1. ESCUELA SECUNDARIA
TECNICA#118
Alumna: Santiago Alcantar Lourdes Daniela
Profesor: Villarreal Matías Luis Miguel
Materia: MATEMATICAS
Trabajo
Numero áureo y serie de Fibonacci
3. Introducción
A continuación veras como fue creada
la serie de Fibonacci y el número
áureo, también descubrirás cual es la
relación que hay entre ellos.
4. QUE ES EL NUMERO AUREO...?
Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue
descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las
partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la
morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de
algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
Historia del número áureo
El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que
aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los
pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a.
C.
En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto
en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre
especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de
un segmento en media extrema y razón" era conocido generalmente como "la
sección". En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas.
(la denominación Fi, por ser la primera letra de su nombre, la efectuó en 1900 el
matemático Mark Barr en su honor).
Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en
1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la
literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los
dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que
5. fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525,
Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras
planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en
la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto
en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza.
Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa,
hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de
las paredes y ventanas al fondo.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de
las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción:
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la
división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos
comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya
preciosa”. Y, creyente como era dijo: "no cabe duda de que Dios es un gran
matemático"
Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y
difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho
patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.
LA SUCESION DE FIBONACCI
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cada
uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1,1,2,3,5,8,13,...)
Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Esto,
en castellano, quiere decir que es una serie de números que se genera aplicando
determinadas reglas. De hecho, es muy sencillo imaginar una sucesión de números, y
existen infinitas de ellas. Sin embargo, algunas son más “famosas” que otras. Por lo
general, se intenta que las leyes que dan lugar a la sucesión sean lo más simple y claras
posibles. Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue un
matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración
que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo (el cero)
que usamos en la actualidad. Leonardo también ideó una sucesión de números que lleva
su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”.
Los números de Fibonacci, otro de los nombres que recibe este grupo de valores, poseen
varias propiedades interesantes. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de
dos números consecutivos de la serie se aproxima a la denominada “razón dorada”,
“sección áurea” o “divina proporción”. Este número, descubierto por los renacentistas,
tiene un valor de (1+ raíz de 5)/2 = 1.61803..., y se lo nombra con la letra griega Phi. La
sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci
consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo. Los griegos y renacentistas
6. estaban fascinados con este número, ya que lo consideraban el ideal de la belleza. Un
objeto que tuviese una proporción (por ejemplo, entre el alto y el ancho) que se ajustase
a la sección áurea era estéticamente más agradable que uno que no lo hiciese.
Relación :
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de
Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón
oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos
también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce
siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la
fracción. Por ejemplo: = 1.5, = 1.6, y = 1.61538461..., lo que se acerca
considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que
dividiendo dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el
menor lo que obtenemos:
1:1=1
2:1=2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....
Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al
número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a
=1,61803.... En lenguaje matemático,
lim tn / tn-1 = (1+ √5) / 2
n-> ∞
Actividad: responde las siguientes preguntas.
1.Como se llama el libro que contiene dibujos realizados por Leonardo da Vinci?
R= DIVINA PROPORCION
2.Descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor
del Sol?
R=Johannes Kepler
3.En que lugares se encuentra la proporción del numero áureo?
R= en figuras geométricas, en las partes de un cuerpo, en la
naturaleza etc.
7. 4.Ideo una sucesión de números que lleva su nombre la llamada "sucesión de
Fibonacci"
R=Leonardo de pisa
CONCLUSION
Con esto me doy cuenta de la relación que
tienen las matemáticas y todo lo que existe
en el universo ya que antes no sabia el
porque de algunas cosas, haciendo este
trabajo he comprendido un poco mas.
FUENTE
http://www.portaleureka.com/accesible/matematicas/117-fibonacci-y-el-
numero-de-oro
