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Tabla de Karnaugh de ...
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Ejercicios:...
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Funciones incompletamente especificadas:

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Ejemplo: circuito que detecta s...
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Criterios de Simplificación:

• Marcar y ac...
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  1. 1. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tema 4: Simplificación de Funciones Lógicas
  2. 2. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García La expresión de una función lógica como suma de minterms o producto de maxterms no es necesariamente la expresión más simple. Ventajas de un diseño sencillo: •Menor número de puertas •Dimensiones reducidas •Más barato •Más rápido •Tiempo de diseño reducido •Menor posibilidad de fallos •Más elegante
  3. 3. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Dada la función F(A, B, C) en forma de tabla de verdad: A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 F = ∏ M (0,1,2) = M 0 ·M1 ·M 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 F = ∑ m(3,4,5,6,7) = 1 0 1 1 = m3 + m 4 + m5 + m6 + m7 1 1 0 1 1 1 1 1
  4. 4. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Utilizando las propiedades del álgebra de Boole podemos simplificar el Producto de los Maxterms. F = ∏ M (0,1,2) = M 0 ·M1 ·M 2 = = (A + B + C)·(A + B + C)·(A + B + C) = = (A + B + C)·(A + B + C)·(A + B + C)·(A + B + C) = = (A + B + CC)·(A + C + BB) = (A + B)·(A + C)
  5. 5. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García También utilizando las propiedades del álgebra de Boole podemos simplificar la Suma de minterms. F = ∑ m(3,4,5,6,7) =m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = = ABC + A BC + A BC + ABC + ABC = = ABC + A BC + A BC + ABC + ABC + ABC = = BC(A + A ) + A B(C + C) + AB(C + C) = = BC + A (B + B) = BC + A
  6. 6. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García En ambos casos, los diseños son más sencillos que la suma de minterms o el producto de maxterms. ESTRATEGIA - Factorizar términos que difieren en una variable (aparece complementada en uno y sin complementar en el otro) para eliminar ésta (Términos adyacentes). NECESARIO -Mucha práctica para poder agrupar y llegar a la expresión simple. -Procedimiento claro y conciso para no perderse TABLAS O MAPAS DE KARNAUGH: -Sencillos -Equivalen a una tabla de verdad -Más clara para simplificar -Procedimiento definido de simplificación -No son útiles para más de 6 variables
  7. 7. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Principio de la simplificación en el desarrollo por minterms o “desarrollo por unos”: A(B + B) = A Ejemplo: F = m 2 + m 3 = A B + AB = A (B + B) = A A B F 0 0 0 Los valor de B cambian en estos dos 0 1 0 minterms. 1 0 1 B se elimina, A permanece 1 1 1 Los valor de A no cambian en estos dos minterms. ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN: Encontrar parejas de minterms que difieren en el valor de una sola variable Esta variable se elimina.
  8. 8. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Principio de la simplificación en el desarrollo por Maxterms o “desarrollo por ceros”: A + (B·B) = A Ejemplo:F = M 0 ·M1 = (A + B)·(A + B) = A + BB = A A B F 0 0 0 Los valor de B cambian en estos dos 0 1 0 Maxterms 1 0 1 B se elimina, A permanece 1 1 1 Los valor de A no cambian en estos dos Maxterms ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN: Encontrar parejas de Maxterms que difieren en el valor de una sola variable Esta variable se elimina.
  9. 9. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Ejercicio: Calcular: a) como suma de minterms; b) como producto de Maxterms; c) la expresión más simplificada de esta función expresada en la siguiente tabla de verdad: A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
  10. 10. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García A B F 0 0 1 El valor B no cambia 0 1 0 F = m 0 + m 2 = A B + A B = (A + A)B = B 1 0 1 El valor A cambia 1 1 0 A B F El valor B no cambia 0 0 1 0 1 0 F = M1M 3 = (A + B)(A + B) = B + (A A) = B 1 0 1 1 1 0 El valor A cambia
  11. 11. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García La tabla de Karnaugh como alternativa a la tabla de verdad: • Es una tabla de verdad • Correspondencia biunívoca entre las casillas de una tabla de verdad y una tabla de Karnaugh • Ordenada “estratégicamente” • Permite determinar “adyacencias” Adyacencia: Cuando dos expresiones tienen las mismas variables, todas igualmente complementadas o no, excepto en una única que varía.
  12. 12. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de una variable: (existen únicamente 4 funciones) n A F A 0 1 • Tabla de una entrada con dos casillas, siendo ambas adyacentes. 0 0 0 1 • Dos casillas adyacentes son simplificables, ya se desarrolle por 1 1 ceros o por unos. n A F A 0 1 n A F A 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 F=0 1 1 0 F=A F = AA = 0 F=A n A F A 0 1 n A F A 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 F=A 1 1 1 F = A + A =1 F=A F =1
  13. 13. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 2 variables: (existen únicamente 16 funciones) • Tabla de dos entradas con 4 casillas, siendo estas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical • Dos casillas adyacentes son simplificables, eliminándose una variable. • Cuatro casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables. n A B F 0 0 0 A 0 1 B 1 0 1 0 2 2 1 0 0 1 3 3 1 1 1
  14. 14. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García n A B F A 0 1 F=B 0 0 0 1 B 0 2 (B=0 en ambos casos) 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 3 1 3 1 1 0 0 0 n A B F A 0 1 F=A 0 0 0 0 B 0 2 (A=1 en ambos casos) 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 1 3 1 3 1 1 1 0 1
  15. 15. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García n A B F A 0 1 B 0 0 0 1 0 0 2 F =1 1 0 1 1 1 1 (se elimina A y B) 1 3 2 1 0 1 1 1 1 3 1 1 1 El que se mueva en la foto no sale. n A B F A 0 1 B 0 0 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 3 1 1 1
  16. 16. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 3 variables: (28=256 casos posibles) • Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. • Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenana según el código de Gray. • 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable. • 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables, • 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables. n A B C F 0 0 0 0 0 A AB 1 0 0 1 0 C 00 01 11 10 2 0 2 6 4 0 1 0 0 0 0 0 1 1 BC 3 0 1 1 1 1 3 7 5 1 4 1 0 0 1 0 1 1 1 5 1 0 1 1 6 7 1 1 1 1 0 1 1 1 F = BC + A
  17. 17. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 3 variables: (28=256 casos posibles) • Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes. • Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de Gray. • 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable. • 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables, • 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables. n A B C F 0 0 0 0 0 AB 1 C 00 01 11 10 0 0 1 0 0 2 6 4 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 3 0 1 1 1 1 3 7 5 1 4 0 1 1 1 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 A+B A+C F = (A + B)(A + C) 1 1 0 1 7 1 1 1 1
  18. 18. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 4 variables: (216 casos posibles) • Tabla de dos entradas con 16 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes. • Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de Gray. Lo mismo para las otras variables. • 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable. • 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables. • 8 casillas también son adyacentes, eliminándose 3 variables. • 16 casillas también son adyacentes, eliminándose 4 variables.
  19. 19. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García n A B C D F 0 0 0 0 0 1 AB 1 0 0 0 1 0 CD 00 01 11 10 2 0 0 1 0 1 0 4 12 8 3 0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 4 0 1 0 0 1 1 5 13 9 5 01 0 1 1 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 3 7 15 11 7 11 0 0 1 0 0 1 1 1 0 8 2 6 14 10 1 0 0 0 0 10 1 1 1 0 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 F = A D + BC + AB 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1
  20. 20. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 5 variables: (232 casos posibles) • 2 Tablas de dos entradas, con 16 casillas cada una. • Si el orden es ABCDE, la primera tabla respresenta A=0 y la segunda A=1. • Además de las adyacencias interiores, también son adyacentes dos casillas con idénticas posiciones relativas en ambo cuadros (propiedad de traslación) • 2n casillas adyacentes forman un grupo y se eliminan n variables. A=0 A=1 BC BC DE 00 01 11 10 DE 00 01 11 10 0 4 12 8 0 4 12 8 00 00 1 1 1 1 1 0 1 0 1 5 13 9 1 5 13 9 01 0 1 1 0 01 0 0 1 0 3 7 15 11 3 7 15 11 11 1 0 1 0 11 0 0 1 0 2 6 14 10 2 6 14 10 10 1 0 1 1 10 1 1 1 0
  21. 21. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García A=0 A=1 BC BC DE 00 01 11 10 DE 00 01 11 10 0 4 12 8 0 4 12 8 00 00 1 1 1 1 1 0 1 0 1 5 13 9 1 5 13 9 01 0 1 1 0 01 0 0 1 0 3 7 15 11 3 7 15 11 11 1 0 1 0 11 0 0 1 0 2 6 14 10 2 6 14 10 10 1 0 1 1 10 1 1 1 0 - Se eliminan ADE BC - Se eliminan BE AC D - Se eliminan BD ACE F = BC + ACD + ACE + - Se eliminan AD BCE - Se elimina E A B CD + BCE + A BCD + A BD E - Se elimina C A BD E
  22. 22. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 5 variables (alternativa): (232 casos posibles) ABC DE 000 001 011 010 110 111 101 100 0 4 12 8 24 28 20 16 00 1 1 1 1 0 1 0 1 1 5 13 9 25 29 21 17 01 0 1 1 0 0 1 0 0 3 7 15 11 27 31 23 19 11 1 0 1 0 0 1 0 0 2 6 14 10 26 30 22 18 10 1 0 1 1 0 1 1 1 - Se eliminan ADE BC - Se eliminan BE AC D F = BC + ACD + ACE + - Se eliminan BD A C E - Se eliminan AD BC E + BCE + A BCD + A BD E - Se elimina E A BCD - Se elimina C A BD E
  23. 23. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Tabla de Karnaugh de 6 variables (alternativa): (232 casos posibles) B=0 B=1 CD CD EF 00 01 11 10 EF 00 01 11 10 0 4 12 8 16 20 28 24 00 00 A=0 01 1 5 13 9 01 17 21 29 25 3 7 15 11 19 23 31 27 11 11 2 6 14 10 18 22 30 26 10 10 CD CD EF 00 01 11 10 EF 00 01 11 10 32 36 44 40 48 52 60 56 00 00 33 37 45 41 49 53 61 57 A=1 01 01 35 38 46 42 51 55 63 59 11 11 34 39 47 43 50 54 62 58 10 10
  24. 24. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Ejercicios: A AB AB B 0 1 C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 A AB AB B 0 1 C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 AB AB AB CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 00 1 0 0 1 00 1 1 1 1 01 0 1 0 0 01 0 1 0 0 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1 10 1 1 1 1 10 1 1 1 1
  25. 25. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Funciones incompletamente especificadas: • Algunos problemas o diseños no definen completamente una función lógica. • Los casos no especificados no son “0” ni tampoco “1”. Pero pueden ser cualquiera de los dos. • Se marcan como “X” en las tablas. • Se convierten a “0” o a “1” según interese a la hora de simplificar.
  26. 26. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Ejemplo: circuito que detecta si un número en BCD es par (F=1) o impar (F=0) n A B C D F 0 0 0 0 0 X 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 AB 4 0 1 0 0 1 CD 00 01 11 10 5 0 1 0 1 0 00 X 1 X 1 F=D 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 0 01 0 0 X 0 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 11 0 0 X X 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 X 10 1 1 X X 12 1 1 0 0 X 13 1 1 0 1 X 14 1 1 1 0 X 15 1 1 1 1 X
  27. 27. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Criterios de Simplificación: • Marcar y aceptar las casillas no combinables. • Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos de 2 de una sola forma. • Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos de 4 de una sola forma. • ...... • Las casillas aún libres se agrupan con otras aunque ya estén marcadas, formando el menor número de grupos posible pero del máximo tamaño posible.
  28. 28. CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García Ejemplo de desarrollo por unos: AB Casilla 9 no combinable: A BCD CD 00 01 11 10 0 4 12 8 00 1 1 1 0 Casilla 0 sólo combinable con 4 1 5 13 9 01 para grupo de 2. Las demás 0 1 0 1 admiten al menos 2 posibilidades: 3 7 15 11 11 A CD 0 X 1 0 10 2 6 14 10 Casilla 5 sólo combinable con 4, 0 1 1 0 6, 7 para grupo de 4: AB Casilla 12 sólo combinable con 4, 6 y 14 para grupo de 4: BD Casilla 15 sólo combinable con 6, 7 y 14 para grupo de 4: BC
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