa-sea depreciação teórica.BEM VIDA ÚTIL (anos) TAXA ANUAL (%)1. Aparelhos cinematográficos Comuns Som e projeção106,610152. Bibliotecas 10 103. Botes 20 54. Caminhões A diesel até 5 toneladas A diesel acima de 5 toneladas A gasolina Frigoríficos56,644201525255. Chatas e rebocadores 20 56. Construções e edifícios 25 47. Edificações De aço De madeira20105108. Ferramentas 5 209. Máquinas operatrizes 1 turno de 8 horas 2 turnos de 8 horas 3 turnos de 8 horas106,6510152010. Motores em geral 10 1011. Navios de aço de madeira201051012. Ônibus 5 2013. Semoventes 5 2014. Tratores 4 2515. Veículos em geral 5 2047
  48. 48. MétodosA depreciação teórica representa uma estimativa da depreciação real. Vários são os métodosutilizados para o seu cálculo, os principais são:a) Método Linearb) Método da taxa constantec) Método das taxas variáveisd) Método de Colee) Método de capitalizaçãof) Método de anuidadesA aplicação de um outro desses métodos depende do administrador da empresa, do bem que se estadepreciando e de outros fatores particulares.a) Método linearEste é o mais utilizado na prática devido a sua simplicidade. Consiste em dividir o total a depreciarpelo número de anos de vida útil do bem.Seja, por exemplo, o cálculo de depreciação de uma máquina que custa $4.000,00 e tem vida útil de10 anos, com $500,00 de valor residual.A quota anual de depreciação é:T = 4.000,00 – 500,00 = 30010EXERCIOS PROPOSTOS1- Construa planilhas pelo sistema SAC para os casos abaixo:a) empréstimo de $4.000,00, 8 meses e taxa de 5% a.m.b) empréstimo de $6.600,00, 6 meses e taxa de 9% a.m.c) empréstimo de $21.000,00, 7 meses e taxa de 3% a.m.2- Construa planilhas pelo sistema francês (Price) dos exercício anterior?3- Construa planilhas pelo sistema francês do exercício 1 com 4 meses de carência?4- Construa planilha de Reembolso para os casos abaixo:a) empréstimo de $3.000,00, 5 meses e taxa de 8% a.m.b)empréstimo de $6.000,00, 6 meses e taxa de 4% a.m.c)empréstimo de $4.000,00, 7 meses e taxa de 3% a.m.48
  49. 49. CAPITULO VI6. Funções Financeiras na HP 12Cn i PV PMT FVn Numero de períodosi Taxa de juros do períodoPV Valor presentePMT Valor das prestações constantesFV Valor futuroAtravés das funções financeiras explicitadas podem ser resolvidos, no regime de capitalizaçãocomposta, quaisquer problemas financeiros que impliquem um só pagamento ou uma série depagamentos iguais. Os valores dos pagamentos, ou recebimentos, introduzidos na calculadoradevem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecida para fluxo de caixa, ou seja, sinal +para entradas e sinal – para as saídas.EXEMPLO 1Quando deverá receber uma pessoa que empresta $ 500.000,00 por 8 meses, à taxa de 10% ao mês?TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR FIN 0,00 Limpa registradores financeiros500000 CHSPV-500.000,00 Introduz o valor do empréstimo8 n 8,00 Introduz o prazo10 i 10,00 Introduz a taxaFV 1.071.794,41 Valor de resgate (valor futuro)EXEMPLO 2Determine a taxa de juros correspondente a uma aplicação de $ 200.000,00, por 6 meses e recebeuum montante de $ 325.000,00.TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR FIN 0,00 Limpa registradores financeiros200000 CHSPV-200.000,00 Introduz o valor da aplicação325000 FV 325.000,00 Introduz o valor do resgate6 n 6,00 Introduz o prazoi 8,43 Taxa mensal de juros49
  50. 50. EXEMPLO 3Uma pessoa emprestou a um amigo a importância de $ 1.000.000,00, à taxa se 120% ao ano,(muiamigo) pelo prazo de 3anos e meio. Determine o valor do resgate.OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:Para que a calculadora HP-12C faça o cálculo que se deseja, é necessário que o visor, embaixo e adireita, esteja aparecendo a letra “C”. Caso contrário, deve-se introduzi-lo pressionando as teclasSTO EXX .E para retirar essa instrução, basta pressionar essas mesmas teclas.Inicialmente, vamos resolver nosso problema de maneira indevida, como segue:TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEARFIN0,00 Limpa registradores financeiros1000000 CHSPV-1.000.000,00 Introduz o valor aplicado120 i 120,00 Introduz a taxa anual3,5 n 3,50 Introduz o prazoFV 17.036.800,00 Valor do resgate indevidoO valor que se deseja é o resultado da equação:F = P (1+i)n⇒ 1.000.000,00(2,2)3,5⇒ 15.793.536,30, que não coincide com o valor obtido dasfunções financeiras.Para o cálculo desejado, aproveita os dados contidos na calculadora e proceder como segue:TECLAS VISOR SIGNIFICADOSTO EXX 17.036.800,00 Introduz o “C” no visorFV FV 15.793.536,30 Valor do resgate desejadoEXEMPLO 4Uma letra de câmbio foi emitida por $ 100.000,00 e resgatada por $ 200.000,00, Sabendo-se que ataxa de juros é de 210% ao ano, calcular o prazo.TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEARFIN0,00 Limpa registradores financeiros100000 CHSPV-100.000,00 Introduz o valor de emissão200000 FV 200.000,00 Introduz o valor de resgate210 i 210,00 Introduz a taxa anualn 1,00 Prazo do tituloEvidentemente, é fácil perceber que essa resposta está errada. Se o prazo fosse um ano, o valor doresgate seria de $ 310.000,00.A resposta exata obtida através de logaritmo é 0,612639 ano ou 220,55 dias.Vamos agora resolver o problema a partir da taxa diária equivalente (utilizando os dados contidosna calculadora)TECLAS VISOR SIGNIFICADO50
  51. 51. 3.1 ENTER 3,10 1+ a taxa anual unitária360 1/x yx1,00 1+ a taxa diária unitária1 - 100 x i 0,31 Taxa diária (em % )n 221,00 Prazo (em numero de dias)6.1. Valores presentes e futuros para uma série de pagamentosAntes de começar a operar a calculadora HP-12C para resolver problemas de pagamentos iguais eperiódicos, deve-se posicioná-la adequadamente pois os pagamentos regulares podem ser feitos nofim de cada período (imediato ou postecipado) g END ou no início de cada período(antecipado) g BEG o que fará aparecer no visor a expressão BEGIN, que significa “início”.EXEMPLO 5Calcular o montante produzido pela aplicação de 10 parcelas mensais de $ 5.000,00 cada, sabendo-se que a taxa é de 8% ao mês e essas aplicações são feitas no final de cada período.TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR FIN 0,00 Limpa registrador financeiro10 n 10,00 Introduz node pagamentos5000 CHSPMT-5000,00 Introduz o valor dos pagamentos8 i 8,00 Introduz taxag END 8,00 Introduz forma de pagamentoFV 72.432,81 Valor do montanteUtilizando os mesmos dados do exemplo acima, calcular o montante admitindo que as aplicaçõessejam efetuadas no início de cada período.Para a solução deste caso não há necessidade de se introduzir os dados novamente, visto que osmesmos estão nas teclas financeiras. Basta proceder como segue:TECLAS VISOR SIGNIFICADOg BEG 72.432,81BEGINPosiciona a calculadora para pagamentosantecipadosFV 78.227,44BEGINValor do montanteEXEMPLO 6Um banco empresta $ 1.800.000,00 para ser liquidado em 12 prestações mensais iguais . Sabendo-se que a taxa cobrada pela instituição é de 10,5% ao mês e que a primeira prestação vence um mêsapós a data da operação, calcular o valor das prestações?TECLAS VISOR SIGNIFICADOF CLEAR REG 0,00 Limpa registradoresg END 0,00 Posiciona a calculadora para pagamentosimediatos1800000 CHSPV-1.800.000,00 Introduz valor do empréstimo51
  52. 52. 12 n 12,00 Introduz node prestações10,5 i 10,50 Introduz taxa de jurosPMT 270.678,14 Valor das prestaçõesEXEMPLO 7Uma empresa pagará $ 500,00 por mês correspondente a uma operação de leasing. O contrato foifirmado por 3 anos, sendo a primeira paga no ato da assinatura do contrato e um valor residual de $320,00, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2,5 % ao mês, calcular o valor do equipamento?TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradoresg BEG 0,00BEGINPosiciona a calculadora para pagamentosantecipados500 CHS PMT -500,00BEGINIntroduz valor da prestação36 n 36,00BEGINIntroduz node prestações2,5 i 2,50BEGINIntroduz taxa de juros320 CHS FV -320,00BEGINIntroduz valor residualPV 12.204,13BEGINValor do equipamento5.2. Sistema Price de amortizaçãoEXEMPLO 8Um empréstimo de $ 300.000,00 deve ser pago em 4 prestações mensais e consecutivas e imediatascom taxa de juros de 10% ao mês, construa uma tabela de amortização?TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradoresg END 0,00 Posiciona a calculadora para pagamentosimediatos300000 CHSPV-300.000,00 Introduz valor do empréstimo4 n 4,00 Introduz node prestações10 i 10,00 Introduz taxa de jurosPMT 94.641 24 Valor das prestações1 f AMORT 30.000,00 Parcela de juros correspondente a 1aprestaçãoX >< Y 64.641,24 Parcela de amortização correspondente a 1aprestaçãoRCL PV -235.358,76 Saldo devedor após a 1aprestação1 f AMORT 23.535,88 Parcela de juros correspondente a 2aprestaçãoX >< Y 71.105,36 Parcela de amortização correspondente a 2aprestaçãoRCL PV -164.253,40 Saldo devedor após a 2aprestação1 f AMORT 16425,34 Parcela de juros correspondente a 3aprestação52
  53. 53. X >< Y 78.215,90 Parcela de amortização correspondente a 3aprestaçãoRCL PV -86.037,50 Saldo devedor após a 3aprestação1 f AMORT 8.603,75 Parcela de juros correspondente a 4aprestaçãoX >< Y 86.037,49 Parcela de amortização correspondente a 4aprestaçãoRCL PV -0,00 Saldo devedorEXEMPLO 9Um imóvel é adquirido para pagamento em 72 prestações mensais iguais, imediatas e consecutivas.Sabendo-se que o valor do financiamento corresponde a $ 3.500,00, determinar o valor da parcelade juros, o valor da parcela de amortização e o saldo devedor correspondente a prestação de número47, sendo a taxa de juros de 1% ao mês?TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradoresg END 0,00 Posiciona a calculadora para pagamentosimediatos3500 CHS PV -3500,00 Introduz valor do empréstimo72 n 72,00 Introduz node prestações1 i 1,00 Introduz taxa de jurosPMT 68,43 Valor das prestações46 f AMORT 1.207,31 Valor dos juros correspondente a 46 primeirasprestações1 f AMORT 15,16 Valor dos juros correspondente a 47aprestaçãoX >< Y 52,83 Parcela de amortização correspondente a 47aprestaçãoRCL PV -1.506,70 Saldo devedor após o pagamento da 47aprestação5.3. ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXATaxa Interna de RetornoA taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valoratual de um ou mais recebimentos. O exemplo a seguir deixa bem claro esse conceito.Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um investimento $100.000,00 com trêsrecebimentos mensais de $30.000,00, $50.000,00, e $40.000,00.53105 0 .0 0 01 0 0 .0 0 02 3
  54. 54. TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradores100000 CHS g CFo -100.000,00 Valor do investimento300000 g CFj 30.000,00 Valor do 1o. pagamento500000 g CFj 500.000,00 Valor do 2o. pagamento400000 g CFj 400.000,00 Valor do 3o. pagamentof IRR 9,26 Taxa interna de retorno mensalEXEMPLO:Um equipamento no valor de $70.000 é integralmente financiado, para pagamento em 7 parcelasmensais, sendo as 3 primeiras de $10.000,00, as 2 seguintes de $15.000,00, a 6a. de $20.000,00 e a7a. de $30.000,00.Determinar a taxa interna de retorno da operação.TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradores70000 CHS g CFo -70.000,00 Valor do financiamento10000 g CFj 10.000,00 Valor do fluxo do 1o. grupo3 g Nj 3,00 Node vazes que este valor se repete10000 g CFj 15.000,00 Valor do fluxo do 2o. grupo3 g Nj 2,00 Node vazes que este valor se repete20000 g CFj 20.000,00 Valor do fluxo do 3o. grupo30000 g CFj 30.000,00 Valor do fluxo do 4o. grupof IRR 10,40 Taxa interna de retorno mensalEXEMPLO:5441 5 .0 0 007 0 .0 0 021 0 .0 0 062 0 .0 0 011 0 .0 0 031 0 .0 0 073 0 .0 0 051 5 .0 0 0
  55. 55. Uma industria adquire um equipamento em 6 prestações mensais de $73.570,00. Sabendo-se que ovalor financiado foi de $245.000,00 e que a 1a. prestação será paga no final do 5o. mês, determinar ataxa de juros cobrada?TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradores245000 CHS g CFo -245.000,00 Valor do financiamento0 g CFj 0,00 Valor do fluxo do 1o. grupo4 g Nj 4,00 Node vazes que este valor se repete73570 g CFj 73.570,00 Valor do fluxo do 2o. grupo6 g Nj 6,00 Node vazes que este valor se repetef IRR 8,30 Taxa interna de retorno mensalVALOR PRESENTE LÍQUIDOO valor presente liquido é uma técnica de analise de fluxo de caixa que consiste em calcular o valorpresente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste valor o valor do fluxoinicial (valor do empréstimo,do financiamento ou do investimento).EXEMPLO:Um empréstimo de $22.000,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de $12.000,00,$5.000,00 $8.000,00. Considerando umma taxa de juros de 7% ao mês, calcular o valor presentelíquido.TECLAS VISOR SIGNIFICADOf CLEAR REG 0,00 Limpa registradores22000 CHS g CFo -22.000,00 Valor do financiamento55402 4 5 .0 0 027 3 .5 7 0 7 3 .5 7 0617 3 .5 7 0 7 3 .5 7 037 3 .5 7 0 7 3 .5 7 07 8 9 1 05105 .0 0 02 2 .0 0 02 3
  56. 56. 12000 g CFj 12.000,00 Valor do fluxo do 1o. pagamento5000 g CFj 5.000,00 Valor do fluxo do 2o. pagamento8000 g CFj 8.000,00 Valor do fluxo do 3o. pagamento7 i 7,00 Taxa de juros mensalf NPV 112,53 Valor presente líquido56
  57. 57. CAPITULO VII7. Análise de Investimentos7.1. IntroduçãoQualquer tipo de empresa, seja ela industrial, comercial ou de prestação de serviços, há umacontínua necessidade de que sejam tomadas decisões. Tais decisões são tomadas com a finalidadede que um determinado objetivo seja alcançado. Mesmo empresas sem finalidades lucrativastambém tomam decisões, obviamente, o enfoque deste texto é a tomada de decisão com o objetivode se alcançar retorno financeiro.7.2. Decisões Financeiras BásicasAs decisões financeiras são, tradicionalmente, classificadas em três grupos:a. Investimento - corresponde às decisões de composição ideal dos ativos (fixos e de giro).Investimento em máquinas, equipamentos, estoques, etc.b. Financiamento - são as decisões ligadas a composição da estrutura de capitais da empresa(passivo). Financiar-se com recursos próprios ou de terceiros, de longo ou de curto prazo, etc.c. Distribuição de dividendos - preocupa-se com a destinação dos resultados gerados pelaempresa. Reter ou distribuir os lucros.7.3. Objetivo da Administração FinanceiraAs decisões financeiras devem procurar maximizar o valor do patrimônio (riqueza) do acionista. Oconceito difere ligeiramente do objetivo de maximização do lucro. Além do objetivo derentabilidade, as decisões financeiras devem observar a necessidade de manter a continuidade(sobrevivência) da empresa, isto é, sua “liquidez”.7.4. As Decisões de Investimento em Ativos FixosA importância das decisões de investimento em ativos fixos decorre do fato de que tais decisõesalém de envolver um grande volume de recursos produzem efeitos sobre a empresa durante umlongo período de tempo.Quando uma empresa investe um volume desnecessário de recursos em ativos fixos,inevitavelmente incorrerá em um grande volume de despesas, na pios das hipóteses de despesasfinanceiras. Por outro ledo, pequenos volumes investidos podem ocasionar perda decompetitividade, atraso tecnológico, etc.É, portanto, necessário e claramente admissível que toda empresa possua um conjunto dealternativas de investimento, genericamente denominados projetos de investimento.Tais projetos de investimento podem ser classificados em cinco categorias distintas:a) Reposição - são gastos realizados para manter atualizado o conjunto de ativos da empresa,necessários à fabricação de produtos lucrativos;b) Redução de Custos - incluem os gastos realizados com o objetivo de incorrer em menores custosde produção, através da substituição de equipamentos econômica ou tecnologicamente obsoletos;c) Expansão para Produtos Existentes - gastos incorridos para aumentar a capacidade de produçãode produtos existentes ou para atender novos mercados. São decisões complexas, pois envolvemconsiderações sobre a demanda dos produtos;57
  58. 58. d) Expansão Através de Novos Produtos - são dispêndios necessários para a fabricação de novosprodutos. Envolvem decisões ainda mais complexas de natureza estratégica, podendo alterar acaracterística dos negócios da empresa;e) Projetos Ambientais e de Segurança - dispêndios realizados normalmente por imposição legal,que sendo obrigatórios não envolvem grandes decisões.7.5. O Planejamento de Estudos EconômicosAs decisões de investimentos de uma empresa qualquer pode ser baseada apenas no sentimentopessoal (“feeling”) de um administrador responsável pela gestão de uma área da empresa.Outra alternativa é decidir pelo investimento através de um conjunto de estudos sistemáticos queprocura avaliar se é compensador para a empresa desembolsar um certo montante de capital hoje naexpectativa de receber um fluxo financeiro de benefícios no futuro.Decisões como:− compra de uma nova máquina;− substituição de um equipamento;− aluguel ou compra de um depósito;− lançamento de um novo produto;− ampliação de uma planta industrial;Envolvem a elaboração, avaliação e seleção de alternativas de aplicação de recursos financeiros(capital) com o objetivo de produzir retorno (remuneração do capital). Trata-se, portanto de umadecisão econômico-financeira.Muito embora as decisões de investimento também levam em consideração aspectos nãomonetários, as técnicas de avaliação de alternativas de investimentos tem como princípio o fluxo decaixa do projeto, isto é entradas e saídas relevantes de recursos financeiros. Contrariamente, aostradicionais princípios contábeis, a análise de investimento baseia-se em movimentação prospectivaincremental de “dinheiro”. Isto é, só deve ser considerado no estudo as movimentações de recursosmonetários que serão afetados pela decisão.7.6. Dado Relevante: O Fluxo de CaixaComo fora mencionado anteriormente, toda as técnicas de avaliação de alternativas de investimentobaseia-se no movimento de recursos financeiros, ou, simplesmente, fluxo de caixa.a) Investimento Inicial - dispêndio realizado para produzir retorno. Envolve a aquisição deequipamentos, edifícios, terrenos, despesas pré-operacionais, etc. E, quando for o caso, osrecursos necessários para capital de giro (estoques, financiamento de clientes, etc.).b) Fluxo de Caixa Gerado - os investimentos realizados em ativos deverão, obviamente produzirreceitas decorrentes da venda do produto ou serviço a ser fornecido aos clientes. Tais receitasproduzem entradas de caixa. Por outro lado, a produção de um produto ou serviço exige que aempresa incorra em custo de fabricação, despesas administrativas, despesas de distribuição,impostos, etc., que determinarão as saídas de caixa.A diferença entre as entradas e saídas de caixa é o fluxo líquido de benefícios esperados peloprojeto de investimento.Um investimento realizado para redução de custos tem como benefício, obviamente, omontante de redução dos citados custos. A redução de custo, neste caso é uma “entrada” decaixa.c) Fluxo de Caixa Incremental - fluxos passados não interessam. Só devem ser consideradas asentradas e saídas de caixa que ocorrerão em função da decisão tomada pelo novoinvestimento. Por exemplo, se uma determinada empresa vier produzir um novo produtoaproveitando-se da capacidade ociosa de um equipamento já instalado, não deverá computar,ainda que por rateio, o custo de aquisição do citado equipamento.d) Taxa Mínima da Atratividade (TMA) - todo projeto de investimento baseia-se no princípio deque a empresa fará um investimento hoje na expectativa de receber um fluxo de benefícios58
  59. 59. monetários no futuro. Isto é, o projeto em estudo deve apresentar uma taxa de atratividademínima. É, portanto, necessário considerar o custo de oportunidade do capital que a empresaincorre pois poderia aplicar em investimentos alternativos. Em avaliação de projetos deinvestimento assume diversos nomes: taxa mínima da atratividade, custo do capital, custo deoportunidade do capital, taxa de corte, etc.e) Valor Residual - o valor residual refere-se a uma possível entrada final de caixa que pode serobtido ao final da vida útil do projeto. Por exemplo, a venda dos equipamentos como sucata, ovalor de venda do terreno de um projeto de mineração já exaurida, a venda de caminhões deum projeto de criação de uma frota de distribuição, etc.Projetos com vida útil infinita, por exemplo hotéis, costumam considerar o valor residualcomo um possível valor de revenda do próprio hotel.7.7. O Problema da Vida ÚtilTodo projeto deve ter um horizonte de avaliação, denominado vida útil. A literatura de avaliação deprojetos não tem dedicado muita atenção ao assunto, devido principalmente ao fato de que cadaprojeto tem peculiaridades próprias que dificultam a sua fixação por critérios quantificáveis.Diversos são os aspectos considerados na fixação da vida útil de um projeto:a) Contábil/Fiscal - para determinação da depreciação dos bens físicos de uma empresa, o fiscoconsidera que tais bens apresentem uma certa vida útil. Por exemplo,Veículos - 5 anosConstrução civil - 25 anosMáquinas e equipamentos - 10 anosb) Desgaste Físico - todo equipamento está sujeito a apresentar desgaste físico pela suautilização. Por exemplo, uma frota de caminhões do setor açucareiro, equipamentos queprocessam ácidos, etc.c) Obsolescência Tecnológica do Equipamento - em função do desenvolvimento de novastecnologias associadas à produção de certos produtos, determinados equipamentos tornam-seobsoletos rapidamente. Por exemplo, uma escola de ensino de computação.d) Ciclo de Vida do Produto - todo produto/serviço tem um ciclo de vida, isto é, um períodoapós o qual será substituído por outro ou não mais consumido. Por exemplo, equipamentosconversores de UHF, restaurantes de modismo (danceterias, lambaterias, etc.).e) Incerteza - em um panorama econômico instável, torna-se mais difícil fazer projeções sobre ofuturo. A instalação de uma fábrica de automóveis de uma multinacional em dois paísesalternativos.Todos estes aspectos tornam a questão da fixação da vida útil de um projeto de investimentoextremamente complexo. Por outro lado, como alternativa à minimização do problema, éimportante observar que à medida que a vida útil estimada de um projeto vai se ampliando, osnovos fluxos vão perdendo importância na análise.7.8. Métodos de Avaliação (Engenharia Econômica)As denominadas técnicas de avaliação de investimentos destinam-se a estudar a viabilidadeeconômico-financeira de um projeto de inversão de recursos financeiros na expectativa de obtençãode um fluxo de benefícios monetários.Muito embora critérios qualitativos, estratégicos, etc. são considerados na decisão de investimentos,as técnicas tradicionais de análise de investimentos se baseiam exclusivamente no fluxo de caixa eno princípio do valor do dinheiro no tempo.7.8.1. Método do Valor Atual Líquido (VAL)É a diferença entre o Valor Atual das entradas de caixa (retornos) e o Valor Atual das saídas decaixa (dispêndios), descontados a uma taxa mínima de atratividade.59
  60. 60. 7.8.2. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)Consiste em calcular (obter) a taxa de juros (taxa de remuneração do capital) que torna o ValorAtual da entrada de caixa igual ao Valor Atual das saídas de caixa. Portanto o VAL, para TaxaInterna de Retorno, é igual a zero.EXEMPLO: A Diretoria de Desenvolvimento de Novos Negócios da CIA. FINANCEIRANACIONAL é responsável pela avaliação de novos negócios para o grupo. A empresa temtrabalhado com uma taxa mínima da atratividade (TMA) de 10% a.a., decorrente de seus atuaisnegócios. No momento 4 projetos estão em fase final de avaliação.ANOPROJETO AMINÉRIOPROJETO BAGRÍCOLAPROJETO CINDÚSTRIAPROJETO DCOMÉRCIO0 (130.000) (250.000) (190.000) (1.000.000)1 40.000 75.000 48.000 263.5002 40.000 75.000 48.000 152.7503 40.000 75.000 48.000 442.0804 40.000 75.000 48.000 278.2005 40.000 75.000 48.000 180.473Quais projetos devem ser realizados?R. Projeto VAL ($) TIR (%)A 21.631 16,3B 34.309 15,2C (8.042) 8,3D 0 10,07.8.3. Critérios de DecisãoA primeira abordagem às decisões de investimento é tradicionalmente denominada de abordagemda aceitação/rejeição, ou simplesmente estudo de viabilidade.a) Critério de decisão:Pelo VAL:Pela TIR:60
  61. 61. 7.8.4. Seleção de AlternativasPor vezes, em decorrências de restrições de ordem técnica ou orçamentária, há necessidade de seescolher o(s) melhor(es) projeto(s).Admitamos, que por qualquer razão, apenas um projeto deve ser realizado. Qual deveria ser oescolhido?7.8.5. Método do “Pay-back”Apesar de muito criticado o Método do “Pay-back” é largamente utilizado pelas empresas devido asua associação com risco do empreendimento. Consiste em calcular o prazo de retorno do capitalinvestido.EXEMPLO: Para os quatro empreendimentos apresentados anteriormente, quais os respectivos“pay-back”?R. A - 3,25 anosB - 3,33 anosC - 3,96 anosD - 3,51 anos7.8.6. “Pay-Back”DescontadoUma das principais críticas ao Método do “Pay-back” decorre de sua não consideração do valor dodinheiro no tempo. Uma alternativa que vem sendo utilizada é o cálculo do chamado “Pay-back”descontado.EXEMPLO: Para os exemplos acima teríamos os seguintes prazos de retorno:R. A - 4,13 anosB - 4,26 anosC - não retornaD - 5 anos7.9. Análise de Situações Específicas7.9.1. Restrições ao Uso da Taxa Interna de RetornoApesar se sua notória preferência como método de avaliação de investimento, o uso da Taxa Internade Retorno exige alguns cuidados especiais.a. Problemas na Dimensão dos Projetos - como fora visto anteriormente a maior TIR nãonecessariamente levaria a decisão correta na seleção da melhor alternativa de investimento. ATIR não leva em consideração o volume de recursos investidos.b. Ocorrência de Múltiplas TIR’s - conceitualmente, a TIR é a taxa de juros que torna o ValorAtual das entradas igual ao Valor Atual das saídas de caixa, isto é, o VAL é zero. Determinadosfluxos financeiros podem apresentar mais de uma taxa de juros (solução) que torna o VAL iguala zero. Evidentemente não são situações comumente encontradas.EXEMPLO: A compra de um guindaste pode ser efetuada de duas formas alternativas:Alternativa A: $ 300.000 em 30 diasAlternativa B: entrada de $ 80.000 e três pagamentos mensais consecutivos de $75.000.Qual a taxa de juros embutida na operação? (Há problemas de cálculo).61
  62. 62. c. A Hipótese do Reinvestimento - o cálculo da TIR pressupõe que todo fluxo de caixa gerado estásendo reinvestido (ou captado, se for o caso) à própria TIR. Isto equivale a dizer que a empresasempre terá novos projetos onde poderão ser reinvestidos recursos gerados (ou novas fontes decaptação).EXEMPLO: A Cia. de Embalagens Embal, tradicionalmente tem aplicado recursos no mercadofinanceiro a uma taxa de 8% a.a.. Atualmente, dispondo de $ 100.000, dois bancos estão propondouma aplicação pelo prazo de 5 anos, nas condições abaixo:a. Banco de Fomento Industrial, com uma taxa de 10% a.a. propõe amortizar a aplicação peloSistema Americano;b. Banco de Crédito, que adota a amortização pelo Sistema Francês em parcelas anuais iguais de $26.700.Em qual banco os recursos disponíveis devem ser aplicados?7.9.2. Financiamento com Recursos de TerceirosOs chamados investimentos de capital devem produzir um retorno que remunere os recursos doacionista (empreendedor) e os recursos de terceiros (financiadores). Nestes casos em que hárecursos de terceiros e de acionistas, a viabilidade do empreendimento deve ser consideradaseparadamente da viabilidade dos recursos investidos pelo acionista.EXEMPLO: Admita que o Projeto C - IndÀ

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