1. Bab pertama membahas tentang vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti penjumlahan, perkalian skalar, hasil kali titik, dan hasil kali silang vektor. 2. Vektor dapat didefinisikan sebagai panah dengan titik awal dan titik ujung, serta menjelaskan ruang koordinat R1, R2, R3, dan Rn secara umum. 3. Metode penjumlahan vektor menggunakan jajaran genjang atau se

1. 1
BAB I
VEKTOR
1.1 Pengertian
Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat
dijelaskan secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan. Kuantitas
seperti ini dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut vektor, penjelasannya tidak
begitu lengkap sehingga baik besarannya maupun arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai
contoh, angin yang bergerak pada umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan
dan arahnya, misalnya mendekati 20 mil / jam.
Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis terarah
ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor dan
panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut titik awal (initial point) dari
vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).
Gambar 1.1
Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B, maka
dituliskan v =

AB
B
A
(a) (b)

2. 2
Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada gambar 3.1b
disebut ekivalen.
Untuk menuliskan panjang vektor v digunakan notasi |v|
1.2 Operasi – operasi pada vector
a. Penjumlahan Vektor
Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor
a.1 Metode Jajaran Genjang
Gambar 1.2
Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang
dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan berimpit.
a.2 Metode Segitiga
Gambar 1.3
a
b
a
+
b
a
+
b
a
b
a
+
b
a
b

3. 3
Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik
ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik awal a
dan bertitik ujung di titik ujung b
Catatan :
1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a
2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor.
Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan titik awal di
titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektor e
3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)
b. Perkalian Skalar
Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka
menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan arahnya sama dengan
arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ka =0 disebut
vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.
Gambar 1.4
a
2
a
-
2
a

4. 4
1.3 Susunan Koordinat Ruang-n
a. Ruang dimensi satu (R1)
R O P E A
Gambar 1.5
Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1), P( 5
2 )
artinya P mewkili bilangan 5
2 dan kita letakkan P sehingga OP = 5
2 satuan ke arah E
(arah positif).
b. Ruang dimensi dua (R2)
Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu
bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua, ditulis R2.
X2
E2
E1 C
B(3,1)
A(1,2)
o
X1
D
Gambar 1.6

5. 5
c. Ruang dimensi tiga (R3)
X1
X2
X3
A D
C
B(0,3,3)
Gambar 1.7
d. Ruang dimensi n (Rn)
Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam Rn
dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1, x2, ...,xn)
1.4 Vektor di dalam Ruang Rn
Lebih dahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2. Suatu vektor disebut satuan bila
panjangnya = 1.
Kita ambil sekarang vektor satuan :
e1 = OE1 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)

6. 6
e2 = OE2 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)
Kemudian kita tulis e1 = 1e1 + 0 e2
e2 = 0e1 + 1 e2
Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan
e1 = [1,0]
e2 = [0,1]
Sekarang pandang vektor a yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya titik A(a1, a2).
Vektor a disebut vektor posisi dari titik A.
e1
e2
A(a1, a2)
a1e1
a2e2
Gambar 1.8
Bilangan – bilangan a1, a2 disebut komponen – komponen dari a
Panjang vektor a adalah 2
2
2
1 aa 
Secara umum untuk vektor p yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik ujungnya di Q(q1, q2) :
PQ = (q1 – p1) e1 + (q2 – p2) e2
= [(q1 – p1), (q2 – p2)]
Kesimpulan (untuk Rn):
1. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, …, an) adalah OA = [a1, a2, …, an]

7. 7
2. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, …, qn) adalah
PQ = [q1 – p1, q2 – p2, … , qn – pn ]
3. Panjang vektor a = [a1, a2, …, an] adalah |a| = 22
2
2
1 .... naaa 
Jarak 2 titik P(p1, p2, …, pn) dan Q(q1, q2, …, qn) adalah panjang vektor PQ yaitu :
|PQ| = 22
22
2
11 )(....)()( nn qpqppq 
4. Vektor – vektor satuan dari susunan koordinat adalah
e1 = [1,0,0,…,0],
e2 = [0,1,0,…,0],
e3 = [0,0,1,0…,0], dst.
1.5 Beberapa Dalil pada Operasi Vektor
Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b = [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2, c3, . . ., cn] 
Rn, dan m, k adalah skalar – skalar, maka berlaku :
(1). a + b = b + a
(2). (a + b) + c = a + (b + c)
(3). k(a + b) = ka + kb
(4). a + 0 = a
(5). a + (-a) = 0
(6). (k + m)a = ka + ma
(7). (km)a = k(ma) = m(ka)
1.6 Dot Product (Hasil Kali Titik)
Definisi
Bila v dan w adalah vektor, dan  adalah sudut antara v dan w (0    )
Maka hasil kali titik (dot product) v. w didefinisikan dengan :
v.w =



0
cos|||| wv
00
00


watauvjika
wdanvjika )1.1.....(....................

8. 8

Gambar 1.9
Perhatikan gambar 1.9 di atas. Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2 vektor tak
nol. Dan  adalah sudut antara v dan w , maka hokum cosinus menghasilkan :
|

PQ|2 = |v|2 + |w|2 – 2|v||w| cos  …………………………………………..(1.2)
Karena

PQ = w – v maka dapat (1.2) dapat dituliskan kembali sebagai :
2|v||w| cos  = |v|2 + |w|2 - |w – v|2
|v||w| cos  = 2
1
(|v|2 + |w|2 - |w – v|2)
Atau
v . w = 2
1
(|v|2 + |w|2 - |w – v|2)
Dengan mensubstitusikan
|v|2 = 2
1v + 2
2v + 2
3v dan |w|2 = 2
1w + 2
2w + 2
3w
dan
|w – v|2 = 2
11 )( vw  + 2
22 )( vw  + 2
33 )( vw 
Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :
v. w = v1w1 + v2w2 + v3w3
z
x
y
P(v1,
v2, v3)
Q(w1, w2,
w3)


9. 9
Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.1) dapat ditulis dengan
Cos  =
||||
.
wv
wv
Contoh 1.1
Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)
Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.
Jawab :
v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3
|v| = 114  = 6
|w| = 411  = 6
Jadi Cos  =
6
3
= 2
1 , maka sudut antara v dan w adalah 60o
1.7 Cross Product (Hasil Kali Silang)
Dalam banyak penerapan vektor pada bidang geometri, fisika, dan teknik, kita perlu
membentuk vektor di ruang-3 yang tegak lurus dengan 2 vektor lain yang diberikan.
Definisi
Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah vektor – vektor di Ruang-3, maka hasil kali
silang (cross product) v x w adalah vektor yang didefinisikan oleh
v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1)

10. 10
atau dalam notasi determinan
v x w =









21
21
31
31
32
32
,,
ww
vv
ww
vv
ww
vv
Contoh 1.2
Carilah u x v dimana u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1)
Jawab :





 
103
221
u x v = 






 


03
21
,
13
21
,
10
22
=  6,7,2 
Teorema
Jika v dan w adalah vector dalam Ruang-3, maka
1. v. (v x w) = 0
2. v. (v x w) = 0
3. |v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2 (Identitas Lagrange)
Jika  adalah sudut di antara v dan w , maka v.w = |v| |w| cos , sehingga Identitas
Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai :
|v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2
= |v|2 |w|2 - (|v| |w| cos )2
= |v|2 |w|2 - |v|2 |w|2 cos2 
= |v|2 |w|2 (1 - cos2 )
= |v|2 |w|2 sin2 

11. 11
Jadi
|v x w| = |v| |w| sin 
Jadi luas A dari jajaran genjang di atas diberikan oleh
A = |v| |w| sin  = |v x w|
1.8 Persamaan Garis LUrus dan Bidang Rata
a. Garis Lurus
|w|
sin 
|
w
|
|v|
v
A
B
X
g
O

12. 12
Gambar 1.6
Misalkan titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3)
Maka

OA= [a1, a2, a3] dan

OB = [b1, b2, b3] dan

AB = [b1- a1, b2-a2, b3-a3]
Untuk setiap titik sebarang pada g berlaku AX = AB.
Jelas

OX =

OA +

AX
=

OA + 

AB
Atau
[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] +  [b1- a1, b2-a2, b3-a3] ……………………………………(1.3)
Persamaan (1.3) di atas disebut persamaan vektoris garis lurus yang melalui 2 titik A(a1,
a2, a3) dan B(b1, b2, b3).
Vektor

AB(atau vektor lain yang terletak pada g, dengan kata lain, kelipatan dari

AB )
disebut vector arah garis lurus tersebut.
Jadi bila garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vector arah
_
a = [a, b, c], maka
persamaannya adalah :
[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] +  [a, b, c] ……………………………………….(1.4)
Persamaan (1.4) dapat ditulis menjadi :
x1 = a1 +  b1
x2 = a2 +  b2
x3 = a3 +  b3
yang disebut dengan persamaan parameter garis lurus.

13. 13
Kemudian bila a  0, b  0, c  0,  kita eliminasikan dari persamaan parameter di atas,
diperoleh :
 =
a
ax )( 11 
=
b
ax )( 22 
=
c
ax )( 33 
Merupakan persamaan linier garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vektor arah [a, b,
c].
b. Bidang Rata
Gambar 1.7
Misal diketahui 3 titik P(p1, p2, p3) , Q(q1, q2, q3) dan R(r1, r2, r3) pada sebuah bidang rata
seperti di atas.
Maka

PQ = [q1-p1, q2-p2, q3-p3]
P
Q
R
O

14. 14

PR = [r1-p1, r2-p2, r3-p3]
Untuk setiap titik pada bidang, berlaku

PX = 

PQ + 

PR
Jelas dari gambar

OX =

OP +

PX
=

OP + 

PQ + 

PR
Atau
[x1, x2, x3] = [p1, p2, p3] +  [q1-p1, q2-p2, q3-p3] +  [r1-p1, r2-p2, r3-p3]
Adalah persamaan vektoris bidang yang melalui 3 titik. Kedua vektor

PQ dan

PR adalah
vektor arah bidang.

15. 15
BAB II
RUANG VEKTOR
2.1 Ruang Vektor Umum
Definisi
Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu
penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut kita
pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam
V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v, dengan perkalian
skalar kita artikan setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan
perkalian skalar u oleh k. Jika semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w
pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan
benda – benda pada V kita namakan vektor :
(1). Jika u dan v adalah benda – benda pada V kita namakan vektor
(2). u + v = v + u
(3). u + (v + w) = (u + v) + w
(4). Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V
(5). Untuk setiap u di V, terdapat –u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
(6). Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku berada di V
(7). k(u + v )= ku + kv
(8). (k + l)u = ku + lu
(9). k(lu) = l(ku)
(10). 1u = u

16. 16
2.2 SubRuang (subspace)
Definisi
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika W itu
sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan
pada V.
2.3 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier
Definisi
Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly dependent) bila
terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m yang tidak semuanya nol sedemikian hingga (u1, u2,
… um)
Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent) jika 1 u1
+ 2 u2 + …+ m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …= m = 0.
Catatan :
1. Jika m=1, maka :
a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0
 0 = 0 terpenuhi juga untuk   0
b. Bila   0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh  =0
2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um) maka
himpunan itu tak bebas linier,
1 u1 + 2 u2 + … + i 0+ … + m um = 0 dipenuhi juga oleh I  0
3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka tak bebas linier.
Sebab u = v  1u - v = 0, artinya terdapat   0 pada 1 v + 2 u = 0

17. 17
2.4 Kombinasi Linier
Definisi
Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila terdapat
skalar – skalar 1, 2, …, m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2 u2 + …+ m um.
Contoh 2.1
a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]
Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c
Kita hitung 1, dan 2 yang memenuhi [2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]
2 = 1 + 3 2
1 = 2
2 = 3 1 + 5 2
Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1
Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c
2.5 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur
(1). Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = u yang mana v adalah kelipatan
dari u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v dan u disebut koliner (segaris).
(2). v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = 1u1 + 2u2 maka v adalah diagonal
jajaran genjang yang sisi – sisinya 1u1 dan 2u2 . u1 dan u2 disebut koplanar
(sebidang).
(3) v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu v = 1u1 + 2u2
+ 3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang sisi – sisinya 1u1, 2u2 dan
3u3.

18. 18
2.6 Dimensi dan Basis
Definisi
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan himpunan
berhingga dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika : (i). S
bebas linier
(ii) S merentang V
Definisi
Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai
banyaknya vektor pada basis untuk V.
Contoh 2.2
Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
(i). p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]
(ii). u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]
Jawab :
(i). Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti
dimensi = 2
(ii). Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v  0, jadi keduanya merupakan sistem
pembentuk yang bebas linier. Berarti dimensi = 1

19. 19
BAB III
MATRIK
3.1 Pengertian
Matrik adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan
kolom)
Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan: ( ), [ ], || ||
3.2 Notasi Matrik
Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik A=(aij), artinya suatu
matrik A yang elemen – elemennya adalah aij dimana index i menunjukkan baris ke-i dan indeks
ke–j menunjukkan kolom ke–j .
Sehingga bila matrik disusun secara A(mxn) = (aij), mxn disebut ordo (ukuran) dari matrik A.
3.3 Operasi pada Matrik
1. Penjumlahan matrik
Syarat : ukuran matrik harus sama.
Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama, maka A + B adalah suatu matrik C =
(cij) dimana cij = aij + bij untuk setiap I dan j

20. 20
2. Perkalian skalar terhadap matrik
Kalau  suatu skalar (bilangan) dan A = (aij), maka matrik A = (aij), dengan kata lain,
matrik A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matrik A dengan .
Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :
Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan  adalah skalar maka :
1. A + B = B + A (komutatif)
2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)
3. (A + B) = A + B (distributif)
4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B
3. Perkalian matrik
Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB  BA. Pada
perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik kedua.
Syarat : Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua
Definisi :
Panjang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka perkalian AB
adalah suatu matrik C = (cij) berukuran (p x r) dimana :
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aiq bqj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, … r

21. 21
Hukum pada perkalian matrik :
1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum distributif
2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif
3. Perkalian tidak komutatif, AB  BA
4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah = 0,
kemungkinan kemungkinannya adalah :
(i). A = 0 dan B = 0
(ii) A = 0 atau B = 0
(iii) A  0 dan B  0
5. Bila AB = AC belum tentu B = C
4. Transpose dari suatu matrik
Pandang suatu matrik A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A adalah matrik AT
berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke – i dari A, i =
1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari AT. Dengan kata lain : AT = (aji)
Sifat – sifat matrik transpose
1. (A + B)T = AT + BT
2. (AT)T = A
3. (AT) = (A)T
4. (AB)T = BT AT

22. 22
3.4 Beberapa Jenis matrik Khusus
1. Matrik bujursangkar
adalah matrik dengan jumlah baris = jumlah kolom, sehingga disebut berordo n.
Barisan elemen a11, a22, … ann disebut diagonal utama dari matrik bujursangkar A
2. Matrik nol
adalah matrik yang semua elemennya adalah 0
3. Matrik diagonal
matrik bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya 0.
4. Matrik identitas
adalah matrik diagonal yang elemen – elemen diagonal utama adalah 1.
5. Matrik skalar
adalah matrik diagonal dengan semua elemen diagonal utamanyanya = k
6. Matrik segitiga bawah (lower triangular)
adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utama = 0.
7. Matrik segitiga atas (upper triangular)
adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0.
8. Matrik simetris
adalah matrik yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
9. Matrik anti simetris
adalah matrik yang transposenya adalah negatifnya.
.
10. Matrik hermitian

23. 23
adalah matrik yang bila transpose hermitiannya adalah sama dengan dirinya
sendiri.
11. Matrik idempoten, nilpotent
Bila berlaku A.A = A2 = A, maka A dikatakan matrik idempoten.
Bila Ar = 0, maka A nilpotent dengan index r (dimana r adalah bilangan bulat
positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut)
3.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik
Yang dimaksud dengan transformasi elementer pada baris dan kolom suatu matrik A adalah
sebagai berikut :
1a. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis Hij (A)
b. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis Kij (A)
2a Mengalikan baris ke – i dengan skalar   0 , ditulis H )(
i (A)
b. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar   0 , ditulis K )(
i (A)
3a. Menambah baris ke – i dengan  kali baris ke – j ditulis Hij
()(A)
b. Menambah kolom ke – i dengan  kali kolom ke – j ditulis Kij
()(A)
Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi elementer dari A. Kita dapat
mencari A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.
Matrik ekivalen
Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang
lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap baris dan atau kolom. Jika

24. 24
transformasi elementernya pada baris saja, maka dikatakan ekivalen baris. Begitu juga dengan
kolom.
Matrik Elementer
Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat diperoleh dari matrik
identitas n x n yaitu In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal.
3.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan
Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah pemecahan bagi AX = 0
dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
.
.
.
an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0
Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan, maka sistem
persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matrik yang diperbesar
akan menjadi :
x1 = 0
x2 = 0
.
.

25. 25
xn = 0
dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :




















0..
......
......
......
0..
0..
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
3.7 Mencari invers matrik
Contoh 3.1:
Cari invers matrik A =










801
352
321
Jawab :
Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A-1] dari bentuk asal [A | I]





801
352
321





100
010
001
dengan operasi elementer H
)2(
21

dan H
)1(
21

menjadi

26. 26







520
310
321







101
012
001
dengan operasi elementer H )2(
32
menjadi







100
310
321







125
012
001
dengan operasi elementer H )1(
3

menjadi






100
310
321







125
012
001
dengan operasi elementer H )3(
13

dan H )3(
23 menjadi





100
010
021








125
3513
3614
dengan operasi elementer H
)2(
12

menjadi





100
010
001








125
3513
91640
Jadi invers dari matrik A adalah













125
3513
91640

27. 27
BAB IV
DETERMINAN
4.1 Pengertian
Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang disebut Determinan.
Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil dahulu matrik A(2x2) sebagai berikut :






dc
ba
Didefinisikan ; det(A) =
dc
ba
= ad -bc
Contoh :
A = 





55
31
maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10
4.2 PERMUTASI
Definisi :
Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah susunan bilangan –
bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan –
bilangan tersebut.

28. 28
Contoh 4.1:
Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3},
{2,3,1}, {3,2,1}, {3,1,2}
Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas 3! = 1.2.3
= 6
Definisi
Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 …,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului ji) padahal
ji < jk (I dan k = 1, 2, . . ., n)
Contoh 4.2:
Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?
Ada 2 invers yaitu :
1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2
2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4
4.3 DETERMINAN
Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde yang tidak terlalu
besar adalah dengan metode SARRUS .
(-) (-) (-)
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
(+) (+) (+)
Contoh 4.3:

29. 29
213
212
132
13
12
32
= 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2
= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5
4.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN
1. det(A) = det(AT)
2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.
3. Harga determinan menjadi  kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan skalar 
4.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS
Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan
definisi determinan secara langsung.
Theorema :
Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen pada
diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann
Contoh 4.4 :
40000
89000
67600
15730
38372


= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296
Contoh 4.5 :
Hitung det(A) dimana A =
162
963
510


30. 30
Jawab :
Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = -
162
510
963 
= - 3
162
510
321 
 H31
(-2)  = - 3
5100
510
321


 H32
(-10) 
= - 3
5500
510
321


= (-3) (-55)
100
510
321 
= (-3) (-55) (1) = 165
Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan menggunakan
komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah diprogramkan.
4.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER
Minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan kolom ke – j
dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.
Sedangkan bilangan (-1) i+j |Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor
Contoh 4.6 :
A =










198
765
432
Minor dari elemen a23 =
98
32
= 18 – 24 = -6
Kofaktor dari elemen a23 = (-1)5
(-6) = 6
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu Cij =  Mij . Cara
cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau tanda – merupakan penggunaan

31. 31
tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari
susunan :

























..........
..
.
..
..
..
..
..
Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23
Theorema
Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen –
elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan
hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1  i  n dan 1  j  n , maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)
dan
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

32. 32
Contoh 4.7 :
Det(A) bila A =












245
342
013
adalah
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
= 3
24
34


- 1
25
32


+ 0
45
42 
= (3)(-4) – (1)(-11)
= -12 + 11
= -1
Definisi :
Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik
















nnnnn
n
n
CCCC
CCCC
CCCC
...
.....
.......
...
...
321
2232221
1131211
disebut matrik kofaktor A.
Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).
Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A
1
=
)det(
1
A
adj(A)

33. 33
ATURAN CRAMER
Theorema
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak
diketahui sehingga det(A)  0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik.
Pemecahan ini adalah :
x1 =
)det(
)det( 1
A
A
, x2 =
)det(
)det( 2
A
A
, … , xn =
)det(
)det(
A
An
dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen dalam
kolom ke j dari A dengan elemen matrik B =












nb
b
b
.
2
Contoh 4.8:
Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan
x1 + + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab :
A=












321
6403
201
,
A1=










 328
6430
206
, A2=












381
6303
261
, A3=












321
3043
601
Maka

34. 34
x1 =
)det(
)det( 1
A
A
=
44
40
=
11
10
,
x2=
)det(
)det( 2
A
A
=
44
72
=
11
18
,
x3 =
)det(
)det( 3
A
A
=
44
152
=
11
38

35. 35
BAB V
TRANSFORMASI LINIER
5.1 Pengantar
Definisi
Jika F:V  W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F
disebut transformasi linier, jika :
(i). F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor u dan v di V
(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k
Contoh 5.1
Misal F:R2  R3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :
F(v) = (x, x+y, x-y)
Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)
Sehingga ,
F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])
= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)
= F(u) + F(v)
Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga
F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)
= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)
= k F(u)
Jadi F adalah sebuah transformasi linier
Latihan :
Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :
1. F(x,y) = (2x, y)
2. F(x,y) = (2x+y, x-y)

36. 36
3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)
4. F(x,y,z) = (1, 1)
5.2 Transformasi Linier dari Rn  Rm
Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah matrik m
x n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor – vektor kolomnya.
Misal jika T:R2  R2 diberikan oleh :
T 













2
1
x
x
= 







21
21 2
xx
xx
Maka
T(e1) = T 













0
1
= 





1
1
dan T(e2) = T 













1
0
= 





1
2
Jadi A = 





11
21
adalah matrik baku untuk T di atas.
5.3 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang
1. Rotasi (Perputaran)
Matrik baku untuk T adalah : 




 


cossin
sincos
2. Refleksi
Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing – masing
titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l

37. 37
Matrik baku untuk :
a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah 





y
x
menjadi 





y
x
) adalah : 





10
01
b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah 





y
x
menjadi 





 y
x
) adalah : 





10
01
c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah 





y
x
menjadi 





x
y
) adalah : 





01
10
3. Ekspansi dan kompresi
Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k
yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam arah
x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah x.
Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





10
0k
Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan
konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang
dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam
arah y. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y dengan faktor k
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





k0
01

38. 38
4. Geseran
Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan
masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang
baru (x + ky, y)
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





10
1 k
Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan
masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx menuju kedudukan yang
baru (x , y + kx)
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





1
01
k
Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke Rm secara berturutan, maka
hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.
Jika transformasi - transformasi matrik
T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,
Dari Rn ke Rm dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan
transformasi matrik tunggal T(x) = Ax, dimana

39. 39
A = Ak . . . A2 A1
Contoh 5.2
a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula menggeser dengan faktor
sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = x
b. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula merefleksikannya terhadap y
= x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x
Jawab :
a). Matrik baku untuk geseran adalah A1 = 





10
21
Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 = 





01
10
Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah
A2. A1 = 





01
10






10
21
= 





21
10
b). Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah
A1. A2 = 





10
21






01
10
= 





01
12
Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1  A1. A2
Jika T:R2  R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan misalkan T
memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka






'
'
y
x
= A 





y
x
Dan

40. 40






y
x
= A-1






'
'
y
x
Contoh 5.3
Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik A =






12
13
Jawab :






'
'
y
x
= 





12
13






y
x
Dan






y
x
=
1
12
13













'
'
y
x
= 







32
11






'
'
y
x
Sehingga
x = x’ – y’
y = -2x’ + 3y’
Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :
-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1
-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1
5y’ = 4x’ + 1
y’ = 5
4 x’ + 5
1

41. 41
BAB VI
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
6.1 Devinisi Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari
A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,
Ax = x
untuk suatu skalar . Skalar  disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen
yang bersesuaian dengan .
Contoh 6.1
Vektor x = 





2
1
adalah vektor eigen dari A = 





18
03
Yang bersesuaian dengan nilai  = 3 karena
Ax = 





18
03






2
1
= 





6
3
= 3 





2
1
Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya
kembali Ax = x sebagai Ax = Ix
 (I – A)x = 0
Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika
det(I – A)=0 ...................................................(6.1)
Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A.

42. 42
Contoh 6.2
Carilah nilai – nilai eigen dari A = 





 01
23
Jawab :
Karena
I – A =  





10
01
- 





 01
23
= 




 


1
23
Det(I – A) = (-3)  - (-2) = 0
= 2 - 3 + 2 = 0
1 = 2, 2 = 1
Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1