materia operativa II

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA II
EL MÉTODO DEL TRANSPORTE
Es un método de programación lineal que nos permite asignar artículos de un conjunto
de orígenes a un conjunto de destinos de tal manera que se optimice la función objetivo.
Esta técnica se utiliza especialmente en organizaciones que producen el mismo producto
en numerosas plantas y que envía sus productos o diferentes destinos.
La cantidad de orígenes deben ser igual a la cantidad de destinos.
ORÍGENES DESTINOS
FUENTES
UNIDADES DE
DEMANDA
UNIDADES DE
OFERTA
a1
a2
am
1
2
m
1
2
m
D1
D2
Dm

2. 1. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado (Rectas)
2. Deben ser uniformes e intercambiables, los coeficientes de todas las variables en
la ecuación deber ser 0 o 1
3. La suma de las capacidades debe ser igual a la suma de los requerimientos de los
destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura deberá ser
añadida.
Se han desarrollado diferentes enfoques, tales como:
1. Método de la Esquina del Noroeste (celda mínima)
2. Método de aproximación de VOGEL
3. Método de distribución modificada MODI o DIMO
4. Método del trampolín (cruce del arroyo, sleeping Stone)
5. Método simplex
Para que un problema sea solucionado por el método de transporte, este debe reunir
tres condiciones:
a) Las funciones objetivo y las restricciones deben ser lineales
b) Los coeficientes de todas las variables en la ecuación deben ser 0 o 1
c) La suma de las capacidades de las fuentes deben ser igual a la suma de los
requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de
holgura deberá ser añadida.
MÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTE
Es un método de programación lineal hecho a mano para encontrar una solución inicial
factible del modelo, es el método más fácil al determinar una solución inicial del
modelo, es el método más fácil al determinar una solución acertada bajo costo.

3. Los pasos para solucionar un problema de programación lineal por este método son:
1. Seleccionar la celda de la esquina noroeste
2. Hacer el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste
3. Corregir los números del suministro y requerimientos para reflejar lo que va
quedando de suministro y requerimiento y regrese al paso 1
EJERCICIO 1
Usted elabore un planeamiento problema para la siguiente tabla, posteriormente
residuo y analice.
Los dueños Enrique Benavides, Ernesto Robles y Víctor Zavala de computadoras y
servicios una empresa líder en ventas de accesorios de computadoras y servicio
técnico necesitan hacer compras de discos duros a la empresa que van a comprar
son: CONTECH, SYSTEMAX, MAXTEL.
La oferta de COMTECH Y SYSTEMAX es de 800 unidades cada una y la de
MAXTEL es de 400 unidades cada una. La demanda de Enrique Benavides es de
600 cada uno y las demandas de Ernesto Robles y Víctor Zavala son de 700
unidades.
Necesitan que tú realices un análisis para minimizar en los costos
3 6 2
2 3 5
6 4 8

4. DESARROLLO
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 600 800
SYSTEMAX 800
MAXELL 400
DEMANDA 600 700 700 2000
AL DESTINO
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BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 600 200 200
SYSTEMAX 800
MAXELL 400
DEMANDA 0 700 700 1400
AL DESTINO
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8
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 600 200 0
SYSTEMAX 500 800
MAXELL 400
DEMANDA 0 500 700 1200
AL DESTINO
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5. Z= 600(3)+200(6)+500(3)+300(5)+400(8)
Z= 9.200 UM
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 600 200 0
SYSTEMAX 500 300 300
MAXELL 400
DEMANDA 0 0 700 700
AL DESTINO
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BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 600 200 0
SYSTEMAX 500 300 0
MAXELL 400 400
DEMANDA 0 0 400 400
AL DESTINO
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6
6
3
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2
5
8
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 600 200 0
SYSTEMAX 500 300 0
MAXELL 400 0
DEMANDA 0 0 0 0
AL DESTINO
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6. CASO Nº 2
Un país está planificando abastecerse por cuatro proveedores de petróleo ALBANIZA,
TEXAS, IRAN y PURMEREND, Nicaragua analiza las formas de envió, para proveer
localmente a la distribuidora UNO, PUMA, PETRONIC y RESERVAS. La tabla
anexada muestra los costos de embarque por cada barril de petróleo crudo. Determine la
cantidad de barriles que debe comprarse a cada proveedor para obtener el mejor costo.
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS
ALBANIZA 35 28 31 33
TEXAS 29 32 33 39
IRÁN 32 35 36 27
PURMEREND 34 31 35 18
DESARROLLO
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 520
TEXAS 485
IRAN 400
PURMEREN 235
DEMANDA 610 210 310 200 310 1640
AL DESTINO
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0
0
0

7. UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 485
IRAN 400
PURMEREN 235
DEMANDA 90 210 310 200 310 1120
AL DESTINO
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0
0
0
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 395
IRAN 400
PURMEREN 235
DEMANDA 0 210 310 200 310 1030
AL DESTINO
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0
0
0
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 185 185
IRAN 400
PURMEREN 235
DEMANDA 0 0 310 200 310 820
AL DESTINO
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0
0
0

8. UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 185 0
IRAN 125 400
PURMEREN 235
DEMANDA 0 0 125 200 310 635
AL DESTINO
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0
0
0
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 185 0
IRAN 125 200 275
PURMEREN 235
DEMANDA 0 0 0 200 310 510
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AL DESTINO
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2
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0
0
0
0
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 185 0
IRAN 125 200 75 75
PURMEREN 235
DEMANDA 0 0 0 0 310 310
AL DESTINO
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0
0
0

9. Z= 520(35)+90(29)+210(32)+185(33)+125(36)+200(27)+75(0)+235(0)
Z= 43.535 UM
MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (MAV o VAM)
Es un método heurístico es capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio,
este modelo requiere de la realización de un numero generalmente mayor de iteraciones
que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo, produce mejor
resultados iniciales que los mismos.
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE VOGEL
1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los
dos costos menores en filas y columnas.
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 185 0
IRAN 125 200 75 0
PURMEREN 235 235
DEMANDA 0 0 0 0 235 235
AL DESTINO
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2
5
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0
0
0
0
UNO PUMA PETRONIC RESERVAS XXX OFERTA
ALBANIZA 520 0
TEXAS 90 210 185 0
IRAN 125 200 75 0
PURMEREN 235 0
DEMANDA 0 0 0 0 0 0
AL DESTINO
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5
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6 4 8 8
0
0
0
0

10. 2. Escoger la fila o columna con mayor penalización determinada anteriormente se
debe escoger el número mayor. En caso de haber empate se escoge
arbitrariamente.
3. De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior
debemos de escoger la celda con el menos costo, caso de empate se tachara 1, la
restante quedara con oferta o demanda igual a 0.
4. Excepciones:
Si quedara sin tachar una fila o columna con cero, detenerse.
Si quedara sin tachar determinar las variables básicas en la fila o
columna.
Si todas las filas y columnas que no se tacharon tiene cero oferta y
demanda, determine las variables básicas cero por el método de costos
mínimos, detenerse.
Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta
que las ofertas y las demandas se hayan agotado.
CASO Nº1
DESARROLLO
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
PENALIDAD
FILA
COMTECH 700 800 1
SYSTEM 800 1
MAXELL 400 2
DEMANDA 600 700 700 2000
PENALIDAD
COLUMNA
1 1 3
AL DESTINO
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2
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3
4
2
5
8

11. Z= 2.000 UM
CASO Nº 2
Una empresa energética colombiana dispone de 4 plantas de generación para satisfacer
la demanda diaria eléctrica en 4 ciudades Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla las
plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80,30,60 y 45 millones de KW al día
respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y
Barranquilla son de 70, 40,70 y 35 millones de KW al día respectivamente. Los costos
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
PENALIDAD
FILA
COMTECH 100 700 100 3
SYSTEM 800 1
MAXELL 400 2
DEMANDA 600 700 0 1300
PENALIDAD
COLUMNA
1 1
AL DESTINO
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3
2
6
6
3
4
2
5
8
BENAVIDES ROBLES ZAVALA OFERTA
COMTECH 100 700 0
SYSTEM 500 300 0 1 2 2
MAXELL 400 0 2 4 2
DEMANDA 0 0 0 0
4 3
4 3
4 3
PENALIDAD FILA
AL DESTINO
PENALIDAD
COLUMNA
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N
3
2
6
6
3
4
2
5
8

12. asociados al envió del suministro por cada millón de KW entre cada planta y cada
ciudad son los siguientes:
CALI BOGOTÁ MEDELLÍN BARRANQUILLA
PLANTA 1 5 2 7 3
PLANTA 2 3 6 6 1
PLANTA 3 6 1 2 4
PLANTA 4 4 3 6 6
DESARROLLO
Variable
de
Decisión
Variable
de
Actividad
Costo por
Unidad
Contribución
Total
X11 35 5 175
CALI BOGOTA MEDELLIN BARRANQUILLA OFERTA
PENALIDAD
FILA
PLANTA 1 80 1
PLANTA 2 30 2
PALNTA 3 60 60 1
PLANTA 4 45 1
DEMANDA 70 40 70 35 215
PENALIDAD
COLUMNA
1 1 4 2
AL DESTINO
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5
3
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2
6
1
7
6
2
4 3 6
3
1
4
6
CALI BOGOTA MEDELLIN BARRANQUILLA OFERTA
PLANTA 1 25 40 10 5 0 1 1 1 1 4
PLANTA 2 30 0 2
PALNTA 3 60 0
PLANTA 4 45 0 1 1
DEMANDA 0 0 0 0 0
1 1 1 2
1 1 1 1
2 1 1 1
1 1 1
1 1
1
PENALIDAD
COLUMNA
D
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S
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G
E
N
PENALIDAD FILA
AL DESTINO
5
3
6
2
6
1
7
6
2
4 3 6
3
1
4
6

13. X12 40 2 80
X14 5 3 15
X24 30 1 30
X33 60 2 120
X41 35 4 140
X43 10 6 60
TOTAL: 620
Z= 620 UM
MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO (MCM)
El método del costo mínimo o de los mínimos costos es desarrollado con el objetivo de
resolver problemas de transporte, arrojando mejores resultados que el método de la
esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menos costos.
ALGORITMO DE SOLUCIÓN
PASO 1:
De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe
arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se
ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso
se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la
cantidad asignada a la celda.
PASO 2:
En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después
del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la
restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.
P1
P2
P3
P4
CALI
BOGOTÁ
MEDELLÍN
BARRANQUILLA

14. PASO 3:
Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o
columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".
La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar
nuevamente el "Paso 1".
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 20 100
DEPOSITO 2 120
DEPOSITO 3 80
DEPOSITO 4 105
DEMANDA 125 50 130 80 20 405
AL DESTINO
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0
0
0
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 20 80
DEPOSITO 2 120
DEPOSITO 3 80 80
DEPOSITO 4 105
DEMANDA 125 50 130 80 0 385
AL DESTINO
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1
3
6
3
4
3
0
0
0
0

15. A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 20 80
DEPOSITO 2 120 120
DEPOSITO 3 80 0
DEPOSITO 4 105
DEMANDA 125 50 50 80 0 305
AL DESTINO
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0
0
0
0
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 20 80
DEPOSITO 2 120 0
DEPOSITO 3 80 0
DEPOSITO 4 80 105
DEMANDA 5 50 50 80 0 185
AL DESTINO
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0
0
0
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 20 80
DEPOSITO 2 120 0
DEPOSITO 3 80 0
DEPOSITO 4 25 80 25
DEMANDA 5 50 50 0 0 105
AL DESTINO
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2
1
3
6
3
4
3
0
0
0
0

16. A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 50 20 80
DEPOSITO 2 120 0
DEPOSITO 3 80 0
DEPOSITO 4 25 80 0
DEMANDA 5 50 25 0 0 80
AL DESTINO
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4
1
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3
5
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1
3
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4
3
0
0
0
0
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 5 50 25 20 30
DEPOSITO 2 120 0
DEPOSITO 3 80 0
DEPOSITO 4 25 80 0
DEMANDA 5 0 25 0 0 30
AL DESTINO
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1
9
4
3
5
7
6
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2
1
3
6
3
4
3
0
0
0
0
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 5 50 25 20 0
DEPOSITO 2 120 0
DEPOSITO 3 80 0
DEPOSITO 4 25 80 0
DEMANDA 0 0 0 0 0 0
AL DESTINO
D
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S
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4
1
9
4
3
5
7
6
4
2
1
3
6
3
4
3
0
0
0
0

17. Variable de
Decisión
Variable
de
Actividad
Costo por
Unidad
Contribución
Total
X1A 5 4 20
X1B 50 3 150
X1C 25 4 100
X2A 120 1 120
X3C 80 1 80
X4A 25 3 75
X4D 80 3 240
Z= 785

18. MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES
Este método comienza con una solución inicial factible.
En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la
solución factible actual, en tanto se elimina una ruta usada actualmente.
En cada cambio de ruta debe cumplirse que:
1. La solución siga siendo factible y
2. Que mejore el valor de la función objetivo
El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor
de la función.
ALGORITMO
1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear una trayectoria
única del paso secuencial. Usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de
introducir a la solución cada ruta no usada.
2. Si todos los costos marginales son iguales o mayores que cero, terminar;
se tendrá la solución óptima. Si no, elegir la celda que tenga el costo marginal más
negativo (empates se resuelven arbitrariamente)
3. Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el máximo número
de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajustar la distribución
adecuadamente.
4. Regrese al paso 1
DEPOSITO 1
DEPOSITO 2
DEPOSITO 3
DEPOSITO 4
A
B
C
D
E

19. A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 100 . .. 100
DEPOSITO 2 25 50 45 … 120
DEPOSITO 3 …… ….. 80 …. 80
DEPOSITO 4 ……. …….. 5 80 20 105
DEMANDA 125 50 130 80 20 405
. .. … …. ….. …… ……. ……..
3 3 3 4 7 9 4 6
-4 -4 -2 -1 -5 -1 -1 -5
1 1 3 3 2 2 2 2
-5 -2 -3 -3 -1 -1 -3 -3
-5 -2 1 3 3 9 2 0
AL DESTINO
D
E
S
D
E
E
L
O
R
I
G
E
N
4
1
9
4
3
5
7
6
4
2
1
3
6
3
4
3
0
0
0
0
3
A B C D E OFERTA
DEPOSITO 1 50 50 . 100
DEPOSITO 2 75 .. 45 … 120
DEPOSITO 3 …. 80 ….. 80
DEPOSITO 4 …… 5 80 20 105
DEMANDA 125 50 130 80 20 405
. .. … …. ….. ……
3 5 3 9 4 4
-4 -1 -2 -1 -1 -1
1 4 3 2 3 2
-2 -3 -3 -1 -3 -3
-2 5 1 9 3 2
AL DESTINO
D
E
S
D
E
E
L
O
R
I
G
E
N
4
1
9
4
3
5
7
6
4
2
1
3
6
3
4
3
0
0
0
0
3

20. MÉTODO DE ASIGNACIÓN O MÉTODO HÚNGARO (MH)
El problema de asignación es una variedad especial del problema de transporte,
el enfoque general de este algoritmo consiste en “reducir la matriz de costos” mediante
una serie de operaciones aritméticas.
ALGORITMO
1. Reducción de filas
2. Reducción de columnas
3. Determinación de la matriz reducida, encuentre el número mínimo de
líneas restas que se pueden trazar sobre las columnas y las filas para cubrir todos los 0
ceros, si este número es igual al de renglones (columnas) se dice que la matriz es
reducida y continúe con el paso 5. Si el número de rectas es menor que el número de
filas (columnas) continúe con el paso 4
4. Reducciones posteriores: encuentre la menor de las celdas no cubiertas,
reste el valor a todas las otras celdas no cubiertas y sume este valor a las intersecciones
de las rectas. Y regrese al paso 3
5. Solución Óptima: se puede encontrar una asignación usando celdas que
tengan costos.
1 2 3 4
A 3 5 3 3 3
B 5 14 10 10 5
C 12 6 19 17 6
D 2 17 10 12 2
V
E
N
D
E
D
O
R
LOCAL
REDUCCION
FILA
1 2 3 4
A 0 2 0 0
B 0 9 5 5
C 6 0 13 11
D 0 15 8 10
0 0 0 0
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R
REDUCCION
COLUMNA

21. 1 2 3 4
A 0 2 0 0
B 0 9 5 5
C 6 0 13 11
D 0 15 8 10
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R
1 2 3 4
A 1 2 0 0
B 0 8 4 4
C 7 0 13 11
D 0 14 7 9
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R
1 2 3 4
A 2 2 0 0
B 0 7 3 3
C 8 0 13 11
D 0 13 6 8
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R
1 2 3 4
A 3 2 0 0
B 0 6 2 2
C 9 0 13 11
D 0 12 5 7
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R

22. Z= 21
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
FORMULA:
𝒁 = (𝒙 𝟏 − 𝒂) 𝟐
+ (𝒙 𝟐 − 𝒃) 𝟐
Mínimo:
𝒁 = (𝒙 𝟏 − 𝟐) 𝟐
+ (𝒙 𝟐 − 𝟐) 𝟐
Sujeto a:
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 ≤ 𝟑
𝟖𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 ≥ 𝟏𝟎
1 2 3 4
A 4 2 0 0
B 0 5 1 1
C 10 0 13 11
D 0 11 4 6
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R
1 2 3 4
A 5 2 0 0
B 0 4 0 0
C 11 0 13 11
D 0 10 3 5
V
E
N
D
E
D
O
R
LOCAL
1 2 3 4
A 5 2 0 3
B 0 4 10 10
C 11 6 13 11
D 2 10 3 5
LOCAL
V
E
N
D
E
D
O
R

23. 𝒙𝒊 ≥ 𝟎
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 ≤ 𝟑 𝟖𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 ≥ 𝟏𝟎
x1 x2 x1 x2
0 1,5 0 2
3 0 1,25 0
(𝒙 𝟏 − 𝟐) 𝟐
+ (𝒙 𝟐 − 𝟐) 𝟐
= 𝑲
C(2,2) formula 𝒓 = √ 𝒌
Tengo que escoger el mas cercano a la circunferencia q en este caso seria
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 ≤ 𝟑
Se realiza el despeje de esta ecuación
−
𝟏
𝟐
𝒙 𝟏 +
𝟑
𝟐
𝒎 𝟐 = − 𝟏
𝟐⁄
formula: 𝒎 𝟏 𝒎 𝟐 = −𝟏
𝒎 𝟏( 𝟏
𝟐⁄ ) = −𝟏
𝒎 𝟏 = 𝟐
formula lineal: ( 𝒙 𝟐 − 𝒂) = 𝒎 𝟏(𝒙 𝟏 − 𝒃)
( 𝒙 𝟐 − 𝟐) = 𝟐(𝒙 𝟏 − 𝟐)
( 𝒙 𝟐 − 𝟐) = 𝟐𝒙 𝟏 − 𝟒)
𝟐𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 = 𝟐
4x1-2x2= 4
x1+2x2= 3
x1 = 7/5
𝟕
𝟓
+ 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟑
𝒙 𝟐
𝟑 −
𝟕
𝟓
𝟐
𝒙 𝟐 =
𝟒
𝟓
Valor Óptimo

24. 𝒁 = (
𝟕
𝟓
− 𝟐)
𝟐
+ (
𝟒
𝟓
− 𝟐)
𝟐
𝒛 =
𝟗
𝟐𝟓
+
𝟑𝟔
𝟐𝟓
𝒛 = 𝟏. 𝟖
𝒅 = |
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪
√𝑨 𝟐 𝑩 𝟐
|
𝒅 = |
𝟏( 𝟐)+ 𝟐( 𝟐)− 𝟑
√𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐
|
𝒅 =
𝟑
√ 𝟓
1
1
2
3
2
3

25. DERIVADAS.
𝑑𝑐
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝑥
𝑑𝑐
= 1
𝑑𝑐. 𝑣
𝑑𝑥
= 𝑐.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑐
𝑑𝑥
= 𝑣 𝑛
= 𝑛𝑣 𝑛−1
Ejemplo:
𝑌 = 2
𝑌` = 0
𝑌 = 𝑋
𝑌´ = 1
𝑌 = 𝑋4
𝑌´ = 4𝑋3
𝑌 = 6𝑋5
𝑌´ = 6(5)𝑋4
𝑌´ = 30𝑋4
𝒇( 𝒙) = 𝟒𝒙 𝟒
+ 𝟓𝒙 𝟑
− 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎
𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟔𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟓𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙
𝒇( 𝒙) = 𝟒𝟖𝒙 𝟐
+ 𝟑𝟎𝒙 − 𝟒
2. 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟕
− 𝟕𝒙 𝟒
𝒇( 𝒙) = 𝟕𝒙 𝟔
− 𝟐𝟖𝒙 𝟑
𝒚 = 𝟑𝒙 𝟔
− 𝟐𝒙 𝟐
+
𝟓
𝒙 𝟑
𝒚´ = 𝟏𝟖𝒙 𝟓
− 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓𝒙−𝟒
𝒚´ = 𝟏𝟖𝒙 𝟓
− 𝟒𝒙 −
𝟏𝟓
𝒙 𝟒
Cuando hay coordenadas
𝒎 =
∆𝒚
∆𝒙

26. 𝒎 =
𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏
𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
𝒎 = 𝒇´( 𝒙)
Ejemplo:
𝑥2
+ 𝑦2
= 5
C (0,0) 𝑟 = √5
r = 2,2
MODELO DE REDES
RED:Es el conjunto grande de modelos de programacion lineal.
• El problema del transporte y el problema de asignación, forman parte de un
tipo más general de modelos, conocidos como modelos de red.
• Los modelos de red son aplicaciones muy importantes para la logística y la
distribución en la administración, además de tener múltiples aplicaciones en ingeniería
y computación.
• Un modelo de red es un modelo de transbordo con capacidades, el cual puede
adoptar diversas formas, como el modelo de la ruta más corta y el modelo del flujo
máximo y mínimo, el problema de árbol de alcance mínimo, método de camino crítico,
entre otras aplicaciones de la planeación financiera y de producción.
• La principal característica de un modelo de transbordo con capacidades es que es
una red donde las ofertas están en los puntos de origen específicos, las demandas en los
puntos de destino específicos y las alternativas de embarque se ofrecen por medio de los

27. nodos intermedios, de manera que siguen rutas con capacidades definidas desde los
orígenes hasta los destinos.
EJERCICIO
El gerente de distribucion de una empresa que distribuyer artefactos electricos en 6
provincias.
El gerente tiene 100 aparatos electricos en la provincia 1 y estos deben ser enviados a la
provincia 3, 4 y 5; 30, 20 y 50 aparatos respectivamente.
1. Elabore el diagram de red
2. Establezca las capacidades y costos agregados
3. Formule el problema (resuelva)
4. Construya la matriz de insidecia ( nodo – arco)
5. Establezca la tabla del transporte
Si luego del estudio el grafico es el siguiente:
3
4
5
6
21
+100
+30
-20
-50
C12
U12
C23
U23
C24
U24
C25
U25
C26
U26
C65 U65
C63U63
U34C34

28. Min
Z= C12 x X12 + C23 x X23 + C24 x X24 + C25 x X25 + C26 x X26 + C34 x X34 + C45 x X45 +
C54 x X54 + C63 x X63 + C65 x X65
S.A.
X12 = 100
-X12 + X23 + X24 + X25 + X26 = 0
-X25 +X34 +X63 = -
30
-X24 +X34 + X45 - X54 = -20
-X45 +X54 -X65 = -50
-X26 +X63 + X65 = 0
0 ≤ Xij ≤ Uij
Z= 30 (M12) + 20 (M14) + 50 (M15)
1,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 4,5 5,4 6,3 6,5
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100
2 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
3 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 0 -30
4 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0 0 -20
5 0 0 0 -1 0 0 -1 1 0 -1 -50
6 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0
N
O
D
O
S
ARCOS
VALOR
3 4 5 OFERTA
m12 m14 m15
30 20 50
DEMANDA 30 20 50 100
1 100
DESTINOS
ORIGEN

29. EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA
Recordemos algunos conceptos básicos como son:
GRAFO. Es una serie de nodos unidos por arcos, ramas o aristas
Red. Es una grafo con algún tipo de flujo en sus ramales. Ejemplo: Eléctrica,
transporte.
Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena
EJERCICIO
Una empresa que reparte vinos a 7 localidades diferentes tiene que decidir lac
minimización de la totalidad de sus costos asegurándose que cualquier reparto futuro z
cualquiera de las localidades se haga a través de la ruta mas corta.
El grafo es el siguiente:
7
4
3
2
6
5
H
1
8
7
4 1
6
1
2
3
3
3
1
(0 , H)
(4 , H)
(8 , H)
(6 , 3)
(5 , 1)
(6 , 3)
(8 , 2)
(9 , 5)

30. ARBOL DE EXPANSION MINIMA
La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los nodos de la red con un
costo total mínimo
El algoritmo que nos permite resolver este tipo de problemas es el ALGORITMO
GLOTÓN y se puede hacer de dos formas: el método gráfico y el método Tabular.
MÉTODO GRÁFICO.
1. Empiece en cualquier nodo. Seleccione el arco más barato que parta de ese nodo.
Este es su primer enlace. Forma un segmento de conexión entre dos nodos. Los
nodos restantes se llaman NODOS DESCONECTADOS.
RUTA MAS CORTA DISTANCIA
1 H -1 4
2 H - 1 - 3 - 2 6
3 H - 1 - 3 5
4 H - 1 - 3 - 4 6
5 H - 1 - 3 - 2 - 5 8
6 H - 1 - 3 - 2 - 5 - 6 9
7 H - 7 8
7
4
3
2
6
5
H
1

31. 2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos
desconectados. Seleccione el más barato como enlace. Si hay empates rompa de
manera arbitraria. Esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión. Repita este
paso hasta que todos los nodos estén conectados lo cual requiere n -1 pasos.
MÉTODO TABULAR.
1. Comience con cualquier nodo, se designa este nodo como conectado y se coloca un
V al lado del renglón correspondiente a este nodo. Se tacha el índice de la columna
que corresponde a él.
2. Considerando todos los renglones que tienen V, busque el valor mínimo en las
columnas cuyo índice aún no haya sido tachado y se encierra ese valor en un círculo.
Se rompe arbitrariamente los empates. La columna que contenga a ese elemento
encerrado en un círculo designa al nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de esta
columna y se coloca una marca en el renglón correspondiente a este nodo. Se repite
este paso hasta que todos los nodos sean conectados.
3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados, se identifica el árbol expandido
mínimo mediante los elementos circundados.
EJERCICIOS
MÉTODO GRAFICO
1
4
7
2
5
8
3
6
9
4 9
3 8 4
7 2
5 6 3
4 5

32. MÉTODO TABULAR
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 3
2 4 9 8
3 9 4
4 3 7 5
5 8 7 2
6 4 2
7 5 4
8 6 4 5
9 3 5
DESTINOS
O
R
I
G
E
N
1
4
7
2
5
8
3
6
9
4
3
5
4 5
2
4
3

33. FLUJO MAXIMO
En este problema hay un solo nodo FUENTE ( origen, entrada) y un solo nodo
DESTINO ( sumidero, salida), El problema consiste en determinar el máximo flujo
que se puede enviar desde el nodo fuente al nodo destino, teniendo en cuenta las
capacidades kij sobre el flujo de cada arco (i,j) y que el flujo se debe conservar. Se
utiliza para saber cuál es la cantidad máxima de vehículos, peatones, líquidos o
llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema, para reducir los
embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.
El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino)
la relación de equilibrio debe cumplirse:
flujo que sale = flujo que entra
La cantidad de flujo a lo largo de dicho recorrido es FACTIBLE si:
1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.
2. A excepción de los nodos de entrada y salida se debe cumplir la condición de
conservación:
flujo que sale = flujo que entra
ALGORITMO PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA.
1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a
cero en el sentido deseado.
2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf) del camino seleccionado en el paso
anterior y programar el envío de dicha capacidad (Pf).
3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas
y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.
4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.

34. 5. Si la capacidad final es menor que la capacidad inicial, calcule la diferencia y esta es
la cantidad de flujo a través del arco.
CORTE. Partición del conjunto de nodos en dos clases ajenas, digamos C1 y Cn
donde la fuente está en C1 y el destino en Cn.
CAPACIDAD DE CORTE. Considérense todos los arcos que conectan
directamente un nodo de C1 a un nodo Cn. La suma de las capacidades de esos arcos, en
la dirección C1 – Cn se llama capacidad de corte.
TEOREMADE FLUJO MÁXIMO Y CORTE MÍNIMO. El flujo máximo
de cualquier red es igual a la capacidad del corte mínimo.
EJERCICIOS
2 4
3 5
1 6
2 4
3 5
1 6
4
4
2
6
2
6
8
8 8