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Matemática ii parte v

  1. 1. UNIVERSIDAD PROVINCIAL DE EZEIZAMATEMÁTICA II PARTE V AÑO 2012 Prof. Marta N. González Chavarría Prof. Julio R. Brisuela 1
  2. 2. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VGuía de trabajo nº 21Sistemas de numeraciónMartin Gardner (Tulsa, Oklahoma, 21 de octubre de 1914 – Norman, Oklahoma, 22 de mayo de2010) fue un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular por suslibros de matemática recreativa. Tomamos de una de sus obras llamada Matemática paradivertirse, 1° edición, 3° reimpresión, Buenos Aires: Juegos & Co., 2006, el acertijo aritméticotitulado “La barra de plata” (página 20 de la obra citada) para introducirnos en el estudio delos sistemas de numeración. LA BARRA DE PLATAUn buscador de plata no podía pagar la renta del mes de marzo de su habitación por adelantado. Teníauna barra de plata pura de 31 centímetros de largo, de modo que hizo con su casera el siguientearreglo: él cortaría la barra en trozos más pequeños; el primer día de marzo le daría a la casera un cen-tímetro de la barra, y cada día subsiguiente le agregaría otro centímetro más. Ella conservaría la plataen prenda. A fin de mes, el buscador esperaba estar en condiciones de pagarle la renta completa, yella le devolvería los trozos de la barra de plata.Marzo tiene 31 días, de modo que una manera de cortar la barra de plata era dividirla en 31partes, cada una de un centímetro de largo. Pero como era bastante laborioso cortarla, elbuscador deseaba cumplir el acuerdo dividiéndola en el menor número posible de partes. Porejemplo, podía darle a la casera un centímetro el primer día, otro centímetro el segundo día, y eltercer día podía entregarle un trozo de tres centímetros y recibir a cambio los dos trozos anterioresde un centímetro.Suponiendo que las porciones de barra fueran entregadas y devueltas de esta manera, ve si puedesdeterminar el menor número posible de partes en las que el buscador debe dividir su barra deplata.SOLUCIÓNEl buscador puede cumplir el trato cortando su barra de plata de 31 centímetros en cinco partesde 1, 2, 4, 8 y 16 cm de longitud. El primer día le da a la casera el pedazo de 1 cm, el díasiguiente ella se lo devuelve y él da el pedazo de 2 cm; el tercer día él vuelve a darle el pedazo de1 cm, el cuarto día ella le devuelve ambas piezas y él le da el pedazo de barra de plata de 4 cm. Al 2
  3. 3. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte Vdar y devolver de esta manera, el buscador puede agregar un centímetro por día y cubrir así los31 días del mes.La solución de este problema puede expresarse muy simplemente en el sistema binario de laaritmética. Es un método para expresar números enteros utilizando solamente los dígitos 1 y 0.En los últimos años es un sistema importante porque la mayoría de los ordenadores(computadoras) operan sobre una base binaria.Así es como se escribiría el número 27, por ejemplo, si usamos el sistema binario: 11011¿Cómo sabemos que éste es el 27? La manera de traducirlo a nuestro sistema decimal es lasiguiente: sobre el dígito de la derecha del número binario, escribimos «1». Sobre el dígitosiguiente, hacia la izquierda, escribimos «2»; sobre el tercer dígito hacia la izquierda escribimos«4»; sobre el dígito siguiente, «8», y sobre el último dígito de la izquierda, «16» (ver lailustración). Estos valores forman la serie 1,2, 4, 8, 16, 32...en la que cada número es el dobledel que lo precede. 16 8 4 2 1 11011El paso siguiente consiste en sumar todos los valores que estén sobre los «1» del número binario.En este caso, los valores son 1, 2, 8 y 16 (4 no se incluye porque está sobre un 0). Sumados dan27, de modo que el número binario 11011 es igual al 27 de nuestro sistema numérico.Cualquier número de 1 a 31 puede expresarse de esta manera con un número binario de no más decinco dígitos. Exactamente de la misma manera, puede formarse cualquier número decentímetros de plata, de 1 a 31, con cinco trozos de plata si las longitudes de esas cinco piezasson de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros.La tabla siguiente consigna los números binarios para cada día de marzo. Advertirás que parael 27 de marzo el número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm de plata de la casera estaránformados por las piezas de 1, 2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuánta rapidezpuedes calcular exactamente cuáles piezas de plata sumadas dan la cantidad que correspondeal número de días. 3
  4. 4. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte V Días de MARZO 16 8 4 2 1 1 1 2 1 0 3 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 16 1 0 0 0 0 17 1 0 0 0 1 18 1 0 0 1 0 19 1 0 0 1 1 20 1 0 1 0 0 21 1 0 1 0 1 22 1 0 1 1 0 23 1 0 1 1 1 24 1 1 0 0 0 25 1 1 0 0 1 26 1 1 0 1 0 27 1 1 0 1 1 28 1 1 1 0 0 29 1 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0 31 1 1 1 1 1El texto anterior hace referencia a un sistema de numeración específico, el sistema binario ode base dos. Pero, ¿a qué nos referimos cuando hablamos de un sistema de numeración? Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos llamados dígitos y un conjunto de reglas de formación que nos permite escribir un número dentro del sistema. A la cantidad de símbolos o dígitos se la denomina base del sistema.Así, nuestro sistema de numeración es decimal porque posee diez dígitos para representarnúmeros (del 0 al 9), el binario tiene dos (0 y 1), el octal tiene ocho (del 0 al 7), el hexadecimal 4
  5. 5. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte Vtiene dieciséis (del 0 al F). ¿Si la base de un sistema de numeración es cinco, cuántos dígitostendrá? ¿Cuáles serán?Anoten su respuesta:En el módulo de Matemática I hemos visto en la Guía de trabajo N°1, el Anexo 1, en el que sepresentaba el sistema de numeración hexadecimal, como ejemplo de sistema de numeraciónposicional y los dígitos que lo componen, les sugerimos volver a su lectura para el trabajo quesigue más adelante.Como vemos existen diferentes sistemas de numeración según su base (o conjunto dedígitos). Además, podemos clasificar a un sistema según el valor relativo que toman susdígitos en: sistemas posicionales o no posicionales. Nosotros nos detendremos en lossistemas posicionales, especialmente en aquellos que se usan en el campo computacional,como son el binario, el octal, el hexadecimal y por supuesto nuestro sistema de numeracióndecimal, que tomaremos como sistema de referencia.Recordamos que: Un sistema de numeración es posicional cuando sus dígitos tienen un valor relativo según la posición que ocupan dentro del número.Entonces, por ejemplo, el número 32 y el 23 son diferentes aunque tengan los mismos dígitosya que en uno, el dígito 2 ocupa el lugar de las unidades y en el otro el de las decenas. Ídempara el dígito 3.Hablamos de dígitos y dijimos que eran cada uno de los símbolos que se utilizan pararepresentar números dentro del sistema. Pero, ¿a qué llamamos número?En un sistema de numeración, llamamos número a la expresión formada por un conjunto dedígitos que responden a una regla de formación, cuyo valor absoluto se obtiene por lasumatoria de los valores relativos de cada uno de los dígitos que lo componen.Por ejemplo, en el sistema de numeración decimal, el número 2345, que consta de cuatrodígitos, lo escribimos como:2345= 2x103+3x102+4x101+5x100Recordemos que el exponente indica la posición que ocupa dentro del número cada uno de losdígitos, por ejemplo, el 2 ocupa el lugar de la unidad de mil, de ahí que el exponente es 3, yaque en ella hay 1000 unidades simples, y así sucesivamente, hasta llegar a el exponente 0, queindica la cantidad de unidades simples. Llamamos unidad simple a aquella que no es parte deningún agrupamiento de orden superior a cero. Llamamos agrupamiento de orden superior a,por ejemplo, 1 unidad de mil, ya que tenemos en ella 10 grupos de 10 centenas, a 1 centena 5
  6. 6. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte Ven la que tenemos 10 grupos de 10 decenas y a 1 decena en al que tenemos un grupo de 10unidades simples.Sea ahora el número 178653490876, que consta de doce dígitos, lo escribimos como: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0178653490876= 1x10 +7x10 +8x10 +6x10 +5x10 +3x10 +4x10 +9x10 +0x10 +8x10 +7x10 +6x10A medida que el número tiene más dígitos, aumenta la cantidad de términos en el desarrollopor sus valores relativos y por consiguiente la cantidad de sumandos que lo forman. Si elnúmero está compuesto por n dígitos, tendremos una suma de n términos, escrita delsiguiente modo:N= dn-1x10n-1 + dn-2x10n-2 + … + d3x103 + d2x102 + d1 x101+d0x100Una forma abreviada de escribir esta suma, es a través de un símbolo especial, que se llamasumatoria, que se representa con la letra griega Σ (sigma mayúscula), muy usado enmatemática.En el desarrollo general observamos que los dígitos se identifican a través de subíndices, quevarían de 0 a n-1, al igual que los exponentes de la base del sistema. Estas variaciones sedeclaran en la sumatoria Σ a través de una variable genérica i cuyo valor inicial será 1 y su valorfinal será n, entonces, la suma anterior nos queda:N  i 1 (d (i 1) 10 i n ( i 1) )Siendo d(i-1) uno de los dígitos pertenecientes al conjunto de símbolos del sistema denumeración decimal (uno cualquiera de 0 a 9).Si generalizamos aún más, considerando un sistema de numeración genérico de base b, eldesarrollo de un número en dicho sistema se representa como:N  i1 (d(i -1)  b ) i n (i -1)Siendo d(i-1) cualquier dígito comprendido entre 0 y b-1.Vale aclarar que todo lo enunciado anteriormente sobre escritura de números es paranúmeros enteros, la expresión para números decimales no la utilizaremos en este módulo.No nos detendremos en detallar en qué consisten las reglas de formación de números (excedeal propósito de este módulo), pero sí nos detendremos en detallar cómo se hace el pasaje deun sistema de numeración a otro.En párrafo anterior, dijimos que tomamos el sistema decimal de numeración como sistema dereferencia, es decir, partiremos de números en este sistema, que iremos transformando en susequivalentes en distintas bases, especialmente tomaremos números enteros.Siempre que hagamos un pasaje de un sistema a otro deberemos indicar a qué sistemapertenece el número original y sobre qué base haremos la transformación. Ello se indica 6
  7. 7. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte Vescribiendo como subíndice la base original y la destino como se muestra en el siguienteejemplo: a) Transformar el número 23 en base 10 a su equivalente en base 2. Nos piden hallar el número X en base 2 que cumple la siguiente equivalencia (el símbolo ≡ significa equivalencia) 23(10 ≡ X(2Algunos autores escriben las bases entre paréntesis y otros sin ellos, por lo tanto, se da lasiguiente equivalencia: 23(10 ≡ 23(10) ≡ 2310En el sistema de numeración decimal el número 23 se lee “veintitrés”, expresión que hacereferencia a veintitrés unidades en total, y vimos además que las posiciones relativas queocupa cada dígito proviene de una agrupación por cada 10 unidades de la inmediata inferior ytambién que agrupar significa dividir la cantidad de unidades totales según indica la base delsistema, o sea, en el sistema decimal, dividimos por diez.Por lo tanto, para hacer este pasaje tenemos que realizar una nueva agrupación del total deunidades dadas (23) pero ahora formando grupos de a dos. Esto nos lleva a dividir el númerodado por dos, como se muestra a continuación:23 2① 11Obtenemos 11 grupos de 2 unidades cada uno y nos sobra 1 unidad simple.Al cociente lo volvemos a dividir por 2 obteniendo de este modo 5 grupos formados por losgrupos de 2 unidades obtenidos antes, remarcando siempre los restos obtenidos, queresultarán ser 0 o 1, únicos restos posibles al dividir por 2, hasta que nos quede un cocienteigual a 0.23 2① 1 1 2 ① 5 2 ① 2 2 ⓪ 1 2 ① 0Finalizada la división procedemos a escribir el número desde el último resto obtenido(representa el grupo de mayor orden) hasta el primer resto hallado (representa la cantidad de 7
  8. 8. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte Vunidades simples que no pudieron ser agrupadas), tal como muestra la flecha en la división dearriba.Entonces, el número 23(10 es equivalente al número 10111(2Probemos que el número obtenido en base 2 es el dado en base 10.10111(2= 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x2010111(2= 1x16 + 0x8 +1x4 + 1x2 + 1x110111(2= 16 + 0 + 4 + 2 + 110111(2 ≡ 23(10Actividad 56Pasar los siguientes números expresados en base 10 a sus equivalentes en base 2 y comprobarla equivalencia entre ellos. a) 123(10 b) 87(10 c) 255(10 d) 10(10 e) 32(10Con el mismo criterio trabajado anteriormente, podemos pasar un número en base 10 a base8, si lo dividimos por 8, y a base 16 si lo dividimos por 16. b) Transformar el número 23 en base 10 a su equivalente en base 8. 23 8 ⑦ 2 8 ② 023(10 ≡ 27(8Verificamos: 8
  9. 9. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte V27(8= 2x81 + 7x8027(8= 2x8 + 7x127(8= 16 + 727(8= 23(10 c) Transformar el número 23 en base 10 a su equivalente en base 16. 23 16 ⑦ 1 16 ① 023(10 ≡ 17(16Verifiquen la equivalencia.Actividad 57Pasar los siguientes números expresados en base 10 a sus equivalentes en base 8 y comprobarla equivalencia entre ellos. a) 123(10 b) 87(10 c) 255(10 d) 10(10 e) 32(10Actividad 58Pasar los siguientes números expresados en base 10 a sus equivalentes en base 16 ycomprobar la equivalencia entre ellos. a) 123(10 b) 87(10 9
  10. 10. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte V c) 255(10 d) 10(10 e) 32(10Actividad 59Pasar a base 10 los siguientes números expresados en las bases indicadas. a) 111100001(2 b) A09CD(16 c) 773(8 d) 935(16 e) 101010101010(2 f) 432(5 g) FBBCDE28(16Actividad 60Construir una tabla en la que aparezcan los números del 1 al 15 inclusive, escritos en el sistemadecimal y sus equivalentes en el sistema binario, octal y hexadecimal. 10
  11. 11. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VGuía de trabajo nº 22En la guía anterior hemos pasado un número escrito en el sistema de numeración decimal asus equivalentes en el sistema binario, octal y hexadecimal.Sea ahora el pasaje entre un número escrito en el sistema binario y su equivalente en elsistema octal.Para realizar este pasaje debemos auxiliarnos en el pasaje a base 10, como se muestra en elsiguiente ejemplo:Sea el número 111001(2, queremos encontrar su equivalente en base ocho. Entonces para elloescribimos su equivalente en base 10:111001(2= 1x25 + 1x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20111001(2= 1x32 + 1x16 + 1x8 + 0 + 0 + 1x1111001(2=32 + 16 + 8 + 1111001(2= 57(10Ahora dividimos el número 57(10 por 8, que es la nueva base en que queremos expresar elnúmero dado: 57 8 ① 7 8 ⑦ 0Obtenemos la siguiente equivalencia:57(10= 71(8Por lo tanto, ¿a qué conclusión llegamos?Escriban aquí la conclusión:Este procedimiento se aplica cuando se quiere pasar un número escrito en cualquier base aotro equivalente en cualquier base, entonces siempre nos auxiliamos pasando por la basediez. 11
  12. 12. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VActividad 61Realizar los siguientes pasajes: a) 23F(16 ≡ X(8 b) 721(8 ≡ X(2 c) ABC(16 ≡ X(2 d) 21347(8 ≡ X(16Cuando queremos pasar de un número en base 2 a su equivalente en base 8, o en base 16,existe un procedimiento que evita pasar por su equivalente en la base 10. Esto puede hacerseya que las bases 8 y 16 son potencias de la base 2. ¿Cómo procederemos entonces pararealizar estos pasajes?Pasaje de binario a octalSabemos que 8 es la tercera potencia de 2, y que 2 es la base del sistema binario, entoncesdado un número binario agrupamos los dígitos de a tres contando de derecha a izquierda,completando con cero si hiciese falta a la izquierda, y escribimos el equivalente de cada grupo,como se muestra a continuación.Sea por ejemplo, el número 11100011(2 queremos pasarlo a su equivalente en base 8.Separamos en grupos de tres dígitos binarios de derecha a izquierda como muestra la figura yescribimos debajo sus expresiones equivalentes: 011 100 011 3 4 3El grupo 011 representa al número 3, el grupo 100 representa al número 4, ya que se cumplenlas siguientes equivalencias:011(2= 0x22+1x21+1x20 = 0+2+1= 3(10 y 3(10 ≡ 3(8100(2= 1x22+0x21+0x20=4+0+0= 4(10 y 4(10 ≡ 4(8El número en base 8 buscado es el 343(8Verifiquemos la equivalencia entre ellos:11100011(2= 1x27+1x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x2011100011(2= 1x128+1x64+1x32+0x16+0x8+0x4+1x2+111100011(2= 128+64+32+0+0+0+2+1 12
  13. 13. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte V11100011(2 ≡ 227(10343(8= 3x82 + 4x81 + 3x80343(8= 3x64 + 4x8 + 3x1343(8= 192+32+3343(8 ≡ 227(10Entonces los números 11100011(2 y 343(8 son equivalentes entre sí.Actividad 62Pasar los siguientes números binarios al sistema octal: a) 10111100011111(2 b) 11100001100111(2 c) 100011100110111(2Pasaje de binario a hexadecimalSabemos que 16 es la cuarta potencia de 2, y que 2 es la base del sistema binario, entoncesdado un número binario agrupamos los dígitos de a cuatro contando de derecha a izquierda,completando con cero si hiciese falta a la izquierda, y escribimos el equivalente de cada grupo,como se muestra a continuación.Sea por ejemplo, el mismo número 11100011(2 del ejemplo anterior y queremos pasarlo a suequivalente en base 16.Separamos en grupos de cuatro dígitos binarios de derecha a izquierda como muestra la figuray escribimos debajo sus expresiones equivalentes: 1110 0011 E 3El grupo 0011 representa al número 3, el grupo 1110 representa al número E, ya que secumplen las siguientes equivalencias:0011(2= 0x23+ 0x22+1x21+1x20 = 0+0+2+1= 3(10 y 3(10 ≡ 3(161110(2= 1x23+ 1x22 +1x21+0x20= 8+4+2+0= 14(10 y 14(10 ≡ E(16El número en base 16 buscado es el E3(16 13
  14. 14. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VVerifiquemos la equivalencia entre ellos:11100011(2= 1x27+1x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x2011100011(2= 1x128+1x64+1x32+0x16+0x8+0x4+1x2+111100011(2= 128+64+32+0+0+0+2+111100011(2 ≡ 227(10E3(16= Ex161 + 3x160E3(16= Ex16 + 3x1E3(16= 14x16+3E3(16= 224 + 3E3(16 ≡ 227(10Entonces los números 11100011(2 y E3(16 son equivalentes entre sí.Actividad 63Pasar los números binarios de la Actividad 61 al sistema hexadecimal.Análogamente podemos pasar un número expresado en base a 8 o en base 16 a su equivalenteen base 2.Pasaje de octal a binarioSi tenemos en cuenta que cada dígito octal se representa con tres dígitos binarios podemospasar de un número en base 8 a su equivalente en base 2 de la siguiente forma:Sea el número 467(8 escribimos bajo cada dígito su equivalente en binario, como se muestra enla figura: 4 6 7 100 110 111El número 467(8 ≡ 100110111(2Pasaje de hexadecimal a binarioSi tenemos en cuenta que cada dígito hexadecimal se representa con cuatro dígitos binariospodemos pasar de un número en base 16 a su equivalente en base 2 de la siguiente forma: 14
  15. 15. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VSea el número A467(16 escribimos bajo cada dígito su equivalente en binario, como se muestraen la figura: A 4 6 7 1010 0100 0110 0111El número A467(8 ≡ 1010010001100111(2Actividad 64Verificar las equivalencias en cada uno de los ejemplos desarrollados en los pasajes de octal abinario y de hexadecimal a binario.Actividad 65Pasar los siguientes números expresados en el sistema octal y hexadecimal a binario. a) 4766(8 b) 1B3A9(16 c) 521(8 d) FF128(16 e) 700(8 f) 1592(16 g) AADC(16Los sistemas de numeración binario, octal y hexadecimal encuentran aplicación en el ámbitocomputacional.En el sistema binario a los dígitos binarios 0 y 1 se los suele llamar bits, entonces el dígitobinario 0 recibe el nombre de bit cero o también bit nulo, y el dígito binario 1 recibe el nombrede bit 1. Estos bits representan dos estados mutuamente excluyentes, como por ejemplo: dosvoltajes diferentes, polaridades magnéticas sobre un disco magnético, un "positivo", un "sí",etcétera.A veces se utiliza la numeración octal en vez de la binaria y se suele indicar poniendo 0xdelante del número octal. Así, una cadena de bits binarios puede reducirse en su longitud decaracteres por su equivalente a octal, ya que de una cadena de tres dígitos binarios seobtiene un dígito octal. 15
  16. 16. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VUna agrupación de bits muy utilizada es el byte, que está formado por ocho dígitos binarios,que permite definir a la unidad básica de memoria, también recibe el nombre de octeto. Unaforma abreviada de escribir un byte es utilizando dígitos hexadecimales, ya que como vimos enla guía anterior, cada cuatro dígitos binarios podemos definir un dígito hexadecimal.Cada carácter, ya sea imprimible o de control, que utiliza un sistema informático y puede seralmacenado en la memoria de un computador, está representado por un código numéricohexadecimal, llamado Código ASCII. Una tabla de código ASCII pueden encontrarla en elsiguiente enlace http://es.wikipedia.org/wiki/ASCII. Por lo tanto, si imprimiésemos elcontenido de la memoria veríamos una secuencia de letras de la A a la F y dígitos de 0 a 9, quetomados en grupos de dos (de derecha a izquierda), resultan ser números hexadecimales quecorresponden a algún carácter que aparece en la tabla citada.Actividad 66Teniendo en cuenta la tabla de códigos ASCII del link dado, hallar el texto que representa lacadena dada a continuación:…4D75792070726F6E746F20646562657265206573747564696172207061706120656C206578616D656E… 16
  17. 17. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VGuía de trabajo nº 23SumatoriaEn la guía de trabajo n°21 hemos introducido el símbolo de sumatoria que es la letra griegasigma mayúscula Σ.La sumatoria (o sumatorio, en algunos autores), no define a una operación, sino que es unoperador que permite escribir en forma general y abreviada una suma de n términos, a partirdel término general de la serie de sumandos.Por ejemplo, sea la suma de los primeros veinte números naturales:S= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20Esta suma puede escribirse en forma abreviada indicando que su desarrollo consta de veintesumandos, contando de 1 hasta 20 inclusive, y que cada sumando responde a una ley deformación o fórmula del término general de la serie, que está dada por una expresiónalgebraica en la que aparece una variable que representa a cada uno de los lugares que ocupacada sumando en la serie y que al remplazarla por los valores de 1 a n permite obtener losvalores específicos de la serie.En nuestro ejemplo vemos que el número 1 ocupa el lugar 1 de la serie, el 2 ocupa el lugar 2, yasí sucesivamente hasta el número 20 que ocupa el lugar 20 de la serie. Si llamamos i a lavariable que indica el lugar que ocupa un término y que en este ejemplo representa al términomismo, podemos escribir: Límite superior de la sumatoria (último lugar de la serie) i  20S  i Ley de formación o fórmula general de la serie i 1 Límite inferior de la sumatoria (primer lugar de la serie)Observemos que la utilización del operador no “resuelve” la suma, solo la expresa en formaabreviada y genéricamente. Para obtener el resultado de la sumatoria debemos escribir eldesarrollo de la misma y efectuar el cálculo. Entonces: i 20S   i  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 i 1S  210En el ejemplo tuvimos que sumar los 20 primeros números naturales y si tuviésemos quecalcular la suma de los 400 primeros ¿Qué haríamos? ¿Nos resulta práctico sumar 400términos? Obviamente que no. Entonces así como encontramos una ley de formación para eltérmino general es conveniente encontrar una expresión general para calcular el resultado sinpasar por la suma de los n términos pedidos. 17
  18. 18. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VSumar los 20 primeros o los 400 primeros números naturales, responde a la suma de losprimeros n términos de una sucesión, que puede calcularse a través de la expresión: nS  (a1  an)  2Donde a1 es el primer elemento de la serie, an es el último elemento de la serie y n es lacantidad de términos a sumar.En nuestro ejemplo la expresión queda escrita como: nS  (1  n)  2Verifiquemos remplazando: 20S  (1  20)  2S  21  10S  210Vemos que obtenemos la misma suma con ambas expresiones, entonces, podemos escribir lasiguiente igualdad:i n n i  (1  n)  2i 1El haber encontrado una expresión general para hallar el resultado nos facilita mucho sucálculo, ya que no es necesario el desarrollo de la sumatoria.Actividad 67Resolver los siguientes problemas utilizando la sumatoria del término general encontrado. 1) Se almacenan postes de teléfono en una pila con 25 postes en la primera capa, 24 en la segunda y así sucesivamente. Si la pila tiene 12 capas ¿Cuántos postes hay en total? 2) A una persona le ofrecen trabajo con un sueldo de $36.000 anuales, y firma un contrato por el que recibirá aumentos anuales de $2800. Calculen los ingresos totales al cabo de 10 años en ese trabajo. 3) En una playa de estacionamiento hay lugar para estacionar 20 automóviles en la primera fila, 22 en la segunda, 24 2n la tercera y así sucesivamente. Si en total hay 24 filas calculen la cantidad de autos que pueden estacionarse.Resolvamos a modo de ejemplo el primer problema: 18
  19. 19. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VTenemos 12 capas en la pila y en cada una de ellas cierta cantidad de postes, como se muestraen la siguiente tabla:N° de capa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Cantidad de postes 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14A partir de la capa2 la cantidad de postes disminuye en 1, así en esta capa encontramos 24, esdecir 25-1, en la capa 3 encontramos 24-1 o bien 25-2, etc. Agreguemos una fila más a nuestratabla y volquemos en ella estas diferencias:N° de capa Cantidad de postes Diferencias entre una Diferencias en función capa y la siguiente del número de capa 1 25 25-0 25-(1-1) 2 24 25-1 25-(2-1) 3 23 24-1 25-(3-1) 4 22 23-1 25-(4-1) 5 21 22-1 25-(5-1) 6 20 21-1 25-(6-1) 7 19 20-1 25-(7-1) 8 18 19-1 25-(8-1) 9 17 18-1 25-(9-1) 10 16 17-1 25-(10-1) 11 15 16-1 25-(11-1) 12 14 15-1 25-(12-1)En general, si tenemos n capas podemos escribir la cantidad de postes por capa como:25-(n-1) o bien 25-n+1, y la cantidad total de postes, entonces, podemos escribirla como: n 12S   (25  n  1) n 1Para hallar la cantidad de postes debemos desarrollar la sumatoria, término a término: 19
  20. 20. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VS  (25  1  1)  (25  2  1)  (25 - 3  1)  (25  4  1)  (25  5  1)  (25 - 6  1)  (25  7  1)  (25 - 8  1)  (25 - 9  1)  (25 - 10  1)  (25 - 11  1)  (25 - 12  1)S  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14S  234Ya estamos en condiciones de responder al problema: en total hay 234 postes.Ahora resuelvan ustedes los problemas que quedan.Las siguientes actividades han sido extraídas del libro Rojo, Armando O. Álgebra I. 21ª ed.Editorial El Ateneo. Buenos Aires 2006.Actividad 68Desarrollar las siguientes sumatorias: i i4 ( 1)a ) i 1 i inb)  2.i i 1 i 1 i 3c)  (i - 1) i 1 ind) a i 1Actividad 69Expresar como sumatorias las sumas indicadas: a) 2+4+6+8+10= b) 1+3+5+7+9+11= c) 1+8+27+64=Propiedades de la sumatoria:Demostraremos dos propiedades de la sumatoria: 20
  21. 21. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte V 1) Desarrollamos la siguiente sumatoria: i n  (a i 1 i  b i )  (a 1  b1 )  (a 2  b2 )  ....  (an  bn )Aplicamos ahora las propiedades conmutativa y asociativa de la suma en el conjunto denúmeros reales en el segundo miembro de la igualdad y obtenemos: i n  (a i 1 i  b i )  (a 1  a 2  ...  a n )  (b1  b2  ...  bn )Por definición de sumatoria nos queda: i n i n i n  ( ai  b i )  i 1  a i   bi i 1 i 1Expresen en forma coloquial la propiedad recuadrada: 2) Al igual que en la demostración anterior, procederemos a desarrollar la sumatoria: i n  (k.a )  k.a i 1 i 1  k.a 2  ...  k.a nAplicamos en el segundo miembro de la igualdad propiedad distributiva: i n  (k.a )  k.(a i 1 i 1  a 2  ...  a n )Por definición de sumatoria obtenemos: in i n  (k.a i )  k. ai i 1 i 1Expresen en forma coloquial la propiedad recuadrada:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 21
  22. 22. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VActividad 70Comprobar la siguiente igualdad:i n i n i n ( xi  1) 2   xi2  2. x i  ni 1 i 1 i 1Actividad 71Se define al promedio como la siguiente igualdad: in x 1  x 2  ...  x n  i xx  i 1 n nComprobar que se cumple:i n i n ( xi  x) 2   xi2 - n.x 2i 1 i 1 22
  23. 23. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte VGuía de trabajo nº 24ProductoriaSe llama productoria, o también productorio o multiplicatoria o simplemente producto, a unoperador matemático que viene representado por la letra griega pi mayúscula ∏. Esteoperador representa la multiplicación de una cantidad finita o infinita de factores. Al igual quelo visto para la sumatoria, en este operador definimos un valor inicial y otro final para unavariable auxiliar que representa las posiciones que ocupan cada uno de los factores en eldesarrollo de la multiplicación:i nai 1 i  a 1 . a 2 ... a nPropiedades:De las propiedades de este operador, nos interesa la siguiente, llamada propiedadmultiplicativa:Desarrollamos la siguiente productoria:i n (a .b )  (a .b ).(a .b )...(a .b ) i 1 i i 1 1 2 2 n nAplicamos las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación en el conjunto denúmeros reales y obtenemos:i n (a .b )  (a .a ....a i 1 i i 1 2 n ).(b1 .b2 ...bn )Aplicamos ahora la definición de productoria en el segundo miembro de la igualdad:i n i n i n (ai .bi )  ( ai ).( bi ) i 1 i 1 i 1Expresen en forma coloquial la propiedad multiplicativa:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Utilizando este operador podemos definir el factorial de un número, que se representa comon! , del siguiente modo:Procedemos a desarrollar la productoria: 23
  24. 24. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II- Parte Vi n i  1.2.3....(n - 3).(n - 2).(n - 1).n i 1 Esta multiplicación es el desarrollo de n!Por lo tanto se verifica la siguiente igualdad:i n i  n! i 1El concepto del factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente encombinatoria y análisis matemático. El factorial de n representa el número de formas distintasde ordenar n objetos distintos, llamado permutación simple de n elementos, representada porPn.La función factorial es fácilmente de implementar en distintos lenguajes de programación. Sepueden elegir dos métodos, el iterativo, es decir, se realiza un bucle en el que se multiplica unavariable auxiliar por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la funciónfactorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1. 24

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