Modulo matematica iii-software

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Matrices, vectores determinantes, sistemas de ecuaciones lineales

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  • 1. UNIVERSIDAD PROVINCIAL DE EZEIZA Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software MATEMÁTICA III AÑO 2013 Prof. Marta N. González Chavarría
  • 2. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Estimados Estudiantes: Al iniciar la cursada de Matemática III seguimos recorriendo el Ciclo Técnico de la Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software, continuando con lo iniciado en Matemática I y Matemática II, pero agregando un nivel de abstracción mayor, que les permitirá organizar información utilizando objetos matemáticos de estructura particular y el tratamiento operacional de los mismos, tanto en situaciones puramente matemáticas como en otras típicas de la carrera. En este contexto los materiales que les proponemos para trabajar tienen un presupuesto de tiempo estimado que “deben” dedicarle. Reforzamos lo dicho en Matemática I y Matemática II respecto a que “deben dedicar tiempo al trabajo autónomo” mucho más cuidadosamente de lo que lo hicieron durante la cursada de aquellas, porque de eso depende en parte el éxito en la cursada y la aprobación de la materia, así como su transferencia a otras materias de la carrera en la que se encuentra inserta. Por supuesto que cada profesor indicará, además, cómo se va a administrar el trabajo en cada clase en torno de este material. Los contenidos a desarrollar en el módulo de Matemática III son: Vectores: Definición. Vectores en componentes. Operaciones con vectores: suma, resta, producto de un escalar por vector, producto escalar y vectorial. Matrices: Definición. Operaciones: suma, resta, multiplicación. Propiedades de las operaciones. Matriz traspuesta, cuadrada, ortogonal, inversa. Forma matricial de un sistema de ecuaciones. Determinantes: Definición. Propiedades. Rango de una matriz. Aplicaciones: cálculo de la matriz inversa, resolución de ecuaciones matriciales. Sistemas de ecuaciones: Cuadrados y no cuadrados, homogéneos y escalonados. Resolución de sistemas de ecuaciones: método de Gauss, regla de Cramer. El material presentado está compuesto por una serie de guías de trabajo articuladas entre sí, lecturas recomendadas que resultan interesantes para “aprender algo más” y las actividades necesarias para aplicar lo visto, continuando con la metodología de trabajo de Matemática I y II. Dado que en Matemática III los contenidos presentan una abstracción mayor, les recordamos la importancia de la lectura de las guías de trabajo con buena predisposición tratando de resolver las cuestiones que se les plantean y haciendo un esfuerzo individual para 2
  • 3. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III no llegar a la reunión de grupo de trabajo (en clase o en cualquier otro ámbito en el que decidan reunirse) sin nada para compartir con los demás integrantes del grupo. Ustedes ya saben de esto, han constatado los beneficios del trabajo grupal y de la participación activa en el grupo de clase, planteando dudas y alternativas de resolución, durante la cursada de Matemática I y de Matemática II. Esperamos que la cursada de Matemática III puedan llevarla a cabo exitosamente, sabemos de las dificultades, por eso los acompañaremos durante el transcurso de la misma, pero nuestro acompañamiento será vano sin el compromiso de Ustedes. Juntos obtendremos resultados provechosos, que se verán reflejados en las diversas aplicaciones que harán de todo lo visto en otras materias de la carrera, tanto en lo inmediato como a futuro. Hecha esta somera presentación, les damos la bienvenida a Matemática III y nos ponemos a trabajar. Atentamente: Los profesores de Matemática III. 3
  • 4. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 1 Vectores El físico habla de vector velocidad, el epidemiólogo habla de vector transmisor, el programador habla de vector de datos, el geómetra habla de vectores libres, el algebrista habla de vector fila (o columna), el matemático habla de vector traslación, entre otros. Todos hablan de vectores. ¿Todos hablan de lo mismo? Algunos sí, otros no. Aquí encontramos que una misma palabra se usa para nombrar cosas diferentes, algo común dentro del lenguaje matemático. Especialmente, en desarrollo de software encontramos que “vector” hace referencia a una estructura de datos y a su vez a un objeto matemático, que definido en un plano coordenado permite desplazar objetos en él (por ejemplo cuando se desplazan objetos en una pantalla). Entonces para tener claro las diferencias entre estos conceptos haremos una breve descripción de los vectores en coordenadas en un plano cartesiano y las operaciones definidas entre ellos y sus propiedades. Al trabajar en un plano estaremos trabajando en dos dimensiones y las coordenadas de cada dimensión (ejes) serán números reales, por lo cual diremos que trabajaremos en 2 . Si trabajamos con vectores en el espacio, estaremos trabajando en tres dimensiones y las coordenadas de cada dimensión (ejes) serán también números reales, por lo cual diremos que trabajamos en 3 . En álgebra podremos trabajar con vectores n-dimensionales en coordenadas reales, que representaremos como n y si trabajamos sobre un eje, estaremos trabajando en una dimensión que representaremos como simplemente. Desde el punto de vista geométrico un vector v es un segmento orientado que tiene un punto llamado origen y otro punto llamado extremo, que se encuentra incluido en una recta (recuerden que todo segmento está incluido en una recta) llamada dirección, que tiene un sentido (el indicado por el punto extremo) y un módulo (longitud del segmento) que se representa escribiendo el nombre del vector encerrado entre barras v . v 4
  • 5. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Vectores en Si la recta dirección está graduada con una escala numérica a partir de un punto llamado origen, al que le asignamos el valor 0 de la escala, tenemos un eje de coordenadas de una dimensión. Sobre este eje definimos un vector cuyo módulo vale 1 y tiene origen en el origen de coordenadas, que usaremos para graduar el eje, al que llamaremos vector unitario o versor que simbolizaremos i . Este vector siempre tiene sentido creciente, es decir, apunta a la derecha del cero. Entonces todo vector dibujado sobre el eje, puede expresarse como el producto entre un número real y dicho versor. i 0 1 3 v El vector v con origen en el origen de coordenadas marcado en el gráfico tiene módulo (longitud) 3. A dicho vector podemos escribirlo en función del versor i como el siguiente producto: v  3.i Observemos que ambos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido. A los vectores que tienen la misma dirección de los llama colineales. A dos vectores que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo se los llama vectores equipolentes. Sea ahora el vector w , cuyo origen no coincide con el de coordenadas: i 0 1 2 6 3 w El módulo de este vector lo calculamos como la diferencia entre los valores extremos: w  6  2 (usamos las barras de valor absoluto o módulo porque la longitud siempre es un número mayor o igual que 0) w 4 5
  • 6. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Podemos escribir entonces: Matemática III w  4.i De este modo se puede continuar dibujando vectores todos ellos a la derecha del origen. Si queremos marcar un vector a la izquierda del cero, graduamos el eje en el sentido contrario, utilizando valores negativos, el versor i siempre estará dibujado con sentido positivo, por ejemplo: m -4 -3 i -1 0 1 2 Calculamos el módulo de m : m  4  (1) m  4  1 m  3 m 3 El vector m tiene una longitud de 3 unidades y su sentido es el contrario al del versor i , por lo tanto cuando lo escribimos, marcamos el sentido del vector m del siguiente modo: m = -3. i El número -3 indicará que el sentido del vector es el contrario del versor y el valor absoluto de -3, indicará el módulo del vector. Si dos vectores tienen la misma dirección, el mismo módulo pero sentidos contrarios se los llama vectores opuestos. Operaciones con vectores definidos en Suma: Dados dos vectores en se define la suma entre ellos como el vector cuya coordenada (componente) es la suma de las coordenadas de cada uno de los dados. Sean: v  2.i w  9.i Se define s como el vector que resulta de sumar las componentes respectivas: 6
  • 7. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III s  v  w  2.i  9.i s  v  w  11.i El vector s tiene el mismo sentido que los vectores dados. Actividad 1 Dados los siguientes vectores: m  12.i n  7.i p  5.i Se pide resolver las sumas indicadas y sacar conclusiones: a)m  p b) m  n c)n  p Resta: Dados dos vectores en se define la resta entre ellos como el vector cuya coordenada es la resta de las coordenadas de cada uno de los dados. Sean: v  2.i w  9.i Se define r como el vector que resulta de restar las componentes respectivas: r  v  w  2.i  9.i r  v  w  7.i El vector obtenido tiene sentido contrario al de los vectores dados. 7
  • 8. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 2 Para los vectores de la actividad 1, se pide efectuar las siguientes restas: a)m  p b) m  n c)n  p Multiplicación entre un escalar y un vector El producto de un escalar k  por un vector v es un vector w tal que:  w es colineal con v ,  El módulo de w es:  El sentido de w es el mismo que el de v si k>0 y opuesto si k<0. w  k .v Por ejemplo, sea v  4.i y k=5, hallar el vector w tal que w  k.v w  k.v w  5.4.i w  20.i El vector w se dice que es linealmente dependiente con v pues puede expresarse como el producto entre un k≠0 y el vector v . Caso contrario se dice que son linealmente independientes. Si k=0 entonces w es el vector nulo. Un vector es nulo si su módulo es igual a 0. Si k= -1 entonces w es el vector opuesto de v . Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores es un número real y se define en función de sus respectivas componentes. Existen dos formas de definir el producto escalar: 8
  • 9. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III a) el producto escalar entre dos vectores es igual al producto entre sus módulos por el coseno del ángulo formado por ellos: v  w  v . w .cos vw Al ser los vectores colineales el ángulo que forman puede valer:  0° y por ser cos 0°=1 el producto queda determinado por el producto de sus módulos.  180° y por ser cos 180°=-1 el producto queda determinado por el producto de sus módulos cambiado de signo. b) el producto escalar entre dos vectores unidimensionales es igual al producto entre sus componentes: v  w  vx .wx Las expresiones vx y wx hacen referencia a las coordenadas que se encuentran sobre el eje x (eje horizontal). Cualquiera de las dos formas nos da el mismo resultado. Por ejemplo, sean los vectores: m  12.i n  7.i Calcularemos m  n utilizando ambas fórmulas. Según a) m  n  m . n .cos mn Los vectores tienen sentidos contrarios por lo cual el ángulo que forman mide 180°, reemplazamos: m  n  12 . 7 .cos180 m  n  12.7.(1) m  n  84 Según b) m  n  mx .nx 9
  • 10. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III m  n  12.(7) m  n  84 Actividad 3 Dados los siguientes vectores: p  3.i 1 q  .i 2 3 t   .i 4 u  7.i Se pide calcular: a) p  q  b )t  u  c) p  t  Actividad 4 Con los vectores de la actividad 3, realizar los siguientes cálculos combinados: a)( p  q )  3.u  b)t  (u  p)  c)( p  u )  (t  q )  Hasta aquí hemos trabajado en una dimensión o en en dos dimensiones o en 2 . A continuación pasaremos a trabajar . 10
  • 11. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Vectores en Matemática III 2 Ahora trabajaremos en el plano cartesiano, formado por un par de ejes perpendiculares, en los que la escala en cada uno es un número real. En cada eje habrá un versor. En el eje horizontal (eje x) se encontrará el versor i y sobre el eje vertical (eje y) se encontrará el versor j . y j i x Todo punto del plano real representa un vector con origen en el origen de coordenadas y extremos en dicho punto. Por ejemplo: v (2,1) El punto (2,1) representa un vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto (2,1). Escribimos el vector v en función de sus coordenadas y de los versores correspondientes a cada eje del siguiente modo: 11
  • 12. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III v  2.i  1. j Para hallar el módulo de este vector aplicamos la fórmula: v  v2 x  v2 y En nuestro ejemplo: v  22  12 v  4 1 v  5 Actividad 5 Dados los vectores de la figura, se pide escribirlos en coordenadas y hallar su módulo: 12
  • 13. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Los vectores anteriores tienen origen en el origen de coordenadas, pero ¿cómo trabajamos con vectores cuyo punto origen no es el par (0,0)? Veamos. Sea el vector de la figura, cuyo origen es el punto (2,3) y su extremo es el punto (-1,4) m En este caso debemos buscar un vector equipolente al dado que pase por el origen de coordenadas, dicho vector tendrá por coordenadas la resta de las coordenadas de los puntos extremos del vector dado: m = (-1-2). i + (4-3). j m = -3. i + 1. j Por lo tanto las coordenadas cartesianas del vector m están dadas por el punto extremo (-3,1) y origen en el origen de coordenadas. 13
  • 14. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Hemos escrito al vector m en forma canónica. Un vector tiene forma canónica cuando sus componentes están referidas respecto al origen de coordenadas. Operaciones en 2 Generalizaremos lo visto para vectores de una dimensión a los vectores definidos en dos dimensiones. Suma y resta de vectores Para sumar o restar dos vectores definidos en forma cartesiana, se deben sumar o restar sus respectivas componentes cartesianas: Dados m y n se define: m  n  (mx  nx ).i  (my  ny ). j m  n  (mx  nx ).i  (my  ny ). j Multiplicación de un escalar por un vector El producto entre un escalar k  y un vector definido en forma cartesiana, es otro vector cuyas coordenadas son el producto entre el escalar k y cada una de las coordenadas del vector dado. k.v  (k.vx ).i  (k.v y ). j El vector v y el vector k .v son paralelos, pues tienen la misma dirección. Combinación lineal de vectores Un vector v es combinación lineal de otros vectores v1 , v2 , v3 ,..., vn cuando existen números reales k1, k2, k3, …, kn tales que: v  k1 .v1  k2 .v2  k3 .v3  ...  kn .vn 14
  • 15. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 6 Dados los siguientes vectores definidos en forma cartesiana: a  2.i  3. j b  5.i  3. j c  3.i  7. j d  2.i  3. j Se pide: 1 )a  b   2 )c  d  1 3  3 )4.a  .d  1 4  4 )(c  b )  .(a  d )  Producto escalar de vectores Dados dos vectores definidos en forma cartesiana, el producto escalar entre ellos es el número real que resulta de efectuar la suma de los productos de sus respectivas componentes cartesianas: Dados v y w , se define el producto escalar entre ellos v  w como: v  w  vx .wx  vy .wy Hemos visto otra fórmula para hallar el producto escalar entre dos vectores, para usarla debe conocerse el ángulo que forman los vectores dados. m  n  m . n .cos mn Como hemos visto que ambas nos permiten llegar al mismo resultado puede elegirse cuál utilizar en función de los datos que tengamos. Si desconocemos el ángulo formado por dos vectores pero podemos calcular sus respectivos módulos, entonces la fórmula anterior nos permitirá hallar dicho ángulo. Despejando en ella, nos queda: cos mn  mn , el ángulo mn es tal que: 0  mn  180 m.n 15
  • 16. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Propiedades del producto escalar: Dados dos vectores v y w , y k  Matemática III , el producto escalar cumple las siguientes propiedades: 1) es conmutativo: v.w  w.v 2) es distributivo respecto a la suma de vectores: v.(w  u )  v.w  v.u 3) k.(v.w)  (k.v ).w 4) El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo: v v  v 2 5) Si dos vectores son perpendiculares el producto escalar entre ellos vale 0. Actividad 7 Dados los vectores de la actividad 6, se pide: a) Hallar un vector que sea combinación lineal de a y d , b) Hallar el ángulo comprendido entre los vectores b y c , c) Hallar los siguientes productos: c1 )(a  b )  c  c2 )c  d  c3 )a  .d  c4 )(c  b )  (a  d )  Por último, si bien no vamos a exponer el tema para vectores en 3 (o vectores en el espacio, o vectores en tres dimensiones), sí dejamos asentado que las operaciones vistas en generalizan para los vectores en 3 2 se . Además, al ser tres dimensiones, tenemos tres ejes coordenados, los ya vistos x e y, a los que se agrega el eje z, por lo tanto en el espacio tenemos tres versores, los ya vistos i y j (que se encuentran sobre el eje x y sobre el eje y respectivamente) y el versor k sobre el eje z. 16
  • 17. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III k i Pero en 3 j a las operaciones ya vistas se agrega una nueva operación: el producto vectorial, tal que, dados dos vectores pertenecientes a Dados v y w pertenecientes a 3 3 , da por resultado otro vector. , definidos en forma cartesiana: v  v1 .i  v2 . j  v3 .k w  w1 .i  w2 . j  w3 .k Se define el producto vectorial v  w , del siguiente modo: v  w  (v2 .w3  v3 .w2 ).i  (v3 .w1  v1 .w3 ). j  (v1w2  v2 .w1 ).k El producto vectorial cumple las siguientes propiedades:  v  w es un vector perpendicular a v y también a w  v  w  (w  v )  v  v  0 , v  (w  u )  v  w  v  u  v  Si m   entonces: (m.v )  w  m.(v  w)  v  (m.w) v  w  v . w .sen Hemos hecho una presentación somera del tema, pero lo suficiente como para saber diferenciar este concepto de vector del que veremos más adelante en las guías siguientes. 17
  • 18. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 2 Introducción a) El siguiente es un extracto de la Tabla de Posiciones del Torneo Clausura 2012, extraída de http://www.futbolargentino.com/clausura/2012/posiciones/ EQUIPO Pts. PJ G E P Gf Gc Dif. Arsenal de Sarandí 38 19 11 5 3 30 15 15 Tigre 36 19 10 6 3 29 15 14 Vélez Sarsfield 33 19 9 6 4 26 15 11 Boca Juniors 33 19 9 6 4 30 20 10 All Boys 33 19 9 6 4 21 13 8 Newell's Old Boys 32 19 9 5 5 26 19 7 Colón de Santa Fe 29 19 7 8 4 24 18 6 Argentinos Juniors 27 19 7 6 6 17 15 2 Estudiantes La Plata 27 19 7 6 6 23 24 -1 Lanús 26 19 7 5 7 19 18 1 Unión de Santa Fe 25 19 5 10 4 21 20 1 San Lorenzo 25 19 6 7 6 22 23 -1 Atlético Rafaela 24 19 6 6 7 26 24 2 Belgrano de Córdoba 24 19 6 6 7 17 20 -3 San Martín de San Juan 22 19 6 4 9 21 29 -8 Independiente 20 19 5 5 9 22 28 -6 Racing Club 19 19 5 4 10 19 27 -8 Godoy Cruz de Mendoza 14 19 2 8 9 11 25 -14 Olimpo de Bahía Blanca 13 19 3 4 12 20 34 -14 Banfield 11 19 2 5 12 15 37 -22 b) El siguiente es un extracto de las salidas de vuelos desde Ezeiza, del día 19/01/2013, extraída de http://www.aa2000.com.ar/partidas.aspx Línea Vuelo* AIR CANADA AC 093 andes Líneas Aéreas Aerolíneas Argentinas CUBANA AN 630 Destino Toronto > Santiago de Chile Punta Cana > Rosario AR 1302 Miami CU 1363 La Habana > Cayo Coco Austral AU 2278 Florianópolis CHARTER AMS MAX Montevideo TAM Airlines PZ 720 Asunción Copa Airlines CM 453 Panamá CHARTER AMS 7119 Montevideo Hora 18/01/2013 18:05 18/01/2013 22:30 18/01/2013 23:15 19/01/2013 00:10 19/01/2013 00:30 19/01/2013 01:00 19/01/2013 01:15 19/01/2013 01:17 19/01/2013 02:00 Estima Partida T** Estado 02:00 02:28 A Despegado 00:15 00:28 A Despegado 00:10 00:24 C Despegado 04:30 04:59 A Despegado 00:41 C Despegado TCA Consulte Cía. 01:38 A Despegado 01:35 A Despegado 03:16 TCA Despegado 18
  • 19. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III c) La tabla siguiente muestra la cantidad fabricada de ciertos electrodomésticos de una empresa en cada una de sus tres plantas, en un mes: Ushuaia Televisores Lavarropas Aire Acond. 1000 700 800 Tres Arroyos 400 250 500 Buenos Aires 500 400 700 Distintas distribuciones que podemos apreciar en distintos ámbitos… ¿Tienen algo en común? Matrices Tomando en cuenta la tabla a) nos preguntamos: i) ¿Cuántos goles a favor tuvo All Boys? ii) ¿Cuántos partidos perdió Tigre? iii) ¿Qué equipos empataron 5 partidos? iv) ¿Qué equipos tienen 33 puntos? v) ¿Qué equipo tiene la misma cantidad de partidos ganados que perdidos? Si miramos ahora el extracto b) podríamos averiguar: i) ¿Qué compañía sale el 19/01/2013 a las 01:17? ii) ¿Cuál es el destino del vuelo de la compañía Austral? Para la empresa que fabrica electrodomésticos (c ), queremos saber: i) ¿Cuántos televisores produce en la planta de Tres Arroyos? ii) ¿Cuántos lavarropas produce en el mes? iii) ¿Cuál es la producción de la planta de Ushuaia? Actividad 8 Respondan a las preguntas anteriores, explicando en cada caso cómo encontraron las respuestas. Volvamos a la pregunta final de la introducción, ¿tienen algo en común las distribuciones mostradas? 19
  • 20. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Y la respuesta es… ¡SÍ! Matemática III Todas tienen forma de tablas. Por lo tanto, en todas encontramos filas y columnas, en las cuales se encuentra la información solicitada. En el caso a) tenemos una tabla de 21 filas por 9 columnas. Podemos decir que es una tabla 21x9. En el caso b) tenemos una tabla de 10 filas por 8 columnas. Podemos decir que es una tabla 10x8. En el caso c) tenemos una tabla de 4 filas por 4 columnas. Podemos decir que es una tabla 4x4. A las tablas se las denomina por la cantidad de filas y columnas que poseen. Encontramos tablas 12x10 (12 filas por 10 columnas), 7x5 (7 filas por 5 columnas), etcétera. Una tabla de m filas por n columnas será una tabla de dimensión mxn. En los casos a, b y c hemos contabilizado los encabezados. Esto hace que el contenido de las tablas sea de distinto tipo, ya que el que se encuentra en el encabezado está dado por palabras y el resto por números en las tablas a y c, mientras que en la tabla b encontramos distintas combinaciones de letras y números para mostrar tanto encabezados como información. A las tablas que presentan combinaciones de letras y números en su contenido general se las llama tablas alfanuméricas. Si ahora descartamos los encabezados en cada ejemplo observamos que: El ejemplo a) es una tabla de 20 filas por 8 columnas. O una tabla 20x8. El ejemplo b) es una tabla de 9 filas por 7 columnas. O una tabla 9x7. El ejemplo c) es una tabla de 3 filas por 3 columnas. O una tabla 3x3. Miremos otra vez el contenido de cada una: En la tabla b) su contenido sigue siendo una combinación de letras y números. Decimos que la tabla b) es alfanumérica. En las tablas a) y c) sus contenidos son números. A las tablas de este tipo se las llama numéricas. En Matemática, a las tablas numéricas se las llama Matrices, y a su dimensión mxn se le denomina orden. 20
  • 21. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Según lo anterior, decimos que la tabla a) es una matriz de orden 20x8 y la tabla c) es una matriz de orden 3x3. Definimos matriz de orden mxn a una distribución rectangular de números reales formada por m filas y n columnas. Para nombrar una matriz suele usarse una letra en mayúscula seguida del orden, del siguiente modo: Amxn o bien Amxn o bien A(mxn). Cada número que encontramos en la distribución ocupa un lugar en la matriz. Dicho lugar está determinado por el cruce entre una fila y una columna. Llamamos elemento de una matriz y lo representamos simbólicamente aij al número real que se encuentra en la fila i y columna j. Por lo anterior, podemos escribir a la matriz como: Amxn = (aij), siendo: 1≤ i ≤ m y 1≤ j ≤ n o bien en su forma desarrollada: A mxn  a11  a   21 ...  a  m1 a12 a 22 ... am2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn   m filas n columnas En la forma desarrollada el elemento: a11 es aquel que se encuentra en la fila 1 y columna 1, a12 es aquel que se encuentra en la fila 1 y columna 2, etcétera. Notemos que siempre se escribe primero la fila y a continuación la columna. Es importante el orden en que se escriben, ya que podemos comprobar que el lugar que corresponde a la fila 1 y columna 2 no es el mismo que el que se encuentra en la fila 2 y columna 1. En el ejemplo c), la matriz que representa la producción de la empresa en sus tres plantas, puede ser escrita como: 21
  • 22. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software P3x 3 Matemática III 1000 400 500      700 250 400   800 500 700    Y sus elementos son: p11= 1000 p12=400 p13=500 p21=700 p22=250 p23=400 p31=800 p32=500 p33=700 Clasificación de matrices Hemos visto que las matrices pueden ser de diversos órdenes según la cantidad de filas y columnas que poseen. Se llama matriz fila a toda matriz A de orden 1xn. Esta matriz tiene 1 fila y n columnas. También recibe el nombre de vector fila de dimensión n y sus elementos reciben el nombre de componentes o coordenadas del vector. En símbolos: A1xn=(a1j) con 1≤ j ≤n O bien: A1xn  a11 a12 ... a1n  Se llama matriz columna a toda matriz A de orden mx1. Esta matriz tiene m filas y 1 columna. También recibe el nombre de vector columna de dimensión m y sus elementos reciben el nombre de componentes o coordenadas del vector. En símbolos: Amx1=(ai1) con 1≤i≤m O bien: Amx1  a11     a 21   ...    a   m1  Se llama matriz cuadrada a toda matriz A de orden nxn. Esta matriz tiene igual cantidad de filas que de columnas. En símbolos: 22
  • 23. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Anxn=(aij) con 1≤i≤n y 1≤j≤n Matemática III O bien: Anxn  a11 a12  a 22 a   21 ... ...  a  n1 a n 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a nn   La matriz del ejemplo c) es una matriz cuadrada de orden 3x3. También se dice que es cuadrada de orden 3. Al ver la forma en que se distribuyen los elementos en una matriz cuadrada, podemos asociar la forma de la distribución con la figura de un cuadrado (de ahí su nombre). En todo cuadrado podemos dibujar dos diagonales. Si aplicamos esto a una matriz cuadrada, nos encontramos con las diagonales marcadas en el gráfico que se encuentra abajo: Anxn  a11 a12  a 22 a   21 ... ...  a  n1 a n 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a nn   Diagonal principal Diagonal secundaria Se llama diagonal de una matriz cuadrada A o diagonal principal de A, a los elementos de la matriz que se encuentran en las posiciones en las que coinciden el número de fila y columna, es decir, todos los elementos aij en los cuales i=j. En Anxn la diagonal está formada por los elementos a11, a22, a33,…, ann En nuestro ejemplo c) la diagonal está formada por los elementos: a11= 1000, a22= 250 y a33= 700. Las matrices pueden clasificarse también según los valores que adoptan sus elementos. Se llama matriz nula a toda matriz 0 de orden mxn cuyos elementos son ceros. En símbolos: 0mxn=(oij) y oij= 0 con 1≤i≤m y 1≤j≤n O también: 23
  • 24. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software 0  0  ...  0  0 mxn Matemática III 0 ... 0   0 ... 0  ... ... ...  0 ... 0   Se llama matriz diagonal a toda matriz cuadrada en la cual los elementos que no se encuentran en la diagonal principal son cero. En símbolos: Anxn=(aij) siendo aij = 0 si i≠j O también:  a11 0   0 a 22  ... ...   0 0  Anxn 0   ... 0  a ij  0 , si i  j ... ...   ... a nn   ... Por ejemplo: 2 0 0     0  7 0   0 0 11   A3 x 3 En aquellas posiciones en las que i≠j los elementos valen cero: a12=0 a13=o a21=0 a23=0 a31=0 a32=0 Y en aquellos que forman la diagonal (i=j) los elementos son distintos de cero: a11=2 a22= -7 a33= 11 Se llama matriz identidad a toda matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por elementos iguales a 1. Se representa con la letra I. Por ejemplo: I 3x 3 1 0 0     0 1 0 0 0 1   Se llama matriz triangular superior a toda matriz A de orden mxn que verifica que el elemento aij = 0 si i>j. 24
  • 25. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Por ejemplo: A3x 4 Matemática III 3 7 9 1    0 4 2 3 0 0 6 4   Observamos que en aquellas posiciones en las que el valor de la fila i es mayor que el valor de la columna j los elementos valen cero. a21=0 pues 2>1 a31=0 pues 3>1 a32=0 pues 3>2 Se llama matriz triangular inferior a toda matriz A de orden mxn que verifica que el elemento aij= 0 si i<j. Por ejemplo: A3x 4  2 0 0 0     6 7 0 0  5 6 9 0   Dada una matriz A de orden mxn, se define la matriz At llamada matriz traspuesta de A, de orden nxm, a aquella que se obtiene cambiando las filas de A por columnas en At. Si Amxn = (aij) entonces Atnxm =(aji) Sea por ejemplo: A3x 4 6 3 0  2      3 4 1 5  9  8 2 6   Tomamos la fila 1 de la matriz A: (2 6 3 0) y la colocamos en el lugar de la columna 1 de la matriz At At 4 x3 2  6  3  0  ... ...   ... ...  ... ...   ... ...   El número de columnas de A pasa a ser el número de filas de At y el número de filas de A pasa a ser el número de columnas de At. 25
  • 26. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Tomamos la fila 2 de A y la colocamos en la columna 2 de At At 4 x3 Matemática III  2  3 ...    6 4 ...  3  1 ...    0 5 ...   Y por último tomamos la fila 3 de A y la colocamos en la columna 3 de At At 4 x3 2  3 9     6 4  8  3 1 2    0 5 6    26
  • 27. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 3 En la guía de trabajo anterior hemos visto una serie de definiciones que ejercitaremos en la presente guía. Actividad 9 Escribir cada una de las siguientes matrices en forma desarrollada: a) A2x2= (aij) de orden 2x2 y en la cual a11=2 a22= -4 a21= -8 a12=3 b) B= (bij) de orden 5x6 y tal que bij = i+j c) C= (cij) cuadrada de orden 4 y con cij = (-1)i+j Actividad 10 Hallar la matriz traspuesta de cada una de las matrices de la actividad anterior. Actividad 11 Dadas las siguientes matrices:  6 2  1  A  4 2 1    1 2 3   B   4 5 6 7 8 9   1 1   C   2 2  3 3   1 D 2  0  3  1 2  0 1 E  0 0  0 0  F  6 2  3 6 2 6 4  0 0  1  5   G  6 1   1  H  0 0  6 0 0 2  0 0  27
  • 28. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software a) Indicar el orden de cada matriz Matemática III b) ¿Cuáles son matrices cuadradas? c) ¿Cuáles son matrices fila? d) ¿Cuáles son matrices triangulares inferiores? ¿Cuáles triangulares superiores? e) ¿Cuáles son matrices columnas? Actividad 12 a) Sea A12x10=(aij) , ¿cuántos elementos tiene A? b) Para la matriz A del punto anterior, si aij=1 para i=j y aij=0 para i≠j determinar a33, a52, a10 10 y a12 10 Actividad 13 a) Un corredor de bolsa vendió a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la B, 500 acciones de la C y 300 de la D. Escribir la información de venta como matriz fila. b) Si las acciones se venden en $20, $30, $45 y $100 por acción, respectivamente, escribir la información como una matriz columna. Actividad 14 Una compañía tiene sus informes mensuales de ventas de sus productos como matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de superlujo que se vendieron; y las columnas, también en orden, indican el número de unidades rojas, blancas, azules y verdes que se vendieron. Las matrices de ventas para enero (E) y febrero (F) son:  2 6 1 2   E   0 1 3 5  2 7 6 0    0 2 4 4   F   2 3 3 2  4 0 2 6   a) ¿Cuántos modelos blancos de superlujo se vendieron en enero? b) ¿Cuántos modelos azules de lujo se vendieron en febrero? c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares verdes? 28
  • 29. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? e) ¿En qué mes se vendió mayor cantidad de modelos de lujo? f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 29
  • 30. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 4 Igualdad de matrices Volvamos al problema de la actividad 14 de la Guía anterior. En él tenemos las matrices de ventas de los meses de enero y febrero. La Gerencia de ventas solicita las matrices del primer cuatrimestre del año para ver la evolución de las ventas en el mismo. Las matrices del mes de enero (E), febrero (F), marzo (M) y abril (A) son las siguientes:  2 6 1 2   E   0 1 3 5  2 7 6 0    3 6 4 2   M   2 5 3 0 1 7 2 0    0 2 4 4   F   2 3 3 2  4 0 2 6    2 6 1 2   A   0 1 3 5  2 7 6 0   ¿Qué puede decirse de las ventas de enero y abril? Las matrices que corresponden a los meses de enero y abril poseen los mismos elementos ubicados en las mismas posiciones. e11 = a11 = 2 e12 = a12 = 6 e13 = a13 = 1 e14 = a14 = 2 e21 = a21 = 0 e22 = a22 = 1 e23 = a23 = 3 e24 = a24 = 5 e31 = a31 = 2 e32 = a32 = 7 e33 = a33 = 6 e34 = a34 = 0 Entonces, decimos que las matrices son iguales. Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y los valores de los elementos homólogos (los que se encuentran en la misma fila y columna en cada matriz) son iguales. Dadas A=(aij) y B=(bij): A=B si y sólo si A y B tienen el mismo orden y aij = bij para todos los valores de i y de j. Actividad 15 En cada uno de los siguientes casos, hallar los valores de las letras que verifican la igualdad de matrices dada: 30
  • 31. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  a  b 2a  b    a  b  5 a  b    a )  5 8   5 8      9   2 8 9  a  2b 8   b)  7 3 a  b 7 3 1          2a  b 0   1 0  c) 3 8   3 8   1  b  a 5  5 2   2   2x y   4 6  d )  z 3w    0 7          2x 7   y 7  e)  7 2y  7 y        Operaciones con matrices Suma de matrices Una empresa tiene dos plantas industriales distintas para la fabricación de los productos A, B y C. Para su fabricación necesita tres tipos de materiales M1, M2 y M3. En las tablas siguientes se muestra la cantidad de cada material para fabricar cada producto en cada planta. PLANTA SAN LUIS PLANTA LA PAMPA Producto A B C Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M1 5 3 7 Material M2 3 1 7 Material M2 2 3 8 Material M3 2 4 6 Material M3 2 3 5 De cada tabla se extrae una matriz para cada planta, en la cual las filas representan los tipos de materiales y las columnas los tipos de productos. Los elementos de cada matriz representan la cantidad de cada material para producir un producto de cada tipo. Llamamos S a la matriz que corresponde a la planta San Luis y L a la planta La Pampa:  5 8 2   S  3 1 7  2 4 6   31
  • 32. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III 5 3 7   L  2 3 8  2 3 5   Se quiere obtener una matriz con la cantidad de materiales M1, M2 y M3 necesarios para fabricar los productos A, B y C en las dos plantas juntas. Para armar la matriz solicitada, tomamos la cantidad de material M1 en cada una de las matrices (S y L) y los sumamos. Lo mismo para cada uno de los materiales M2 y M3. Así, la matriz buscada resulta ser la suma de las matrices dadas. Entonces, podemos escribir:  5 8 2  5 3 7     S  L  3 1 7  2 3 8  2 4 6  2 3 5      5  5 8  3 2  7   S  L  3  2 1 3 7  8 2  2 4  3 6  5   10 11 9    S  L   5 4 15   4 7 11   Las matrices del ejemplo tienen el mismo orden, ambas son 3x3 y la matriz que se obtiene al sumarlas tiene el mismo orden que las dadas, es decir, es otra matriz 3x3. La planta La Pampa decide fabricar el producto D con los mismos materiales M1, M2 y M3, por lo cual a la matriz anterior L se le agrega una cuarta columna, obteniéndose la matriz L’:  5 3 7 4   L   2 3 8 6  2 3 5 9   Se quiere hallar la matriz S+L’ que permite calcular el total de materiales M1, M2 y M3 en ambas plantas. La matriz S es de orden 3x3 y la matriz L’ es de orden 3x4, ¿Qué orden tendrá la matriz suma S+L’? Veamos: 32
  • 33. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  5 8 2  5 3 7 4     S  L'   3 1 7    2 3 8 6   2 4 6  2 3 5 9     Ambas matrices tienen 3 filas, entonces la matriz suma S+L’ también tendrá 3 filas. Pero la matriz S tiene 3 columnas y la matriz L’ tiene 4 columnas, entonces si sumamos elemento a elemento, para la misma posición, observamos que las tres primeras columnas de la matriz L’ no presentan problemas para calcular el total pedido, en cambio la cuarta columna no puede ser totalizada ya que en la matriz S no existe cuarta columna. Entonces no existe la matriz S+L’ solicitada. De estas dos situaciones concluimos que, para sumar matrices, éstas deben tener el mismo orden. En general: Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de orden mxn, definimos la matriz suma S del mismo orden que las anteriores, del siguiente modo: S=(sij), siendo sij=aij + bij, para cualquier valor de i y de j Propiedades de la suma de matrices Dadas las matrices A=(aij), B=(bij) y C=(cij), todas de orden mxn, la suma de las mismas cumple con las siguientes propiedades: 1. Propiedad conmutativa: A+B=B+A Escribimos las matrices A y B:  a11  a A   21 ...  a  m1  b11  b B   21 ...  b  m1 a12 a 22 ... am2 b12 b22 ... bm 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn   ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn   Hallamos la matriz A+B, que al ser suma de matrices de orden mxn, resulta ser del mismo orden que aquellas: 33
  • 34. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software  a11  a A  B   21 ...  a  m1 a12 a 22 ... am2  a11  b11  a b A  B   21 21 ...  a  b m1  m1 ... a1n   b11   ... a 2 n   b21  ... ...   ...   ... a mn   bm1   a12  b12 a 22  b22 ... a m 2  bm 2 b12 b22 ... bm 2 Matemática III ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn   a1n  b1n   ... a 2 n  b2 n   ... ...  ... a mn  bmn   ... Recordamos que los elementos de cada matriz son números reales, es decir: aij    bij   Por lo tanto, como estamos trabajando en el conjunto de números reales al sumar los elementos homólogos, sabemos que la suma de dos números reales cumple con la propiedad conmutativa, es decir: aij  bij  bij  aij Sabiendo que la igualdad anterior se cumple podemos escribir la matriz suma anterior de la siguiente forma:  b11  a11   b  a 21 A  B   21 ...  b  a m1  m1 b12  a12 b22  a 22 ... bm 2  a m 2 b1n  a1n   ... b2 n  a 2 n   ... ...  ... bmn  a mn   ... Aplicando la definición de suma de matrices en el segundo término de la igualdad anterior podemos escribir:  b11  b A  B   21 ...  b  m1 b12 b22 ... bm 2 ... b1n   a11   ... b2 n   a 21  ... ...   ...   ... bmn   a m1   a12 a 22 ... am2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn   Y por definición de la matriz A y de la matriz B, escribimos: A B  B  A La igualdad anterior demuestra que la suma de matrices es conmutativa. 2. Propiedad asociativa: (A+B)+C = A+(B+C) 34
  • 35. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III 3. La matriz traspuesta de la suma de dos matrices A y B, es igual a la suma de la traspuesta de A y de la traspuesta de B. (A+B)t = At + Bt 4. Dada A de orden mxn, la matriz nula 0 de orden mxn, es neutro para la suma, por lo cual: A+0 = A Por lo tanto la suma de matrices de orden mxn tiene elemento neutro. 5. Dada la matriz A de orden mxn, existe la matriz opuesta –A de orden mxn, que verifica que A+(-A)= 0. Esta matriz opuesta es única. Actividad 16 Dadas las siguientes matrices: 3  2   A    1 0,5  0 3    3 2 1 B 3 8 6     1 3   C   1 2  1 4   Se pide realizar las operaciones indicadas cuando sea posible: a) A+B= b) A+C= c) Bt + A + C= d) At + B= Actividad 17 Demostrar las propiedades 2, 3, 4 y 5 de la suma de matrices. 35
  • 36. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Resta de matrices Matemática III Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de orden mxn, definimos la matriz resta R del mismo orden que las anteriores, del siguiente modo: R=(rij), siendo rij=aij - bij, para cualquier valor de i y de j Sean:  a11  a A   21 ...  a  m1  b11  b B   21 ...  b  m1 a12 a 22 ... am2 b12 b22 ... bm 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn   ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn   Definimos la matriz R: R  A B  a11  a R   21 ...  a  m1 a12 a 22 ... am2  a11  b11   a b R   21 21 ...  a  b  m1 m1 ... a1n   b11   ... a 2 n   b21  ... ...   ...   ... a mn   bm1   a12  b12 a 22  b22 ... a m 2  bm 2 b12 b22 ... bm 2 ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn   a1n  b1n   ... a 2 n  b2 n   ... ...  ... a mn  bmn   ... Podemos definir la resta de dos matrices de otra forma utilizando el concepto de matriz opuesta. Entonces podemos escribir la resta como la suma de una matriz y la opuesta de la otra: A-B = A+ (-B) De este modo reducimos la operación a una suma de matrices y procedemos como ya hemos visto. 36
  • 37. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 18 Considerando las matrices de la actividad 16 realizar los cálculos indicados cuando sea posible: a) –A+C= b) Bt – A – C= c) C – Bt + A = 37
  • 38. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 5 Multiplicación entre un escalar y una matriz Si la planta San Luis, de la empresa vista en la página 31, desea triplicar la cantidad de productos A, B y C que produce, ¿Qué cantidad de materiales M1, M2 y M3 necesitará? La matriz asociada a esta planta es:  5 8 2   S  3 1 7  2 4 6   Recordemos que cada columna representa a los productos y cada fila a los materiales, entonces: Para triplicar la producción del producto A la cantidad de material M1 será igual a 3.5, la cantidad de material M2 será igual a 3.3, la cantidad de material M3 será igual a 3.2, es decir debemos triplicar la cantidad de material M1, M2 y M3. Lo mismo sucederá para el producto B y para el C. La nueva matriz de la planta San Luis, que llamaremos S’ está formada por los elementos: s’11= 3.5 s’12= 3.8 s’13= 3.2 s’21= 3.3 s’22= 3.1 s’23= 3.7 s’31= 3.2 s’32= 3.4 s’33= 3.6 Armamos la matriz ubicando cada elemento en el lugar que le corresponde en la distribución:  3.5 3.8 3.2    S '   3.3 3.1 3.7   3.2 3.4 3.6    Escribimos S’ como: 15 24 6    S '   9 3 21  6 12 18    Vemos que para obtener S’ hemos multiplicado por 3 cada elemento de S, decimos entonces que hemos multiplicado por 3 a la matriz S: S’ = 3.S 38
  • 39. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Observamos que el orden de la matriz S’ es el mismo de S, es decir, S’ es 3x3. En general, dada una matriz A=(aij) de orden mxn, para multiplicarla por un escalar k (k pertenece al conjunto de números reales), basta con multiplicar cada elemento de ella por k. k.A= (k.aij) La matriz resultante es de orden mxn. Propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz Sean las matrices A=(aij) y B=(bij) ambas de orden mxn y los números reales k y p, se puede demostrar que se cumplen las siguientes propiedades: a) k.(A+B)=k.A+k.B Demostración: Escribimos las matrices A y B:  a11 a12  a 22 a A   21 ... ...  a  m1 a m 2  b11 b12  b22 b B   21 ... ...  b  m1 bm 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn   ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn   Reemplazamos   a11   a k .( A  B)  k .  21 ...   a   m1 a12 a 22 ... am2 ... a1n   b11   ... a 2 n   b21  ... ...   ...   ... a mn   bm1   b12 b22 ... bm 2 ... b1n    ... b2 n   ... ...    ... bmn    Sumamos las matrices: 39
  • 40. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software  a11  b11  a b k .( A  B)  k . 21 21 ...  a  b m1  m1 a12  b12 Matemática III a1n  b1n   ... a 2 n  b2 n   ... ...  ... a mn  bmn   ... a 22  b22 ... a m 2  bm 2 Multiplicamos la matriz obtenida por k:  k .(a11  b11 ) k .(a12  b12 )   k .(a 21  b21 ) k .(a 22  b22 ) k .( A  B)   ... ...   k .(a  b ) k .(a  b ) m1 m1 m2 m2  k .(a1n  b1n )   ... k .(a 2 n  b2 n )   ... ...  ... k .(a mn  bmn )   ... Recordemos que cada elemento de la matriz es un número real, y que en el conjunto de números reales se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, entonces, podemos escribir:  k .a11  k .b11   k .a  k .b21 k .( A  B)   21 ...   k .a  k .b m1  m1 k .a12  k .b12 k .a 22  k .b22 ... k .a m 2  k .bm 2 k .a1n  k .b1n   ... k .a 2 n  k .b2 n   ... ...  ... k .a mn  k .bmn   ... Aplicamos en el segundo miembro de la igualdad la definición de suma y escribimos:  k .a11   k .a k .( A  B)   21 ...   k .a  m1 k .a12 k .a 22 ... k .a m 2 ... k .a1n   k .b11   ... k .a 2 n   k .b21  ... ...   ...   ... k .a mn   k .bm1   k .b12 k .b22 ... k .bm 2 ... k .b1n   ... k .b2 n  ... ...   ... k .bmn   Observamos que en cada una de las matrices del segundo miembro, cada uno de sus elementos está multiplicado por k, entonces podemos escribir:  a11  a k .( A  B)  k . 21 ...  a  m1 a12 a 22 ... am2 ... a1n   b11   ... a 2 n   b21   k . ... ... ...   b ... a mn    m1 b12 b22 ... bm 2 ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn   Y por definición de A y B escribimos: k.( A  B)  k. A  k.B Por lo cual queda demostrado. 40
  • 41. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software b) (k+p).A = k.A+p.A Matemática III c) (k.p).A = k.(p.A) d) (k.A)t = k.At e) 1.A = A f) 0.A = 0 siendo 0 la matriz nula del mismo orden que A g) k. 0 = 0 Actividad 19 Demostrar las propiedades b, c, d, e, f y g. Actividad 20 Realizar las operaciones que se indican: a) 3.(1 - 3 2 1)  2. 6 1 0 4  0. 2 7 6 4   1 -1   6 9      6  2 0   2 b)   3.  3  6 1  2     4 9   4 5       2 1 0  6  2 1  1 0 0       c) 2. 0 1 0   3.  1  2 3     5 1  2     1 0 0  0 0 0 1 1 3        Actividad 21 Dadas las siguientes matrices: 2 1  A  3  3     - 2 - 1 C  -3 3     - 6 B 2  0 O 0  - 5  - 3  0  0  Realizar los siguientes cálculos: 41
  • 42. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software a) –B= e) 2.B-3.A+2.C= b) –(A-B)= f) 3.C-2.B= c) A+B-C= g) ½.A-2.(B+2.C)= d) 2.(A-2.B)= Matemática III h) 2.A-½.(B-C)= Actividad 22 Para las matrices A, B y C de la actividad anterior verificar: a) 3.(A+B)= 3.A+3.B b) (2+3).A= 2.A+3.A c) k1.(k2.A)=(k1.k2).A d) k.(A+B+C)=k.A+k.B+k.C Actividad 23 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales: x   2  6  a ) 3.   3.   4.   y  4    2        2  x    10        b)  4   2. y     24  6  4.z   14        x  7   x c) 3.   4.  2   y    2. y           8  2   1  0            d ) x. 0   2. 0   y. 2    4   3 6   3   3.x  12  3. y          Actividad 24 Para los productos A, B y C dados en ese orden, se tiene la matriz de precios: P= (p1 p2 p3) Si los precios deben aumentarse en un 20%, ¿por qué escalar debe multiplicarse la matriz P? 42
  • 43. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 6 Multiplicación entre matrices En la guía de trabajo n°4, ejemplificamos la suma de matrices con una empresa que tiene dos plantas industriales distintas para la fabricación de los productos A, B y C. Para su fabricación necesita tres tipos de materiales M1, M2 y M3. En las tablas siguientes se muestra la cantidad de cada material para fabricar cada producto en la planta San Luis y la cantidad de productos A, B y C producidos en los meses de abril y mayo. PLANTA SAN LUIS CANT. DE PROD. FABRICADOS Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 7 Material M3 2 4 6 Abril Mayo A 25 35 B 30 23 C 15 29 Se quiere saber la cantidad total de cada material utilizado en los meses de abril y mayo para producir las cantidades de productos indicados y generar una nueva tabla con las mismas, que llamaremos Totales de materiales, cuyo formato es: TOTALES DE MATERIALES Abril Mayo M1 M2 M3 Para calcular la cantidad de material M1 empleado en abril hacemos los productos entre cada elemento de la fila que corresponde a M1 por cada elemento de la columna que corresponde al mes de abril. Para calcular el total se suman estos resultados. En las tablas siguientes se señala con flechas lo explicitado anteriormente: 43
  • 44. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software PLANTA SAN LUIS Matemática III CANT. DE PROD. FABRICADOS Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 7 Material M3 2 4 6 Abril Mayo A 25 35 B 30 23 C 15 29 5.25+8.30+2.15= 125+240+30 5.25+8.30+2.15= 395 Entonces se necesitaron 395 unidades de material M1 para fabricar las cantidades de productos A, B y C indicadas, en el mes de abril. Ubicamos este valor en el lugar que le corresponde en la tabla nueva: TOTALES DE MATERIALES Abril M1 Mayo 395 M2 M3 Del mismo modo para calcular la cantidad necesaria de material M2: 44
  • 45. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software PLANTA SAN LUIS CANT. DE PROD. FABRICADOS Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 7 Material M3 2 4 6 Abril Mayo A 25 35 B 30 23 C 15 Matemática III 29 3.25+1.30+7.15= 75+30+105 3.25+1.30+7.15= 210 Entonces se necesitaron 210 unidades de material M2 para fabricar las cantidades de productos A, B y C indicadas, en el mes de abril. Ubicamos este resultado en la tabla: TOTALES DE MATERIALES Abril M1 395 M2 Mayo 210 M3 Por último, para el material M3: CANT. DE PROD. FABRICADOS PLANTA SAN LUIS Abril Mayo A 25 35 7 B 30 23 6 C 15 29 Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 Material M3 2 4 45
  • 46. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software 2.25+4.30+6.15= 50+120+90 Matemática III 2.25+4.30+6.15= 260 Entonces se necesitaron 260 unidades de material M3 para fabricar las cantidades de productos A, B y C indicadas, en el mes de abril. Ubicamos este resultado en la tabla: TOTALES DE MATERIALES Abril M1 395 M2 210 M3 Mayo 260 Repetimos el procedimiento anterior para calcular los totales del mes de mayo. Para M1: PLANTA SAN LUIS CANT. DE PROD. FABRICADOS Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 7 Material M3 2 4 6 Abril Mayo A 25 35 B 30 23 C 15 29 5.35+8.23+2.29= 175+184+58 5.25+8.30+2.15= 417 Entonces se necesitaron 417 unidades de material M1 para fabricar las cantidades de productos A, B y C indicadas, en el mes de mayo. Ubicamos este valor en el lugar que le corresponde en la tabla nueva: 46
  • 47. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III TOTALES DE MATERIALES Abril Mayo M1 395 417 M2 210 M3 260 Del mismo modo para calcular la cantidad necesaria de material M2: PLANTA SAN LUIS CANT. DE PROD. FABRICADOS Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 7 Material M3 2 4 6 Abril Mayo A 25 35 B 30 23 C 15 29 3.35+1.23+7.29= 105+23+203 3.35+1.23+7.29= 331 Entonces se necesitaron 331 unidades de material M2 para fabricar las cantidades de productos A, B y C indicadas, en el mes de mayo. Ubicamos este resultado en la tabla: TOTALES DE MATERIALES Abril Mayo M1 395 417 M2 210 331 M3 260 Por último, para el material M3: 47
  • 48. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software PLANTA SAN LUIS CANT. DE PROD. FABRICADOS Producto A B C Material M1 5 8 2 Material M2 3 1 7 Material M3 2 4 6 Abril Mayo A 25 35 B 30 23 C 15 Matemática III 29 2.35+4.23+6.29= 70+92+174 2.35+4.23+6.29= 336 Entonces se necesitaron 336 unidades de material M3 para fabricar las cantidades de productos A, B y C indicadas, en el mes de mayo. Ubicamos este resultado en la tabla: TOTALES DE MATERIALES Abril Mayo M1 395 417 M2 210 331 M3 260 336 Podemos representar las tablas en forma de matrices. Llamamos S a la matriz que representa la tabla de la planta San Luis, llamamos C a la matriz que representa la tabla de cantidad de productos fabricados en los meses de abril y mayo, y llamamos T a la matriz que representa la tabla de totales:  5 8 2   S  3 1 7  2 4 6    25 35    C   30 23   15 29     395 417    T   210 331   260 336    En términos de estas matrices el proceso que hemos realizado para generar la nueva tabla lo podemos reescribir del siguiente modo: 48
  • 49. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software t11 = 5.25 + 8.30 + 2.15 = 395 s11 c11 t11= s12 s11 c21 s12 s13 Matemática III c31 c11 c21 c31 s13 fila 1 de S columna 1 de C t11 Escribimos entonces de modo general el elemento t11: t11 = s11.c11 + s12.c21 + s13.c31 Consideramos ahora el elemento t12: t12 = 5.35 + s11 c12 t12= 8.23 s12 s11 + 2.29 c22 s12 s13 s13 fila 1 de S = 417 c32 c12 c22 c32 columna 2 de C t12 t12 = s11.c12 + s12.c22 + s13.c32 Para los restantes elementos de la matriz T escribimos su expresión general: t21 = s21.c11 + s22.c21 + s23.c31 t22 = s21.c12 + s22.c22 + s23.c32 t31 = s31.c11 + s32.c21 + s33.c31 t32 = s31.c12 + s32.c22 + s33.c32 Repasemos el gráfico que corresponde al elemento t11: 49
  • 50. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software fila 1 de S columna 1 de C t11= s11 s12 Matemática III c11 c21 c31 s13 columna 1 de S con fila 1 de C columna 3 de S con fila 3 de C columna 2 de S con fila 2 de C Al multiplicar estas matrices estamos relacionando filas de una con columnas de la otra. Además para una fila determinada de S, tomamos los elementos que se encuentran en cada una de las columnas que la forman y los multiplicamos con cada uno de los elementos que se encuentran en las filas que determinan la columna de C. Por eso para poder multiplicar estas dos matrices, la cantidad de columnas de S debe ser igual a la cantidad de filas de C. La matriz resultante T, tendrá la cantidad de filas de S y la cantidad de columnas de C. Es decir: Si S es de orden 3x3 y C es de orden 3x2 entonces T es de orden 3x2. Generalizando damos la siguiente definición: Dada la matriz A de orden mxn y la matriz B de orden nxp, se define la matriz producto C de orden mxp de modo tal que: A. B = C ; siendo C= (cij) con 1≤i≤m y 1≤j≤p El elemento general de C es tal que: cij  k n  (a ik .b kj ) k 1 Actividad 25 Resolver los siguientes productos, indicando el orden de la matriz producto y la cantidad de elementos que ésta posee: 50
  • 51. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  4   a) 1 2 3. 5   6   1   b)  2 .1 6   3   2   1 3 0  1 0    c)  - 2 2 1 . 5  1 3    1 0 - 4  2 1  2    Actividad 26 Para cada uno de los siguientes ítems calcular si es posible A.B y B.A, comparar los resultados y sacar conclusiones: 1  2 -1  a) A   2  3 5 4  1   2 -1  b) A  2  3 5 4   2 - 1 c) A   3 4      2 - 1 d) A   3 4         2 5  3 15  e) A   2 4  2 5    3 3   1 4   B   -1 5  3 2   1 1   5 - 1 2 4 3   B   4 2 6 0.5 5   3 7 2 1.4 3       1 - 5 B 2 6      2 1 B  - 3 0    1   - 1  5 10 2  B - 2 - 4 - 1 2    5 5  51
  • 52. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Conclusiones: Matemática III a) b) c) d) e) Propiedades de la multiplicación de matrices La multiplicación de matrices cumple con las siguientes propiedades, siempre que las operaciones indicadas sean posibles: a) Propiedad asociativa: (A.B).C = A.(B.C) b) Propiedad distributiva a izquierda respecto a la suma: A.(B+C) = A.B + A.C c) Propiedad distributiva a derecha respecto a la suma: (B+C).A = B.A + C.A 52
  • 53. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 27 Dadas las siguientes matrices: 1   2 -1  A 2  3 5 4  1 0   C   0 2 1 1    3 0  1 B 1 1 2     Se pide verificar la propiedad a de la multiplicación de matrices. Actividad 28 Dadas las siguientes matrices:  1 0 A  2 3     - 2 0 B  1 3    - 2 1 C  0 2    Se pide verificar las propiedades b y c de la multiplicación de matrices. Otras propiedades Consideremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de cualquier orden. En este conjunto se cumplen además de las anteriores las siguientes propiedades: a) A.At = I entonces la matriz A es ortogonal. Sea por ejemplo la matriz A cuadrada de orden 2x2: 0 1 A 1 0    Su matriz traspuesta, también cuadrada y del mismo orden 2x2 es: 0 1 At   1 0    Realizamos el producto A.At: 53
  • 54. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III 0 1 0 1 A.A t    1 0 . 1 0        0.0  1.1 0.1  1.0  A.A t   1.0  0.1 1.1  0.0      0  1 0  0 A.A t   0  0 1 0     1 0 A.A t   0 1    Sabemos que la matriz I es la matriz identidad, en el conjunto de matrices cuadradas. El orden de esta matriz I es el mismo que el de la matriz A, entonces: 1 0 I 0 1    Podemos escribir entonces que: A.At = I Por lo que decimos que la matriz A es ortogonal. También resulta ser ortogonal la traspuesta. b) Si A es una matriz cuadrada de orden nxn e I es la matriz identidad de orden nxn entonces: A.I = I.A = A c) Si A y B son dos matrices cuadradas de orden nxn entonces: (A.B)t = Bt.At Actividad 29 Dadas las siguientes matrices:  1 0 I 0 1     3 - 4 A 9 5      1 - 2 B - 6 7     Verificar las propiedades b y c del párrafo anterior. 54
  • 55. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Matriz inversa de una matriz Dada la matriz cuadrada de orden nxn A, si existe la matriz B, también cuadrada del mismo orden que A, que cumpla que A.B = B.A = I entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se simboliza A-1. En este caso se dice que la matriz A es inversible y la matriz A.1 es única. Por ejemplo, sea la matriz cuadrada A de orden 2x2 que se muestra a continuación:  3 2 A  4 3    Hallaremos la matriz B, también cuadrada de orden 2x2, que verifique: A.B = B.A = I Consideremos que la matriz B es de la forma: a b  B c d     Entonces debería verificarse que:  3 2  a b  1 0 A. B    4 3 .  c d    0 1            Resolvemos el producto A.B:  3.a  2.c 3.b  2.d   1 0    4.a  3.c 4.b  3.d    0 1         Por igualdad de matrices escribimos: 3.a+2.c=1 3.b+2.d=0 4.a+3.c=0 4.b+3.d=1 Hemos obtenido cuatro ecuaciones de dos incógnitas cada una. En ellas observamos que las incógnitas a y c aparecen en dos de ellas, lo mismo ocurre con las incógnitas b y d, lo que nos permite agruparlas por incógnitas comunes del siguiente modo: 3.a+2.c=1 3.b+2.d=0 4.a+3.c=0 4.b+3.d=1 55
  • 56. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Resolvemos ambos sistemas para hallar el valor de a, b, c y d. Matemática III Recordemos que para resolver un sistema de ecuaciones se pueden usar cualquiera de los métodos conocidos: igualación, sustitución, determinantes o reducción por sumas o restas. La solución del sistema no depende del método utilizado. Usaremos el método de reducción por sumas o restas. Este método consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las dadas, en las que los coeficientes de la incógnita que se quiere reducir sean iguales. Luego las ecuaciones se sumarán o restarán según los signos de los mismos a saber: si tienen los mismos signos se restan y si tienen signos opuestos se suman. Tomemos el primer sistema: 3.a+2.c=1 4.a+3.c=0 Reduciremos la incógnita a. Buscamos el mínimo común múltiplo de los coeficientes de ella, o sea, el m.c.m entre 3 y 4 que resulta ser 12. Entonces multiplicamos a la primera ecuación por 4 y a la segunda por 3: 4.3.a+4.2.c=4.1 3.4.a+3.3.c=3.0 Y obtenemos el sistema equivalente: 12.a+8.c=4 12.a+9.c=0 Como ambos coeficientes de a poseen el mismo signo procedemos a restar las ecuaciones, y nos queda: 12.a+8.c=4 12.a+9.c=0 0.a – 1.c=4 - 1.c=4 despejamos c c= 4 : (-1) c= -4 56
  • 57. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Ahora reduciremos la incógnita c. Buscamos el mínimo común múltiplo entre los coeficientes de ella, o sea, entre 2 y 3, que resulta ser 6. Por lo tanto, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2: 3.3.a+3.2.c=3.1 2.4.a+2.3.c=2.0 Y obtenemos el sistema equivalente: 9.a+6.c=3 8.a+6.c=0 Como ambos coeficientes de a poseen el mismo signo procedemos a restar las ecuaciones, y nos queda: 9.a+6.c=3 8.a+6.c=0 1.a + 0.c=3 1.a=3 despejamos a a=3 : 1 a= 3 Tomemos el segundo sistema: 3.b+2.d=0 4.b+3.d=1 Reduciremos la incógnita b. Buscamos el mínimo común múltiplo de los coeficientes de ella, o sea, el m.c.m entre 3 y 4 que resulta ser 12. Entonces multiplicamos a la primera ecuación por 4 y a la segunda por 3: 4.3.b+4.2.d=4.0 3.4.b+3.3.d=3.1 Y obtenemos el sistema equivalente: 57
  • 58. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software 12.b+8.d=0 Matemática III 12.b+9.d=3 Como ambos coeficientes de b poseen el mismo signo procedemos a restar las ecuaciones, y nos queda: 12.b+8.d=0 12.b+9.d=3 0.b – 1.d= -3 - 1.d= -3 despejamos d d= -3 : (-1) d= 3 Ahora reduciremos la incógnita d. Buscamos el mínimo común múltiplo entre los coeficientes de ella, o sea, entre 2 y 3, que resulta ser 6. Por lo tanto, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2: 3.3.b+3.2.d=3.0 2.4.b+2.3.d=2.1 Y obtenemos el sistema equivalente: 9.b+6.d=0 8.b+6.d=2 Como ambos coeficientes de a poseen el mismo signo procedemos a restar las ecuaciones, y nos queda: 9.b+6.d=0 8.b+6.d=2 1.b + 0.d= -2 1.b= -2 despejamos b b= -2 : 1 b= -2 58
  • 59. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Reemplazamos los valores hallados en la matriz B buscada: Matemática III  3  2 B  4 3     Actividad 30 Verificar que la matriz B hallada es tal que: A.B=B.A=I Observaciones:  Al aplicar el método de reducción por sumas o restas hemos hallado un sistema equivalente al dado a través de multiplicar cada una de las ecuaciones por números distintos de cero. Ambos sistemas, el original y el equivalente, tienen el mismo conjunto solución. Esto nos será de ayuda para comprender la resolución de sistemas de ecuaciones que veremos más adelante.  La matriz B hallada recibe el nombre de matriz inversa y se simboliza A-1 Actividad 31 Hallar si existe la matriz inversa de cada una de las matrices dadas a continuación:  3 0 A 6 0     2 0 B  0 5     1 4 C   5 3     2 4 3    D   1 1  2  0 2 1    59
  • 60. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 32 Dadas las siguientes matrices: 1 - 2 A 0 3     1 0 0   D  0 1 1 1 2 1   - 2 3 0 B  1 - 4 1     3 0 0   G  0 6 0  0 0 3    -1 1   C   0 3  2 4   1  0 0  3  1 H  0 0   6  1 0 0  3  1 0 0   I   0 1 0 0 0 1   Se pide hallar: a) D2 = b) 3 . A – 2 . B . C = c) D . I - ⅓ . G = d) 2 . I - ½ . G . H= Actividad 33 Un corredor de bolsa vendió a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la empresa B, 500 acciones de la empresa C y 250 acciones de la empresa D. Los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300 respectivamente. Escribir una matriz fila que represente el número de acciones que el cliente compró de cada una de las empresas, escriba una matriz columna que represente el precio por acción de cada una de ellas. Obtener el costo total de las acciones a través del producto de las matrices obtenidas. Actividad 34 Un contratista de construcción ha aceptado pedidos para distintos estilos de casas según se muestra en la tabla siguiente: 60
  • 61. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Ranchero Campero Colonial 5 7 12 Las materias primas y laborales que se utilizan en cada uno de los tipos de edificación son acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra. Las cantidades de cada uno por tipo de casa figuran en la tabla siguiente: Acero Madera Vidrio Pintura Mano de obra Ranchero 5 20 16 7 17 Campero 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 Los costos en los que habrá de incurrir al comprar los elementos de la tabla anterior están volcados en la tabla siguiente: Acero $1500 Madera $800 Vidrio $500 Pintura $100 Mano de obra $1000 El contratista desea saber: a) La cantidad de cada una de las materias que necesita para cumplir los contratos. b) El costo de materiales y obra para cada tipo de casa. c) El costo total para todas las casas. Nota: escribir las matrices que se obtienen de cada tabla y efectuar los productos necesarios para responder cada ítem. Respuestas: a) Debe ordenar 146 unidades de acero, 526 de madera, 260 de vidrio, 158 de pintura y 388 de mano de obra. 61
  • 62. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III b) El costo para la casa de estilo ranchero es de $49200, para el estilo campero es de $52800 y para el colonial es de $46500 c) El costo total es de $1173600. Actividad 35 El contratista de la Actividad 34 va a construir 7 casas de estilo ranchero, 3 de estilo campero y 5 coloniales. Calcular utilizando multiplicación de matrices el costo total de materiales y obra. Actividad 36 El contratista de la Actividad 34 toma en consideración el costo de transportar los materiales al lugar de la construcción, por lo que modifica la tabla de costos de materiales agregando la columna de costo del transporte. La tabla así modificada es: Precio de compra Transporte Acero 1500 45 Madera 800 20 Vidrio 500 30 Pintura 100 5 1000 0 Mano de obra El contratista desea saber: a) Los costos de compra y transporte de los materiales para cada tipo de casa. b) El precio total de compra y el costo total de transporte. Nota: Utilizar multiplicación de matrices para responder a lo pedido. 62
  • 63. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 7 Ecuaciones matriciales Teniendo en cuenta lo visto hasta ahora podemos plantear la solución de ecuaciones en las que intervienen matrices. 1) Sea por ejemplo la siguiente ecuación: A+X= B Hallar la matriz X sabiendo que:  2  3 A 1 7      4 5 B  0 8    Sabemos que para hallar X en toda ecuación hay que despejar, entonces: X= B-A Además para poder restar dos matrices éstas deben tener el mismo orden. En nuestro ejemplo ambas son cuadradas de orden 2 (o también decimos que son 2x2) por lo cual podemos restarlas:  4 5   2  3 X   0 8   1 7          4  2 5  (3)   X   0 1 87     2 5  3  X  1 1     2 8 X    1 1    Como podemos observar en este ejemplo, para que en ecuaciones con matrices en las cuales la operación principal sea la suma o la resta (ecuaciones aditivas) la existencia de solución dependerá de que al despejar la incógnita, la operación resultante pueda realizarse, es decir, las matrices a sumar o restar deben tener el mismo orden. Caso contrario la ecuación no tiene solución. 63
  • 64. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 37 Dadas las siguientes matrices:   1  3  A 1 7     4  5 B 0 3     5 2 C  9 0     0 0 D   4 3    Se pide hallar la matriz X en cada caso: a) 3.A + 2.X= D b) 5.X – 3.C = 4.X + B c) A + X = 4.B – C d) D – 6.I + X = B – A 2) Sea la siguiente ecuación para las mismas matrices del ejemplo 1: A.X=B La operación principal en ésta es la multiplicación. ¿Cómo hacemos para despejar X si no está definida la división de matrices? Tendremos que utilizar entonces el concepto de matriz inversa. Nos encontramos con una primera condición para resolver este tipo de ecuaciones, la matriz que multiplica a la matriz X debe ser cuadrada. Recordemos además que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo tanto debemos fijarnos el modo de plantear el producto entre A y su inversa. En nuestro ejemplo la matriz A se encuentra a la izquierda de la matriz X, por lo tanto debemos multiplicar a cada lado del signo igual por la matriz A-1 a la izquierda: A-1 . A . X = A.1 . B I . X = A-1 . B X = A.1 . B por definición de A.1 ya que I es la matriz identidad Hemos despejado X. 64
  • 65. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Solo queda resolver el producto entre las matrices del segundo miembro de la igualdad. Pero nos encontramos ahora con una segunda condición para resolver este tipo de ecuaciones, la matriz A debe ser inversible, es decir, debe existir A-1 . Por último debe estar definida la multiplicación entre A-1 y B. Hallemos primero A-1 : Sea A-1 : a b  A 1   c d     Reemplazamos en la expresión A-1 . A = I por cada una de las matrices:  a b   2  3 A 1 . A    c d  .1 7   I         a b   2  3  1 0  A 1 . A    c d  . 1 7   0 1             2.a  b 3.a  7.b   1 0  A1. A       2.c  d 3.c  7.d   0 1  Por igualdad de matrices, escribimos: 2.a  b  1 3.a  7.b  0 2.c  d  0 3.c  7.d  1 Podemos armar dos sistemas de ecuaciones, uno de ellos para hallar los valores de a y de b, y el otro para hallar los valores de c y de d. Resolviendo ambos hallamos que: 7 17 3 b 17 1 c 17 2 d 17 a Por lo tanto la matriz A es inversible y existe A-1 cuya expresión desarrollada es: 65
  • 66. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III 3  7   A 1   17 17   1 2     17 17  La matriz A-1 es de orden 2x2 y en nuestro ejemplo también lo es la matriz B, por lo tanto la multiplicación entre ellas está definida y podemos resolverla: X  A 1 . B 3  7  4 X   17 17 .   1 2  0    17 17  3  7  .4  .0 17 X   17 1  .4  2 .0  17  17  28 59    X   17 17    4 11     17 17  5  8  7 3  .5  .8  17 17  1 2 .5  .8   17 17  Actividad 38 Resolver los sistemas que se forman en el ejemplo anterior y verificar que los valores encontrados para a, b, c y d son los dados y que la matriz A-1 cumple con la condición de que: A-1 . A= A. A-1 = I Actividad 39 Dadas las siguientes matrices:  1 2 A  3 0     0 1 B  2 3     1 1 C   1 1    Resolver cuando sea posible las siguientes ecuaciones: a) B . X = C 66
  • 67. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software b) (A+B) . X = C Matemática III c) C . X + B = A d) At . X – C= B . X En estas últimas guías hemos hallado matrices inversas y hemos notado cuán arduo es el cálculo de ellas, ya que debemos resolver sistemas de ecuaciones para encontrar los valores de cada uno de los elementos que la determinan. Nos preguntamos si existe otra forma de hallar la matriz inversa que facilite su cálculo. En las guías siguientes veremos que la respuesta es afirmativa…  67
  • 68. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 8 Determinantes En el conjunto de matrices cuadradas cuyos elementos son números reales, que llamaremos Rnxn se define una función que a cada una de las matrices pertenecientes a él, le hace corresponder un único número real. Dicho valor recibe el nombre de determinante de la matriz. Dada la matriz Anxn: A nxn  a11 a12  a 22 a   21 ... ...  a  n1 a n 2 ... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a nn   Definimos la función f del siguiente modo: f : R nxn  R / f ( Anxn )  A Siendo: a11 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a n1 A a12 an2 ... a nn ... ¡Cuidado!  No confundir las barras que encierran a la matriz A con las de valor absoluto.  No confundir el determinante escrito en forma desarrollada con una matriz. Los paréntesis que se usan para escribir a las matrices en forma desarrollada se reemplazan por barras cuando se escribe el determinante de la matriz, pero ambos son conceptualmente diferentes: la matriz es una distribución rectangular de números reales y el determinante es un número real. El orden de un determinante es el mismo que el orden de la matriz de la cual es su imagen. Así por ejemplo, si la matriz es de orden 4x4, su determinante también es de orden 4x4. Antes de pasar al cálculo de los determinantes veremos algunas definiciones previas. 68
  • 69. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Menor complementario Dada una matriz cuadrada A de orden nxn, se llama menor complementario de un elemento aij y se lo representa Mij al determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz A, la fila i y la columna j. a11 A= a12 … a1n a21 a22 … a2n … …. aij an1 an2 ... …. ann El menor complementario del elemento aij se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j, como se muestra a continuación: a11 a12 a21 a22 a2j a2n ai1 ai2 aij an1 an2 A= a1j a1n anj ann ain Fila i Columna j a11 a12 a1n M ij  a 21 a 22 a2n a n1 an2 a nn Por ejemplo, sea la matriz cuadrada A de orden 3:  1 4 3    A   2 0  6 5 9 1    Hallaremos los menores complementarios de cada uno de sus elementos: Para el elemento a11 = -1, su menor M11 es: M 11  0 6 9 1 69
  • 70. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Para el elemento a12 = 4, M12 es: M 12  Matemática III 2 6 5 1 Para el elemento a13 = 3, M13 es: M 13  2 0 5 9 Para el elemento a21 = 2, M21 es: M 21  4 3 9 1 Para el elemento a22 = 0, M22 es: M 22  1 3 5 1 Para el elemento a23 = -6, M23 es: M 23  1 4 5 9 Para el elemento a31 = 5, M31 es: M 31  4 3 0 6 Para el elemento a32 = 9, M32 es: M 32  1 3 2 6 Para el elemento a33 = 1, M33 es: M 33  1 4 2 0 Adjunto o cofactor Se llama adjunto o cofactor de un elemento aij de una matriz cuadrada A de orden nxn, al producto entre el menor complementario Mij y el resultado de la potencia (-1)i+j. 70
  • 71. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software En símbolos: Matemática III Aij = (-1)i+j . Mij La expresión (-1)i+j permite determinar el signo del menor complementario. Siguiendo con nuestro ejemplo anterior, los cofactores o adjuntos de cada elemento de la matriz A dada, son: A11  (1)11 .M 11  (1) 2 . 0 6 9 A12  (1)1 2 .M 12  (1) 3 . 2 6 5 9 4 3 9 1 A22  (1) 2 2 .M 22  (1) 4 . A23  (1) 23 .M 23  (1) 5 . A31  (1) 31 .M 31  (1) 4 . 4  A33  (1) 33 .M 33  (1) 6 . 1 3  1 3 2 6 2 0 1 9 1 1 3 5  9 1 4 5 4 3  0 6 A32  (1) 3 2 .M 32  (1) 5 . 2 6 5 9 1 4 5 1 2 0  1 3 5 9  1 2 0 A13  (1)13 .M 13  (1) 4 . A21  (1) 21 .M 21  (1) 3 1 5 0 6   1 1 4 5 4 9 3 0 6  1 3 2 6 1 4 2 0 Vistas las definiciones de menor complementario y adjunto de un elemento estamos en condiciones de calcular determinantes de matrices cuadradas. Pero antes damos una definición más: Matriz adjunta Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A y se la representa adj(A), a la matriz cuyos elementos son los adjuntos de cada uno de los elementos de la matriz At. 71
  • 72. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software  adj ( A)  (1) i  j . A ji  Matemática III Cálculo de un determinante Si la matriz A es de orden 1x1 entonces el determinante de A es el valor del elemento a11. A  a11   A  a11 Si A es una matriz cuadrada de orden nxn, el determinante de A es la suma del producto entre cada elemento de una fila (o columna) de la matriz por sus respectivos adjuntos. En símbolos: i n i n i 1 i 1 A   aik Aik   aik (1) i  k .M ik Si en cambio queremos calcular el determinante por los adjuntos de los elementos de una fila determinada, la expresión simbólica es: j n j n j 1 j 1 A   a kj Akj   a kj (1) k  j .M kj En el ejemplo que estamos analizando, el cálculo del determinante de A queda expresado por: a) Desarrollamos por los adjuntos de una fila cualquiera, por ejemplo la fila 2 j 3 j 3 j 1 j 1 A   a 2 j A2 j   a 2 j (1) 2 j .M 2 j Los adjuntos de cada a2j son: A21  (1) 21 .M 21  (1) 3 4 3 9 1 A22  (1) 2 2 .M 22  (1) 4 . A23  (1) 23 .M 23  (1) 5 .  1 3 5 1 1 4 5 9 4 3 9 1  1 3 5  1 1 4 5 9 72
  • 73. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Entonces : Matemática III j 3 A   a 2 j A2 j j 1 A  a21. A21  a22 . A22  a23. A23 Reemplazamos por los valores correspondientes: A  2.(1). 4 3 9 1  0. 1 3 5 1  (6).(1). 1 4 5 9 Como el segundo término de la suma está multiplicado por cero, nos queda: A  2.(1). 4 3 9 1  (6).(1). 1 4 5 9 Ahora debemos calcular cada uno de los determinantes 2x2 que se encuentran en cada adjunto, para ello utilizaremos los adjuntos de los elementos de una fila, por ejemplo la fila 1, en cada uno: A  2.(1).[4.(1)11 .1  3.(1)12 .9]  (6).(1).[(1).(1)11 .9  4.(1)12 .5] Cada uno de los corchetes es el desarrollo por los adjuntos de los elementos de la fila 1 de cada uno de los determinantes de orden 2x2 dados. La aplicación sucesiva de este método nos permite llegar al cálculo de un determinante de orden 1x1. Resolvemos los cálculos paso a paso: A  2.(1).[4.(1) 2 .1  3.(1) 3 .9]  (6).(1).[(1).(1) 2 .9  4.(1) 3 .5] A  2.[4.1.1  3.(1).9]  6.[(1).1.9  4.(1).5] A  2.[4  3.(9)]  6.[(9)  4.(5)] A  2.[4  27]  6.[9  20] A  2.(23)  6.(29) 73
  • 74. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III A  46  174 A  128 Actividad 40 Calcular los siguientes determinantes: a) 2 5 6 3 0 1  1 b) 7  2 0  0 0 0 2  c) 3 1 2 9 0 0 11 1 5 3 6 8 9  7 7 21 Propiedades de los determinantes Para toda matriz cuadrada A, se cumple que: 1) Si son ceros todos los elementos de una fila (o columna) de A, entonces: A 0 Actividad 41 Dado el siguiente determinante verificar la propiedad anterior: 0 2 5 A0 1 4 0 3 3 2) Si dos filas (o columnas) de A son iguales, entonces: A 0 74
  • 75. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 42 Dado el siguiente determinante verificar la propiedad anterior: 21 2 5 A  2 1 4 21 2 5 3) Si A es triangular superior (o inferior) entonces su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Actividad 43 Dado el siguiente determinante verificar la propiedad anterior: 1 A 0 0 2 5 8 4 0 5 4) Si B es la matriz que se obtiene intercambiando dos filas (o columnas) de A entonces: A  B 5) Si B es la matriz que se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de una fila (o columna) de A por el mismo número k, entonces: B  k. A 6) El determinante del producto de dos matrices de orden nxn es el producto de sus determinantes. Es decir: A.B  A . B 7) Si B es la matriz que se obtiene sumando a una fila (o columna) de A el múltiplo de otra fila (o columna), entonces sus determinantes son iguales: B  A 75
  • 76. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Otra forma de calcular determinantes Para calcular un determinante 2x2 se resta el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria, en ese orden. 3 2 5 7 3 2 5 7 3 2 5 7  3.7  2.5  21  10  11 Para calcular un determinante 3x3, se aplica la llamada Regla de Sarrus, que consiste en ampliar el determinante dado repitiendo a continuación de la tercera fila, la primera y la segunda en ese orden. Luego:  se suman los productos de la diagonal principal y las dos diagonales paralelas a ella (1)  se suman los productos de la diagonal secundaria y las dos diagonales paralelas a ella (2)  se hace la resta entre (1) y (2) Por ejemplo: Calcular el siguiente determinante 3x3: 1 2 1 A  2 0 2 0 1 1 Según esta regla, a continuación de la fila 3 agregamos la fila 1 y a continuación la fila 2: 1 2 1 2 0 A 0 1 1 2 1 2 1 2 0 2 76
  • 77. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III A continuación marcamos la diagonal principal y sus paralelas, todas formadas por tres elementos: 1 2 1 2 0 A 0 1 1 2 1 2 1 2 0 2 En las diagonales marcadas los productos formados son: 1.0.1 -2.1.(-1) 0.2.2 Cuya suma es: 1.0.1+(-2).1.(-1)+0.2.2 = 0+2+0=2 Ahora marcamos la diagonal secundaria y sus paralelas: 1 2 1 2 0 A 0 1 1 2 1 2 1 2 0 2 En las diagonales marcadas los productos formados son: (-1).0.0 2.1.1 1.2.(-2) Cuya suma es: (-1).0.0+2.1.1+1.2.(-2)= 0+2-4 = 2-4= -2 El valor del determinante será la resta entre las sumas parciales halladas: A  2  (2) A  22 A 4 77
  • 78. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 44 Hallar el valor de x en cada caso: a) b) c) 3 x 2 1 0 x 1 3 2 1 x 2  26 7 7x 3 x d) 0 x 5 2.x 99  60 0 0 x 1 Rango de una matriz Se llama rango de una matriz al orden mayor del menor complementario distinto de cero. Si el determinante de una matriz es distinto de cero entonces el rango de la misma coincide con su orden. Si una matriz tiene una fila (o una columna) de elementos iguales a cero entonces su rango será menor que su orden. Por ejemplo: a) Sea la matriz A de orden 2x2 2 5  A  3  1    Formamos todos los menores complementarios de la misma. Recordemos que un menor complementario es el determinante que se obtiene suprimiendo fila y columna a la que pertenece el elemento asociado, así tenemos que: M 11  1  1 M 12  3  3 M 21  5  5 M 22  2  2 A  17 78
  • 79. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Observamos que todos los menores de orden 1x1 son distintos de cero y además el determinante de la matriz A también es distinto de cero, entonces decimos que el rango de la matriz A es 2 y lo simbolizamos: r(A)=2 b) Sea la matriz A de orden 3x3:  1  2 0   A 3 5 0  1 2 0   Podemos ver que al tener una columna cuyos elementos son nulos el determinante de la misma vale cero: A 0 Por lo tanto su rango es menor que tres: r(A)<3 Entonces deberemos hallar menores complementarios de orden 2 y ver si al menos uno es distinto de cero: Sea por ejemplo el menor: M 13  3 5 1 2  3.2  (1).5  6  (5)  6  5  11 M 13  0 Entonces el rango de la matriz A es 2, pues hemos encontrado un menor complementario de orden 2x2 distinto de cero. Actividad 45 Hallar el rango de las siguientes matrices: 1  A  2 0  2  B  1 2  1 2   2 4 0 5  3 5  0 2 1 1  79
  • 80. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Una aplicación del cálculo de determinantes es el que permite hallar la matriz inversa. Si A es una matriz cuadrada de orden nxn y su determinante es distinto de cero entonces existe la matriz inversa A-1 que resulta ser: A1  1 . adj ( A) A Si existe A-1 se dice que A es inversible. O también, una matriz A es inversible si su rango es igual a su orden: Dada A de orden nxn, si r(A)=n entonces A es inversible. Por ejemplo: Sea la matriz cuadrada A de orden 2x2:  1 2 A  3 0    Hallar la matriz A-1 Para ello calcularemos primero su determinante por cualquiera de los métodos vistos: A 1 2 3 0 A  (1).0  2.3 A  06 A  6 Como el determinante es distinto de cero, entonces existe A-1. Para hallarla debemos obtener la matriz traspuesta de A:   1 3 At    2 0    A continuación hallamos cada uno de los adjuntos de sus elementos: 80
  • 81. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software =(-1)1+1.0 = 1.0 = 0 Matemática III At11 At12=(-1)1+2 . 2 = (-1)3.2=(-1).2 = -2 At21=(-1)2+1.3 =(-1)3.3= (-1).3 = -3 At22 = (-1)2+2.(-1)= (-1)4.(-1) = 1.(-1) = -1 Armamos con los adjuntos hallados la matriz adj(A):  0 2  adj ( A)     3 1  Y aplicamos la definición de A-1 : A1  1 adj ( A) A A 1  1  0  2   (6)   3  1    1  0  2  A 1    6   3 1   1 1    0.( )  2.( )  6 6  A 1   1 1    3.( )  1.( )   6 6    0 1 A  1  2 1  3 1  6 Actividad 46 Verificar que se cumple que A.A-1 = A-1.A = I Actividad 47 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales: a) A.X=B , siendo: 81
  • 82. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  1 2 A   5 3    1 B  0   b) X.C=D , siendo: 1 2 3   C  1 2 4   0 3  1   D  1 2 0 Una aplicación interesante… Una aplicación interesante del producto de matrices es la criptografía. La criptografía estudia las formas de poner en clave un mensaje de modo tal que pueda ser descifrado solo por aquel que posea la clave para hacerlo. Por ejemplo, si queremos escribir en clave el siguiente mensaje: ESTUDIEMOS MUCHO PARA EL PARCIAL, haremos lo siguiente:  Enumeramos las letras del alfabeto y reemplazamos cada letra del mensaje por el valor que le corresponde: E S T 5 20 21 P U D I E M O S 22 4 9 5 13 16 20 M U C H O P A R A 13 22 3 8 16 17 1 19 1 E L 5 12 A R C I A L 17 1 19 3 9 1 12  Formamos con los números asociados a cada letra grupos de igual cantidad de letras, respetando el orden en que aparecen. Tenemos 28 letras entonces podemos agrupar de a 2, de a 4, de a 7, etc. Agrupemos de a cuatro letras, por ejemplo, entonces obtenemos los siguientes conjuntos de valores: (5,20) (21, 22) (4, 9) (5, 13) (16, 20) (13, 22) (3, 8) (16, 17) (1, 19) (1, 5) (12, 17) (1, 19) (3, 9) (1, 12)  Con los conjuntos formados armamos una matriz que tiene a cada uno de ellos como columnas, por lo tanto, dicha matriz será de orden 2x14: 82
  • 83. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  5 21 4 5 16 13 3 16 1 1 12 1 3 1     20 22 9 13 20 22 8 17 19 5 17 19 9 12   Elegimos una matriz inversible de orden 2x2, cuyos elementos sean todos mayores o iguales que 0 y cuyo determinante valga 1 o -1, sea por ejemplo la siguiente: 3 5   4 7  Multiplicamos la matriz inversible 2x2 por la matriz de los valores de las letras 2x14 y hallamos la matriz con la clave:  3 5   5 21 4 5 16 13 3 16 1 1 12 1 3 1  115 173 57 80 148 149 49 133 98 28 121 98 54 63    .    4 7   20 22 9 13 20 22 8 17 19 5 17 19 9 12   90 130 44 62 112 114 38 100 78 22 92 78 42 50   La matriz hallada contiene el mensaje en clave. Dicha matriz se lee por columnas, por lo tanto, el mensaje es: 115, 90, 173, 130, 57, 44, 80, 62, 148, 112, 149, 114, 49, 38, 133, 100, 98, 78, 28, 22, 121, 92, 98, 78, 54, 42, 63, 50 Actividad 48 Se sabe que la siguiente matriz se usó para codificar un mensaje: 1 2 1   A   2 1 0 0 1 1   Se pide: a) Decodificar el siguiente mensaje: 66, 30, 41, 39, 48, 13, 47, 23, 29, 47, 53, 14, 44, 47, 18, 52, 23, 30, 25, 7, 21. b) Escribir en clave el siguiente ,mensaje: TODOS SOMOS GENIALES. 83
  • 84. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 9 Sistemas de ecuaciones lineales En guía anterior hemos trabajado con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y utilizado un método en particular, el de reducción por sumas o restas, para hallar la matriz inversa. En esta guía veremos someramente el tratamiento para resolver sistemas de ecuaciones en general, es decir, con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. Para ampliar el tema disponen de bibliografía para consultar y de ser necesario no duden en plantearle al profesor a cargo sus inquietudes sobre lo que han consultado. Se llama sistema de m ecuaciones con n incógnitas (o simplemente sistema mxn) a todo sistema de ecuaciones lineales de la forma: a11.x1+a12.x2+...+a1n.xn=b1 (E1) a21.x1+a22.x2+...+a2n.xn=b2 (S) primera ecuación segunda ecuación (E2) ........................................ am1.x1+am2.x2+...+amn.xn=bm emésima ecuación (Em) En el cual:  Los aij son llamados coeficientes y los bi son llamados términos independientes. Todos ellos son números reales.  Las expresiones x1, x2,..., xn son llamadas incógnitas y los subíndices determinan el número de ellas.  Cada una de las ecuaciones se simboliza a través de la expresión E1, E2,...., Em. Por ejemplo: -x1+7.x2+2.x3 = -9 (S) 2.x1-3.x2+x3 = 1 4.x1+3.x3 =0 (S) es un sistema 3x3, pues tiene tres ecuaciones de tres incógnitas cada una. 84
  • 85. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Un sistema de ecuaciones mxn se llama homogéneo si todos sus términos independientes son nulos. En caso contrario se denomina no homogéneo. Actividad 49 Dados los siguientes sistemas de ecuaciones determinar cuáles son homogéneos. -2.x1+x2-3.x3 = 0 a) x1-4.x2+x3 = 1 8.x1-3.x2+9.x3= 4 b) x+y=0 2.x-3.y= 0 -2.x + 3.y – 8.z = 1 c) 4.x + y – 4.z = 0 x–y+z=0 3.x + 2.y – z = 0 d) -2.x + y -8.z = 0 x – 4.y – 5.z = 0 x–y+z=0 Se llama solución general de un sistema de ecuaciones (o simplemente solución) al conjunto de valores obtenidos para cada una de las incógnitas, que satisface a cada una de las ecuaciones dadas cuando se reemplazan cada una de las incógnitas por ellos. Al conjunto de estos valores se lo puede representar como el conjunto ordenado (α1, α2,..., αn) tal que α1 es el valor que corresponde a x1, α2 es el valor que corresponde a x2 y así sucesivamente. 85
  • 86. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Ejemplo 1: 1 1 5 5 Matemática III   a) La terna ordenada  , , 0  es una solución del sistema: (S1) 2.x+3.y-z=1 -x+y-3.z=0 Pues: 1 1 2.  3.  0  1 5 5 2 3  0 1 5 5 5 1 5 Y también: 1 1   00 5 5 b) La terna ordenada (-3, 3, 2) es otra solución del sistema S1, pues: 2.(-3)+3.3-2= 1 -6 + 9 – 2 = 1 3–2=1 Y también: -(-3)+ 3 -3.2 = 0 3+3–6=0 6–6=0 c) La terna ordenada (-1, 6, 8) no es solución del sistema S1 , pues: 2.(-1) + 3.6 – 8= 1 -2 + 18 – 8 = 1 8≠1 Es suficiente que no satisfaga a una de las ecuaciones para afirmar que (-1, 6, 8) no es solución del sistema. 86
  • 87. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Ejemplo 2: Matemática III El par ordenado (0,0) es solución del sistema: (S2) x+y=0 -2.x + y = 0 Pues: 0+0=0 Y también: -2.0 + 0 = 0 Observemos que el sistema dado es homogéneo y la solución (0,0) es por lo menos una solución del sistema S2. A esta solución se la llama solución trivial del sistema. En este ejemplo la solución trivial es la única solución del sistema. Ejemplo 3: a) La terna ordenada (0, 0, 0) es solución del sistema: (S3) x+y–z=0 3.x + 2.y + z = 0 Pues: 0+0–0=0 Y también: 3.0 + 2.0 – 0 = 0  9 3 b) La terna ordenada   ,3,  es otra solución del sistema S3:  4 4 Pues: 9 3  3  0 4 4 Y también: 87
  • 88. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III 3  9 3.     2.3   0 4  4 27 3  6  0 4 4 Por lo tanto estamos en condiciones de afirmar que: Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo admite por lo menos la solución trivial (0, 0, ..., 0) Y hablando de soluciones de un sistema de ecuaciones, podemos clasificarlo según la tenga o no, y según la cantidad de las mismas que posea. Entonces decimos que: Un sistema de ecuaciones es compatible si tiene solución. Caso contrario se dice que es incompatible. Un sistema será compatible determinado si la solución del mismo es única. Un sistema será compatible indeterminado si existen infinitas soluciones al mismo. Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Sean por ejemplo los sistemas: (S1) x1 + x2=3 -2.x1 +3.x2=5 (S2) 2.x1 + 2.x2 = 6 x1 + 6.x2 = 14 88
  • 89. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  4 11  El par ordenado  ,  es solución de S1 y también de S2, pues: 5 5  Reemplazamos en S1: 4 11 15   3  3 5 5 5 4 11 8 33 25 2.  3.  5    5 5 5 5 5 5 5 Las igualdades se cumplen. Reemplazamos en S2: 4 11 8 22 30 2.  2.  6   6 6 5 5 5 5 5 4 11 4 66 70  6.  14    14   14 5 5 5 5 5 Las igualdades se cumplen.  4 11  Por lo tanto el par  ,  satisface ambos sistemas y decimos que estos son equivalentes. 5 5  La equivalencia de sistemas de ecuaciones nos permite resolver sistemas con varias variables a través de sistemas más sencillos que posean el mismo conjunto solución. De todos los sistemas equivalentes que podríamos encontrar nos interesan especialmente aquellos en los cuales a partir de la primera ecuación obtenemos ecuaciones con por lo menos una incógnita menos que la anterior. Al sistema equivalente así obtenido se lo llama sistema escalonado. Por ejemplo: Los sistemas S1 y S2 dados a continuación son equivalentes: (S1) 3.x1 + 2.x2 – x3 = -5 x1 + 2.x2 – 3.x3=0 9.x1 – x2 + 2.x3 = -1 (S2) x1 + 2.x2 – 3.x3 = 0 -4.x2 + 8.x3 = -5 -36.x3 = 91 89
  • 90. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Ambos sistemas tienen el mismo conjunto solución. Dicho conjunto es la terna ordenada 137 91   1 ,  .  , 36 36 36   Además en S2 cada ecuación a partir de la primera tiene una incógnita menos, por lo cual S2 es un sistema escalonado que resulta más sencillo de resolver que S1. La solución se obtiene resolviendo el sistema S2 del siguiente modo: De la tercera ecuación despejamos x3 y obtenemos: x3 =  91 36 En la segunda ecuación reemplazamos x3 por su valor y obtenemos la siguiente ecuación en la que la única incógnita es x2 :  91  -4.x2 + 8.    = -5  36  -4.x2 - 728 = -5 36 Despejamos x2: -4.x2 = -5 + x2 = 728 36 548  1  .   36  4  x2 =  137 36 En la primera ecuación reemplazamos a las incógnitas x2 y x3 por sus respectivos valores y obtenemos una nueva ecuación en la que la única incógnita es x1:  137   91  x1 + 2.    - 3.    = 0  36   36  x1 - 274 273 + =0 36 36 90
  • 91. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software 1 x1 =0 36 Matemática III Despejamos x1: x1 = 1 36 ¿Cómo puede obtenerse el sistema de ecuaciones S2 a partir del sistema de ecuaciones S1? Para responder a esta pregunta aceptaremos sin demostrar que: Dado un sistema de ecuaciones lineales S se obtiene otro sistema S’, equivalente al dado, a través de las siguientes transformaciones:  Intercambiar el orden de las ecuaciones.  Cambiar una ecuación por el producto entre ella y un número real distinto de cero.  Cambiar una ecuación por la suma o resta entre ella y otra de las ecuaciones del sistema. Las transformaciones detalladas en el cuadro se llaman operaciones elementales entre ecuaciones de un sistema. A la combinación de las operaciones elementales se le llama combinación lineal de ecuaciones. Aplicamos las operaciones para pasar de S1 a S2: (S1) 3.x1 + 2.x2 – x3 = -5 E1 x1 + 2.x2 – 3.x3=0 E2 9.x1 – x2 + 2.x3 = -1 E3 Para las operaciones que aplicaremos tomaremos como pivote la ecuación que tenga coeficiente principal igual a 1. Además deberemos observar que en cada ecuación las incógnitas se encuentren en el mismo orden. En E2 observamos que el coeficiente de x1 es el número 1. Entonces intercambiamos la ecuación E1 con la ecuación E2: 91
  • 92. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III (S’1) x1 + 2.x2 – 3.x3=0 E’1←E2 (de este modo anotamos la operación elemental hecha) 3.x1 + 2.x2 – x3 = -5 E’2 ←E1 9.x1 – x2 + 2.x3 = -1 (E3) Tomaremos como pivote la ecuación E’1, por lo tanto esta ecuación no sufrirá cambios a lo largo del procedimiento: (S’’1) x1 + 2.x2 – 3.x3 = 0 E’1 -4.x2 + 8. x3 = -5 E’’2 ←E’2 – 3.E’1 (E’’2 resulta ser combinación lineal entre E’2 y E’1) –19. x2 + 29.x3 = -1 E’3 ← E3 – 9.E’1 Conseguimos reducir en la segunda y tercera ecuación una incógnita (x1). A partir de este momento quedan fijas las ecuaciones E’1 y E’’2. Para reducir la ecuación E’3 usaremos de pivote E’’2: (S’’’1) x1 + 2.x2 – 3.x3 = 0 E’1 -4.x2 + 8. x3 = -5 E’’2 -36.x3 = 91 E’’3 ← 4.E’3 – 19.E’’2 Pero S’’’1 es el sistema S2 dado en el ejemplo. Por lo tanto, a través de las transformaciones realizadas vemos como se ha pasado del sistema S1 al equivalente S2. Actividad 50 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando las operaciones elementales que sean necesarias: a) 3.x + 2.y – 5.z = 4 2.x – 3.y – 9.z = -5 -2.y + 5.z = 7 92
  • 93. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software b) 5.x + 2.y + 3.z + 9.w = -6 Matemática III x + z – 5.w = 27 5.x + 2.y – 3.z + 2.w = 4 c) x + y – z + w – 5.t = 5 y + z + 9.w – t = 8 -3.x + 2.y – 2.z + w + 2.t = 7 93
  • 94. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 10 Resolución matricial de sistemas de ecuaciones lineales mxn Recordamos que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas (o simplemente sistema mxn) es todo sistema de ecuaciones lineales de la forma: a11.x1+a12.x2+...+a1n.xn=b1 (S) primera ecuación (E1) a21.x1+a22.x2+...+a2n.xn=b2 segunda ecuación (E2) ........................................ am1.x1+am2.x2+...+amn.xn=bm emésima ecuación (Em) El sistema puede escribirse como el producto entre una matriz A de orden mxn , formada por los coeficientes aij, llamada matriz asociada a un sistema de ecuaciones y una matriz X de orden nx1 formada por las incógnitas, igualado a la matriz B de orden mx1 formada por los términos independientes, del modo siguiente: Sean A, X y B las matrices detalladas a continuación:  a11  a A   21  ...   am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n   ... a2 n  ... ...   ... amn   x1    x X  2   ...     xn   b1    b B 2   ...     bm  Escribimos el sistema S:  a11  a (S)  21  ...   am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n   x1   b1      ... a2 n   x2   b2  .  ... ...   ...   ...      ... amn   xn   bm  94
  • 95. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Antes de resolver un sistema de ecuaciones matricialmente procederemos a ampliar la matriz de los coeficientes, agregando como última columna, los elementos de la matriz de los términos independientes separada por una línea vertical. A la matriz así obtenida la llamamos matriz ampliada del sistema:  a11  a A '   21  ...   am1 a12 ... a1n a22 ... a2 n ... ... am 2 ... ... amn b1   b2  ...   bm  El procedimiento para resolver el sistema consiste en obtener una matriz ampliada equivalente a la original, en la que cada fila contenga un cero más a partir de la primera fila, obteniendo de este modo una matriz escalonada que permita hallar fácilmente el valor de las incógnitas. Para obtener matrices equivalentes a partir de una matriz dada, aplicamos las siguientes operaciones:  Intercambiar el orden de las filas (o columnas).  Cambiar una fila (o columna) por el producto entre ella y un número real distinto de cero.  Cambiar una fila (o columna) por la suma o resta entre ella y otra de las filas (o columnas) de la matriz. Las transformaciones detalladas en el cuadro se llaman operaciones elementales entre filas (o columnas) de una matriz. A la combinación de las operaciones elementales se le llama combinación lineal entre filas (o columnas) de la matriz. Método de Gauss Este método consiste en obtener una matriz escalonada equivalente a la matriz ampliada asociada a un sistema de ecuaciones lineales aplicando operaciones elementales sobre una fila (o columna). Veamos un ejemplo de aplicación del método de Gauss (no haremos demostración del mismo): Sea el sistema: 95
  • 96. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software x+y+z=2 Matemática III 3.x – 2.y – z = 4 -2.x + y + 2.z = 2 Escribimos la matriz asociada al sistema: 1 1 1    3 2 1  2 1 2    La ampliamos con los términos independientes:  1 1 1 2    3 2 1 4   2 1 2 2    Aplicaremos las operaciones elementales sobre filas: 1 1 1 2 F1 3 -2 -1 4 F2 2 F3 -2 1 2 Usaremos como pivote la fila F1 por tener primer elemento igual a 1, esta fila permanecerá igual a través de las transformaciones y buscaremos que el resto de la columna a la cual pertenece este elemento sean ceros: 1 1 1 2 F1 0 -5 -4 -2 F’2←F2-3.F1 0 3 F’3 ←F3+2.F1 4 6 Usaremos de pivote la fila F’2 para obtener un cero más en la columna dos: 1 1 1 2 F1 0 -5 -4 -2 F’2 0 0 F’’3←5.F’3+3.F’2 8 24 96
  • 97. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Hemos obtenido una matriz escalonada cuyo sistema de ecuaciones asociado es: x+y+z=2 -5.y – 4.z = -2 8.z = 24 Resolviendo este sistema obtenemos el conjunto solución: (1, -2, 3) Actividad 51 Resolver el sistema de ecuaciones escalonado anterior y verificar que (1, -2, 3) es solución del mismo. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales expresado matricialmente Una vez hallada la matriz ampliada escalonada podemos clasificar el sistema teniendo en cuenta que:  Si en la última fila de la matriz escalonada todos los elementos son ceros excepto el correspondiente al término independiente, el sistema de ecuaciones es incompatible.  Si en la última fila de la matriz escalonada todos los elementos son ceros incluso el correspondiente al término independiente, se puede eliminar dicha fila obteniéndose una matriz con más columnas que filas, por lo cual el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones y resulta ser compatible indeterminado. La solución queda expresada en función de alguna de las incógnitas dadas.  Si en la última fila de la matriz escalonada los primeros elementos son ceros, menos el último y el que corresponde al término independiente, el sistema es compatible determinado. En el ejemplo desarrollado anteriormente, en la fila 3 obtenemos ceros en la primera y segunda columna, siendo la tercera y cuarta no nulas, por lo cual el sistema es compatible determinado. 97
  • 98. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 52 Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss: x1 + x2 + x3 = 12 a) x1 +3.x2 +5.x3 – x4 = 47 2.x1 + 3.x2 + 4.x3+ x4 = 46 3.x1 + 5.x2 – 7.x3 + x4 = 7 2.x1 - x2 + x3 = -1 b) 2.x1 -2.x2 +2.x3 =-8 3.x1 - 2.x2 + 2.x3= -5 x1 - 2.x2 + 2.x3 = -11 x1 - x2 + x3 – 2.x4= 4 c) 3.x1 +2.x2 +x3 – x4 = 1 4.x1 + x2 + 2.x3- 3. x4 = 5 10.x1 + 5.x2 + 4.x3 – 5. x4 = 7 -4.x1 – 6.x2 – 2.x4 = 5 98
  • 99. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Guía de trabajo nº 11 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales nxn En la Guía de trabajo anterior vimos el método de Gauss para resolver cualquier sistema de ecuaciones mxn. En esta guía veremos que si el sistema de ecuaciones lineales es cuadrado, es decir tiene tantas ecuaciones como incógnitas, puede resolverse utilizando determinantes siempre que A  0 , siendo A el determinante de la matriz A asociada al sistema. Regla de Cramer Dado el sistema de ecuaciones lineales A.X = B, con la matriz asociada A de orden nxn, la matriz de las incógnitas X de orden nx1 y la matriz de los términos independientes B de orden mx1, para hallar el valor del elemento xi de la matriz X se procede a calcular el cociente entre el determinante que surge de reemplazar en la matriz A, la columna que corresponde a dicha incógnita por la columna de los términos independientes y el determinante de la matriz A. a11 a21 ... b1 ... b2 ... a1n ... a2 n ... xi  a12 a22 ... ... ... am1 am 2 ... ... bm ... ... amn a11 a12 ... a1n a21 ... a22 ... ... a2 n ... ... am1 am 2 ... amn Este cociente puede escribirse: xi  Axi A Para clasificar el sistema de ecuaciones tendremos en cuenta que:  Si el determinante de A es distinto de cero el sistema es compatible.  Si el determinante de A es cero y el determinante de xi es distinto de cero el sistema es incompatible. 99
  • 100. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III  Si el determinante de A y el de xi son iguales a cero el sistema es compatible indeterminado. Veamos un ejemplo sencillo: Sea el sistema A . X = B con:  3 2 A   1 7   x X    y  3  B  8 Calculamos en primer lugar cada uno de los determinantes, el de la matriz A y el de cada una de las incógnitas: 3 2  3.7  (1).2  21  2  23 1 7 A Ax  Ay  3 2  3.7  2.8  21  16  37 8 7 3 3 1 8  3.8  (3).(1)  24  3  21 Por ser A  0 el sistema es compatible. Armamos entonces el cociente que nos permitirá hallar el valor para cada una de las incógnitas: x Ax A x y y 37 23 Ay A 21 23  37 21  Entonces la solución del sistema es el par ordenado   ,  .  23 23  100
  • 101. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III Actividad 53 Resolver utilizando la Regla de Cramer y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) -3.x + y + z = -6 x – 3.y + 2.z = 7 2.x + y – z = 2 b) -3.x1 + x2 +x3 – x4 = 0 x1 – 3.x3 + 2.x4 = -6 2.x1 + x2 – x3 = 3 x2 – x4 = 3 c) x1 + x2 – 2.x3 = 4 2.x1 – x3 = 2 3.x1 + x2 – 3.x3 = 5 Actividad 54 Resolver los sistemas de ecuaciones de la actividad 48 de la Guía de trabajo n° 9 utilizando el método de Gauss y la Regla de Cramer y clasificarlos. Actividad 55 Resolver los siguientes problemas planteando sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver los sistemas podrán aplicar el método de Gauss o la Regla de Cramer. 1) Un fabricante elabora dos productos, A y B. Por cada una de las unidades de A que se vendan se obtiene una utilidad de $8, y de $11 por cada unidad vendida de B. Por experiencias pasadas, se sabe que puede venderse 25% más de A que de B. Para el 101
  • 102. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III siguiente año el fabricante desea obtener utilidades totales de $42000. ¿Cuántas unidades de cada producto deben vender? 2) Un fabricante elabora tres productos, A, B y C. Las utilidades por cada unidad que se vende de A, B y de C son de $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de fabricación de cada unidad de A, B y C son $4, $5 y $7 respectivamente. Para el siguiente año, deberá fabricarse y venderse un total de 11000 de los tres productos y se debe obtener una utilidad total de $25000. Si los costos totales deben ser de $80000, ¿cuántas unidades de cada uno de los productos se tienen que fabricar el año siguiente? 3) Una empresa tiene plantas para fabricar escritorios en la costa este y oeste de un cierto país. En su planta de la costa oriental, los costos fijos son de $16000 anuales y los costos de fabricación de cada escritorio son de $90. En la planta de la costa occidental, los costos fijos son de $20000 anuales, y los costos de fabricación de cada escritorio, de $80. Para el siguiente año la compañía desea fabricar un total de 800 escritorios. Determinar las órdenes de producción de cada planta para el año siguiente, de manera que los costos totales de cada fábrica sean iguales. 4) A) una fábrica de automóviles produce dos modelos. El primero requiere una hora de mano de obra para la pintura y media hora de mano de obra para el pulido; el segundo requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada una de las horas que trabaja la línea de ensamble, existen 100 horas de mano disponibles para pintura, y 80horas, para pulido. ¿Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar cada hora si se utilizan todas las horas disponibles de mano de obra? B) supóngase que cada uno de los automóviles del primer tipo requiere de 10 dispositivos y 14 mecanismos, y que cada automóvil del segundo tipo requiere 7 dispositivos y 16 mecanismos. La fábrica puede obtener 800 dispositivos y 1430 mecanismos por hora. ¿Cuántos automóviles de cada modelo se pueden fabricar utilizando todas las partes disponibles? Respuestas a los problemas: 1) A= 2500 B= 2000 2) A= 2000 B= 4000 3) E= 400 O= 400 b) a) A= 40 B= 60 C= 5000 b) A= 45 B= 50 102