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  • 1. 1 UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD TÉCNICA CURSO PREUNIVERSITARIO (TURNO VESPERTINO)DOCENTE: Ing. Jhonny Freddy Copa RoqueASIGNATURA: FÍSICATEMARIO: TEMA 1: SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO. TEMA 2: VECTORES EN EL PLANO. TEMA 3: FUERZAS. TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO.EVALUACIÓN: ASISTENCIA: 10 %. PRÁCTICAS: 20 %. DOS EXÁMENES PARCIALES: 30 %. EXÁMEN FINAL: 40 %. TOTAL 100 %. SEMESTRE 2/2010
  • 2. 2TEMA 1 SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANODEFINICIÓNLlamado también coordenadas rectangulares. Un sistema de coordenadas rectangulares esun sistema de dos ejes o rectas que se cortan en un punto O, siendo perpendiculares entresi. - Al eje horizontal, le llamaremos el eje de las X o abscisas y las distancias de O serán positivas hacia la derecha y negativas hacia la izquierda. - Al eje vertical, le llamaremos el eje de las Y u ordenadas y las distancias de O serán positivas hacia arriba y negativas hacia abajo.
  • 3. 3Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes. X O Y : es el primer cuadrante. Y O X’ : el segundo cuadrante. X’ O Y’ : el tercer cuadrante. Y’ O X’ : el cuarto cuadrante.El origen O divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y otro negativo. OX : Semieje positivo del eje X. O X’ : Semieje negativo del eje X. OY : Semieje positivo del eje Y. O Y’ : Semieje negativo del eje Y.PAR ORDENADOEs un conjunto formado por dos elementos a y b anotados así: (a, b)Donde a se llama primera componente del par ordenado y b es la segunda componente. Unpar ordenado se utiliza para representar un punto en un sistema de coordenadas; donde laprimera componente representa la distancia de O en dirección horizontal, y la segundacomponente representa la distancia desde O en dirección vertical.
  • 4. 4 (x, y)DETERMINACIÓN DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS 1. Determinar el punto (2,3). 2. Determinar el punto (-3,5). 3. Determinar el punto (-2,-4). 4. Determinar el punto (4,-2).RESUMENCUADRANTE ABSCISA (X) ORDENADA (Y)PRIMER CUADRANTE X o Y + +SEGUNDO CUADRANTE Y O X’ - +TERCER CUADRANTE X’ O Y’ - -CUARTO CUADRANTE Y’ O X’ + -
  • 5. 5EJERCICIO 1Determinar los puntos: P1 (4,2), P2 (-3,4), P3 (-3,-3), P4 (2,-5), P5 (0,3) y P6 (-2,0).EJERCICIO 2Trazar la línea que pasa por los puntos:a) (-2,1) y (-4,4) b) (2,-4) y (5,-2) c) (-4,0) y (0,-2) d) (-3,-6) y (0,1)
  • 6. 6EJERCICIO 3 a) Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,6), (3,0) y (-3,0). b) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son: (4,4), (-4,4), (-4,-4) y (4,-4).
  • 7. 7 c) Dibujar el rectángulo cuyos vértices son: (1,-1), (1,-3), (6,-1) y (6,-3).PRÁCTICA 11. Determinar gráficamente los puntos: P1 (-1,2), P2 (2,-3), P3 (3,-4), P4 (-3,-4), P5 (- 3,0) y P6 (-4,-3).
  • 8. 82. Trazar la línea que pasa por los puntos: a) (1,2) y (3,4) b) (-3,-2) y (-1,-7) c) (3,0) y (0,4) d) (-4,5) y (2,0) e) (-3,-2) y (3,2).3. Dibujar las siguientes figuras geométricas: a) Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,-5), (-4,3) y (4,3).
  • 9. 9b) Dibujar el cuadrado cuyos vértices son: (-1,-1), (-4,-1), (-4,-4) y (-1,-4).c) Dibujar el rombo cuyos vértices son: (1,4), (3,1), (5,4) y (3,7).d) Probar gráficamente que la serie de puntos (-3,5), (-3,1), (-3,-1), (-3,4), se halla paralela a la línea que contiene a los puntos (2,-4), (2,0), (2,3), (2,7).
  • 10. 10TEMA 2 VECTORES EN EL PLANODEFINICIÓNVector es aquel elemento matemático, indicado por un segmento orientado que nos permiterepresentar gráficamente a una magnitud vectorial.En la escritura, una letra del abecedario mayúscula o minúscula en negrilla como porejemplo: A (en negrilla o tipo grueso)
  • 11. 11ELEMENTOS DE UN VECTORLos elementos de un vector son: B L C O APUNTO DE APLICACIÓNLlamado también origen, es el punto donde se supone actúa el vector. En el gráfico es elpunto O.MÓDULO O INTENSIDADRepresenta el valor de la cantidad física vectorial. En el gráfico esta representado por L.SENTIDOEs la orientación del vector y se representa por una flecha. En el gráfico el sentido es de Oa C.DIRECCIÓNEsta representada por la recta que contiene al vector. En nuestro caso, la recta que contieneal vector es la recta A B.REPRESENTACIÓN DE VECTORESLos vectores pueden representarse en las siguientes formas: a) REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Un vector se representa gráficamente por un segmento de recta dirigido. A a
  • 12. 12 b) REPRESENTACIÓN RECTANGULAR O CARTESIANA: Para esta forma de representación es necesario tomar como referencia un sistema de ejes coordenados rectangulares; en estas condiciones, se dice que un vector está representado en forma rectangular o cartesiana cuando viene definido por un par ordenado (x,y). su notación es:A = (Ax, Ay) representa un vector en el plano.Ejemplo 1, representar los siguientes vectores: → → → → → A = (4,3); B = (2,5); C = (3,−4); D = (−5,−2); E = (−3,4) c) REPRESENTACIÓN POLAR: Un vector está representado en forma polar cuando viene definido por un par ordenado (A, θ), donde A representa su magnitud y θ el ángulo que forma con una recta de referencia (por lo general el eje positivo x). → A = (A, θ )Ejemplo 2, → → → A = (60,0°) B = (90,35°) C = (180,220°)
  • 13. 13CLASES DE VECTORESEstudiaremos las siguientes clases: 1) VECTORES LIBRES, son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones. 2) VECTORES PARALELOS, dos o mas vectores son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas. A B L1 L2 3) VECTORES COPLANARES, dado un conjunto de vectores se dice que son coplanares cuando las rectas que los contienen están en un mismo plano.
  • 14. 14 4) VECTORES CONCURRENTES O DISCURRENTES, cuando sus líneas de acción (dirección) se cortan en un solo punto. 5) VECTORES COLINEALES, cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta. 6) VECTORES IGUALES, si tienen igual magnitud y dirección. → → A=B 7) VECTORES OPUESTOS, se llaman opuestos si tienen igual magnitud, la misma dirección y sentido contrario u opuesto. → → A = -BOPERACIONES CON VECTORESMÉTODOS GRÁFICOSSUMA DE VECTORESLa suma de dos o más vectores es otro vector resultante. La resultante es aquel vector queal reemplazar a un conjunto de vectores produce el mismo efecto que el conjunto. Se tienenlos siguientes métodos gráficos: a) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO, válido para dos vectores, consiste en trazar los dos vectores con sus magnitudes, direcciones y sentidos de modo que sus orígenes coincidan, luego se trazan paralelas a cada vector; la suma R estará representada por la diagonal del paralelogramo, cuyo origen es el de los vectores dados.
  • 15. 15EJERCICIO 1: → → → R = A+ BEJERCICIO 2: → → → R = M+ N b) MÉTODO DEL TRIÁNGULO, es una deducción del método del paralelogramo. Consiste en formar un triángulo con los vectores dados, colocándola una a continuación del otro. La resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo final del segundo, en este sentido.EJERCICIO 3: → → → R = A+ BEJERCICIO 4: → → → R = C+ D c) MÉTODO DEL POLÍGONO, se emplea para sumar más de dos vectores. El método es análogo al del triángulo.
  • 16. 16EJERCICIO 5: → → → → → R = A+ B+ C+ DDIFERENCIA DE VECTORESLa diferencia de vectores es un caso particular de la suma; pues, si se tiene los vectores→ →A yB. → → →  → A− B = A+  − B   O sea que se convierte en adición al sumar el primer vector al opuesto del segundo. → →EJERCICIO 6: Hallar A − B → →  → R = A+  − B   METODOS ANALÍTICOSPara realizar operaciones con vectores mediante los métodos analíticos, primeramente esnecesario conocer o tener nociones generales sobre las funciones trigonométricas.FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASPara hablar de funciones trigonométricas, específicamente debemos referirnos aun triángulorectángulo.
  • 17. 17 Respecto al ángulo α: a es el cateto opuesto b es el cateto adyacente. Respecto al ángulo β: a es el cateto adyacente b es el cateto opuesto.Respecto al ángulo α: a b a Senα = , Cosα = , Tanα = c c bRespecto al ángulo β: b a b Senβ = , Cosβ = , Tanβ = c c aTEOREMA DE PITÁGORASEste teorema se aplica para hallar la resultante de dos vectores si estos forman un ángulo de90° entre si. R 2 = A2 + B 2TEOREMA DE LOS COSENOSEste teorema se utiliza para hallar la resultante de dos vectores en el caso de que formenentre si un ángulo diferente de 90°. α = 180° − β R 2 = A 2 + B 2 − 2 ABCosα = A 2 + B 2 − 2 ABCos (180° − β ) R = A2 + B 2 − 2 ABCos(180° − β )TEOREMA DE LOS SENOSPara aplicar este teorema se construye gráficamente la resultante de la suma o diferencia dedos vectores, formando de esta manera un triángulo.
  • 18. 18 A B R = = Senγ Senδ SenαEJERCICIO 7:DATOS: A = 75 Kp (180° con la horizontal), B = 100 Kp (35° con la vertical).R = A2 + B 2 − 2 ABCos(125°) = 752 + 100 2 − 2 ⋅ 75 ⋅100 ⋅ Cos(125°) = 155.66( Kp)EJERCICIO 8:En el siguiente gráfico A = 600 N. determinar el valor de la componente B y el de laresultante R. B 600 600 ⋅ Sen 30° = ⇒B= = 346.41(N ) Sen 30° Sen 120° Sen 120° R 600 600 ⋅ Sen 30° = ⇒B= = 346.41(N ) Sen 30° Sen 120° Sen 120°DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE VECTORESEs expresarlo en función de otros vectores ubicados sobre rectas perpendiculares entre si.
  • 19. 19DETERMINACIÓN DE FÓRMULAS OA=BC (Por construcción). OCB Es triángulo (Por construcción).Por trigonometría Vx Cosα = ⇒ Vx = V ⋅ Cosα Componente en el eje x. V Vy Senα = ⇒ Vy = V ⋅ Senα Componente en el eje y. VLa resultante se obtendrá con la siguiente relación: V = (Vx ) + (Vy ) 2 2El ángulo que forma la resultante con el eje de abscisas (eje x) viene dado por la fórmula:  Vy  α = Arc Tan   Vx EJERCICIO 9: Datos: A = 90 Kp, B = 60 Kp, α = 20°, θ = 50°, hallar la R y φ. β = 90° − θ = 90° − 50° = 40°
  • 20. 20 ∑ Rx = −B⋅Cos β + A⋅Cos α = −85⋅Cos 40° + 65⋅Cos 20° = −4.03 (N) ∑ Ry = −B⋅Sen β + A⋅Sen α = −85⋅Sen 40°+ 65⋅Sen 20°= 76.87 (N) R= (∑ Rx) + (∑ Ry ) 2 2 = (− 4.03)2 + (76.87)2 = 76.98 (Kp )  ∑ Ry  θ = Arc Tan  = Arc Tan 76.87  = 87°      ∑ Rx   4.03 EJERCICIO 10: Datos: A = 90 Kp, B = 60 Kp, C = 120 Kp, D = 30 Kp, α = 45°, β = 30°,φ = 60°. Hallar la R y δ.∑ Rx = − A⋅Cos 45° + C ⋅Cos 30° − B ⋅Cos 30° + D = 90⋅Cos 45° +120⋅Cos 30° − 60⋅Cos 30° + 30 =145.6 (Kp)∑ Ry = − A⋅ Sen 45° −C ⋅ Sen 30° − B⋅ Sen 30° = 90⋅ Sen 45° +120⋅ Sen 30° − 60⋅ Sen 30° = −26.36 (Kp) R= (∑ Rx) + (∑ Ry ) 2 2 = (145.6)2 + (− 26.36)2 = 147.97 (Kp )  ∑ Ry  θ = Arc Tan  = Arc Tan 26.36  = 10.26°     ∑ Rx    145.6 
  • 21. 21PRACTICA 21.- Sumar los siguientes vectores mediante el método del paralelogramo.a)b)2.- Sumar los siguientes vectores mediante el método del triángulo.a)
  • 22. 22b)3.- Sumar los siguientes vectores por el método del polígono.a)
  • 23. 23b)
  • 24. 24PRÁCTICA 3EJERCICIO 1.-DATOS: A = 100 (N), B = 125 (N), C = 75 (N), D = 50 (N), E = 150 (N).
  • 25. 25∑ Rx = B + A⋅Cos 20° − C⋅Cos 60° − E⋅Cos 40° − D ⋅ Cos 45° == 125 +100 ⋅ Cos 20° − 75 ⋅ Cos 60° −150 ⋅ Cos 40° − 50 ⋅ Cos 45° = 31.21 (N)∑ Ry = A⋅Sen 20° + C⋅Sen 60° + E⋅Sen 40° − D⋅Sen 45° == 100 ⋅ Sen 20° + 75 ⋅Sen 60° −150 ⋅ Sen 40° − 50 ⋅ Sen 45° = 160.22 (N)∑ Rx = 31.21(N )∑ Ry = 160.22(N ) R= (∑ Rx) + (∑ Ry ) 2 2 = (31.21)2 + (160.22)2 = 163.23 (N )  ∑ Ry  θ = Arc Tan  = Arc Tan 160.22  = 78.98°     ∑ Rx    31.21 
  • 26. 26EJERCICIO 2∑ Rx = 5 ⋅ Cos 60° − 16 ⋅ Cos 45° − 11 ⋅ Cos 30° = -13.34 (Kp)∑ Ry = 15 ⋅ Sen 60° + 16 ⋅ Sen 45° − 11 ⋅ Sen 30° − 12 = 6.8 (Kp )∑ Rx = −13.34(Kp )∑ Ry = 6.8(Kp ) R= (∑ Rx) + (∑ Ry ) 2 2 = (− 13.34)2 + (6.8)2 = 14.97 (Kp )  ∑ Ry  θ = Arc Tan  = Arc Tan 6.8  = 27.01°      ∑ Rx   13.34 
  • 27. 27EJERCICIO 3∑ Rx = 3 + 4 ⋅ Cos 30° − 4 ⋅ Cos 30° = 3 (Kp )∑ Ry = 4 ⋅ Sen 30° + 4 ⋅ Sen 30° = 4 (Kp)∑ Rx = 3(Kp )∑ Ry = 4(Kp ) R= (∑ Rx) + (∑ Ry ) 2 2 = (4)2 + (3)2 = 5 (Kp )  ∑ Ry  θ = Arc Tan  = Arc Tan 3  = 53.13°      ∑ Rx  4
  • 28. 28 EXAMEN PRIMER PARCIAL1. Ubicar los siguientes puntos en el eje cartesiano: (5,0), (1,1), (0,5), (-1,1), (-5,0), (- 1,-1), (0,-5), (1,-1).2. Dibujar la recta que pasa por (4,0) y (0,6) y la recta que pasa por (0,1) y (4,5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas.
  • 29. 293. El siguiente grupo de vectores resuelva por: a) Por el método del polígono.
  • 30. 30b) Por el método de descomposición rectangular.∑ Rx = 3 + 4 ⋅ Cos 30° − 3 ⋅ Cos 45° = 4.34 (m )∑ Ry = 2 + 4 ⋅ Sen 30° − 3 ⋅ Sen 45° = 1.88 (m )∑ Rx = 4.34(m )∑ Ry = 1.88(m )R= (∑ Rx) + (∑ Ry ) 2 2 = (4.34)2 + (1.88)2 = 4.73 (m)  ∑ Ry θ = Arc Tan  = Arc Tan 1.88  = 23.42°    Rx  ∑   4.34 
  • 31. 31TEMA 3 FUERZASFUERZAS COPLANARIAS PARALELAS - MOMENTO DE UNA FUERZA (OPAR)Con respecto a un eje es una medida de la efectividad de la fuerza para producir unarotación alrededor de dicho eje. MOMENTO = MÓDULO DE LA FUERZA x DISTANCIA DEL EJE DE ROTACIÓNSi la fuerza se expresa en Kilopondios (Kp) y la distancia en metros (m), la unidad demomento es el Kilopondio-metro (Kp-m).DEFINICIÓN DE EQUILIBRIOUn cuerpo sobre el que actúa un sistema de fuerzas está en equilibrio cuando dicho sistemano produce cambio alguno ni en su movimiento de traslación (rectilíneo), ni en el derotación.CONDICIONES DE EQUILIBRIO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZASCOPLANARIAS PARALELAS 1. La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una dirección cualquiera debe ser cero. Ello equivale a decir que la suma de las fuerzas hacia arriba sea igual a la de abajo y lo mismo para las fuerzas actuando en otras direcciones. ∑ Fv = 0 ∑ Fh = 0 2. La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las contiene debe ser cero. ∑ Mo = 0EJERCICIO 1Una barra AC de 1 m de longitud está sometida a la acción de tres fuerzas verticales.Encontrar:
  • 32. 32 a) La suma algebraica de las fuerzas. b) La suma algebraica de los momentos con respecto a un eje que pase por cada uno de los puntos A, B y C. c) La resultante y equilibrante del sistema de fuerzas. a) ∑ Fv = 0 = (− 3 + 2 − 4)Kp = −5 (Kp ) b) ∑M A = (2 ⋅ 0.6 − 4 ⋅ 1)Kp ⋅ m = −2.8(Kp ⋅ m ) ∑M B = (3 ⋅ 0.6 − 4 ⋅ 0.4)Kp ⋅ m = 0.2(Kp ⋅ m ) ∑M C = (3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0.4)Kp ⋅ m = 2.2(Kp ⋅ m ) c)Si la resultante R = - 5 Kp, la equilibrante E = 5 Kp
  • 33. 33∑M A =0 4 − 1 .2 2 ⋅ 0 .6 − 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ x = 0 ⇒ x = = 0.56 (m ) 5∑M B =0 3 − 0 .8 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 .4 − 5 ⋅ y = 0 ⇒ y = = 0.44 (m ) 5Entonces: L = 0.56 + 0.44 = 1 (m )EJERCICIO 2Hallar la longitud de los brazos de una palanca de 36 cm de largo, sabiendo que permaneceen equilibrio cuando de sus extremos cuelgan dos pesos de 10 Kp y 20 Kp respectivamente.Se supone que la palanca no tiene peso.∑M A =0 720 10 ⋅ x − 20 ⋅ (36 − x ) = 0 ⇒ 10 ⋅ x − 720 + 20 ⋅ x = 0 ⇒ x = = 24 (m ) 30Entonces: y = 36 − x = 36 − 24 = 12(m )
  • 34. 34EJERCICIO 3Una varilla AB, de peso despreciable y 100 cm de longitud, se encuentra sometida a laacción de las fuerzas horizontales de 8, 4, 2 y 2 Kp representadas en la figura. ¿Qué esnecesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio? ∑F H =0 R = (− 2 − 2 + 4 − 8)Kp = −8 (Kp ) Hacia la izquierda.Entonces la equilibrante será: E = 8 (Kp) Hacia la derecha.
  • 35. 35∑M A =0 200 + 160 − 80 2 ⋅ 100 + 2 ⋅ 80 − 8 ⋅ y − 4 ⋅ 20 = 0 ⇒ y = = 35 (m ) 8EJERCICIO 4Una barra uniforme AB de 100 cm de longitud y 5 Kp de peso, está sometido a la acción deuna fuerza vertical hacia debajo de 2 Kp aplicada a un punto situado a 20 cm del extremoA, y a las fuerzas verticales hacia arriba de 5, 3 y 8 Kp aplicadas respectivamente. ¿Qué esfuerza es necesario añadir al sistema para que se encuentre en equilibrio?. ∑ Fv = 0 R = (5 + 3 + 8 − 2 − 5)Kp = 9 (Kp ) Hacia arriba.Entonces la equilibrante será: E = −9(Kp ) hacia abajo.∑M A =0 180 + 800 + 40 − 250 − 2 ⋅ 20 − 5 ⋅ 50 − 9 ⋅ x + 3 ⋅ 60 + 8 ⋅ 100 = 0 ⇒ x = = 76.67 (cm ) 9EJERCICIO 5Una barra AB de 100 cm de longitud, apoyada en sus extremos, tiene su centro de gravedada 20 cm del extremo A. teniendo en cuenta que el peso de la barra es de 100 Kp, calcularlas fuerzas ejercidas sobre los apoyos A y B.
  • 36. 36∑M A =0 100 ⋅ 20 − 100 ⋅ 20 + FB ⋅ 100 = 0 ⇒ FB = = 20 (Kp ) 100∑M B =0 100 ⋅ 80 − FA ⋅ 100 + 100 ⋅ 80 = 0 ⇒ FA = = 80 (Kp ) 100EJERCICIO 6Una tabla uniforme de 3 m de longitud y 50 Kp de peso está soportada en posiciónhorizontal por dos cuerdas verticales unidas a sus extremos. Calcular la tensión en cadacuerda cuando un hombre de 90 Kp permanece sobre ella a una distancia de 1 m de uno delos extremos. ∑M A =0 90 + 75 − 90 ⋅ 1 − 50 ⋅ 1.5 + TB ⋅ 3 = 0 ⇒ TB = = 55 (Kp ) 3 ∑M B =0 180 ⋅ 75 − T A ⋅ 3 + 90 ⋅ 2 + 50 ⋅ 1.5 = 0 ⇒ T A = = 85 (Kp ) 3EJERCICIO 7Hallar la suma de los momentos de las fuerzas representadas con respecto a ejesperpendiculares al plano que pasen por B.
  • 37. 37 ∑M B = (− 10 ⋅ 20 + 50 ⋅ Sen 30° ⋅ 20)Kp ⋅ m = 0 (Kp ⋅ m )PRÁCTICA 41. Una barra uniforme de 4 m de longitud y 15 Kp de peso se mantiene en posición horizontal sobre un apoyo, cuando de sus extremos cuelgan pesos de 20 y 25 Kp. Calcular la posición del punto de apoyo.∑ Fv = 0 − 20 − 15 + P − 25 = 0 ⇒ P = 20 + 15 + 25 = 60(Kp )∑M A =0 30 ⋅ 100 − 15 ⋅ 2 + P ⋅ x − 25 ⋅ 4 = 0 ⇒ x = = 2.17 (cm ) 60
  • 38. 382. Hallar la resultante R de las tres fuerzas indicadas en la figura y la distancia x de la resultante R.∑ Fv = 0 R = −30 − 50 − 20 = −100 (Kp ) Hacia abajo.Entonces la equilibrante será: E = 100 (Kp ) hacia arriba.∑M A =0 1200 + 5000 + 3000 − 30 ⋅ 40 − 50 ⋅ 100 + E ⋅ x − 20 ⋅ 150 = 0 ⇒ x = = 92 (cm ) 1003. Una barra uniforme AB, de 100 cm de longitud y 60 Kp de peso, está sometida a la acción de una fuerza vertical hacia arriba de 50 Kp aplicada en un punto a 20 cm del extremo A, y a las fuerzas verticales hacia debajo de 60 y 30 Kp en A y B respectivamente. Hallar la equilibrante del sistema y su punto de aplicación.
  • 39. 39∑ Fv = 0 R = (50 − 60 − 60 − 30)Kp = −100 (Kp ) Hacia abajo.Entonces la equilibrante será: E = 100 (Kp ) hacia arriba.∑M A =0 3000 + 3000 + 1000 50 ⋅ 20 − 60 ⋅ 50 + E ⋅ x − 30 ⋅ 100 = 0 ⇒ x = = 50 (cm ) 1004. Hallar la suma de los momentos de las fuerzas representadas con respecto a ejes perpendiculares al plano y que pasen por C en la figura. ∑M C = (− 60 ⋅ Sen 30° ⋅ 50 − 25 ⋅ 50)Kp ⋅ cm = 2750 (Kp ⋅ cm ) = 27.5 (Kp ⋅ m )
  • 40. 40FUERZAS COPLANARIAS NO PARALELASCONDICIONES DE EQUILIBRIO 1. FUERZAS: La resultante o suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo debe ser cero. ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 2. MOMENTOS: La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas, con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano de las mismas debe ser cero. ∑ Mo = 0EJERCICIO 8Un peso de 100 Kp se mantiene en equilibrio suspendido de dos cuerdas, como se presentaen la figura. Una de las cuerdas tira en dirección horizontal y la otra forma un ángulo de30° con la vertical. Calcular la tensión en las cuerdas.∑F x = 0 ⇒ T2 ⋅ Cos 60° − T1 = 0 (1)∑F y = 0 ⇒ T2 ⋅ Sen 60° − 100 = 0 (2)De (2) despejando T2 se tiene: 100 T2 = = 115.47 (Kp ) Sen 60°Reemplazando en (1) tenemos: T1 = T2 ⋅ Cos 60° = 115.47 ⋅ Cos 60° = 57.74 (Kp )
  • 41. 41EJERCICIO 9Un peso de 600 Kp está suspendido de un poste por medio de la barra OA, de 4 m delongitud, articulado en A, y de la cuerda OB, unida al poste en el punto B situado a 3 m porencima de A. calcular la tensión T en la cuerda OB y el empuje P de la barra AO.Calculando la longitud L L= (4)2 + (3)2 = 25 = 5 (m)Hallando las funciones trigonométricas respecto de α. 3 4 Sen α = Cos α = 5 5 ∑ Fx = 0 ⇒ − P + T ⋅ Cos α = 0 (1) ∑F y = 0 ⇒ −600 + T ⋅ Sen α = 0 (2)De (2) despejando T se tiene: 600 600 T= = = 1000 (Kp ) Sen α 3 5Reemplazando en (1) se tiene: 4 P = T ⋅ Cos α = 1000 ⋅ = 800 (Kp ) 5EJERCICIO 10El extremo B de una barra AB está articulada a un mástil, mientras que del otro extremo Acuelga un peso de 80 Kp, como se representa en la figura. La barra se mantiene en posición
  • 42. 42horizontal por medio de un acuerda unida al extremo A y al mástil, formando con la barraun ángulo de 50°. Hallar la tensión en la cuerda AC y el empuje de la barra contra el mástil. ∑F x = 0 ⇒ − R + T ⋅ Cos 50° = 0 (1) ∑F y = 0 ⇒ T ⋅ Sen 50° − 80 = 0 (2)De (2) despejando T se tiene: 80 T= = 104.43 (Kp ) Sen 50°Reemplazando en (1) se tiene: R = T ⋅ Cos 50° = 104.43 ⋅ Cos 50° = 67.13 (Kp )EJERCICIO 11Los extremos de una cuerda de 11 m de longitud se unen a dos ganchos colocados en untecho horizontal y separados entre si 9 m. A los 4 m de uno de los extremos de la cuerda seune un peso de 100 Kp. Calcular la tensión en los dos segmentos de la cuerda.
  • 43. 43Hallando los ángulos α y β utilizando el teorema de los cosenos.  16 + 81 − 49 7 2 = 4 2 + 9 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ Cos α ⇒ α = Arc Cos  = 48.19°  72   81 + 49 − 16 4 2 = 9 2 + 7 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ Cos β ⇒ β = Arc Cos  = 25.21°  126  ∑F x = 0 ⇒ −T1 ⋅ Cos 48.19° + T2 ⋅ Cos 25.21° = 0 (1) ∑F y = 0 ⇒ T1 ⋅ Sen 48.19° + T2 ⋅ Sen 25.21 − 100 = 0 (2) T2 ⋅ Cos 25.21°De (1) despejando T1 se tiene: T1 = ⇒ T1 = 1.36 ⋅ T2 (3) Cos 48.19°Reemplazando en (2) se tiene: (1.36 ⋅ T2 ) ⋅ Sen 48.19° + T2 ⋅ Sen 25.21 = 100 ⇒ 1.01 ⋅ T2 + 0.43 ⋅ T2 = 100 100 T1 = = 69.44 (Kp ) (1.01 + 0.43)Reemplazando en (3) se tiene: T1 = 1.36 ⋅ T2 = 1.36 ⋅ 69.44 = 94.44 (Kp )EJERCICIO 12El extremo superior de una barra uniforme de 2 m de longitud y 80 Kp de peso estáarticulado a un soporte mientras que el inferior se halla unido a un soporte mientras que elinferior se halla unido a una cuerda horizontal que mantiene a la barra formando un ángulode 40° con la vertical. Calcular la tensión T en la cuerda.∑M O =0 (− 80 ⋅ Sen 40° ⋅ 1 + T ⋅ Cos 40° ⋅ 2)Kp ⋅ m = 0
  • 44. 44 80 ⋅ Sen 40° T1 = = 40 ⋅ Tan 40° = 33.56 (Kp ) 2 ⋅ Cos 40°PRÁCTICA 51. El extremo B de una barra uniforme AB de 100 Kp de peso está unido a un mástil por medio de una articulación. La barra se mantiene en posición horizontal, como indica la figura, mediante un cable unido al extremo A y al mástil que forma con la barra un ángulo de 34°. Hallar la tensión en el cable AC y la reacción de la articulación. ∑F x = 0 ⇒ −T AC ⋅ Cos 34° + R AB = 0 (1) ∑F y = 0 ⇒ T AC ⋅ Sen 34° − 100 = 0 (2) 100De (2) despejando TAC se tiene: T AC = = 178.83 (Kp ) Sen 34°Reemplazando en (1) se tiene: R AB = T AC ⋅ Cos 34° = 148.26 (Kp )2. El extremo inferior de una escalera se apoya contra la pared vertical y sobre un suelo horizontal, como se representa en la figura. El extremo superior está unido a la pared por medio de una cuerda horizontal de 9 m de longitud. La escalera tiene una longitud de 15 m, pesa 50 Kp y su centro de gravedad se halla situado a 6 m de su extremo inferior. Calcular la tensión en la cuerda cuando un hombre de 75 Kp de peso se encuentra a una distancia de 3 m del extremo superior.
  • 45. 45 9 9 Sen α = ⇒ α = Arc Sen   = 36.87° 15  15  9 9 Cos β = ⇒ β = Arc Cos   = 53.13° 15  15 ∑M A =0 (− 50 ⋅ Sen 36.87° ⋅ 6 − 75 ⋅ Sen 36.87° ⋅12 + TBC ⋅ Cos 36.87° ⋅15)Kp ⋅ m = 0 50 ⋅ Sen 36.87° ⋅ 6 + 75 ⋅ Sen 36.87° ⋅ 12 T1 = = 60 (Kp ) 15 ⋅ Cos 36.87°3. Una barra uniforme AB de 2 m de longitud y 10 Kp de peso soporta una carga de 20 Kp como se representa el diagrama adjunto. Calcular: a) Esfuerzo en el tirante b) Compresión en la barra.
  • 46. 46Calculando el ángulo α se tiene: 1 .5  1 .5  Sen α = ⇒ α = Arc Sen   = 36.87° 2 .5  2 .5 ∑M A =0 (TBC ⋅ Sen 36.87° ⋅ 2 − 20 ⋅ 1.5 − 10 ⋅ 1)Kp ⋅ m = 0 20 ⋅ 1.5 + 10 ⋅ 1 TBC = = 33.33 (Kp ) 2 ⋅ Sen 36.87°∑F x = 0 ⇒ −TBC ⋅ Cos 36.87° + R AB = 0 R AB = TBC ⋅ Cos 36.87° = 33.33 ⋅ Cos 36.87° = 26.67 (Kp )EJERCICIO 13La viga uniforme de 120 (N) de peso mostrada en la figura está soportado por dos cuerdas,un peso de 400 (N) está suspendida a ¼ de separación desde el extremo izquierdo.Encuéntrese T1 y T2.
  • 47. 47∑M A =0 1 1 T1 ⋅ Cos 30° ⋅ 1 − 120 ⋅   − 400 ⋅   = 0 2 4 60 + 100 160 T1 = = = 184.75 ( N ) Cos 30° Cos 30°∑M B =0 1 1 1 − T2 ⋅ Cos 14° ⋅ 1 − 400 ⋅  +  + 120 ⋅   = 0 4 2 2 300 + 60 360 T1 = = = 371.02 ( N ) Cos 14° Cos 14°EJERCICIO 14Una barra uniforme AB de 2 M de longitud y 10 Kp de peso soporta una carga de 20 Kp,como se representa en la figura. Calcular: a) El esfuerzo en el tirante. b) Compresión en labarra.
  • 48. 48Calculando el ángulo α se tiene: 1 .5  1 .5  Cos α = ⇒ α = Arc Cos   = 53.13° 2 .5  2 .5 ∑M A =0 (− 20 ⋅ 2 + TCD ⋅ Sen 53.13° ⋅ 1.5 − 10 ⋅ 1)Kp ⋅ m = 0 20 ⋅ 2 + 10 ⋅ 1 TBC = = 41.67 (Kp ) 1.5 ⋅ Sen 53.13°∑F x = 0 ⇒ R AB − TCD ⋅ Cos 53.13° = 0 R AB = TCD ⋅ Cos 53.13° = 41.67 ⋅ Cos 53.13° = 25 (Kp )
  • 49. 49EJERCICIO 15En el punto C de unión de dos barras AC y BC de una armadura metálica, formandoángulos de 60° y 30°, respectivamente, con el plano horizontal sobre el que se apoyan suspies, está aplicada una carga de 100 Kp, como se muestra en la figura. Dichos pies se hallanunidos por medio del tirante AB. Calcular las fuerzas de compresión en cada barra, elesfuerzo a que se encuentran sometidos el tirante y las fuerzas hacia abajo, sobre lossoportes. El peso de la armadura se supone despreciable.Asumiendo una longitud entre apoyos de 1 m, se tiene:En el triángulo grande: L 1 Sen 30° = ⇒ L = 1 ⋅ Sen 30° = 0.5 (m ) = (m ) 1 2En el triángulo pequeño: x 1 1 1 1 Cos 60° = ⇒ x = ⋅ Cos 60° = ⋅ = (m ) 1 2 2 2 4 2∑F V = 0 ⇒ R1 + R2 − 100 = 0 (1) 1 100∑M A = 0 ⇒ R2 ⋅ 1 − 100 ⋅ = 0 ⇒ R2 = = 25 (Kp ) (2) 4 4Reemplazando (2) en (1), se tiene: R1 = 100 − R2 = 100 − 25 = 75 (Kp )
  • 50. 50En A∑ Fy = 0 R1 75 R1 − T AC ⋅ Sen 60° = 0 ⇒ T AC = = = 86.6 (Kp ) Sen 60° Sen 60°∑F x =0 T − T AC ⋅ Cos 60° = 0 ⇒ T = T AC ⋅ Cos 60° = 86.6 ⋅ Cos 60° = 43.3 (Kp )En B∑ Fy = 0 R2 25 R2 − TBC ⋅ Sen 30° = 0 ⇒ TBC = = = 50 (Kp ) Sen 30° Sen 30° EXAMEN SEGUNDO PARCIAL1. El brazo de un par formado por una fuerza de 6 Kp es de 10 cm: a) Determinar el brazo que debe tener un par formado por una fuerza de 12 Kp para equilibrar al anterior. b) Hallar cual debe ser la fuerza del par que equilibra si tiene un brazo de 8 cm.Para a)
  • 51. 51∑M A =0 (12 ⋅ x − 6 ⋅ 10)Kp ⋅ cm = 0 ⇒ x = 6 ⋅ 10 = 5 (cm) 12Para b)∑M A =0 (8 ⋅ F − 6 ⋅ 10)Kp ⋅ cm = 0 ⇒ F = 6 ⋅ 10 = 7.5 (Kp ) 82. En el punto C de unión de dos barras AC y BC de una armadura metálica, formando ángulos de 70°, respectivamente, con el plano horizontal sobre el que se apoyan sus pies, está aplicada una carga de 120 Kp, como se muestra en la figura. Dichos pies se hallan unidos por medio del tirante AB. Calcular las fuerzas de compresión en cada barra, el esfuerzo a que se encuentran sometidos el tirante y las fuerzas hacia abajo, sobre los soportes. El peso de la armadura se supone despreciable.Como se trata de un triángulo isósceles los ángulos en los vértices A y B serán los mismos,de la misma forma las reacciones en A y B. Entonces RA = RB = R∑F V = 0 ⇒ R A + RB − 120 = 0 ⇒ R + R = 120 ⇒ 2 ⋅ R = 120 ⇒ R = R A = RB = 60 (Kp )Los tirantes AC y BC son iguales por lo que solo se operará un lado.
  • 52. 52 ∑F x = 0 ⇒ R AB − T ⋅ Cos 55° = 0 (1) ∑F y = 0 ⇒ R A − T ⋅ Sen 55° = 0 (2)De (2) despejamos T, entonces se tiene: RA 60 T= = = 73.25 (Kp ) Sen 55° Sen 55°Reemplazando en (1) se tiene: R AB = T ⋅ Cos 55° = 73.25 ⋅ Cos 55° = 42.01 (Kp ) EXAMEN TERCER PARCIAL (SEGUNDA INSTANCIA PARCIALES)1. La bola liza homogénea pesa 50 Kp y descansa sobre el plano inclinado 30° en A, apoyándose contra la superficie vertical en B. calcular las fuerzas de contacto en A y B. β = 90° − α = 90° − 30° = 60°
  • 53. 53∑F x =0 R A ⋅ Cos 60° − RB = 0 (1)∑F y =0 R A ⋅ Sen 60° − W = 0 (2)De (2) despejamos RA. W 50 RA = = = 57.74 (Kp ) Sen 60° Sen 60°Reemplazando en (1) RB = R A ⋅ Cos 60° = 57.74 ⋅ Cos 60° = 28.87 (Kp )2. En la figura AB es una barra rígida y CB un cable, si W es 2000 Kp ¿Cuál es la reacción del pasador en A sobre la barra AB? ¿Cuál es la tensión en el cable? ∑F x = 0 ⇒ RH − T = 0 ⇒ RH = T (1) ∑F y = 0 ⇒ RV − 2000 = 0 ⇒ RV = 2000 (Kp ) (2)Calculando la distancia x x Tan 60° = ⇒ x = 5 ⋅ Tan 60° = 8.66 (m ) 5∑M A =0 (− 2000 ⋅ 8.66 + T ⋅ 5)Kp ⋅ m = 0 ⇒ T = 2000 ⋅ 8.66 = 3464.1 (Kp ) 53. El perno B se mantiene sujeto por una fuerza de agarre de 5 Kp perpendicular a las mandíbulas del alicate que se ve en la figura. ¿Qué fuerza P deben aplicarse perpendicularmente a sus mangos para suministrar la fuerza de agarre?
  • 54. 54 P ⋅5.03 ∑M O = 0 ⇒ P ⋅5.03 − P ⋅ 11.8 = 0 ⇒ P = = 2.13 (Kp ) 11.8TEMA 4 VECTORES EN EL ESPACIODETERMINACIÓN DE FÓRMULASConsideremos un vector V actuando en el origen O del sistema de coordenadasrectangulares X, Y, Z. para definir la dirección de V, se dibuja el plano vertical OBAC quecontiene a V. este plano pasa a través del plano vertical Y, su orientación está definida porel ángulo Φ que éste forma con el plano XY. La dirección V dentro del plano esta definidapor el ángulo Φy que V forma con el eje y. el vector V se puede descomponer en unacomponente vertical Vy a lo largo del eje Y y en una componente horizontal Vxz contenidaen el plano horizontal XZ; esta operación mostrada en la Fig. 1, se efectúa en el planoOBAC siguiendo las reglas desarrolladas en el tema 2.
  • 55. 55Las componentes escalares correspondientes son: VY = V ⋅ Cos θ Y (A) V XY = V ⋅ Sen θ Y (1)Pero VXZ se puede descomponer en dos componentes rectangulares Vx y Vz a lo largo delos ejes X y Z, respectivamente. Esta operación, mostrada en la Fig. 2, se efectúa en elplano XZ. De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentesescalares correspondiente a VX y VZ:
  • 56. 56COMPONENTE VX: V X = VH ⋅ Cos Φ (2)Reemplazando (1) en (2): V X = V ⋅ Sen θ Y ⋅ Cos Φ (B)COMPONENTE VZ: VZ = VH ⋅ Sen Φ (3)Reemplazando (1) en (3): VZ = V ⋅ Sen θ Y ⋅ Sen Φ (C)Por lo tanto, el vector dado V se ha descompuesto en tres componentes vectorialesrectangulares VX, VY y VZ, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados;cuyos valores se muestran en las ecuaciones (A), (B) y (C) respectivamente.Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD de la Fig. 3 se tiene: V 2 = (OA) = (OB ) + (BA) = VY + V XZ ⇒ V 2 = VY + V XZ 2 2 2 2 2 2 2 V XZ = V 2 − VY 2 2 (4)
  • 57. 57 V 2 = (OC ) = (OD ) + (DC ) = V X + V Z ⇒ V XZ = V X + V Z 2 2 2 2 2 2 2 2 (5)Igualando los segundos miembros de (4) y (5) V 2 = V x + VY + VZ 2 2 2 (6)Para despejar V extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros. V = V x + VY + VZ 2 2 2 (D)La ecuación (C) representa la magnitud de V en función de sus componentes rectangulares.Si en la Fig. 1, en vez de θX o θZ como los ángulos que V forma con los ejes X y Zrespectivamente, se puede deducir dos fórmulas similares a la ecuación (A), esto es: V X = V ⋅ Cos θ X (E) VZ = V ⋅ Cos θ Z (F)Los ángulos θX o θY y θZ son los que definen la dirección del vector V. Los cosenos deestos ángulos se conocen como los cosenos directores del vector V, esto es: VX Cos θ X = (G) V VY Cos θ Y = (H) V VZ Cos θ Z = (I) VElevando al cuadrado ambos miembros de estas tres ecuaciones y sumando miembro amiembro se tiene: 2 2 2 VX V V Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = 2 + Y 2 + Z2 V V VEl segundo miembro de esta ecuación es una fracción homogénea, por tanto: V X + VY + V Z 2 2 2 Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = V2En el segundo miembro de esta ecuación, el numerador de la fracción, según la ecuación(6) de esta sección es igual a V2, esto es:
  • 58. 58 V2 Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = 2 ⇒ Cos 2 θ X + Cos 2 θ Y + Cos 2 θ Z = 1 (J) VEJEMPLO 1Descomponer la fuerza F = 600 Kp en sus componentes rectangulares y expresarlas enforma vectorial.DATOS: F = 600 Kp, α = 25°, β = 30°Descomponemos F en una componente contenida en el eje Y (FY) y otra contenida en elplano XZ (FXZ), aplicando funciones trigonométricas. FY = F ⋅ Cos α ⇒ FY = 600 Kp ⋅ Cos 25° = 543.78 (Kp ) FXZ = F ⋅ Sen α (1)Seguidamente descomponemos FXZ a lo largo de los ejes X y Z. FX = FXZ ⋅ Cos β (2)Reemplazando (1) en (2): FX = F ⋅ Sen α ⋅ Cos β = 600(Kp ) ⋅ Sen 25° ⋅ Cos 30° = 219.60 (Kp ) FZ = FXZ ⋅ Sen β (3)Reemplazando (1) en (3): FZ = F ⋅ Sen α ⋅ Sen β = 600(Kp ) ⋅ Sen 25° ⋅ Sen 30° = 126.79 (Kp )
  • 59. 59EJERCICIO 2Determinar los ángulos θX, θY y θZ que la fuerza F = 450 (Kp) forma con los ejescoordenados.DATOS: F = 600 (Kp), β = 40°, α = 35°.Descomponemos F en una componente a lo largo del eje Y (FY) y otra contenida en elplano XZ (FXZ) en forma directa aplicando funciones trigonométricas. FY = F ⋅ Sen α ⇒ FY = 450 Kp ⋅ Sen 35° = 258.11 (Kp ) FXZ = F ⋅ Cos α (1)Seguidamente descomponemos FXZ a lo largo de los ejes X y Z. FX = FXZ ⋅ Sen β (2)Reemplazando (1) en (2): FX = − F ⋅ Cos α ⋅ Sen β = −450(Kp ) ⋅ Cos 35° ⋅ Sen 40° = −236.94 (Kp ) FZ = FXZ ⋅ Cos β (3)Reemplazando (1) en (3): FZ = F ⋅ Cos α ⋅ Cos β = 450(Kp ) ⋅ Cos 35° ⋅ Cos 40° = 282.38 (Kp )Los ángulos buscados según las ecuaciones G, H e I son: FX F   − 236.94  Cos θ X = ⇒ θ X = Arc Cos  X  = Arc Cos   = 121.77° F  F   450 
  • 60. 60 FY F   258.11 Cos θ Y = ⇒ θ Y = Arc Cos  Y  = Arc Cos   = 55° F  F   450  FZ F   282.38 Cos θ Z = ⇒ θ Z = Arc Cos  Z  = Arc Cos   = 51.13° F  F   450 
  • 61. 61 EXAMEN FINAL DE FÍSICA (PREUNIVERSITARIO)1. Probar gráficamente a) Que la línea que pasa por (-4,0) y (0,-4) es perpendicular a la línea que pasa por (-1, -1) y (-4,-4) b) Halle el punto de intersección entre ambas rectas.Respuesta a) Son perpendiculares.Respuesta b) El punto de intersección es (-2,-2).2. Halle la resultante del siguiente grupo de vectores mediante el método del polígono.
  • 62. 623. Sobre un cuadrado de 2 m de lado están aplicadas las fuerzas de 2, 6, 5, 4, 3 y 9 (Kp), como se muestra en la figura. Hallar la suma de momentos de dichas fuerzasa) Con respecto al punto A,b) Con respecto al punto B. a) ∑M A = 0 ⇒ −9 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 = −18 − 4 + 6 + 10 = −6 (Kp ) b) ∑M B = 0 ⇒ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 9 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 = 2 + 5 − 9 + 3 = 1 (Kp )
  • 63. 63 4. Encontrar las tensiones T1 y T2 según el gráfico mostrado. ∑F x = 0 ⇒ T2 ⋅ Cos 45° − T1 = 0 (1) ∑F y = 0 ⇒ T2 ⋅ Sen 45° − W = 0 (2)De (2) despejamos T2, entonces se tiene: W 160 T2 = = = 226.27 (Kp ) Sen 45° Sen 45°Reemplazando en (1) se tiene: T1 = T2 ⋅ Cos 45° = 226.27 ⋅ Cos 45° = 160 (Kp )
  • 64. 64 BIBLIOGRAFÍA1. Colección SCHAUM: Física General.2. Ing. Angel Salgado G. Prof. Mery Choque T.: FÍSICA 3° de Secundaria.3. Aurelio Baldor: Algebra.4. Ing. Juan Goñi Galarza: Física General.5. Alonzo Finn: Física General.