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Ecuaciones

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  • 1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD D1, m1 D2, m2 Consideraciones: • Flujo de 1 a 2 constante • La cantidad de fluido que pasa por cualquiera sección del tubo 1 ó 2 es constante • Si no se retira o agrega fluido entonces el fluido m1= m2 en un tiempo determinado m = ρAV ρ1 A1V1 = ρ2 A2V2ρ1 = ρ2 = cte A1V1 = A2V2 Q = AV Q1 = Q2
  • 2. ÁREAS DE TUBERÍAS ESTÁNDARÁrea Real:se da en tablas por los fabricantes y se puede calculardiámetros reales de la relación. Se hace referencia aldiámetro comercial ¾·”, ½” etc.se recomienda utilizar tablas de fabricantes pararealizar cálculos reales.
  • 3. VELOCIDAD DE FLUJO EN DUCTOS Y TUBERÍASLos factores que afectan la elección de la velocidad son: Tipo de fluido Longitud del sistema de flujo El tipo de Ducto y tubería La caída de presión permisible Bombas, accesorios, válvulas que puedan conectar para manejar las velocidades específicas La temperatura, la presión y el ruido Se debe tener en cuenta: Ductos y Tuberías de gran diámetro producen baja velocidad y viceversa, tubos de pequeño diámetro altas velocidades.Velocidades Recomendadas:V = 3 m/s, para líquidos como agua y aceite livianos y para la salida de una bombaV = 1 m/s, para la entrada a una bomba
  • 4. ECUACIÓN DE ENERGÍA Ecuación de Bernoulli y z V, P, W Energía Potencial: se debe a la elevación E P = wz Energía de flujo ó energía de presión: se w EF = pdebe a la presión que se le suministra al fluido γEnergía Cinética: se debe a su velocidad wv 2 Ec = donde w = peso del elemento de volumen 2g
  • 5. Energía total de un fluido La energía total que tiene un fluido en movimiento es dado por: wv 2 wEtotal = E P + EC + E F E total = wz + 2g + p γCada termino en esta ecuación tiene las siguiente unidades [N*m/N]es decir [m] o [pie]Por lo que cada termino recibe el nombre de cabeza de energía
  • 6. Energía de un fluido que se transporta en una tubería 2 w1v1 w1 P E1 = w1 z1 + + 1 2 2g γ P2, Z2, V2 1 2 w2 v 2 w2 P2 P1, Z1, V1 E 2 = w2 z 2 + + 2g γ 2 2 v1 P v2 P z1 + + 1 =z 2 + + 2 2g γ 2g γRestricciones de la ecuación de Bernoulli Solo es valida para fluidos incompresibles w1=w2• No tiene en cuenta dispositivos que agreguen energía al sistema W=0• No hay transferencia de calor Q=0• No hay perdidas por fricción ft =0Análisis será que esta ecuación es de uso real ?
  • 7. SUGERENCIAS PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLISeleccionar la dirección del flujo (izquierda a derecha de 1 a 2)Simplifique la ecuaciónLas superficies de los fluidos expuestas a la atmósfera tendrán cabeza de presióncero p/γ = 0Para depósitos, tanques de los cuales se puede estar extrayendo algún fluido suárea es bastante grande, comparada con la del tubo, la velocidad de flujo enestos tanques o depósitos es pequeña entonces v=Q/A=0 entonces v2/2g=0Cuando ambos puntos de referencia están en la misma área de flujo A1=A2, 2 2entonces la cabeza de velocidad son iguales, v1 = v1 = 0 2g 2gCuando la elevación es la misma en ambos puntos de referencia Z1=Z2, entoncesla cabeza de altura es cero Z=0
  • 8. TEOREMA O ECUACIÓN DE TORICELLI Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se obtiene: 2 2 v P v P z1 + 1 + 1 =z 2 + 2 + 2 1 2g γ 2g γh 2 consideramos P1=P2=0 y V1=0 según esto se obtiene: v 2 = ( z1 − z 2 )2 g 2 v z1 =z 2 + 2 2g Haciendo ahora h = (z1-z2) entonces v 2 = 2 gh Análisis: considere ahora si el tanque esta sellado: v 2 = 2 g (h + P1 / γ )
  • 9. Partiendo de la ecuación de Bernoullivi = 2 gh dhComo el flujo volumétrico es hiQ = Ai v j AiEl volumen que sale por la boquilla dj, Aj, vj Qdt = A j vi dtEl volumen que sale del tanque o rapidez con laque disminuye la altura del tanqueQ = − Ai dhEstos volúmenes deben ser iguales A j vi dt = − Ai dh − Ai dt = dh A j vi
  • 10. Despejando variables y reemplazando se obtiene: − Ai dt = dh A j vi − Ai dt = dhcomo vi = 2 gh se obtiene A j 2 ghIntegrando t2 Ai ∫ t1 dt = − Aj 2 g h −1/ 2 dhSi tiempo para un instante inicial es cero entonces se obtiene  Ai / A j  1/ 2 1/ 2 t 2 = 2  2g (  h1 − h2  )  
  • 11. ECUACIÓN GENERAL DE ENERGÍA hA Válvula hR Codo hL hL Turbina Bomba 2 2 v1 P v2 P2 z1 + + 1 + hA − hR − hL = z2 + + 2g γ 2g γhA = Energía añadida o agregada al fluido por una bomba u otro dispositivohR = Energía retirada o removida del fluido mediante un dispositivo mecánico, por ejemplo una turbinahL = Perdidas de energía por parte del fluido por efecto de fricción o por presencia de válvulas, conectores, y rugosidad de tuberías
  • 12. PÉRDIDAS DE ENERGÍA hLLas pérdidas totales de energía hL es dada porhL = ∑ perdidas por accesorios + ∑ perdidas por fricción en tuberíasLas pérdidas de energía por accesorios = se dan porcambios de dirección y velocidad del fluido en válvulas te,codos, aberturas graduales y súbitas entre otrosLas pérdidas por fricción = se dan por el contacto del fluidocon las paredes de las tuberías y conductos que por logeneral son rugosos
  • 13. Pérdidas de energía debido a la fricción hfEs dada por la ecuación de Darcy (utilizada para flujo laminar yturbulento) L v2 hf = f D 2g Donde: L = longitud de la tubería D = Diámetro nominal del conducto V = Velocidad de flujo f = coeficiente de fricción ( adimensional )
  • 14. Como obtener el coeficiente de fricción fPara calcular el coeficiente de fricción “f” se usa eldiagrama de Moody, el cual se presenta en la figura 9-2, olas siguientes ecuaciones.Para flujo laminar y tuberías sin rugosidad f= 64/ RePara flujo turbulento usar mejor la ecuación de P.K.SWANCE y A.K. JAIN. 0,25 f = 2   1 5,74  log 3,7 D / ε + Re 0,9    
  • 15. Pérdidas por accesorios hl kv 2 hl = 2gDonde hl = perdida menores k = coeficiente de resistencia v = velocidad promediok = El coeficiente de resistencia es medido experimentalmente ydepende del tipo de accesorio y de la velocidad promedio
  • 16. CALCULO DE LAS PÉRDIDAS MENORES: Dilatación súbita: depende de la diferencia D1/D2. ver grafico 10-2 del libro Robert Mott. D1, V1 D2, V2 D2/D1 vs K para calcular K. 2   A1  2  D  2  k = 1 −    = 1 −  1        A2    D2    
  • 17. Pérdidas menores Pérdida de entrada a un tanque  v12  D1, D2, V2 hl = 1   2g  V1   v  =Dilatación Gradual 2hl 1  1  2g     v12  D1, φ, D2, hl = k    2g  V1 V2   Ver grafico 10-5 D2/D1 vs K y φ Perdidas mínimas para φ< 7, cuando φ> la perdida aumenta, ver tabla 10-2
  • 18. Pérdidas menoresConcentración súbita D2, V2  v2  2 D1, V1 hl = k    2g    ver figura 10-7 y tabla 10-3Concentración gradual  v2  2 D1, V1, D2, V2 hl = k    2g  φ  para Re > 1X105 utilizar la figura 10-10 donde D1/D2 vs K y φ
  • 19. Pérdidas menores en curvaturas de tuberíasCodos de tuberíasLa resistencia al flujo en un codo es función del radio (r ) de la curvaturadel codo y del diámetro interno D.Donde:r= es la distancia al centro de la curvaturaRo= es el diámetro externo del conducto o tubo r=Ri + Do/2 Ri r r=Ro – Do/2 r = (Ro + Ri)/2 D Ro Do Ver grafico 10-23 se puede calcular hl = f (k, le/g)
  • 20. OTRAS PÉRDIDAS MENORES A LA SALIDA Y ENTRADA DE UNA TUBERIA EN UN TANQUE Perdida hacia dentro k =1 Perdida cuadrada k =0,5 Perdida achatada k =0,25 Perdidas redondar/D2 0 0,02 0,04 0,10 > 0,15k 0,50 0,28 0,24 0,09 0,04 El coeficiente de resistencia para válvulas es calculado de la siguiente manera:  v1 2  hl =k  2 g   k = (le / D) fr  Donde le/D= Longitud equivalente fr= factor de fricción en el conducto en completa turbulenciaVer tabla 10-4. del libro Robert Mott.
  • 21. PÉRDIDAS DE ENERGÍA POR FRICCIÓN EN CONDUCTOS NO CIRCULARESReemplazar en la ecuación de Darcy D=4RSe obtiene entonces 2 L v hf = f 4R 2 g

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