Simulación del lanzamiento de un cohete bajo campo gravitatorio no constante

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Numerical Methods Extension at Universidad de Córdoba (Spain). Simulation with FORTRAN90 about rocket launched under constant gravity with altitude and non constant. Exact resolution vs calculated Runge-Kutta resolution

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Simulación del lanzamiento de un cohete bajo campo gravitatorio no constante

  1. 1. Lanzamiento de un cohete Javier García Molleja Ampliación de Métodos NuméricosÍndice1. Denición del problema 2 1.1. Obtención de la ley de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Corrección a la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Método de resolución 4 2.1. Adaptación de la ecuación para aplicar RungeKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Resolución analítica y numérica en el caso de g = cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Resolución numérica cuando g ̸= cte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Seudocódigos 64. Programación 95. Juego de datos 96. Resultados 107. Discusión de resultados 14 1
  2. 2. 1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Javier García Molleja1. Denición del problema Antes de resolver el problema a partir del uso de métodos numéricos es necesario conocer el tratamientomatemático que se aplica al suceso físico con el n de obtener su ecuación de movimiento. De este modopodemos ver si el problema es convergente y está bien condicionado, pues estos requisitos son indispen-sables para aplicar con ciertas garantías los métodos de resolución. Ambos puntos pueden respondersesatisfactoriamente, ya que partiremos de un hecho físico ampliamente estudiado [1] y utilizaremos unmodelo matemático adecuado y bien planteado.1.1. Obtención de la ley de movimiento Si el cohete que utilizamos posee una masa inicial m0 , [2] que incluye tanto el material mecánicocomo el combustible (para realizar un estudio más detallado usaremos para cualquier instante de tiempoposterior la magnitud m con la que podemos recurrir a la ley de conservación de la masa, pues ademásde la masa del cohete cargado tenemos la masa de los gases despedidos, así que ésta nos mostrará quela masa que queda en el cohete disminuye), podemos averiguar que tras el despegue se irá perdiendoprogresivamente la masa correspondiente al carburante, al ritmo de q kg/s. Esta expulsión se hará convelocidad u respecto al cohete, que por el principio de acción y reacción ascenderá. Se nos indica que nohay resistencia del aire y que al partir de un polo los efectos de rotación son despreciables, por tanto, laúnica fuerza externa que afecta a nuestro sistema de estudio será la gravedad. El movimiento del cohete se hará a lo largo de una recta, luego prescindiremos del carácter vectorial.Si los cálculos se realizan en un sistema de referencia inercial con origen en el suelo y el sentido positivolo marca el ascenso, veremos que los gases aumentan un dm mientras transcurre el tiempo, lo que haráque la velocidad de éstos sea v − u, donde v es la velocidad que posee el cohete y u es la velocidad deexpulsión (el signo negativo sólo indica que los gases son expulsados hacia el suelo). Por otra parte, elcohete perderá un dm a lo largo del tiempo, mientras su velocidad aumenta a consecuencia de esto dv apartir de la que tenía en el instante anterior, v. Durante todo el proceso se verica la ley de conservaciónde la cantidad de movimiento: pi =pf pi =pmecanismo + pcombustible mv =(m − dm)(v + dv) + dm(v − u) mv =mv + m dv − v dm − dm dv + v dm − u dm 0 =m dv − u dmHemos supuesto que dm dv ≈ 0, ya que estamos realizando cálculos en los que se utilizan términos deprimer orden y un término de segundo orden posee un valor tan pequeño que apenas afecta a nuestroscálculos. Sigamos operando con la ley de conservación, advirtiendo que dm = q dt 0 =m dv − uq dt dv 0 =m − uq dt ma =uqUna vez conseguida la ecuación de movimiento debemos considerar que estos cálculos se han realizadoen el caso de no existencia de gravedad, por lo que aquí se presenta que el cohete asciende más rápidode lo normal. Por esto incluimos el sumando −mg en el segundo miembro que es la fuerza con la queson atraidos los gases al suelo por efecto gravitatorio. Por consiguiente, trabajando en esta ecuación de2 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  3. 3. Javier García Molleja 1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMANewton, ma =uq − mg qu a= − g. m Ahora bien, sabiendo que la masa del sistema coincide con la suma de la masa del cohete y la delcombustible, y ésta a su vez con la suma de la masa que aún no se ha consumido y la que sí se haconsumido 1 m =mmecanismo + mcombustible =mmecanismo + (mcombustible interno − qt) =(mmecanismo + mcombustible interno ) − qt =m0 − qt,entonces, sustituyendo en la ecuación de movimiento quedará que qu a= − g. (1) m0 − qtSi como último paso identicamos la expresión con el grado de libertad del sistema (la altura h) llegaremosa la ecuación de movimiento expresada en el problema d2 h qu = − g. dt 2 m0 − qt1.2. Corrección a la gravedad La práctica nos pide solucionar el problema en el caso de que la gravedad fuese constante y en el casode que dependiese de la altura. [3] 2 Varios estudios han determinado que la gravedad en la supercie marciana es g = 3,7 m/s . Este datopuede conocerse a partir de la ley universal de la gravitación de Newton: M g = −G , r2donde G = 6,67 · 10−11 m2 /s2 kg es la constante de gravitación de Cavendish, M = 6,4 · 1023 kg es lamasa de Marte y r = 3,394 · 106 m es el radio ecuatorial del planeta. A partir de esta fórmula podemoscrear la corrección con sólo considerar que el cohete que asciende está a una distancia h + r del centrodel planeta, por lo que si introducimos esto en la fórmula y multiplicamos y dividimos por r2 se llegaráa que GM r2 g =− r2 (h + r)2 ( )2 r g =g0 h+r ( )2 3394 g =0,0037 , h + 3394expresadas las distancias en kilómetros. Esto nos hace ver que el resultado es correcto, pues al inicio toda la masa estaba en el cohete, mientras que en cualquierinstante de tiempo posterior esta masa ha disminuido.Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 3
  4. 4. 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN Javier García Molleja2. Método de resolución El método de integración numérica a aplicar se fundamenta en la idea de utilizar f (recordemos queel problema a resolver es y ′ = f (x, y), con condición inicial dada y realizada la pertinente reducción degrado) para realizar combinaciones lineales de la propia función f .[4] Así, se elegirán pares de valores paraque al combinarlos den un método de orden 2. Un pertinente desarrollo de Taylor nos permitirá llegara un sistema, en el cual se determinará un parámetro al exigir la condición del orden. En particular, sirepetimos el proceso llegaremos al método de RungeKutta de cuarto orden, que es muy utilizado por surapidez de convergencia y por su sencillez de fórmula: h yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), 6donde k1 =f (xi , yi ) ( ) h h k2 =f xi + , yi + k1 2 2 ( ) h h k3 =f xi + , yi + k2 2 2 k4 =f (xi + h, yi + hk3 ) .2.1. Adaptación de la ecuación para aplicar RungeKutta La resolución numérica de la ecuación de movimiento del cohete d2 h qu = − g, dt 2 m0 − qtnos permitirá conocer la altitud y la velocidad del mismo en función del tiempo: desde que despega hastaque agota su combustible. Para aplicar el método de RungeKutta de cuarto orden es necesario que laecuación diferencial sea de primer orden. Esto se consigue con un pertinente cambio de variables: h =s1 dh =s2 dt { s′ = s2 1 s′ = m0 −qt − g, 2 qudonde las condiciones iniciales para el problema serán s1 (0) =0 s2 (0) =0. Si además consideramos que la gravedad no es constante en función de la altura, el término g tendráel siguiente aspecto: ( )2 3394 g = 0,0037 . s1 + 33944 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  5. 5. Javier García Molleja 2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN2.2. Resolución analítica y numérica en el caso de g = cte Con este aspecto la ecuación diferencial puede resolverse mediante el método pedido. Pero antes senos plantea la posibilidad de la consideración del problema en dos casos diferenciados: si la gravedad esconstante y si la gravedad varía con la altura. Para el primer caso la aplicación del método es bastante sencilla, ya que la complejidad de las ope-raciones a realizar por el ordenador es muy baja. En este caso, además, podemos obtener la soluciónanalítica de la ecuación de movimiento: d2 h(t) qu = −g dt2 m0 − qt ∫ h′ (t) ∫ t ∫ t d2 h(t) qu dt = dt − g dt h′ (0) dt2 0 m0 − qt 0 dh(t) t − v(0) = − u ln (m0 − qt)]0 − gt dt 0 dh(t) = − u (ln(m0 − qt) − ln m0 ) − gt dt dh(t) m0 − qt = − u ln − gt dt m0 dh(t) m0 =u ln − gt, dt m0 − qten donde hemos tenido que utilizar una de las condiciones de contorno para determinar la soluciónanalítica de la velocidad. A continuación, debemos realizar otra integración para conocer analíticamentela altura, incorporando la segunda condición inicial cuando sea conveniente ∫ h(t) ∫ t ∫ t dh(t) m0 dt =u ln dt − g t dt h(0) dt 0 m0 − qt 0 ∫ t m0 t2 h(t) − h(0) =u ln dt − g 0 m0 − qt 2 0El primer sumando del segundo miembro puede resolverse por partes así que introduciremos las variables m0 q α = ln ⇒ dα = dt m0 − qt m0 − qt dβ = dt ⇒ β = ty se realiza la siguiente operación: ∫ b ∫ b b α dβ = αβ]a − βdα, a acon lo cual tenemos que ]t ∫ t m0 qt t2 h =ut ln −u dt − g m0 − qt 0 0 m0 − qt 2 ∫ t qt (2) m0 m0 t2 h =ut ln −u dt − g . m0 − qt 0 1− qt m0 2Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 5
  6. 6. 3 SEUDOCÓDIGOS Javier García Molleja El último paso que nos queda es resolver la integral que aparece en el segundo miembro. Conoceremosel valor de ésta si realizamos el cociente entre el numerador y el denominador, ya que poseen el mismogrado, por lo que en realidad deberemos integrar x 1 = −1 + , 1−x 1−xdonde, para el caso en el que estamos operando x = qt m0 . ∫ t qt ∫ t ∫ t m0 dt dt = − dt + 0 1− qt m0 0 0 1 − m0 qt ( )]t m0 qt = − t]0 − t ln 1 − q m0 0 ( ) m0 qt =−t− ln 1 − q m0 Obtenido esto ya podemos sustituir en los anteriores cálculos de (2) [ ( )] m0 m0 qt t2 h =ut ln − u −t − ln 1 − −g m0 − qt q m0 2 [ ( )] m0 m0 qt t2 h =u t ln +t+ ln 1 − −g . m0 − qt q m0 2 A continuación, debemos realizar la resolución numérica de la práctica mediante la aplicación delmétodo de RungeKutta de cuarto orden. Como ya hemos convertido el problema de valores iniciales ensu problema análogo de Cauchy la implementación será sencilla. Una vez determinadas la soluciones analítica y numérica podemos dar valores a la primera en losmismos puntos que el método RungeKutta, de esta manera podríamos conocer el error cometido a lahora de resolver la sesión utilizando un programa informático sometido a la restricción de la representaciónnumérica y a los errores intrínsecos del método.2.3. Resolución numérica cuando g ̸= cte En este apartado volveremos a aplicar lo que hemos visto en el anterior, con la única mención de queahora la gravedad no es constante, sino que disminuye con la altura. La ecuación de segundo orden con condiciones iniciales se convierte de igual modo en un problemade Cauchy, en donde ahora aparece la variable s1 en el sustraendo del segundo miembro. La aplicacióndel método de RungeKutta será análoga al caso anterior, aunque puede ser que los cálculos se retrasenahora un poco más por existir más operaciones a realizar, pero con un buen ordenador este incrementode tiempo nos será inapreciable.3. Seudocódigos Vamos a escribir primero el seudocódigo del progrma que nos permite conocer los valores de la alturay la velocidad de nuestro cohete cuando la gravedad es constante. En el programa también se obtendránlas soluciones analíticas respectivas y analizaremos el error que se comete al realizar los cálculos de unmodo u otro.6 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  7. 7. Javier García Molleja 3 SEUDOCÓDIGOSPROGRAMA CoheteSIN CRITERIO IMPLÍCITOREAL*8::a, b, alpha1,alpha2, h, tREAL*8::q, u m0, gREAL*8::S(2), k1(2), k2(2), k3(2), k4(2)ENTERO::i, NIMPRIMIR*,Extremos de intervaloLEER*,a,bIMPRIMIR*,Condiciones inicialesLEER*,alpha1, alpha2IMPRIMIR*,Número de pasosLEER*,Nh = (b - a)/Nt = aS(1) = alpha1S(2) = alpha2q = 600u = 2m0 = 198000g = 0.0037HACER i=1,Nk1 = f(t, S)k2 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k1)k3 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k2)k4 = f(t + h, S + h*k3)S = S + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)t = t + hIMPRIMIR*,A los , t, segundosLLAMAR EspacioLLAMAR VelocidadFIN HACERCONTIENESUBRUTINA EspacioREAL*8::espaespa = u*(t*LOG(m0/(m0 - qt)) + t + (m0/q)*LOG(1 - ((q*t)/m0))) - g*(t**2)/2IMPRIMIR*,el espacio numérico es, S(1), y el analítico, espaIMPRIMIR*,con un error relativo del , ABS((S(1)-espa)/espa)*100,%.FIN SUBRUTINA EspacioSUBRUTINA VelocidadREAL*8::vv = u*LOG(m0/(m0 - qt)) - g*tIMPRIMIR*,La velocidad numérica es , S(2), y la analítica, vIMPRIMIR*,con un error relativo del , ABS((S(2)- v)/v)*100,%.IMPRIMIR*,--------------Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 7
  8. 8. 3 SEUDOCÓDIGOS Javier García MollejaFIN SUBRUTINA VelocidadFUNCIÓN f(t, S) RESULTADO(res)REAL*8::tREAL*8::S(2), res(2)res(1) = S(2)res(2) = (q*u)/(m0 - q*t) - gFIN FUNCIÓN fFIN PROGRAMA Cohete Ahora escribiremos el seudocódigo correspondiente al programa que calcula el espacio y la velocidaddel cohete cuando la gravedad disminuye con la altura.PROGRAMA Cohete_gravedadSIN CRITERIO IMPLÍCITOREAL*8::a, b, alpha1,alpha2, h, tREAL*8::q, u m0, gREAL*8::S(2), k1(2), k2(2), k3(2), k4(2)ENTERO::i, NIMPRIMIR*,Extremos de intervaloLEER*,a,bIMPRIMIR*,Condiciones inicialesLEER*,alpha1, alpha2IMPRIMIR*,Número de pasosLEER*,Nh = (b - a)/Nt = aS(1) = alpha1S(2) = alpha2q = 600u = 2m0 = 198000g = 0.0037HACER i=1,Nk1 = f(t, S)k2 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k1)k3 = f(t + (h/2), S + (h/2)*k2)k4 = f(t + h, S + h*k3)S = S + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)t = t + hIMPRIMIR*,En el segundo,t,la nave ha ascendido,S(1),km, con una velocidad,S(2),km/s.FIN HACERCONTIENEFUNCIÓN f(t, S) RESULTADO(res)REAL*8::tREAL*8::S(2), res(2)8 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  9. 9. Javier García Molleja 5 JUEGO DE DATOSres(1) = S(2)res(2) = (q*u)/(m0 - q*t) - g*(3394.0/(S(1) + 3394.0))**2FIN FUNCIÓN fFIN PROGRAMA Cohete_gravedad4. Programación La redacción de la práctica se hará mediante el lenguaje FORTRAN 90 [5] cuyos cheros creadoslistos para compilar se presentarán en soporte magnético adjuntados al presente trabajo.5. Juego de datos Los datos necesarios para realizar la sesión han sido dados, por lo que se implementarán en la ejecucióndel programa informático para conocer la altura y la velocidad del cohete en función del tiempo. 1. Las condiciones iniciales quedan marcadas entre el despegue y el agotamiento del combustible. Conocemos por tanto que el despegue se efectúa en t = 0, mientras que el combustible se agotará dependiendo de la velocidad con que se consuma. Si para este caso q = 600 kg/s y la masa inicial del combustible es de 96000 kg tenemos que éste se acabará transcurridos t = mc = 160 s. q 2. Las condiciones iniciales (t = 0) para este problema de segundo orden deben ser dos, las cuales también son datos que conocemos: h =0 dh =0 dt 3. El número de pasos necesarios para resolver el problema no nos han sido referidos, por lo que se probarán diferentes casos para conocer la precisión del método numérico y observar si la acumulación de errores de redondeo afecta en demasía a la práctica. Para evitar de algún modo esto podríamos declarar en la creación del programa informático que las variables que utilicemos posean una doble precisión. 4. La velocidad de consumo del carburante es q = 600 kg/s. 5. La velocidad con la que sale el combustible es u = 2 km/s. 6. La masa inicial del cohete cargado es m0 = 198000 kg. 7. La gravedad marciana tomará dos expresiones según lo que nos han pedido: 2 Si es constante g = 0,0037 km/s ( )2 3394 2 Si no lo es g = 0,0037 km/s . h + 3394 8. La solución analítica puede hacerse también por medio de un progrma informático. La comparación con los datos numéricos se hará mediante el cálculo del error relativo porcentual, no siendo admisible errores superiores al 10%.Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 9
  10. 10. 6 RESULTADOS Javier García Molleja6. Resultados Tras haber creado y compilado los programas debemos introducir por pantalla los valores indicadosen la sección anterior, de esta manera conocemos la altura y la velocidad del cohete mediante un cálculoanalítico y numérico para el caso de gravedad constante. Mostraremos una tabla en la que se dan losvalores en intervalos de cinco segundos, o sea, indicamos 32 pasos cuando el programa nos lo pida. Estenúmero es bastante acorde con los experimentos, pues un número mayor o menor de pasos dará unresultado que apenas diferirá de lo obtenido y el resto se halla fácilmente por interpolación. Además,con una gran cantidad de pasos los errores de redondeo comenzarían a ser excesivos y la lectura de ellospuede ser engorrosa. En el caso de escoger pocos pasos se tendrá la sensación de que el error cometido esgrande, ya que al método no le ha dado tiempo para aproximar la solución. Tiempo (s) Altura (km) Numérica Analítica Error(%) 5 2.989311048028569E-2 2.989311497355729E-2 1.503112539141104E-5 10 0.121138444019721 0.121138453221779 7.596314367720458E-6 15 0.276140135748067 0.276140149891802 5.121940764873798E-6 20 0.497378652012070 0.497378671349445 3.887857712535787E-6 25 0.787414484447101 0.787414509251008 3.150044350318511E-6 30 1.14889208633556 1.14889211690215 2.660527334632260E-6 35 1.58454407144801 1.58454410809887 2.313022103603447E-6 40 2.09719569761741 2.09719574070233 2.054406574709904E-6 45 2.68976965959949 2.68976970949947 1.855176934929504E-6 50 3.36529121835761 3.36529127548830 1.697644689494252E-6 55 4.12689369681917 4.12689376163465 1.570563351664466E-6 60 4.97782437542960 4.97782444842667 1.466445258700152E-6 65 5.92145082453469 5.92145090625809 1.380124597586639E-6 70 6.96126771481506 6.96126780586283 1.307919436403273E-6 75 8.10090415175597 8.10090425278588 1.247143676161605E-6 80 9.34413158554704 9.34413169728398 1.195798092347658E-6 85 10.6948723539770 10.6948724772213 1.152367996221438E-6 90 12.1572089229401 12.1572090585772 1.115692090054926E-6 95 13.7353938972531 13.7353940462644 1.084871333785316E-6 100 15.4338608837638 15.4338610472400 1.059204817173701E-6 105 17.2572362994362 17.2572364785917 1.038147034079225E-6 110 19.2103522294561 19.2103524256463 1.021273558531070E-6 115 21.2982604547371 21.2982606694789 1.008259395079060E-6 120 23.5262477848747 23.5262480198639 9.988616344858986E-7 125 25.8998528520389 25.8998531092005 9.929075429324373E-7 130 28.4248845440729 28.4248848255607 9.902863984604620E-7 135 31.1074422818153 31.1074425900720 9.909420762458226E-7 140 33.9539383772339 33.95399387150325 9.948729763401329E-7 145 36.9711227463391 36.9711231168369 1.002127429641460E-6 150 40.1661102953087 40.1661107021134 1.012805931546525E-6 155 43.5464113513711 43.5464117986208 1.027064343394998E-6 160 47.1199655737467 47.1199660662051 1.045116137186130E-6 Hemos visto que los resultados obtenidos analítica y numéricamente no son muy dispares, pues elporcentaje de error relativo es inferior al 10%. Esto nos asegura que el método ha sido bien implementadoy que ha sido correcta la elección de variables con doble precisión, pues de no haber sido así no nos10 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  11. 11. Javier García Molleja 6 RESULTADOShubiésemos percatado a simple vista en qué cifra decimal empiezan a discrepar los resultados. Del mismo modo también presentaremos la tabla de valores para la velocidad, pues por falta de espaciohemos tenido que dividir la tabla correspondiente al caso de gravedad constante en dos. La presentaciónserá la misma: en intervalos de cinco segundos se indicarán la velocidad obtenida numéricamente y la cal-culada mediante métodos analíticos, comparados estos resultados mediante un error relativo porcentual. Tiempo (s) Velocidad (km/s) Numérica Analítica Error (%) 5 1.203494426981436E-2 1.203494425598883E-2 1.148782160434254E-7 10 2.454331735108788E-2 2.454331732233150E-2 1.171658067863203E-7 15 3.754003129792256E-2 3.754003125302201E-2 1.196071155464940E-7 20 5.104071400269476E-2 5.104071394031612E-2 1.222134883358836E-7 25 6.506175575961329E-2 6.506175567828909E-2 1.249953932666673E-7 30 7.962035967701080E-2 7.962035957512226E-2 1.279679466608732E-7 35 9.473459632653689E-2 9.473459620229646E-2 1.311457782955766E-7 40 0.110423463063878 0.110423462915309 1.345444398306204E-7 45 0.126706948508547 0.126706948333459 1.381830954209769E-7 50 0.143606102730711 0.143606102526673 1.420817504494223E-7 55 0.161143113762134 0.161143113526442 1.462629082710688E-7 60 0.179341391127607 0.179341390857247 1.507513346576257E-7 65 0.198225657184355 0.198225656875964 1.555754611586602E-7 70 0.217822047161949 0.217822046811765 1.607660661553797E-7 75 0.238158218916576 0.238158218520381 1.663581956507150E-7 80 0.259263473554100 0.259263473107152 1.723912899121323E-7 85 0.281168888239641 0.281168887736603 1.789095332281962E-7 90 0.303907462701641 0.303907462136486 1.859626126826121E-7 95 0.327514281160654 0.327514280526563 1.936070461881396E-7 100 0.352026691673668 0.327514280526563 2.019068969456946E-7 105 0.377484505191111 0.377484504394865 2.109349165118938E-7 110 0.403930216985168 0.403930216093394 2.207742018056232E-7 115 0.431409253536002 0.431409252537204 2.315199248658633E-7 120 0.459970248471026 0.459970247352004 2.432814328037973E-7 125 0.489665351758984 0.489665350504537 2.561845419375906E-7 130 0.520550577087131 0.520550575679692 2.703750836031631E-7 135 0.552686193223488 0.552686191642684 2.860220501602159E-7 140 0.586137166221505 0.586137164443618 3.033227735306523E-7 145 0.620973660605043 0.620973658602352 3.225082249954625E-7 150 0.657271609233020 0.657271606972993 3.438498259256014E-7 155 0.695113363456510 0.695113360900798 3.676684675150828E-7 160 0.734588437528529 0.734588434841714 3.943451850455403E-7 Vemos que la práctica también ha tenido éxito en este apartado, ya que ambos resultados apenasdieren y están muy por debajo de la tolerancia exigida para aceptarlos. Aquí vuelve a asegurarse ladeclaración de variables del programa como doble precisión. También se admite que la implementacióndel método RungeKutta ha sido satisfactoria, amén de la correcta resolución analítica. A continuación, expresaremos la altitud y celeridad del cohete cuando la gravedad disminuye con laaltura. Como la resolución analítica no existe (o es harto complicada) no sabremos a ciencia cierta silos resultados son los correctos o no, aunque podemos ayudarnos en cierta manera en que el problemaAmpliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 11
  12. 12. 6 RESULTADOS Javier García Mollejaestá bien planteado. Por este motivo conocemos que pequeñas variaciones en los datos de partida daránresultados levemente dispares. Tiempo (s) Altura (km) Velocidad (km/s) 5 2.989324451254652E-2 1.203505254598128E-2 10 0.121140620104505 2.454419203647860E-2 15 0.276151246152678 3.754301230798288E-2 20 0.497414048012360 5.104784949856673E-2 25 0.787501585278369 6.507582936485583E-2 30 1.14907412616504 7.964491847400441E-2 35 1.58488398833578 9.477397966018650E-2 40 2.09778016857438 0.110482832181680 45 2.69071328600002 0.126792317067663 50 3.36674086612209 0.143724368204395 55 4.12903299594790 0.161302089779730 60 4.98087838364572 0.179549840784348 65 5.92569085998013 0.198493327359424 70 6.96701636294211 0.218159703885678 75 8.10854045176778 0.238577683830321 80 9.35409640196533 0.259777661509260 85 10.7076739391554 0.281791846085509 90 12.1734286765994 0.304654409315326 95 13.7556923293884 0.328401648776267 100 15.4589837875745 0.353072168572318 105 17.2880211412441 0.378707079818128 110 19.2477347629264 0.405350223566371 115 21.3432815670895 0.433048419270900 120 23.5800605831770 0.461851742387598 125 25.9637299981195 0.491813835322306 130 28.5002258470688 0.522992256662707 135 31.1957825579017 0.555448874505800 140 34.0569555866603 0.589250310749300 145 37.0906464185343 0.624468444497316 150 40.3041302535232 0.661180984293881 155 43.7050867491054 0.699472120813363 160 47.3016342560792 0.739433273996642 Se observa que las soluciones obtenidas no dieren mucho de las anteriores, por lo que podemos asegu-rar que los resultados son correctos. Además, como progresivamente se debilita la atracción gravitatoriala altura y velocidad en este caso deben ser mayores, tal y como hemos visto en los resultados.12 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  13. 13. Javier García Molleja 6 RESULTADOS Representación de la altura 50 45 40 35 30 h (km) 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 t (s) Figura 1: Representación de la altura del cohete respecto del tiempoAmpliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 13
  14. 14. 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Javier García Molleja Representación de la velocidad 0.8 0.7 0.6 0.5 v (km/s) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 t (s) Figura 2: Representación de la velocidad del cohete respecto del tiempo7. Discusión de resultados El problema que hemos resuelto no tiene relevancia inmediata, pero puede ser de gran importanciapara futuras expediciones tripuladas a Marte. Con este tratamiento podemos extrapolar el método deresolución a las misiones astronáuticas que parten de la Tierra, pero con el inconveniente de que los des-pegues no se realizan en los polos, por lo que el efecto Coriolis sería más acusado como consecuencia dela rotación terrestre. También deberíamos admitir que nuestra atmósfera es más densa que la marciana,haciendo que los efectos de rozamiento con el aire fueran considerados. Sin embargo, para nuestro problema, la nave despegaría posiblemente de vastita borealis, [6] es decir,el polo norte de Marte. En este lugar el terreno es menos accidentado y un amartizaje sin problemassería sencillo, aunque podría ser que el punto de estudio estuviese bastante alejado de la nave. Durantela época de invierno aparece hielo en esta región, con la posibilidad de la existencia de agua congelada,sustancia apreciada para un consecuente regreso a la Tierra, puesto que como carburante se utiliza eloxígeno líquido. Además, tras un adecuado tratamiento podría incluso llegar a beberse, primer paso paracrear las primeras colonias permanentes en el planeta rojo. Como vemos en los resultados obtenidos, la nave partiría del polo e iría ascendiendo conforme elaumento de velocidad y la inevitable pérdida de combustible. Según nuestros cálculos el combustible se14 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)
  15. 15. Javier García Molleja 7 DISCUSIÓN DE RESULTADOSacabará transcurridos 160 s, por lo que la altura y la velocidad en ese instante sería (para el caso deque la gravedad no fuese constante) 47,3016342560792 km y 0,739433273996642 km/s, respectivamente.Estos valores inducen a calcular la velocidad de escape del planeta marciano, pudiendo así comprobar siha habido suciente combustible como para que la nave entre en órbita: √ 2GM ve = = 5,015473993090612 km/s. r Este resultado se consiguió utilizando los datos referidos en un apartado anterior y nos hace ver que elcohete no alcanza suciente velocidad como para acabar de abandonar el campo gravitatorio del planeta,lo que plantea un fracaso en la misión. Si los astronautas sobreviven a la colisión tras el proceso de subida y caida libre (o en el mejor delos casos, el ordenador indicó que no podía despegar la nave por falta de combustible) sería necesariauna misión de rescate. Suponiendo que el cohete MIR tuviese ya pocas reservas alimenticias es inviableque partiese desde la Tierra una nave de salvamento, denomidada HERMES, pues es necesario que éstaparta en la ventana espacial que tiene lugar cada dos años entre los dos planetas, momento en la que ladistancia que los separa es mínima. Otra posible ruta de escape viene inspirada en las misiones APOLLO : el viaje hacia Marte se haríaen una nave espacial, de la que se desprendería, llegado el momento, un módulo que amartizaría (eneste caso el cohete de la práctica), continuando la nave en la órbita marciana durante la estancia de losastronautas en el suelo. Llegado el mensaje de socorro los tripulantes enviarían un módulo de salvamento,llamado DEDALUS, para salvar a sus compañeros. También es viable que el cohete de la práctica estuviese equipado con unos motores auxiliares quele permitiesen moverse por el eje horizontal, de este modo si consigue generar la fuerza de empuje eneste eje como para que igualase (en módulo) a la fuerza gravitatoria que tira de la nave hacia el suelopodría entrar en órbita. Modicando ésta podría ganar la suciente energía y llegar hasta la nave principal. Aparte de todas estas suposiciones es necesario indicar que la sesión ha sido ampliamente provechosa,ya que nos ha permitido observar la viabilidad de resolver numéricamente una ecuación en derivadas or-dinarias, comparando los resultados obtenidos con los cálculos analíticos, si era posible. La modicaciónpertinente del método de RungeKutta para adaptarlo a la resolución del sistema planteado ha servidopara analizar aún más si cabe las posibilidades del método. Además, la sesión sirve para familiarizarse con problemas físicos reales y las posibles variantes que sepueden dar, y en cada caso, tener idea de la manera de resolución. También la aparición de un fallo enlos datos permite una reexión para ver soluciones, pues es posible que existan errores de este tipo en lavida real (recordemos la colisión de un satélite en Marte hace varios años al haber un malentendido en eltipo de unidades que se estaban manejando). Finalmente, haber trabajado en esta sesión ha tenido resultados favorables de cara al conocimiento decasos reales y la aplicación sobre ellos de métodos numéricos, con el inestimable refuerzo de conocimientospreviamente adquiridos y la ejercitación de la mente para nuevos problemas que pueden plantearse en unfuturo cercano.Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física) 15
  16. 16. REFERENCIAS Javier García MollejaReferencias[1] E. Casado Revuelta, M. A. Hernández Aláez, P. Rodríguez García: Apuntes de Física General ; 2001, Universidad de Córdoba[2] M. Sáez Cano, J. M. Alcaraz Pelegrina: Apuntes de Mecánica y Ondas ; 2002, Universidad de Córdoba[3] P. A. Tipler: Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1 ; 6.a edición, Editorial Reverté[4] Grupo SiGNum: Ampliación de Métodos Numéricos ; 2005, Universidad de Córdoba[5] J. L. Cruz Soto: Apuntes de Programación Cientíca ; 2003, Universidad de Córdoba[6] Varios autores: Gran Enciclopedia Larousse ; 1996, Editorial Planeta16 Ampliación de Métodos Numéricos (5.o Física)

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