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Tema 4 (Parte 2)

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  • 1. Tema 4. Integrales Integración de algunas funciones trigonométricas 1. Integrales del tipo: ∫ R(senx, cos x) dx Efectuando el cambio: ⎧ 2 ⎪dx = 1 + t 2 dt ⎪ x ⎪ 2t t = tg ⎨ senx = 2 ⎪ 1+ t2 ⎪ 1− t2 ⎪ cosx = ⎩ 1+ t2 se obtiene una función racional en la variable t. Hay veces que este cambio resulta muy pesado y puede hacerse otro un poco más sencillo: a) Si R(senx,cosx) es impar en cosx, es decir, R(senx,-cosx) = -R(senx,cosx), es aconsejable el cambio: ⎧ dt ⎪ dx = t = senx ⎨ 1− t2 ⎪ ⎩cos x = 1 − t 2 b) Si R(senx,cosx) es impar en senx, es decir, R(-senx,cosx) = -R(senx,cosx), es útil el cam- bio: ⎧ − dt ⎪ dx = t = cosx ⎨ 1− t2 ⎪sen x = 1 − t 2 ⎩ c) Si R(senx,cosx) es par en senx y cosx a la vez, o sea, R(-senx,-cosx) = R(senx,cosx), se aconseja el cambio: ⎧ 1 ⎪ dx = dt ⎪ 1+ t 2 ⎪ ⎪ t t = tgx ⎨senx = ⎪ 1+ t2 ⎪ 1 ⎪cosx = ⎪ ⎩ 1+ t2 Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  • 2. Ejemplos: dx 1 dx ∫ 1 + 2senx ∫ 1 + cos x 2 dx ∫ cosecx dx ∫ senx cos 3 x dx 3dx sec xtgx ∫ senx + cos x ∫ 1 − cos2 x ∫ 9 + 4sec 2 x dx 2. Integrales del tipo: ∫ sen n x dx y ∫ cos n x dx , con n ∈ IN. a) Si n es impar (n = 2k + 1) se aplica la igualdad: cos2x + sen2x = 1. ∫ sen n ( ) x dx = ∫ sen 2 k x ⋅ senx dx = ∫ 1 - cos 2 x ⋅ senx dx k ∫ cos x dx = ∫ cos 2 k x ⋅ cos x dx = ∫ (1 - sen x ) k n 2 ⋅ cos x dx b) Si n es par (n = 2k), se aplican las igualdades: ⎧ 2 1 ⎪sen x = (1 − cos 2 x) 2 ⎪ 2 cos2x + sen2x = 1 y cos 2 x = cos x − sen x ⎨ 2 ⎪cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x) ⎪ ⎩ 2 Ejemplos: ∫ sen x dx ∫ cos ∫ cos ∫ sen 2 3 4 5 x dx x dx x dx 3. Integrales del tipo: ∫ sen n x cos m x dx , con m,n ∈ N. a) Si uno de los números positivos m, n es impar, entonces se aplica la igualdad cos2x + sen2x = 1, reduciéndose a una integral del tipo ∫ R(senx, cos x) dx , siendo R impar en senx o cosx. b) Si los dos números positivos m, n son pares, entonces se aplican las igualdades senx cos x = sen 2 x , sen 2 x = (1 − cos 2 x ) , cos 2 x = (1 + cos 2 x ) y la integral se reduce a integra- 1 1 1 2 2 2 les de los tipos ∫ sen x dx y ∫ cos x dx . n n Ejemplos: ∫ cos xsen x dx ∫ sen 3 2 2 xcos 2 x dx Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  • 3. Integración de funciones irracionales Las integrales que se muestran aquí corresponden a funciones racionales de potencias radicales de la variable; a estas funciones se las denota de la forma R x n , x p . ( q ) En general para integrar estas funciones se aplican cambios de variable bien conocidos que re- ducen la integral irracional a una integral racional o trigonométrica. ∫ R(x, x ) p1 q1 a) , x p2 q2 ,... dx Cambio de variable: x = tn, con n = m.c.m.{q1, q2, …} ⎛ ⎛ ax + b ⎞ p1 q1 ⎛ ax + b ⎞ p2 q2 ⎞ b) ∫ R⎜ x, ⎜ ,...⎟ dx ⎜ ⎝ cx + d ⎟ ,⎜ ⎟ ⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ax + b Cambio de variable: = tn, con n = m.c.m.{q1, q2, …} cx + d ∫ R(x, ax + b dx ) n c) Cambio de variable: ax + b = tn ⎛ ax + b ⎞ d) ∫ R ⎜ x, ⎜ n ⎟ dx cx + d ⎟ ⎝ ⎠ ax + b Cambio de variable: = tn cx + d e) ∫ R(x, x 2 + α 2 dx ) Cambio de variable: x = α ⋅ tgt f) ∫ R(x, x 2 − α 2 dx ) Cambio de variable: x = α ⋅ sect g) ∫ R(x, α 2 − x 2 dx ) Cambio de variable: x = α ⋅ sent ó x = α ⋅ cost h) ∫ R(x, ax 2 + bx + c dx ) Cambios de variable recomendados: - Si a > 0: ax 2 + bx + c = t + x a (ó t − x a ) - Si c > 0: ax 2 + bx + c = x ⋅ t + c (ó x ⋅ t − c ) - Si ax 2 + bx + c tiene dos raíces reales α y β: ax 2 + bx + c = t ( x − α ) Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
  • 4. Ejemplos: x −1 x +1 1 ∫ 1 + x dx ∫ x 3 + 2 x 2 dx ∫ 3 x+2 dx ∫ 1 − x 2 dx ∫ x2 + x +1 dx x2 x 2 − 4x + 1 ∫ x2 −1 dx ∫ x 3 − 5 x 2 + 5 x − 1 dx Integración de funciones exponenciales ∫ R(e ) mx Consideramos ahora integrales de la forma: , e nx ,K dx . Con el cambio de variable: e x = t , se reducen a integrales de funciones racionales en la variable t. Ejemplos: e3x + 1 dx e2x ∫ e x − e 2 x dx ∫ 1 + e2x ∫ 1 + e x dx Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

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