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áLgebra booleana

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  • 1. Álgebra BooleanaEl álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en losvalores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido enéste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano,por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produceuna sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, deaquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades delsistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego deoperadores y valores:- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudollamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres devariables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa laoperación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamosel producto entre A y B.- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es laoperación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, enéste texto utilizaremos el símbolo " " para denotar la negación lógica, por ejemplo,A denota la operación lógica NOT de A.- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, elresultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual esde mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND yoperador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos porla izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes,entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativopor la derecha.Utilizaremos además los siguientes postulados:
  • 2. P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A tal que A·A = 0 y A+A = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstospostulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremasmás importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes: Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B) = A · B Teorema 8: (A · B) = A + B Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + AB = A + B Teorema 12: A · (A + B) = AB Teorema 13: AB + AB = A Teorema 14: (A + B) · (A + B) = A Teorema 15: A + A = 1 Teorema 16: A · A = 0Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honoral matemático que los descubrió.Características:Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientescaracterísticas:1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) quellamaremos aditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de unsolo parámetro) que representaremos por x.2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)Y 3- Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
  • 3. Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx = 0Propiedades Del Álgebra De Boole 1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y) = xy Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy) = x + yFunción BooleanaUna función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyoselementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cadauno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La funcióndevolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrariodevolverá 0.Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el queaparecen todas las variables o sus negaciones.El número posible de casos es 2n.Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos.Los posibles casos son:Votos ResultadoABCD1111 11110 11101 11100 01011 11010 01001 01000 00111 10110 0
  • 4. 0101 00100 00011 00010 00001 00000 0Las funciones booleanas se pueden representar como la sumade productos mínimos (minterms) iguales a 1.En nuestro ejemplo la función booleana será:f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCDDiagramas De KarnaughLos diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2.En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanasmediante mapas de Karnaugh.Compuertas Lógicas CombinadasAl agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores losresultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tresnuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son ycuál es el símbolo que las representa...Compuerta NANDResponde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representaciónsimbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de lacompuerta AND.Compuerta NOREl resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversiónde la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, soloagregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.
  • 5. Compuerta NOR-EXEs simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se puedenapreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notarla diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.BuffersEn realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un pocola señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráficola señal de salida es la misma que de entrada.

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