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Tema5a ud3 Tema5a ud3 Presentation Transcript

  • TEMA 5Variables aleatorias unidimensionales Probabilidades y Estadística I
  • Esquema inicial1. Variable aleatoria. Concepto2. Tipos de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.4. Medidas características de una variable aleatoria.5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • Esquema inicial1. Variable aleatoria. Concepto2. Tipos de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.4. Medidas características de una variable aleatoria.5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I View slide
  • 1. Variable aleatoria. Concepto (1/6) OBJETIVOS• Describir los resultados de un experimento aleatorio en forma de una variable real X ∈R• Describir la incertidumbre asociada mediante una función real que describa las probabilidades subyacentes (modelos de probabilidad) Probabilidades y Estadística I View slide
  • 1. Variable aleatoria. Concepto (2/6)EJEMPLOExperimento aleatorio: lanzar dos dadosEspacio muestralS={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3),(3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3),(3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3),(4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)}Variable aleatoria: suma de las puntuaciones (X) Probabilidades y Estadística I
  • 1. Variable aleatoria. Concepto (3/6)DEFINICIÓN X : Ω  R → si  xi → (Ω, ℘(Ω), P) RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA P[X-1(xi)] vendrá representado por P[X=xi] Probabilidades y Estadística I
  • 1. Variable aleatoria. Concepto (4/6)DEFINICIÓN X : Ω  R → (1,1)  2 → (1, 2)  3 → (2,1)  3 → P[X=3]= P[X-1(3)]=P[{(1,2),(2,1)}] Probabilidades y Estadística I
  • 1. Variable aleatoria. Concepto (5/6) (Ω, ℘(Ω), P) Notación conjuntista (X, p) (X, f) Notación de Análisis Matemático (X, F) Probabilidades y Estadística I
  • 1. Variable aleatoria. Concepto (6/6)EJEMPLO Resultados del experimento aleatorio Valor de la variable Valor de la función de (elementos de ℘(S)) aleatoria X probabilidad, p(x) (1,1) 2 p(2)=1/36 (1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36 (3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36 (4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36 (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36 (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36 (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36 (4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36 (5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36 (6,6) 12 p(12)=1/36 Probabilidades y Estadística I
  • Esquema inicial1. Variable aleatoria. Concepto2. Tipos de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.4. Medidas características de una variable aleatoria.5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • 2. Tipos de variables aleatorias (1/2)Variable aleatoria discretaSe denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyorango se puede poner en biyección con un subconjunto delos enteros, Z; es decir, se puede hablar de un valor de lavariable y su siguiente.Variable aleatoria continuaSe denomina variable aleatoria continua a aquella cuyorango se puede poner en biyección con un subconjunto deZ; es decir, no se puede hablar de un valor de la variabley su siguiente. Probabilidades y Estadística I
  • 2. Tipos de variables aleatorias (2/2)Variable aleatoria discreta x1 , x2 ,...., xkVariable aleatoria continua [ xi , x j ],....,[ xk , xt ] Probabilidades y Estadística I
  • Esquema inicial1. Variable aleatoria. Concepto2. Tipos de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.4. Medidas características de una variable aleatoria.5. Desigualdad de Tchebychev. Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (1/13)Variable aleatoria discretaa) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (2/13)Variable aleatoria discretaa) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO Resultados del experimento Valor de la variable Valor de la función de aleatorio (elementos de ℘(S)) aleatoria X probabilidad, p(x) (1,1) 2 p(2)=1/36 (1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36 (3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36 (4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36 (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36 (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36 (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36 (4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36 (5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36 (6,6) 12 p(12)=1/36 Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (3/13) Variable aleatoria discreta a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLOp(x)6/365/36 6 -7- x x = 2,...,124/36 363/36 p(x) =2/36 0 en el resto1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (4/13)Variable aleatoria discretab) Representación integral: función de distribución, F(x) (escalonada) Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (5/13)Variable aleatoria discretab) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Probabilidades y Estadística I
  • Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (6/13)Variable aleatoria discretab) Representación integral: función de distribución, F(x) GRÁFICA 0 si x < 0 0.25 si 0 ≤ x < 1  F ( x) =  0.75 si 1 ≤ x < 2 1  si x ≥ 2 Probabilidades y Estadística I
  • p(x)6/365/36 6 -7- x x = 2,...,124/36 363/36 p(x) =2/36 0 en el resto1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X Probabilidades y Estadística I
  • 3. Distribuciones de variables aleatorias (7/13)Variable aleatoria discretab) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO F(x) 1 35/36 33/36 30/36 26/36 21/36 15/36 10/36 6/36 3/36 1/36 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Probabilidades y Estadística I