Ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones de segundo grado

  1. 1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO Sistema Nacional de Nivelación y Admisión PROYECTO DE AULA MANUAL DE DESARROLLO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INTEGRANTES JOHN GUALAN JOSE HEREDIA KEVIN JIMENEZ FREDDY ROCANO MAURICIO PEÑA JOEL VALLE PROFESORA: ING. PAULINA VERZOSI PERIODO ABRIL – AGOSTO 2013
  2. 2. INDICE Contenido INTRODUCCIÓN....................................................................................................................1 DEFINICIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: ..................................................2 ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL SIN DENOMIADORES: .......3 ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL CON DENOMINADORES:....9 ECUACIONES COMPLETAS CON PRDUCTOS INDICADOS ..........................................15 ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 +c=0.............................................21 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ...............................................................................24 CONCLUSION ......................................................................................................................28 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................29
  3. 3. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO DE AULA La importancia que tiene el presente trabajo, radica en el hecho de que todos quienes conformamos este equipo, nos vemos obligados a esforzarnos al máximo para conseguir resultados satisfactorios en la ejecución del mismo, es decir con este proyecto nosotros los estudiantes potenciaremos nuestras habilidades y destrezas adquiridas durante el presente curso, así como las diferentes cualidades innatas de cada uno. Otro factor importante de este trabajo, se encuentra inmerso en el hecho de que los jóvenes al momento de ingresar a su etapa de estudio regular en los diferentes semestres, ya no serán novatos en el desarrollo de esta actividad, por cuanto habrán acumulado una experiencia muy valiosa, la misma que les servirá en su vida profesional, laboral y en todo ámbito en el cual tengan que desenvolverse en la vida.
  4. 4. ¿QUE ES EL PROYECTO DE AULA? Es el proceso de re-construcción de un concepto concebido como sistema y referido a un problema del campo de la profesión, con su respectiva red de variables y dimensiones. ¿EN QUE CONSISTE EL PROYECTO DE AULA? Consiste en desarrollar ejercicios de Matemáticas escogidos por el estudiante en base a cada tema aprendido, estos ejercicios deberán ser desarrollados en clase con la tutoría del docente, una vez que se ha resuelto y estén revisados por el docente, el estudiante ejecutará un plan de acción
  5. 5. 1 INTRODUCCIÓN La importancia de las Matemáticas a nivel utilitario radica en que es un instrumento de análisis, comprensión, interpretación y expresión de la realidad, facilitando la forma de actuar en el medio donde se desenvuelven los estudiantes para que puedan hacer frente a las necesidades que se le plantearán en la vida adulta; también, los conocimientos Matemáticos constituyen una herramienta indispensable para el estudio de los contenidos de otras áreas del currículo escolar. La Matemática es también un instrumento funcional, de aplicación a problemas y situaciones de la vida diaria fuera del ámbito escolar; enseña a explorar, representar, explicar y predecir la realidad; además, capacita a los escolares a enfrentarse a situaciones imprevistas. El estudio de las Matemáticas potencia el desarrollo global de las capacidades mentales de los escolares y la formación de su personalidad; es de gran utilidad en la vida diaria, y también, es un instrumento esencial en el desarrollo de la ciencia, de la cultura y, en general, de todos los aspectos de la actividad humana. El presente proyecto de aula tiene como objetivo principal mejorar el nivel de logro de Aprendizaje en el área de Matemática mediante un video tutorial de Ecuaciones de Segundo Grado completas e incompletas utilizando fórmula general, fórmula particular, con denominadores o sin denominadores, y con productos indicados.
  6. 6. 2 DEFINICIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Las ecuaciones de segundo grado son todas aquellas en las cuales una vez simplificado, el mayor exponente de la incógnita es dos. Ejemplo: 4x2 +7x+6=0 PUEDEN SER: COMPLETAS INCOMPLETAS También pueden ser: EJEMPLO EJEMPLO Se encuentra de la Forma: ax2 +bx+c=0 Tiene que tener un término en x2 , un término en x y un término independiente de x 1) 2x2 +7x+15=0 2) X2 -8x=-15 X2 -8x+15=0 Son ecuaciones de la forma: ax2 +c=0 Es decir carecen del término en x De la forma ax2 +b=0, ósea carece del término independiente. 1) x2 -16=0 2) 3X2 +5x=0
  7. 7. 3 ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL SIN DENOMIADORES: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de término cuyo grado máximo es el 2, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canoníca general de una ecuación cuadrática es: “𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0” Donde x representa la variable y a, b y c son constante; a es un coeficiente cuadrático, b es el coeficiente literal y c es el termino independiente. “a” es el termino cuadrático “b” es coeficiente literal “c” termino independiente Para resolver esta ecuación se aplica la siguiente fórmula 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
  8. 8. 4 Ejercicio #1 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑋 = −(−5) ± (−5)2 − 4 3 (2) 2(3) 𝑥 = 5 ± 25 − 24 6 𝑥 = 5 ± 1 6 𝑥 = 5 ± 1 6 𝑥₁= 5+1 2𝑎 = 6 6 = 1R// 𝑥₂ = 5−1 6 = 4 6 2 3 R//
  9. 9. 5 Ejercicio # 2 12𝑥 − 4 − 9𝑥2 = 0 −9𝑥2 + 12𝑥 − 4 = 0 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 0 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−12) ± (−12)2 − 4 9 (4) 2 9 𝑥 = 12 ± 144 − 144 18 𝑥 = 12 ± 0 18 𝑥 = 12 ± 0 18 𝑥₁ = 12+0 18 = 12 18 = 2 3 R// 𝑥₂ = 12−0 18 = 12 18 = 2 3 R//
  10. 10. 6 Ejercicio #3 4𝑥2 + 3𝑥 − 22 = 0 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(3) ± (3)2 − 4(4)(−22) 2(4) 𝑥 = −3 ± 9 + 352) 8 𝑥 = −3 ± 361 8 𝑥 = −3 ± 19 8 𝑥₁ = −3+19 8 = 16 8 = 𝑥₁ = 2 𝑥₂ = −3−19 8 = −22 8 = 𝑥₂ − 11 4
  11. 11. 7 Ejercicio #4 6𝑥2 = 𝑥 + 222 6𝑥2 − 𝑥 − 222 = 0 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−1) ± (−1)2 − 4(6)(−222) 2(6) 𝑥 = 1 ± 1 + 5328 18 𝑥 = 1 ± 5329 12 𝑥 = 1 ± 73 12 𝑥1 = 1+73 12 = 74 12 𝑥1 37 6 = −6 1 6 𝑥2 = 1−73 12 = − 72 12 𝑥2 = −6
  12. 12. 8 Ejercicio# 5 176𝑥 = 121 + 64𝑥2 −64𝑥2 + 176𝑥 − 121 = 0 64𝑥2 − 176𝑥 + 121 = 0 𝑥 = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−176) ± (−176)2 − 4(64)(121) 2 64 𝑥 = 176 ± 30976 − 30976 128 𝑥 = 176 ± 0 128 𝑥 = 176 ± 0 128 𝑥₁ = 176+0 128 = 176 128 𝑥₁ 11 8 = 1 3 8 𝑥2 = 176−0 128 = 176 128 𝑥2 = 11 8 = 1 3 8
  13. 13. 9 ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL CON DENOMINADORES: EJERCICIO 1 5x − 8 x − 1 = 7x − 4 x + 2 aqui el m. c. m. es x − 1 x − 2 x + 2 5x − 8 x − 1 7x − 4 luego resolvemos estos productos indicados 5x2 − 8x + 10x − 16 = 7x2 − 4x − 7x + 4 igualamos la ecuacion a cero −2x2 + 13x − 20 = 0 le cambiamos los signos 2x2 − 13x + 20 = 0 x = −b ± b2 − 4ac 2a aplicamos la formula general x = − −13 ± −13 2 − 4 2 20 2 2 reemplazamos los valores x = 13 ± 169 − 160 4 obtenemos x = 13 ± 9 4 calculamos la raiz x = 13 ± 3 4 obtenemos x1 = 13 + 3 4 procedemos a encontrar el valor de x1 x1 = 16 4 x1 = 4 R// x2 = 13 − 3 4 luego encontramos el valor de x2 x2 = 10 4
  14. 14. 10 𝑥2 = 5 2 𝑥2 = 22 1 𝑅// EJERCICIO 2 4𝑥2 𝑥 − 1 − 1 − 3𝑥 4 = 20𝑥 3 12 4𝑥2 − 3 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 = 4 𝑥 − 1 20𝑥 48𝑥2 − 3 𝑥 − 3𝑥2 − 1 + 3𝑥 = 4𝑥 − 4 20𝑥 48𝑥2 − 3𝑥 + 9𝑥2 + 3 − 9𝑥 = 80𝑥2 − 80𝑥 48𝑥2 − 3𝑥 + 9𝑥2 + 3 − 9𝑥 − 80𝑥2 + 80𝑥 = 0 −23𝑥2 + 68𝑥 + 3 = 0 23𝑥2 − 68𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 68 ± 68 2 − 4 23 −3 2 23 𝑥 = 68 ± 4624 + 276 46 𝑥 = 68 ± 4900 46 𝑥 = 68 ± 70 46 𝑥1 = 68 + 70 46 𝑥1 = 138 46 𝑥1 = 3 𝑅// 𝑥2 = 68 − 70 46
  15. 15. 11 𝑥2 = − 2 46 𝑥2 = − 1 23 𝑅// EJERCICIO 3 1 4 𝑥 − 4 + 2 5 𝑥 − 5 = 1 5 𝑥2 − 53 5 𝑥 − 4 + 8 𝑥 − 5 = 4 𝑥2 − 53 5𝑥 − 20 + 8𝑥 − 40 = 4𝑥2 − 212 5𝑥 − 20 + 8𝑥 − 40 − 4𝑥2 + 212 = 0 −4𝑥2 + 13𝑥 + 152 = 0 4𝑥2 − 13𝑥 − 152 = 0 𝑥 = 13 ± 13 2 − 4 4 −152 2 4 𝑥 = 13 ± 169 + 2432 8 𝑥 = 13 ± 2601 8 𝑥 = 13 ± 51 8 𝑥1 = 13 + 51 8 𝑥1 = 64 8 𝑥1 = 8 𝑅// 𝑥2 = 13 − 51 8 𝑥2 = − 38 8
  16. 16. 12 𝑥2 = − 19 4 𝑥2 = −44 3 𝑅// EJERCICIO 4 𝑥 − 1 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 2𝑥 + 9 𝑥 + 3 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 + 3 + 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 3 = 2𝑥 + 9 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥 + 3 𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 + 1 + 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 + 1 = 2𝑥 + 9 𝑥2 − 𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥2 − 3𝑥 − 3𝑥 + 3 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 3𝑥 + 3 = 2𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 9𝑥2 − 9𝑥 + 9𝑥 − 9 2𝑥3 + 6𝑥2 + 2𝑥 + 6 − 2𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 9𝑥2 + 9𝑥 − 9𝑥 + 9 = 0 −3𝑥2 + 4𝑥 + 15 = 0 3𝑥2 − 4𝑥 − 15 = 0 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = 4 ± 4 2 − 4 3 −15 2 3 𝑥 = 4 ± 16 + 180 6 𝑥 = 4 ± 196 6 𝑥 = 4 ± 14 6
  17. 17. 13 𝑥1 = 4 + 14 6 𝑥1 = 18 6 𝑥1 = 3 𝑅// 𝑥2 = 4 − 14 6 𝑥2 = − 10 6 𝑥2 = − 5 3 𝑥2 = −13 2 𝑅// EJERCICIO 5 𝑥 + 3 2𝑥 − 1 − 5𝑥 − 1 4𝑥 + 7 = 0 𝑥 + 3 4𝑥 + 7 − 2𝑥 − 1 5𝑥 − 1 = 0 4𝑥2 + 7𝑥 + 12𝑥 + 21 − 10𝑥2 − 2𝑥 − 5𝑥 + 1 = 0 4𝑥2 + 7𝑥 + 12𝑥 + 21 − 10𝑥2 + 2𝑥 + 5𝑥 − 1 = 0 −6𝑥2 + 26𝑥 + 20 = 0 6𝑥2 − 26𝑥 − 20 = 0 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = 26 ± −26 2 − 4 6 −20 12 𝑥 = 26 ± 676 + 480 12 𝑥 = 26 ± 1156 12 𝑥 = 26 ± 34 12
  18. 18. 14 𝑥1 = 26 + 34 12 𝑥1 = 60 12 𝑥1 = 5 𝑅// 𝑥2 = 26 − 34 12 𝑥2 = − 8 12 𝑥2 = − 2 3 𝑅//
  19. 19. 15 ECUACIONES COMPLETAS CON PRDUCTOS INDICADOS Ejercicio# 1 7(𝒙 − 𝟑) − 𝟓 𝒙 𝟐 − 𝟏 = 𝒙 𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟐) Primero realizamos la multiplicación correspondiente en la ecuación: 7𝒙 − 𝟐𝟏 − 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟓 = 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 Después de hacer la multiplicación hacemos la trasposición de términos y lo igualamos a cero, en el momento de cambiar del segundo miembro al primero cambiamos el signo. 𝟕𝒙 − 𝟐𝟏 − 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟓 − 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 Hacemos suma y resta de términos semejantes: −𝟔𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎 Se cambia el signo a toda la ecuación multiplicando por menos uno: 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 Al obtener la ecuación remplazamos en la formula general: 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝑥 = − −12 ± − 12 2 − 4 6 6 2 6 𝑥 = 12 ± 144 − 144 12 𝑥 = 12 ± 0 12 𝑥 = 12 ± 0 12 𝑥 = 12 12 X=1
  20. 20. 16 Ejercicio# 2 (5x-4 )2 -(3x+5)(2x-1)=20x(x-2)+27 25𝑥2 − 40𝑥 + 16 − 6𝑥2 − 7𝑥 + 5 = 20𝑥2 − 40𝑥 + 27 25𝑥2 − 40𝑥 + 16 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 5 − 20𝑥2 + 40𝑥 − 27 = 0 −𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0 𝑥2 + 7𝑥 + 6 = 0 𝑥 = −7 ± (7)2 − 4 1 (6) 2(1) 𝑥 = −7 ± 49 − 24 2 𝑥 = −7 ± 25 2 𝑥 = −7 ± 5 2 𝑥1= −7+5 2 𝑥1= −2 2 𝒙 𝟏=−𝟏 𝑥2= −7−5 2 𝑥2= −12 2 𝒙 𝟐=−𝟔
  21. 21. 17 𝒙 𝒙 + 𝟑 = 𝟓𝒙 + 𝟑 𝑥2 + 3𝑥 = 5𝑥 + 3 𝑥2 + 3𝑥 − 5𝑥 − 3 = 0 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 = −(−2) ± (−2)2 − 4 1 (−3) 2𝑎 𝑥 = 2 ± 4 + 12 2 𝑥 = 2 ± 16 2 𝑥 = 2 ± 4 2 𝑥1= 2+4 2 𝒙 𝟏= 𝟔 𝟐 𝑥1=3 𝑥2= 2−4 2 𝑥2= −2 2 𝒙 𝟐=−𝟏
  22. 22. 18 Ejercicio# 3 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟐𝟑(𝒙 − 𝟑) 3𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥 + 6 = 23 − 69 3𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 − 23 + 69 = 0 3𝑥2 − 30𝑥 + 75 = 0 𝑥 = −(−30) ± (−30)2 − 4(3)(75) 2(3) 𝑥 = 30 ± 900 − 900 6 𝑥 = 30 ± 0 6 𝑥 = 30 ± 0 6 𝑥 = 30 6 𝑥 = 5
  23. 23. 19 Ejercicio# 4 𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐) 𝟐 = (𝒙 − 𝟕) 𝟐 − 𝟖𝟏 25(𝑥2 + 4𝑥 + 4) = 𝑥2 − 14𝑥 + 49 − 81 25𝑥2 + 100𝑥 + 100 − 𝑥2 + 14 − 49 + 81 = 0 24𝑥2 + 114𝑥 + 132 = 0 𝑥 = −114 ± (114)2 − 4 24 (132) 2(24) 𝑥 = −114 ± 12996 − 12672 48 𝑥 = −114 ± 324 48 𝑥 = −114 ± 18 48 𝑥1= −114 +18 48 𝑥1= −96 48 𝒙 𝟏=−𝟐 𝑥2= −114 −18 48 𝑥2= −132 48 𝒙 𝟐=−𝟐 𝟑 𝟒
  24. 24. 20 Ejercicio# 5 𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐) 𝟐 = (𝒙 − 𝟕) 𝟐 − 𝟖𝟏 25(𝑥2 + 4𝑥 + 4) = 𝑥2 − 14𝑥 + 49 − 81 25𝑥2 + 100𝑥 + 100 − 𝑥2 + 14 − 49 + 81 = 0 24𝑥2 + 114𝑥 + 132 = 0 𝑥 = −114 ± (114)2 − 4 24 (132) 2(24) 𝑥 = −114 ± 12996 − 12672 48 𝑥 = −114 ± 324 48 𝑥 = −114 ± 18 48 𝑥1= −114 +18 48 𝑥1= −96 48 𝒙 𝟏=−𝟐 𝑥2= −114 −18 48 𝑥2= −132 48 𝒙 𝟐=−𝟐 𝟑 𝟒
  25. 25. 21 ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 +c=0 Ejercicio# 1 4𝒙 𝟐 -2=0 Despejamos la x para poder resolver la ecuación: 4𝑥2 =-2 𝑥2 = - 2 4 Luego simplificamos la fracción si se puede 𝑥2 = - 1 2 Para poder eliminar la potencia les colocamos raíz cuadrada a los dos miembros así: 𝑥2=± − 1 2 Procedemos a resolver: X=± − 1 2 no tiene solución
  26. 26. 22 Ejercicio# 2 5𝒙 𝟐 -9= 46 5𝑥2 = 46+9 5𝑥2 = 55 𝑥2 = 55 5 𝑥2= 11 X= ± 11𝑖 Ejercicio# 3 (2x-3) (2x+3) – 135= 0 4𝑥2 +6x-6x-9-135=0 4𝑥2 -9-135=0 4𝑥2 =135+9 4𝑥2 =144 𝑥2 = 144 4 𝑥2 =36 𝑥2 = 36 x= ± 6
  27. 27. 23 Ejercicio# 4 9𝒙 𝟐 -𝒂 𝟐 =0 9𝑥2 =𝑎2 𝑥2 = 𝑎2 9 𝑥2= 𝑎2 9 X= ± 𝑎 3 Ejercicio# 5 3 (x+2) (x-2)=(𝒙 − 𝟒) 𝟐 +8x 3(𝑥2 +2x-2x-4)= 𝑥2 -8x+16+8x 3𝑥2 -12=𝑥2 -8x+16+8x 3𝑥2 -𝑥2 = -8x+16+8x+12 2𝑥2 =28 𝑥2 = 28 2 𝑥2= 14 X= ± 14𝑖
  28. 28. 24 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1) Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190 casa y televisor; 105 casa, automóvil y televisor. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor? Pasos: 1.) Primero encontramos la intersección entre las tres gráficas. 2.) Utilizando los valores que nos dan en el problema encontraremos el resto de las intersecciones. 3.) Una vez que encontramos el valor de cada intersección podremos conocer cuantas personas tienen casa propia, automóvil, y cuantas tienen televisor. 2) Si (C) es el conjunto de los estudiantes de cierta sesión que pertenece al coro del colegio y (R) el conjunto de los estudiantes del gobierno escolar, se desea escoger de estos 2 grupos a aquellos estudiantes que formen parte en el acto por aniversario de la institución. En la siguiente información represente la respuesta utilizando signos de agrupación y mediante diagramas de benz. C= {Carmen, Dayana, Joel, Marlene, Carolina} R= {David, Antonio, Carmen, Joel}
  29. 29. 25 C U R= {Carmen, Dayana, Joel, Marlene, Carolina, David, Antonio} 3 )En un aula hay cierto número de estudiantes que hemos de determinar. Se sabe que cada uno de ellos estudian al menos una de las 3 asignaturas siguientes: Matemáticas, Física, Química. Pues bien en sucesivas veces se pide que levanten la mano los que estudian: A.) Matemáticas, y levantan la mano 48. B.)Física, y levantan la mano 45. C.)Química, y levantan la mano 49. D.) Matemáticas y Física, y levantan la mano 28. E.)Matemáticas y Química, y levantan la mano 26. F.) Física y Química, y levantan la mano 28. G.) Las 3 asignaturas, y levantan la mano18. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? ¿Cuántos estudian Matemáticas y Física, pero no Química?
  30. 30. 26 4) Una empresa de servicios de medios ambientales va a ampliar su red comercial y por ello necesita incorporar a 25 comerciales. La empresa requiere fundamentalmente personas que posean al menos una de las siguientes características. A.) Alguna experiencia en el área de venta. B.) Formación técnica. C.) Conocimiento de inglés. En concreto la empresa ofrece 12 plazas para los de la característica a, 14 para los de la característica b, 11 para los de la característica c. Ahora bien la empresa quiere que 5 comerciales posean las características A y B, que 3 comerciales posean A y C, y que 6 comerciales posean B y C. ¿Cuántos de esos 25 comerciales quiere la empresa que posean las 3 características citadas? ¿A cuántos comerciales se les exigen nada más que la característica: tener conocimiento en inglés? ¿Cuántos tienen alguna experiencia en venta y tienen conocimiento de inglés, pero no tienen formación técnica? ¿Cuántos comerciales tienen nada más que una de las características pedidas?
  31. 31. 27 5.) De 100 televidentes se obtiene la siguiente información: 391 ven programas deportivos. 230 ven programas cómicos. 545 ven programas sobre el mundo animal. 98 ven programas cómicos y deportivos. 152 ven programas cómicos y mundo animal. 88 ven programas deportivos y mundo animal. 90 no ven nada. ¿Cuántos entrevistados ven los 3 tipos de programas? ¿Cuántos entrevistados ven solo 1 de los 3 tipos?
  32. 32. CONCLUSION La aplicación de las ecuaciones de de segundo grado y operaciones entre conjuntos , es una forma de que los estudiante puedan desarrollar las diferentes habilidades que por naturaleza cada uno lleva dentro de sí.  El trabajo en grupo fue importante por la posibilidad de compartir y apoyarse el uno con el otro así mismo, la socialización del trabajo realizado fue clave para establecer comparaciones y llegar a acuerdos entre todos, al momento de realizar la grabación cada uno de los compañeros procedió dar lo mejor de cada uno, para de esta manera generar un material que sea de ayuda para las personas que lo vean. El trabajo en equipo fue clave ya que de esta manera logramos socializar las debilidades y las destrezas que cada uno de los integrantes.
  33. 33. BIBLIOGRAFIA Algebra de Baldor Videos tutoriales en www.youtube.com.ec http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaci on_segundo_grado_pav/Ecuacion_segundo_grado_pav.htm http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemacuad.htm http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html

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