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Polinomios

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  • 1. TRIGONOM ETRÍA Autor: Jesús Samper
  • 2.
    • Grados minutos y segundos
    • Radianes
    • Reglas de conversión entre grados y radianes
    MEDIDA DE ANGULOS
  • 3. Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos . Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia . Las equivalencias son las siguientes: 360º = un giro completo alrededor de una circunferencia 180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia 90º = 1/4 de vuelta 1º = 1/360 de vuelta, etc.
    • Grados, minutos y segundos
    1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
  • 4. También se puede definir otra unidad angular, el radián , que en las aplicaciones físicas es mucho m á s práctico y directo que trabajar con grados. Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio .
    • Radian
  • 5.
    • Conversión entre grados y radianes
    La medida en radianes (a) entre un ángulo de  grados se obtiene mediante la proporción: Ejemplos:
  • 6. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
    • Vamos a estudiar un ángulo  . Tomamos un punto cualquiera P . En el consideramos:
    • Su abscisa x (que puede ser positiva o negativa)
    • Su ordenada y (que puede ser positiva o negativa)
    • Su distancia al origen r (siempre positiva por ser una distancia)
    En el triángulo OPQ: x es el cateto contiguo, y es el cateto opuesto y r la hipotenusa.
  • 7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 
  • 8. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera El valor de las razones trigonométricas no depende del punto P(x,y) elegido. Si elegimos otro punto P‘(x‘,y‘) se tiene que: En virtud del teorema de Thales:
  • 9. Relación entre razones trigonométricas
    • De un ángulo
    • De ángulos diferentes
  • 10. Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo sen a cos a 1
    • Teorema fundamental de la trigonometría
    sen 2 a + cos 2 a = 1 Aplicando Pitágoras
    • Dividiendo por sen 2 a o cos 2 a:
    • 1 + tg 2 a = sec 2 a
    • 1 + cotg 2 a = cosec 2 a
    Para saber más Circunferencia goniométrica a
  • 11. Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos distintos
    • Ángulos complementarios
    • Ángulos suplementarios
    • Ángulos que se diferencian en 180º
    • Ángulos opuestos
  • 12. sen a cos a sen (90º-a) cos(90º-a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS sen a = cos (90º-a) cos a = sen (90º-a) tg a = cotg (90º-a) El complementario del ángulo a es 90º-a Las razones trigonométricas del ángulo a son: Las razones trigonométricas del ángulo 90º-a son: Comprobamos que: Para saber más 90º-a a
  • 13. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS sen a cos a sen (180º-a) cos (180º-a) sen a = sen (180º-a) cos a = - cos (180º-a) tg a = - tg (180º-a) El suplementario del ángulo a es el ángulo 180º-a Las razones trigonométricas del ángulo a son: Las razones trigonométricas del ángulo 180º-a son: Observamos que: a 180º-a Para saber más
  • 14. ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º Las razones trigonométricas del ángulo a son: sen a cos a Las razones trigonométricas del ángulo 180º+a son: sen(180º+a) cos(180º+a) Comprobamos que: sen a = - sen(180º+a) cos a = - cos(180º+a) tg a = tg(180º+a) a 180º+a Para saber más
  • 15. ÁNGULOS OPUESTOS Las razones trigonométricas del ángulo a son: sen a cos a Las razones trigonométricas del ángulo –a son: cos (-a) sen (-a) Comprobamos que: sen a = - sen (-a) cos a = cos (-a) tg a = - tg (-a) a -a Para saber más
  • 16. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA
  • 17. Resolución de triángulos rectángulos
    • La suma de los dos ángulos agudos es igual a 90º: B+C=90º
    • Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2
    • Razones trigonométricas seno, coseno y tangente: sen B = b/a = cos C cos B = c/a = sen C tg B = b/c ; tg C = c/b
    a b c A B C
  • 18. Teorema de los senos (en un triángulo cualquiera)
    • El teorema del seno afirma que en un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos: a/sen A = b/sen B = c/ sen C.
    • Interpretación geométrica del teorema del seno: a/senA = b/senB = c/senC = 2R Donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
    b a c C A B
  • 19. Teorema de los cosenos (en un triángulo cualquiera)
    • El teorema del coseno afirma que en un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.
    • a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos A
    • b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos B
    • c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos C
    b a c C A B
  • 20. Resolución de triángulos cualesquiera
    • Para resolver un triángulo cualquiera tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:
    • La suma de sus ángulos es igual a 180º.
    • El teorema del seno.
    • El teorema del coseno.
    • Según los datos del problema podemos considerar tres casos:
    • CASO I : conocidos dos lados y el ángulo comprendido.
    • CASO II : conocidos los tres lados.
    • CASO III : conocidos un lado y dos ángulos.
  • 21. CASO I : conocidos a,b y C. CASO II : conocidos a, C y B. CASO III : conocidos a, b y c. b a C a C B b a c
  • 22. Área de un triángulo
    • S = (1/2) · b · a · sen C
    • S = (1/2) · b · c · sen A
    • S = (1/2) · a · c · sen B
    • S = (a · b · c) / (4 · R) donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
    • Fórmula de Herón : S =  (p · (p-a) · (p-b) · (p-c)) donde p es el semiperímetro del triángulo, p = (a+b+c)/2