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Sucesiones

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  • 1. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO TEMA: SUCESIONES El problema de los conejos “Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.” 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 1
  • 2. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO LEONARDO DE PISA, FIBONACCI, ES EL QUE DA A CONOCER AL MUNDO LA SUCECION DE FIBONACCI EN SU LIBRO LIBER ABACI, JUNTO CON EL PROBLEMA DE LOS CONEJOS. LA SUCESION DE FIBONACCI O SECUENCIA ÁUREA TIENE MUCHA RELACION CON LOS PATRONES RITMICOS. ESTOS PATRONES RITMICOS SON MUY INFLUIDOS POR ELNUMERO ÁUREO (1.618033989....) Y SU CONJUGADO.ESTOS PATRONES RITMICOS PUEDEN VERSE EN: HOJAS, PLANTAS, FLORES, PARTES CORPORALES DE HUMANOS Y ANIMALES, EN EL ARTE, LA MUSICA.... Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 2
  • 3. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO Razonamiento Matemático Sucesiones  Noción de sucesión: Se tiene como idea o noción de sucesión, a todo conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar establecido, por tanto, se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero, etc; acorde con una ley de formación, criterio de ordenamiento o fórmula de recurrencia. A los elementos de dicho conjunto se les denomina términos de sucesión  Tipos de sucesiones • Sucesiones gráficas • Sucesiones aritmética Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por sumas o restas de cantidades constantes o variables. Se presenta los siguientes casos. 1. Por suma o Resta de una cantidad constante. Ejm. a) 1, 5, 9, 13,..... +4 +4 +4 +4 b) 15, 12, 9, 6,..... -3 -3 -3 -3 2. Por sumas o restas de cantidades variables que forman otra sucesión. Ejm: a) 4, 5, 7, 10,.... +1 +2 +3 +4 b) 12, 11, 9, 6,..... -1 -2 -3 -4 3. Por suma o resta de cantidades que no forman una sucesión simple. Ej: a) 4, 8, 15, 26,.... +4 +7 +11 +x +3 +4 +5 b) 99, 91, 80, 64, ..... -8 -11 -16 x -3 -5 -7 • Sucesiones geométricas Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por multiplicación o división de cantidades constantes o variables. Se presentan los siguientes casos: 4. Por multiplicación de una cantidad constante. Ejemplo: *) 2, 6, 18, 54,.... x3 x3 x3 x3 **) 48, 24, 12, 6,..... ÷2 ÷2 ÷2 ÷2 Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 3
  • 4. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO 5. Por multiplicación o división de cantidades variables. Ejm. *) 4, 8, 24, 96,.... x2 x3 x4 x5 **) 360, 72, 18, 6,.... ÷5 ÷4 ÷3 ÷2 Sucesiones combinadas: Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la combinación de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en una misma sucesión. Ejm: *) 3, 5, 10, 12, 24, .... +2 x2 +2 x2 **) 2, 6, 4, 12, 10, ...... x3 -2 x3 -2 x3 ***)1, 5, -3, 13, ...... +4 -8 +16 x x(-2) x(-2) x(-2) • Sucesiones alternadas Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la combinación de dos sucesiones numéricas diferentes en una misma sucesión. Ejm.: *) 2, -1, 6, -4, 10, -7 , ... ... • Sucesiones exponenciales: Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por potenciación de cantidades constantes o variables. 1; 3; 16; 125 • Sucesiones literales Las sucesiones literales pueden tener una ley de formación de tipo aritmética, geométrica, alternada, combinada o iniciales de palabras populares de uso cotidiano. Ejemplos: * ) A; C; F; J;.... **) A; C; I;..... ***) C , M , C , M , S , J , ... , ... U A I I E U A R N E I E T T C R S V R E O C E O S O S L E S )** ** A, I, M, E, D, A, C, .... Nota: Las letras compuestas CH, LL y RR no se consideran en las sucesiones literales, a menos que se indique lo contrario • Métodos para encontrar el término general de una sucesión aritmética:  Sucesión Lineal o de 1er grado. Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 4 Tn = An + B -3 -3 -3 +4 +4 +4 2° 31 42 53
  • 5. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO Tn = Términos general que permite encontrar cualquier término de la sucesión n = Lugar que ocupa el término enésimo A, B = constantes de la ley de formación (L.F.) de la sucesión Ejemplo: dada la serie 5, 9, 13, 17, .... Hallar: T220 Solución ⇒B= 1, 5, 9, 13,.... A = 4 4 4 4 ∴Tn = 4n + 1 ⇒ T220 4(220) + 1 T220 = 881  Sucesión cuadrática o de 2do grado Tn = término general n = lugar enésimo de un término A, B, C = constantes de la L.F. Ejemplo: Hallar T100 en: 4, 8, 14, 22, 32 Solución: C = 2, 4, 8, 14, 22, 32, .... A + B= 2 +4 6 8 10 2A = 2 2 2 2 ⇒ Tn = n2 + n + 2 ∴ T100 = 1002 + 100 + 2 = 10102  Sucesión cúbica o de 3er grado: Ejm: Hallar T20 en: -1, 1, 11, 35, 79, 149 Solución: D = -1; -1 , 1, 11, 35, 79, 149, ... A+B+C=0 2 10 24 44 70 6A+2B= 2 8 14 20 26 6A= 6 6 6 6 ∴ Tn = n3 – 2n2 + n-1 ⇒ T20 = 203 – 2(202 ) + 20 – 1 = 7219 Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 5 Como la razón la encontramos enseguida es una sucesión lineal a continuación retrocedemos Tn = An2 + Bn + C Tn = An3 + Bn2 + Cn + D
  • 6. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 6 Nombre Sucesión Regla de formación o término enésimo S U C E S I O N E S N O T A B L E S De los números naturales 1,2,3,4,5,....... tn = n De los números pares 2,4,6,8,10,..... tn = 2n De los números impares 1,3,5,7,9,....... tn = 2n - 1 De los números triangulares 1,3,6,10,15,21,..... tn = ( ) 2 1nn + De los números tetraédricos 1,4,10,20,35,....... ( )( ) 6 2n1nn tn ++ = Números pentagonales 1,5,12,22,........... ( ) 2 1n3n tn + = Números hexagonales 1,6,15,28,....... tn = n(2n-1) De los números cuadrados 1,4,9,16,25,........ tn = n2 De los cubos perfectos 1,8,27,64,125,...... tn = n3 S U C E S I O N E S E S P E C I A L E S De los números primos 2,3,5,7,11,13,...... No se tiene término enésimo pero si el criterio De Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,..... t1 = 1; t2 = 1 tn=tn–1+tn-2 ∀ n≥3 De Feinberg1 (“Tribonacci”) 1,1,2,4,7,13,24,.... t1 = 1; t2 = 1 t3=2 tn=tn–1+tn-2 + tn-3 ∀ n ≥ 4 De Lucas 1,3,4,7,11,.......... t1 = 1; t2 = 3 tn=tn–1 + tn-2 ∀ n ≥ 3 SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes
  • 7. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO Problemas Nivel I 1. ¿Qué número sigue? 4, 7, 13, 25, 49, 97, ____ a) 136 b) 193 c) 214 d) 307 e) 929 2. Hallar "x" 15, 16, 11, 20, 7, 24, x a) 3 b) 16 c) 32 d) 9 e) 5 3. Calcular la suma de cifras del siguiente término: 1, 3, 7, 15, 31, __ a) 5 b) 10 c) 6 d) 9 e) 3 4. ¿Qué letras continúan? __;;;; D K H C B E B A a) M E b) N F c) N E d) T G e) S H 5. ¿ Qué letra sigue? O, S, E, R, G, N, _____ a) P b) T c) A d) I e) O 6. Tenemos una progresión geométrica cuyo primer término es 2, y el 6to término es 64. Calcule el octavo término. a) 124 b) 64 c) 256 d) 512 e) 1024 7. Hallar el término 80 en la sucesión: 23, 25, 27, 29, ........ a) 174 b) 156 c) 160 d) 181 e) 174 8. ¿Qué sigue en? 1, 4, 13, 40, 121, ? a) 186 b) 264 c) 292 d) 306 e) 364 9. En la sucesión el número siguiente es: ____, 17 1 , 10 1 , 5 1 , 2 1 a) 24 1 b) 26 1 c) 21 1 d) 27 1 e) 30 1 10. El octavo término de la sucesión es: ____:, 20 31 , 12 17 , 6 7 , 2 1 Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 7
  • 8. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO a) 72 127 b) 56 129 c) 72 128 d) 79 129 e) 56 127 11.¿Qué número sigue? 2, 3, 4, 9, 16, 29, 54, ? a) 89 b) 72 c) 81 d) 96 e) 99 12.Hallar el valor de ? 1, 2, 9, 121, ? a) 260 b) 629 c) 16900 d) 1300 e) 2500 13.La ley de formación que corresponde a la sucesión es: 0, 10, 24, 42, 64, 90, ..... a) n2 + 4n + 6 b) 2n2 + 4n + 2 c) 2n2 + 4n – 6 d) 3(n+3) (n-1) e) 2(n+3) (n+2) 14.Hallar 2 x en la sucesión: 5, x , 32, 68, 140, 284 a) 20 b) 10 c) 6 d) 7 e) 3 15.En la sucesión el término siguiente es: -11, - 4, 6, 22, 50, ? a) 72 b) 90 c) 102 d) 84 e) 100 Nivel II 1. Hallar el término 40 en: 4, 9, 18, 37, 72, ...... a) 58997 b) 59878 c) 57997 d) 50000 e) 64000 2. Dadas las sucesiones: ,......... 5 16 , 4 9 , 3 4 , 2 1 ,......... 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 La diferencia de los términos n - ésimos es: a) 1 )1( − + n nn b) 1+n n c) 1 )1( + − n nn d) )1( 1 − + nn n e) )1( 1 + − nn n 3. Hallar: 2(x + y) 3; 4; 7; 7; 11; 11; 15; x; y a) 8 b) 64 c) 92 d) 70 e) 28 4. Hallar x: 3; 8; 6; 35; 8; 63; 7; x a) 27 b) 54 c) 48 d) 81 e) 14 Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 8
  • 9. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO En los siguientes problemas, hallar el valor del término que continúa 5. 1; 2; 5; 10; 13; 26; x. a) 15 b) 29 c) 9 d) 3 e) 16 6. 20; 8; 8; 26; 68; x. a) 10 b) 325 c) 176 d) 140 e) 125 7. G, R, P, N, ___ a) A b) E c) I d) O e) U 8. M, M, J, ____ a) P b) Q c) S d) Y e) V 9. B, D, H, N, ____ a) P b) U c) M d) K e) O 10. ____; 35 6 ; 15 4 ; 3 2 a) 63 8 b) 2 5 c) 17 6 d) 51 7 e) 123 10 11. y x ; 11 11 ; 14 8 ; 16 6 ; 17 5 . Hallar x +y a) 35 b) 22 c) 9 d) 40 e) 57 12. 8; 4, 6; 7; 3; 5; 12; 20; 16; 7; 23; a a) 15 b) 12 c) 21 d) 34 e) 51 13. 34;12;2;2 a) 71 b) 3 29 c) 28 d) 15 e) 4 15 14. 12; 23; 1; 45; ____ a) –15 b) –43 c) 24 d) 48 e) 71 15. Hallar “x” 2, 3, 5, 7, 11, 13, x a) 15 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18 16. ¿Qué letra continúa: U, T, C, S; ______ a) V b) N c) O d) X e) D 17. ¿Qué letra continúa? Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 9
  • 10. JP Pagina web: www.webdejhoper.pe.kz correo: jhoper-grama@hotmail.com Círculo Matemático “JHOPER” PREPARATORIA - CICLO PRE-UNIVERSITARIO U, S, O, D, V; ____ a) U b) B c) Z d) X e) V 18. Qué letra sigue: G; H; I; G; I; K; G; J; ______ a) N b) P c) R d) M e) S Prof. JHONNY PERCY GRANDE MAMANI Página 10

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