Matematica ii software

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Matematica ii software

  1. 1. UNIVERSIDAD PROVINCIAL DE EZEIZA Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software MATEMÁTICA II AÑO 2013 Prof. Marta N. González Chavarría Con aportes del Prof. Julio R. Brisuela 1
  2. 2. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Estimados Estudiantes: Al iniciar la cursada de Matemática II comenzamos a recorrer el Ciclo Técnico de la Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software, continuando con lo iniciado en Matemática I, pero agregando un nivel de abstracción mayor, que les permitirá organizar las operaciones de pensamiento lógico y el tratamiento de estructuras de razonamientos necesarias para el quehacer del desarrollo de software. En este contexto los materiales que les proponemos para trabajar tienen un presupuesto de tiempo estimado que “deben” dedicarle. Reforzamos lo dicho en Matemática I respecto a que “deben dedicar tiempo al trabajo autónomo” mucho más cuidadosamente de lo que lo hicieron durante la cursada de aquella, porque de eso depende en parte el éxito en la cursada y la aprobación de la materia, así como su transferencia a otras materias de la carrera en la que se encuentra inserta. Por supuesto que cada profesor indicará, además, cómo se va a administrar el trabajo en cada clase en torno de este material. Los contenidos a desarrollar en el módulo de Matemática II son: Lógica proposicional y de predicados (LPO):  Introducción a la lógica proposicional (lógica de orden cero).  Proposiciones y operadores lógicos: clasificación.  Conjunción, disyunción, condicionales. Construcción de tablas de verdad. Propiedades.  Negación. Negación de operadores. Leyes de De Morgan.  Equivalencias entre operadores.  Reglas de inferencia: modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, dilemas. Pruebas de validez.  Lógica de Primer Orden (LPO): Funciones proposicionales (predicados). Cuantificadores. Negación de cuantificadores. Operaciones.  Aplicaciones en el ámbito computacional. Sistemas de numeración:  Diferentes tipos de sistemas de numeración  Sistema de numeración binario, octal y hexadecimal: características de cada uno de ellos. Conjunto de símbolos y reglas de formación.  Construcción de números en cada uno de ellos.  Pasaje de números de un sistema a otro.  Aplicaciones en el ámbito computacional. Inducción matemática  Sumatoria. Propiedades. Utilización en demostraciones y resolución de problemas.  Principio de inducción matemática El material presentado está compuesto por una serie de guías de trabajo articuladas entre si, lecturas recomendadas que resultan interesantes para “aprender algo más” y las 2
  3. 3. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software actividades necesarias para aplicar lo visto, continuando con la metodología de trabajo de Matemática I. Dado que en Matemática II los contenidos presentan una abstracción mayor, les recordamos la importancia de la lectura de las guías de trabajo con buena predisposición tratando de resolver las cuestiones que se les plantean y haciendo un esfuerzo individual para no llegar a la reunión de grupo de trabajo (en clase o en cualquier otro ámbito en el que decidan reunirse) sin nada para compartir con los demás integrantes del grupo. Ustedes ya saben de esto, han constatado los beneficios del trabajo grupal y de la participación activa en el grupo de clase, planteando dudas y alternativas de resolución, durante la cursada de Matemática I. Esperamos que la cursada de Matemática II puedan llevarla a cabo exitosamente, sabemos de las dificultades, por eso los acompañaremos durante el transcurso de la misma, pero nuestro acompañamiento será vano sin el compromiso de Ustedes. Juntos obtendremos resultados provechosos, que se verán reflejados en las diversas aplicaciones que harán de todo lo visto en otras materias de la carrera, tanto en lo inmediato como a futuro. Hecha esta somera presentación, les damos la bienvenida a Matemática II y nos ponemos a trabajar. Atentamente: Los profesores de Matemática II. 3
  4. 4. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Introducción Nuestro lenguaje natural a veces presenta, a la hora de interpretar el significado de lo puesto en palabras algunos inconvenientes por ambigüedad por ejemplo: “Noticia leída en una radio: Una mujer habría ganado un sorteo de un millón de pesos y habría perdido el cupón en la casa de su madre la que sería cuidada por una vecina” La vecina: ¿Cuida a la madre de la mujer?, ¿Cuida la casa? La respuesta depende de la opinión de cada uno ¿o no? En Matemática ese problema se ha tratado de reducir al mínimo. ¿Por qué será? Veamos. A lo largo de la historia de la ciencia que nos ocupa, se han producido problemas cuya causa fue la interpretación de enunciados, ya sean definiciones, propiedades, teoremas, leyes, etcétera. Muchos de estos problemas han generado cambios de paradigmas, que provocaron verdaderas revoluciones dentro de la matemática. ¿Cómo se solucionó esto? Buscando un lenguaje que no presente ambigüedades o que presente muy pocas. Y ¿Qué lenguaje es éste? El lenguaje de la Lógica. En este módulo daremos los primeros pasos en Lógica. Iremos aprendiendo cómo está conformada: cuáles son las "palabras" que utilizaremos, cuáles son los "conectores" que permiten relacionarlas para armar "frases", cómo determinar cuando estamos frente a "verdades" o "falsedades", en fin, aprenderemos lo necesario, para que "todos entendamos lo mismo" cuando decimos algo en Matemática. Guía de trabajo nº 1 Que si, que no... Como la Parrala 1 Los siguientes relatos fueron escritos por Juan Jaqueri en la misma hoja de su diario íntimo, seguramente pensaba borrar algunos relatos pero quedaron escritos todos. Lean los relatos y luego traten de establecer similitudes y diferencias entre los tres primeros para discutir con todo el grupo de clase. 1 La Parrala es un mito que nació en España : http://es.wikipedia.org/wiki/La_Parrala Como casi todos los mitos inspiró una copla popular: http://www.youtube.com/watch?v=H_wPvLY-HiA En 1951 la cantante Concha Piquer cantó esta copla como protagonista de la película “Me casé con una estrella” con la actuación además de Luis Sandrini y Pierina Dialessi http://www.youtube.com/watch?v=aPSVXLfEOqc&feature=related 4
  5. 5. Universidad Provincial de Ezeiza Relato 1 Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Del diario personal de Juan Jaqueri Jueves 7 de setiembre de 2009 La llegada del día siete de cada mes es motivo para mi alegría. Hoy se acredita mi sueldo en mi cuenta. Este mes estuvo muy cargado de trabajo y responsabilidades, por eso me parece que merezco premiarme con lo que más me gusta: ir a ver una película al cineclub. Creo que hoy pasan “Me casé con una estrella” con Luis Sandrini. Además como soy soltero y vivo solo (por ahora) una hora más o menos que tarde no importa, así que: COBRO MI SUELDO Y VOY AL CINE Relato 2 Del diario personal de Juan Jaqueri Jueves 7 de setiembre de 2009 La llegada del día siete de cada mes es motivo para mi alegría. Hoy se acredita mi sueldo en mi cuenta. Este mes estuvo muy cargado de trabajo y responsabilidades, por eso me parece que merezco premiarme con lo que más me gusta: ir a ver una película al cineclub. Creo que hoy pasan “Me casé con una estrella” con Luis Sandrini. Pero con todo el sueldo encima me da un poco de miedo. Tengo que tomar una decisión: COBRO MI SUELDO O VOY AL CINE Relato 3 Del diario personal de Juan Jaqueri Jueves 7 de setiembre de 2009 La llegada del día siete de cada mes es motivo para mi alegría. Hoy se acredita mi sueldo en mi cuenta. Este mes estuvo muy cargado de trabajo y responsabilidades, por eso me parece que merezco premiarme con lo que más me gusta: ir a ver una película al cineclub. Creo que hoy pasan “Me casé con una estrella” con Luis Sandrini. El único problema es que es un poco tarde y hoy debe haber cobrado todo el mundo ¿habrá dinero en el cajero? Bueno será cuestión de ir y probar... SI COBRO MI SUELDO ENTONCES VOY AL CINE Al día siguiente Juan escribió en su diario: Relato 4 Del diario personal de Juan Jaqueri Viernes 8 de setiembre de 2009 Ayer mentí en este diario porque... 5
  6. 6. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Pero cuando iba a terminar tuvo que bajar de apuro del colectivo porque no se dio cuenta de que estaba por pasarse de parada. En el apuro su diario quedó en el asiento y nosotros lo encontramos. Lo que le pasó a Juan Jaqueri nos plantea varios problemas. Actividad 1 a) ¿Por qué habrá dicho que “mintió” en su diario? b) Si el relato que pensaba dejar es el 1 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que mintió? c) Si el relato que pensaba dejar es el 2 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que mintió? d) Si el relato que pensaba dejar es el 3 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que mintió? e) ¿En qué relato hay mayor cantidad de posibilidades para “no cumplir” con lo que se dice? Vamos a analizar algunas posibles respuestas a estas preguntas pero antes de empezar será conveniente que discutan en grupos las que propongan ustedes para compararlas con las que aparecen aquí. 6
  7. 7. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 2 Introducción Antes de empezar aclararemos que el lenguaje de la Matemática, con el propósito de evitar ambigüedades, suele diferenciarse del lenguaje coloquial con el que nos manejamos en forma cotidiana. La diferencia principal es la precisión con la que deben construirse e interpretarse los enunciados. Por ejemplo cuando decimos: “tengo una perra blanca” , aparece inmediatamente la posibilidad de considerar si el enunciado es verdadero o falso. Estos enunciados que pueden clasificarse en verdaderos o falsos se llaman proposiciones. Notemos que para poder clasificar un enunciado como verdadero o falso debe contener una afirmación fehaciente. Es decir expresiones del tipo: “lógico” “Obvio” “agua hirviendo” “Cálidos reflejos de tu cabello rizado” “compremos bebidas” “¿Eso es todo?” “¡cómprate las tuyas!” Entre otras, no son proposiciones En cambio: “tengo una perra blanca” “los amaneceres son hermosos” “ella caminaba agitadamente” “Recuerda a su madre “ “Compite consigo mismo” “3+5=12” Son todas proposiciones. Dijimos que una proposición solamente puede tomar dos valores: verdadero o falso. Estos valores se llaman “valores de verdad” 7
  8. 8. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 2 Identifiquen cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones e indiquen el valor de verdad de las mismas: a) b) c) d) e) 20=45-25 Comencemos la fiesta. Los ángulos adyacentes son suplementarios Un polinomio de grado 2 tiene 2 raíces Ved en trono a la noble igualdad. f) x2  4 lim 4 x 2 x  2 Actividad 3 Construyan cinco proposiciones con valor de verdad verdadero y cinco con valor de verdad falso Actividad 4 Busquen en el Módulo Curso de Ingreso y transcriban indicando página y párrafo en el que se encuentran, cinco expresiones que no sean proposiciones 8
  9. 9. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 3 Algunas respuestas Presentada así la cuestión planteada por el diario de Juan, nos adentraremos en el análisis de los hechos… Volvamos a la historia de Juan Jaqueri y los problemas propuestos. Primer problema a) ¿Por qué habrá dicho que “mintió” en su diario? Si mintió, seguramente algo de lo escrito no hizo o no ocurrió. Por eso será conveniente que analicemos cada relato y construyamos hipótesis sobre qué habrá sucedido en cada situación. b) Si el relato que pensaba dejar es el 1 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que mintió? En el relato 1, Juan se propone cobrar el sueldo e irse al cine, es decir se propone hacer las dos cosas. Si en este relato mintió, entonces ¿Por alguna circunstancia no cobró su sueldo? ¿No fue al cine? O ¿estas cosas sucedieron a la vez? Por ejemplo, si efectivamente su empleador le depositó el sueldo el día 7, resulta que Juan mintió si no fue al cine. Pero si su sueldo no fue depositado, le puede haber resultado imposible ir al cine porque no contaba con dinero suficiente, o también pudo suceder que aún sin cobrar fue al cine igual. De este análisis decimos que para que no haya mentido Juan, las dos proposiciones debieron ser verdaderas a la vez, es decir, cobrar el sueldo e ir al cine, en cualquier otra situación Juan hubiese “mentido”. Es decir: Cobro mi sueldo Voy al cine Cobro mi sueldo y voy al cine si si “no mintió” si no “mintió” no si “mintió” no no “mintió” ¿Por qué escribo mintió entre comillas? Porque “mentir” es un hecho subjetivo, que tiene connotaciones morales y/o religiosas. Y también mentir, se da cuando se "falsea" la verdad, cuando se quiere hacer ver algo como lo que no es "realmente". Podemos resumir todo este análisis construyendo una tabla: “Cobro mi sueldo” V V F F y V F F F “Voy al cine” V F V F 9
  10. 10. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Una proposición puede ser VERDADERA si ocurre o sucede tal como se ha planteado (ocurre o sucede verdaderamente). Esto lo representamos con la letra V (así en mayúsculas) o con la expresión TRUE (como en algunos lenguajes de programación), o con un 1 (algunos lenguajes también lo usan para hacer marcas o flags (banderas), eso lo verán en otra materia), Una proposición puede ser FALSA en caso de no ocurrir (o suceder) tal como se la ha planteado. Esto lo representamos con F, o con la expresión FALSE, o con un 0. Es decir, las tablas que figuran a continuación son equivalentes a la primera, se usará una u otra dependiendo del entorno en el que estemos trabajando: “Cobro mi sueldo” True True False False y True False False False “Voy al cine” True False True False “Cobro mi sueldo” 1 1 0 0 y 1 0 0 0 “Voy al cine” 1 0 1 0 Como vemos, pueden darse varias alternativas para decir que Juan “mintió” y que esas alternativas dependen de la forma en que Juan se ha hecho la propuesta, es decir, en este caso hacer una cosa y la otra. Un “y” (cuya representación simbólica es ^, o también *, o AND como se usa en lenguajes de programación), se denomina conjunción, y como hemos visto en las tablas anteriores, diremos que: Una conjunción es VERDADERA si los valores de verdad de las proposiciones que la forman son AMBOS VERDADEROS. Actividad 5 Reconstruir cada tabla remplazando la “y” con ^ , AND ó * ¿En qué tabla deberán colocar cada uno? Actividad 6 Determinar el valor de verdad para cada conjunción, según el valor de verdad de cada una de las proposiciones involucradas. a) El número 4 es impar y el número 8 es par. b) El número 4 es raíz cuadrada de 25 y el número ∏ es racional. c) El cuadrado de -8 es 64 y el cuadrado de 4 es 8. d) El bit es la menor unidad de memoria y el byte permite almacenar un carácter. e) Un Kilobyte equivale a 2678 bytes y un Megabyte equivale a 3000000 bytes. 10
  11. 11. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 4 Continuemos con el Diario de Jaqueri Problema 2 c) Si el relato que pensaba dejar es el 2 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que mintió? En el relato 2, por temor a lo que podría suceder, se plantea decidir qué hacer, cobrar o ir al cine. Entonces, si en este relato mintió, no debería haber hecho ninguna de las dos cosas ya que al decir “o” con una que hubiera hecho sería suficiente para no mentir. Si su decisión consistía en tomar una de las alternativas exclusivamente, evidentemente mintió si hizo las dos cosas o ninguna, ya que de haber sucedido una de ellas habría dicho la verdad, en cambio si podía elegir una de las dos o ambas, solo mintió al no realizar ninguna de las dos. Es decir: Si podía elegir una o ambas alternativas obtenemos el siguiente cuadro. Cobro mi sueldo Voy al cine Cobro mi sueldo o voy al cine si si “no mintió” si no “no mintió” no si “no mintió” no no “mintió” Si podía elegir una alternativa exclusivamente, se obtiene el siguiente cuadro. Cobro mi sueldo Voy al cine Cobro mi sueldo ó voy al cine si si “mintió” si no “no mintió” no si “no mintió” no no “mintió” Como pueden ver, existe una diferencia entre optar “inclusivamente” por dos opciones y optar “exclusivamente” por una de ellas. Continuaremos trabajando por el momento con la opción inclusiva. Podemos resumir todo este análisis construyendo una tabla: “Cobro mi sueldo” V V F F o V V V F “Voy al cine” V F V F Las tablas que figuran a continuación son equivalentes a la anterior, se usará una u otra dependiendo del entorno en el que estemos trabajando: 11
  12. 12. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software “Cobro mi sueldo” True True False False o True True True False “Voy al cine” True False true False “Cobro mi sueldo” 1 1 0 0 o 1 1 1 0 “Voy al cine” 1 0 1 0 Como vemos, pueden darse varias alternativas para decir que Juan “no mintió” y que esas alternativas dependen de la forma en que Juan se ha hecho la propuesta, es decir, en este caso hacer una cosa o la otra. Un “o” (cuya representación es ˅, o también +, u OR, si estamos usando algún lenguaje de programación), se denomina disyunción incluyente, o simplemente disyunción y como hemos visto en las tablas anteriores, diremos que: Una disyunción es FALSA sólo si los valores de verdad de las proposiciones que la forman son AMBOS FALSOS. Actividad 7 Reconstruir cada tabla remplazando la “o” con ˅, OR ó +. ¿En qué tabla usarán cada uno? Actividad 8 Determinar el valor de verdad para cada disyunción, según el valor de verdad de cada una de las proposiciones involucradas. a) El número 4 es impar o la raíz cuadrada de 16 es 8. b) El número 4 es raíz cuadrada de 16 o -25 es el cuadrado de 5. c) El software es el soporte lógico de un sistema informático o el software es el soporte físico del mismo. d) El bit es la menor unidad de hardware o el byte es un componente lógico del sistema informático. e) Un Kilobyte equivale a 1024 bytes o un Megabyte equivale a un Terabyte. 12
  13. 13. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 5 Problema 3 d) Si el relato que pensaba dejar es el 3 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que mintió? En el relato 3, Juan se plantea “condicionar” su ida al cine al cobro del sueldo. En este caso, si le han depositado el sueldo (y el cajero tiene dinero para que lo cobre) y va al cine, no mintió. Si no ha cobrado el sueldo (o no hay dinero en el cajero para que lo cobre) y no puede ir al cine, tampoco ha mentido. Si no encontró dinero en el cajero, pero le alcanzaba lo que llevaba en su billetera para la entrada y fue al cine de todos modos, tampoco mintió (si esto no los convence pensemos que si bien Juan dijo qué iba a hacer si cobraba su sueldo, nada dijo de lo que haría en caso contrario, si aún les quedan dudas lo ponemos a discusión en clase). Entonces, ¿qué debió suceder para que dijese que mintió? Que pudo cobrar su sueldo y no fue al cine. Es decir: Cobro mi sueldo Voy al cine si Cobro mi sueldo entonces voy al cine si si “no mintió” si no “mintió” no si “no mintió” no no “no mintió” Podemos resumir todo este análisis construyendo una tabla: (Si)“Cobro mi sueldo” V V F F entonces V F V V “Voy al cine” V F V F Las tablas que figuran a continuación son equivalentes a la anterior, se usará una u otra dependiendo del entorno en el que estemos trabajando: (Si) “Cobro mi sueldo” True True False False entonces True False True True “Voy al cine” True False true False (Si) “Cobro mi sueldo” 1 1 0 0 entonces 1 0 1 1 “Voy al cine” 1 0 1 0 13
  14. 14. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Como vemos, pueden darse varias alternativas para decir que Juan “no mintió” y que esas alternativas dependen de la forma en que Juan se ha hecho la propuesta, es decir, en este caso si hace una cosa entonces hace la otra. Un “si… entonces” (cuya representación simbólica es , o también IF… THEN, si estamos usando un lenguaje de programación), se denomina condicional. En un condicional la proposición que se encuentra a continuación del “si” se llama antecedente y la que está a continuación del “entonces” recibe el nombre de consecuente, y como hemos visto en las tablas anteriores, diremos que: Un condicional es FALSO solamente si el valor de verdad del antecedente es VERDADERO y el del consecuente es FALSO. Actividad 9 Reconstruir cada tabla remplazando el “si… entonces” con , ó IF… THEN. Actividad 10 Determinar el valor de verdad para cada condicional, según el valor de verdad de cada una de las proposiciones involucradas. a) Si el número 4 es impar entonces la raíz cuadrada de 36 es 6. b) Si el número -4 es raíz cuadrada de 16 entonces25 es el cuadrado de 5. c) Si un programa es software entonces es soporte lógico de un sistema informático. d) Si la RAM es una memoria volátil entonces cuando se apaga la computadora lo que está en la RAM se borra . e) Si estoy conectado a Internet entonces estoy interconectado a diversas redes físicas. Problema 4 e) ¿En qué relato hay mayor cantidad de posibilidades para no “cumplir” con lo que se dice? De todo lo analizado anteriormente, es en el primer relato donde hay más posibilidades de no poder cumplir con lo propuesto, ya que solo una alternativa le lleva a no mentir y es aquella en que cumple ambas. 14
  15. 15. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 6 Resuelto el caso de la mentira de Juan, retomemos el condicional. ¿De qué otra forma podríamos decir SI “cobro el sueldo” ENTONCES “voy al cine”? Veamos: Tomemos el caso en que el condicional es Verdadero. Si así es, nos encontramos con las siguientes posibilidades: “cobro el sueldo” ENTONCES “voy al cine” V V V F V V F V F Si “cobro el sueldo” es Falso no puede determinarse el valor de verdad para “voy al cine” ya que al tener antecedente Falso el condicional es siempre Verdadero independientemente del valor de verdad del consecuente, por lo tanto, si el condicional es Verdadero, es suficiente con que el antecedente sea Verdadero para que el valor de verdad del consecuente también lo sea. Decimos que “cobro el sueldo” verdadera es CONDICIÓN SUFICIENTE para “voy al cine” verdadera. Si “voy al cine” es Verdadero no puede asegurarse el valor de verdad de “cobro el sueldo”, pero es necesario que así sea para que el antecedente sea Verdadero, ya que en los otros dos casos el valor de verdad resulta ser Falso. Decimos entonces que “voy al cine” verdadera es CONDICIÓN NECESARIA para “cobro el sueldo” verdadera. En otras palabras decimos que, “cobrar el sueldo” es CONDICIÓN SUFICIENTE para “ir al cine” y que “ir al cine” es CONDICIÓN NECESARIA para “cobrar el sueldo” . Otra forma de expresar lo anterior, partiendo de que el condicional es Verdadero, es: “Cobro el sueldo” es Verdadero, SÓLO SI “voy al cine” es Verdadero (expresión equivalente a decir que “voy al cine” es condición necesaria para “cobro el sueldo”) “Voy al cine” es Verdadero, SI “cobro el sueldo” también lo es (expresión equivalente a decir que “cobro el sueldo” es condición suficiente para “ir al cine”). En general, dado el condicional p q, podemos escribirlo como: p, SÓLO SI q q, SI p y se dice que: p es CONDICIÓN SUFICIENTE para q q es CONDICIÓN NECESARIA para p 15
  16. 16. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Respondemos la pregunta con las formas halladas: Cobro el sueldo, sólo si voy al cine. Voy al cine si cobro el sueldo. Es suficiente que cobre el sueldo para ir al cine. Es necesario que vaya al cine para cobrar el sueldo. Veamos otro ejemplo. “Brasil protestará ante la ONU si Argentina se moviliza.” 2 Encontremos las proposiciones simples que forman la expresión dada. Pero, ¿a qué llamamos proposición simple? A toda proposición que consta de un sujeto y de un predicado simple. Entonces en el ejemplo dado, una proposición simple es “Brasil protestará ante la ONU” y otra proposición simple será “Argentina se moviliza”. Representamos a cada una por una letra del siguiente modo: h:”Brasil protestará ante la ONU” t:”Argentina se moviliza” Ahora rescribimos la proposición compuesta, y nos queda: h, si t ¿A qué llamamos proposición compuesta? A toda proposición formada por proposiciones simples unidas por al menos un conectivo lógico. Continuemos con el ejemplo. Tomando en cuenta los recuadros dados anteriormente esta forma se corresponde al condicional: t →h O sea: Si Argentina se moviliza entonces Brasil protestará ante la ONU Y si aceptamos que esta condición es Verdadera (t→h es Verdadero), podemos decir que: h es condición necesaria para t, o sea, es necesario conocer el valor de verdad de h para conocer el valor de verdad de t t es condición suficiente para h, o sea, es suficiente conocer el valor de verdad de t para determinar el valor de verdad de h. 2 De Copi Irving. Introducción a la Lógica. Limusa. México 2007, pp. 345 16
  17. 17. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Si escribimos ahora: “Brasil protestará ante la ONU sólo si Argentina se moviliza.”3 ¿Estamos ante el mismo ejemplo anterior? Piensen y discutan con sus compañeros. Si procedemos a rescribir esta nueva proposición compuesta nos encontramos que se representa como: Si Brasil protestará ante la ONU entonces Argentina se moviliza. Y si utilizamos las mismas letras que usamos antes nos queda: h→t Nos preguntamos si t→h es igual a h→t. ¿Cómo respondemos a este interrogante? Para saber si estas proposiciones compuestas son iguales (si estamos diciendo lo mismo) construimos las tablas de valores de verdad de cada una y comparamos los resultados obtenidos. Actividad 11 Construir las tablas de valores de verdad para las proposiciones compuestas t→h y h→t y decir si ambas tablas son iguales. 3 Copi, Irving obra citada 17
  18. 18. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 7 En las guías anteriores hemos visto la conjunción, disyunción y el condicional, que reciben el nombre de operaciones lógicas. Cada una de ellas tiene un conector (también llamado conectivo lógico) que las representa. Usando los conectivos lógicos, podemos escribir proposiciones compuestas a partir de otras proposiciones, que reciben el nombre de simples. Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta se construyen tablas de verdad. Cada una de las operaciones vistas tiene sus tablas de verdad características, que nos permiten saber, a partir de los valores de verdad dados a cada una de las proposiciones simples, cuál es el valor de verdad de la compuesta. En todos los casos tratados, las proposiciones compuestas estaban formadas por dos proposiciones simples, relacionadas a través de una sola operación. En esta guía daremos un paso más. Formaremos proposiciones compuestas en las que intervendrán más de una operación y construiremos sus tablas de verdad correspondientes. Revisemos las tablas que hemos construido en las guías 3, 4 y 5. Repasemos también el valor de verdad que puede tomar una proposición simple. Una proposición admite solo dos valores de verdad posibles, Verdadero o Falso, que representamos con V y F. Cuando construimos una tabla hemos colocado una columna por cada proposición, partiendo de las simples y terminando por la compuesta. Pero una tabla además de columnas tiene filas. En esas tablas contamos cuatro filas. ¿Por qué cuatro? Veamos: para una proposición p, tenemos dos valores de verdad, V o F, y para cada valor de p, existen dos valores posibles para q, gráficamente: p q V● V ● F F● V F Tenemos listadas todas las combinaciones posibles para dos proposiciones dadas con dos valores de verdad cada una, a saber: VV, VF, FV y FF. En total cuatro posibilidades, y como cada una se escribe en una fila de la tabla, tendremos cuatro filas en ella. Repitamos este procedimiento considerando ahora tres proposiciones simples, que llamaremos p, q y r. 18
  19. 19. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software p r V● ● q V● V F F● V F F● V● V F F● V F Hemos listado todas las combinaciones posibles para tres proposiciones, con dos valores de verdad posibles para cada una: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV Y FFF. Si cada combinación se coloca en una fila, tendremos ocho filas cuando trabajamos con tres proposiciones. Antes de armar una tabla con estas características, nos preguntamos si cada vez que aumentamos la cantidad de proposiciones deberemos hacer un gráfico que muestre todas las combinaciones. Repasemos: a una proposición le corresponde dos filas, escribimos: 1 2 a dos proposiciones le corresponden cuatro filas, escribimos: 2 4 a tres proposiciones le corresponden ocho filas, escribimos: 3 8 Pongamos atención en la última columna, cuyos valores son: 2, 4, 8. Todos múltiplos de 2, pero no cualquier múltiplo. Estos valores son la primera potencia de 2, la segunda y la tercera. Entonces, podemos relacionar ambas columnas escribiendo: 21, 22, 23, siendo la base de la potencia la cantidad de valores de verdad que tiene una proposición simple y el exponente de la misma, la cantidad de proposiciones simples que intervienen en la proposición compuesta con la cual trabajaremos. Generalizando diremos entonces que: A “n” proposiciones simples le corresponden 2n filas en una tabla de verdad 19
  20. 20. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Veamos todo lo anterior en un ejemplo: Dada la siguiente proposición compuesta (p^q)→r , hallar su valor de verdad a través de la construcción de la tabla. En esta tabla tendremos 5 columnas, una por cada proposición dada, comenzando por las 3 primeras que se corresponden a cada una de las proposiciones simples p, q y r, para luego seguir con cada una de las proposiciones compuestas que van apareciendo, siendo la cuarta para (p^q) y la quinta y última para la proposición (p^q)→r. ① ②③ ④ p V V V V F F F F q V V F F V V F F ⑤ r p^q (p^q)→r V V V F V F V F V F F V V F V F F V V F V F F V Lo primero es encontrar los valores de la conjunción, ya que como vemos se encuentra entre paréntesis. Para hallar los valores de la columna ④ tomamos en cuenta las columnas ① y ②, y aplicamos lo estudiado cuando construimos la tabla de la conjunción (guía de trabajo n° 3). Para hallar los valores de la columna ⑤ tomamos en cuenta las columnas ④ y ③, en este orden, ya que el símbolo del condicional indica el sentido en que debemos leer las columnas en las que se encuentran los valores de verdad que deberemos analizar, y aplicamos lo estudiado acerca de la tabla del condicional (guía de trabajo n° 5). 20
  21. 21. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 8 Esta guía está pensada para que apliques lo visto en las guías de trabajo anteriores, por lo que te proponemos una serie de actividades de diferentes tipos, para que pongas a prueba los conocimientos que adquiriste en ellas… Manos a la obra!! Actividad 12 Si a, b y c son enunciados Verdaderos y X, Y, Z son Falsos, determinar cuáles de las siguientes proposiciones compuestas son Verdaderas: 1.a  b 2.a  X 3.b  Y 4.Y  Z 5.[(a  b)  c]  Z 6.[(a  X)  c]  [(a  X)  c] 7.(a  Z)  (Y  X)] 8.[(b  Z)  (a  X)]  (c  Y) Actividad 13 Si a y b se conocen como Verdaderas y X e Y como Falsas, pero los valores de verdad de P y Q no se conocen, ¿de cuáles de los siguientes enunciados podemos determinar los valores de verdad? 1.P  a 2.( P  P)  X 3. X  (Q  X ) 4.( P  a)  b 5.( P  X )  Y 6.[ P  (a  X )]  [( P  a)  X ] 7.[Q  (b  Y )]  [(Q  b)  (Q  Y )] 21
  22. 22. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 14 En las siguientes expresiones encuentre las proposiciones simples que intervienen nombrándolas a través de letras minúsculas y rescríbanlas en forma simbólica. Por ejemplo: La casa del lago está sucia y deshabitada. p:”La casa del lago está sucia” q:”La casa del lago está deshabitada” p q 1. Aprobar los dos parciales es condición necesaria para regularizar la materia. 2. Si mañana es un día soleado, saldré de paseo con mis amigos. 3. Las naranjas y las frutillas poseen vitamina C en cantidad suficiente para el consumo recomendado. 4. Es suficiente que un cuadrilátero tenga lados paralelos para que sea paralelogramo. 5. El juego de azar produce adicción o genera pingües ganancias a sus administradores. 6. Si la cantidad vendida es superior a 500 unidades entonces al vendedor le corresponde una comisión del 15%. Actividad 15 Construir las tablas de valores de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas: 1.( p  r )  q 2. p  (q  (r  p )) 3.( p  q )  s 4.( p  q)  (q  p ) 5. p  (q  (r  p )) Actividad 16 Tomando en cuenta las proposiciones compuestas de la actividad anterior, elegir tres de ellas y dar una interpretación para cada una de las proposiciones simples y rescribirlas en lenguaje coloquial. Por ejemplo: Dada: (p  q)→r 22
  23. 23. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Escribimos: p:”El dólar está barato” q:”Puedo comprar divisas sin problemas” r:”Viajo de vacaciones a Bélgica” Rescribimos: Si el dólar está barato y puedo comprar divisas sin problemas entonces viajo de vacaciones a Bélgica. 23
  24. 24. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 9 Volvamos a la guía de trabajo n° 4. En ella trabajamos la disyunción e hicimos una distinción entre elegir una opción inclusivamente y elegirla exclusivamente. Vimos allí en una tabla de elecciones que no obteníamos los mismos resultados. Sea, por ejemplo, la proposición compuesta: Estudio leyes o trabajo en administración. Es evidente que puedo optar por realizar ambas opciones, es decir, puedo elegir inclusivamente ambas. Pero también puedo optar sólo por una de ellas, o sea, elegir de modo tal, que una opción excluya a la otra. Por lo tanto si elijo estudiar leyes excluyo la posibilidad de trabajar en administración. En otras palabras, si estudiar leyes es Verdadero, trabajar en administración es Falso y viceversa. ¿Cómo nos damos cuenta de que estamos eligiendo de un modo en particular? En nuestro lenguaje natural podemos distinguirlas ya que siempre enfatizamos el “o” al decirlo, o utilizamos expresiones que dan a entender que debemos elegir por una solamente. En lógica también tenemos forma de hacer esta distinción y es a través del conector  ( en algunos lenguajes de programación se representa con XOR). La tabla de valores de verdad para esta operación es: p q p  q V V F F V F V F F V V F La disyunción excluyente es Verdadera cuando SÓLO UNA de las proposiciones que la forman también lo es. No, no, no…. Lo niego terminantemente! Cuando negamos algo, ¿qué estamos diciendo? Si decimos “4 es par” estamos ante una proposición Verdadera y si la negamos, decimos “4 no es par” y estamos ante una proposición Falsa. Si decimos “5 es un número irracional” estamos ante una proposición Falsa y si la negamos diciendo que “5 no es un número irracional” estamos ante una proposición Verdadera. Podemos seguir dando ejemplos y veremos que al negar una proposición con valor de verdad Verdadero se obtiene otra con un valor de verdad Falso y viceversa. Podemos simbolizar esta 24
  25. 25. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software operación a través de los siguientes conectores:  , -, ˜, o también NOT como se usa en lenguajes de programación. Por lo anterior, si construimos la tabla de valores de verdad para esta operación obtenemos: p V F p F V Decimos entonces que: Negar una proposición es cambiar su valor de verdad por el contrario. Actividad 17 Dadas las siguientes proposiciones, escritas en lenguaje coloquial, se pide: a) Dar su valor de verdad b) Negarlas y dar su valor de verdad  La gráfica de una función cuadrática es una parábola.  La ROM es una memoria volátil.  La copa libertadores de 2012 la ganó Racing.  La raíz cuadrada de 49 es 2.  No es cierto que 2+2=4.  No se cumple que, el doble de 4 es 8. Si y sólo si… Llegados a este punto, presentamos la última operación del cálculo proposicional, llamada Bicondicional, que se representa con el conector ↔. Esta operación se expresa en forma coloquial como “si y sólo si”, estableciendo una fuerte dependencia entre las proposiciones que la forman, de tal forma que una no puede darse sin la otra. Veamos un ejemplo: Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados congruentes. Descomponemos esta expresión en cada proposición simple que la forma: p:”un triángulo es equilátero” q:”un triángulo tiene sus tres lados congruentes” 25
  26. 26. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Representamos simbólicamente la expresión dada: p↔q Tenemos frente a nosotros un triángulo, y aseguramos que es equilátero, podemos constatar que sus lados resultan ser congruentes. Del mismo modo, al ver que un triángulo tiene sus tres lados congruentes, decimos que es equilátero. Entonces podemos ver que la Verdad de una de las proposiciones determina la Verdad de la otra. El triángulo que vemos no es equilátero, podemos constatar que sus tres lados no resultan ser congruentes entre sí. Del mismo modo, al ver un triángulo cuyos lados no son congruentes entre sí, decimos que no es equilátero. Entonces podemos ver que la Falsedad de una de las proposiciones determina la Falsedad de la otra. La tabla de valores de verdad de esta operación es: p q p↔ q V V F F V F V F V F F V En la tabla observamos que cuando el bicondicional es Verdadero los valores de verdad de ambas proposiciones son, ambos Verdaderos o ambos Falsos. Es decir, valen lo mismo, o también que son equivalentes (este concepto lo retomaremos en la segunda parte del módulo). Decimos entonces que: Un bicondicional es Verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Nos preguntamos el significado de la expresión “si y sólo si”. Veamos. Podemos escribir lo propuesto de este modo: Si es equilátero entonces tiene tres lados congruentes. ① Y también, que: Si tiene tres lados congruentes entonces es equilátero. ② De ① decimos que, un triángulo es equilátero, sólo si tiene tres lados congruentes y también que tiene tres lados congruentes si es equilátero. De ② decimos que, un triángulo tiene tres lados congruentes, sólo si es equilátero y también que es equilátero si tiene tres lados congruentes. 26
  27. 27. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Además hemos expresado que ambas condiciones se dan simultáneamente, o sea, se cumple ① y también ②, que ya sabemos, se escribe como ①^②, por lo tanto, decimos que una de las proposiciones se cumple si y sólo si se cumple la otra. Lo anterior nos lleva a escribir un bicondicional como la conjunción de dos condicionales (de ahí su nombre). Entonces: p↔q puede ser escrita como [ (p→q) ^ (q→p)] Al poder escribir el bicondicional como una conjunción entre condicionales, cada proposición simple resulta ser condición necesaria y suficiente para la otra. Entonces rescribimos el ejemplo propuesto al inicio como: Ser triángulo equilátero es necesario y suficiente para tener tres lados congruentes. O también: Tener tres lados congruentes es necesario y suficiente para ser equilátero. Actividad 18 Escribir en lenguaje coloquial tres expresiones bicondicionales, y escribirlas como condiciones necesarias y suficientes. 27
  28. 28. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 10 En esta guía debes aplicar todo lo visto en las anteriores… A trabajar!!!! Actividad 19 Considerando las proposiciones simples siguientes: a: “El sol es una estrella” b: ”El sol es un planeta” c: “El sol brilla con luz propia” d: “La tierra es calentada por el sol” Escribir en lenguaje coloquial cada una de las compuestas dadas a continuación: 1.a  (b  d ) 2.(b  a)  (c  d ) 3.a  c 4.a  c 5.b  (c  d ) Actividad 20 Construir las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: 1.(p ) 2. p  p 3. p  (p) 4. p  (s  r ) 5.((p  q))  (q) Actividad 21 Teniendo en cuenta las proposiciones compuestas de la actividad 19 y sabiendo que a, d y c son Verdaderas y b es Falsa, determinar el valor de verdad de cada una de las compuestas dadas. 28
  29. 29. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 22 Construir la tabla de valores de verdad para cada una de las proposiciones compuestas dadas a continuación: 1.( p  q)  (q  p) 2.q  (p  r ) 3.(q  p)  r 4.( p  q)  (q  p) Actividad 23 Escribir en forma simbólica la siguiente proposición compuesta que figura en el texto Hijos en libertad, de A. S. Neill4: “La chatura y el tedio de ciertas disciplinas escolares se trasmiten a los maestros, y las escuelas se llenan de hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos, cuyo horizonte está limitado por el pizarrón y el libro de texto”. 4 De Rojo Armando. Álgebra I. El Ateneo. Buenos Aires 2006, pp. 24 29
  30. 30. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Anexo: Te recomendamos la lectura de esta nota. El costado lúdico de la matemática Por Adrián Paenza Quiero presentar un juego [1]. Es un juego de lógica y tiene un costado detectivesco. No hace falta saber nada de antemano. El único requisito es tener la voluntad de pensar. Y encima es entretenido. Acá va. En un pueblo arrestan a cuatro sospechosos de haber robado un banco. Los voy a llamar A, B, C y D. Luego de hacer las investigaciones pertinentes, el jurado tiene estos datos: 1) Si A fuera culpable, B también lo fue. 2) Si B fuera culpable, entonces o bien A es inocente o bien C es culpable. 3) Si D fuera inocente, entonces A tiene que ser culpable y C es inocente. 4) Si D fuera culpable, entonces A también es culpable. Con estos datos: ¿se puede decidir quién o quiénes de los cuatro fueron culpables (y quiénes son inocentes)? Antes de avanzar, quiero hacer dos observaciones. El punto (2) dice que: “o bien A es inocente o bien C es culpable”. Hay que interpretar que por lo menos una de las dos conclusiones es válida. Es decir, al menos una de las dos afirmaciones (A es inocente, C fue cómplice de B) es verdadera, pero incluso podría pasar que fueran ciertas las dos. Lo que es seguro que NO puede pasar es que ambas sean falsas. Por último, aunque parezca una perogrullada, prefiero dejarlo escrito (vicios de matemático, supongo): una persona no puede ser culpable e inocente al mismo tiempo. Obviamente, no hay ninguna trampa. Siéntese en un lugar tranquilo y concédase tiempo para pensar y permítase disfrutar del recorrido. Página 12. Jueves, 2 de agosto de 2012 30
  31. 31. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Solución Para comenzar, quiero proponerle que hagamos juntos algunas conjeturas. Tomemos el caso de D. No sabemos (aún) si es culpable o inocente. Por la afirmación (3), si D fuera inocente, entonces se deduce que A tiene que ser culpable [2]. Pero por otro lado, si D fuera culpable, por (4), A también tendría que ser culpable. Entonces, de las dos reflexiones anteriores hemos deducido que pase lo que pase con D (inocente o culpable) resulta que A ¡tiene que ser culpable! Sigamos. Como ahora sabemos que A es culpable, por el dato (1) se deduce que B es culpable también. Usando (2), como B es culpable, quedan dos alternativas: o bien A es inocente, o bien C es culpable. Al menos una de estas dos afirmaciones tiene que ser cierta. Pero como ya sabemos que A no es inocente, entonces no queda más remedio de que C sea culpable. Resumen: hasta acá hemos deducido que A, B y C son culpables. ¿Qué pasa con D? Fíjese que de (3) se concluye que si D fuera inocente, entonces tienen que suceder dos cosas simultáneamente: A tiene que ser culpable y C tiene que ser inocente. Pero como ya sabemos que C es culpable, la suposición que involucra el dato (3) no puede ser cierta: D no puede ser inocente. En consecuencia, D es culpable también. Y esto concluye el análisis. Con los cuatro datos que figuran más arriba, se deduce que ¡los cuatro sospechosos son culpables! Una reflexión final. No se me escapa que uno nunca tendrá que hacer una evaluación de este tipo al investigar el robo de un banco, pero –obviamente– ésa no es la idea. Lo que pretendo es usar este ejemplo para mostrar cómo uno puede entrenarse a pensar, a conjeturar, a hilvanar ideas, a deducir y a sacar conclusiones un poco más elaboradas, menos inmediatas. Y eso sí que es necesario en la vida cotidiana. Y de paso sirve para preguntarse por qué este costado lúdico de la matemática no tiene una inserción más evidente en los estadíos iniciales de las escuelas y los colegios. [1] Hay muchísimas variantes de este tipo de juegos de lógica, popularizados por Raymond M. Smullyan, el célebre matemático nacido en Nueva York en 1919. Smullyan es además mago, concertista de piano, lógico y seguramente algo más que yo no sé. El crédito por este problema le corresponde todo a él. [2] Se saca además otra conclusión: que C sería inocente, pero eso no es lo que me/nos interesa usar en este momento. 31
  32. 32. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 11 Clasificación de proposiciones En las guías de trabajo anteriores hemos construido tablas de valores de verdad para diversas proposiciones compuestas, a partir del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que las formaban, tal como se muestra en los siguientes casos. 1) Construyamos la tabla de valores de verdad para la siguiente proposición compuesta ( p  q)  (p  q) ① ② p q p pq p  q ① ② V V F V V V V F F F F V F V V F V V F F V F V V La última columna de la tabla es el “resultado” final de la misma. En este caso, encontramos en la última columna que corresponde a la proposición compuesta que todos los valores de verdad son verdaderos independientemente del valor de verdad de cada proposición simple. Una proposición que tiene esta característica recibe el nombre de TAUTOLOGÍA (también llamada LEY LÓGICA, o FÓRMULA VÁLIDA). Esto significa que, independientemente de las proposiciones que representen p y q el condicional construido es siempre verdadero. Por ejemplo si p= “2+3 = 4” y q= “7 es un número impar” ( p  q)  (p  q) Si “2+3 = 4” ^ “7 es un número impar” entonces “2+3 ≠ 4” v “7 es un número impar” Es verdadera sin importar que p es falsa y q verdadera ya que el antecedente es siempre falso (es una conjunción con una de las proposiciones falsa) por lo tanto como han estudiado en la guía de trabajo n° 5, EL CONDICIONAL ES SIEMPRE VERDADERO. 32
  33. 33. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software 2) Ahora trabajaremos con: ( p  q)  ( p  q) ① ② p q pq ① ① ② V V V F F V F F V F F V F V F F F F V F En este caso, encontramos en la última columna correspondiente a la proposición compuesta que todos los valores de verdad son falsos independientemente del valor de verdad de cada proposición que la forma. Una proposición que tiene esta característica recibe el nombre de CONTRADICCIÓN (también llamada FÓRMULA INCONSISTENTE). La TAUTOLOGÍA y la CONTRADICCIÓN son importantes en Lógica, como veremos más adelante. Actividad 24 Construyan un ejemplo y traten de explicar por qué se da esta contradicción. 3) Otro caso. Construyamos la tabla y fijemos nuestra atención en la última columna. ( p  q)  (p  q) ① ② ③ p q pq p ② q ①③ V V V F V V V F F F V V F V F V V V F F F V F F 33
  34. 34. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Por último, en el caso 3, encontramos en la última columna que corresponde a la proposición compuesta que los valores de verdad son verdaderos o falsos dependiendo del valor de verdad de cada proposición que la forma. Una proposición que tiene esta característica recibe el nombre de CONTINGENCIA. Por lo anterior diremos que: Una proposición compuesta es TAUTOLÓGICA si su valor de verdad es VERDADERO independientemente del valor de verdad de cada una de las proposiciones que la forman. Una proposición compuesta es CONTRADICTORIA si su valor de verdad es FALSO independientemente del valor de verdad de cada una de las proposiciones que la forman. Una proposición compuesta es CONTINGENTE si su valor de verdad es VERDADERO o FALSO dependiendo del valor de verdad de cada una de las proposiciones que la forman. Leyes del pensamiento Existen tres proposiciones fundamentales de la lógica clásica, que son ejemplos de la importancia de las tautologías y las contradicciones, también conocidas como Leyes del pensamiento, a saber: Principio de identidad, Principio de Contradicción (también se lo conoce como Principio de no contradicción) y el Principio del Tercero Excluído. Veamos de qué se trata cada uno. Principio de Identidad Si un enunciado (proposición) es verdadero entonces es verdadero. En símbolos: p p Es una proposición compuesta TAUTOLÓGICA, o es una TAUTOLOGÍA. 34
  35. 35. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Principio de contradicción Ningún enunciado (proposición) puede ser verdadero y falso a la vez. En símbolos: p  p Es una proposición compuesta CONTRADICTORIA, o es una CONTRADICCIÓN. Principio del Tercero Excluido Un enunciado (proposición) es, o bien verdadero o bien falso, y no admite ninguna otra interpretación. En símbolos: p  p Es una proposición compuesta TAUTOLÓGICA, o es una TAUTOLOGÍA. Actividad 25 Construyan las tablas de valores de verdad para cada uno de los principios enunciados y verifiquen la clasificación de cada uno. Actividad 26 Propongan tres proposiciones compuestas que resulten ser tautológicas, contradictorias o contingentes, respectivamente. Justifiquen por qué los son. 35
  36. 36. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 12 Equivalencia lógica En la Guía de trabajo N° 9 de la primera parte del módulo de Matemática II, hemos tratado el bicondicional. Hemos construido la tabla de valores de verdad y visto que resulta verdadero cuando las proposiciones que lo forman tienen el mismo valor de verdad. Es decir, un bicondicional es verdadero si ambas proposiciones son verdaderas o falsas a la vez, o sea, ambas “valen igual”. Podemos decir entonces que: Cuando el bicondicional es verdadero ambas proposiciones son equivalentes. A la equivalencia demostrada en la tabla de p↔q se la conoce también como equivalencia material. En lógica existe otro tipo de equivalencia, de significado más fuerte que el anteriormente enunciado, como lo es la equivalencia lógica. Decimos que dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando su equivalencia material es una tautología. “Dos enunciados son lógicamente equivalentes sólo cuando es absolutamente imposible que tengan diferentes valores de verdad, por lo tanto, los enunciados lógicamente equivalentes tienen el mismo significado y se pueden sustituir uno por otro… sin que se modifique el valor el valor de verdad en ese contexto”.4 Dicho de otro modo, todo enunciado (proposición) puede remplazarse por su equivalente sin cambiar su valor de verdad. Esto es de suma importancia en la demostración de la validez de los razonamientos o en la simplificación de proposiciones compuestas. Leyes de equivalencia En el cuadro siguiente se muestran las leyes de equivalencia usadas en la simplificación de fórmulas y en la demostración de validez de razonamientos lógicos. Léanlo y complétenlo, en las siguientes guías de trabajo vamos a utilizarlas, es importante que traten de comprender su significado y para eso agregamos una columna al final del cuadro para que escriban lo que cada ley “dice” en lenguaje coloquial. 4 De Copy, obra citada, pp 362 36
  37. 37. Universidad Provincial de Ezeiza Ley Conmutativa Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Abreviatura Simbolización Conm. ( p  q)  (q  p) ( p  q)  (q  p) Forma coloquial p^q equivale a q^p y pvq equivale a qvp Asociativa Asoc. [ p  (q  r )]  [( p  q)  r ] [ p  (q  r )]  [( p  q)  r ] Distributiva Dist. [ p  (q  r )]  [( p  q)  ( p  r )] [ p  (q  r )]  [( p  q)  ( p  r )] De Morgan DeM. ( p  q)  (p  q) ( p  q)  (p  q) DN. (p)  p Trans. ( p  q)  (q  p) Implicación material Imp. ( p  q)  (p  q) Equivalencia material Eq. ( p  q)  [( p  q)  (q  p)] Taut. p  ( p  p) Doble negación Transposición ( contrarrecíproca) Tautología (o idempotencia) p  ( p  p) Actividad 27 Construyan las tablas de valores de verdad para cada una de las leyes de equivalencia y verifiquen que son tautologías, no se olviden de colocar como título para cada tabla el nombre o la abreviatura de la ley de equivalencia a la que corresponde. Son unas cuantas, lo ideal es que trabajen en forma autónoma, luego comparen las tablas construidas con las de todo el grupo de estudio y traten de determinar cuáles son correctas. Si después de todo este trabajo aún tienen alguna duda consulten con el profesor. 37
  38. 38. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Aplicación Veamos unos ejemplos de uso de estas leyes: Ejemplo 1: Simplificar la siguiente proposición ① ② (p  q)  [(r  s)  (s  r )] La proposición ① es la negación de una disyunción y por ley de De Morgan (vean el cuadro anterior) esta negación equivale a la conjunción de las negaciones de cada una de las proposiciones que la forman y la proposición ② es la conjunción de dos condicionales en los que el antecedente de uno es el consecuente del otro, y por la ley de la equivalencia material (vean el cuadro) podemos escribir a ésta como un bicondicional. Entonces, aplicando estas leyes nos quedaría la siguiente proposición: ③ ④ [(p)  (q)]  (r  s) Por DeM Por Eq. No continúen leyendo hasta que no estén seguros/as de entender perfectamente lo que se hizo. La proposición ③ es la negación de la negación de p y por la ley de la doble negación (¿donde tendrían que mirar?) equivale a p. Ídem para la proposición ④ que resulta equivalente a q. Aplicando esta equivalencia nos queda: ( p  q)  ( r  s ) Hemos llegado a una expresión más simple que la dada al comienzo, por lo cual decimos que ha quedado simplificada. Otra vez, no continúen leyendo hasta asegurarse de entender perfectamente cómo se logro esta expresión simplificada. Ejemplo 2 Negar la siguiente proposición utilizando leyes de equivalencia si fuese necesario: p  (q  r ) Se nos pide negar una conjunción, es decir, debemos hacer:  [p  (q  r )] 38
  39. 39. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Entonces debemos usar la ley de De Morgan ¿por qué? Nos queda: ① ② (p)  (q  r ) ① equivale a p por doble negación y en ② para poder negar el condicional, para lograrlo, lo escribiremos usando su equivalente por ley de implicación material (vean el cuadro de las leyes de equivalencia): p  (q  r ) De este modo vemos que para negar el condicional ahora debemos negar una disyunción, entonces escribimos, usando De Morgan: ③ p  [(q)  r ] La expresión ③ equivale a q por la doble negación, entonces escribimos: p  (q  r ) Así la expresión anterior debería ser la negación de la proposición dada al comienzo. ¿Cómo podemos comprobarlo? Hemos dado algunas aplicaciones de las leyes de equivalencia del cuadro, más adelante veremos más usos de ellas. 39
  40. 40. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 13 En esta guía de trabajo les presentamos actividades en la que podrán utilizar todo lo que aprendimos hasta este momento. Vuelvan a trabajar primero solos para luego poder comparar con los trabajos elaborados por el resto del grupo de estudio al que pertenezcan tratando de determinar si han obtenido soluciones correctas. Si después de todo este trabajo aún quedaran dudas pueden consultar con el profesor. Como se darán cuenta, este es el estilo de trabajo que esperamos que desarrollen durante la cursada. Creemos que este tipo de trabajo afianza el trabajo en equipo, como también los lazos que unen a los que integran el grupo. Por otro lado, al darse cuenta de que poco a poco al comparar su trabajo con el de los demás van obteniendo varias soluciones correctas que coinciden o son equivalentes con las de sus compañeros, se afianza también la autoestima y van adquiriendo confianza para el trabajo en Matemática. Dicho todo esto: ¡A trabajar! Actividad 28 Usando tablas de valores de verdad clasifiquen las siguientes proposiciones compuestas en tautológicas, contradictorias o contingentes. a)[p  (p  q)]  q b)(p  q)  (p  q) c)p  [p  (q  q)] d)p  [p  (q  q)] e)[p  (q  p)]  [(q  q)  (r  r)] Actividad 29 Usando tablas de valores de verdad decidan cuáles de los siguientes bicondicionales son tautologías. a)[( p  q)  r ]  [(q  p)  r ] b) p  [ p  ( p  q)] c)( p  q)  [( p  q)  q] d ) p  [ p  (q  q)] e) p  [ p  (q  q)] 40
  41. 41. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 30 Utilizando las leyes de equivalencia adecuadas, simplifiquen las siguientes proposiciones compuestas: a)(p  q) b)( p  q)  (p  q) Actividad 31 Nieguen las siguientes proposiciones, si fuera necesario utilicen leyes de equivalencia: a) p  q b)[ p  (q  r )]  s c) p  q Actividad 32 Una empresa cuenta con una base de datos en la que se guarda información de los empleados. Para cada uno de ellos se guardan los siguientes datos: Sexo: Masculino, Femenino Estado Civil: Casado Hijos: valor numérico entero mayor o igual que 0 Departamento: Ventas, Producción, Finanzas Salario: valor numérico mayor que 0 Locación de la planta: Nombre de la localidad Educación: Primaria, Secundaria, Terciaria y Universitaria Para representar simbólicamente cada uno de los datos anteriores se usa la primera letra en mayúsculas, por ejemplo: Sexo se simboliza con una S, Masculino se simboliza con una M, Salario se simboliza con Sa ya que su inicial coincide con Sexo y así sucesivamente. En el uso de la base se pueden utilizar los símbolos lógicos: ,,  41
  42. 42. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Y los símbolos matemáticos: =, <, > Por ejemplo para encontrar los empleados casados que trabajan en ventas y ganan más de $3000, se escribirá la fórmula: EC  C  D  V  Sa  3000 Expliquen significado de los símbolos de la fórmula anterior Antes de comenzar convendrá que escriban los códigos que utilizarán para cada una de las categorías en las que se almacenará la información de cada empleado, algunas ya las hemos mencionado al construir la fórmula anterior. Utilizando esos códigos, escriban las fórmulas que permitan encontrar: a) Los hombres solteros del departamento de finanzas de Bariloche. b) Las mujeres que tienen tres hijos y ganan menos de $5000. c) Los empleados con estudios terciarios o universitarios, que trabajan en La Plata. d) Los empleados solteros con estudios primarios que no trabajan en producción. Actividad 33 Propongan una situación similar a la planteada en la Actividad 32 pero considerando que la base de datos contiene información sobre los alumnos de una universidad. 42
  43. 43. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 14 Razonamientos en Lógica El siguiente texto ha sido extraído del libro Lógica computacional de Enrique Paniagua Arís y otros, de la editorial Thomson Editores Spain, Paraninfo. España. 2003. Pepe se encuentra con Juan por la calle y le dice: -Hola Juan. ¿Cómo te va últimamente? -Bien, estoy haciendo un curso de Lógica. -¿Lógica?, y ¿eso qué es? -Te lo explicaré. ¿A ti te gustan las plantas? -Sí, claro. -Y si te gustan las plantas, ¿te gustará la naturaleza? -Por supuesto. -Y si te gusta la naturaleza, ¿serás un hombre sociable? -Sí, muy sociable. -Y si eres sociable, ¿te gustarán las mujeres? -Pues sí, me gustan bastante. -Eso es Lógica. ¿Lo entiendes? -Sí. Al cabo de unos días Pepe se encuentra con Antonio y le dice: -Hola Antonio. -Hola. -¿Sabes?, el otro día me encontré con Juan y me comentó que estaba haciendo un curso de Lógica. -¿Lógica? -Sí. Mira, es muy sencillo. ¿A ti te gustan las plantas? -Pues no mucho, la verdad. -Ahhhh, ¡entonces eres gay! 43
  44. 44. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software En este ejemplo vemos cómo Juan realiza, paso a paso, la demostración de que a Pepe le gustan las mujeres, partiendo de premisas tales como: ”te gustan las plantas”, “si te gustan las plantas entonces te gusta la naturaleza”, “si te gusta la naturaleza entonces eres un hombre sociable”, y “si eres un hombre sociable entonces te gustan las mujeres”. En este proceso, Pepe utiliza premisas y valoraciones de las mismas (sí a todas) que le presenta a Juan en combinación con una regla de inferencia que se denomina Modus Ponens (que vamos a estudiar en seguida), para obtener la deducción que realiza. En el párrafo anterior, usamos las expresiones “premisa”, “regla de inferencia”, “demostración”, etcétera, a lo largo de esta guía estudiaremos su significado. Veamos ahora la forma que adopta el razonamiento utilizado por Juan. “te gustan las plantas” y “si te gustan las plantas entonces te gusta la naturaleza” y “si te gusta la naturaleza entonces eres un hombre sociable” y “si eres un hombre sociable entonces te gustan las mujeres”. Entonces “te gustan las mujeres” (1) Vemos que tenemos un condicional formado por una conjunción de proposiciones, que es el antecedente del condicional, y una proposición que es el consecuente del mismo. A cada una de las proposiciones que forman el antecedente las llamamos premisas y a la que forma el consecuente la llamamos conclusión. A este condicional lo llamamos razonamiento. Se llama razonamiento a cualquier condicional cuyo antecedente es una conjunción de proposiciones, llamadas premisas, y un consecuente, llamado conclusión. Las premisas son verdaderas ya que Pepe responde con un sí a cada una de ellas, por lo que Juan infiere que la conclusión a la que llega también lo es. Un condicional, del cual se asegura que de premisas verdaderas se llega a una conclusión también verdadera, lo llamamos razonamiento válido. De los razonamientos se dice que son válidos o no, pero nunca que son verdaderos o falsos, ya que verdaderas o falsas son las proposiciones que lo componen. Los razonamientos válidos son tautologías. ¿Por qué? ¿Cómo demostramos que lo son? Representemos simbólicamente el razonamiento de Juan detallado en (1): p:”te gustan las plantas” q:”te gusta la naturaleza” r:”eres un hombre sociable” s:”te gustan las mujeres” 44
  45. 45. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Entonces podemos escribir este razonamiento como el siguiente condicional (también se dice que lo escribimos de forma condicional): [ p  ( p  q)  (q  r )  (r  s)]  s Actividad 34 Construyan la tabla de valores de verdad para el condicional obtenido. (¿Qué propiedad pueden utilizar para hallar el valor de verdad de la conjunción de más de dos proposiciones que hay en el antecedente?) Seguramente, después de un arduo trabajo para confeccionar la tabla, han obtenido una tautología que consta de 16 filas (¿Por qué 16?) y 11 columnas. Como sabemos cuantas más proposiciones compongan el razonamiento la tabla más se complica, por lo tanto resultará útil encontrar otra forma de averiguar si el razonamiento es válido sin recurrir forzosamente a la tabla. En la primera parte del módulo hemos usado un procedimiento para hallar el valor de verdad de una proposición compuesta sin hacer tabla en varias de las actividades propuestas. Revisen antes de continuar leyendo. El razonamiento que estamos analizando es válido, entonces el condicional que lo representa es Verdadero. Si el antecedente (conjunción de las premisas) es verdadero, el consecuente (conclusión) debe ser verdadero. Necesitamos probar que no existe la posibilidad de que a partir de premisas Verdaderas lleguemos a una conclusión Falsa. Para lograr esto partimos suponiendo que el condicional es Falso, siendo Verdadero el antecedente y la conclusión Falsa para ver qué pasa cuando esto sucede. A este procedimiento se lo llama demostrar por reducción al absurdo. Entonces escribimos: [ p  ( p  q)  (q  r )  (r  s)]  s V F F Para que la conjunción de premisas sea Verdadera, cada una de las premisas que intervienen en ella debe serlo, es decir: ① ② ③ [ p  ( p  q)  (q  r )  (r  s)]  s V V V V V F F 45
  46. 46. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Para que el condicional ① sea Verdadero sabiendo que p es Verdadero, debe ser Verdadero el valor de q. Para que el condicional ② sea Verdadero sabiendo que q es Verdadero, debe ser Verdadero el valor de r. Para que el condicional ③ sea Verdadero sabiendo que r es Verdadero, debe ser Verdadero el valor de s. Pero… ¡ATENCIÓN! Al principio supusimos que s es Falso y hemos demostrado que s es Verdadero. ¡Aquí aparece el ABSURDO! Por lo tanto el condicional no puede ser Falso y el razonamiento resulta ser válido. Fíjense que hemos llegado a esta conclusión sin utilizar una tabla de valores de verdad. Forma argumental Los razonamientos pueden escribirse de dos formas: una forma condicional (es la que ya hemos visto) y otra argumental. En la forma argumental, cada premisa se escribe en un renglón numerado a partir de 1, y la conclusión separada de las anteriores por una línea. La forma argumental del razonamiento que analizamos es: 1. p 2. p  q 3.q  r 4.r  s _________ 5.s Se comprende que cada renglón se une al siguiente a través de la conjunción y la línea equivale al entonces del condicional. En el ejemplo trabajado pudimos distinguir fácilmente cuáles eran las premisas y cuál la conclusión a lo largo del relato, pero cuando leemos un texto cualquiera, a veces no resultan tan evidentes, por eso existen expresiones que son indicadores de premisas y de conclusiones. La aparición en un texto de estas expresiones indica que estamos en presencia de ellas, esto nos facilita encontrarlas para poder traducirlas al lenguaje simbólico. En su libro Introducción a la Lógica, Irving M. Copi y Carl Cohen escriben que: “… Algunas palabras o frases sirven de manera característica para introducir la conclusión de un argumento. Llamaremos "indicadores de la conclusión" a tales expresiones. La presencia de 46
  47. 47. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software cualquiera de ellas señala frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la conclusión de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de conclusión:                   por lo tanto de ahí que así correspondientemente en consecuencia consecuentemente lo cual prueba que como resultado por esta razón por estas razones se sigue que podemos inferir que concluyo que lo cual muestra que lo cual significa que lo cual implica que lo cual nos permite inferir que lo cual apunta hacia la conclusión de que Otras palabras o frases sirven de manera característica para señalar premisas de un argumento. Llamaremos a tales expresiones "indicadores de premisas". La presencia de cualquiera de ellas señala frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la premisa de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de premisas:        puesto que como es indicado por dado que la razón es que a causa de por las siguientes razones porque se puede inferir de pues se puede derivar de se sigue de se puede deducir de como muestra en vista de que…” Actividad 35 Dados los siguientes razonamientos, se pide expresarlos simbólicamente en forma condicional y argumental y demostrar si son válidos o no. a) Los gases se dilatan con el calor y el argón es un gas. Podemos inferir que, o bien el argón se dilata con el calor o bien no es un gas. b) Si yo estoy en lo cierto, tú estás equivocado. Tú no estás equivocado. Por lo tanto yo no estoy en lo cierto. c) Hace frío. Si hace frío me abrigaré para salir a dar un paseo. Si salgo a pasear me divertiré con mis amigos. De ahí que, si hace frío me divierto con mis amigos. 47
  48. 48. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 15 En la guía de trabajo anterior hemos definido a qué llamamos razonamiento y las formas de escritura que admite: la forma condicional y la forma argumental. También hemos demostrado su validez a través de tablas de valores de verdad o bien por reducción al absurdo. En un razonamiento válido, decimos que la conclusión se deriva del conjunto de premisas, y que el condicional es un argumento o derivación. En todo el trabajo anterior hemos notado la dificultad que entraña demostrar esta validez, sea cual sea el modo que elijamos para hacerlo, sobre todo cuando la cantidad de premisas aumenta. Existe otro modo de demostrar la validez de un razonamiento y es utilizando reglas de inferencia. Una regla de inferencia permite la deducción de nuevas proposiciones a partir de un conjunto dado de argumentos elementales, siendo la conclusión, la última proposición obtenida que se deduce lógicamente de las anteriores. Cuando se utilizan reglas de inferencia para probar la validez de un razonamiento se está haciendo una prueba formal de validez. Siguiendo a Copi y Cohen, en su obra citada anteriormente, existen nueve argumentos elementales, también llamados reglas de inferencia, que se detallan en el cuadro a continuación: Regla Abreviatura Forma condicional Modus Ponens MP. [( p  q)  p]  q Modus Tollens MT. [( p  q)  q]  p A. ( p  q)  ( p  q) Silogismo Hipotético S.H. [( p  q)  (q  r )]  ( p  r ) Silogismo Disyuntivo S.D. [( p  q)  p]  q Adjunción o también [( p  q)  q]  p Dilema Constructivo Simplificación D.C. [( p  q)  (r  s)  ( p  r )]  (q  s) S. ( p  q)  p O también ( p  q)  q 48
  49. 49. Universidad Provincial de Ezeiza Adición Matemática II Ad. Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software p  ( p  q) O también q  ( p  q) Absorción Abs. ( p  q)  [ p  ( p  q)] Actividad 36 Construir para cada una de las reglas de inferencia dadas, una tabla de valores de verdad y comprobar que son tautologías. Actividad 37 Para cada regla de inferencia del cuadro, dar una interpretación a cada una de las proposiciones simples que intervienen y escribirlas en lenguaje coloquial. Por ejemplo: Dado el Modus Tollens, sean: p:”Las rosas son rojas” q:”Los claveles son blancos” La forma condicional del Modus Tollens es: [( p  q)  q]  p Entonces, para las interpretaciones dadas, puede escribirse: Si las rosas son rojas entonces los claveles son blancos y los claveles no son blancos. Por lo tanto las rosas no son rojas. Otra forma de escribir coloquialmente esta expresión es: Si las rosas son rojas, los claveles son blancos. Los claveles no son blancos. Por lo tanto las rosas no son rojas. Observamos que el y de la primera forma es remplazado por el punto seguido y la expresión “Por lo tanto” indica que a continuación se escribe la conclusión. 49
  50. 50. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 16 Prueba formal de validez Volvamos al razonamiento de Juan, visto en la guía de trabajo n° 14. Lo demostraremos utilizando reglas de inferencia y para ello adoptaremos la forma argumental para dar una prueba formal de validez. La forma argumental del razonamiento que analizamos es: 1. p 2. p  q 3.q  r 4.r  s _________ 5.s Las líneas de 1 a 4 son el conjunto de premisas y la línea 5 es la conclusión que queremos demostrar. Otra forma de escribir la línea de la conclusión en un razonamiento es: 1. p 2. p  q 3.q  r 4.r  s _________ s El símbolo  equivale a la expresión “por lo tanto”, o “se infiere”, o a cualquier otro indicador de conclusión que hemos citado precedentemente. El uso de este símbolo nos permite omitir el número de línea. En una prueba formal se procede a escribirlas de este modo: 1.p P (la P indica que la proposición es una Premisa) 2.p→q P 3.q→r P 4.r→s P s (no utilizamos un código para diferenciar la conclusión ya que esta proposición se encuentra escrita debajo de la línea) 50
  51. 51. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Entonces, a través de la elección conveniente de las premisas y utilizando las reglas de inferencia que correspondan, se van generando nuevas proposiciones derivadas de ellas, que pasarán a ocupar una nueva línea en la secuencia. Veamos la prueba formal de validez: 1.p P 2.p→q P 3.q→r P 4.r→s P 5.p→r S.H. (Silogismo Hipotético) entre 2 y 3 6.p→s S.H. entre 5 y 4 7.s MP.(Modus Ponens) Entre 1 y 6 La línea 7 es la conclusión derivada de las premisas 1 a 4 y de las inferencias 5 y 6. Es importante notar que en la demostración se han usado todas las líneas de premisas y todas las líneas de inferencias para llegar a demostrar la conclusión. Siempre en una prueba formal se han de utilizar todas las líneas dadas y aquellas que se van obteniendo para llegar a la conclusión. Asimismo, debemos tener en cuenta que puede haber más de una prueba formal de validez para llegar a demostrar un razonamiento. Otra forma de demostrar el razonamiento anterior es: 1.p P 2.p→q P 3.q→r P 4.r→s P 5.q MP. entre 1 y 2 6.r MP. entre 3 y 5 7.s MP. entre 4 y 6 Hasta aquí introdujimos la llamada Lógica discreta o Lógica material o Lógica Proposicional de Orden cero: LPO0. 51
  52. 52. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 38 Utilizando las reglas de inferencia y las leyes lógicas vistas, dar una prueba formal de validez para cada uno de los razonamientos dados: a) 1. p   q 2. p 3.q  r ________ r b) 1.p  s 2.s 3. p   r ________  r c) 1.( p  q ) 2.q  t 3.p  t 4.s  t __________  s d) 1.r  s 2.r  p 3.s  q __________  ( p  q ) 52
  53. 53. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 17 Antes de encarar los temas que cierran el bloque de Lógica, haremos una revisión de lo expuesto hasta ahora. Es conveniente que tengan a mano las dos partes anteriores a ésta para ir repasando todo lo visto y así poder aplicarlo. Actividad 39 Cada una de las siguientes es una prueba formal de validez del argumento indicado. Justifiquen cada línea que no sea una premisa de la prueba. a) 1.( p  q )  (r  s ) P 2.( p  r )  (q  s ) P 3.rP 4. p  q 5.r  s 6.s b) 1. p  qP 2.q  rP 3.s  tP 4. p  sP 5. p  r 6.( p  r )  ( s  t ) 7.r  t 53
  54. 54. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software c) 1. p  qP 2.( p  r )  ( s  q ) P 3.( p  q )  rP 4.sP 5. p  ( p  q ) 6. p  r 7.s  q 8.q Actividad 40 Construyan una prueba formal de validez para cada uno de los argumentos dados. a) 1.(q  r )  ( s  t ) 2.(u  v)  ( w  x) 3.q  u r  v b) 1. p  q 2.( p  q)  r 3.r  s s Actividad 41 Demuestren que las proposiciones p, q, r y s son equivalentes entre sí, utilizando convenientemente los condicionales: p→q , q→r , r→s , y s→p. Justifiquen a través de reglas de inferencia y leyes lógicas. 54
  55. 55. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 42 Construyan una prueba formal de validez para el siguiente argumento, usando las proposiciones sugeridas en este caso. “Si Smith una vez derrotó al fogonero en el billar, entonces Smith no es fogonero. Smith derrotó una vez al fogonero en el billar. Si el guardafrenos es Jones, entonces Jones no es el fogonero. El guardafrenos es Jones. Si Smith no es el fogonero y Jones no es el fogonero, entonces Robinson es el fogonero. Si el guardafrenos es Jones y Robinson es el fogonero, entonces Smith es el maquinista. Por lo tanto, Smith es el maquinista” U: Smith derrotó una vez al fogonero en el billar, M: Smith es el fogonero, G: el guardafrenos es Jones, N: Jones es el fogonero, R: Robinson es el fogonero. S: Smith es el maquinista. Actividad 43 Utilizando el Modus Ponens, qué conclusión pueden obtener de los siguientes conjuntos de premisas. a) Si mañana voy a trabajar, volveré muy cansado. Mañana voy a trabajar….. b) Recibí una promoción en mi empleo. Si recibo una promoción en mi empleo, mi salario sufrirá un aumento importante…… c) Tengo una solución al problema. Si tengo una solución al problema, o bien no tengo problema o bien el problema es otro……. Actividad 44 Utilizando el Modus Tollens, qué conclusión pueden obtener de los siguientes conjuntos de premisas. a) Si sopla el viento del norte, subirá la temperatura. La temperatura no subió……… b) No puedo ir a la reunión mañana. Si tuviese tiempo libre, iría a la reunión mañana….. c) Si la capacidad de memoria de mi computadora es importante, puedo almacenar más información en ella. No puedo almacenar más información en ella……….. 55
  56. 56. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 45 Utilizando el Silogismo Disyuntivo, qué conclusión pueden obtener de los siguientes conjuntos de premisas. a) O bien este hombre es un abogado o bien es un ingeniero. No es ingeniero…….. b) El vuelo se retrasó o Juan tomó otro avión más tarde. El vuelo no se retrasó….. c) Se presentaron a examen final o promocionaron. No promocionaron….. 56
  57. 57. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software ANEXO Citamos en este anexo a Copi y Cohen, en su obra Introducción a la Lógica, antes de comenzar con el trabajo que realizarán. “Hasta ahora … hemos centrado nuestra atención en identificar y analizar los argumentos de otras personas. Cuando uno resuelve un problema, debe hacer sus propias inferencias, construir sus propios argumentos. Algunas de las premisas utilizadas describen la situación problemática que uno confronta. Otras premisas contienen información que uno cree que es relevante para la solución del problema. Si el problema es un tanto difícil, uno puede encontrar en el curso de los propios pensamientos que la situación ha sido mal descrita. O uno puede hallar que la información disponible no es suficiente para resolver el problema. Aquí, como en cualquier otra actividad, la práctica hace al maestro. Un tipo útil de ejercicio para ayudar a fortalecer las propias habilidades de solución de problemas son los acertijos lógicos o rompecabezas mentales. En este tipo de ejercicio, la situación problemática se presenta como un conjunto de datos más o menos inconexos o de proposiciones dadas por verdaderas en el enunciado del problema. Y se plantea una pregunta específica o un grupo de preguntas, las respuestas de las cuales constituyen la solución al problema…. A partir de los datos ofrecidos en acertijos de este tipo, quizás solamente unas cuantas inferencias se pueden extraer inmediatamente y, en algunos acertijos particularmente elementales, esto puede ser suficiente para establecer la respuesta a la pregunta planteada”. Volviendo a nuestro trabajo tomamos un material no académico para esta actividad. Ustedes tal vez conozcan los libros de Ediciones de Mente. Tomamos del Súper libro de mente N° 14, 1° edición, Buenos Aires, Juegos & Co., 2011 este acertijo lógico. Para resolverlo deberán seguir las pistas que se van dando, en la cuadrícula marcarán con una S, si se cumple, también pueden usar una V, caso contrario, usarán una N o una F. Además deben tener en cuenta que para cada jugador, solo hay una lesión, un tiempo y una reacción, que no comparte con otros. Esperamos que su resolución sea además de un desafío un buen divertimento. La lógica no solo está en los libros de ciencia… Que disfruten el problema! 57
  58. 58. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software 58
  59. 59. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Respuesta: Jugador Lesión Tiempo Reacción 2 Frente 40´ Maldijo 4 Rodilla 26´ Gritó 5 Tobillo 32´ Se peleó 9 Codo 16’ Lloró 10 Muñeca 20’ Protestó 59
  60. 60. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 18 Funciones proposicionales En el estudio de la Lógica de Orden Cero hemos utilizado proposiciones. Éstas hacían referencia a cosas u objetos particulares del mundo, como por ejemplo: p:”el gato maúlla” q:”2 es impar” r:”la Tierra gira alrededor del Sol” etcétera. Es decir, las proposiciones expresan “algo” acerca del número 2, de un gato, de la Tierra. Pero a veces es necesario “decir algo” sobre objetos de un determinado conjunto sin especificar un objeto en particular. Es decir, expresar algo sobre “todos” los objetos de cierto conjunto o sobre “algunos” de ellos, pero sin nombrarlos uno por uno en particular. Por ejemplo, podemos decir: a) Todos los números son mayores que cero. b) Existen números pares. ¿Qué significa cada una de estas expresiones? En a) estamos diciendo que cada número es mayor que cero. Cada uno, cualquiera que sea ese número, sin omitir a ninguno, es mayor que cero. En b) estamos diciendo que algunos números son pares sin especificar de cuáles se trata. Algunos números, sin hacer referencia a cuáles, son pares. En los estos ejemplos hemos nombrado dos “predicados” diferentes sobre el sujeto número. Estos predicados aluden a propiedades sobre los números que pueden ser escritas de la siguiente forma: P(x): “x es mayor que cero” Q(x): “x es par” Estos predicados o propiedades se denotan usando letras en mayúscula y están expresadas en función de un elemento indeterminado x. Los predicados así escritos no poseen un valor de verdad ya que se desconoce de qué x se está hablando, por lo tanto, no son proposiciones (recordemos que un proposición siempre tiene un valor de verdad). Decimos entonces que son esquemas proposicionales ya que se aplican sobre un objeto indeterminado x. 60
  61. 61. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Un esquema proposicional es un cierto predicado o propiedad que se aplica a un objeto indeterminado x, perteneciente a cierto conjunto de referencia. El conjunto de referencia al que pertenece x es también llamado universo de aplicación de la variable o conjunto universal. Un esquema proposicional puede convertirse en una proposición reemplazando la indeterminada x por un elemento del conjunto de referencia. El valor de verdad de la proposición resultante dependerá del valor específico de la indeterminada x. Así por ejemplo para P(x)el conjunto universal es el de los números. Si en P(x) remplazamos a x por el número 5, obtenemos: P(5):”5 es mayor que cero” Decimos que P(5) es una proposición Verdadera pues 5 ES un número mayor que cero. Especifiquemos x en el valor -7, tenemos entonces que: P(-7): ”-7 es mayor que cero” En este caso P(-7) es una proposición Falsa ya que -7 NO ES mayor que cero. Podemos seguir dando valores particulares a la indeterminada x y obtendremos valores de verdad Verdaderos o Falsos, dependiendo de cada valor en particular asignado. Se dice que: El valor de verdad de un esquema proposicional es función del valor particular de la indeterminada x. De ahí que a los esquemas proposicionales se les denomine también funciones proposicionales. Al valor particular de la indeterminada x se lo llama especificación, instancia o sustitución de la variable. Entonces en los ejemplos anteriores, 5 es una especificación de la variable x, o también que 5 es una instancia de x, o también que 5 es una sustitución de x. Ídem para -7. Hemos pasado de un esquema o función proposicional a una proposición, instanciando (o especificando o sustituyendo) la variable x, hemos observado que las proposiciones así obtenidas pueden ser Verdaderas o Falsas. Pero existe otra forma de pasar de un esquema proposicional a una proposición. 61
  62. 62. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Cuantificadores Volvamos a nuestros ejemplos: En el ejemplo a) hicimos referencia a todos los números y en el b) a algunos números. Hemos establecido un tipo diferente de generalización para cada predicado: a todos y a cada uno de los números, en el ejemplo a) y a la existencia de algunos números (al menos uno) en el ejemplo b). Decimos que hemos cuantificado. En el ejemplo a) aplicamos una cuantificación universal ya que la propiedad se hace extensiva a todos los números. En el ejemplo b), tenemos una cuantificación existencial, al hablar de algunos o de por lo menos uno. Podemos rescribir las funciones proposicionales de la siguiente forma: a) Para todo x, x es mayor que cero. b) Existe al menos un x, tal que x es par. La expresión para todo se representa simbólicamente con:  La expresión existe al menos uno (o también existe por lo menos uno, o también existe alguno, etcétera) se representa simbólicamente con:  Entonces los ejemplos dados quedan escritos simbólicamente del siguiente modo: a)x : P( x) b)x / P( x) La notación anterior se usa en matemática, pero en lenguajes de programación que utilizan esquemas proposicionales cuantificados, se utilizan los cuantificadores con la siguiente notación: a)(x) P( x) b)(x)Q( x) Los paréntesis indican el alcance del cuantificador. No es obligatorio escribirlos, ya que se considera que el alcance del cuantificador se aplica al esquema proposicional inmediatamente posterior. Es decir, en a) el para todo alcanza a lo expresado en P(x) y en b) el existe, alcanza a lo expresado en Q(x). Por lo tanto podemos escribir: a)x, P( x) b)x, P( x) Como ya dijimos el valor de verdad de un esquema o función proposicional depende del universo de los objetos sobre los que se aplica. 62
  63. 63. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Una función proposicional cuantificada universalmente P(x) es Verdadera sobre un determinado universo, si P(a) es una proposición Verdadera, para todas y cada una de las sustituciones “a” de la variable x pertenecientes a dicho conjunto. Una función proposicional cuantificada existencialmente P(x) es verdadera sobre un determinado universo, si P(a) es una proposición Verdadera para por lo menos una sustitución “a” de la variable x perteneciente a dicho conjunto. Por lo anterior, decimos que: El ejemplo a), corresponde a una función proposicional cuantificada universalmente P(x) cuyo valor de verdad es Falso, ya que en el universo de P(x) encontramos una sustitución que no cumple con la propiedad dada a la variable x (y con encontrar una alcanza porque la cuantificación es universal es decir “para todos” ). ¿Cuál es esa sustitución encontrada? El ejemplo b), corresponde a una función proposicional cuantificada existencialmente Q(x) cuyo valor de verdad es Verdadero, ya que existe por lo menos una instancia que cumple con la propiedad dada a la variable x. ¿Cuál es la instancia que la cumple? Otro ejemplo. Escribir simbólicamente: Los cuadriláteros tienen cuatro lados. Aquí hablamos sobre cuadriláteros. ¿Qué decimos de ellos? Que si una figura es un cuadrilátero entonces tiene cuatro lados. ¿De qué cuadrilátero estamos hablando? De cualquier cuadrilátero, que por serlo decimos que tiene la propiedad de tener cuatro lados. Podemos reescribir la afirmación del siguiente modo: Para todo x, si x es cuadrilátero entonces x tiene cuatro lados. Llamamos C(x) a “x es cuadrilátero” y L(x) a “x tiene cuatro lados”, entonces nos queda que: Para todo x, C(x)→L(x) O también: x, C ( x)  L( x) 63
  64. 64. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Actividad 46 Escribir simbólicamente: a) Existen números menores que cero. b) Los hombres son mortales. c) Hay equipos de fútbol que ganan campeonatos. d) Existen empresarios exitosos y millonarios. e) Todas las circunferencias tienen un radio. Actividad 47 Para cada ejercicio de la actividad anterior, establecer un universo para la variable. Hallar el valor de verdad para cada uno de los esquemas proposicionales según el universo establecido. Funciones proposicionales con más de una variable Hasta ahora hemos trabajado con funciones proposicionales de una variable, pero existen aquellas en las que intervienen más de una variable, como por ejemplo: R(x;y): “x es múltiplo de y” En el esquema proposicional anterior se establece que una variable x es múltiplo de otra variable y. Como ya vimos, este esquema carece de un valor de verdad, a menos que sustituyamos las variables en un universo dado. Por ejemplo, sea 4 una sustitución de la variable x, sea 7 una sustitución de la variable y, para el universo de los números naturales, entonces: R(4;7):” 4 es múltiplo de 7” que es una proposición Falsa. Si ahora sustituimos x por 8 e y por 2, dentro del universo citado, tenemos que: R(8;2):”8 es múltiplo de 2” que es una proposición Verdadera. También hemos visto que en vez de sustituir las variables por cada valor particular, podíamos cuantificar el esquema proposicional, a través de cuantificadores universales o existenciales, haciendo más sencillo el determinar un valor de verdad dentro de un cierto universo. Podemos escribir entonces los siguientes esquemas proposicionales cuantificados en el universo de los números naturales: 64
  65. 65. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software a)xy, " x es múltiplo de y" b)xy, " x es múltiplo de y" ¿Qué significa cada uno de ellos? En a) se dice que todo número natural, cualquiera que él sea, es múltiplo de algún número natural. En b) se dice que hay al menos un número natural que es múltiplo de todos los números naturales. ¿Consideran ustedes que ambos esquemas dicen los mismo? Discutan en clase un momento sobre esto. Anoten las conclusiones a las que hayan llegado antes de seguir leyendo: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Los esquemas no dicen lo mismo. No es lo mismo que todos los naturales sean múltiplos de algunos, que hay algún natural que sea múltiplo de todos. ¿En qué radica la diferencia? En el orden en que están escritos los cuantificadores. Debemos tener cuidado en el orden en que escribamos los cuantificadores. Actividad 48 Escribir simbólicamente: a) Hay un número que es anterior a todo número. b) Todo número es mayor que algún número. c) Algunos números tienen inverso multiplicativo. d) Todos los números tienen opuesto. Actividad 49 Analizar el valor de verdad de los esquemas de la actividad anterior, para cada uno de los siguientes universos: a) El conjunto de los números racionales, b) El conjunto de los enteros negativos, c) El conjunto de los números naturales. 65
  66. 66. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Guía de trabajo nº 19 Negación de cuantificadores En la guía de trabajo anterior hemos trabajado con funciones proposicionales cuantificadas. ¿Qué sucede si, dado un esquema determinado, se quiere escribir lo contrario? Veamos algunos casos. Dados los siguientes esquemas proposicionales cuantificados: a) Todos los números son pares b) Existe por lo menos un perro que vuela Procederemos a negar cada uno: a) No todos los números son pares… b) No existe ningún (ni siquiera uno) perro que vuela… ¿Qué estamos diciendo en cada caso? ¿Qué significa “NO todos”? ¿Qué significa “NO existe ni siquiera uno”? En a) si NO TODOS los números son pares es porque hay algunos números que NO son pares. Vemos que: Negar un cuantificador universal equivale a afirmar un cuantificador existencial en el cual el predicado aparece negado. En b) si NO EXISTE un perro que vuela es porque todos los perros NO vuelan. Es decir Negar un cuantificador existencial equivale a afirmar un cuantificador universal en el cual el predicado aparece negado. Simbólicamente: a)[x, P( x)]  [x, P( x)] b)[x, P( x)]  [x, P( x)] 66
  67. 67. Universidad Provincial de Ezeiza Matemática II Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Observemos en a) que la negación se desplaza hacia el interior de la expresión, remplazándose el cuantificador universal por el existencial y corriéndose la negación al esquema proposicional dado. En b) sucede lo mismo. Veamos algunos ejemplos Negar los siguientes esquemas: 1)x, [ P( x)  (Q( x)  S ( x))] [x, [ P( x)  (Q( x)  S ( x))]]  x, [ P( x)  (Q( x)  S ( x))] Hemos remplazado el cuantificador universal por el existencial, ahora deberemos negar la función proposicional que es un condicional (deberán revisar de la parte II del Módulo todas las leyes de equivalencias dadas), entonces escribimos: x, [ P( x)  (Q( x)  S ( x))]  x, P( x)  (Q( x)  S ( x)) Observamos como la negación se va desplazando hacia el interior del esquema. Debemos negar ahora la conjunción y aplicando la ley de De Morgan, llegamos a: x, P( x)  (Q( x)  S ( x))  x, P( x)  (Q( x)  S ( x)) Así la negación que nos han pedido ha sido finalizada. Entonces: [x, [ P( x)  (Q( x)  S ( x))]]  x, P( x)  (Q( x)  S ( x)) 2)x, y, ( R( x)  T ( x))  J ( x) La expresión que debemos negar tiene dos cuantificadores. Debe negarse de a un cuantificador por vez, desplazando la negación hacia el interior del esquema: [x, y, ( R( x)  T ( x))  J ( y)]  x, [y, ( R( x)  T ( x)  J ( y)] Negamos ahora el siguiente cuantificador: x, [y, ( R( x)  T ( x)  J ( y)]  x, y, [( R( x)  T ( x))  J ( y)] Negamos el condicional y escribimos: x, y, [( R( x)  T ( x))  J ( y)]  x, y, ( R( x)  T ( x)  J ( y)) La negación pedida ha finalizado. Entonces: [x, y, ( R( x)  T ( x))  J ( y)]  x, y, ( R( x)  T ( x)  J ( y)) 67

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