1. 1
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CATEDRA DE CIRCUITOS ELECTRICOS II
SISTEMAS
TRIFASICOS
Integrante
Hinojosa Bryan
19170086
SAIA B

2. 2
SISTEMAS TRIFÁSICOS
INTRODUCCIÓN.
Una de las razones para estudiar el estado senoidal permanente es que la mayor parte de la
energía eléctrica que se usa en la industria y en los hogares, es en forma de corriente
alterna. La onda senoidal es una función matemática muy particular, pero representa una
función de excitación bastante común y sumamente útil.
En forma análoga, una fuente polifásica es un caso aún más particular, pero se estudiará
porque casi todas las cargas industriales son alimentadas con señales polifásicas con una
frecuencia de 50 Hz .
Antes de dar definiciones cuidadosas de los conceptos, como el sistema polifásico más
común es el sistema trifásico equilibrado, mencionaremos algunas de sus características
fundamentales.
El análisis exhaustivo de los sistemas trifásicos constituye un área de estudio por sí mismo
y no podemos esperar abarcarlo todo en un solo capítulo.
La fuente tendrá probablemente tres terminales, y mediciones de voltaje indicarán que entre
cualquier par de terminales se tendrán voltajes senoidales de igual amplitud; sin embargo,
esos voltajes no están en fase y más adelante se mostrará que están desfasados en 120°.
Otra característica importante es respecto a la potencia instantánea trifásica, ya que en
circuitos con carga equilibrada, esta potencia es constante, lo cual es una gran ventaja para
las máquinas rotatorias, ya que el par motor es mucho más constante de lo que sería si se
usara una fuente monofásica.

3. 3
1.1 COMPARACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS MONOFÁSICOS Y
TRIFÁSICOS.
En la actualidad todos los sistemas eléctricos de potencia son trifásicos debido a que esta
modalidad presenta ventajas técnicas y económicas respecto a los sistemas monofásicos.
Estos aspectos se mostrarán en el análisis respecto a la potencia instantánea transmitida, así
como los costos asociados para cada caso.
En la Figura 1.1 se muestra el
esquema de un sistema monofásico,
para el cual se supone una
tensión v(t ) = 2 * Vef * sen wt y una
Figura 1.1 Sistema monofásico
corriente i (t ) = 2 * Ief * sen( wt − φ )
La potencia instantánea p(t) = v(t)*i(t) transmitida desde el generador al consumo está dada
por:
p(t ) = ( 2 ) 2 * Vef * Ief * sen wt * sen( wt − φ ) = Vef * Ief * cosφ − Vef * Ief * cos( 2wt − φ )
Esta ecuación indica que la potencia
instantánea depende del tiempo y
oscila alrededor de un valor medio
de potencia, Vef*Ief*cosφ , con una
frecuencia igual al doble de la
frecuencia w.
Figura1.2 Curva de potencia p(t)
Aunque la potencia transmitida tiene
un valor efectivo positivo, sus
valores instantáneos son pulsantes.
La energía no se entrega como flujo
constante, sino que llega en oleadas.
Esto puede tener efectos indeseables
en los motores y los generadores.
Esta situación se muestra en la
Figura 1.2
Veamos ahora lo que sucede en un
sistema trifásico, que se muestra en la
Figura 1.3
Figura 1.3 Sistema trifásico

4. 4
Las tensiones al neutro generadas por la máquina trifásica tienen las siguientes expresiones:
va(t) = 2 *V*senwt vb(t) = 2 *V*sen(wt-120°) vc(t) = 2 *V*sen(wt+120°)
Suponiendo un consumo equilibrado inductivo con ángulo φ, las corrientes por fase serán:
ia(t) = 2 *I*sen(wt-φ)
ic(t) = 2 *I*sen(wt+120° - φ)
ib(t) = 2 *I*sen(wt-120°- φ)
Estas relaciones indican que la suma de las corrientes por fase es cero y en consecuencia no
se requiere un conductor de retorno.
La potencia total instantánea p(t) estará dada por:
p(t)= va(t) * ia(t) + vb(t) * ib(t) + vc(t) * ic(t)
Usando las expresiones anteriores, y como 2*sen α * sen β = cos(α - β) − cos(α + β):
p(t)= V*I*cos φ - V*I*cos(2wt - φ) + V*I*cos φ - V*I*cos(2(wt – 120)- φ)+
V*I*cos φ - V*I*cos(2(wt + 120)- φ).
p(t) = 3*V*I*cos φ - V*I*cos(2wt - φ) - V*I*cos[(2wt - φ)+120] - V*I*cos[(2wt - φ)-120].
Como la suma de los tres últimos términos de la ecuación es nula, entonces:
p(t)= 3*V*I*cos φ
Este último resultado indica que en un sistema trifásico balanceado, la potencia instantánea
es CONSTANTE.
Ahora demostraremos que el sistema trifásico permite transmitir una misma cantidad de
potencia real utilizando menos material conductor que un sistema monofásico;
supondremos en ambos casos la misma distancia del punto de generación al centro de
consumo, la misma potencia de pérdida y la misma tensión entre líneas.
Designando las cantidades monofásicas con el subíndice 1φ y las trifásicas como 3φ, se
tiene que:
P 1 = V1 * I1 cosφ
P 3 = 3 V3 * I3 cosφ
Como : P 1 = P 3 y V1 = V3 , entonces de las expresiones anteriores resulta:
I1 = 3 I3
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Las pérdidas en la línea de transmisión, suponiendo conductores de cobre son:
(Pcu)1 = 2∗ R1 ∗Ι 1
(Pcu)3 = 3∗ R3 ∗Ι 3
Pero como (Pcu)1 = (Pcu) 3 entonces:
2
φ
2
φ
φ
φ
φ
R1 R3 = = (3∗Ι
φ /
φ
φ
2
3φ )/
φ
( 2∗Ι
2
1φ
) = 0.5
φ
φ

5. 5
Considerando que para una longitud dada de línea de transmisión, la cantidad de material
conductor es inversamente proporcional a la resistencia del conductor y directamente
proporcional al número de ellos, se obtiene la siguiente relación:
Por lo tanto, el sistema trifásico, para las condiciones establecidas, emplea el 75 % del
conductor requerido para el sistema monofásico.
Por los antecedentes anteriores, el sistema trifásico es el más utilizado por ofrecer ventajas
técnicas, flujo de potencia instantánea constante, y ventajas económicas, menor cantidad de
conductores.

6. 6
1.2 SISTEMAS TRIFASICOS. CONCEPTOS BASICOS.
Un sistema de tensiones trifásicas se representa por un conjunto de tres tensiones
senoidales(ó cosenoidales), de igual magnitud y desfasadas entre sí 120°. La formulación
matemática tiene dos situaciones posibles, lo cual genera el concepto de secuencia para el
sistema trifásico.
Se define la secuencia
positiva
del
sistema
cuando las tensiones son
dadas por:
va(t) = Vmáx senwt
vb(t)= Vmáx sen(wt-120°)
vc(t)=Vmáx sen(wt+120°)
En este caso la referencia
es la fase a; la tensión de
la fase b atrasa en 120° a
la fase a y la de la fase c
adelanta en 120° a la fase
a. Esto se muestra en la
Figura 1.4.
Figura 1.4 Secuencia positiva
Para
la
secuencia
negativa se tendrá que:
va(t) = Vmáx senwt
vb(t)=Vmáxsen(wt+120°)
vc(t) =Vmáx sen(wt-120°)
Esto se muestra en la
Figura 1.5
Figura 1.5 Secuencia negativa

7. 7
1.3 NOTACION FASORIAL.
Como las tensiones son de tipo senoidal y de igual frecuencia, es posible usar la
transformada fasor para su representación en el dominio de la frecuencia.
Si se selecciona la tensión va(t) como referencia, los fasores asociados son:
Va = Vn/0°
Vb = Vn/-120°
Vc = Vn/120°
secuencia positiva.
Va = Vn/0°
Vb = Vn/120°
Vc = Vn/-120°
secuencia negativa
Estos fasores corresponden a la diferencia de potencial entre el neutro del sistema y cada
una de las líneas.
Determinaremos las diferencias de potencial entre Va, Vb y Vc:
Secuencia positiva
Vab = Va- Vb = Vn/0° - Vn/-120° = 3 Vn /30° = VL/30°
Vbc = Vb- Vc = Vn/-120° - Vn/120° = 3 Vn /-90° = VL/-90°
Vca = Vc- Va = Vn/120° - Vn/0° = 3 Vn /150° = VL/150°
Secuencia negativa
Vab = Va- Vb = Vn/0° - Vn/120° = 3 Vn /-30° = VL/-30°
Vbc = Vb- Vc = Vn/120° - Vn/-120° = 3 Vn /90° = VL/90°
Vca = Vc- Va = Vn/-120° - Vn/0° = 3 Vn /-150° = VL/-150°
Estas diferencias de potencial se denominan tensiones o voltajes de línea o entre líneas.
Asignaremos como voltaje de referencia para nuestro sistema trifásico, la tensión Vab, con
lo cual nuestros fasores quedan definidos como:
Vca
Secuencia positiva
Va = Vn/-30°
Vb = Vn/-150°
Vc = Vn/90°
Vab = 3 Vn /-30° = VL/0°
con VL = 3 Vn.
Vbc = 3 Vn /-120° = VL/-120°
Vca = 3 Vn /120° = VL/120°
sec (+)
Vab
Vbc
Vbc
Secuencia negativa
Va = Vn/30°
Vb = Vn/150°
Vab = 3 Vn /0° = VL/0°
Vbc = 3 Vn /120° = VL/120°
Vca = 3 Vn /-120° = VL/-120°
sec (-)
Vc = Vn/-90°
Vab
Vca

8. 8
1.4 CONEXIÓN DE CARGAS EN UN SISTEMA TRIFÁSICO.
Las formas típicas de conexión de las cargas trifásicas se indican a continuación:
a) Cargas equilibradas o desequilibradas, conectadas en delta o triángulo.
b) Cargas equilibradas o desequilibradas, conectadas en estrella, con o sin neutro.
Analizaremos en detalle cada una de las alternativas de conexión de las cargas trifásicas.
En todos los casos se supondrá secuencia positiva y como referencia la tensión Vab, es
decir:
Vab= Vab/0°= VL/0°.
1.4.1 CARGAS DESBALANCEADAS CONECTADAS EN DELTA ( Δ).
En la Figura 1.6 se muestran tres cargas
distintas conectadas en delta. Los valores de
tensión y corriente en la carga se designarán
como valores de fase.
Se suponen conocidas las cargas y las tensiones
del sistema.
Plantearemos ecuaciones de nudo en cada
punto de conexión de nuestras cargas, lo cual
nos lleva a las siguientes expresiones:
Figura 1.6 Carga en delta
desbalanceada
Ia + Ica = Iab
Ib+Iab= Ibc
Ic+Ibc= Ica
Ia = Iab-Ica
Ib = Ibc-Iab
Ic = Ica-Ibc
Con: (Ia, Ib, Ic) corrientes de línea, (Iab, Ibc, Ica) corrientes de fase.
En función de las tensiones de la red:
Iab = Vab/Zab Ibc = Vbc/Zbc
Ica = Vca/Zca
Potencias en el sistema trifásico.
La potencia activa P es igual a la suma aritmética de las potencias parciales en las cargas,
P3φ = Pab + Pbc + Pca
Pab = Vab ∗ Iab ∗ cos φab = Rab*I2ab, expresiones idénticas para las otras cargas.
La potencia reactiva Q es igual a la suma algebraica de las potencias reactivas parciales,
asumiendo Q(+) para cargas inductivas y Q(-) para las cargas reactivas capacitivas.
Q3φ = Qab + Qbc + Qca , donde Qab = Vab ∗ Iab ∗ sen φab = Xab*I2ab
La potencia aparente trifásica será: S 3φ = P 2 3φ + Q 2 3φ

9. 9
El factor de potencia FP está definido como: FP = P3φ ÷ S 3φ
Analicemos un ejemplo numérico de la situación anterior:
Ejemplo 1:
Sea: Zab = 10/0° Zbc = 10/45° Zca = 10/-45°
Voltaje de línea de 200 volts, secuencia positiva; esto define
los fasores de voltajes de línea como:
Vab = 200/0° Vbc = 200/-120° Vca = 200/120°
Determinaremos las corrientes de línea, de fase, potencias y factor
de potencia.
Cálculo de corrientes de fase:
Iab = Vab/Zab = 200/0° / 10/0° = 20/0°
Ibc = Vbc/Zbc = 200/-120° / 10/45° = 20/-165°
Ica = Vca/Zca = 200/120° / 10/-45° = 20/165°
Cálculo de corrientes de línea:
Ia = Iab-Ica = 39.31-j5.176 = 39.64/-7.5°
Ib = Ibc-Iab = -39.31+j5.176 = 39.64/172.49°
Ic = Ica-Ibc = j10.352 = 10.352/90°
Cálculo de las potencias:
Pab= 200*20*cos0° = 4000 Pbc= 200*20*cos45° = 2828.42
Pca=200*20*cos-45°=2828.42
P3φ = 9656.85( watts )
Qab= 200*20*sen0°= 0 Qbc=200*20*sen45° =+2828.42(var)
Qca = 200*20*sen(-45°)= - 2828.42(var)
Q3φ = 0(var)
S 3φ = 9656.85(va )
FP = P3φ ÷ S 3φ = 1
El diagrama fasorial se muestra en la Figura 1.7.
Vca
DIAGRAMA FASORIAL
Ica
Ic
Vab
Iab
Ib
Ibc
Ia
Vbc
Figura 1.7 Diagrama fasorial

10. 10
1.4.2 CARGAS BALANCEADAS CONECTADAS EN DELTA ( Δ).
Usando como fasor de referencia la tensión Vab,
plantearemos las ecuaciones de corriente en cada vértice
del triángulo de conexión de las cargas equilibradas.
Usando la Figura 1.8 y mediante la aplicación de la ley
de Ohm:
Iab = (Vab ÷ Z / ϕ ) = (VL ÷ Z )/ − φ = If / − φ
Ibc = (Vbc ÷ Z / ϕ ) = (VL ÷ Z )/ − 120 − φ = If / − 120 − φ
Ica = (Vca ÷ Z / ϕ ) = (VL ÷ Z )/ 120 − φ = If / 120 − φ
Figura 1.8
con If = (VL ÷ Z ) , definida como módulo de la corriente de fase o corriente en la carga.
Las corrientes de fase forman un sistema de fasores de igual magnitud y desfasados 120°
entre sí.
Para las corrientes de línea, se tiene que:
Ia = Iab − Ica
Ib = Ibc − Iab
Ic = Ica − Ibc
Aplicando las identidades trigonométricas:
cos(α − β ) = cosα * cos β + sen α * sen β ;
sen(α − β ) = sen α * cos β − cosα * sen β
se tendrá que:
Ia = 3 * If / − 30 − φ °
Ib = 3 * If / − 150° − φ
Ic = 3 * If / 90° − φ
De estos resultados, se desprende que las corrientes de línea presentan las siguientes
características:
-
Sus módulos son 3 mayores que las corrientes de fase.
Cada corriente de línea atrasa en 30° a la respectiva corriente de fase, esto para la
situación de secuencia positiva.
Los fasores de corriente de línea forman un sistema equilibrado, desfasados 120° entre
sí y de igual magnitud.
Esto nos indica que para el caso de una carga equilibrada en delta y secuencia positiva,
basta con calcular o conocer una de las seis corrientes del sistema, ya que las otras se
calculan fácilmente debido a las condiciones indicadas anteriormente.
En relación a las potencias , las ecuaciones para este caso equilibrado en delta son:
P3φ = Pab + Pbc + Pca =3*Pab= 3 ∗ VL * I f * cos φ = 3 * VL * ( I L ÷ 3 ) ∗ cos φ .
Racionalizando esta última expresión:
P3 φ = 3 * V L * I L ∗ cos φ
De igual manera, la potencia reactiva trifásica es:
Q3 φ = 3 * V L * I L ∗ sen φ

11. 11
Con las expresiones anteriores, la potencia aparente trifásica es:
S3 φ = 3 * V L * I L
El factor de potencia es igual a : FP = cos φ
El carácter equilibrado de las cargas permite obtener expresiones de potencias más simples.
Presentamos a continuación un ejemplo típico de esta forma de conexión.
Ejemplo 2:
Se tienen tres cargas conectadas en delta, cada una de 5/45°. El sistema trifásico es de 200
volt, secuencia positiva. Calcular: fasores de las corrientes de fase y de línea, potencias y
factor de potencia; dibuje el diagrama fasorial.
Solución:
Tomando como referencia la tensión de línea Vab:
Vab = 200/0°
Vbc = 200/-120°
Vca = 200/120°
Cálculo de las corrientes de fase:
Iab = Vab ÷ Z = 200/ 0° ÷ 5/ 45° = 40 / − 45°
Ibc = 40/ − 165°
Ica = 40/ 75°
Cálculo de las corrientes de línea:
Ia = 40 * 3 / − 75°
Ib = 40 * 3 / 165°
Ic = 40 * 3 / 45°
Es decir, a partir de la corriente de fase Iab se calcularon las otras corrientes del sistema.
Cálculo de las potencias:
P3φ = 3 * 200 * 40 * 3 * cos 45° = 16968( watts)
Q3φ = 3 * 200 * 40 * 3 * sen 45° = 16968(var)
S 3φ = 3 * 200 * 40 * 3 = 24000(va )
FP = cos φ = 0.707
En la Figura 1.9 se presenta el diagrama fasorial del ejemplo.
Ic
Ica
Ib
Ibc
Iab
Ia
Figura 1.9 Diagrama fasorial

12. 12
1.4.3
CARGA DESBALANCEADA CONECTADA EN ESTRELLA
CON NEUTRO.
El conductor neutro tiene dos funciones dentro del
sistema, conduce el desbalance de corriente de la
carga conectada en estrella y además, lo que es
más importante, mantiene la magnitud del voltaje
en la carga a un valor igual a la tensión línea
neutro. El circuito se muestra en la Figura 1.10.
Figura 1.10
Las corrientes de línea no forman un sistema de fasores equilibrados. Las ecuaciones para
resolver este caso son las siguientes:
| Ia = Van ÷ Za
Ib = Vbn ÷ Zb
Ic = Vcn ÷ Zc
In = Ia + Ib + Ic
El cálculo de las potencias y del factor de potencia se debe realizar en forma idéntica al
caso delta desequilibrado.
Analicemos un ejemplo de esta conexión:
Ejemplo 3:
Para el sistema de la figura, supongamos: Za = 20/0°, Zb= 20/45°, Zc= 20/-45°
Vab= 200/0°
Vbc= 200/-120°
Vca= 200/120°
Determinar las corrientes, potencias y factor de potencia del sistema.
Solución:
Las tensiones al neutro son:
Van = VaN = Va = 200 ÷ 3 / − 30° = 115.47 / − 30°
Vbn = VbN = Vb = 200 ÷ 3 / − 150° = 115.47 / − 150°
Vcn = VcN = Vc = 200 ÷ 3 / 90° = 115.47 / 90°
Cálculo de las corrientes de línea (o de fase).
Ia = Va ÷ Za = 115.47 / − 30° ÷ 20/ 0° = 5.77 / − 30°
Ib = Vb ÷ Zb = 115.47 / − 150° ÷ 20/ 45° = 5.77 / − 195°
Ic = Vc ÷ Zc = 115.47 / 90° ÷ 20/ − 45° = 5.77 / 135°
In = Ia + Ib + Ic = 5.27 / 150°
Cálculo de las potencias.
P3 = Pa+Pb+Pc=115.47*5.77*cos0°+115.47*5.77*cos45°+115.47*5.77*cos-45° = 1608.4
Q3 = Qa+Qb+Qc = 115.47*5.77*sen0°+115.47*5.77*sen45°+115.47*5.77*sen-45° = 0
S 3 = P3
FP = 1
Diagrama fasorial
φ
φ
φ
φ
Ic
In
Ib
Ia

13. 13
1.4.4 CARGA DESBALANCEADA CONECTADA EN ESTRELLA SIN
NEUTRO.
Sin el conductor neutro, las impedancias conectadas en
estrella tendrán voltajes distintos de la magnitud de
línea a neutro, esto considerando que los puntos N y n
no son el mismo punto
La solución se puede plantear usando dos ecuaciones
de mallas, lo cual nos permite escribir que para el
circuito de la Figura 1.11 :
Figura 1.11
Vab = Ix ∗ ( Za + Zb) − Iy ∗ Zb
Vbc = − Ix ∗ Zb + Iy ∗ ( Zb + Zc )
Del sistema planteado se calculan las corrientes Ix e Iy, con lo cual:
Ia = Ix
Ib = Iy-Ix Ic = -Iy
Cálculo de las tensiones:
Van = Za*Ia
Vbn = Zb*Ib
Vcn = Zc*Ic
Voltaje entre N(+) y n(-)
VNn = -VaN+Za*Ia = -VbN+Zb*Ib= -VcN+Zc*Ic
Este voltaje, VNn, se denomina voltaje de desplazamiento del neutro.
El cálculo de potencias y factor de potencia se realiza en idéntica forma que para el sistema
en delta desequilibrado.
Analizaremos lo que sucede para el sistema del ejemplo 3 si no existe el conductor neutro
en la carga.
Ejemplo 4:
Recordemos que:
Za = 20/0°, Zb= 20/45°, Zc= 20/-45° Vab= 200/0°
Vbc= 200/-120°
Vca= 200/120°
Determinar corrientes de línea, voltajes en cada carga, desplazamiento del neutro, potencias
y factor de potencia.
Planteando el sistema de ecuaciones indicado anteriormente:
200/ 0° = Ix * (20/ 0° + 20/ 45°) − Iy * 20/ 45°
200/ − 120° = −Ix * 20/ 45° + Iy * (20/ 45° + 20/ − 45°)
La solución del sistema es:
Ix = 8/-30°
Iy= 5/-67.51°
Con estos valores, las corrientes de línea son:
Ia = Ix= 8/-30°
Ib= Iy-Ix = 5.038/-173°
Ic= -Iy = 5/112.49°
Los voltajes en cada impedancia son:
Van = Ia*Za = 8/-30° * 20/0° = 160/-30°
Vbn = Ib*Zb = 5.038/-173° * 20/45° = 100.76/-128°
Vcn = Ic*Zc = 5/112.49° * 20/-45° = 100/67.49°

14. 14
Comparando estos valores con los obtenidos en el ejemplo 3, se aprecia que para la carga
conectada en la línea a, Za, se produce un aumento de la corriente y de la tensión en
aproximadamente un 39%, lo cual evidentemente es perjudicial para esa carga en particular.
Por supuesto que las otras cargas sufren el problema inverso, es decir, una disminución en
sus variables de voltaje y corriente.
La diferencia de potencial que se establece entre N(+) y n(-) es:
VNn = -VaN + Za*Ia = -115.47/-30° + 20/0° * 8/-30° = 44.52/-30°
Esta diferencia de potencial se denomina desplazamiento o corrimiento del neutro.
Cálculo de las potencias:
P 3φ = Pa + Pb + Pc Pa = 20*82 = 1280(watt) Pb= 358.94(var) Pc= -353.5(var)
P 3φ =1992.44(watt)
Q 3φ =Qa + Qb + Qc = 0+358.94-353.5 = 5.44(var)
S 3φ = P 2 3φ + Q 2 3φ = 1992.44 (va)
FP= 1
1.4.5 CARGA BALANCEADA CONECTADA EN ESTRELLA.
Supondremos inicialmente el sistema con neutro
conectado y las tensiones en secuencia positiva, con
Vab como referencia, el cual se muestra en la
Figura 1.12.
Vab= VL/0° Vbc= VL/-120° Vca= VL/120°
Va = (V L ÷ 3 ) / − 30° Vb = (VL ÷ 3 ) / − 150 °
Vc = (VL ÷ 3 ) / 90°
Figura 1.12
Las corrientes, como las impedancias son idénticas, forman un sistema de fasores
equilibrados, iguales módulos y desfasadas entre sí 120°.
Lo anterior significa que la suma de estas corrientes, In, es igual a cero, lo que equivale a
desconectar o abrir el conductor neutro. Es decir, en un sistema en estrella con carga
equilibrada no tiene incidencia la existencia del conductor neutro.
Por otra parte, como el sistema es equilibrado, sólo es necesario estudiar una de las fases
del sistema para determinar todas las tensiones y corrientes.
El circuito así formado se denomina circuito monofásico equivalente, el cual es
fundamental para simplificar el estudio de sistemas trifásicos equilibrados, en que las

15. 15
cargas están conectadas en paralelo y sea necesario incorporar las impedancias de las líneas
de alimentación.
Si existen cargas equilibradas conectadas en delta, es
necesario realizar una simple transformación a estrella
para poder aplicar este circuito monofásico. En ese caso,
Z Υ = Z Δ ÷ 3.
En la Figura 1.13 se muestra el circuito monofásico, para
lo cual usaremos la fase a.
Figura 1.13
Ia = Va N ÷ Z = Va ÷ Z
Va = (V L ÷ 3 ) / − 30°
En relación a las potencias y factor de potencia, tendremos que:
P3φ = Pa + Pb + Pc =3*Pa= 3 ∗ V f * I L * cos φ = 3 * (VL ÷ 3 ) * I L ∗ cos φ .
Racionalizando esta última expresión:
P3 φ = 3 * V L * I L ∗ cos φ
De igual manera, la potencia reactiva trifásica es:
Q3 φ = 3 * V L * I L ∗ sen φ
Con las expresiones anteriores, la potencia aparente trifásica es:
S3 φ = 3 * V L * I L
El factor de potencia es igual a: FP = cos φ
Por la importancia del circuito monofásico, analizaremos tres ejemplos, los cuales se
indican a continuación.
Ejemplo 5:
Se tiene un sistema trifásico equilibrado, secuencia
positiva, voltaje de línea 380 volt, el cual alimenta una
carga trifásica equilibrada, conectada en estrella, con ZY =
10/45° , el cual se muestra en la Figura 1.14.
Determinar: a) corrientes de línea. b) potencias totales. c)
factor de potencia total.
Solución:
Figura1.14
Asumiendo como referencia a Vab, Va = 220/-30°, y usando el circuito monofásico
equivalente:
Corrientes de línea.
Ia = (220/-30° )/10/45° = 22/-75°
Ib = 22/-195°
Ic = 22/45°
Potencias totales.
Ptotal = Pa + Pb + Pc = 3 ∗ P1φ = 3 ∗ Pa = 3 ∗ 220 * 22 * cos 45° = 10267.19( watts )
Qtotal = Qa + Qb + Qc = 3 ∗ Q1φ = 3 ∗ Qa = 3 ∗ 220 * 22 * sen 45° = 10267.19(var)
S total = P 2 + Q 2 = 14520(VA)
FP = Ptotal ÷ S total = 0.707

16. 16
También, usando las ecuaciones anteriores de potencia tendremos(desarrollar):
P3 φ = 3 * V L * I L ∗ cos φ
Q3 φ = 3 * V L * I L ∗ sen φ
S3 φ = 3 * V L * I L
FP = cos φ siendo φ el ángulo de la impedancia Z.
Ejemplo 6:
Se tienen tres impedancias iguales de valor Z = 15/30° conectadas a un sistema trifásico
con voltaje de línea de 100 volt, secuencia positiva. Calcule las corrientes de línea y las
potencias trifásicas si las cargas se conectan: a) en estrella b) en delta c)repita el cálculo
anterior si la secuencia es negativa.
Solución:
Caso a: Como se trata de un sistema equilibrado en estrella, calcularemos los valores
pedidos usando el circuito monofásico equivalente.
Vab = 100/0°
Va = (100 ÷ 3 ) / − 30°
Cálculo de corrientes:
Ib= 3.848/-180°
Ic = 3.848/60°
Ia = Va ÷ Z = 3.848/ − 60°
Cálculo de las potencias:
P3 φ = 3 * V L * I L ∗ cos φ = 3 * 100 * 3.848 ∗ cos 30° = 577 .2( w)
Q3 φ =
3 * VL * I L ∗ sen φ = 3 *100 * 3.848 * sen 30° = 333 .2(var)
S3 φ = 3 * VL * I L = 3 *100 * 3.848 = 666 .49(va )
FP = cos φ = cos30°=0.866
Caso b: En este caso, a partir de la corriente de fase Iab determinaremos las corrientes de
línea.
Cálculo de corrientes:
Iab= 100/0° / 15/30° = 6.666/-30°
Ia = 3 * Iab/ − 30° − 30° = 11.547/-60° Ib= 11.547/-180° Ic = 11.547/60°
Cálculo de potencias:
P3 φ = 3 *100 *11.547 ∗ cos 30° = 1732( w)
Q3 φ =
3 *100 *11.547 * sen 30° = 1000(var)
S3 φ = 3 *100 *11.547 = 2000(va )
FP = cos φ = cos30°=0.866
Caso c: Como las cargas están conectadas a un sistema trifásico con secuencia negativa, los
fasores de tensiones son:
Vab= 100/0° Vbc= 100/120° Vca= 100/-120°
Caso a (cargas en estrella):
Cálculo de corrientes:
Ia= (57.73/30° )/15/30° = 3.848/0° Ib = 3.848/120° Ic = 3.848/-120°
Cálculo de potencias:
P3 φ = 3 * V L * I L ∗ cos φ = 3 * 100 * 3.848 ∗ cos 30° = 577 .2( w)

17. 17
Q3 φ =
3 * VL * I L ∗ sen φ = 3 *100 * 3.848 * sen 30° = 333 .2(var)
S3 φ = 3 * VL * I L = 3 *100 * 3.848 = 666 .49(va )
FP = cos φ = cos30°=0.866
Caso b (cargas en delta):
Cálculo de corrientes:
Iab= 100/0° / 15/30° = 6.66/-30°
Ia= 11.547/-30+30° = 11.547/0°
Ib = 11.547/120° Ic = 11.547/-120°
Cálculo de potencias:
P3 φ = 3 *100 *11.547 ∗ cos 30° = 1732( w)
Q3 φ =
3 *100 *11.547 * sen 30° = 1000(var)
S3 φ = 3 *100 *11.547 = 2000(va )
FP = cos φ = cos30°=0.866
Ejemplo 7:
En el circuito de la Figura 1.15 la carga
tiene 380 volt, secuencia positiva y
absorbe 7.9 kVA con un factor de potencia
de 0.707 en adelanto.
Determinar:
a) Vab
b) Z
Figura1.15
Solución: Usando el circuito monofásico equivalente, con el voltaje de línea en la carga
como referencia, tendremos:
Vxy= (380 / 3 ) / − 30° = 220/-30°
Cálculo de la corriente Ia.
7.9 (kVA) = 3 ∗ 380 ∗ I
I = 12(A)
Ia= 12/45°-30° = 12/15° ya que Z es de carácter capacitivo.
Cálculo de Vab:
Van= 220/-30° + 12/15° *(3+j4) = 219.6/-14.31°
Vab = 219.6* 3 /-14.31°+30° =380.35 /15.69°
Cálculo de Z:
Z = 220/12 = 18.33
Z = 18.33/-45°

18. 18
1.5 MEDICION DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS.
A primera vista, la medida de la potencia en una carga trifásica parece un problema
sencillo. Necesitamos solamente conectar un wáttmetro en cada una de las fases y sumar
los resultados. En la figura se muestra como ejemplo las conexiones para una carga
conectada en estrella. Cada wáttmetro mide la corriente en cada fase de la carga y la bobina
de tensión está conectada entre una línea y el neutro. Este método es teóricamente correcto,
pero puede resultar inaplicable en la práctica, ya que el neutro de la estrella no suele ser
accesible y no es corriente disponer de las fases si las cargas están conectadas en delta.
Evidentemente se necesita un método para medir la potencia total de una carga trifásica que
sólo tiene tres terminales accesibles y que puede ser equilibrada o desequilibrada.
Conectemos tres wättmetros de tal modo
que cada uno de ellos tenga su bobina de
corriente en una línea y su bobina de
tensión entre esta línea y algún punto
común X, tal como se muestra en la
Figura 1.16. Aunque se muestra el caso
para una carga en estrella, los
argumentos son también válidos para una
carga conectada en delta.
Figura 1.16
El punto X puede ser algún punto del sistema trifásico, o puede, simplemente, ser un punto
del espacio, en el cual las tres bobinas de tensión tienen un nudo común.
T
La potencia media indicada por el wáttmetro A debe ser:
P = (1 ÷ T ) ∫ eAX iaA dt
0
En donde T es el período de las tensiones del sistema. Las lecturas de los otros dos
wáttmetros están dadas por expresiones similares y la potencia media total es:
T
P = PA + PB + PC = (1 ÷ T ) ∫ (eAX iaA + eBX ibB + eCX icC )dt
0
Cada una de las tensiones de la expresión anterior se pueden escribir en función de una
tensión de fase y de la tensión entre el punto X y el neutro:
eAX = eAN + eNX
eBX = eBN + eNX
eCX = eCN + eNX

19. 19
Usando estas relaciones en la ecuación de potencia total:
T
T
0
0
P = (1 ÷ T ) ∫ (eANiaA + eBNibB + eCNicC )dt + (1 ÷ T ) ∫ eNX (iaA + ibB + icC )dt
Como la carga trifásica puede ser considerada como un supernudo, y de acuerdo a la ley de
Kirchhoff de corrientes:
T
iaA + ibB+ icC = 0 , con lo cual:
P = (1 ÷ T ) ∫ (eANiaA + eBNibB + eCNicC )dt
0
Esta suma representa realmente la potencia total del sistema trifásico, ya que cada sumando
de la integral es la potencia de cada carga.
Como el punto X, conexión común de las tres bobinas de tensión, puede estar situado en
cualquier ubicación sin que afecte la suma algebráica de los wáttmetros, consideremos el
efecto que se produce al ubicarlo directamente en una de las líneas del sistema trifásico.
Si por ejemplo, un extremo de cada bobina de tensión se retorna a B, se tiene entonces que
no existe tensión a través de la bobina de tensión del wáttmetro B y su medición será cero.
Este wáttmetro puede suprimirse, y la suma algebráica de los dos wáttmetros restantes es la
potencia total trifásica.
Cuando el punto X se escoge de esta manera, este método de medida se define como el
método de los dos wáttmetros. La suma algebráica indica la potencia total
independientemente del desequilibrio de las cargas y de la forma de conexión.
Analizaremos las distintas opciones para la conexión de los wáttmetros en un sistema
trifásico de tres conductores. Para esto usaremos el circuito trifásico que se muestra en la
Figura1.17:
Figura 1.17
La potencia total trifásica debe ser igual a la suma algebráica de los wáttmetros que tengan
en común la misma referencia de tensión, con lo cual se tienen tres opciones para la
medición de la potencia trifásica:
P3 = W1+W5 = W2 + W3 = W4 + W6
φ

20. 20
Veamos algunos ejemplos de medición de potencia activa trifásica.
Ejemplo 8:
Sea: Zab = 10/0° Zbc = 10/45°
Zca = 10/-45°
Voltaje de línea de 200 volts, secuencia positiva;
esto define los fasores de voltajes de línea como:
Vab = 200/0° Vbc = 200/-120°
Vca = 200/120°
Determinaremos la lectura de dos wáttmetros
conectados para medir la potencia trifásica total,
como se muestra en la Figura 1.18
Solución:
Figura 1.18
Usando como referencia la línea B, las lectura de un wáttmetro conectado en A y otro en C
son:
WA = VAB * IA * cos(VAB,IA)
WC = VCB * IC * cos(VCB,IC)
Usando los valores de las corrientes calculados en el Ejemplo 1, tendremos que:
Ia = 39.64/-7.5° Ib = 39.64/172.49°
Ic = 10.352/90°
WA =200*39.64*cos(0°-(-7.5°)) = 200*39.64*cos(7.5°)= 7860.17 [watt]
WC =200*10.352*cos(60°-90°) = 200*10.352*cos(-30°) = 1793 [watt]
P3 = WA +WC = 9653.17[watt]
φ
Se plantea como ejercicio, calcular la potencia usando las otras alternativas de conexión de
los wáttmetros.
Ejemplo 9:
Para el mismo sistema del Ejemplo 8, sean:
Zab= 10/-70°, Zbc= 10/30°, Zca = 10/70°, voltaje
de línea 100 volt, secuencia positiva. Determinar
las lecturas de los wátmetros WA y WC de la Figura
1.19
Solución:
Vab = 100/0°, Vbc= 100/-120°, Vca= 100/120°
Corrientes de fase:
Iab = 10/70°, Ibc= 10/-150°, Ica= 10/50°
Corrientes de línea:
Ia= Iab-Ica= 3.51/149°, Ic= Ica-Ibc= 19.8/39.6°
Lectura de los wáttmetros:
WA = Vab*Ia*cos(Vab, Ia)= 100*3.51*cos(-149°)= -301 [watt]
Figura 1.19

21. 21
WC = Vcb*Ic*cos(Vcb, Ic)= 100*19.8*cos(60°-39.6°)= 1852[watt]
Wtotal = -301+1852= 1551 [watt]
La potencia total es igual a la suma algebráica de las lecturas parciales.