Reguläre Äquivalenz - IP-Formulierung von Blockmodellen
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"Knoten der selben Äquivalenzklasse haben Knoten der gleichen Äquivalenzklassen in ihrer jeweiligen Menge von Nachbarn." Mit dieser Definition (Prosaversion) lassen sich Netzwerke aller Art auf ...

"Knoten der selben Äquivalenzklasse haben Knoten der gleichen Äquivalenzklassen in ihrer jeweiligen Menge von Nachbarn." Mit dieser Definition (Prosaversion) lassen sich Netzwerke aller Art auf wiederkehrende Strukturen untersuchen.

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Reguläre Äquivalenz - IP-Formulierung von Blockmodellen Reguläre Äquivalenz - IP-Formulierung von Blockmodellen Presentation Transcript

  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und Ausblick Reguläre Äquivalenz IP-Formulierung von Blockmodellen Jens Fielenbach Arbeitsgruppe ComOpt von Prof. Dr. Gerhard Reinelt Fakultät für Mathematik und Informatik Universität Heidelberg Seminar Analyse von Netzwerken im SS 2011
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickGliederung 1 Ausgangspunkt / Motivation Wiederholung der Definitionen Exaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz Was will man mehr? 2 Blockmodellierung Blockmodellierung als Optimierungsproblem Komplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA) IP-Formulierung
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWiederholung der DefinitionenReguläre Äquivalenz Definition (Reguläre Äquivalenz) Eine Äquivalenzrelation der Knotenmenge eines Graphen G = (V , E) heißt regulär, wenn für jedes Knotenpaar (u, v ) mit u ≡ w stets folgende Implikationen gelten: i (uv ∈ E) =⇒ (∃z ≡ v : wz ∈ E) ii (vu ∈ E) =⇒ (∃z ≡ v : zw ∈ E) Merksatz in Prosa Knoten der selben Äquivalenzklasse haben Knoten der gleichen Äquivalenzklassen in ihrer jeweiligen Menge von Nachbarn.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz Ein kleines Beispiel zum Warmwerden. . . 1 2 4 3 Abbildung: Finden Sie ein oder mehrere reguläre Äquivalenzen!
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz Eine Lösung 1 2 4 3
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz Eine Lösung Alle regulären Äquivalenzen 1234 1 2 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 4 3 1/2/3/4
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzDer CATREGE-Algorithmus [Borgatti u. Everett, 1993] Sei P die jeweils aktuelle Partition des Graphen. 1 Starte P mit allen Knoten in ein und derselben Äquivalenzklasse. Anmerkung: Natürlich sind alternative Vorgaben für P möglich. 2 Für jeden Knoten berechne dessen Nachbarschaftsmenge bezüglich P neu. 3 Für jedes Paar von Knoten vergleiche deren Nachbarschaftsmengen: → Übereinstimmung: Knoten bleiben äquivalent. → Abweichung: Eröffne neue Äquivalenzklasse für einen der Knoten. 4 Wiederhole ab (2) solange Veränderungen eingetreten sind. 5 Gebe Partition P als Lösung zurück.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzEigenschaften Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett] d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition. Laufzeit O(n3 ) maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt. Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ). 2 Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen Implementierung nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzEigenschaften Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett] d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition. Laufzeit O(n3 ) maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt. Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ). 2 Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen Implementierung nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzEigenschaften Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett] d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition. Laufzeit O(n3 ) maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt. Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ). 2 Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen Implementierung nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzEigenschaften Terminiert mit dem sog. Regular Interior [Borgatti und Everett] d.h. der maximalen regulären Partion P ≤ der Startpartition. Laufzeit O(n3 ) maximal n Iterationen, da Anzahl der Äquivalenzklassen streng monoton steigend – bis auf den letzten Schritt. Laufzeit eines Schritts beträgt O( n(n−1) ) = O(n2 ). 2 Prädestiniert für Umgang mit Multiplen Relationen über stets separate Bestimmung der Nachbarschaftsmengen Implementierung nicht mehr als 300-400 Zeilen Quellcode in C++
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzBeispiel: Geschäftsbeziehungen von 70 Fotografen Wer beliefert wen? [weitgehende Planardarstellung mit Social Network Visualizer SocNetV] 10 24 57 68 55 44 48 69 26 8 63 67 50 40 51 61 2 29 13 28 39 25 64 60 4 47 17 46 21 53 37 1 70 54 31 52 20 56 30 59 27 16 38 58 35 6 19 45 43 33 15 5 22 32 18 14 34 9 62 66 36 23 42 49 65 3 11 7 12 41
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen. Anzahl der Äquivalenzklassen: 8 0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60 3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 15 21 46 48 52 58 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzÄquivalenz mit 8 Klassen Finden Sie einen Fehler (eine Irregularität)! 10 24 57 68 55 44 48 69 26 8 63 67 50 40 51 61 2 29 13 28 39 25 64 60 4 47 17 46 21 53 37 1 70 54 31 52 20 56 30 59 27 16 38 58 35 6 19 45 43 33 15 5 22 32 18 14 34 9 62 66 36 23 42 49 65 3 11 7 12 41
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 8 0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60 3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 15 21 46 48 52 58 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 8 0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60 3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 15 21 46 48 52 58 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 8 0 5 49 53 1 6 7 14 18 20 22 24 29 30 35 36 37 41 43 45 47 57 59 61 62 63 64 65 66 68 2 38 60 3 4 10 11 12 13 16 23 25 26 27 31 33 40 42 50 55 8 19 56 9 17 28 32 34 39 44 51 54 67 15 21 46 48 52 58 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen. Anzahl der Äquivalenzklassen: 29 0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29 7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36 21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 29 0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29 7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36 21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 29 0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29 7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36 21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 29 0 1 2 3 10 13 23 25 26 33 42 55 4 11 16 27 31 5 53 6 29 7 24 41 45 47 61 62 63 65 66 68 8 9 17 12 40 14 18 30 35 37 43 57 64 15 19 20 36 21 22 59 28 67 32 34 39 54 38 60 44 46 48 52 49 50 51 56 58 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen. Anzahl der Äquivalenzklassen: 47 0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12 14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38 39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 47 0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12 14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38 39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 47 0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12 14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38 39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 47 0 1 2 3 10 13 25 26 55 4 5 6 7 24 41 45 47 62 63 65 66 8 9 11 16 27 31 12 14 18 35 15 17 19 20 21 22 59 23 28 67 29 30 57 32 34 33 42 36 37 38 39 40 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 56 58 60 61 64 68 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen. Anzahl der Äquivalenzklassen: 53 0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40 41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64 65 66 68 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 53 0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40 41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64 65 66 68 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 53 0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40 41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64 65 66 68 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären ÄquivalenzExemplarisch die Iterationsschritte. . . Anzahl der Äquivalenzklassen: 53 0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 47 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40 41 45 62 43 44 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64 65 66 68 69 Nachbarschaftsmengen neu berechnen und vergleichen. Anzahl der Äquivalenzklassen: 54 0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40 41 45 62 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64 65 66 68 69
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickExaktes Auffinden der maximalen regulären Äquivalenz70 Fotografen, 54 verschiedene Typen Anzahl der Äquivalenzklassen: 54 0 1 2 3 10 13 26 4 5 6 7 24 63 8 9 11 12 14 18 35 15 16 27 31 17 19 20 21 22 59 23 25 28 67 29 30 32 34 33 42 36 37 38 39 40 41 45 62 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 64 65 66 68 69 Ist eine solche Anzahl von Klassen noch sinnvoll für das Treffen qualitativer analytischer Aussagen?
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWas will man mehr?Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten Einzelne Perturbation Rollen-Primitivität 1234 1 2 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 4 3 1/2/3/4 – Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegten Beziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur + Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWas will man mehr?Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten Einzelne Perturbation Rollen-Primitivität 1234 1 2 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 4 3 1/2/3/4 – Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegten Beziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur + Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWas will man mehr?Problemfeld 1: Fehlertoleranz gegenüber Realdaten Einzelne Perturbation Rollen-Primitivität 1234 1 2 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 4 3 1/2/3/4 – Kleine Ungenauigkeiten in den zu Grunde gelegten Beziehungsdaten führen zu völlig anderer Klassenstruktur + Arbeitsweise des Algorithmus dafür leicht nachvollziehbar.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWas will man mehr?Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen 1234 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 1/2/3/4 + Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich die Trennung bestimmter Knoten erzwingen. – Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl noch Rollengraph vorgebbar.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWas will man mehr?Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen 1234 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 1/2/3/4 + Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich die Trennung bestimmter Knoten erzwingen. – Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl noch Rollengraph vorgebbar.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickWas will man mehr?Problemfeld 2: Einbringung von Vorwissen 1234 14/23 1/234 124/3 13/24 123/4 134/2 12/34 1/23/4 14/2/3 1/24/3 13/2/4 12/3/4 1/2/34 1/2/3/4 + Im Prinzip von jeder Partition aus startbar, so lässt sich die Trennung bestimmter Knoten erzwingen. – Trotz strukturellem Vorwissen ist weder Klassenzahl noch Rollengraph vorgebbar.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemGrundideen der Blockmodellierung 1 Klassenzahl und Rollengraph als Modell-Annahme 2 Knoten bestmöglich den Rollen zuordnen
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemGütebeurteilung: Was bedeutet bestmöglich? Die Zielfunktion ∆ soll folgende Eigenschaften erfüllen: 1 ∆(P) ≥ 0 2 ∆(P) = 0 ⇔ P ist exakt regulär. Sei Θk die Menge aller Partitionen mit k Klassen. Dann ist zu lösen das Optimierungsproblem ∆(P ∗ ) = min ∆(P) P∈Θk
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemGütebeurteilung: Was bedeutet bestmöglich? Wähle für ∆ die Definition ∆(P) = min d(Cu × Cv , B) B∈B(Cu ,Cv ) Cu ,Cv ∈P mit Cu Cluster = Äquivalenzklasse mit Repräsentant u Cu × Cv Block = kartesisches Produkt der Cluster (Cu , Cv ) B(Cu , Cv ) Menge aller Idealblöcke für Cu × Cv d noch zu definierende Abstandsfunktion
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemWie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus? Definition (Regulärer Block) Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile und jeder Spalte mindestens eine 1 enthält. Definition (Reguläre Matrix) Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken und regulären Blöcken besteht. Lemma (Konsistenz der Definition) Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie eine reguläre Partition darstellt.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemWie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus? Definition (Regulärer Block) Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile und jeder Spalte mindestens eine 1 enthält. Definition (Reguläre Matrix) Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken und regulären Blöcken besteht. Lemma (Konsistenz der Definition) Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie eine reguläre Partition darstellt.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemWie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus? Definition (Regulärer Block) Eine Block Cu × Cv heißt regulär, wenn er in jeder Zeile und jeder Spalte mindestens eine 1 enthält. Definition (Reguläre Matrix) Eine Matrix heißt regulär, wenn sie nur aus Nullblöcken und regulären Blöcken besteht. Lemma (Konsistenz der Definition) Eine Blockmatrix R ist genau dann regulär, wenn sie eine reguläre Partition darstellt.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemWie sehen ideale reguläre Blockmatrizen aus? Beweis des Lemmas für Zeilen (Spalten analog). „⇒“ Sei R regulär. Im Falle, dass Cu × Cv Nullblock ist nichts zu zeigen. Da für jeden Block Cu × Cv gilt Cu × Cv regulär =⇒ ∀w ∈ Cu ∃z ∈ Cv : rwz = 1 =⇒ P reg. „⇐“ Angenommen die Blockmatrix R stelle die reguläre Partition P dar, aber ein Block Cu × Cv sei weder Null- noch regulärer Block. Sei o. B. d. A. P reg. (ruv = 1) =⇒ (∀w ∈ Cu ∃z ∈ Cv : rwz = 1) Dann wäre aber Cu × Cv regulär zur Annahme.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemNaheliegende Definition Definition (Abstandsfunktion d) d(Cu × Cv , B) = #Nullzeilen + #Nullspalten, falls Cu × Cv regulär #Einsen, falls Cu × Cv Nullblock Bemerkung Obige Definition von d gewichtet Abweichungen in Nullblöcken im Mittel stärker als in regulären Blöcken. Allerdings wird so die IP-Formulierung später wesentlich übersichtlicher.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickBlockmodellierung als OptimierungsproblemLösungsansätze Definition (Lokale Transformation) 1 Vertausche zwei Zeilen bzw. Spalten aus verschiedenen Clustern. 2 Verschiebe eine Zeile bzw. Spalte in einen anderen Cluster. Gradienten-Verfahren Es werden solange lokale Transformationen durchgeführt, wie dadurch ∆ (ganzzahlig) reduziert wird. Das erreichte Optimum ist lokal. Globale Optimalität ist nur im Falle ∆ = 0 garantiert. Daraus ergibt sich grundsätzliche Frage: Wann gibt es ein exakt reguläre Partition mit genau k Äquivalenzklassen?
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit) Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen existiert. Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . . Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA) Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit) Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen existiert. Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . . Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA) Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit) Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen existiert. Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . . Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA) Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Reguläre k -Zuweisbarkeit für ungerichtete Graphen Definition (Reguläre k -Zuweisbarkeit) Ein ungerichteter Graph G heißt regulär k -zuweisbar, wenn für ihn eine exakte reguläre Äquivalenz mit genau k Klassen existiert. Leicht: k = 1 und k = |V | Schwer ist dagegen. . . Satz (NP-Vollständigkeit von 2RA) Das Entscheidungsproblem, ob ein ungerichteter Graph G regulär 2-zuweisbar ist, ist NP-vollständig, falls N = NP.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)2-Rollenverteilungen eines ungerichteten Graphen Definition (2RAi ) Mit 2RAi bezeichnen wir das Teilproblem, zu entscheiden ob G regulär 2-zuweisbar ist mit Rollengraph Ri . Abbildung: Anzeichnen R1 R4 R2 R5 R3 R6
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4) Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht. R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen zusammenhängenden Teil besitzt. R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4) Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht. R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen zusammenhängenden Teil besitzt. R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4) Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht. R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen zusammenhängenden Teil besitzt. R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4) Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht. R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen zusammenhängenden Teil besitzt. R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Polynomiell entscheidbare Teilprobleme von 2RA Lemma (für 2RAi , i = 1 . . . 4) Der Graph G hat genau dann eine Rollenzuweisung mit R1 wenn G aus lauter isolierten Knoten besteht. R2 wenn G sowohl isolierte Knoten als auch einen zusammenhängenden Teil besitzt. R3 wenn G keine isolierten Knoten, dafür aber mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. R4 wenn G keine isolierten Knoten besitzt und bipartit ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Skizze der Beweisführung Beweisidee. klar ! Zeige 3SAT (NP-vollständig nach Cook) p 2RA ∈ NP. Vorgehen. Für eine beliebige Instanz von 3SAT mit Variablenmenge U = {u1 , u2 , . . . , ui , . . . , un } Aussagenmenge C = {c1 , c2 , . . . , cj , . . . , cm } konstruiere einen Graphen, der genau dann regulär 2-zuweisbar ist, wenn die 3SAT -Instanz erfüllbar ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Skizze der Beweisführung Beweisidee. klar ! Zeige 3SAT (NP-vollständig nach Cook) p 2RA ∈ NP. Vorgehen. Für eine beliebige Instanz von 3SAT mit Variablenmenge U = {u1 , u2 , . . . , ui , . . . , un } Aussagenmenge C = {c1 , c2 , . . . , cj , . . . , cm } konstruiere einen Graphen, der genau dann regulär 2-zuweisbar ist, wenn die 3SAT -Instanz erfüllbar ist.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Übertragung von 3SAT auf Graphen Truth-Setting Ti und Satisfaction-Testing-Komponenten Sj ui ui cj1 cj2 cj3 bj3 bj1 (a) T i (b) S j
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Beispielgraph zum Beweis von 3SAT p 2RA5 Konstruktion in PTIME aus der 3SAT -Instanz ¯ ¯ U = {u1 , u2 , u3 , u4 } und C = {{u1 , u2 , u3 }, {u2 , u3 , u4 }} a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 u1 u1 u2 u2 u3 u3 u4 u4 c11 c13 c 21 c 23 c12 c 22 b13 b23 b12 b22 b11 b21
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickKomplexität von 2-ROLE-ASSIGNABILITY (2RA)Beispielgraph zum Beweis von 2RA5 p 2RA Konstruktion in PTIME u1 u2 u1 u2 b1 a2 a1 b2 C1 C2 x1 y1 x2 y2 (a) G (b) G
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungVereinbarungen zur IP-Formulierung N ∈ N, N ≥ 3 Anzahl der Knoten K ∈ N {0} Anzahl der Blöcke N×N S ∈ {0, 1} Adjazenzmatrix des Graphen B ∈ {0, 1}K ×K Matrixdarstellung des Rollengraphen P∈ NK ×K 0 Abweichungs-Gewichtungsmatrix (optional) Lateinische Kleinbuchstaben stellen ggf. Elemente der mit Großbuchstaben bezeichneten Matrizen dar. Alle Ausdrücke gelten für alle Indizes aus {i, j, k , l}, über die nicht summiert wird. Ausdrücke mit αikl , βjkl gelten nur für Blöcke (k , l)|bkl = 1.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungIP-Formulierung [Brusco, Steinley] N N N N min pkl yijkl sij + pkl αikl + pkl β i=1 j=1 (k ,l)|bkl =0 i=1 (k ,l)|bkl =1 j=1 (k ,l)|bkl =1 K N s.t. xik = 1 xik ≥ 1 (1) k =1 i=1 xik + xjl − yijkl ≤ 1 xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 (2)   N N  yijkl sij  + αikl ≥ xik yijkl sij + βjkl ≥ xjl (3) j=1 i=1 xik , yijkl ∈ {0, 1} αikl , βjkl ∈ {0, 1} (4)
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungIP-Formulierung [äquivalent und lesbar]    K K N N N N min pkl ¬bkl yijkl sij + bkl  αikl + βjkl  k =1 l=1 i=1 j=1 i=1 j=1 K N s.t. xik = 1 xik ≥ 1 (1) k =1 i=1 xik + xjl − yijkl ≤ 1 xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 (2)   N N  yijkl sij  + αikl ≥ xik yijkl sij + βjkl ≥ xjl (3) j=1 i=1 xik , yijkl ∈ {0, 1} αikl , βjkl ∈ {0, 1} (4)
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungNachbemerkung I zur IP-Formulierung Die Typ (2)-Nebenbedingung xik + xjl − 2 yijkl ≥ 0 ist von entscheidender Bedeutung. Würde sie fehlen, könnten die yijkl trotz xik xjl = 1 irrtümlich den Wert 1 annehmen, nur um die Nebenbedingungen vom Typ (3) zu erfüllen.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungBenchmark: Das Everett-Netzwerk a b c d e f g h i j a 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 b 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 c 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 d 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 e 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 g 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 h 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 i 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 j 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 Tabelle: Eingangsdaten
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungBenchmark: Das Everett-Netzwerk {?} {?} {?} {?} 1 1 0 {?} 1 0 1 {?} 0 1 1 Tabelle: Vorgegebener Rollengraph
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungBenchmark: Das Everett-Netzwerk c a j h b d g i e f a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 h 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 j 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 b 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 d 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 g 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 e 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 f 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 Tabelle: 3-Cluster-Blockmodell
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungBenchmark: Das Everett-Netzwerk c a j h b d g i e f a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 c 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 h 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 j 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 b 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 d 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 g 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 e 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 f 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 Tabelle: Reguläre und Nullblöcke (∆ exakt 0)
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungBenchmark: Das Everett-Netzwerk {a,c,h,j} {b,d,g,i} {e,f} {a,c,h,j} 1 1 0 {b,d,g,i} 1 0 1 {e,f} 0 1 1 Tabelle: Berechnung mit CPLEX 1.30s
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickIP-FormulierungNachbemerkung II zur IP-Formulierung In eine ähnliche IP-Form bringen lassen sich Strukturelle Äquivalenz Wesentlich einfacher, da bkl = 1 ⇔ Block kl vollbesetzt. SE und RE auf V × W Noch um einges komplexer, da Partition zweier Mengen erforderlich.
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickVorzüge und Nachteile aller drei Ansätze CATREGE Gradienten-Heuristik IP-Lösung Güte keine Aussage lokales Optimum Optimalitätsgarantie Vorgehen explorativ Hypothesentest Hypothesentest Vorwissen kaum einbringbar Rollengraphvorgabe Rollengraphvorgabe Worst-Case-Laufzeit O(n3 ) überpolynomial überpolynomial mehrereRelationen einfach möglich großer Mehraufwand großer Mehraufwand
  • Ausgangspunkt / Motivation Blockmodellierung Gegenüberstellung und AusblickForschungsperspektive Wünschenswert wären Verfahren, die alle drei Kriterien erfüllen: 1 Rollengraph auswählen 2 Reguläre Partition finden 3 Optimalitätsgarantie liefern
  • AnhangWeiterführende LiteraturWeiterführende Literatur I Jürgen Lerner. Role Assignments, S. 216–252. in Brandes, Erlebach: Network Analysis, Springer 2005. Fred S. Roberts, Li Sheng 2001. How Hard Is It to Determine If a Graph Has a 2-Role Assignment? NETWORKS Journal, Vol. 37, S. 67-73. Michael J. Brusco, Douglas Steinley 2009 Integer programs for one- and two-mode blockmodeling based on prespecified image matrices for structural and regular equivalence. Journal of Mathematical Psychology, Nr. 53, S. 577-585.