Clasificacion matrices

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Clasificacion matrices

  1. 1. Instituto Tecnológico Superior de Libres Clasificación de las matrices Triangular superior Una matriz se conoce como triangular superior si todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son cero. 𝐴 = ( 2 1 −1 0 3 4 0 0 5 ) Triangular inferior Una matriz cuadrada se conoce como triangular inferior si todos sus elementos por arriba de la diagonal principal son cero. 𝐴 = ( 1 0 0 −2 0 0 4 6 1 ) Diagonal Una matriz cuadrada A=(aij) se conoce como diagonal si todos sus elementos que no están en la diagonal principal son cero. Esto es, aij=0 si i≠j. 𝐴 = ( 2 0 0 0 3 0 0 0 5 ) B=( 2 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 6 ) Escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. 𝐴 = ( 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ) 2𝐴 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) Identidad La matriz identidad de n x n es la matriz de n x n en la que las componentes de la diagonal principal son 1 y 0 en todas las demás posiciones. 𝐼3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 𝐼4 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )
  2. 2. Instituto Tecnológico Superior de Libres Potencia de una matriz Sea A una matriz cuadrada, se define: 𝐴0 = 𝐼, 𝐴1 = 𝐴, 𝐴2 = 𝐴 ∙ 𝐴, 𝐴3 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 … 𝐴 𝑛 ∙ 𝐴 𝑚 = 𝐴 𝑚+𝑛 … Periódica Seauna matrizA de nxn,si para un númeroenteroypositivop, ocurre que 𝐴 𝑃+1 = 𝐴, se dice que A es una matriz de periodo “p”. Ejemplo: 𝐵 = ( −1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 ) Ya que 𝐵2+1 = 𝐵 B es una matriz de periodo 2. Nulipotente Si A es una matriz cuadrada y Ak =0 para algún número natural k, se dice que A es nulipotente. 𝐴 = ( 0 −8 0 0 0 0 0 5 0 ) 𝐴2 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Idempotente La matriz A se dice idempotente si A2 =A. 𝐴 = ( 1 0 −1 0 ) Involutiva Una matriz involutiva es una matriz cuadrada tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad A A=A2 =I 𝐴 = ( 1 0 0 1 ) 𝐵 = ( 1 1 0 −1 ) Transpuesta Sea A=(aij) una matriz de m x n. entonces la transpuesta de A, escrita At , es la matriz n x m obtenida intercambiando los renglones y columnas de A. Se pude escribir At =(aji) 𝐴 = ( 2 3 1 4 ) 𝐴 𝑡 = ( 2 1 3 4 ) 𝐵 = ( 2 3 1 −1 4 6 ) 𝐵 𝑡 = ( 2 −1 3 4 1 6 )
  3. 3. Instituto Tecnológico Superior de Libres Simétrica Una matriz cuadrada es simétrica si At =A. 𝐴 = ( 1 2 2 3 ) 𝐵 = ( 1 −4 2 −4 7 5 2 5 0 ) 𝐶 = ( −1 2 4 6 2 7 3 5 4 3 8 0 6 5 0 −4 ) Antisimétrica Una matriz cuadrada es antisimétrica si At =-A 𝐴 = ( 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ) 𝐵 = ( 0 −6 6 0 ) Compleja Es una matriz cuadrada, que contiene en sus elementos, números complejos. 𝐴 = ( 1 + 𝑖 −4 + 2𝑖 3 6 − 3𝑖 ) Conjugada Sea A una matriz cuadrada con componentes complejos. Entonces el conjugado de A, denotado A*, se define como (A*)ij=𝑎𝑗𝑖. 𝐴 = ( 1 + 𝑖 −4 + 2𝑖 3 6 − 3𝑖 ) 𝐴 ∗= ( 1 − 𝑖 3 −4 − 2𝑖 6 + 3𝑖 ) Hermitiana La matriz compleja A cuadrada se llama hermitiana si A*=A. si A es hermitiana, las componentes diagonales de A son reales. 𝐴 = ( 4 3 − 2𝑖 3 + 2𝑖 6 ) 𝐴 ∗= ( 4 3 − 2𝑖 3 + 2𝑖 6 ) Antihermitiana Es una matriz cuadrada cuya transpuesta conjugada es menos la matriz A*=-A 𝐴 = ( 𝑖 2 + 𝑖 −2 + 𝑖 3𝑖 ) Ortogonal Se dice que una matriz es ortogonal si 𝐴 ∙ 𝐴 𝑇 = 𝐼, ejemplo:
  4. 4. Instituto Tecnológico Superior de Libres 𝐴 = ( 0 1 1 0 ) 𝐵 = ( 𝑎 𝑏 −b 𝑎 ) Si 𝑎2 + 𝑏2 = 1 [1] Cristina Steegmann Pascual, Juan Alberto Rodríguez Velázquez, Ángel Alejandro Juan Pérez. Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Algebra_Matrices.pdf [2]Ing. Carlos Vega. Disponible en: www.cvega.net/acrobat/MB2-clase-3.pdf [3] Stanley I Grossman, Álgebra Lineal, 5ta edición, Editorial McGraw-Hill, 2005. [4] Wikipedia, la encyclopedia libre. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_antihermitiana

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