Numero aureo y serie fibonacci AREVALO
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    Numero aureo y serie fibonacci AREVALO Numero aureo y serie fibonacci AREVALO Document Transcript

    • Diego Aldair Arevalo HernandezProfesor. Luis Miguel VillarrealMatematicas“El Numero Aureo o Proporcion Aurea y La Serie de Fibonacci” 3º A
    • IndiceIntroduccion 3Contenido 4Actividad 9Bibliografia 10Conclucion 11
    • Introduccion Esta investigacion es sobre el número aureo o proporcion aurea y la serie de Fibonacci, donde esplicaremos lo que es ysu relacion entre ellos. Ademas les daremos imágenes de este con relacion a la naturaleza y por ultimo una actividad realizada a mano y escaneada sobre rectangulo o triangulo y dentro de el la espiral aurea en geogebra.
    • El Numero Aureo o Proporcion AureaEl número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divinaproporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi)(en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un númeroirracional.Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito noperiódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fuedescubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación oproporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tantoen algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse enelementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles,en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculosde los girasoles, etc.El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardanentre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmentoen otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor,obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayorentre la del menor.Propiedades algebraicas • es el único número real positivo tal que:La expresión anterior es fácil de comprobar:
    • • Φ posee además las siguientes propiedades: • Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.El caso más simple es: , cualquiera sea n un númeroentero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues serecurre a dos potencias anteriores.Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma , donde es cualquier número real ocomplejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1.En el caso anterior es , y .Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir: . Aquí , , , y .Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hayuna fórmula recurrente de orden 6:En general: .En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser consideradacomo el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k;donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible queaparezcan potencias negativas de , hecho totalmente correcto. Además,una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de suinverso, la sección áurea.
    • Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientessignificativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el númeroáureo y el número e hay un parentesco. • El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:Representación mediante ecuaciones algebraicasEl número áureo y la sección áurea son soluciones de lassiguientes ecuaciones:
    • Serie de FibonacciSerie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma delos dos anteriores(0,1,1,2,3,5,8...)A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci.Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemáticoitaliano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosasaplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría dejuegos. También aparece en configuraciones biológicas, como porejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en eltallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci,publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonaccifueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberladenominado como se la conoce en la actualidad.También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemáticoescocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dosnúmeros de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términossucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite.Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en elámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como BélaBartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para lacreación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.Relación con la serie de FibonacciSi se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguientenúmero de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que naumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que larazón áurea. Podemos también notar que la fracción continua quedescribe al número áureo produce siempre números de Fibonacci amedida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ; ;y , lo que se acercaconsiderablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
    • Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán JohannesKepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostradapor el matemático inglés Robert Simson.Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrentede orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos númerosnaturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 -7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términossucesivos producen aproximaciones racionales que se acercanasintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 =1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.6A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe MarieBinet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida porLeonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. Lafórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin lanecesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binetdepende exclusivamente del número áureo: Actividad
    • Bibliografia
    • http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://www.google.com.mx/search?num=10&hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=800&bih=358&q=nuemro+aureo+en+la+naturaleza&oq=nuemro+aureo+en+la+naturaleza&gs_l=img.3...5127.19718.0.20269.31.13.1.16.0.0.420.2943.0j3j5j3j1.12.0...0.0...1ac.1.kOdF328s0Qg
    • Conclucion En esta investigacion habla más que nada del númeroinfinito el número aureo y la seri de numeros infinitos conocida como la serie de Fibonacci sema haceinterezante la investigacion sobre el tema aparte la elavoracion de espiral en un triangulo en el programa geogebra