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Factory Physics Parte 8

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  • 1. E = mc2Variabilidad
  • 2. Variabilidad- Introducción:Qué es variabilidad?* Cualquier desviación de cierta uniformidad bajo estudio.Cuál es la diferencia entre:Variación Controlable vs. Variación Aleatoria?Ejemplos:Variación Controlable Variación Aleatoria-Tamaño de Lote -Cantidad Pedida-Temperatura de Proceso -Tiempo entre Fallas (MTTF)-Secuencia de Producción -Calidad de una Materia Prima
  • 3. Variabilidad- Introducción:Cuáles pueden ser las causas de la aleatoriedad?* Interpretación No.1: La aleatoriedad ocurre por falta de información opor información imperfecta.* Interpretación No.2: El comportamiento del universo es aleatoriedad.Aunque contáramos con una descripción completa del universo y detodas las leyes físicas que lo definen, esto no seria suficiente parapredecir el futuro. Si mucho nos daría unas estimaciones estadísticasde un posible futuro/comportamiento.Independientemente de las dos interpretaciones, los efectos son los mismosen el día a día, son inherentemente impredecibles.Lo anterior no quiere decir que debemos olvidarnos de la gestión de unaplanta, mas bien debemos dedicarnos en diseñar procesos robustos y noquedarnos estancados buscando procesos óptimos.Entonces, cuál es la diferencia entre:Procesos Robustos vs. Procesos Óptimos?
  • 4. Variabilidad- Introducción:Entonces, para poder diseñar dichos procesos robustos y efectivos en unentorno aleatorio el individuo debe poseer una buena intuición probabilística.Solo así se podrá medir, entender y administrar (apalancar) la variabilidad enun sistema de manufactura. Dando como resultado una gestión efectiva delmismo.
  • 5. Variabilidad- Intuición Probabilística:La intuición juega un papel importante en nuestro día a día, la utilizamos deuna manera u otra para tomar todo tipo de decisiones. Desde la forma comoconducimos hasta la forma como avisamos nuestras intenciones de asistir a lafiesta de fin de año.En la mayoría de los casos nuestra intuición es buena cuando se basa enefectos de primer orden (primer momento). Pero las cosas no son tan clarascuando basamos nuestra intuición en efectos de segundo orden (segundomomento).Entonces, cuál es la diferencia entre:Primer Momento vs. Segundo Momento?Ejemplos:Primer Momento Segundo Momento-TH aumenta con la velocidad de una maquina. -Cuál es mas variable, tiempos de procesamientode una pieza o de un lote?-TH aumenta con la disponibilidad de unamaquina.-Cuál es mas perjudicial, paradas largas einfrecuentes o cortas y frecuentes?-WIP aumenta con el tamaño de lote. -Cuál brinda el mejor desempeño, reducir tiemposde procesamiento al comienzo o al final de lalínea?
  • 6. VariabilidadLa variable aleatoria de interés primario para Factory Physics es el TiempoEfectivo de Procesamiento de un trabajo en una estación.-Tiempo de Procesamiento-Tiempo de Alistamiento-Tiempo de Reparación-Tiempo de Reproceso-Otros tiemposLa suma de estos tiemposnos da el Tiempo Efectivode Procesamiento.Estación 1 Estación 2¿Por qué?Son los tiempos que causan que la Estación 2 no pueda iniciar su tarea.- Variabilidad en el Tiempo de Proceso:
  • 7. Variabilidad- Medidas y clases de Variabilidad:-Medidas de Variabilidad Absoluta:Varianza Desviación Estándar-Medidas de Variabilidad Relativa:Coeficiente de Variación al Cuadrado(SCV) Coeficiente de Variación(CV) 2121nttsnii  211nttsniitc222tcEntendieron el ejemplo del Libro?
  • 8. Variabilidad- Variabilidad Baja y Moderada:La mayoría de los tiempos de procesos reales pueden ser representados pordistribuciones que tienen una forma de campana. En estos casos el CV tiendea ser inferior a 0.75. Por lo tanto la variabilidad se puede clasificar en baja,moderada y alta.Clase de Variabilidad CV EjemploBaja (VB) c < 0.75 Tiempos de procesamientos sinfaltantes.Moderada (VM) 0.75 ≤ c < 1.33 Tiempos de procesamientos conajustes menores (alistamientos).Alta (VA) c ≥ 1.33 Tiempos de procesamientos conajustes mayores (reparaciones).
  • 9. Variabilidad- Variabilidad Baja y Moderada:Tiempo de Proceso Tiempo de ProcesoDensidaddeProbabilidadDensidaddeProbabilidad20 20Distribución de Variabilidad BajaDistribución de Variabilidad BajaDistribución de VariabilidadModeradaQué efectos tiene un tiempo de procesamiento con una variabilidad moderadaen una línea de producción?- Variabilidad Alta:
  • 10. Variabilidad- Causas de Variabilidad :Incluyen:- Variabilidad Natural del proceso causada por cambio de operarios, maquinasy materiales.- Fallas aleatorios.- Alistamientos.- Disponibilidad de mano de obra.- Reproceso.Variabilidad Natural:La mayoría de los sistemas tienen una VB (c0 < 0.75) asociada a sus tiemposde procesamiento.oootcDesviación estándar del tiempo naturaldel proceso.Tiempo promedio natural del proceso.
  • 11. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):Este tipo de fallas sucede aunque queramos o no, inclusive durante el mismoprocesamiento de una pieza. Otros ejemplos incluyen, apagones o falta de unconsumible necesario para el proceso. Obviamente, en esta categoría se incluyeinformación de MTTF y MTTR.Entonces, para el calculo del tiempo efectivo de proceso debemos tener encuenta la disponibilidad (Availability) del recurso bajo estudio. Esta disponibilidadse determina de la siguiente manera:- Causas de Variabilidad :rffmmmATiempo el recurso esta disponible paraprocesar.Tiempo el recurso esta en reparación.
  • 12. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):Ahora es necesario tener en cuenta la disponibilidad para calcular el tiempo deprocesamiento efectivo promedio, este esta dado por:- Causas de Variabilidad :Attoe Tiempo natural de proceso.Disponibilidad.La capacidad efectiva esta dada por:ooee ArtmAtmr CapacidadNatural.Numero de maquinas.
  • 13. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):- Causas de Variabilidad :   orroeeetmAAcctc  11 22222 CV de los tiempos de reparación.El coeficiente de variación efectivo al cuadrado (SCV) esta dado por:La varianza del tiempo efectivo de procesamiento esta dada por:  rorroeAmtAmA12222Varianza de los tiempos de reparación.
  • 14. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):El coeficiente de variación efectivo al cuadrado (SCV) esta dado por:- Causas de Variabilidad :   orroroetmAActmAAcc  11 222Variabilidadnatural delprocesoFallas Aleatorias, existiría aun si lasfallas fueran constantesComponente totalmente dependientede la variabilidad en los tiempos dereparación.
  • 15. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):Consideremos un ejemplo para entender el efecto de fallas sobre la variabilidadde una maquina. En este caso tanto la maquina Tortuga como la Liebre tienen untiempo de proceso natural promedio To = 15 minutos y una desviación estándarnatural σo = 3.35 minutos. Por lo tanto ambas maquinas tienen una SCV = 0.05.Ambas maquinas tienen una disponibilidad a largo plazo igual a 0.75%. Sinembargo, en la maquina Liebre se presentan fallas de larga duración einfrecuentes, mientras que en la maquine Tortuga se presentan fallas cortas yfrecuentes. Específicamente, el MTTF en la Liebre es de 744 minutos y el MTTRde 248 minutos. En el caso de la Tortuga el MTTF es de 114 minutos y el MTTR de38 minutos. Finalmente, supongamos que los tiempos de reparación son variabley tienen un CV = 1.0, ósea una variabilidad moderada.Entonces, debemos determinar el CV del tiempo efectivo de proceso.- Causas de Variabilidad :
  • 16. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):Ejemplo del texto (pagina 256):- Causas de Variabilidad :Liebre Tortugato 15 minutos 15 minutosσo 3.35 minutos 3.35 minutosmf 744 minutos 114 minutosmr 248 minutos 38 minutoscr 1.0 1.0co ? ?A ? ?te ? ?re ? ?ce ? ?
  • 17. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):- Causas de Variabilidad :Liebre Tortugato 15 minutos 15 minutosσo 3.35 minutos 3.35 minutosmf 744 minutos 114 minutosmr 248 minutos 38 minutoscr 1.0 1.0co 0.05 0.05A 0.75 0.75te 20 minutos 20 minutosre 3 trabajos/hora 3 trabajos/horace 2.5 1.0Conclusiones: ?
  • 18. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes):Este tipo de fallas tienen que suceder pero en este caso se tiene mas controlsobre cuando se llevan acabo. En este caso se puede terminar de procesar eltrabajo actual para luego detener la maquina. Ejemplos incluyen, alistamientos,mantenimiento preventivo, descansos y cambio de turnos.Bajo estas condiciones utilizamos las siguientes ecuaciones para determinar lamedia, varianza y el coeficiente de varianza al cuadrado para el tiempo deprocesamiento efectivo:- Causas de Variabilidad :El tiempo de procesamiento efectivo promedio, este esta dado por:ssoeNttt Tiempo de alistamiento promedio.Numero promedio de piezasprocesadas entre alistamientos.Tiempo natural de proceso promedio.
  • 19. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes):- Causas de Variabilidad :222eeetcEl coeficiente de variación al cuadrado (SCV) esta dado por:La varianza del tiempo de procesamiento efectivo esta dada por:222 122sssssoe tNNNVarianza de los tiempos de alistamiento.
  • 20. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes):Ejemplo del texto:- Causas de Variabilidad :Maquina No.1 Maquina No.2Flexible/Sin Alistamiento ----to 1.2 horas 1.0 horasCV(co) 0.5 0.25Ns ---- 10 unidadests ---- 2 horasCV(cs) ---- 0.25re ? ?ce ? ?Qué maquina es menos variable?
  • 21. VariabilidadVariabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes):Ejemplo del texto:- Causas de Variabilidad :Maquina No.1 Maquina No.2Flexible/Sin Alistamiento ----to 1.2 horas 1.0 horasCV(co) 0.5 0.25Ns ---- 10 unidadests ---- 2 horasCV(cs) ---- 0.25re 0.8333 0.8333ce 0.50 0.5575Qué maquina es menos variable?
  • 22. Variabilidad- Causas de Variabilidad :Variabilidad por reproceso:Qué tiene en común la variabilidad causada por fallas y alistamientos con lavariabilidad causada por reproceso?Las tres causas reducen la capacidad efectiva de un recurso.Por lo tanto, mas reproceso implica mayor variabilidad y mas variabilidad causamas congestión, mas WIP y mayores tiempos de ciclo. Lo anterior combinado conla perdida de capacidad hacen que el reproceso se considere como un verdaderoproblema.
  • 23. Variabilidad- Causas de Variabilidad :Resumen de las formulas para determinar los parámetros Tiempo Efectivo deProcesamiento:Situación Natural Fallas (AP) Fallas (BP)Ejemplos Recurso Confiable Fallas Aleatorias AlistamientosParámetros22eet2ecet2eot2, oo ct(básicas)(básicas mas) (básicas mas)2,, rrf cmm 2,, sss ctNrffommmAAt,2oc22oo ct   rorroAmtAmA12222   orrotmAAcc  11 22ssoNtt 222 12ssssso tNNNQué seria varianza apilada (Stacked Variance)?
  • 24. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:En lo visto hasta ahora se ha estudiado la variabilidad en una estación aislada,sin embargo en la vida real una línea de producción esta compuesta de variasestaciones. Por esta razón es importante estudiar y entender la relación entreestaciones, lo cual nos conduce a otro tipo de variabilidad. Esta se denominavariabilidad en el flujo.El primer elemento a tener en cuenta es la tasa de llegada (arrival rate), medidoen trabajos por unidad de tiempo. Para mayor consistencia las unidades de latasa de llegada deben ser las mismas de la capacidad de la estación bajoestudio. Así como una estación se caracteriza por su tiempo promedio deproceso te, o su capacidad efectiva re la llegada a una estación también sepuede caracterizar por el tiempo promedio entre llegadas.Las dos medidas anteriores son el inverso del otro, así:aatr1Tasa de llegada.Tiempo promedio entre llegadas.
  • 25. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:Para que una estación no se recargue de trabajo la siguiente relación se debecumplir:ae rr Capacidad Efectiva.Tasa promedia entre llegadas.Así como existe variabilidad en el tiempo de proceso también lo hay en eltiempo entre llegadas y se define de la misma manera que en el primer caso:aaatcDesviación estándar de los tiemposentre llegadas.Tiempo promedioentre llegadas.Intuitivamente, un CV bajo implica llegadas regulares y espaciadas igualmente,mientras un CV alto implica llegadas irregulares y con picos. (Figura 8.5)
  • 26. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:El siguiente elemento a tener en cuenta para entender la variabilidad del flujoes la caracterización de las salidas de una estación. Para esto haremos uso demedidas similares a las usadas para describir las llegadas, específicamente eltiempo promedio entre salidas (td) y la tasa de salidas (departure rate).Las dos medidas anteriores son el inverso del otro, así:ddtr1Tasa de salidas.Tiempo promedio entre salidas.El coeficiente de variación correspondiente a las salidas esta representado porcd.
  • 27. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:Es importante considerar la siguiente condición, en una línea de producción enserie la salida de una estación i es la llegada de la siguiente estación i+1.Entonces la tasa de salida de i debe ser igual a la tasa de llegada de i+1, así:)()1( ii da tt Tiempo promedio entre llegadas de la estación i+1.Por supuesto, en una línea de producción en serie sin mermas o reproceso latasa de llegada de cada estación es igual al TH de la línea. Adicionalmente, enuna línea serial donde las salidas de i son las llegadas de i+1, el CV de salidade la estación i es igual al CV de llegada de la estación i+1. Así:Tiempo promedio entre salidas de la estación i.)()1( ii da cc Coeficiente de Variación de llegadas de la estación i+1.Coeficiente de Variación de salidas de la estación i.
  • 28. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:Gráficamente, los conceptos anteriores se pueden ver de la siguiente manera:Estación iEstación(i+1))(iar)(iac)(ier)(iec)1()(  ii ad cc)1()(  ii ad rr)1( ier)1( iecTasas:CVs:
  • 29. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:Finalmente, es necesario determinar como caracterizar la variabilidad de salidasde una estación a partir de la información existente de la variabilidad de llegaday del tiempo de proceso.Para lograr lo anterior se debe tener en cuenta la contribución relativa de ambosfactores en la utilización de la estación bajo estudio. Recordemos que lautilización de una estación es la fracción de tiempo que está esta ocupada en ellargo plazo. Formalmente se define así:mtruea ))((Corresponde al numero de maquinas idénticasque compone la estación.A medida que u se acerca a 1, esto quiere decir que la estación casi siempreesta ocupada. Por lo tanto se puede esperar que el CV de salida de dichaestación sea igual al CV del tiempo de proceso. Así:ed cc 
  • 30. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:El otro extremo, cuando u se acerca a 0, implica que la estación casi siempreesta desocupada. Por lo tanto se puede esperar que el CV de salida de dichaestación sea igual al CV de llegada. Así:ad cc Para interpolar entre los dos extremos anteriores se puede utilizar la siguienteecuación:Observe que cuando u=1, se obtiene cd2 = ce2. Igualmente, cuando u=0, seobtiene cd2 = ca2.  222221 aed cucuc Para determinar cd2 cuando hay mas de una maquina por estación, entonces:    1111 22222 ead cmucuc
  • 31. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:En este momento es importante considerar el concepto de propagación de lavariabilidad.HVHVLVLV LVLVLVLVHVHV HVHVCaso 1: Estación con Alta UtilizaciónQué podemos concluir?La variabilidad en el flujo que sale de una estación de alta utilización estadeterminado primordialmente por la variabilidad en el proceso de dicha estación.
  • 32. Variabilidad- Variabilidad en el Flujo:En este momento es importante considerar el concepto de propagación de lavariabilidad.HVHVLVLV HVLVLVLVHVHV HVLVCaso 2: Estación con Baja UtilizaciónQué podemos concluir?La variabilidad en el flujo que sale de una estación de baja utilización estadeterminado primordialmente por la variabilidad que entra a dicha estación.
  • 33. Variabilidad- Propagación de la Variabilidad:Estación 1(LV/HV)Estación 1(LV/HV)Estación 1(LV/HV)Estación 1(LV/HV)Estación 2(LV/HV)Estación 2(LV/HV)Estación 2(LV/HV)Estación 2(LV/HV)Estación 3(LV/HV)Estación 3(LV/HV)Estación 3(LV/HV)Estación 3(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)Materiales(LV/HV)PT PT PT PTJIT1 JIT2 JIT3 JIT4
  • 34. Variabilidad- Interacciones dentro de la Variabilidad “Colas”Hasta el momento hemos considerado la variabilidad en los tiempos deprocesamiento y en el flujo, ahora entenderemos como estos caracterizan yafectan la variabilidad de una línea de producción. Específicamente, nosinteresa evaluar el impacto de estos tipos de variabilidad sobre los principalesindicadores de desempeño de una línea cualquiera, siendo estos; WIP, CT y TH.Pero antes, es importante resaltar que el tiempo efectivo de procesamiento solorepresenta una fracción pequeña del tiempo de ciclo total dentro de una plantay que el tiempo restante es causado por que el trabajo debe esperar a algúnrecurso (estación de trabajo, equipo de transferencia, un operario, etc.).Por esta razón Factory Physics dedica tanto esfuerzo en entender las causasque generan esta espera. Solo después de entender esta causas podemosentrar a proponer maneras de mejorar el desempeño del sistema.La ciencia que estudia la espera en un sistema se conoce como la Teoría deColas. Un sistema de colas tiene en cuenta todo lo visto hasta el momento; unproceso de llegadas, un proceso de “servicio” y una cola. Los procesos dellegada pueden ser constantes o aleatorios. Las estaciones pueden estarcompuestas por una o varias maquinas en paralelo, las cuales pueden tenertiempos de procesamiento constantes o aleatorios. Finalmente, la cola sepuede comportar FIFO, LIFO o ser administrada mediante algunas de las reglasde secuenciamiento conocidas tales como EDD, SPT.
  • 35. Variabilidad- Teoría de Colas:• ra: tasa de llegadas, especificada en trabajos por unidad de tiempo. En una línea sinreproceso, ra es igual a TH de cada estación.• Ta: tiempo promedio entre llegadas. Igual a 1/ra.• ca: CV de llegada.• m: numero de maquinas en paralelo en una estación.• b: tamaño del buffer (máximo numero de trabajos permitidos en el sistema).• te: tiempo efectivo promedio de proceso. Capacidad efectiva de una estación es re = m/te.• ce: CV del tiempo efectivo de proceso.NomenclaturaMedidas de desempeño:• pn: probabilidad que haya n trabajos en una estación.• CTq: tiempo de espera en cola.• CT: tiempo esperado en la estación (tiempo en cola mas tiempo de proceso).• WIP: nivel promedio de WIP (trabajos) en la estación.• WIPq: WIP (trabajos) esperados en cola.
  • 36. Variabilidad- Teoría de Colas:Finalmente, utilizaremos la nomenclatura de Kendell para caracterizar unsistemas de colas. Esta hace uso de 4 parámetros, siendo estos:A/B/m/bDonde A describe la distribución de tiempos entre llegadas. B describe ladistribución de tiempos de proceso. m el numero de maquinas que conformanla estación y b es el numero máximo de trabajos permitidos en el sistema.En general los parámetros A y B pueden asumir cualquiera de los siguientesvalores:• D: distribución constante (deterministica).• M: distribución exponencial (Markoviana).• G: distribución completamente general (normal, uniforme).Por lo general se asumen valores grandes para la cola (b), en cuyo caso lanomenclatura queda:A/B/m
  • 37. Variabilidad- Teoría de Colas:Relaciones Fundamentales:Antes de entrar a analizar cualquier sistema de colas es necesario anotar quealgunas relaciones se mantiene en un sistema compuesto por una estaciónúnica. Estas son:mtrrrueaea ))((UtilizaciónTasa de llegadaTasa Efectiva.Tiempo esperado en la estacióneq tCTCT Tiempo de espera esperado en cola.Tiempo efectivo promedio de proceso.
  • 38. Variabilidad- Teoría de Colas:Relaciones Fundamentales:WIP en la estación (aplicando la Ley de Little)CTTHWIP Throughput de la estación.Tiempo de ciclo de la estación.WIP en la cola (aplicando la Ley de Little)qaq CTrWIP tiempo de espera esperado en cola.Tasa de llegada
  • 39. VariabilidadEste modelo asume los tiempos entre llegadas es exponencial, que esta compuestopor una sola maquina y que esta tiene un tiempo de proceso exponencial. La colase comporta como PEPS y tiene un espacio ilimitado para trabajos en espera.Dado que este modelo es el mas sencillo, su verdadera contribución esta enentender que información se requiere para caracterizar el mismo. Como lostiempos entre llegadas y de proceso son exponencial, solamente necesitamos lasmedias. Entonces:- Teoría de Colas – Caso M/M/1:ataatr1eteetr1Tiempo promedio entre llegadas Tiempo efectivo promedio de procesoTasa de llegadas Tasa efectiva
  • 40. VariabilidadFuera de lo anterior, la única otra información que necesitamos seria el numero detrabajos en el sistema. Como ambos tiempos anteriores son exponenciales, eltiempo desde la ultima llegada y el tiempo que el trabajo actual lleva en procesoson irrelevantes. Entonces, el estado del sistema se puede expresar como un solonumero n, que representa el numero de trabajos en el sistema. Con estainformación se puede caracterizar el desempeño a largo plazo del sistema (CT, WIP,CTq y WIPq).- Teoría de Colas – Caso M/M/1:uuMMWIP1)1//(Medidas de desempeño para M/M/1:WIP Utilización
  • 41. Variabilidad- Teoría de Colas – Caso M/M/1:utrMMWIPMMCTea 1)1//()1//(Medidas de desempeño para M/M/1:CT (a partir de la Ley de Little)Tiempo efectivo promedio de procesoCTq (a partir de la relaciones fundamentales)uuttMMCTMMCTeeq1)1//()1//(
  • 42. Variabilidad- Teoría de Colas – Caso M/M/1:uurMMCTMMWIP aqq1)1//()1//(2Medidas de desempeño para M/M/1:WIPq (a partir de la Ley de Little)Tasa de llegada, igual a THConclusiones:• WIP,CT, CTq y WIPq aumentan a medida que u aumenta. Por esta razón sistemas ocupadostienden a demuestran mayor congestión que sistemas desocupados..• Manteniendo u fijo, CT y CTq aumentan en términos de te. Por lo tanto maquinas lentascausan mas tiempo de espera.• Finalmente, observen que estas medidas implican congestión y todas tienen en eldenominador el termino 1-u, lo que tiene como consecuencias que a medida que u seaproxima a 100 % la congestión aumenta en forma no lineal.
  • 43. Variabilidad- Teoría de Colas – Caso M/M/1:Ejemplo (pag. 269):Recordemos el caso de la Tortuga, donde el tiempo entre llegadas era de 2.875trabajos por hora. Ahora supongamos que los tiempos entre llegadas estándistribuidos exponencialmente (puede ser el caso cuando los trabajos llegan dediferentes fuentes). En el caso anterior, la tasa de efectiva era de 3 trabajos porhora y el CV correspondiente era de 1.0.Determinen las medidas de desempeño correspondientes al sistema bajo estudio.
  • 44. Variabilidad- Teoría de Colas – Caso G/G/1:Medidas de desempeño para M/M/1:CTq (ecuación VUT)eeaq tuuccGGCT  12)1//(22Desafortunadamente, la mayoría de los sistemas de manufactura reales nocumplen con los supuestos del modelo M/M/1. Cuando una estación esalimentada por estaciones que tienen tiempos de procesamiento noexponenciales es difícil mantener el supuesto que el tiempo entre llegadas esexponencial. Por esta razón es necesario ampliar el modelo al caso masgeneral, representado pos G/G/1.Como en el caso anterior, primero se desarrolla la formulación para CTq yluego obtenemos las otras medidas de desempeño.Termino de tiempo TTermino de utilización UTermino de variabilidad V
  • 45. Variabilidad- Teoría de Colas – Caso G/G/1:Ejemplo (pag. 271):De nuevo volvamos al caso de la Liebre, recordemos que dicha maquinapresentaba una alta variabilidad CVS efectivo de 6.25. Asumamos que el tiempoentre llegadas esta exponencialmente distribuido y que la utilización es 0.9583.Determinen el tiempo esperado en la cola CTq.Ahora supongamos que la Liebre alimenta la Tortuga, que no hay perdidas entre lasdos maquinas y que por lo tanto la tasa de llegadas de la Tortuga es la misma de laLiebre. Como ambas maquinas tienen una tasa efectiva igual, tendrán la mismautilización. Ahora queremos determinar el CTq de la Tortuga. Recuerden que:)()1( ii da cc Qué podemos concluir de los valores de CTq(Liebre) vs. CTq(Tortuga)?
  • 46. Variabilidad- Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo M/M/1:La ecuación VUT nos permite analizar estaciones compuestas por una solamaquina, sin embargo en el mundo real se pueden encontrar estaciones de trabajoconformadas por múltiples maquinas en paralelo. En este caso se deben hacerajustes a la formulación original, dando:  emq tumumMMCT1)//(112Ejemplo (pag. 272):Retomando de nuevo el caso de la Tortuga, donde el tiempo efectivo de procesopresentaba un CV igual a 1 permitiéndonos utilizar el modelo exponencial. Peroahora supongamos que las llegadas ocurren a una tasa de 207 trabajos por día,dando 2.875 trabajos por hora y tienen tiempos entre llegadas exponencialmentedistribuidos (ca = 1). Como esto excede la capacidad de la Tortuga, consideremoscuando tenemos tres de estas maquinas en paralelo.
  • 47. Variabilidad- Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo M/M/1:Ejemplo (pag. 272):Caso No.1: Caso No.2:Tortuga No.1Tortuga No.2Tortuga No.3Tortuga No.1Tortuga No.2Tortuga No.3Determinar el CTq de cada caso.
  • 48. Variabilidad- Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo G/G/m:Una estación con m maquinas en paralelo, tiempos entre llegadas y de procesogenerales se representa por G/G/m.Para llegar a una aproximación de esta situación, partamos de la aproximaciónpara el caso G/G/1. Este caso se puede escribir de la siguiente manera:  emeaq tumuccmGGCT 12)//(11222)1//(2)1//(22MMCTccGGCT qeaq Lo anterior sugiere que una aproximación para el caso G/G/m se puede construirbasándose en la aproximación M/M/m, así:CTq (ecuación VUT)Termino de tiempo T(idéntico)Termino de utilización UTermino de variabilidad V(idéntico)
  • 49. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Hasta el momento hemos considero sistemas sin ningún limite en la forma decrecimiento de las colas. En los casos presentados podemos observar como eltamaño promedio de la cola y el tiempo de ciclo crecen indefinidamente a medidaque u se aproxima a 100 %. Sin embargo en el mundo real esta situación no escomún, por lo general existen restricciones físicas, de tiempo o de política quelimitan el tamaño permitido de la cola. Por tal motivo Factory Physics considera elcaso de sistemas de colas con una capacidad finita.Caso M/M/1/bConsideremos el caso donde los tiempos entre llegadas y de proceso estándistribuidos exponencialmente como en el caso M/M/1, pero solamente hayespacio en el sistema para b unidades.Este sistema se comporta idéntico al caso M/M/1, con la excepción que cuando elsistema se llena el proceso de llegadas se detiene. Cuando esto ocurre se dice queel sistema se encuentra bloqueado.
  • 50. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso M/M/1/bEn este nuevo caso el significado de u es diferente que en los casos anteriores, yano se trata de la probabilidad a largo plazo de encontrar la maquina ocupada.Ahora representa el nivel de utilización si ningún trabajo es rechazado. Por estarazón el valor de u puede ser uno o mayor.Dado esta explicación obtenemos los siguientes casos:Cuando u es diferente a 1 11111)/1//(  bbuubuubMMWIPabbruubMMTH 111)/1//( 
  • 51. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso M/M/1/bCuando u es igual a 12)/1//(bbMMWIP ea rbbrbbbMMTH11)/1//(En ambos casos podemos usar la Ley de Little para calcular CT, CTq y WIPq.)/1//()/1//()/1//(bMMTHbMMWIPbMMCT eq tbMMCTbMMCT  )/1//()/1//()/1//()/1//()/1//( bMMCTbMMTHbMMWIP qq 
  • 52. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso M/M/1/b – Ejemplo (pag.275):Consideremos una línea de producción en serie compuesta por dos maquinas. Laprimera en promedio tiene un tiempo efectivo te1 = 21 minutos por trabajo. Lasegunda maquina toma te2 = 20 minutos. Ambas maquinas tienen tiempos deproceso exponencial (ce1 = ce2 = 1). Entre ambas maquinas hay suficiente espaciopara permitir almacenar temporalmente hasta 2 trabajos.Determinen las medidas de desempeño en los siguientes casos:1. Buffer con tamaño infinito.2. Buffer con tamaño finito.Qué podemos concluir del análisis de los dos casos anteriores?• El reducir el tamaño de la cola entre estaciones reduce considerablemente WIP y CT, perotambién lo hace al TH. Sin embargo esta ultima no es tan significativa. Por esta razón sepuede ver que el implementar kanban es mas que una simple reducción del tamaño de unacola. La perdida en TH es muy grande, la única manera de reducir WIP y CT sin sacrificar THes la reducción de la variabilidad.• Una segunda conclusión es que las colas finitas establecen estabilidad en el sistema, sinimportar ra y re. La razón es sencilla, en un sistema de colas infinitas WIP y CT tienden acrecer incontroladamente.
  • 53. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso G/G/1/bPara poder analizar el efecto de la variabilidad debemos extender el modeloM/M/1/b y considerar distribuciones de tiempo entre llegadas y de procesosmas generales.Para lograr esto, se consideran los siguientes tres casos:• Cuando ra < re (u<1).• Cuando ra > re (u>1).• Cuando ra = re (u=1).Tasa de llegada menor que la tasa efectiva: derivada de VUT y Littleeeeaanb ttuuccrWIP  1222uuucc ea 12222
  • 54. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso G/G/1/bDel modelo M/M/1 obtenemos:WIPuWIPuUsando el WIPnb obtenemos la utilización corregida:nbnbWIPuWIP 
  • 55. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso G/G/1/bReemplazando la utilización corregida en la formulación de TH del modeloM/M/1/b obtenemos:abbruuTH 12111Para determinar WIP y CT usamos la siguiente formulación: 1,min  bWIPWIP nb THbWIPCTnb 1,min 
  • 56. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso G/G/1/bTasa de llegada mayor que la tasa efectiva: derivada de M/M/1/b “inversa”uuuccWIPeanb11112222 De igual forma que en el caso anterior, obtenemos:nbnbRWIPuWIP 1
  • 57. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso G/G/1/bAhora definimos:R1En este momento estamos listos para calcular TH con la misma formulaciónanterior. Posteriormente usamos las mismas desigualdades para obtener unoslimites de WIP y CT.
  • 58. Variabilidad- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:Caso G/G/1/bTasa de llegada igual a la tasa efectiva:  12122222bccbccTHeaeaDe igual forma que en el caso anterior, usamos esta aproximación de TH y lasdesigualdades para obtener unos limites de WIP y CT.

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