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    39028492 distribucion-t-de-student-scrib 39028492 distribucion-t-de-student-scrib Document Transcript

    • INDICEINDICE 2INTRODUCCION 3DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT 4 Ley de Student 5 Características de la distribución t de student 6 Propiedades de la ley de student 6 Grados de Libertad 7 Intervalos para muestras pequeñas 7EJERCICIOS RESUELTOS 11BIBLIOGRAFIA 16ANEXO 17 INTRODUCCION
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTELa distribución t de Student se utiliza cuando nos encontramos con la dificultad deno conocer la desviación típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Essimilar a la curva normal, pero la distribución t tiene mayor área a los extremos ymenos en el centro.Esta fue descubierta por un especialista en estadística de una empresa irlandesa,este señor cuyo nombre era William S. Gosset, hizo inferencias acerca de lamedia cuando la desviación poblacional fuese desconocida; y ya que a losempleados de dicha entidad no les era permitido publicar el trabajo deinvestigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de“Student”.Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivelde confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada conrespecto a estas variables y aplicarla en la formula.De gran utilidad, reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza para probar hipótesisy también para saber si dos muestras provienen de la misma población. DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENTDISTRIBUCION t DE STUDENTDistribución t de Student Página 2
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEEn muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en lamuestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándarde la muestra s como una estimación de σ , pero no es posible usar la distribuciónZ como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es ladistribución t. A veces es necesario hacer análisis de muestras pequeñas porrazones de tiempo y reducción de costos, para ello fue descubierta la distribución tpor William Gosset, un especialista en estadística, que la publicó en 1908 con elseudónimo de Distribución t Student.Los usos para los cuales es idónea esta distribución son los siguientes: 1) Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar la media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30) 2) Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo pequeño. 3) Para probar si dos muestras provienen de una misma población.Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una mediay una diferencia de medias (independiente y pareada).Cuando hicimos la estimación por intervalo, usando la distribución Z, con n ≥ 30,establecimos el intervalo de confianza para estimar la media poblacional, así x ± zσn dado que conocíamos la desviación típica de la población σ. Sin embargo, sino la conocemos se puede sustituir por la desviación típica muestral S quedandoasí x ± z sn. Se sabe también que si X es una variable normalmente distribuidacon media µ y variancia σ2, y si una muestra de tamaño n se extrae, entonces x,la media de la muestra es normalmente distribuida con media µ y variancia σx2 =σ2n.Asimismo: x – µσx = z, es una variable aleatoria normal estandarizada, con mediaigual a cero y variancia igual a uno. Si σx se sustituye porDistribución t de Student Página 3
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEsx = (xi-x)2n-1, para tener x-μsx, esta nueva variable no es mas normalmentedistribuida, teniendo su propia distribución, llamada t de “Student”La distribución estadística de prueba: t = x - μsx => S= Sn-1Entonces la distribución t queda así: t = x- μσ n-1LEY DE STUDENTEsta ley se aproxima mucho a la distribución normal cuando el tamaño de lamuestra es grande (por tanto, podemos usar indistintamente una u otra). Cuandola muestra es pequeña t no se distribuye normalmente, y es imperativo utilizarla.La expresión para calcular el intervalo de confianza es la misma, en lugar debuscar zα2 se busca t(α2, ν). El elemento ν es un parámetro llamado grados delibertad y se calcula mediante ν = n – 1.μ= x ± t(α2, ν) σnCARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT 1. Al igual que la distribución Z, es una distribución continua 2. La distribución t tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se extiende de - ∞ a + ∞ la varianza de t para > 2. Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes la varianza de la distribución t tiende a 1. 3. Tiene forma acampanada y simétrica 4. No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t. todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n, identificada cada una por susDistribución t de Student Página 4
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE respectivos grados de libertad. Existe una distribución t para una muestra de 20, otra para una muestra de 22, y así sucesivamente. 5. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.PROPIEDADES DE LA LEY DE STUDENT • Fν(t) = A (1+ t2v)-(v+12) es la función de la densidad de la ley. La constante A hace que el área bajo el gráfico sea igual a la unidad, v=n-1 son los grados de libertad. • Para cada valor v de grados de libertad, existe una particular distribución de probabilidad de t, es el parámetro ν, grados de libertad, el que identifica a la curva respectiva. • El dominio de la función son todos los números reales. • Su media es μ=0, y su varianza es σ2 = vv-2 para v > 2. Los valores t (α, ν) se encuentran en tablas de la distribución de t.GRADOS DE LIBERTADEn la mayoría de los casos, los parámetros de una población son cantidadesdesconocidas y para estimarlos es necesario extraer una muestra de la poblacióny calcular los estadísticos correspondientes.Existen varias distribuciones t. Cada una de ellas está asociada con los que sedenominan “Grados de libertad” (generalmente denotado por la letra griega nu, ν),esté se define como el número de valores que podemos elegir libremente, ósea, elnúmero de observaciones menos uno, ν = n – 1.A medida que los grados de libertad son más grandes hasta tender al infinito, lasformas de las curvas de t tienden a ser más próximas a la forma de la curvanormal.Distribución t de Student Página 5
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEComo cada curva de t esta relacionada a sus grados de libertad, no se puedenusar valores estandarizados únicos, como se hizo en el caso de la normal, por loque es necesario, para calcular la probabilidad de un valor de t caiga en unparticular intervalo, computarlo según sean sus grados de libertad. Como es unatarea difícil, se han elaborado tablas para varios valores de v. Generalmente lastablas se han construido para pruebas de dos colas, variando v desde 1 hastainfinito y alfa desde 0.5 hasta 0.001.1INTERVALOS PARA MUESTRAS PEQUEÑASCuando las observaciones de la muestra x1, x2,…, xn provienen de una ley normal,el estadístico z = x- μσ n es exactamente normal estándar. Sin embargo cuando σno se conoce y se estima mediante s = (xi-x)2n-1 , la distribución del estadístico t= x- μσ n no es necesariamente normal.Ejemplo:Probabilidad de 0.90 de que t esté entre -1.76 y +1.76 ⟹ -0.76 ≤ t ≤ 1.76Como t = x- μσ n-1 , la desigualdad se convierte en-1.76 ≤ x- μσ n-1 ≤ 1.76 x - 1.76 Sn-1 ≤ μ ≤ x + 1.76Como determinar el Intervalo de Confianza para la estimación de la MediaConceptos Previos: a) Estimador Puntual: Valor que se calcula a partir de la información de la muestra y que se usa para estimar el parámetro de la población. Ejemplo: la media de la muestra x es un estimador puntual de la media de la población μ. b) Intervalo de Confianza: Es un rango de valores que se construye a partir de datos de la muestra de modo que el parámetro ocurre dentro de dicho1 Ver anexoDistribución t de Student Página 6
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE rango con una probabilidad específica. La probabilidad específica se conoce como nivel de confianza.Nos interesa en nuestro caso particular poder establecer el intervalo de confianzapara estimar la media poblacional, para ello haremos uso de la siguiente fórmula:μ= x ± t(α2, ν) snDonde: μ = media poblacional x = media muestral t(α2, ν) = valor obtenido de la tabla de la distribución “t” s = desviación típica muestral n = tamaño de la muestra α = nivel de confianza ν = grados de libertadPara poder utilizar ésta formula es necesario explicar el significado de algunosconceptos y la manera de cómo calcular su valor así como de conocer el uso de latabla “t” de Student. Lo cual haremos a continuación: 1) El nivel de confiabilidad utilizado es: α = 100%-Confiabilidad100% La confiabilidad se refiere a la probabilidad específica de estimación del parámetro, en este caso de la media poblacional. 2) Los grados de libertad: Concepto un tanto difícil de definir pero debe entenderse como un indicador del grado de acercamiento que cada curva de la distribución “t” presenta con respecto de la curva normal (obsérveseDistribución t de Student Página 7
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE que esto pone de manifiesto que la distribución t no es única y existen tantas como los grados de libertad cumplan la condición ν < 30) Su valor se obtiene de la formula: ν =n–1 3) Los valores de t(α2, ν) se encuentran en la tabla de la distribución t Student.2Determinando un intervalo de confianzaPara estimar la media poblacional μ en cualquier intervalo de confianza, utilizamos x ± t sn-1Si el tamaño de la muestra fuese de n = 10, los grados de libertad serían 9 y paraun coeficiente de confianza del 80%, el intervalo de confianza para estimar lamedia poblacional µ sería:x ±1.38 (Sn-1)2 Ver anexoDistribución t de Student Página 8
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE EJERCICIOS RESUELTOSLos ejercicios se han resuelto en base a la tabla de Distribución t con distintosgrados de libertad.3 1. Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de agua que utilizan por día (1 galón ≡ 0.0037854 m3) fue el siguiente: 175 185 186 118 158 150 190 178 137 175 180 200 189 200 180 172 145 192 191 181 183 169 172 178 210Con base en esta información: a) Hallar un intervalo de confianza del 90% b) Si el recurso de agua en la ciudad permite una utilización media de 160 galones por día, ¿Podría pensarse que hay un problema de escasez de agua en la ciudad?x=175.76; n=25; s=20.79; α=0.1; ν=24; μ=160; t(α2, ν)=1.711 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 175.76 ± 1.711 20.7925 Iμ = [168.65, 182.87] 1. A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra aleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350, 360.3 Ver anexoDistribución t de Student Página 9
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE Determinar un intervalo de confianza del 90% para estimar el saldo medio de todas las cuentas.x=231.56; n=16; s=69.61; α=0.1; ν=15; t(α2, ν)=1.753 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 231.56 ± 1.753 69.6116 Iμ = [201.05, 262.07] 2. Una muestra de edades de 36 asegurados a una compañía dio valores x = 39.5, y s = 7.77. Hallar los intervalos de confianza para µ del:a) 90%; x=39.50; n=36; s=7.77; α=0.1; ν=35; t(α2, ν)=1.690 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 39.5 ± 1.690 7.7736 Iμ = [37.31, 41.69]b) 95%; x=39.50; n=36; s=7.77; α=0.05; ν=35; t(α2, ν)=2.030 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 39.5 ± 2.030 7.7736 Iμ = [36.87, 42.13] 3. Una maquina se encarga de llenar botes de jalea con µ gramos, pero no los llena con la cantidad exacta. Suponte que los pesos reales de contenido siguen una ley normal N (µ, σ2). Si de una muestra de 16 botes obtenemos una media de 298g, investiga si un intervalo de confianza para µ del 95%, contiene la media µ = 300.x=298; n=16; s=20.79; α=0.05; ν=15; μ=300; t(α2, ν)=2.131Distribución t de Student Página 10
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 298 ± 2.131 20.7916 Iμ = [286.92, 309.08]R/ El intervalo si contiene a la media µ, por lo tanto el error en llenado no esintencional. 4. Se selecciono una muestra aleatoria de 25 cuentas por cobrar de un registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio una media de x = 2.435 colones y una desviación típica de S = 335 colones. Obténgase un intervalo de confianza del 90% para estimar la media de las 96 cuentas del registro.x=2435; n=25; s=335; α=0.1; ν=24; t(α2, ν)=1.711 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 2435 ± 1.711 33525 Iμ = [2320.36, 2549.64] 5. El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $9500 con una desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de confianza del 95% para estimar el parámetro poblacional. x=9500; n=10; s=327; α=0.05; ν=9; t(α2, ν)=2.262 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 9500 ± 2.262 32710 Iμ = [9266.09, 9733.91] 6. Una muestra aleatoria del proceso de producción de 17 bombillos, dio una media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso.Distribución t de Student Página 11
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE x=128; n=17; s=15; α=0.01; ν=16; t(α2, ν)=2.921 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 128 ± 2.921 1517 Iμ = [117.37, 138.63] 7. Una empresa constructora desea conocer el promedio de arrendamiento mensual de casas en cierta ciudad (casas tipo clase media). Una muestra aleatoria de 26 arrendamientos dio un promedio de x = $280 y una desviación típica de s = $55. Estime el promedio verdadero con un intervalo de confianza del 0.99.x=280; n=26; s=55; α=0.01; ν=25; t(α2, ν)=2.787 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 280 ± 2.787 5526 Iμ = [249.94, 310.06] 8. El propietario de una papelería desea estimar la media del valor al menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su inventario. Una muestra aleatoria de 20 tarjetas de felicitación indica una media de valor de $1.67 y una desviación estándar de $0.32. Suponiendo una distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza del 95% para la media del valor de todas las tarjetas de felicitación en el inventario de la tienda.x=1.67; n=20; s=0.32; α=0.05; ν=19; t(α2, ν)=2.093 μ: x ± t(α2, ν) sn μ: 1.67 ± 2.093 0.3220 Iμ = [1.52, 1.82]Distribución t de Student Página 12
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE BIBLIOGRAFIALibros • Elementos de probabilidad y estadística. José Hernández Salguero. 1ª Edición, El Salvador. UCA-Editores 2002 • Estadística II: Métodos prácticos de inferencia estadística. Gildaberto Bonilla. 4ª Edición. El Salvador. UCA-Editores 1997 • Estadística para administración. David M. Levine; Timothy C. Krehbiel; Mark L. Berenson. 4ª Edición. México. Prentice Hall 2006 • Introducción a la estadística. Wilfredo Caballero. 1ª Edición. Costa Rica. IICA 1981 • Apuntes de Clase de Estadística. El Salvador. ITCA-FEPADE. 2006Internet • http://www.itchihuahuaii.edu.mx/academico/CB/MEG/documentos/1.8.htmDistribución t de Student Página 13
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE • http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstudent.ht ml ANEXODistribución t de Student Página 14
    • UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDistribución t de Student Página 15