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UNIVERSIDAD DEL VALLE DE
                   ATEMAJAC




                     ALUMNO: JESÚS ALBERTO ESCOBAR GÓMEZ
                     LICENCIATURA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
                                        1ER. CUATRIMESTRE
                            PROFESOR: RUBEN TORRES GARCÍA

SEPTIEMBRE DE 2009
1. LEYES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES

•   Operaciones algebraicas.

•   Productos notables.

•   Factorización.

•   Operaciones con fracciones.

•   Base, exponentes y potencias.

•   Radicales
2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

• Números complejos.

• Ecuaciones lineales.

• Ecuaciones cuadráticas.

• Sistema de ecuaciones
3. TRIGONOMETRÍA

•   Ángulo.
•   Medidas del ángulo.
•   Conversiones.
•   Ángulos coterminales.
•   Funciones trigonométricas.
•   Solución de triángulos acutángulos.
•   Aplicaciones.
Ejemplo:
Reglas:
                                                (5x4 - 7x2 + 8x - 3) + (-9x4 + 2x – 9x2 + 8) =

•   Cuando hay signos iguales los               Solución:
    coeficientes se suman y se mantiene el
    signo.
                                                       5x4 - 7x2 + 8x - 3
                                                +
                                                       -9x4 - 9x2 + 2x + 8
•   Cuando hay signos diferentes los                _____________________________
    coeficientes se restan y se pone el signo
                                                     - 4x4 -16x2 + 10x + 5
    del coeficiente mayor.

                                                RESULTADO          = - 4x4 -16x2 + 10x + 5
Ejemplo:

Reglas:
                                           (4x3 – 7x2 + 2x - 9) - (2x2 + 3x – 6x3 - 1) =

•   Se cambia el signo de todos las
    cantidades del sustraendo, para        Solución:
    después sumar y tener el resultado.

•   Se ordenan los términos cuando estos         4x3 – 7x2 + 2x – 9
    están en desorden.                      -
                                                  6x3 - 2x2 - 3x + 1
                                                ________________________
                                                 10x3 – 9x2 – x – 8



                                           RESULTADO          =       10x3 – 9x2 – x – 8
Reglas:                                              Ejemplo:

                                                     (6x2 - 7x + 3) (x + 5) =
•   Cuando dos signos iguales se multiplican
    resultado es positivo (+); cuando se             Solución:
    multiplican dos signos diferentes el resultado
    es negativo (-).
                                                               6x2 - 7x + 3
•   Anotar las variables en orden alfabético.
                                                           Por         x + 5
•   Los exponentes se suman.                             ___________________________
                                                             6x3 – 7x2 – 3x
•   Se aplican las reglas de la suma.                +
                                                                   30x2 – 35x + 15
                                                     _____________________________________
                                                            6x3 + 23x2 - 38x + 15


                                                     RESULTADO            = 6x3 + 23x2 - 38x + 15
1. SOLUCIÓN COMÚN


                                      Solución:



Ejemplo:                                            8x2     - 11x + 13
                                       x+1    8x3 – 3x2    + 2x   –1
                                             -8x3 - 8x2
  8x3 – 3x2 + 2x – 1
                                                  - 11x2   + 2x
                                 =
                                                  + 11x2 +11x
           x+1
                                                      +13x – 1
                                                      -13x - 13
                                                                  - 14
RESULTADO
  =8x2 - 11x + 13 + ( -14 / x + 1 )
2. SOLUCIÓN SINTÉTICA                   Solución:

Ejemplo:                                7 + 2 - 3 +      5 ˾6
  7x3 + 2x2 – 3x + 5                          + 42 + 264 + 1566
                             =             7 + 44 + 261 + 1571
          x–6




RESULTADO
    = 7x2 + 44x + 261 + (1571/ x – 6)
Ejemplo:


  Llamamos binomios conjugados a dos      (5x2 - 7y3)(5x2 + 7y3) =
binomios que tengan los mismos términos
          en suma y resta.

                                          RESULTADO
                                                      = 25x4 – 49y6
       (a+b)(a-b)=a2-b2
Ejemplo:


                                      (3a + b) 2 =
Se soluciona de la siguiente forma:

                                      Solución:

            (a + b) 2
                                      = 9a2 + 2 (3a) (b) + b2

        = a2 + 2ab + b2               = 9a2 + 6ab + b2

                                      RESULTADO
                                                    = 9a2 + 6ab + b2
Ejemplo:


                                      ( 4a2 + 5b3 )3 =
La formula para solucionarlos es la
             siguiente:               Solución:

                                      =(4a2)3 + 3 (4a2)2 (5b3) +3 (4a2) (5b3)2 + (5b3)3

            (a + b) 3                 = 64a6 + 3 (16a4)(5b3) + (4a2)(25b6) + 125b9


    = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
                                      RESULTADO:
                                             = 64a6 + 240a4b3) + 300a2b6) + 125b9
2. Con coeficiente en el primer término

                                          Ejemplo:
1. Sin coeficiente en el primer término

                                          (3x + 7) (3x + 8) =
Ejemplo:
(x + 7) (x + 8) =
                                              Solución:

      Solución:                               9x2 + 45x + 56

             x2 + 15x + 56
                                          RESULTADO:
RESULTADO:
                                                          9x2 + 45x + 56
              x + 15x + 56
                  2
Para dar solución a estos ejercicios utilizamos
la siguiente fórmula:

                 (a + b + +c)2= a2 + b2 + c2 + + 2ab + 2bc + 2ac
Ejemplo:

(5x2 – 7y3 + 8z4)2 =

Solución:
= (5x2) 2 + (– 7y3) 2 + ( 8z4)2 +2(5x2)(– 7y3) + 2(– 7y3)(8z4) + 2(5x2)(8z4)

= 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4

RESULTADO
                        = 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4
Ejemplo:                                         Ejemplo:

100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 =        49x2 - 81y8 =

Solución:                                        Solución:
                                                • Obtenemos la raíz cuadrada de los dos
      = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)             términos, después lo convertimos en
                                                   productos de binomios conjugados.


    Factor común                                 = (7x + 9y4) (7x - 9y4)




RESULTADO:
                                                 RESULTADO:
                                                                  = (7x + 9y4) (7x - 9y4)
             = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)
ax +bx + C
                                     2



a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:              b). CASO 2
                                              Ejemplo:
  Ejemplo:
                                                           x2 - 5x - 36 =
                                             Solución:
     9b2 - 30a2b + 25a4 =
                                             • Ponemos dos paréntesis en donde
                                                 descompondremos la x2, bajamos el primer
Solución:                                        signo al primer paréntesis, y para el segundo
• Obtenemos la raíz cuadrada del primer          multiplicamos (-)(-).
    término y del segundo, también bajamos
    el primer signo, y todo el binomio lo       = (x -     )( x +    )
    elevamos                                 • Buscamos dos números que multiplicados
     al cuadrado.                                den -36 y sumados resulten -5, y los ubicamos
                                                 en el primer y segundo paréntesis.
              = (3b - 5a2)2
                                                  =(x - 9)( x + 4)


 RESULTADO:                                  RESULTADO:
                                                    =(x - 9)( x +              4)
              = (3b - 5a )    2 2
c). CASO 3                         3.
                                        = (3x + 2) (7x - 1)
Ejemplo:


            21x2 + 11x - 2 =
                                   RESULTADO:
Solución:                              = (3x + 2) (7x - 1)

1.       (21x + 14) (21x - 3)
     =
                  21




2.       7(21x + 14) 3 (21x - 3)
     =
                   21
a). SUMA
                                                   b). DIFERENCIA

            Utilizamos la siguiente fórmula:
                                                               Utilizamos la siguiente fórmula:

      x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
                                                         x3 - y3 = (x - y) (x2 - xy + y2)

Ejemplo:
                                                    Ejemplo:

                  729x3 + 1000y3 =                                     64a6 - 27b9=

Solución:                                          Solución:


= (9x + 10y) (81x2 - 90xy + 100y2)                  = (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)

RESULTADO:                                         RESULTADO:
      = (9x + 10y) (81x - 90xy + 100y )
                            2                  2
                                                      = (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)
Simplificamos

                                                (x - 6) (x - 4)       (x - 8) (x + 6)
                                                (x - 6) (x + 5)       (x - 8) (x - 4)
EJEMPLO :

    x2 - 10x + 24      x 2 - 2x - 48              x + 6
     30 + x - x2       x2 - 12x + 32              x + 5



Solución:
    Factorizamos                           RESULTADO:


     (x - 6) (x - 4)     (x - 8) (x + 6)                          x + 6
     (x - 6) (x + 5)     (x - 8) (x - 4)                          x + 5
Ejemplo:                                    Simplificamos

        x2 + 2x - 8          x 2 - 4x + 4    (x + 4) (x - 2)       (x - 4) (x - 2)
        x2 - 3x - 4          x 2 - 6x + 8    (x - 4) (x + 1)          (x - 2) 2

Solución:
Invertimos el divisor                         x + 4
x2 + 2x - 8             x 2 - 6x + 8          x - 1
x2 - 3x - 4             x 2 - 4x + 4



Factorizamos y multiplicamos                RESULTADO:
 (x + 4) (x - 2)         (x - 4) (x - 2)                       x + 4
  (x - 4) (x + 1)            (x - 2) 2                         x - 1
Ejemplo:

   4x + 10          x - 11            1
x2 + 2x - 8      x2 - x - 12      x - 1

                                                Solución:

•   Factorizamos denominadores.
                                    4x + 10             x - 11        1
                                  (x+4) (x-2)         (x-4) (x+3)   x - 1

•   Determinamos el común denominador.

•   Dividimos el común denominador entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador.

              (x-4)(x+3)(x-1)(4x+10) - (x+4)(x+2)(x-1)(x-11) + (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)
                                    (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
•   Multiplicamos numeradores

                   4x4+2x3-64x2-62x+120-x4+10x3+2x2-118x+88x4+x3-22x2-16x+96
                                 (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)

•   Sumamos términos comunes

                                   4x4+13x3-65x2-196x+304
                                 (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)




RESULTADO:
                                 4x4+13x3-65x2-196x+304
                                (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
a)    LEY 1
                                    xa xb = xa+b

                              Ejemplo:
       Exponente
                                               x2    x4 =

                              Solución:
                              Sumamos los exponentes
Base               Potencia
                                                  = x6

                              RESULTADO:
                                                    x6
b). LEY 2                                       c). LEY 3
                 xa / xb = xa-b                                      (xa)b = xab
 Ejemplo:
                    x8 / x 3 =                   Ejemplo:
 Solución:                                                                (x3)6=
 Restamos los exponentes                         Solución:
 = x5                                            Multiplicamos los exponentes
                                                 = x18
 RESULTADO:                                      RESULTADO:
                               x5                                          x18

d). LEY 4                                        e). LEY 5
                   1/x = x-a         a
                                                             √xb = xb/a
                                                             a
Ejemplo:
                                                 Ejemplo:
                    x / y =
                     -3         -5
                                                                      3
                                                                          √ x7 =
Solución:
                                                 Solución:
Intercambiamos los términos para convertir los
     exponentes a positivos.                     Invertimos el radical y el exponente
                                                 = x 7/3
= x-3 / y-5
                                                 RESULTADO:
RESULTADO:
                    x-3 / y-5                                              x 7/3
1.   ESCRIBE LA EXPRESIÓN EN FORMA DE   3.     FORMA ESTANDAR.
     RADICAL.
                                        Reglas de la forma estándar de los radicales:
                x - 2y =
                1/2      1/3
                                        • El radicando debe ser positivo (+).
                                        • El índice debe ser el menor posible.
RESULTADO:                              • El exponente de cada factor del radicando es
                                            un número natural menor que el índice.
             = √ x - 2 3√ y
                                        • No debe haber fracciones en el radicando.

                                        Ejemplo:
2.   ESCRIBE EMPLEANDO EXPONENTES.
                                        4
                                            √64x4y10= 4 √26x4y10 = 26/4 x y10/4 =
                                                     = 23/2 x y5/2 = x √ 23 y5
                4
                    √x4 y9=                          = 2x y2 √2y

RESULTADO:
                                        RESULTADO:
                = x y9/4
                                                              2x y2 √2y
4.  SUMA Y RESTA DE RADICALES.         6.    DIVICIÓN DE RADICALES (RACIONALIZAR
Ejemplo:                                     UN RADICAL).
             √24 - √54 + √98 =         Ejemplo:
Solución:                                                 5+ √7
                                                          3- √ 7
= √(23)(3) - √(33)(2) + √(72)(2)       Solución:


= - √ 6 + 7 √2                         5 + √7        3 + √7      15 + 5 √7 + 3 √7 + 7
                                       3 - √7        3 + √7             9 - √ 72

RESULTADO:
                                        22 + 8 √7      22 8 √7
                 - √ 6 + 7 √2
                                          9 - 7           2

5.    MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.     = 11 + 4 √7
Ejemplo:
          (2 √7 - √3) (5 √7 + 4 √3 =   RESULTADO:
Solución:
                                                         11 + 4 √7
= 10 √72 + 8 √21 - 5 √21 - 4 √3 2

= 10 (7) + 3 √21 - 14(3)
= 70 - 3 √21 -12
=58 + 3 √21
RESULTADO:
                  58 + 3 √21
FORMA:

                              1.    SUMAS Y RESTAS.

                              Ejemplo:


                                     (-7 –8i) – (4 + 9i) + (11 + 17i) =
a = Número Real (N. R.)
i = Unidad Imaginaria

                              Solución:
Valores de i
                               = -7 – 8i - 4 - 9i + 11 + 17i
                   i = √-1
                    i2= -1    = 0 + 0i
                    i3= -1
                     i4 = 1   RESULTADO:
                                                  0 + 0i
2. MULTIPLICACIÓN.                  3.     DIVISIÓN.


Ejemplo:                            Ejemplo:
               (7 - 2i) (6 + 9i)=                   7 - 2i / 6 + 9i =


Solución:                           Solución:
                                     7 – 2i     6 - 9i        42 – 63i – 12i + 18i 2
= 42 + 63i - 12i - 18i 2             6 + 9i     6 – 9i              36 - 81i 2


= 42 + 51i - 18 i2                  42 – 75i + 18(-1)        24 - 75i     8 - 25i
                                     36 - 81(-1)                117          39
= 42 + 51i - 18(-1)

= 60 + 51i                          RESULTADO:
                                                        8          -25i
RESULTADO:                                              39           39
                     60 + 51i
1.   IGUALDAD.                           2.   DESIGUALDAD.
Ejemplo:                                 Ejemplo:

            7x – 2x + 11 = 25 – 4x + 1               5x – 18 ≤ -7x +15
                                         Solución:
Solución:                                            5x – 7x ≤ 15 + 18
            7x – 2x + 4x = 25 + 1 – 11
                                                         -2x ≤ 33
                    9x = 15
                                                          2x ≥ 33
                    x = 15/9
                                                        x ≥ - 33/2
                     x = 5/3
                                         RESULTADO:
RESULTADO:
                                                       x ≥ - 33/2
                    X= 5/3
ax2 +bx + C
                                            2.   POR FÓRMULLA GENERAL.
                                                       x = (-b ±√b2-4ac) / 2a
1.     POR FACTORIZACION.
Ejemplo:
                                            Mismo ejemplo:
                6x2 + x – 12 = 0
                                            Solución:
Solución:
             = (2x + 3) (3x – 4) = 0
                                                   X = (-1 ±√12 – 4(6)(-12) ) / 2(6)

              2x + 3 = 0 ; 3x – 4 = 0
                                                          X = (-1 ±√289) / 12

                 2x = -3 ; 3x = -4
                                                             X = (1 ± 17)/ 12

               x1= -3/2 ; x2 = - 4/3
                                                  x1= (-1+ 17) / 12 ; x2 = (-1 -17) / 12

RESULTADO:
                                            RESULTADO:
            x1= -3/2 ; x2 = - 4/3
                                                         x1= 4/3 ; x2 = - 3/2
Ejemplo:                                     x     C
                                      Δ=     2     7     = 8 -21 = - 13
                  2x + 8y = 7                3     4
                  3x – 5y = 4

Solución:                            x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34

        x     y                      y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34
 Δ=     2    8     = -10 -24 = -34
        3   -5


                                     RESULTADO:
        C     y
 Δx =   7    8     = -35 -32 = -67          x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34
        4   -5

                                             y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34
90°
                                              y




                                                     0°
                                      180°           x
             ÁNGULO:                                360°


Abertura formada por dos líneas que
      parten de un mismo punto.

                                             270°
1.   SISTEMA SEXAGESIMAL.                  2.     SISTEMA CÍCLICO.

Algunos Datos.-                            Algunos Datos.-

             C = Circunferencia
                                                           Unidad= Radián
                  C = 360°

             Unidad = grado = x°
                                                Radián: Es el ángulo que intercepta un
                                                    arco de la misma longitud que el
     Minuto = La parte mas pequeña del °
                                                                  radio.
             1°/60 = minuto = x´

      Segundo = Parte más pequeña del ´                      Múltiplo = π

            1´/60= segundo = x ´´
1.      DE CÍCLICO A SEXAGESIMAL.   2.    DE SEXAGESIMAL A CÍCLICO

                                    Ejemplo:
Ejemplo:
                                                     4297°=
                  5/9 π + 3 =
                                    Solución:


Solución:                           = 4297 (π/180)


     = 5/9 (180) + 3 (180/π)        = 74.99
     = 100 + 171.8873
     = 271° 53´ 14´´
                                    RESULTADO:
RESULTADO:                                           = 74.99
               = 271° 53´ 14´´
Ejemplo:



                 θ = 46°   Ángulo coterminal

                            = 314°             θ = 46°
Solución:

Θ2 = 360° - 46


RESULTADO:

                 314°
FUNCIONES:
                                 y
              sen θ = c o / h
                                                   u   sa
                                            t   en
              cos θ = c a / h          po                    Cateto
                                     hi
                                                            opuesto
                                      θ                     x
             tan θ = c o / c a
                                          Cateto
                                        adyacente
             cot θ = c a / c o

             sec θ = h / c a

             cos θ = h / c o
Ejemplo:                                        Solución:

                                                b2 = 122 – (112)
Encontrar los valores de los lados del
   triángulo y sus funciones trigonométricas.   b2 = 144 – 121
                                                b2 = 23
                                                b = √23
Sen x = 11/12

               12                               RESULTADO :
                                  11
                                                                     b = √23
           x                                                         FUNCIONES.
                    b=?
                                                                   Cos x = (√23)/12

                                                                   Tan x = 11/ (√23)
TEOREMA DE PITÁGORAS:
                                                                     Sec x = 12/12
                     c =a+b
                      2   2   2

                                                               Cosec x = 12 / (√23)

                                                               Cotan x = (√23) / 11
1.     CON UN ANGULO RECTANGULO Y DOS             Solución: B
       AGUDOS. (determina los valores)
                                                  A + B = 90
                              C=?     DATOS:      45° + B = 90
                                                  B = 90° - 45°
                                      b = 7 √2                         B = 45°
              c=14
                                a=?      c = 14

                                                  Solución: a
 A=?                          B=90°               c2 = a 2 + b 2
                b = 7√2

                                                  142 = a2 + ( 7√2)2
Solución: A                                       196 = a2 + 98
                                                  a2 = 196- 98
b/c = cos A                                       a2 = 98
                                                  a = √98
(7√2)/14 = cos A                                  a = √(72)(2)
Cos-1 = 0.7071
                     A= 45°                                            a= 7 √ 2
2. CON DOS ANGULOS AGUDOS Y UN OBTUSO   Solución “c”:
                                                        a/sen A=c/ sen C
a)    LEY DE LOS SENOS:
                                        24.3/sen38°17´=c/sen91°46´
         a/sen A = b/sen B = c/ sen C
                                        c = (24.3/sen38°17´) (sen91°46´)
Ejemplo:
Datos:                                                     c = 39.2
A= 38°17´       a = 24.3
B= 49°57´       b = ?
C=?             c = ?

Solución: “C”                           Solución “b”:
                                                        a/sen A = b/sen B
A+B+C = 180°
                                        24.3/sen38°17´ = b / sen 49° 57´
38°17´+49°57´+C=180°
                                        b = (24.3/sen38°17) ( sen 49°57´)
C= 180° - (38°17´+49°57´)

                                                           b = 30.02
                     C= 91°46´
Solución: “B”
b)     LEY DE LOS COSENOS:
                                                Cos B = (866.76 + 28.12 – 19.32 ) / 2(29.44)(28.1)
                a2 = b2 + c2 – 2bc cos A             = 1283.88/1654.528
                b2 = a2 + c2 – 2ac cos B              = 0.7759
                c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Datos:                                          B= cos-1 0.7759
A= 74°12´              a = ?
B= ?                   b = 19.3                 RESULTADO:
C=?                    c = 28.1                                   B= 39°6´47´´

Solución: “a”                                   Solución: “C”

                a2 = b2 + c2 – 2bc cos A        Cos C = (29.442 + 19.32 - 28.12 )/2(29.44)(19.3)
a2 = 19.32 + 28.12 – 2(19.3)(28.1) cos 74°12´         = 449.5936/1136.384
   = 866.76                                           = 0.3953

a = 29.44                                       C= cos-1 0.3953

RESULTADO:                                      RESULTADO:
                    a = 29.44                                      66°41´39´´
EJEMPLO:

           Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que
   esta a 40m de la base. Si el alambre hace un ángulo de 58°20´ con el suelo, calcula la longitud del
   alambre.




           58°20´




                                              c a/ h = cos A
                                           40/ h = cos 58°20´
                                           h= 40/ cos 58° 20´

                                                = 76.19m             RESULTADO
                                                                                     76.19m
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Trabajo final de matemáticas básicas

  • 1. UNIVERSIDAD DEL VALLE DE ATEMAJAC ALUMNO: JESÚS ALBERTO ESCOBAR GÓMEZ LICENCIATURA EN INGENIERIA INDUSTRIAL 1ER. CUATRIMESTRE PROFESOR: RUBEN TORRES GARCÍA SEPTIEMBRE DE 2009
  • 2. 1. LEYES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES • Operaciones algebraicas. • Productos notables. • Factorización. • Operaciones con fracciones. • Base, exponentes y potencias. • Radicales
  • 3. 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES • Números complejos. • Ecuaciones lineales. • Ecuaciones cuadráticas. • Sistema de ecuaciones
  • 4. 3. TRIGONOMETRÍA • Ángulo. • Medidas del ángulo. • Conversiones. • Ángulos coterminales. • Funciones trigonométricas. • Solución de triángulos acutángulos. • Aplicaciones.
  • 5. Ejemplo: Reglas: (5x4 - 7x2 + 8x - 3) + (-9x4 + 2x – 9x2 + 8) = • Cuando hay signos iguales los Solución: coeficientes se suman y se mantiene el signo. 5x4 - 7x2 + 8x - 3 + -9x4 - 9x2 + 2x + 8 • Cuando hay signos diferentes los _____________________________ coeficientes se restan y se pone el signo - 4x4 -16x2 + 10x + 5 del coeficiente mayor. RESULTADO = - 4x4 -16x2 + 10x + 5
  • 6. Ejemplo: Reglas: (4x3 – 7x2 + 2x - 9) - (2x2 + 3x – 6x3 - 1) = • Se cambia el signo de todos las cantidades del sustraendo, para Solución: después sumar y tener el resultado. • Se ordenan los términos cuando estos 4x3 – 7x2 + 2x – 9 están en desorden. - 6x3 - 2x2 - 3x + 1 ________________________ 10x3 – 9x2 – x – 8 RESULTADO = 10x3 – 9x2 – x – 8
  • 7. Reglas: Ejemplo: (6x2 - 7x + 3) (x + 5) = • Cuando dos signos iguales se multiplican resultado es positivo (+); cuando se Solución: multiplican dos signos diferentes el resultado es negativo (-). 6x2 - 7x + 3 • Anotar las variables en orden alfabético. Por x + 5 • Los exponentes se suman. ___________________________ 6x3 – 7x2 – 3x • Se aplican las reglas de la suma. + 30x2 – 35x + 15 _____________________________________ 6x3 + 23x2 - 38x + 15 RESULTADO = 6x3 + 23x2 - 38x + 15
  • 8. 1. SOLUCIÓN COMÚN Solución: Ejemplo: 8x2 - 11x + 13 x+1 8x3 – 3x2 + 2x –1 -8x3 - 8x2 8x3 – 3x2 + 2x – 1 - 11x2 + 2x = + 11x2 +11x x+1 +13x – 1 -13x - 13 - 14 RESULTADO =8x2 - 11x + 13 + ( -14 / x + 1 )
  • 9. 2. SOLUCIÓN SINTÉTICA Solución: Ejemplo: 7 + 2 - 3 + 5 ˾6 7x3 + 2x2 – 3x + 5 + 42 + 264 + 1566 = 7 + 44 + 261 + 1571 x–6 RESULTADO = 7x2 + 44x + 261 + (1571/ x – 6)
  • 10. Ejemplo: Llamamos binomios conjugados a dos (5x2 - 7y3)(5x2 + 7y3) = binomios que tengan los mismos términos en suma y resta. RESULTADO = 25x4 – 49y6 (a+b)(a-b)=a2-b2
  • 11. Ejemplo: (3a + b) 2 = Se soluciona de la siguiente forma: Solución: (a + b) 2 = 9a2 + 2 (3a) (b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = 9a2 + 6ab + b2 RESULTADO = 9a2 + 6ab + b2
  • 12. Ejemplo: ( 4a2 + 5b3 )3 = La formula para solucionarlos es la siguiente: Solución: =(4a2)3 + 3 (4a2)2 (5b3) +3 (4a2) (5b3)2 + (5b3)3 (a + b) 3 = 64a6 + 3 (16a4)(5b3) + (4a2)(25b6) + 125b9 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 RESULTADO: = 64a6 + 240a4b3) + 300a2b6) + 125b9
  • 13. 2. Con coeficiente en el primer término Ejemplo: 1. Sin coeficiente en el primer término (3x + 7) (3x + 8) = Ejemplo: (x + 7) (x + 8) = Solución: Solución: 9x2 + 45x + 56 x2 + 15x + 56 RESULTADO: RESULTADO: 9x2 + 45x + 56 x + 15x + 56 2
  • 14. Para dar solución a estos ejercicios utilizamos la siguiente fórmula: (a + b + +c)2= a2 + b2 + c2 + + 2ab + 2bc + 2ac Ejemplo: (5x2 – 7y3 + 8z4)2 = Solución: = (5x2) 2 + (– 7y3) 2 + ( 8z4)2 +2(5x2)(– 7y3) + 2(– 7y3)(8z4) + 2(5x2)(8z4) = 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4 RESULTADO = 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4
  • 15. Ejemplo: Ejemplo: 100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 = 49x2 - 81y8 = Solución: Solución: • Obtenemos la raíz cuadrada de los dos = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c) términos, después lo convertimos en productos de binomios conjugados. Factor común = (7x + 9y4) (7x - 9y4) RESULTADO: RESULTADO: = (7x + 9y4) (7x - 9y4) = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)
  • 16. ax +bx + C 2 a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: b). CASO 2 Ejemplo: Ejemplo: x2 - 5x - 36 = Solución: 9b2 - 30a2b + 25a4 = • Ponemos dos paréntesis en donde descompondremos la x2, bajamos el primer Solución: signo al primer paréntesis, y para el segundo • Obtenemos la raíz cuadrada del primer multiplicamos (-)(-). término y del segundo, también bajamos el primer signo, y todo el binomio lo = (x - )( x + ) elevamos • Buscamos dos números que multiplicados al cuadrado. den -36 y sumados resulten -5, y los ubicamos en el primer y segundo paréntesis. = (3b - 5a2)2 =(x - 9)( x + 4) RESULTADO: RESULTADO: =(x - 9)( x + 4) = (3b - 5a ) 2 2
  • 17. c). CASO 3 3. = (3x + 2) (7x - 1) Ejemplo: 21x2 + 11x - 2 = RESULTADO: Solución: = (3x + 2) (7x - 1) 1. (21x + 14) (21x - 3) = 21 2. 7(21x + 14) 3 (21x - 3) = 21
  • 18. a). SUMA b). DIFERENCIA Utilizamos la siguiente fórmula: Utilizamos la siguiente fórmula: x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) x3 - y3 = (x - y) (x2 - xy + y2) Ejemplo: Ejemplo: 729x3 + 1000y3 = 64a6 - 27b9= Solución: Solución: = (9x + 10y) (81x2 - 90xy + 100y2) = (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6) RESULTADO: RESULTADO: = (9x + 10y) (81x - 90xy + 100y ) 2 2 = (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)
  • 19. Simplificamos (x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6) (x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4) EJEMPLO : x2 - 10x + 24 x 2 - 2x - 48 x + 6 30 + x - x2 x2 - 12x + 32 x + 5 Solución: Factorizamos RESULTADO: (x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6) x + 6 (x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4) x + 5
  • 20. Ejemplo: Simplificamos x2 + 2x - 8 x 2 - 4x + 4 (x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) x2 - 3x - 4 x 2 - 6x + 8 (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2 Solución: Invertimos el divisor x + 4 x2 + 2x - 8 x 2 - 6x + 8 x - 1 x2 - 3x - 4 x 2 - 4x + 4 Factorizamos y multiplicamos RESULTADO: (x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) x + 4 (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2 x - 1
  • 21. Ejemplo: 4x + 10 x - 11 1 x2 + 2x - 8 x2 - x - 12 x - 1 Solución: • Factorizamos denominadores. 4x + 10 x - 11 1 (x+4) (x-2) (x-4) (x+3) x - 1 • Determinamos el común denominador. • Dividimos el común denominador entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. (x-4)(x+3)(x-1)(4x+10) - (x+4)(x+2)(x-1)(x-11) + (x+4)(x-2)(x-4)(x+3) (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
  • 22. Multiplicamos numeradores 4x4+2x3-64x2-62x+120-x4+10x3+2x2-118x+88x4+x3-22x2-16x+96 (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1) • Sumamos términos comunes 4x4+13x3-65x2-196x+304 (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1) RESULTADO: 4x4+13x3-65x2-196x+304 (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
  • 23. a) LEY 1 xa xb = xa+b Ejemplo: Exponente x2 x4 = Solución: Sumamos los exponentes Base Potencia = x6 RESULTADO: x6
  • 24. b). LEY 2 c). LEY 3 xa / xb = xa-b (xa)b = xab Ejemplo: x8 / x 3 = Ejemplo: Solución: (x3)6= Restamos los exponentes Solución: = x5 Multiplicamos los exponentes = x18 RESULTADO: RESULTADO: x5 x18 d). LEY 4 e). LEY 5 1/x = x-a a √xb = xb/a a Ejemplo: Ejemplo: x / y = -3 -5 3 √ x7 = Solución: Solución: Intercambiamos los términos para convertir los exponentes a positivos. Invertimos el radical y el exponente = x 7/3 = x-3 / y-5 RESULTADO: RESULTADO: x-3 / y-5 x 7/3
  • 25. 1. ESCRIBE LA EXPRESIÓN EN FORMA DE 3. FORMA ESTANDAR. RADICAL. Reglas de la forma estándar de los radicales: x - 2y = 1/2 1/3 • El radicando debe ser positivo (+). • El índice debe ser el menor posible. RESULTADO: • El exponente de cada factor del radicando es un número natural menor que el índice. = √ x - 2 3√ y • No debe haber fracciones en el radicando. Ejemplo: 2. ESCRIBE EMPLEANDO EXPONENTES. 4 √64x4y10= 4 √26x4y10 = 26/4 x y10/4 = = 23/2 x y5/2 = x √ 23 y5 4 √x4 y9= = 2x y2 √2y RESULTADO: RESULTADO: = x y9/4 2x y2 √2y
  • 26. 4. SUMA Y RESTA DE RADICALES. 6. DIVICIÓN DE RADICALES (RACIONALIZAR Ejemplo: UN RADICAL). √24 - √54 + √98 = Ejemplo: Solución: 5+ √7 3- √ 7 = √(23)(3) - √(33)(2) + √(72)(2) Solución: = - √ 6 + 7 √2 5 + √7 3 + √7 15 + 5 √7 + 3 √7 + 7 3 - √7 3 + √7 9 - √ 72 RESULTADO: 22 + 8 √7 22 8 √7 - √ 6 + 7 √2 9 - 7 2 5. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES. = 11 + 4 √7 Ejemplo: (2 √7 - √3) (5 √7 + 4 √3 = RESULTADO: Solución: 11 + 4 √7 = 10 √72 + 8 √21 - 5 √21 - 4 √3 2 = 10 (7) + 3 √21 - 14(3) = 70 - 3 √21 -12 =58 + 3 √21 RESULTADO: 58 + 3 √21
  • 27. FORMA: 1. SUMAS Y RESTAS. Ejemplo: (-7 –8i) – (4 + 9i) + (11 + 17i) = a = Número Real (N. R.) i = Unidad Imaginaria Solución: Valores de i = -7 – 8i - 4 - 9i + 11 + 17i i = √-1 i2= -1 = 0 + 0i i3= -1 i4 = 1 RESULTADO: 0 + 0i
  • 28. 2. MULTIPLICACIÓN. 3. DIVISIÓN. Ejemplo: Ejemplo: (7 - 2i) (6 + 9i)= 7 - 2i / 6 + 9i = Solución: Solución: 7 – 2i 6 - 9i 42 – 63i – 12i + 18i 2 = 42 + 63i - 12i - 18i 2 6 + 9i 6 – 9i 36 - 81i 2 = 42 + 51i - 18 i2 42 – 75i + 18(-1) 24 - 75i 8 - 25i 36 - 81(-1) 117 39 = 42 + 51i - 18(-1) = 60 + 51i RESULTADO: 8 -25i RESULTADO: 39 39 60 + 51i
  • 29. 1. IGUALDAD. 2. DESIGUALDAD. Ejemplo: Ejemplo: 7x – 2x + 11 = 25 – 4x + 1 5x – 18 ≤ -7x +15 Solución: Solución: 5x – 7x ≤ 15 + 18 7x – 2x + 4x = 25 + 1 – 11 -2x ≤ 33 9x = 15 2x ≥ 33 x = 15/9 x ≥ - 33/2 x = 5/3 RESULTADO: RESULTADO: x ≥ - 33/2 X= 5/3
  • 30. ax2 +bx + C 2. POR FÓRMULLA GENERAL. x = (-b ±√b2-4ac) / 2a 1. POR FACTORIZACION. Ejemplo: Mismo ejemplo: 6x2 + x – 12 = 0 Solución: Solución: = (2x + 3) (3x – 4) = 0 X = (-1 ±√12 – 4(6)(-12) ) / 2(6) 2x + 3 = 0 ; 3x – 4 = 0 X = (-1 ±√289) / 12 2x = -3 ; 3x = -4 X = (1 ± 17)/ 12 x1= -3/2 ; x2 = - 4/3 x1= (-1+ 17) / 12 ; x2 = (-1 -17) / 12 RESULTADO: RESULTADO: x1= -3/2 ; x2 = - 4/3 x1= 4/3 ; x2 = - 3/2
  • 31. Ejemplo: x C Δ= 2 7 = 8 -21 = - 13 2x + 8y = 7 3 4 3x – 5y = 4 Solución: x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34 x y y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34 Δ= 2 8 = -10 -24 = -34 3 -5 RESULTADO: C y Δx = 7 8 = -35 -32 = -67 x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34 4 -5 y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34
  • 32. 90° y 0° 180° x ÁNGULO: 360° Abertura formada por dos líneas que parten de un mismo punto. 270°
  • 33. 1. SISTEMA SEXAGESIMAL. 2. SISTEMA CÍCLICO. Algunos Datos.- Algunos Datos.- C = Circunferencia Unidad= Radián C = 360° Unidad = grado = x° Radián: Es el ángulo que intercepta un arco de la misma longitud que el Minuto = La parte mas pequeña del ° radio. 1°/60 = minuto = x´ Segundo = Parte más pequeña del ´ Múltiplo = π 1´/60= segundo = x ´´
  • 34. 1. DE CÍCLICO A SEXAGESIMAL. 2. DE SEXAGESIMAL A CÍCLICO Ejemplo: Ejemplo: 4297°= 5/9 π + 3 = Solución: Solución: = 4297 (π/180) = 5/9 (180) + 3 (180/π) = 74.99 = 100 + 171.8873 = 271° 53´ 14´´ RESULTADO: RESULTADO: = 74.99 = 271° 53´ 14´´
  • 35. Ejemplo: θ = 46° Ángulo coterminal = 314° θ = 46° Solución: Θ2 = 360° - 46 RESULTADO: 314°
  • 36. FUNCIONES: y sen θ = c o / h u sa t en cos θ = c a / h po Cateto hi opuesto θ x tan θ = c o / c a Cateto adyacente cot θ = c a / c o sec θ = h / c a cos θ = h / c o
  • 37. Ejemplo: Solución: b2 = 122 – (112) Encontrar los valores de los lados del triángulo y sus funciones trigonométricas. b2 = 144 – 121 b2 = 23 b = √23 Sen x = 11/12 12 RESULTADO : 11 b = √23 x FUNCIONES. b=? Cos x = (√23)/12 Tan x = 11/ (√23) TEOREMA DE PITÁGORAS: Sec x = 12/12 c =a+b 2 2 2 Cosec x = 12 / (√23) Cotan x = (√23) / 11
  • 38. 1. CON UN ANGULO RECTANGULO Y DOS Solución: B AGUDOS. (determina los valores) A + B = 90 C=? DATOS: 45° + B = 90 B = 90° - 45° b = 7 √2 B = 45° c=14 a=? c = 14 Solución: a A=? B=90° c2 = a 2 + b 2 b = 7√2 142 = a2 + ( 7√2)2 Solución: A 196 = a2 + 98 a2 = 196- 98 b/c = cos A a2 = 98 a = √98 (7√2)/14 = cos A a = √(72)(2) Cos-1 = 0.7071 A= 45° a= 7 √ 2
  • 39. 2. CON DOS ANGULOS AGUDOS Y UN OBTUSO Solución “c”: a/sen A=c/ sen C a) LEY DE LOS SENOS: 24.3/sen38°17´=c/sen91°46´ a/sen A = b/sen B = c/ sen C c = (24.3/sen38°17´) (sen91°46´) Ejemplo: Datos: c = 39.2 A= 38°17´ a = 24.3 B= 49°57´ b = ? C=? c = ? Solución: “C” Solución “b”: a/sen A = b/sen B A+B+C = 180° 24.3/sen38°17´ = b / sen 49° 57´ 38°17´+49°57´+C=180° b = (24.3/sen38°17) ( sen 49°57´) C= 180° - (38°17´+49°57´) b = 30.02 C= 91°46´
  • 40. Solución: “B” b) LEY DE LOS COSENOS: Cos B = (866.76 + 28.12 – 19.32 ) / 2(29.44)(28.1) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 1283.88/1654.528 b2 = a2 + c2 – 2ac cos B = 0.7759 c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Datos: B= cos-1 0.7759 A= 74°12´ a = ? B= ? b = 19.3 RESULTADO: C=? c = 28.1 B= 39°6´47´´ Solución: “a” Solución: “C” a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Cos C = (29.442 + 19.32 - 28.12 )/2(29.44)(19.3) a2 = 19.32 + 28.12 – 2(19.3)(28.1) cos 74°12´ = 449.5936/1136.384 = 866.76 = 0.3953 a = 29.44 C= cos-1 0.3953 RESULTADO: RESULTADO: a = 29.44 66°41´39´´
  • 41. EJEMPLO: Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que esta a 40m de la base. Si el alambre hace un ángulo de 58°20´ con el suelo, calcula la longitud del alambre. 58°20´ c a/ h = cos A 40/ h = cos 58°20´ h= 40/ cos 58° 20´ = 76.19m RESULTADO 76.19m