Álgebra Linear l
Volume 1 - 2ª edição

Luiz Manoel Figueiredo
Marisa Ortegoza da Cunha
Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001
Tel.: (...
IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

UN

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INSTITUTO DE CIÊN...
Álgebra II

Volume 1

SUMÁRIO

§1

Vetores, matrizes e sistemas lineares _________________________________

7

Aula 1

Mat...
§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
O que ´ Algebra Linear? Por que estud´-la?
e ´
a
´
A Algebra Linear ´ a area da ...
Matrizes

´
MODULO 1 - AULA 1

Aula 1 – Matrizes
Objetivos
Reconhecer matrizes reais;
Identificar matrizes especiais e seus...
Matrizes
Álgebra Linear 1

Defini¸˜o
ca
Uma matriz real A de ordem m × n ´ uma tabela de mn n´ meros reais,
e
u
dispostos e...
Matrizes

´
MODULO 1 - AULA 1

1 −2
5
7

3. matriz quadrada de ordem 2:

Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´m...
Matrizes
Álgebra Linear 1

Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2.
ı,
Numa matriz quadrada A = (aij ), i, j ∈ {1, ...n}...
Matrizes

´
MODULO 1 - AULA 1

0, se i = j
. Isto ´, a identidade ´ uma
e
e
1, se i = j
matriz escalar e possui todos os e...
Matrizes
Álgebra Linear 1

identidade de ordem n ´
e



1
0
0
.
.
.

0
1
0
.
.
.

0
0
1
.
.
.

...
...
...
.
.
.

0
0
0
....
Matrizes

´
MODULO 1 - AULA 1

Resumo
Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais. Aprendemos ...
Matrizes
Álgebra Linear 1

Respostas dos exerc´
ıcios
1. (a)



(b) 



4 −3 −5
0
8 −4
0
2
2
2

2
0
4
4

2
4
0
6


...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u

´
MODULO 1 - AULA 2

Aula 2 – ...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1

2. Se M =

−3...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u

´
MODULO 1 - AULA 2

Adi¸˜o
ca...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1

Representamos...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u

´
MODULO 1 - AULA 2

Defini¸˜o
...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1
T

Da´ AT = B ...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u

´
MODULO 1 - AULA 2

sij = aij...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1

αaij +αbij = ...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u

´
MODULO 1 - AULA 2

Observa¸˜...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1

3 −5
, determ...
Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u

´
MODULO 1 - AULA 2

Respostas...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca

´
MODULO 1 - AULA 3

Aula 3 – Opera¸˜es com matrizes:
co
multiplica¸˜o
ca
Obj...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1

a
` distˆncia e as duas ultimas, as notas das avalia¸˜es pre...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca

´
MODULO 1 - AULA 3

Note que, ao considerarmos a i-´sima linha (da 1a. matri...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1

Exemplo 21
Sejam A =
AB =

1 2
3 4

e B=

1 4
6 7

. Temos q...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca

´
MODULO 1 - AULA 3

n
de ´
ındices il da matriz (AB)C ´ dado por p
e
k=1
j=1...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1

matriz (AB)T . Sendo B T = (bkj ) e AT = (aji), onde bkj = b...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca

A=

1/2 1/2
1/2 1/2

A=

0 5
0 1

´
MODULO 1 - AULA 3

.

Exemplo 26
Seja A =...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1



2. Determine


C=

7
6
−8




1
2
4 2




AB T ...
Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca

´
MODULO 1 - AULA 3

Auto-avalia¸˜o
ca
´
E muito importante que vocˆ se sinta...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a

´
MODULO 1 - AULA 4

Aula 4 – Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Objetivos
Obter...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1

Note que esse sistema admite dois subsistemas de 2 equa¸˜es e 2 in...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a

´
MODULO 1 - AULA 4

1. Permutar duas linhas de A.
Indicamos a troca das linhas Li ...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1

Lembremos que nosso objetivo ´ determinar um m´todo para encontrar...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a

´
MODULO 1 - AULA 4



Exemplo 29 3 1
2


1. A =  −1 0
a
3 . Escrevemos na fo...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1

1
2 −1/2 | 1/2 0 0
0 −3
2 |
0 1 0
4 11
−4 |
0 0 1 L3 ← L3 − 4L1
1
...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a

´
MODULO 1 - AULA 4

ou:
(A−1 A)X = A−1 B,
IX = A−1 B
Logo, X = A−1 B.
2. (AX)T = B...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1

r´pido e eficiente, que resolve tanto o problema de decidir se a in...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a




(d) A = 


1
2
3
4

0
1
2
3

0
0
1
2

0
0
0
1

´
MODULO 1 - AULA 4




...
Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1

Respostas dos exerc´
ıcios
1. (a) sim
(b) sim
(c) n˜o
a
2. A−1 =

...
Determinantes

´
MODULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Determinantes
Objetivo

Pr´-requisitos: aulas 1 a 4.
e

Calcular determinante...
Determinantes
Álgebra Linear 1

A defini¸˜o de determinante ´ dada de maneira recorrente, em rela¸˜o
ca
e
ca
a
` ordem da m...
Determinantes

´
MODULO 1 - AULA 5

Exemplo 33



2 5 −3


det  0 4 5 
3 1 −2
= 2(−1)1+1

4
5
0
5
0 4
+ 5(−1)1+2
+ (...
Determinantes
Álgebra Linear 1

det A = a11 .(−1)1+1 . det A−1,−1 +
a12 .(−1)1+2 . det A−1,−2 +
a13 .(−1)1+3 . det A−1,−3 ...
Determinantes

´
MODULO 1 - AULA 5

D2 Dada A ∈ Mn (R), det A = det AT
Em palavras: o determinante da transposta ´ igual a...
Determinantes
Álgebra Linear 1

D13 Se A ∈ Mn (R) ´ ortogonal, ent˜o det A−1 = 1 ou − 1.
e
a
De fato, se A ´ ortogonal, A−...
Determinantes

´
MODULO 1 - AULA 5

1
3 −3
0
0 −1
4
2
= −(−57)
= −(−57)
0
0
1 39/57
0
0
3
1 L4 ←L4 −3L3
= −(−57).1.(−1).1....
Determinantes
Álgebra Linear 1

1
e
2. det A−1 = , pois o determinante da matriz inversa ´ o inverso do
D
determinante da ...
Determinantes

´
MODULO 1 - AULA 5

2. Dada A ∈ Mn (R), tal que det A = D, determine:
a) det AT
b) det A−1
c) det 2A


a ...
Determinantes
Álgebra Linear 1

Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ deve estar bem treinado para calcular determinantes pelo m´todo
e
e...
Sistemas Lineares

´
MODULO 1 - AULA 6

Aula 6 – Sistemas Lineares
Objetivo
Resolver e classificar sistemas lineares, usand...
Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1

• x=2
S˜o equa¸˜es n˜o-lineares:
a
co
a
• x2 − 5x + 6 = 0
• 3xy − x + 4 = 0
√
• 2 x − ...
Sistemas Lineares

Exemplo 42
S˜o sistemas de equa¸˜es lineares:
a
co

 x + 2y − 3z = 1


 −2x + 5y − z = 5
2x − y = ...
Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1

Sistemas lineares homogˆneos
e
Dizemos que um sistema linear ´ homogˆneo quando os ter...
Sistemas Lineares

• matriz (m × n) dos coeficientes:

a11 a12

 a21 a22
 .
.
 .
.
.
 .
am1 am2

... a1n
... a2n
.
.
...
Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1

• determinar o valor de z na terceira equa¸˜o
ca
• substituir o valor de z na segunda ...
Sistemas Lineares

´
MODULO 1 - AULA 6

A id´ia, ent˜o ´: dado um sistema S de matriz aumentada A, aplicar
e
a e
opera¸˜es...
Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1

Pronto: a matriz est´ escalonada. Vamos, agora, escrever o sistema S ,
a
associado  e...
Sistemas Lineares



´
MODULO 1 - AULA 6




3
4 −7
1
3
4 −7

1
5
1  L2 ← L2 − 2L1 ⇒  0 −5 −3
15 








...
Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1

escalonar a matriz aumentada de S:




1 0 −3 2 −1
3 2
1 2
3
L1 ↔ L3




1 2
3...
Sistemas Lineares


1 −1
1 0


2 −1 0  ⇒ S :
 0
0
0
0 0

´
MODULO 1 - AULA 6



a −b +c = 0
2b −c = 0

ˆ
´
O sistema...
Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1

Exerc´
ıcios
1. (Prov˜o - MEC - 2001)
a

 x +y −z = 1

O n´ mero de solu¸˜es do sis...
Sistemas Lineares

´
MODULO 1 - AULA 6

Respostas dos exerc´
ıcios
1. (A) 0 (Ao escalonar, conclu´
ımos que o sistema ´ in...
Discuss˜o de Sistemas Lineares
a

´
MODULO 1 - AULA 7

Aula 7 – Discuss˜o de Sistemas Lineares
a
Objetivo
Discutir sistema...
Discuss˜o de Sistemas Lineares
a
Álgebra Linear 1

parˆmetro a.
a
Escalonando sua matriz aumentada, obtemos:


 
 

...
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
Algebra linear I EAD
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Algebra linear I EAD

  1. 1. Álgebra Linear l Volume 1 - 2ª edição Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha
  2. 2. Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001 Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Carlos Eduardo Bielschowsky Vice-Presidente de Educação Superior a Distância Celso José da Costa Diretor de Material Didático Carlos Eduardo Bielschowsky Coordenação do Curso de Matemática Celso José da Costa Luiz Manoel Figueiredo Material Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO COORDENAÇÃO GRÁFICA Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Jorge Moura EDITORA Equipe Cederj PROGRAMAÇÃO VISUAL Tereza Queiroz COORDENAÇÃO DE ILUSTRAÇÃO Eduardo Bordoni COORDENAÇÃO EDITORIAL Jane Castellani ILUSTRAÇÃO Equipe Cederj COORDENAÇÃO DE REVISÃO Ana Tereza de Andrade CAPA Sami Souza REVISÃO Carmen Irene Correia de Oliveira Gláucia Guarany Leonardo Villela PRODUÇÃO GRÁFICA Ana Paula Trece Pires Andréa Dias Fiães Márcia Almeida REVISÃO TIPOGRÁFICA Equipe Cederj Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação. 972m Figueiredo, Luiz Manoel. Álgebra linear l. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo. – 2.ed. – Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2005. 81p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 85-89200-44-2 1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas lineares. 5. Determinantes. I. Cunha, Marisa Ortegoza da. II. Título. 2005/1 CDD:512.5 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
  3. 3. IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ UN UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE QUÍMICA REITOR Prof. Dr. Carlos Edilson de Almeida Maneschy VICE-REITORA Prof. Dr. Horacio Schneider PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Profa. Dra. Marlene Rodrigues Medeiros Freitas SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Profa. MSc. Selma Dias Leite DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Prof. Dr. Geraldo Narciso DIRETOR DAFACULDADE DE QUÍMICA Prof. Dr. Heriberto R. Bittencourt Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ, para o uso restrito da Licenciatura em Matemática na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
  4. 4. Álgebra II Volume 1 SUMÁRIO §1 Vetores, matrizes e sistemas lineares _________________________________ 7 Aula 1 Matrizes ____________________________________________________________ 9 Aula 2 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real ________________________________________________________ 17 Aula 3 Operações com matrizes: multiplicação _____________________________ 29 Aula 4 Operações com matrizes: inversão __________________________________ 39 Aula 5 Determinantes ______________________________________________________ 49 Aula 6 Sistemas lineares ____________________________________________________ 59 Aula 7 Discussão de sistemas lineares _______________________________________ 73 Aula 8 Espaço vetoriais ____________________________________________________ 83 Aula 9 Subespaços vetoriais ________________________________________________ 95 Aula 10 Combinações lineares ______________________________________________ 105 Aula 11 Base e dimensão ___________________________________________________ 115 Aula 12 Dimensão de um espaço vetorial ___________________________________ 123 Aula 13 Soma de subespaços _______________________________________________ 135 Aula 14 Espaços vetoriais com produto interno _______________________________ 149 Aula 15 Conjuntos ortogonais e ortonormais _________________________________ 161 Aula 16 Complemento ortogonal ___________________________________________ 173 Aula 17 Exercícios resolvidos ________________________________________________ 181
  5. 5. §1. Vetores, matrizes e sistemas lineares O que ´ Algebra Linear? Por que estud´-la? e ´ a ´ A Algebra Linear ´ a area da Matem´tica que estuda todos os aspectos e ´ a relacionados com uma estrutura chamada Espa¸o Vetorial. c Devido as suas caracter´ ` ısticas, essa estrutura permite um tratamento alg´brico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computae ´ cional. A Algebra Linear tem aplica¸˜es em in´ meras areas, tanto da mateco u ´ m´tica quanto de outros campos de conhecimento, como Computa¸˜o Gr´fica, a ca a Gen´tica, Criptografia, Redes El´tricas etc. e e Nas primeiras aulas deste m´dulo estudaremos algumas ferramentas o para o estudo dos Espa¸os Vetoriais: as matrizes, suas opera¸˜es e propriec co dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equa¸˜es lineares. Muitos co dos principais problemas da f´ ısica, engenharia, qu´ ımica e, ´ claro, da mae tem´tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de a ´ equa¸˜es lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Lico near propriamente dita e esperamos que vocˆ se aperceba, ao longo do curso, e de que se trata de uma das areas mais l´ dicas da Matem´tica!!. ´ u a Estrutura matem´tica ´ um a e conjunto no qual s˜o definia das opera¸˜es. As proprieco dades dessas opera¸˜es “esco truturam”o conjunto. Talvez vocˆ j´ tenha ouvido falar e a em alguma das principais estruturas matem´ticas, como a grupo, anel e corpo. Vocˆ e estudar´ essas estruturas nas a ´ disciplinas de Algebra. 7 CEDERJ
  6. 6. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 – Matrizes Objetivos Reconhecer matrizes reais; Identificar matrizes especiais e seus principais elementos; Estabelecer a igualdade entre matrizes. Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao p´lo Lugar o ´ Lindo, cursando a disciplina Algebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos (claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles far˜o 2 avalia¸˜es a distˆncia e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais. a co a Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de uma tabela: aluno AD1 AD2 AP1 1. Ana 4,5 6,2 7,0 2. Beatriz 7,2 6,8 8,0 3. Carlos 8,0 7,5 5,9 4. Daniela 9,2 8,5 7,0 5. Edson 6,8 7,2 6,8 AP2 5,5 10,0 7,2 8,0 7,5 Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos, o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha correspondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas notas obtidas pelos alunos na segunda verifica¸˜o a distˆncia, para calcular ca a a m´dia da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8; e 7,5; 8,5; 7,2). Tamb´m podemos ir diretamente ao local da tabela em que e se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avalia¸˜o a distˆncia ca a (7,5). ´ E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por colunas, por elemento) que fazem desses objetos matem´ticos instrumentos a valiosos na organiza¸˜o e manipula¸˜o de dados. ca ca Vamos, ent˜o, a defini¸˜o de matrizes. a ` ca 9 CEDERJ
  7. 7. Matrizes Álgebra Linear 1 Defini¸˜o ca Uma matriz real A de ordem m × n ´ uma tabela de mn n´ meros reais, e u dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n s˜o n´ meros inteiros positivos. a u Os elementos de uma matriz podem ser outras entidades, que n˜o n´meros rea u ais. Podem ser, por exemplo, n´meros complexos, pou linˆmios, outras matrizes etc. o As barras simples s˜o usadas a para representar determinantes, como veremos na aula 5. Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por o Am×n (R). Neste curso, como s´ trabalharemos com matrizes reais, usaremos a nota¸˜o simplificada Am×n , que se lˆ “A m por n”. Tamb´m podemos ca e e e ındice de linha e j ∈ {1, ..., n} ´ e escrever A = (aij ), onde i ∈ {1, ..., m} ´ o ´ o´ ındice de coluna do termo gen´rico da matriz. Representamos o conjunto e de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n (R). Escrevemos os elementos de uma matriz limitados por parˆnteses, colchetes ou barras duplas. e  Exemplo 1  1. Uma matriz 3 × 2 :   2 −3  1 0  √ 2 17 5 3 −1 1/2 2. Uma matriz 2 × 2 : −4 3. Uma matriz 3 × 1 : 0 11 De acordo com o n´ mero de linhas e colunas de uma matriz, podemos u destacar os seguintes casos particulares: • m = 1: matriz linha • n = 1: matriz coluna • m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos que “A ´ uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto e das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn (R) (ou, simplesmente, por Mn ). Exemplo 2 1. matriz linha 1 × 4: 2 −3 4 1/5   4   2. matriz coluna 3 × 1:  17  0 CEDERJ 10
  8. 8. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 1 −2 5 7 3. matriz quadrada de ordem 2: Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´m por f´rmulas, e o como ilustra o pr´ximo exemplo. o Exemplo 3 Vamos construir a matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que aij = i2 + j, se i = j i − 2j, se i = j A matriz procurada ´ do tipo A = e a11 a22 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 . Seguindo a regra de forma¸˜o dessa matriz, temos: ca 2 =1 +1=2 a12 = 1 − 2(2) = −3 2 =2 +2=6 a13 = 1 − 2(3) = −5 a14 = 1 − 2(4) = −7 . a21 = 2 − 2(1) = 0 a23 = 2 − 2(3) = −4 a24 = 2 − 2(4) = −6 Logo, A = 2 −3 −5 −7 0 6 −4 −6 . Igualdade de matrizes O pr´ximo passo ´ estabelecer um crit´rio que nos permita decidir se o e e duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Temos a seguinte defini¸˜o: a a ca Duas matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜o iguais a quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Exemplo 4 Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes 4 −9 2a 3b e 1 2c c+d 6 sejam iguais. Pela defini¸˜o de igualdade de matrizes, podemos escrever: ca   2a = 4    3b = −9 2a 3b 4 −9 = ⇒  c+d=1 c+d 6 1 2c    6 = 2c 11 CEDERJ
  9. 9. Matrizes Álgebra Linear 1 Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2. ı, Numa matriz quadrada A = (aij ), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os seguintes elementos: • diagonal principal: formada pelos termos aii (isto ´, pelos termos com e ´ ındices de linha e de coluna iguais). • diagonal secund´ria: formada pelos termos aij tais que i + j = n. a Exemplo 5 Seja    A=  3 −2 0 1 5 3 −2 7 1/2 −3 π 14 −5 0 −1 6     .  A diagonal principal de A ´ formada por: 3, 3, π, 6 e A diagonal secund´ria de A ´ formada por: 1, −2, −3, −5 a e Matrizes quadradas especiais No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar e alguns tipos especiais. Seja A = (aij ) ∈ Mn (R). Dizemos que A ´ uma matriz • triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto ´, possui todos os e elementos abaixo da diagonal principal nulos). • triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto ´, possui todos os e elementos acima da diagonal principal nulos). No nosso curso nos referimos aos n´meros reais como u escalares. Essa denomina¸˜o ca ´ ´ espec´ e ıfica da Algebra Linear. CEDERJ 12 e • diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto ´, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal ´, ao mesmo e tempo, triangular superior e triangular inferior. 0, se i = j , para algum k ∈ R. Isto ´, uma e k, se i = j matriz escalar ´ diagonal e possui todos os elementos da diagonal prine cipal iguais a um certo escalar k. • escalar, quando aij =
  10. 10. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 0, se i = j . Isto ´, a identidade ´ uma e e 1, se i = j matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In . • identidade, quando aij = Exemplo 6 matriz classifica¸˜o ca   4 1 2    0 6 3  0 0 9 triangular superior   2 0 0    0 0 3  0 0 0 triangular superior   1 0 0    0 4 0  0 0 0 triangular superior, triangular inferior, diagonal 0 0 −3 0 triangular inferior 0 0 0 0 triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar 5 0 0 5 triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar Exemplo 7 S˜o matrizes identidade: a    1 0 0 1 0 0  0 1 0 1 0    I1 = [1]; I2 = ; I3 =  0 1 0  ; I4 =   0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 De modo geral, sendo n um n´ mero natural maior que u 0 0 0 1 1,      a matriz 13 CEDERJ
  11. 11. Matrizes Álgebra Linear 1 identidade de ordem n ´ e  1 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 1 . . . ... ... ... . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . .            In =        0 0 0 ... 1 0    0 0 0 ... 0 1 Defini¸˜o ca A matriz nula em Mm×n (R) ´ a matriz de ordem m × n que possui todos os e elementos iguais a zero. Exemplo 8 Matriz nula 2 × 3:     Matriz nula 5 × 2:     0 0 0 0 0 0  0 0  0 0   0 0    0 0  0 0 Defini¸˜o ca e Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R), a oposta de A ´ a matriz B = (bij ) ∈ Mm×n (R) tal que bij = −aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Ou seja, os elementos da matriz oposta de A s˜o os elementos opostos aos elementos de A. a Representamos a oposta de A por −A.  Exemplo 9   A oposta da matriz A =   3 −1 0 √ 2 3 4 1 0 −8 −6 10 −2    −A =   CEDERJ 14    e  ´ a matriz   −3 1 0 √ −2 − 3 −4    . −1 0 8  6 −10 2
  12. 12. Matrizes ´ MODULO 1 - AULA 1 Resumo Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais. Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a obter a oposta de uma matriz. Tamb´m vimos algumas matrizes quadradas e que se destacam por suas caracter´ ısticas e que ser˜o especialmente uteis no a ´ desenvolvimento da teoria. Exerc´ ıcios 1. Escreva a matriz A = (aij ) em cada caso: 3i + j, se i = j i − 2j, se i = j   2i, se i < j  (b) A ´ quadrada de ordem 4 e aij = e i − j, se i = j   2j, se i > j (a) A ´ do tipo 2 × 3, e aij = e (c) A ´ do tipo 4 × 2, e aij = e 0, se i = j 3, se i = j (d) A ´ quadrada terceira ordem e aij = 3i − j + 2. e 2. Determine x e y tais que (a) 2x + y 2x − y = 11 9 (b) x2 y x y2 = 1 −1 −1 1 15 CEDERJ
  13. 13. Matrizes Álgebra Linear 1 Respostas dos exerc´ ıcios 1. (a)    (b)    4 −3 −5 0 8 −4 0 2 2 2 2 0 4 4 2 4 0 6  2 4 6 0      3 0  0 3    (c)    0 0  0 0   4 1 2   (d)  7 6 5  10 9 8 2. (a) x = 5; y = 1 (b) x = y = −1 Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ n˜o deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta e a primeira aula. S˜o apenas defini˜es e exemplos. Se achar conveniente, antes a o de prosseguir, fa¸a uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos. c De qualquer maneira, vocˆ sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!) e entrar em contato com o tutor da disciplina. At´ a pr´xima aula!! e o CEDERJ 16
  14. 14. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Opera¸˜es com matrizes: co transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por ca ca ca n´ mero real u Objetivos Obter a matriz transposta de uma matriz dada; Identificar matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas; e e Obter a matriz soma de duas matrizes; Obter o produto de uma matriz por um n´mero real; u Aplicar as propriedades das opera¸˜es nos c´lculos envolvendo matrizes. co a Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das opera¸˜es a a co ´ com matrizes. E atrav´s de opera¸˜es que podemos obter outras matrizes, e co a partir de matrizes dadas. A primeira opera¸˜o com matrizes que estudaca remos - a transposi¸˜o - ´ un´ria, isto ´, aplicada a uma unica matriz. A ca e a e ´ seguir, veremos a adi¸˜o, que ´ uma opera¸˜o bin´ria, ou seja, ´ aplicada a ca e ca a e duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um n´ mero real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes, u essa opera¸˜o ´ dita ser externa. ca e Transposi¸˜o ca Dada uma matriz A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), a transposta de A ´ a e matriz B ∈ Mn×m (R), B = (bji ) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT . Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente, escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)   Exemplo 10 3 1 3 −2 5   . A transposta de A ´ a matriz AT =  −2 7 . e 1. Seja A = 1 7 0 5 0 17 CEDERJ
  15. 15. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 2. Se M = −3 4 4 9 , ent˜o M T = a −3 4 4 9 = M. Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas, como segue: e e Defini¸˜o ca Uma matriz A ´: e • sim´trica, se AT = A e • anti-sim´trica, se AT = −A e Segue da defini¸˜o acima, que matrizes sim´tricas ou anti-sim´tricas ca e e s˜o, necessariamente, quadradas. a Exemplo 11 1. As matrizes √  3 3 −2   5 1 ,  −2 √ 3 1 8   19 3/2 3/2 −7 , e      1 −2 1/5 0 −2 7 9 −1    1/5 9 0 8  0 −1 8 4 s˜o sim´tricas. a e 2. A matriz M, do exemplo 10, ´ sim´trica. e e Note que, numa matriz sim´trica, os elementos em posi¸˜es sim´tricas e co e em rela¸˜o a diagonal principal s˜o iguais. ca ` a Exemplo 12 As matrizes  0 −1 1 0   0 2 −1/2     ,  −2 0 5 , e   1/2 −5 0  0 −2 1/5 0 2 0 9 −1    −1/5 −9 0 8  0 1 −8 0 s˜o anti-sim´tricas. a e Note que uma matriz anti-sim´trica tem, necessariamente, todos os e elementos da diagonal principal iguais a zero. CEDERJ 18
  16. 16. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Adi¸˜o ca Vocˆ se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a rela¸˜o de e ca nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado a um n´ mero (o n´ mero da linha). Assim, sem perder qualquer informa¸˜o u u ca sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avalia¸˜es numa co matriz 5 por 4:   4, 5 6, 2 7, 0 5, 5    7, 2 6, 8 8, 0 10, 0    A =  8, 0 7, 5 5, 9 7, 2       9, 2 8, 5 7, 0 8, 0  6, 8 7, 2 6, 8 7, 5 Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revis˜o e a que as seguintes altera¸˜es sejam propostas para as notas: co   0, 5 0, 0 0, 0 0, 2    −0, 2 0, 5 0, 5 0, 0    R =  0, 0 0, 2 0, 6 −0, 1      0, 2   0, 0 0, 5 0, 0 0, 2 0, 0 0, 0 0, 3 A matriz N, com as notas definitivas, ´ a matriz soma das matrizes A e e R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de corre¸˜o, isto ´, cada ca e termo de A com seu elemento correspondente em R:   4, 5 + 0, 5 6, 2 + 0, 0 7, 0 + 0, 0 5, 5 + 0, 2    7, 2 + (−0, 2) 6, 8 + 0, 5 8, 0 + 0, 5 10, 0 + 0, 0    N =A+R = 8, 0 + 0, 0 7, 5 + 0, 2 5, 9 + 0, 6 7, 2 + (−0, 1)      9, 2 + 0, 0 8, 5 + 0, 5 7, 0 + 0, 0 8, 0 + 0, 2   6, 8 + 0, 2 7, 2 + 0, 0 6, 8 + 0, 0 7, 5 + 0, 3   5, 0 6, 2 7, 0 5, 7    7, 0 7, 3 8, 5 10, 0    Logo, N =  8, 0 7, 7 6, 5 7, 1      9, 2 9, 0 7, 0 8, 2   7, 0 7, 2 6, 8 7, 8 Defini¸˜o ca Dadas as matrizes A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), a matriz soma de A e B ´ a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que e cij = aij + bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n} 19 CEDERJ
  17. 17. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 Representamos a matriz soma de A e B por A + B. Em palavras, cada elemento de A + B ´ a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e e B. A diferen¸a de A e B, indicada por A − B, ´ a soma de A com a oposta c e de B, isto ´: A − B = A + (−B). e Exemplo 13 −5 4 2 1 1. + 1 −2 0 3 −4 2 2 4 =           3 8 2 −1 3 8 −2 1 1 9           2.  −1 4 − 7 2  =  −1 4 + −7 −2  =  −8 2  7 2 −3 6 7 2 3 −6 10 −4 Multiplica¸˜o por um n´mero real ca u Seja A = 3 1 2 −4 2A = A + A = . Queremos obter 2A: 3 1 2 −4 + 3 1 2 −4 = 2×3 2×1 2 × 2 2 × (−4) . Em palavras, o produto da matriz A pelo n´ mero real 2 ´ a matriz u e obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2. Voltemos a nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos ` que, para facilitar o c´lculo das m´dias, queiramos trabalhar numa escala de a e 0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota dever´ ser a multiplicada por 10. Teremos, ent˜o, a seguinte matriz: a   50 62 70 57    70 73 85 100    10N =  80 77 65 71      92 90 70 82   70 72 68 78 ´ Vocˆ ver´ que, em Algebra e a Linear, lidamos com dois tipos de objeto matem´tico: a os escalares (que, neste curso, ser˜o os n´meros a u reais) e os vetores. CEDERJ 20 Podemos, ent˜o, definir a multiplica¸˜o de uma matriz por um n´mero a ca u ´ real (ou, como ´ usual dizer no ambito da Algebra Linear, por um escalar). e ˆ
  18. 18. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Defini¸˜o ca e Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α ´ a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = α aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n} Representamos a matriz produto de A por α por α A. Exemplo 14 Dadas A = 1. 2A = 2. 1 B 3 = −5 2 ,B= 1 4 0 6 −3 8 eC= 6 −1 3 5 , temos: −10 4 2 8 0 2 −1 8/3 3. A+2B−3C = −5 2 1 4 + 0 12 −6 16 + −18 3 −9 −15 = −23 17 −14 5 Propriedades das opera¸˜es com matrizes co Vocˆ talvez j´ tenha se questionado quanto ` necessidade ou utilidade e a a de se listar e provar as propriedades de uma dada opera¸˜o. Comutatividade, ca associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades sempre v´lidas... No entanto, s˜o as propriedades que nos permitem estena a der uma opera¸˜o que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar ca trˆs ou mais. Ela tamb´m flexibilizam e facilitam os c´lculos, de modo que e e a quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecˆnico”temos que desenvola ver. Veremos agora as propriedades v´lidas para as opera¸˜es j´ estudadas. a co a Propriedade da transposi¸˜o de matrizes ca T (t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n (R), vale que AT = A. A validade dessa propriedade ´ clara, uma vez que escrevemos as linhas e de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas, retornando a configura¸˜o original. Segue abaixo a demonstra¸˜o formal ` ca ca dessa propriedade: Seja A = (aij ) ∈ Mm×n (R). Ent˜o AT = B = (bji ) ∈ Mn×m (R) tal que a bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji ), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. 21 CEDERJ
  19. 19. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 T Da´ AT = B T = C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈ ı, T {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = B T = AT = A. Propriedades da adi¸˜o de matrizes ca Para demonstrar as propriedades da adi¸˜o de matrizes, usaremos as ca propriedades correspondentes, v´lidas para a adi¸˜o de n´ meros reais. a ca u Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes quaisquer em Mm×n (R). Valem as seguintes propriedades. (a1) Comutativa: A + B = B + A e e De fato, sabemos que A + B = (sij ) ´ tamb´m uma matriz m × n cujo elemento gen´rico ´ dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo e e j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o de n´ meros reais ´ comutativa, podemos escrever ca u e sij = bij +aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, A+B = B +A. e Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas n˜o altera a soma de a duas matrizes. (a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) De fato, o termo geral sij de (A+B)+C ´ dado por sij = (a+b)ij +cij = e (aij + bij ) + cij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o ca de n´ meros reais ´ associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij ) = u e aij +(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij ´ tamb´m o e e termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto ´, (A+B)+C = A+(B+C). e Em palavras: podemos estender a adi¸˜o de matrizes para o caso de trˆs ca e parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora somar trˆs ou mais matrizes. e (a3) Existˆncia do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n (R) tal que A+O = A. e De fato, seja O a matriz nula de Mm×n (R), isto ´, O = (oij ), onde e oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A. Em palavras: na adi¸˜o de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo ca papel que o zero desempenha na adi¸˜o de n´ meros reais. ca u O elemento oposto ´ tamb´m e e chamado elemento sim´trico e ou inverso aditivo. (a4) Da existˆncia do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n (R) tal que e A + (−A) = O. De fato, sabemos que cada elemento de −A ´ o oposto do elemento e correspondente de A. Ent˜o, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos a CEDERJ 22
  20. 20. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 sij = aij + (−aij ) = 0 = oij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, e A + (−A) = O. Em palavras: Cada matriz possui, em correspondˆncia, uma matriz de mesma e ordem tal que a soma das duas ´ a matriz nula dessa ordem. e (a5) Da soma de transpostas: AT + B T = (A + B)T De fato, seja sij o termo geral de AT +B T . Ent˜o, para todo i = 1, ..., m a e e todo j = 1, ..., n, sij = aji +bji = (a+b)ji, que ´ o termo geral de (A+B)T . T T T Ou seja, A + B = (A + B) . Em palavras: A soma das transpostas ´ a transposta da soma. Ou, vendo sob e outro angulo: a transposi¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o. ˆ ca e ca ` ca Propriedades da multiplica¸˜o de uma matriz por um escalar ca Vocˆ ver´ que, tamb´m neste caso, provaremos a validade dessas proprie a e edades usando as propriedades correspondentes da multiplica¸˜o de n´ meros ca u reais. Sejam A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguintes propriedades: (mn1) (αβ)A = α(βA) e De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto ´, pij = ((αβ)a)ij = (αβ)aij = α(βaij ) = (α(βa))ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA). e e Exemplo 15 Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 3(4A) = 2(6A). (mn2) (α + β)A = αA + βA e De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto ´, pij = ((α + β)a)ij = (α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA + βA. Logo, e e (α + β)A = αA + βA. Exemplo 16 Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 7A + 5A = 8A + 4A. (mn3) α(A + B) = αA + αB a De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Ent˜o, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij ) = 23 CEDERJ
  21. 21. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 αaij +αbij = (αa)ij +(αb)ij . Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA+αB. e e Logo, α(A + B) = αA + αB. Exemplo 17 Dadas A, B ∈ Mm×n (R), 5(A + B) = 5A + 5B. (mn4) 1A = A De fato, sendo pij o termo geral de 1A, temos pij = (1a)ij = 1aij = aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, 1A = A. e (mn5) αAT = (αA)T De fato, seja pij o termo geral de αAT . Ent˜o pij = αaji = (αa)ji, ou a seja, pij ´ tamb´m o termo geral de (αA)T . e e Exemplo 18 Dadas A = 2 1 4 0 T eB = , vamos determinar 3 2AT − 1 B . 2 0 −1 −2 6 Para isso, vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo, indicando qual a propriedade utilizada. 1 3 2A − B 2 T T a5 = mn5 = t1 = mn3 = mn1 = = = 3 T T 2A 3 2 AT T 12 6 0 −6 = 24 − T 1 − BT 2 1 3 2A − B T 2 1 T B 3(2A) − 3 2 1 (3.2)A − 3. BT 2 3 6A − B T 2 2 1 3 4 −2 6 − 2 0 0 −1 6 = CEDERJ 1 B 2 6 9 0 −15 − 6 −3 0 9
  22. 22. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Observa¸˜o. E claro que vocˆ, ao efetuar opera¸˜es com matrizes, n˜o ca ´ e co a precisar´ explicitar cada propriedade utilizada (a n˜o ser que o enunciado da a a quest˜o assim o exija!) e nem resolver a quest˜o passo-a-passo. O impora a tante ´ constatar que s˜o as propriedades das opera¸˜es que nos possibilitam e a co reescrever a matriz pedida numa forma que nos pare¸a mais “simp´tica”. c a Resumo Nesta aula come¸amos a operar com as matrizes. Vimos como obc ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes sim´tricas e antie sim´tricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar e uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das opera¸˜es vistas. A aula ficou um pouco longa, mas ´ importante conhecer co e as propriedades v´lidas para cada opera¸˜o estudada. a ca Exerc´ ıcios 1. Obtenha a transposta da matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que 2i + j, se i = j aij = i2 − j, se i = j   2 4 2a − b   2. Determine a e b para que a matriz  a + b 3 e 0  seja sim´trica. −1 0 5 3. Mostre que a soma de duas matrizes sim´tricas ´ uma matriz sim´trica. e e e   2x a + b a − 2b   4. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz  −6 y 2 2c  seja 5 8 z−1 anti-sim´trica. e     2 1 0 1     5. Sendo A =  0 −1  e B =  7 3 , determine A + B. 3 2 −4 5 6. Determine a, b, e c para que a 3 2a + c 0 −2 b −3 −1 1 4 3 = 2 0 5 3 4 1 . 25 CEDERJ
  23. 23. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u Álgebra Linear 1 3 −5 , determine a matriz B tal que A+ B ´ a matriz e −4 2 nula de M2 (R). 7. Dada A =   5   8. Considere as matrizes A =  −1  , 2   1   B =  2 , 3 e C = 0 −2 1 . Determine a matriz X em cada caso: (a) X = 2A − 3B (b) X + A = B − C T − 2X (c) X + B T = 3AT + 1 C 2 9 4 2 6 12 11 e B = matrizes X e Y tais que 2X + Y X − 2Y 9. Sendo A = −8 7 −9 −12 −19 −2 , determine as = A = B 10. Sendo A, B ∈ Mm×n (R), use as propriedades vistas nesta aula para T T simplificar a express˜o 3 2AT − B + 5 1 B T − AT + 3 B . a 5 5 Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ deve se sentir ` vontade para operar com matrizes nas formas vise a tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. S˜o opera¸˜es a co de realiza¸˜o simples, que seguem a nossa intui¸˜o. Al´m disso, ´ importante ca ca e e que vocˆ reconhe¸a a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobie c lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de opera¸˜es n˜o co a s˜o para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pˆr a a o teoria em pr´tica! a Se vocˆ sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver e os exerc´ ıcios propostos, pe¸a aux´ ao tutor da teoria. O importante ´ que c ılio e caminhemos juntos nesta jornada! At´ a pr´xima aula!! e o CEDERJ 26
  24. 24. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real co ca ca ca u ´ MODULO 1 - AULA 2 Respostas dos exerc´ ıcios    1.   3 −1 −2 −3 3 5 1 0      2. a = 1; b = 3 4. a = 7 ; b = 3 11 ; 3 c = −4; x = 0; y = 0; z = 1   2 2   5.  7 2  −1 7 6. a = 3; b = −1; c = 2 7. −3 5 4 −2     7 −4     8. (a)  −8  (b)  1  (c) −5 0 9. X = 2 3 −1 0 1 4 ; Y = 14 −6 7 2 5 −2 4 6 10 3 10. A + B 27 CEDERJ
  25. 25. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 Aula 3 – Opera¸˜es com matrizes: co multiplica¸˜o ca Objetivos Reconhecer quando ´ poss´ multiplicar duas matrizes; e ıvel Obter a matriz produto de duas matrizes; Aplicar as propriedades da multipli¸˜o de matrizes; ca Identificar matrizes invers´ ıveis. Se vocˆ j´ foi “apresentado” a multiplica¸˜o de matrizes, pode ter se e a ` ca perguntado por que a defini¸˜o foge tanto daquilo que nos pareceria mais ca f´cil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das a duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem). Poderia ser assim? Poderia! Ent˜o, por que n˜o ´? a a e Em Matem´tica, cada defini¸˜o ´ feita de modo a possibilitar o desena ca e ´ volvimento da teoria de forma cont´ ınua e coerente. E por essa raz˜o que a 0 definimos, por exemplo, 0! = 1 e a = 1, (a = 0). N˜o ir´ a ıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplica¸˜o ca fosse definida “nos moldes” da adi¸˜o. Vocˆ ver´, nesta aula, o significado ca e a dessa opera¸˜o, no modo como ´ definida. Mais tarde, quando estudarca e mos transforma¸˜es lineares (no m´dulo 2), ficar´ ainda mais evidente a co o a importˆncia de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir. a O caso 00 ´ mais delicado do e que parece. Se vocˆ tem e interesse nesse problema, vai gostar de ler o artigo de Elon Lages Lima, na Revista do Professor de Matem´tica a (RPM), n. 7. Venha conosco! Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. J´ ´ tempo de calcular ae suas notas finais! A ultima matriz obtida (na aula 2) fornecia as notas numa escala de 0 ´ a 100:   50 62 70 57    70 73 85 100    N =  80 77 65 71       92 90 70 82  70 72 68 78 Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avalia¸˜es co 29 CEDERJ
  26. 26. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca Álgebra Linear 1 a ` distˆncia e as duas ultimas, as notas das avalia¸˜es presenciais dos alunos a ´ co Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem. Vamos supor que as avalia¸˜es a distˆncia tenham, cada uma, peso 1, co ` a 1 num total de 10. Isto ´, cada uma colabora com 10 (ou 10%) da nota final. e Para completar, cada avalia¸˜o presencial ter´ peso 4, ou seja, repreca a 4 sentar´ 10 (ou 40%) da nota final. a Ent˜o, a nota final de cada aluno ser´ dada por: a a NF = 10 40 40 10 AD1 + AD2 + AP 1 + AP 2 100 100 100 100 Em vez de escrever uma express˜o como essa para cada um dos 5 alunos, a podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na ordem como aparecem no c´lculo de NF : a   10/100  10/100    P =   40/100  40/100 e efetuar a seguinte opera¸˜o: ca    50 62 70 57 10/100    70 73 85 100      10/100 N .P =  80 77 65 71  .     40/100   92 90 70 82   40/100 70 72 68 78     =       =  10 10 40 40 .50 + 100 .62 + 100 .70 + 100 .57 100 10 10 40 40 .70 + 100 .73 + 100 .85 + 100 .100 100 10 10 40 40 .80 + 100 .77 + 100 .65 + 100 .71 100 10 10 40 40 .92 + 100 .90 + 100 .70 + 100 .82 100 10 10 40 40 .70 + 100 .72 + 100 .68 + 100 .78 100         =       62 88 70 79 73         O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o n´mero de termos u em cada linha da primeira ´ igual ao n´mero de termos de cada coluna da e u segunda. Ou seja, o n´mero de colunas da primeira coincide com o n´mero u u de linhas da segunda (4, no nosso exemplo). Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”, simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a. . Depois, somamos os produtos obtidos. CEDERJ 30
  27. 27. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 Note que, ao considerarmos a i-´sima linha (da 1a. matriz) e a j-´´sima e e a. coluna (da 2 ), geramos o elemento na posi¸˜o ij da matriz produto. ca Formalmente, temos a seguinte defini¸˜o: ca Multiplica¸˜o de matrizes ca Sejam A = (aik ) ∈ Mm×p (R) e B = (bkj ) ∈ Mp×n (R). A matriz produto de A por B ´ a matriz AB = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que e p cij = aik .bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n k=1   1 3 10 2 3 2 −1   e B =  −1 5 0 e 5 . Como A ´ do tipo 4 0 7 2 6 4 −2 e 2 × 3 e B ´ do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e ´ do tipo 2 × 4: e   1 3 10 2 3 2 −1   AB = 5 =  −1 5 0 4 0 7 2 6 4 −2 Exemplo 19 Sejam A = = 3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2 4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14 = −1 13 26 18 18 54 68 −6 Observe que, neste caso, n˜o ´ poss´ efetuar BA. a e ıvel A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas conclus˜es interessantes a respeito da multiplica¸˜o de matrizes. o ca Exemplo 20 Sejam A = AB = e BA = 2 4 3 −1 2 4 3 −1 3 2 5 6 eB= 3 2 . Ent˜o a 5 6 3 2 5 6 = 6 + 20 4 + 24 9−5 6−6 2 4 3 −1 = 6 + 6 12 − 2 10 + 18 20 − 6 = = 26 28 4 0 12 10 . 28 14 Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n existe e ´ tamb´m uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplica¸˜o e e ca pˆde ser efetuada nos dois casos, isto ´, nas duas ordens poss´ o e ıveis, mas as matrizes AB e BA s˜o diferentes. a 31 CEDERJ
  28. 28. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca Álgebra Linear 1 Exemplo 21 Sejam A = AB = 1 2 3 4 e B= 1 4 6 7 . Temos que: 1 2 3 4 1 4 6 7 = 1 + 12 4 + 14 3 + 24 12 + 28 = 13 18 27 40 1 4 6 7 1 2 3 4 = 1 + 12 2 + 16 6 + 21 12 + 28 = 13 18 27 40 e BA = Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A e B comutam.   Exemplo 22 4 3 2 1   e B =  −19 . Consideremos as matrizes A = −4 6 5 26 0 0 Efetuando AB, obtemos a matriz . Note que, diferentemente do que ocorre com os n´ meros reais, quando u multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer dos fatores seja a matriz nula. Exemplo 23 Vamos calcular AB, sendo A = Temos que AB = Matrizes invers´ ıveis tamb´m e s˜o chamadas de invert´ a ıveis ou de n˜o-singulares. a 1 2 3 4 −2 + 3 1 − 1 −6 + 6 3 − 2 = eB= 1 0 0 1 −2 1 3/2 −1/2 . = I2 . Quando isso ocorre, isto ´, quando o produto de duas matrizes A e e B quadradas, ´ a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes), e dizemos que A ´ invers´vel e que B ´ a sua inversa. Uma matriz invers´ e ı e ıvel sempre comuta com sua inversa. Vocˆ pode verificar isso, calculando BA. Na e pr´xima aula, estudaremos um m´todo bastante eficiente para determinar, o e caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada. Propriedades da multiplica¸˜o de matrizes ca i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R). Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ associativa. e ca e ındices De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (ckl ). O termo de ´ n a ik da matriz AB ´ dado pela express˜o j=1 aij bjk . Ent˜o o termo e a CEDERJ 32
  29. 29. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 n de ´ ındices il da matriz (AB)C ´ dado por p e k=1 j=1 aij bjk ckl = n p e ındices il da matriz A(BC), j=1 aij ( k=1 bjk ckl ), que ´ o termo de ´ p e ındices jl da matriz BC. Logo, (AB)C = pois k=1 bjk ckl ´ o termo de ´ A(BC). ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n (R), B, C ∈ Mn×p (R). Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o e ca e ca ` ca de matrizes. De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (cjk ). O termo de ´ ındices jk de B + C ´ dado por (bjk + cjk ). Ent˜o o de ´ e a ındices ik da matriz A(B + n n C) ´ j=1 aij (bjk + cjk ) = j=1 [(aij bjk ) + (aij cjk )] = n (aij bjk ) + e j=1 n (aij cjk ), que ´ o termo de ´ e ındices ik da matriz dada por AB +AC. j=1 Isto ´, A(B + C) = AB + AC. e De forma an´loga, prova-se que (A + B)C = AC + BC. a iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R). De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´ ındices ik de λ(AB) n n ´ dado por λ e e = j=1 λ(aij bjk ) = n (λaij )bjk , que ´ j=1 aij bjk j=1 o termo de ´ ındices ik de (λA)B. Isto ´, λ(AB) = (λA)B. De forma e an´loga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B = a A(λB). iv Dada A ∈ Mm×n (R), Im A = AIn = A. 1, se i = j . Ent˜o a 0, se i = j o termo de ´ ındices ij de Im A ´ dado por n δik akj = δi1 a1j + δi2 a2j + e k=1 ... + δii aij + ... + δin anj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que ´ o termo de ´ e ındices ij de A. Logo, Im A = A. Analogamente, prova-se e que AIn = A. Isto ´, Im A = AIn = A. De fato, sejam A = (aij ) e Im = δij , onde δij = A fun¸˜o δij assim definida ´ ca e chamada delta de Kronecker nos ´ ındices i e j. v Dadas A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), (AB)T = B T AT . De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´ ındices ik de n e e ındices ki da AB ´ dado por j=1 aij bjk , que ´, tamb´m, o termo de ´ e 33 CEDERJ
  30. 30. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca Álgebra Linear 1 matriz (AB)T . Sendo B T = (bkj ) e AT = (aji), onde bkj = bjk e aji = aij , ∀i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, podemos escrever n aij bjk = j=1 n T T e ındices ki da matriz B A . Logo, j=1 bkj aji , que ´ o termo de ´ T T T (AB) = B A . Potˆncias de matrizes e Quando multiplicamos um n´mero real por ele mesmo, efetuamos uma u potencia¸˜o. Se a ´ um n´ mero real, indicamos por an o produto a×a×...×a, ca e u onde consideramos n fatores iguais a a. Analogamente, quando lidamos com matrizes, definimos a potˆncia de e expoente n (ou a n-´sima potˆncia) de uma matriz quadrada A como sendo e e o produto A × A × ... × A, onde h´ n fatores iguais a A. a Exemplo 24 5 −4 Dada A = 3 1 A2 = A × A = A3 = A2 × A = , temos 5 −4 3 1 13 −24 18 −11 5 −4 3 1 = 5 −4 3 1 13 −24 18 −11 = e −7 −76 57 −83 Quando calculamos sucessivas potˆncias de uma matriz, podem ocorrer e os seguintes casos especiais: • An = A, para algum n natural. Nesse caso, dizemos que a matriz A ´ peri´dica. Se p ´ o menor natural e o e para o qual Ap = A, dizemos que A ´ peri´dica de per´odo p. Particue o ı larmente, se p = 2, a matriz A ´ chamada idempotente. e Lˆ-se nilpotente. A palavra e nihil significa nada, em latim. • An = O, para algum n natural. Nesse caso, dizemos que a matriz A ´ nihilpotente. Se p ´ o menor e e p natural para o qual A = O, a matriz A ´ dita ser nihilpotente de e ´ ındice p. Exemplo 25 Efetuando a multiplica¸˜o de A por ela mesma, vocˆ poder´ constatar que a ca e a matriz A, em cada caso, ´ idempotente: e CEDERJ 34
  31. 31. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca A= 1/2 1/2 1/2 1/2 A= 0 5 0 1 ´ MODULO 1 - AULA 3 . Exemplo 26 Seja A = 5 −1 25 −5 . Calculando A2 , temos A×A = 5 −1 25 −5 5 −1 25 −5 = 0 0 . Ou seja, A ´ nihilpotente de ´ e ındice 2. 0 0 Resumo Nesta aula vimos como multiplicar duas matrizes. Trata-se de uma opera¸˜o que se distingue das que vimos anteriormente, tanto pela maneira ca pouco intuitiva pela qual ´ definida, quanto pelo fato de n˜o ser comutae a tiva. Ela representa um papel muito importante no desenvolvimento de toda ´ a Algebra Linear, permitindo, por exemplo, uma representa¸˜o simples da ca composi¸˜o de fun¸˜es especiais, que estudaremos no m´dulo 2. Al´m disso, ca co o e fomos apresentados as matrizes invers´ ` ıveis e vimos que estas sempre comutam com suas matrizes inversas. Exerc´ ıcios 1. Calcule AB, em cada caso abaixo:  (a) A = 1 −2 4 5 0 1  2   , B= 6  10 2 0 4 −6 , B= −1 4 −2 3   3   (c) A =  −1  , B = 6 5 −3 2 (b) A = 35 CEDERJ
  32. 32. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca Álgebra Linear 1  2. Determine   C= 7 6 −8    1 2 4 2     AB T − 2C, dadas A =  2 5 , B =  2 1 , 0 −3 −1 7  9 1  4 2 . −10 3 3. Verifique, em caso, se B ´ a matriz inversa de A: e 2 3 2/3 −1/3 a) A = e B= 1 6 −1/9 2/9 b) A = 1 5 −3 2 6 −5 −1 1 e B= 4. Resolva a equa¸˜o matricial ca 3 1 2 −5 5. Determine a e b para que as matrizes A = a b c d = 2 3 −9 5 5 15 −8 −7 eB = . a −1 3 b comutem. 6. Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso: 1 2 a) A = 4 5 b) A = 0 1 3 1 7. Dadas as matrizes A = 1 −3 2 5 e B= 1 4 0 2 , calcule: a) A2 b) B 3 c) A2 B 3  0  8. As matrizes A =  0 0 Determine o ´ ındice de CEDERJ 36  1 0  0 1  e B = 0 0 cada uma. 3 −9 1 −3 s˜o nihilpotentes. a
  33. 33. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o co ca ´ MODULO 1 - AULA 3 Auto-avalia¸˜o ca ´ E muito importante que vocˆ se sinta bem ` vontade diante de duas mae a trizes a multiplicar. Assimilada a defini¸˜o, repita os exemplos e os exerc´ ca ıcios que tenham deixado alguma d´ vida. Caso haja alguma pendˆncia, n˜o hesite u e a ´ essencial que caminhemos juntos!! At´ em contactar o tutor da disciplina. E e a pr´xima aula. o Respostas dos exerc´ ıcios  1. a) AB = 30 70 14 −24 −7 12 b)AB =  18 15 −9   c)AB =  −6 −5 3 . 12 10 −6   −6 −14 11   2.  6 1 29  10 17 −27 a 3. a) sim (pois AB = I2 ); b) n˜o 4. 1 4 2 3 5. a = 1; b = 0 6. a) x z/2 z x−z 7. a) −5 −18 12 19 , x, z ∈ R b) b) 1 12 0 4 x y 3y x + y c) , x, y ∈ R. 1 28 0 8 8. a) 3; b) 2 37 CEDERJ
  34. 34. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a ´ MODULO 1 - AULA 4 Aula 4 – Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a Objetivos Obter a matriz inversa (caso exista), pela defini¸˜o; ca Aplicar opera¸˜es elementares `s linhas de uma matriz; co a Obter a matriz inversa (caso exista), por opera¸˜es elementares; co Reconhecer matrizes ortogonais. Na aula 3 vimos que, dada uma matriz A ∈ Mn (R), se existe uma matriz B ∈ Mn (R), tal que AB = In , a matriz A ´ dita invers´vel e a matriz e ı −1 ıvel B ´ a sua inversa, e podemos escrever B = A . Uma matriz invers´ e sempre comuta com sua inversa; logo, se AB = In ent˜o BA = In e A ´ a a e inversa de B. Dada uma matriz quadrada A, n˜o sabemos se ela ´ ou n˜o invers´ a e a ıvel at´ procurar determinar sua inversa e isso n˜o ser poss´ e a ıvel. Para descobrir se uma matriz ´ ou n˜o invers´ e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, e a ıvel s´ contamos, at´ o momento, com a defini¸˜o. Assim, dada uma matriz A de o e ca ordem n, escrevemos uma matriz tamb´m de ordem n, cujos elementos s˜o e a inc´gnitas a determinar, de modo que o produto de ambas seja a identidade o de ordem n. Vamos a um exemplo: Exemplo 27 Em cada caso, vamos determinar, caso exista, a matriz inversa de A: 1. A = 2 5 1 3 . Seja B = x y z t a matriz inversa de inversa de A, ent˜o a AB = I2 ⇒ ⇒ 2 5 1 3 x y z t 2x + 5z 2y + 5t x + 3z y + 3t 1 0 0 1 = = 1 0 0 1 Essa igualdade gera um sistema de 4 equa¸˜es e 4 inc´gnitas: co o   2x + 5z = 1    2y + 5t = 0  x + 3z = 0    y + 3t = 1 39 CEDERJ
  35. 35. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a Álgebra Linear 1 Note que esse sistema admite dois subsistemas de 2 equa¸˜es e 2 inc´gnitas: co o 2x + 5z = 1 x + 3z = 0 2y + 5t = 0 y + 3t = 1 e Resolvendo cada um deles, obtemos x = 3, y = −5, z = −1, t = 2. 3 −5 Logo, a matriz A ´ invers´ e sua inversa ´ A−1 = e ıvel e −1 2 2. A = A= 6 3 . Procedendo com no item anterior, escrevemos: 8 4 6 3 8 4 x y z t = 1 0 0 1 ⇒ 6x + 3z 6y + 3t 8x + 4z 8y + 4t = 1 0 . 0 1 Obtemos ent˜o os sistemas a 6x + 3z = 1 8x + 4z = 0 e 6y + 3t = 1 8y + 4t = 1 Ao resolver esses sistemas, por´m, vemos que n˜o admitem solu¸˜o e a ca (tente resolvˆ-los, por qualquer m´todo!). Conclu´ e e ımos, ent˜o, que a a matriz A n˜o ´ invers´ a e ıvel. Vocˆ viu que, ao tentar inverter uma matriz de ordem 2, recaimos em e dois sistemas, cada um de duas equa¸˜es e duas inc´gnitas. Se a matriz co o a ser invertida for de ordem 3, ent˜o o problema recair´ em trˆs sistemas, a a e cada um com trˆs equa¸˜es e trˆs inc´gnitas. J´ d´ pra perceber o trabalho e co e o a a que ter´ ıamos para inverter uma matriz de ordem superior (nem precisamos pensar numa ordem muito grande: para inverter uma matriz 5 × 5, ter´ ıamos que resolver 5 sistemas, cada um de 5 equa¸˜es e 5 inc´gnitas!). co o Temos, ent˜o, que determinar uma outra maneira de abordar o proa blema. Isso ser´ feito com o uso de opera¸˜es que ser˜o realizadas com as a co a linhas da matriz a ser invertida. Essas opera¸˜s tamb´m poderiam ser deco e finidas, de forma an´loga, sobre as colunas da matriz. Neste curso, como a s´ usaremos opera¸˜es elementares aplicadas as linhas, n´s nos referiremos a o co ` o elas, simplesmente, como opera¸˜es elementares (e n˜o opera¸˜es elementares co a co sobre as linhas da matriz). Vamos a caracteriza¸˜o dessas opera¸˜es. ` ca co Opera¸˜es elementares co Dada A ∈ Mm×n (R), chamam-se opera¸oes elementares as seguintes c˜ a¸˜es: co CEDERJ 40
  36. 36. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a ´ MODULO 1 - AULA 4 1. Permutar duas linhas de A. Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li ↔ Lj . 2. Multiplicar uma linha de A por um n´ mero real n˜o nulo. u a u Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo n´ mero real λ escrevendo Li ← λLi . 3. Somamos a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um n´ mero real. u Indicamos que somamos ` linha Li a linha Lj multiplicada pelo n´ mero a u real λ por: Li ← Li + λLj .   Exemplo 28 −3 2 5   Vamos aplicar algumas opera¸˜es elementares `s linhas da matriz A =  0 1 co a 6 : 8 4 −2    8 4 −2 −3 2 5 L1 ↔ L3     ⇒ 0 1 1.  0 1 6  6  −3 2 5 8 4 −2     −3 2 5 −3 2 5     2.  0 1 6  L2 ← −3L2 ⇒  0 −3 −18  8 4 −2 8 4 −2     −3 2 5 −3 2 5     3.  0 1 2  6  L2 ← L2 + 2L3 ⇒  16 9 8 4 −2 8 4 −2  ue Consideremos o conjunto Mm×n (R). Se, ao aplicar uma seq¨ˆncia de opera¸˜es elementares a uma matriz A, obtemos a matriz B, dizemos que B co ´ equivalente a A e indicamos por B ∼ A. Fica definida, assim, uma rela¸˜o e ca no conjunto Mm×n (R), que ´: e 1. reflexiva: A ∼ A 2. sim´trica: se A ∼ B ent˜o B ∼ A e a 3. transitiva: se A ∼ B e B ∼ C ent˜o A ∼ C a Isto ´, a rela¸˜o ∼ ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia no conjunto Mm×n (R). e ca e ca e Assim, se A ∼ B ou se B ∼ A podemos dizer, simplesmente, que A e B s˜o a equivalentes. 41 CEDERJ
  37. 37. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a Álgebra Linear 1 Lembremos que nosso objetivo ´ determinar um m´todo para encontrar e e a inversa de uma matriz, caso ela exista, que seja mais r´pido e simples do a que o uso da defini¸˜o. Para isso, precisamos do seguinte resultado: ca Teorema 1 Seja A ∈ Mn (R). Ent˜o A ´ invers´ a e ıvel se, e somente se, A ∼ In . Se A ´ e invers´ ıvel, a mesma sucess˜o de opera¸˜es elementares que transformam A a co em In , transformam In na inversa de A. Vocˆ poder´ encontrar a e a demonstra¸˜o desse teorema ca ´ no livro Algebra Linear e Aplica¸oes, de Carlos c˜ Callioli, Hygino Domingues e Roberto Costa, da Atual Editora, (Apˆndice do e Cap´ ıtulo 1). Este m´todo permite determinar, durante sua aplica¸˜o, se a matriz ´ e ca e ou n˜o invers´ a ıvel. A id´ia ´ a seguinte: e e 1. Escrevemos, lado-a-lado, a matriz que queremos inverter e a matriz identidade de mesma ordem, segundo o esquema: A I 2. Por meio de alguma opera¸˜o elementar, obtemos o n´mero 1 na posi¸˜o ca u ca 11. 3. Usando a linha 1 como linha-pivˆ, obtemos zeros nas outras posi¸˜es o co da coluna 1 (para isso, fazemos uso da terceira opera¸˜o elementar). ca 4. Por meio de uma opera¸˜o elementar, obtemos o n´mero 1 na posi¸˜o ca u ca 22. 5. Usando a linha 2 como linha-pivˆ, obtemos zeros nas outras posi¸˜es o co da coluna 2 (para isso, fazemos uso da terceira opera¸˜o elementar). ca 6. Passamos para a terceira coluna e assim por diante. 7. Se, em alguma etapa do procedimento, uma linha toda se anula, podemos concluir que a matriz em quest˜o n˜o ´ invers´ - nesse caso, a a e ıvel nenhuma opera¸˜o elementar igualaria essa linha a uma linha da matriz ca identidade! 8. Se chegarmos ` matriz identidade, ent˜o a matriz a direita, no esquema, a a ` ser´ a matriz inversa procurada. a Veja os dois exemplos a seguir: CEDERJ 42
  38. 38. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a ´ MODULO 1 - AULA 4   Exemplo 29 3 1 2   1. A =  −1 0 a 3 . Escrevemos na forma esquem´tica: 4 2 −5 3 1 2 | 1 0 0 −1 0 3 | 0 1 0 L2 ← −L2 4 2 −5 | 0 0 1 3 1 2 | 1 0 0 L1 ↔ L2 1 0 −3 | 0 −1 0 4 2 −5 | 0 0 1 1 0 −3 | 0 −1 0 3 1 2 | 1 0 0 L2 ← L2 − 3L1 4 2 −5 | 0 0 1 L3 ← L3 − 4L1 1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 2 7 | 0 4 1 L3 ← L3 − 2L2 1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 1 0 0 −15 | −2 −2 1 L3 ← − 15 L3 1 0 −3 | 0 −1 0 L1 ← L1 + 3L3 0 1 11 | 1 3 0 L2 ← L2 − 11L3 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15 1 0 0 | 6/15 −9/15 −3/15 0 1 0 | −7/15 23/15 11/15 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15   6 −9 −3  1  Logo, a matriz A ´ invers´ e ıvel e A−1 = 15  −7 23 11 . Vocˆ e 2 2 −1 poder´ verificar que essa ´, realmente, a inversa de A, efetuando a a e multiplica¸˜o dela por A e constatando que o produto ´ I3 . ca e   2 4 −1   2. A =  0 −3 a 2 . Escrevendo na forma esquem´tica: 4 11 −4 2 4 −1 | 1 0 0 L1 ← 1 L1 2 0 −3 2 | 0 1 0 4 11 −4 | 0 0 1 43 CEDERJ
  39. 39. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a Álgebra Linear 1 1 2 −1/2 | 1/2 0 0 0 −3 2 | 0 1 0 4 11 −4 | 0 0 1 L3 ← L3 − 4L1 1 2 −1/2 | 1/2 0 0 0 −3 2 | 0 1 0 L2 ← − 1 L2 3 0 3 −2 | −2 0 1 1 2 −1/2 | 1/2 0 0 L1 ← L1 − 2L2 0 1 −2/3 | 0 −1/3 0 0 3 −2 | −2 0 1 L3 ← L3 − 3L2 1 2 −1/2 | 1/2 0 0 0 1 −2/3 | 0 −1/3 0 0 0 0 | −2 1 1 Como a terceira linha se anulou, podemos parar o processo e concluir que a matriz A n˜o ´ invers´ a e ıvel. Propriedades da invers˜o de matrizes a 1. Se A ∈ Mn (R) ´ invers´ e ıvel, ent˜o (A−1 )−1 = A a De fato, como A−1 A = In , temos que A ´ a inversa de A−1 . e 2. Se A, B ∈ Mn (R) s˜o invers´ a ıveis, ent˜o AB ´ invers´ a e ıvel e (AB)−1 = B −1 A−1 . De fato, temos (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In . Logo, B −1 A−1 ´ a inversa de AB. e 3. Se A ∈ Mn (R) ´ invers´ e ıvel, ent˜o (AT )−1 = (A−1 )T . a De fato, como AT (A−1 )T = (A−1 A)T = (In )T = In , temos que (A−1 )T ´ a inversa de AT . e Exemplo 30 Supondo as matrizes A e B invers´ ıveis, vamos obter a matriz X nas equa¸˜es co abaixo: 1. AX = B Multiplicando os dois membros da igualdade, a esquerda, por A−1 , ` temos: A−1 (AX) = A−1 B CEDERJ 44
  40. 40. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a ´ MODULO 1 - AULA 4 ou: (A−1 A)X = A−1 B, IX = A−1 B Logo, X = A−1 B. 2. (AX)T = B Temos: (AX)T = B ⇒ [(AX)T ]T = B T ⇒ AX = B T ⇒ A−1 (AX) = A−1 B T ⇒ (A−1 A)X = A−1 B T ⇒ IX = A−1 B T ⇒ X = A−1 B T . Para finalizar esta aula, vamos definir um tipo especial de matriz quadrada invers´ ıvel, que ´ aquela cuja inversa coincide com sua transposta. e Matrizes ortogonais −1 A Dizemos que uma matriz A ∈ Mn (R), invers´ ıvel, ´ ortogonal, quando e T =A . Para verificar se uma matriz A ´ ortogonal, multiplicamos A por AT e e vemos se o produto ´ a identidade. e Exemplo 31 √ 3/2 1/2 √ ´ ortogonal. De fato, multiplicando essa matriz e A matriz 1/2 − 3/2 pela sua transposta, temos: √ √ 1/2 − 3/2 1 0 3/2 1/2 √ √ = 1/2 3/2 1/2 0 1 − 3/2 Veremos mais tarde que as matrizes ortogonais representam um papel importante na representa¸˜o de fun¸˜es especiais, chamadas operadores ca co ortogonais. Chegaremos l´!!!! a Resumo O ponto central desta aula ´ inverter matrizes, quando isso ´ poss´ e e ıvel. Como a defini¸˜o, embora simples, n˜o fornece um m´todo pr´tico para ca a e a a invers˜o de matrizes, definimos as opera¸˜es elementares, que permitem a co “passar”, gradativamente, da matriz inicial, a ser invertida, para outras, numa sucess˜o que nos leva a matriz identidade. Trata-se de um m´todo a ` e 45 CEDERJ
  41. 41. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a Álgebra Linear 1 r´pido e eficiente, que resolve tanto o problema de decidir se a inversa existe a ou n˜o, como de obtˆ-la, no caso de existir. Esse ´ o m´todo implementado a e e e pelos “pacotes”computacionais - aqueles programas de computador que nos d˜o, em quest˜o de segundos, a inversa de uma matriz. a a Exerc´ ıcios 1. Em cada caso, verifique se a matriz B ´ a inversa de A. e (a) A =  3 4 2 3 e 3 −4 −2 3  B=  7 −3 −28   (b) A =  −2 1 8  0 0 1 1 −3 1 4 (c) A = 2. Dadas A = 3 1 5 2 e eB = e B=  1 3 4   B= 2 7 0  0 0 1 4 3 −1 1 4 7 , determine: A−1 , B −1 e (AB)−1 . 1 2 3. Supondo as matrizes A, B e C invers´ ıveis, determine X em cada equa¸˜o. ca (a) AXB = C (b) AB = CX (c) (AX)−1 B = BC (d) [(AX)−1 B]T = C 4. Determine, caso exista, a inversa da matriz A, em cada caso: (a) A =  3 −2 1 4  1 −2 3   (b) A =  10 6 10  4 5 2   2 0 0   (c) A =  4 −1 0  2 3 −1 CEDERJ 46
  42. 42. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a    (d) A =   1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 ´ MODULO 1 - AULA 4        1 1 1   5. Que condi¸˜es λ ∈ R deve satisfazer para que a matriz  2 1 2  co 1 2 λ seja invers´ ıvel? Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ dever´ treinar bastante a aplica¸˜o do m´todo estudado. Fa¸a e a ca e c todos os exerc´ ıcios e, se poss´ ıvel, resolva outros mais - vocˆ mesmo(a) poder´ e a ´ f´cil, ao final criar matrizes a inverter e descobrir se s˜o ou n˜o invers´ a a ıveis. E a do processo, verificar se a matriz obtida ´, de fato, a inversa procurada (isto e ´, se n˜o houve erros nas contas efetuadas): o produto dela pela matriz dada e a tem que ser a identidade. Caso haja alguma d´ vida, em rela¸˜o a teoria ou u ca ` aos exerc´ ıcios, entre em contato com o tutor da disciplina. 47 CEDERJ
  43. 43. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o co a Álgebra Linear 1 Respostas dos exerc´ ıcios 1. (a) sim (b) sim (c) n˜o a 2. A−1 = 2 −1 −5 3 ; B −1 = 2 −7 −1 4 3. (a) X = A−1 CB −1 (b) X = C −1 AB (c) X = A−1 BC −1 B −1 (d) X = A−1 B(C T )−1 4. (a) A−1 = 2/7 1/7 −1/14 3/14 (b) N˜o existe a inversa de A a   1/2 0 0   (c) A−1 =  2 −1 0  7 −3 −1  1 0 0 0  −2 1 0 0  (d) A−1 =   1 −2 1 0 0 1 −2 1 5. λ = 1 CEDERJ 48      ; (AB)−1 = 39 −23 −22 13 .
  44. 44. Determinantes ´ MODULO 1 - AULA 5 Aula 5 – Determinantes Objetivo Pr´-requisitos: aulas 1 a 4. e Calcular determinantes pelo m´todo da triangulariza¸˜o. e ca Determinante ´ um n´ mero associado a uma matriz quadrada. Como e u estamos lidando, neste curso, apenas com matrizes reais, os determinantes que calcularemos ser˜o todos n´ meros reais. Os determinantes tˆm in´ meras a u e u aplica¸˜es, na Matem´tica e em outras ´reas. Veremos, por exemplo, que o co a a determinante fornece uma informa¸˜o segura a respeito da inversibilidade ou ca n˜o de uma matriz. A ˆnfase desta aula est´ na aplica¸˜o de um m´todo a e a ca e r´pido para calcular determinantes, fazendo uso de algumas das suas proa priedades e de opera¸˜es elementares, j´ estudadas na aula 4. Antes, por´m, co a e de nos convencermos de quanto o m´todo que estudaremos ´ mais eficiente e e do que o uso direto da defini¸˜o, vamos recordar a defini¸˜o de determinante, ca ca devida a Laplace. Determinante Dada uma matriz A = (aij ) ∈ Mn (R), representamos o determinante de A por det A ou escrevendo os elementos de A limitados por barras simples:  a11 a21 . . . a12 a22 . . . ... ... ... ... ... a1n a2n . . .    Se A =     an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann representamos o determinante de A por:   a12 ... a1n a11   a22 ... a2n   a21   . ... . .  ou . ... . . det  . ... . .      an−1,1 an−1,2 ... an−1,n  an1 an2 ... ann a11 a21 . . .     ,    a12 a22 . . . ... ... ... ... ... a1n a2n . . . an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann . 49 CEDERJ
  45. 45. Determinantes Álgebra Linear 1 A defini¸˜o de determinante ´ dada de maneira recorrente, em rela¸˜o ca e ca a ` ordem da matriz. Assim, definimos o determinante de ordem 1, a seguir, o de ordem 2 e, a partir da ordem 3, reca´ ımos em c´lculos de determinantes a de ordens menores. Vamos ver como isso ´ feito: e Seja A = (aij ) ∈ Mn (R). n=1 Neste caso, A = [a11 ] e det A = a11 . Note que o determinante de uma matriz de ordem 2 ´ a e diferen¸a entre o produto dos c termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secund´ria. Esses a produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secund´rio da matriz. a n=2 Neste caso, A = a11 a12 a21 a22 e seu determinante ´ dado por: e det A = a11 a22 − a12 a21 Exemplo 32 Vamos calcular os determinantes das matrizes abaixo: 1. A = 3 4 6 8 2. A = 2 5 −3 4 3. A = sen α −cos α cos α sen α 4. A = 6 4 3 1 n=3 ⇒ det A = 3.8 − 4.6 = 24 − 24 = 0 ⇒ det A = 8 − (−15) = 23 ⇒ det A = sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ det A = 6 − 12 = −6  a11 a12 a13   Seja A =  a21 a22 a23 . Neste caso, escolhemos uma linha (ou a31 a32 a33 uma coluna) para desenvolver o determinante.  Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos: det A = a11 .(−1)1+1 . CEDERJ 50 a22 a23 a21 a23 a21 a22 +a12 .(−1)1+2 . +a13 .(−1)1+3 . . a32 a33 a31 a33 a31 a32
  46. 46. Determinantes ´ MODULO 1 - AULA 5 Exemplo 33   2 5 −3   det  0 4 5  3 1 −2 = 2(−1)1+1 4 5 0 5 0 4 + 5(−1)1+2 + (−3)(−1)1+3 1 −2 3 −2 3 1 = 2(−8 − 5) − 5(0 − 15) − 3(0 − 12) = 85 . Observa¸˜o: Existe uma regra pr´tica para o c´lculo do determinante de ca a a ordem 3, conhecida como Regra de Sarrus. Ela afirma que: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Lˆ-se “Sarr´ e ı”. = = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ). Desenvolvendo os produtos indicados na defini¸˜o de determinante de ca ordem 3, vocˆ poder´ ver que as express˜es coincidem. e a o Exemplo 34 Vamos calcular, novamente, o determinante do exemplo anterior, agora usando a Regra de Sarrus: 2 5 −3 0 4 5 = [2.4.(−2)+(5.5.3)+(−3.0.1)]−[(−3.4.3)+(2.5.1)+(5.0.(−2))] = 3 1 −2 = (−16 + 75) − (−36 + 10) = 85. n=4    Seja A =   a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44    .  Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos: 51 CEDERJ
  47. 47. Determinantes Álgebra Linear 1 det A = a11 .(−1)1+1 . det A−1,−1 + a12 .(−1)1+2 . det A−1,−2 + a13 .(−1)1+3 . det A−1,−3 + a14 .(−1)1+4 . det A−1,−4 , onde A−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-´sima linha e da j-´sima coluna. Observe que reca´ e e ımos no c´lculo de 4 a determinantes, cada um de ordem 3. Um determinante de ordem 10 exige a realiza¸˜o de ca 9.234.099 opera¸˜es! co Para n = 5, a defini¸˜o ´ an´loga: iremos recair no c´lculo de 5 deca e a a terminantes, cada um de ordem 4. Logo, teremos que calcular 5 × 4 = 20 determinantes de ordem 3. Como vocˆ pode ver, os c´lculos envolvidos na e a obten¸˜o de determinantes crescem rapidamente, a medida que a ordem do ca ` determinante aumenta. Temos, ent˜o, que encontar um m´todo alternativo para calcular detera e minantes: a defini¸˜o n˜o fornece uma sa´ r´pida para isso. Antes, por´m, ca a ıda a e de estudarmos um m´todo mais eficiente para aplicar, usando as propriee dades dos determinantes e, mais uma vez, opera¸˜es elementares, damos a co defini¸˜o do determinante de ordem n, desenvolvido pela i-´sima linha: ca e  a11 a21 . . . a12 a22 . . . ... ... ... ... ... a1n a2n . . .    det     an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann     =    n aij (−1)i+j . det A−i,−j j=1 Propriedades dos determinantes Na medida do poss´ ıvel, daremos uma id´ia da demonstra¸˜o dessas proe ca priedades. Para verificar a validade de cada uma delas, precisar´ ıamos definir determinantes pelo uso de permuta¸˜es, o que alongaria demais a nossa aula. co Caso vocˆ tenha interesse em conhecer essa abordagem, ir´ encontr´-la em e a a ´ Algebra Linear e Aplica¸˜es, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto co Costa. D1 O determinante de uma matriz ´ unico. Isto ´, n˜o importa por qual e ´ e a linha ou coluna o determinante seja desenvolvido, o resultado final ´ sempre e o mesmo. CEDERJ 52
  48. 48. Determinantes ´ MODULO 1 - AULA 5 D2 Dada A ∈ Mn (R), det A = det AT Em palavras: o determinante da transposta ´ igual ao determinante da e matriz. De fato, a express˜o do determinante de A, desenvolvido pela i-´sima a e linha, coincidir´, termo a termo, com a express˜o de det AT , desenvolvido a a pela i-´sima coluna. e D3 Se A ∈ Mn (R) possui uma linha (ou uma coluna) nula, ent˜o det A = 0. a De fato, basta desenvolver det A por essa linha (ou coluna) nula. D4 Se escrevemos cada elemento de uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn (R) como soma de 2 parcelas, ent˜o det A ´ a soma de dois determinantes de a e ordem n, cada um considerando como elemento daquela linha (ou coluna) uma das parcelas, e repetindo as demais linhas (ou colunas). D5 O determinante de uma matriz triangular ´ o seu termo principal. e D6 Se multiplicamos uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn (R) por um n´ mero u real λ, o determinante de A fica multiplicado por λ. Lembrando: o termo principal de uma matriz quadrada ´ o produto dos elementos de e sua diagonal principal. D7 Se permutamos duas linhas (ou colunas) de A ∈ Mn (R), ent˜o o detera minante de A fica multiplicado por −1. D8 Se A ∈ Mn (R) tem duas linhas (ou colunas) iguais ent˜o det A = 0. a D9 Se A ∈ Mn (R) possui uma linha (ou coluna) que ´ soma de m´ ltiplos de e u outras linhas (ou colunas), ent˜o det A = 0. a D10 Se somamos a uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn (R) um m´ ltiplo de u outra linha (ou coluna), o determinante de A n˜o se altera. a D11 Se A, B ∈ Mn (R), ent˜o det(AB) = det A. det B. a D12 Se A ∈ Mn (R) ´ invers´ e ıvel, ent˜o det A−1 = (det A)−1 . a De fato, se A ´ invers´ e ıvel, existe A−1 tal que A.A−1 = I. Ent˜o det(A.A−1 ) = det I. a Pela propriedade D11, det A . det A−1 = det I, e pela propriedade D5, 1 temos que det I = 1. Logo, det A−1 = = (det A)−1 . det A Uma conclus˜o importante pode ser tirada a partir da propriedade D12: a uma matriz ´ invers´ se, e somente se, seu determinante ´ diferente de zero. e ıvel e Destaquemos esse resultado: Seja A ∈ Mn (R). A ´ invers´ e ıvel ⇔ det A = 0 53 CEDERJ
  49. 49. Determinantes Álgebra Linear 1 D13 Se A ∈ Mn (R) ´ ortogonal, ent˜o det A−1 = 1 ou − 1. e a De fato, se A ´ ortogonal, A−1 = AT . Pela propriedade D2, det A = e T −1 a det A = det A . Ent˜o, pela propriedade D12, det A. det A−1 = 1 ⇒ det A. det AT = 1 ⇒ det A. det A = 1 ⇒ (det A)2 = 1 ⇒ det A = ±1. C´lculo de determinantes por triangulariza¸˜o a ca Observe o que diz a propriedade D5. Calcular o determinante de uma matriz triangular ´, praticamente, imediato. Dado um determinante, a id´ia, e e ent˜o, ´ aplicar opera¸˜es elementares sobre suas linhas, de modo a triangulaa e co riz´-lo. Para isso, temos que observar os efeitos que cada opera¸˜o elementar a ca pode ou n˜o causar no valor do determinante procurado. Vejamos: a 1. Permutar duas linhas. Pela propriedade D7, essa opera¸˜o troca o sinal do determinante. ca 2. Multiplicar uma linha por um n´mero real λ n˜o nulo. u a A propriedade D6 nos diz que essa opera¸˜o multiplica o determinante ca por λ. 3. Somar a uma linha um m´ltiplo de outra. u Pela propriedade D10, essa opera¸˜o n˜o altera o determinante. ca a Diante disso, para triangularizar um determinante, basta que fiquemos atentos para “compensar”poss´ ıveis altera¸˜es provocadas pelas opera¸˜es eleco co mentares utilizadas. Vamos a um exemplo.  Exemplo 35   Calcular, por triangulariza¸˜o, det  ca  2 5 1 0 −1 4 6 −2 5 1 3 −3 3 2 1 0 L1 ↔L4 1 3 −3 0 0 −1 4 2 =− 0 −20 23 1 0 −1 7 3 CEDERJ 54 2 5 1 0 −1 4 6 −2 5 1 3 −3 1 3 −3 0 0 −1 4 2 =− 6 −2 5 1 2 5 1 3 L3 ←L3 −20L2 L4 ←L4 −L2 3 2 1 0    .  L3 ←L3 −6L1 = L4 ←L4 −2L1 1 3 −3 0 0 −1 4 2 =− 0 0 −57 −39 0 0 3 1 L3 ←−1/57L3 =
  50. 50. Determinantes ´ MODULO 1 - AULA 5 1 3 −3 0 0 −1 4 2 = −(−57) = −(−57) 0 0 1 39/57 0 0 3 1 L4 ←L4 −3L3 = −(−57).1.(−1).1.(−20/19) = 60. 1 3 −3 0 0 −1 4 2 0 0 1 39/57 0 0 0 −20/19 = Observa¸oes. c˜ 1. N˜o h´ uma unica maneira de se triangularizar um determinante: as a a ´ opera¸˜es elementares escolhidas podem diferir, mas o resultado ´ unico. co e´ 2. O m´todo de triangulariza¸˜o ´ algor´ e ca e ıtmico, ou seja, ´ constitu´ de e ıdo um n´ mero finito de passos simples: a cada coluna, da primeira a u ` pen´ ltima, devemos obter zeros nas posi¸˜es abaixo da diagonal prinu co cipal. Calcule o determinante do pr´ximo exemplo e compare com a nossa o resolu¸˜o: dificilmente vocˆ optar´ pela mesma seq¨ˆncia de opera¸˜es eleca e a ue co mentares, mas (se todos tivermos acertado!) o resultado ser´ o mesmo. a Exemplo 36 Vamos calcular 2 −4 8 5 4 6 −3 0 2 2 −4 8 5 4 6 −3 0 2 1 L1 ← 2 L1 1 −2 4 = 2 0 14 −14 0 −6 14 1 −2 4 = 2.14 0 1 −1 0 0 8 por triangulariza¸˜o: ca 1 −2 4 =2 5 4 6 −3 0 2 1 L2 ← 14 L2 L2 ←L2 −5L1 = L3 ←L3 +3L1 1 −2 4 = 2.14 0 1 −1 0 −6 14 = L3 ←L3 +6L2 = 2.14.1.1.8 = 224. Exemplo 37 Vamos aplicar as propriedades estudadas nesta aula para dar os determinane ıvel tes de AT , A−1 e 3A, sabendo que A ´ uma matriz quadrada invers´ de ordem 2 e que det A = D. 1. det AT = D, pois o determinante da matriz transposta ´ igual ao dee terminante da matriz dada. 55 CEDERJ
  51. 51. Determinantes Álgebra Linear 1 1 e 2. det A−1 = , pois o determinante da matriz inversa ´ o inverso do D determinante da matriz dada. 3. det 3A = 32 D = 9D, pois A possui 2 linhas e cada linha multiplicada por 3 implica multiplicar o determinante por 3. Exemplo 38 Determine x tal que 2x x + 2 −4 x = 14 Temos 2x.x−(−4)(x+2) = 14 ⇒ 2x2 +4x−6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = −3. Exemplo 39 Determine x para que a matriz A = x 1 20 − x x seja invers´ ıvel. Sabemos que A ´ invers´ e ıvel se, e somente se, det A = 0. Queremos, 2 2 ent˜o, x − (20 − x) = 0 ⇒ x + x − 20 = 0 ⇒ x = 4 e x = −5. a Resumo Nesta aula recordamos a defini¸˜o de determinante e vimos que n˜o ca a se trata de um m´todo pr´tico para calcular determinantes de ordens ale a tas. Vimos as propriedades dos determinantes e, com o uso de quatro delas, pudemos facilitar o c´lculo de determinantes, aplicando opera¸˜es elementaa co res e “transformando”o determinante original num triangular. Tal m´todo, e chamado triangulariza¸˜o, permite que determinantes de ordens altas sejam ca obtidos sem que tenhamos que recair numa seq¨ˆncia enorme de determinanue tes de ordens menores a serem calculados. Veja que esta aula n˜o apresentou a nenhuma grande novidade em termos de teoria: foi uma aula mais pr´tica, a que apresentou uma t´cnica util de c´lculo. e ´ a Exerc´ ıcios 1. Calcule, por triangulariza¸˜o, os seguintes determinantes: ca 3 −2 4 a) −1 0 2 5 6 2 CEDERJ 56 2 −3 1 7 −2 3 0 4 b) −1 5 4 −3 2 4 −5 0 10 −2 −6 c) 2 1 6 5 4 2
  52. 52. Determinantes ´ MODULO 1 - AULA 5 2. Dada A ∈ Mn (R), tal que det A = D, determine: a) det AT b) det A−1 c) det 2A  a b c  3. Seja det A =  d e f g h i determinantes: a b c b) a) −d −e −f g h i a d g d) b e h c f i 4. Calcule x para que    = 10. Calcule, usando as propriedades dos a b c g h i d e f 2a 2b 2c e) g h i d e f x + 2 2 −x 4 0 5 6 2x x a b c c) d/2 e/2 f /2 g h i a b c f) g + d h + e i + f d e f = 14 5. Sejam A, B ∈ Mn (R) tais que det A = 4 e det B = 5. Determine: a) det AB b) det 3A c) det(AB)−1 d) det(−A) e) det A−1 B 6. Determine x para que a matriz A = x x+2 1 x seja invers´ ıvel. 57 CEDERJ
  53. 53. Determinantes Álgebra Linear 1 Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ deve estar bem treinado para calcular determinantes pelo m´todo e e da triangulariza¸˜o. Veja que se trata de um c´lculo “ingrato”: n˜o h´ como ca a a a verificar se estamos certos, a n˜o ser refazendo e comparando os resultados. a Por isso, embora se trate de uma t´cnica simples, algor´ e ıtmica, exige aten¸˜o. ca Caso vocˆ tenha sentido d´ vidas, procure o tutor da disciplina. e u Respostas dos exerc´ ıcios 1. a) − 84 b)1.099 c) − 266 2. a)D b)1/D c)2n .D 3. a) − 10 b) − 10 c)5 d)10 e) − 20 f )10 4. x = 1 ou x = − 23 9 5. Sejam A, B ∈ Mn (R) tais que det A = 4 e det B = 5. Determine: a) det AB = det A. det B = 4 × 5 = 20 b) det 3A = 34 . det A = 3n × 4 = 4.3n c) det(AB)−1 = [det(AB)]−1 = 20−1 = 1/20 a ımpar) d) det(−A) = (−1)n × 4 (ser´ 4, se n for par e -4, se n for ´ e) det A−1 B = det A−1 . det B = 1/4 × 5 = 5/4 6. x = −1 e x = 2 CEDERJ 58
  54. 54. Sistemas Lineares ´ MODULO 1 - AULA 6 Aula 6 – Sistemas Lineares Objetivo Resolver e classificar sistemas lineares, usando o m´todo do escalonamento. e ´ Grande parte dos problemas estudados em Algebra Linear recaem na Pr´-requisitos: aulas 1 a 4. e resolu¸˜o ou discuss˜o de sistemas de equa¸˜es lineares. O mesmo aconca a co tece com muitos problemas das demais areas da Matem´tica, da F´ ´ a ısica e da Engenharia. Vocˆ, com certeza, j´ tomou conhecimento de diferentes e a t´cnicas de resolu¸˜o desses sistemas - substitui¸˜o, adi¸˜o, compara¸˜o, ene ca ca ca ca tre outras. Nesta aula e na pr´xima estudaremos um m´todo que permite o e um tratamento eficiente de sistemas de equa¸˜es lineares, seja para obter co seu conjunto-solu¸˜o, seja para classific´-lo ou mesmo para impor condi¸˜es ca a co quanto a existˆncia ou quantidade de solu¸˜es. ` e co Equa¸˜es lineares co Uma equa¸˜o linear ´ uma equa¸˜o do tipo ca e ca a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b Isto ´, trata-se de uma equa¸˜o na qual cada termo tem grau, no e ca m´ximo, igual a 1. Os elementos de uma equa¸˜o linear s˜o: a ca a • vari´veis (ou inc´gnitas): x1 , ..., xn a o • coeficientes: a1 , ..., an ∈ R Uma equa¸˜o ´ uma ca e senten¸a matem´tica aberta, c a isto ´, com vari´veis, onde e a duas express˜es s˜o ligadas o a pelo sinal “=”. Ex: 2x − 1 = 0; x2 − 2x = 6 etc. O grau de um termo - ou monˆmio - ´ a soma dos o e expoentes das vari´veis. a Ex: xy tem grau 2; x2 y 3 tem grau 5; 16 tem grau zero. • termo independente: b ∈ R Exemplo 40 S˜o equa¸˜es lineares: a co • 3x1 − 2x2 + 17 = 0 • 2x − 3y + 4z = 1 • 4a − 5b + 4c − d = 10 59 CEDERJ
  55. 55. Sistemas Lineares Álgebra Linear 1 • x=2 S˜o equa¸˜es n˜o-lineares: a co a • x2 − 5x + 6 = 0 • 3xy − x + 4 = 0 √ • 2 x − 3y = 1 • 3 −9 =0 x Uma solu¸˜o de uma equa¸˜o com n vari´veis ´ uma n-upla ordenada de ca ca a e n´ meros reais os quais, quando substitu´ u ıdos no lugar das vari´veis respectivas a na equa¸˜o, fornecem uma senten¸a matem´tica verdadeira. ca c a Resolver uma equa¸˜o ´ encontrar o conjunto de todas as suas solu¸˜es, ca e co chamado conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o. ca ca Exemplo 41 1. O par ordenado (3, 2) ´ uma solu¸˜o da equa¸˜o (n˜o linear) x2 −4y = 1, e ca ca a 2 pois 3 − 4(2) = 9 − 8 = 1. 2. O conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o linear 3x − 1 = 5 ´ {2}. ca ca e 3. A equa¸˜o linear x + y = 10 possui infinitas solu¸˜es. Os pares ordeca co nados (2, 8), (−3, 13), (0, 10), (1/5, 49/5) s˜o apenas algumas delas. a Sistemas de equa¸˜es lineares co Um sistema de equa¸˜es lineares (ou, simplesmente, um sistema linear) co ´ um conjunto de equa¸˜es lineares que devem ser resolvidas simultaneae co mente. Isto ´, uma solu¸˜o do sistema ´ solu¸˜o de cada equa¸˜o linear que e ca e ca ca o comp˜e. Resolver um sistema de equa¸˜es lineares ´ determinar o conjunto o co e formado por todas as suas solu¸˜es, chamado conjunto-solu¸˜o do sistema. co ca Um sistema linear, com m equa¸˜es e n inc´gnitas, tem a seguinte co o forma:   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2     .  .     .     am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm CEDERJ 60
  56. 56. Sistemas Lineares Exemplo 42 S˜o sistemas de equa¸˜es lineares: a co   x + 2y − 3z = 1    −2x + 5y − z = 5 2x − y = 3  3x − 6y = 10 4x + 5y = 0    4x − y + 2z = −1   2a − 3b = 1  a+b =5   5a − 2b = 8 ´ MODULO 1 - AULA 6 x1 − 2x2 + 5x3 = 0 2x1 + x2 = 2 Classifica¸˜o de um sistema linear quanto ` solu¸˜o ca a ca Um sistema linear pode ter ou n˜o solu¸˜o. Se tem solu¸˜o, pode ter a ca ca uma s´ ou mais de uma. Podemos, ent˜o, classificar um sistema linear, o a quanto a existˆncia e quantidade de solu¸˜es, em trˆs tipos: ` e co e • Compat´ ıvel (ou poss´ ıvel) e determinado: quando possui uma unica ´ solu¸˜o. ca • Compat´ e indeterminado: quando possui mais de uma solu¸˜o. ıvel ca • Incompat´ (ou imposs´ ıvel ıvel): quando n˜o possui solu¸˜o. a ca Podemos pensar num sistema de equa¸˜es lineares como sendo um conco junto de perguntas a responder (qual o valor de cada inc´gnita?). Cada o equa¸˜o fornece uma informa¸˜o, uma “dica”a respeito dessas inc´gnitas. Se ca ca o tivermos informa¸˜es coerentes e em quantidade suficiente, encontraremos co uma solu¸˜o, que ser´ unica. Se essas informa¸˜es forem coerentes entre si, ca a´ co mas em quantidade insuficiente, n˜o conseguiremos determinar, uma-a-uma, a cada solu¸˜o, mas poderemos caracterizar o conjunto delas. Finalmente, se ca as informa¸˜es n˜o forem coerentes entre si, ou seja, se forem incompat´ co a ıveis, o sistema n˜o ter´ solu¸˜o. a a ca Exemplo 43 Sem ter que aplicar regras de resolu¸˜o, podemos ver que ca 1. O sistema Resolver um sistema ´ um e pouco como brincar de detetive... x+y =3 possui uma unica solu¸˜o: o par (2, 1); ´ ca x−y = 1 x+y =3 possui mais de uma solu¸˜o; ca 2x + 2y = 6 os pares (1, 2), (0, 3), (3, 0), (2, 1), (3/2, 3/2) s˜o algumas delas; a 2. O sistema x+y =3 n˜o possui solu¸˜o (A soma de dois n´ meros a ca u x+y =4 reais ´ unica!). e´ 3. O sistema 61 CEDERJ
  57. 57. Sistemas Lineares Álgebra Linear 1 Sistemas lineares homogˆneos e Dizemos que um sistema linear ´ homogˆneo quando os termos indee e pendentes de todas as equa¸˜es que o comp˜em s˜o iguais a zero. co o a Exemplo 44 S˜o sistemas lineares homogˆneos: a e 2x − 3y = 0 x + 5y = 0 3x1 − x2 + 7x3 = 0 x1 − 2x2 + 3x3 = 0   2x − 5y = 0  x + 5y = 0   −x + 4y = 0 Observe que um sistema linear homogˆneo em n inc´gnitas sempre e o admite a solu¸˜o ca (0, 0, ..., 0) n A solu¸˜o trivial tamb´m ´ ca e e conhecida como solu¸˜o nula ca ou ainda solu¸˜o impr´pria. ca o elementos, chamada solu¸˜o trivial. Logo, um sistema linear homogˆneo ´ sempre comca e e pat´ ıvel. Quando ´ determinado, possui somente a solu¸˜o trivial. Quando e ca ´ indeterminado, possui outras solu¸˜es, al´m da trivial, chamadas (obviae co e mente!) solu¸˜es n˜o-triviais. co a J´ ´ hora de resolvermos sistemas lineares. Dissemos, no in´ a e ıcio da aula, que far´ ıamos isso usando um m´todo eficiente. Esse m´todo lida com e e matrizes asociadas ao sistema a ser tratado. Vamos, ent˜o, caracterizar essas a matrizes. Matrizes associadas a um sistema linear Dado um sistema linear com m equa¸˜es e n inc´gnitas: co o   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2     .          . . am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm destacamos as seguintes matrizes: CEDERJ 62
  58. 58. Sistemas Lineares • matriz (m × n) dos coeficientes:  a11 a12   a21 a22  . .  . . .  . am1 am2 ... a1n ... a2n . . . . . . ... amn ´ MODULO 1 - AULA 6       • matriz (ou vetor) (m × 1) dos termos independentes:   b1    b2   .   .   .  bm • matriz aumentada (ou ampliada)  a11 a12   a21 a22  . .  . . .  . (m × (n + 1)) do sistema:  ... a1n b1  ... a2n b2  .  . . .  . . .  . . am1 am2 ... amn bm   2x − 3y + 4z = 18 Exemplo 45  possui O sistema linear x + y − 2z = −5   −x + 3z = 4 matriz de coeficientes:  2 −3 4   1 −2   1 −1 0 3  matriz de termos independentes:   18    −5  4 matriz aumentada:   2 −3 4 18   1 −2 −5   1 −1 0 3 4 Resolu¸˜o de sistemas lineares por escalonamento ca Observe o sistema linear a seguir:   2x +y −z = 3  +3y +z = −1   2z = 4 Note que, para resolvˆ-lo, basta: e 63 CEDERJ
  59. 59. Sistemas Lineares Álgebra Linear 1 • determinar o valor de z na terceira equa¸˜o ca • substituir o valor de z na segunda equa¸˜o e obter y ca • substituir y e z na primeira equa¸˜o e obter x ca num processo chamado m´todo das substitui¸˜es regressivas. e co A resolu¸˜o do sistema ficou bastante facilitada. Vejamos a matriz ca aumentada desse sistema:   2 1 −1 3   1 −1   0 3 0 0 2 4 Observe que, a partir da segunda linha, o n´mero de zeros iniciais semu pre aumenta. Quando isso acontece, dizemos que a matriz est´ escalonada. a Sistemas com matrizes associadas na forma escalonada podem ser resolvidos pelo m´todo das substitui¸˜es regressivas, como vimos acima. O problema, e co ent˜o, ´: a e Dado um sistema linear, como transformar sua matriz associada em uma escalonada? E como fazer isso sem alterar seu conjunto-solu¸˜o? ca Dizemos que dois sistemas lineares s˜o equivalentes quando possuem o a mesmo conjunto-solu¸˜o. Nosso objetivo, portanto, ´ migrar de um sistema ca e para outro que lhe seja equivalente, e de resolu¸˜o mais simples. ca N´s j´ estudamos, na aula 4, as opera¸˜es elementares que podemos o a co efetuar sobre as linhas de uma matriz. Vamos recordar quais s˜o elas: a 1. Permutar duas linhas. Nota¸˜o: Li ↔ Lj ca 2. Multiplicar uma linha por um n´mero real n˜o nulo. u a Nota¸˜o: Li ← λLi ca Neste caso, dizemos que Lj ´ e a linha pivˆ. o Vocˆ pode encontrar essas e passagens, em detalhes, no ´ livro Algebra Linear e Aplica¸os, de Collioli, c˜ Domingues e Costa, da Atual Editora. CEDERJ 64 3. Somar a uma linha um m´ltiplo de uma outra. u Nota¸˜o: Li ← Li + λLj ca Pode-se mostrar que: Seja S um sistema linear com matriz aumentada A. Se aplicamos `s a linhas de A opera¸oes elementares, obtemos uma matriz A , tal que o sistema c˜ e linear S , de matriz aumentada A , ´ equivalente a S.
  60. 60. Sistemas Lineares ´ MODULO 1 - AULA 6 A id´ia, ent˜o ´: dado um sistema S de matriz aumentada A, aplicar e a e opera¸˜es elementares `s linhas de A, obtendo uma matriz escalonada A , e co a resolver o sistema associado S , conforme mostra o esquema a seguir: Sistema linear S equivalentes ↔ Sistema linear S ↓ matriz A ↑ opera¸˜es elementares co ↔ matriz escalonada A Vamos ver uma s´rie de exemplos para vocˆ se familiarizar com o e e m´todo. Em vez de, simplesmente, ler o exemplo, efetue cada opera¸˜o e ca elementar indicada, para depois comparar com a matriz apresentada na seq¨ˆncia: ue Exemplo 46 Vamos resolver, por escalonamento, o sistema linear   x +2y +5z = 28  S: 2x +3y −z = −1   4y +z = 13 Vamos escrever a matriz aumentada desse  1 2 5 28  A =  2 3 −1 −1 0 4 1 13 sistema:    Vamos obter “zeros”na primeira coluna, da segunda linha em diante. Para isso, aplicaremos a terceira opera¸˜o elementar, usando a primeira linha ca como pivˆ. Note que, neste caso, como o elemento da terceira linha j´ ´ zero, o ae precisamos apenas obter zero na segunda linha. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por −2 e somar o resultado com a segunda linha:     1 2 5 28 1 2 5 28      0 −1 −11 −57   2 3 −1 −1  L2 ← L2 − 2L1 ⇒ 0 4 1 13 0 4 1 13 Passemos, agora, para a segunda coluna (n˜o usaremos mais a primeira a linha - ela est´ “pronta”). Queremos obter zero abaixo da segunda linha. a Para isso, multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos a terceira: `     1 2 5 28 1 2 5 28      0 −1 −11 −57   0 −1 −11 −57  0 0 −43 −215 0 4 1 13 L3 ← L3 + 4L2 ⇒ 65 CEDERJ
  61. 61. Sistemas Lineares Álgebra Linear 1 Pronto: a matriz est´ escalonada. Vamos, agora, escrever o sistema S , a associado  ela: a  x +2y +5z = 28  S : −y −11z = −57   −43z = −215 Da terceira equa¸˜o, obtemos z = (−215)/(−43) = 5. ca Substituindo na segunda, obtemos y = 2. Finalmente, substituindo os valores j´ obtidos na primeira equa¸˜o, a ca temos x = −1. a e e ca Como S e S s˜o sistemas lineares equivalentes, essa tamb´m ´ a solu¸˜o do sistema S dado. Logo, o conjunto-solu¸˜o procurado ´ {(−1, 2, 5)}. Al´m ca e e disso, podemos classificar o sistema S: ele ´ compat´ e determinado. e ıvel Exemplo 47 Vamos resolver o sistema linear:   2x +y +5z    x +3y +4z S:  5y −z    −x +2y +3z Sua matriz aumentada ´: e      2 1 0 −1 =1 = −7 = −15 = −8 1 5 1 3 4 −7 5 −1 −15 2 3 −8      Vocˆ deve ter notado que, quando o elemento na linha pivˆ, na coluna e o em que estamos trabalhando, ´ 1 (ou -1), os c´lculos ficam facilitados. Ent˜o, e a a vamos aproveitar o fato de ter 1 na primeira posi¸˜o da segunda linha, e ca permutar as linhas 1 e 2:      2 1 0 −1 1 5 1 3 4 −7 5 −1 −15 2 3 −8      L1 ↔ L2 ⇒      1 2 0 −1 3 4 −7 1 5 1 5 −1 −15 2 3 −8      Vamos obter zeros na primeira coluna, abaixo da primeira linha, usando a primeira linha como pivˆ: o CEDERJ 66
  62. 62. Sistemas Lineares  ´ MODULO 1 - AULA 6    3 4 −7 1 3 4 −7  1 5 1  L2 ← L2 − 2L1 ⇒  0 −5 −3 15             0 5 −1 −15 5 −1 −15  L4 ← L4 + L1 2 3 −8 0 5 7 −15 Passemos para a segunda coluna. Para obter 1 na posi¸˜o pivˆ, dividica o mos toda a segunda linha por -5:     1 3 4 −7 1 3 4 −7  0 −5 −3 15  L2 ← −1/5L2 ⇒  0 1 3/5 −3           0 5 −1 −15   0 5 −1 −15  0 5 7 −15 0 5 7 −15 Agora, usando a linha 2 como liha pivˆ, vamos obter zeros na segunda o coluna, abaixo da segunda linha:     1 3 4 −7 1 3 4 −7  0 1 3/5 −3   0 1 3/5 −3  ⇒          0 5 −1 −15  L3 ← L3 − 5L2  0 0 −4 0  1 2 0 −1 L4 ← L4 − 5L2 0 0 4 0 0 5 7 −15 Para finalizar o escalonamento, precisamos obter trˆs zeros inicias na e quarta linha, ou seja, obter um zero na posi¸˜o i = 4, j = 3. Nas passagens ca acima, usamos a segunda opera¸˜o elementar par obter 1 na posi¸˜o pivˆ e, ca ca o com isso, ter os c´lculos facilitados na obten¸˜o dos zeros. Devemos, por´m, a ca e estar atentos a posss´ ` ıveis vantagens que um sistema em particular pode oferecer. Neste exemplo, se simplesmente somarmos a linha 3 a linha 4, j´ obtere` a     1 3 4 −7 1 3 4 −7  0 1 3/5 −3   0 1 3/5 −3  ⇒     mos o zero procurado:      0 0 −4  0 0 −4 0  0  0 0 0 0 0 0 4 0 L4 ← L4 + L3 A matriz est´ escalonada. Vamos escrever o sistema associado: a   x +3y +4z = −7  S : y +3z/5 = −3   −4z = 0 Resolvendo por substitui¸˜es regressivas, obtemos: z = 0, y = −3, x = co 2. Logo, o sistema S ´ compat´ e determinado e seu conjunto-solu¸˜o ´ e ıvel ca e {(2, −3, 0)}.  Exemplo 48  3a +2b +c +2d = 3  Vamos resolver o sistema linear S : a −3c +2d = −1   −a +5b +4c =4 Acompanhe a seq¨ˆncia de opera¸˜es elementares que aplicremos para ue co 67 CEDERJ
  63. 63. Sistemas Lineares Álgebra Linear 1 escalonar a matriz aumentada de S:     1 0 −3 2 −1 3 2 1 2 3 L1 ↔ L3     1 2 3  L2 ← L2 − 3L1 ⇒  3 2  1 0 −3 2 −1  ⇒ −1 5 4 0 4 L3 ← L3 + L1 −1 5 4 0 4     1 0 −3 2 −1 1 0 −3 2 −1  ⇒   L2 ← 1/2L2 ⇒  ⇒  0 2 10 −4 5 −2 3  6   0 1 L3 ← L3 − 5L2 0 5 1 2 3 0 5 1 2 3     a 1 0 −3 2 −1 −3c +2d = −1    ⇒ 0 1 5 −2 3 ⇒S : b +5c −2d = 3   0 0 −24 12 −12 −24c +12d = 12 Na terceira equa¸˜o, vamos escrever d em fun¸˜o de c : d = −1 + 2c. ca ca Substituindo na segunda equa¸˜o, obtemos b = 1−c. E na primeira equa¸˜o: ca ca a = 1 − c. Temos, neste caso, um sistema compat´ ıvel, por´m indeterminado: e ele possui infinitas solu¸˜es. co Fazendo c = k, seu conjunto-solu¸˜o ´ {(1−k, 1−k, k, −1+2k); k ∈ R}. ca e  Exemplo 49  2x +y −3z = 3  Vamos resolver o sistema S : x −y +z = 1   3x +3y −7z = 2     1 −1 1 1 L1 ↔ L2 2 1 −3 3     1 −3 3  L2 ← L2 − 2L1 ⇒ 1 1  ⇒  2  1 −1 L3 ← L3 − 3L1 3 3 −7 2 3 3 −7 2     1 −1 1 1 1 −1 1 1     ⇒ 0 3 −5 1  3 −5 1   0 0 0 0 −3 0 6 −10 −1 L3 ← L3 − 2L2 Observe que, ao escrever o sistema associado a essa matriz, a terceira equa¸˜o ser´: 0x+0y+0z = −3, ou seja, 0 = −3, o que ´ falso, para quaisquer ca a e valores de x, y e z. Logo, o sistema S ´ imposs´ e seu conjunto-solu¸˜o ´ e ıvel ca e ∅.  Exemplo 50  a −b +c = 0  Vamos resolver o sistema linear homogˆneo S : e a +b =0   2b −c = 0     1 −1 1 0 1 −1 1 0     1 0 0  L2 ← L2 − L1  0 2 −1 0   1 0 2 −1 0 0 2 −1 0 L3 ← L3 − L2 CEDERJ 68
  64. 64. Sistemas Lineares  1 −1 1 0   2 −1 0  ⇒ S :  0 0 0 0 0 ´ MODULO 1 - AULA 6  a −b +c = 0 2b −c = 0 ˆ ´ O sistema ´ compat´ (TODO SISTEMA HOMOGENEO E COMe ıvel PAT´ IVEL!!) e indeterminado. Resolvendo a segunda equa¸˜o para c, substica tuindo na primeira, e fazendo b = k, vocˆ poder´ conferir que o conjuntoe a solu¸˜o ´ {(−k, k, 2k)k ∈ R}. ca e Resumo Nesta aula estudamos o m´todo de escalonamento para resolver e clase sificar sistemas lineares. Trata-se de um m´todo seguro, que “revela”a estrue tura do sistema, explicitando as redundˆncias ou incongruˆncias das equa¸˜es. a e co Ap´s o escalonamento, as equa¸˜es que n˜o acrescentam informa¸˜o ao siso co a ca tema, tˆm seus termos todos anulados e auqelas que s˜o incompat´ e a ıveis com as demais se transformam numa senten¸a matem´tica falsa (algo como 0 = a, c a com a diferente de zero). Continuaremos a usar esse m´todo, na pr´xima e o aula, para discutir sistemas lineares, isto ´, para impor ou identificar condi¸˜es e co sobre seu conjunto-solu¸˜o. ca 69 CEDERJ
  65. 65. Sistemas Lineares Álgebra Linear 1 Exerc´ ıcios 1. (Prov˜o - MEC - 2001) a   x +y −z = 1  O n´ mero de solu¸˜es do sistema de equa¸˜es u co co 2x +2y −2z = 2   5x +5y −5z = 7 ´ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) infinito e 2. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:   =1  3x −y    2x −y = −7   2y −5z = −11 b) a) −3x +4y = 13   z −t = −1    x +2y = −1  x +y +z +t = 10 c) 2a −b −c = −4 a +b −2c = 1   x −y    2x +3y e)   x +2y   5x −4y =3 = 16 =9 = 17   3x −y +z = 0  g) x +y −2z = 0   5x −3y +4z = 0   2x +y −z = −6  d) x −y +3z = 21   3x +2z = 15   x −y    2x +3y f)   x +2y   5x −4y =3 = 16 =8 = 17   a +2b = 0  h) 3a −b = 0   5a +3b = 0 Auto-avalia¸˜o ca N˜o se preocupe se vocˆ ainda hesita sobre qual opera¸˜o linear usar, a e ca no processo de escalonamento. A familiariza¸˜o vem com a pr´tica. Se ca a necess´rio, refa¸a os exemplos e exerc´ a c ıcios. Se sentir d´ vidas, procure a u tutoria. Os sistemas lineares aparecer˜o ao longo de todo o curso e ´ bom a e que vocˆ esteja ´gil no processo de escalonamento, para n˜o perder muito e a a tempo com eles!! CEDERJ 70
  66. 66. Sistemas Lineares ´ MODULO 1 - AULA 6 Respostas dos exerc´ ıcios 1. (A) 0 (Ao escalonar, conclu´ ımos que o sistema ´ incompat´ e ıvel) 2. a) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(−3, 1)} ıvel ca b) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(1, 2, 3, 4)} ıvel ca c) Sistema compat´ indeterminado. ıvel Conjunto-solu¸˜o = {(−1 + k, 2 + k, k); k ∈ R} ca d) Sistema compat´ indeterminado. ıvel Conjunto-solu¸˜o = {(5 − 2k/3, −16 + 7k/3, k); k ∈ R} ca e) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(5, 2)} ıvel ca f) Sistema incompat´ ıvel. Conjunto-solu¸˜o = ∅ ca g) Sistema compat´ indeterminado. ıvel Conjunto-solu¸˜o = {(k/4, 7k/4, k); k ∈ R}. ca h) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(0, 0)} ıvel ca 71 CEDERJ
  67. 67. Discuss˜o de Sistemas Lineares a ´ MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 – Discuss˜o de Sistemas Lineares a Objetivo Discutir sistemas lineares, usando o m´todo do escalonamento. e Pr´-requisito: aula 6. e Discutir um sistema ´ analisar sob quais condi¸˜es ele admite solu¸˜es e co co e, quando estas existem, quantas s˜o. Na aula passada vimos que, ao final do a processo de escalonamento da matriz associada a um sistema linear, excluindo as equa¸˜es do tipo 0 = 0, chegamos a uma entre trˆs situa¸˜es poss´ co e co ıveis: 1. Existe alguma equa¸˜o do tipo 0 = a, com a = 0. Isto ´, uma equa¸˜o ca e ca imposs´ de ser satisfeita. ıvel Nesse caso, o sistema ´ incompat´ e, portanto, seu conjunto solu¸˜o e ıvel ca ´ vazio. e 2. N˜o h´ equa¸˜es imposs´ a a co ıveis mas obtemos uma quantidade de equa¸˜es co menor do que o n´ mero de inc´gnitas. u o Nesse caso, o sistema ´ compat´ e ıvel e indeterminado e seu conjuntosolu¸˜o admite infinitas solu¸˜es. ca co 3. N˜o h´ equa¸˜es imposs´ a a co ıveis e obtemos uma quantidade de equa¸˜es co igual ao de inc´gnitas. o Nesse caso, o sistema ´ compat´ e ıvel e determinado e seu conjuntosolu¸˜o ´ unit´rio. ca e a Nesta aula, iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assumidos por parˆmetros presentes nas equa¸˜es, assim como impor valores a a co esses parˆmetros para que uma desejada situa¸˜o ocorra. a ca Pode-se provar que um sistema linear que possui mais de uma solu¸˜o possui, ca de fato, infinitas solu¸˜es. co Note que o mesmo pode n˜o a ocorrer com um sistema n˜o a linear. Por exemplo, o ( x−y = 0 sistema x2 = 4 possui exatamente duas solu¸˜es, a saber, os pares co ordenados (2, 2) e (−2, −2). A seguir, para formalizar os procedimentos explorados ao longo dos exerc´ ıcios, definiremos a caracter´ ıstica de uma matriz e apresentaremos o Teorema de Rouch´-Capelli. e Finalmente, veremos a Regra de Cramer, que se aplica a sistemas lineares com quantidade de equa¸˜es igual a de inc´gnitas. co ` o Acompanhe os exemplos a seguir.  Exemplo 51  x+y+z = 6  Vamos discutir o o sistema x + 2y − z = −4 , segundo os valores do   x + 3z = a 73 CEDERJ
  68. 68. Discuss˜o de Sistemas Lineares a Álgebra Linear 1 parˆmetro a. a Escalonando sua matriz aumentada, obtemos:       1 1 1 | 6 1 1 1 | 6 1 1 1 | 6       1 −2 | −10  ∼  0 1 −2 | −10   1 2 −1 | −4  ∼  0 1 0 3 | a 0 −1 2 | a−6 0 0 0 | a − 16   x+y+z = 6  Assim, o sistema dado ´ equivalente ao sistema e y − 2z = −10 ,   0 = a − 16 cuja terceira equa¸˜o s´ ser´ satisfeita se o segundo membro tamb´m for igual ca o a e a zero. Logo, temos: • a = 16 ⇒ sistema incompat´ ıvel. • a = 16 ⇒ sistema compat´ e indeterminado, pois possui trˆs inc´gnitas ıvel e o e apenas duas equa¸˜es. co Exemplo 52 Vamos discutir o sistema Temos: 1 a | 2 a 2a | 4 x + ay = 2 . ax + 2ay = 4 ∼ 1 a | 2 2 0 2a − a | 4 − 2a . Vamos determinar os valores de a para os quais o primeiro lado da segunda equa¸˜o se anula: ca a a 2a − a2 = 0 ⇒ a(2 − a) = 0 ⇒ a = 0 ou a = 2. Ent˜o h´ as seguintes possibilidades: • a = 0 ⇒ o sistema fica • a = 2 ⇒ o sistema fica x = 2 ⇒ incompat´ ıvel. 0 = 4 x + 2y = 2 ⇒ compat´ e indeterminado. ıvel 0 = 0 x + ay = 2 , com b = 2a − a2 = by = c 0 e c = 4 − 2a ⇒ compat´ e indeterminado. ıvel • a = 0 e a = 2 ⇒ o sistema fica CEDERJ 74

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