Upcoming SlideShare
×

20,340 views

Published on

..

1 Comment
5 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• kod 3 zadatka pod b je netacnan rezultat jer je 8*3 + 0*(-1)=24 a ne 10

Are you sure you want to  Yes  No
Views
Total views
20,340
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
36
Actions
Shares
0
243
1
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

1. 1. MATRICE ZADACI  I DEO   2 3 1 1 0 -31. Date su matrice A    i B  . Izračunati:  2 16 0   2 6 -8 a) A B  ?b) A B  ?v) 2 A  3B  ?g) AT  BT  ?Rešenje: a)  2 3 1  1 0 -3  2  1 3+0 1  (3)   3 3 -2  A B        2 16 0   2 6 -8   2  2 16+6 0+(  8)   0 22 -8  b)  2 3 1  1 0 -3  2  1 3-0 1  (3)   1 3 4  A B        2 16 0   2 6 -8   2  2 16-6 0  (  8)   -4 10 8 v)  2 3 1  1 0 -3  4 6 2   3 0 -9  2 A  3B  2    3     2 16 0   2 6 -8   -4 32 0   6 18 -24   4-3 6-0 2-(-9)   1 6 11     -4-6 32-18 0-(-24)   -10 14 24   g)  2 -2  1 2  2  1 -2+2   3 0  3 16   0 6    3+0 A B  T T 16+6    3 22         1 0  -3 -8  1+(-3)      0+(-8)  -2 -8     1 0  3 2 1 02. Date su matrice A -2 -4 1 i B  -3 4 1 . Izračunati:    3  2 5 0  0 3  a) 2A  B  ? b) ( AT  B)T  ? www.matematiranje.com 1
2. 2. Rešenje: a) 1 0  3  2 1 0  2 0 6   2 1 0   0 -1 -6  2 A  B  2  -2  -4 1    -3   4 1  -4   -8 2   -3   4    -1 -12 1  1   3  2 5  0   0 3  6   4 10   0   0 3  6   4 7 b)  1 -2 3 AT   0 -4 2  -3 1  5   1 -2 3  2 1 0  3 -1 3 AT  B   0 -4  2   -3   4 1  -3   0 3   -3 1  5  0   0 3  -3   1 8   3 -3 -3 ( AT  B)T  -1  0 1  3  3 8  3 0 2 13. Ako su nam date matrice A   i B , izračunati:  -1 2  8 0  a) A  B  ? b) B  A  ?Rešenje: 3 0  2 1   3  2+0  8 3 1+0  0   6 3A B      -1 2  8  0   -1 2  2  8   -11  2  0   14   -1  2 1  3 0   2  3+1 (1) 2  0+1 2   5 2B A      8 0   -1   2   8  3  0  (1)   8  0  0  2   10   0 I na ovom primeru uočavamo jednu bitnu činjenicu koju smo napomenuli u teoretskom delu MATRICE:a to je da komutativni zakon za množenje matrica NE VAŽI. www.matematiranje.com 2
3. 3. 1 2 2 4 1 14. Ako su date matrice A 2  1 2  i B  -4  2 0  , izračunati:  1  2 3  1  2 1 a) A  B  ? b) B  A  ?Rešenje:a) 1 2 2  4 1 1  1  4  2  (4)  2 1 1 1  2  2  2  2 1 1  2  0  2 1A B   2  1 2   -4   2 0    2  4  1  (4)  2 1 2 1  1  2  2  2  2 1  1  0  2 1    1  2 3  1   2 1   1  4  2  (4)  3 1 1 1  2  2  3  2  1 1  2  0  3 1    4-8+2 1+4+4 1+0+2   -2 9 3  8-4+2  2+2+4 6 2+0+2   8 4   4-8+3  1+4+6 1+0+3   -1 11   4 b) 4 1 1  1 2 2  4 1  1  2  1 1 4  2  1 1  1  2 4  2  1 2  1 3 B  A    -4  2 0   2   1 2    4 1  2  2  0 1  -4  2  2 1  0  2 -4  2  2  2  0  3 =  1  2 1  1   2 3   1 1  2  2  1 1  1  2  2 1  1  2 1 2  2  2  1 3   4+2+1 8+1+2 8+2+3   7 11 13  -4+4+0 -8+2+0  -8+4+0    0 -6   -4    1+4+1 2+2+2  2+4+3   6 6   9Još jednom vidimo da je A  B  B  A 2 1 2 1 11 1 1 5. Ako su date matrice A    , B  1  , C  5 1 izračunati:  2 3 0  1 6 1   a) A  C  B  ? b) B  C T  ?Rešenje: www.matematiranje.com 3
4. 4. a) 2 1 2 1 11  1 1 AC  B    5 1   2 3 0   6  1 1  1     2  2  1  5  11  6 2 1+1 1  11 1 1 1    2  2  35  0  6 2 1  3 1  0 1 1   1   4  5  66 2+1  11 1 1    4  15  0 2  3  0  1 1    75 14  1 1 76 15     19 5  1   1  20   6 b) 2 5 6 CT   1 1 1  1 1  2 5 6  1 2+1 1 1  5+11 1 6+11  B  CT      1 1 1 1 1  1 2  11 1 5  11 1 6  11  2+1 5+1 6+1 3 6 7      2+1 5+1 6+1 3 6 7  3 0 26. Za dati polinom P ( x)  x  2 i matricu A   2 2  1 4  izračunati P  A  .  1  -1 0Rešenje:Kako je P( A)  A2  2 , nadjimo najpre matricu A2 : 3 0 2  3 0 2   3  3  0  2  2 1 3  0 +0 1  2  (1) 3  2+0  4  2  0A2  A  A   2  1 4  2   1 4    2  3  1  2  4 1   2  0  1 1  4  (1) 2  2  1 4  4  0   1  -1 0  1   -1 0  1  3  (1)  2  0 1 1  0  (1) 1  0  (1) 1  2  (1)  4  0  0     9+0+2 0+0-2 6+0+0  11 -2 6   6+2+4  0+1-4 4+4+0  12   -3 8  3-2+0  0-1+0 2-4+0   1   -1 -2   www.matematiranje.com 4
5. 5. Sad ovo menjamo u P( A)  A2  2 , ali pazimo da uz 2 obavezno dodamo jediničnu matricu I, naravno trećeg reda.Dakle P ( A)  A2  2  I 11 -2 6  1 0 0  11 -2 6  2 0 0  13 -2 6P ( A)  A  2  I  12 2  -3 8   2  0  1 0   12   -3 8   0   2 0   12   -1 8   1  -1 -2   0  0 1  1   -1 -2  0   0 2  1   -1 0  2 1 17. Za dati polinom P ( x)  x  5 x  3 i matricu A  3 2  1 2  odredi P  A  .  0  0 2Rešenje:P ( A)  A2  5 A  3  INaći ćemo na stranu svaki od sabiraka pa to ubaciti u P ( A)  A2  5 A  3  I . Možemo i direktno sve da radimo ali seukomplikuje … 2 1 1  2 1 1  2  2  1 3  1 0 2 1 +1 1  1  0 2 1+1  2  1 2 A  A  A  3 2  1 2   3   1 2     3  2  1 3  2  0 3 1  1 1  2  0 3 1  1  2  2  2   0  0 2  0   0 2    0 2  03  20 0 1  0 1  2  0  0 1  0  2  2  2  7 3 6A  9 2  4 9  0  0 4  2 1 1 10 5 55  A  5  3  1 2   15   5 10   0  0 2  0   0 10   1 0 0  3 0 03  I  3  0  1 0   0   3 0  0  0 1  0   0 3  7 3 6  10 5 5  3 0 0 0 -2 1P ( A)  9  4 9   15   5 10   0   3   P ( A)  -6 0  2 -1  0  0 4  0   0 10  0   0 3  0  0 -3  www.matematiranje.com 5
6. 6. Dalje ćemo pokušati da vam objasnimo kako se traži matrica An ako je data matrica A.Ovakav tip zadatka možemo rešavati na više načina:i Tražimo matrice A2 , A3 , A4 i ako treba još par njih dok ne zaključimo po kojoj se zakonitosti pojavljuju elementimatrice… Zatim zapišemo kako bi trebalo da izgleda An i izvršimo dokaz matematičkom indukcijom. n n n nii Drugi način je da koristimo binomnu formulu (a  b) n    a nb 0    a n 1b1    a n  2b 2  .......    a 0b n . 0 1  2 nDatu matricu napišemo kao zbir dve matrice,od kojih je jedna jedinična matrica a druga kada se traži njen stepen,postaje nula matrica već kod trećeg ili četvrtog stepena.iii Treći način je da upotrebljavamo sopstvene vrednosti i vektore a to je objašnjeno u fajlu matrice zadaci 2. deo. 1 1 18. Ako je data matrica A  0 1 1 , nadji An .   0 0 1  Rešenje:I način 1 1 1 1 1 1 1 2 3  1 2 1  2 A  A  A   0 1 1  0 1 1   0 1 2   0 1 2        2    0 0 1 0 0 1  0 0 1  0 0        1   1 2 3  1 1 1 1 3 6  1 3 1  2  3A  A  A  0 1 2   0 1 1  0 1 3  0 1 3 2        3   0 0 1  0 0 1 0 0 1  0 0        1   1 3 6  1 1 1 1 4 10  1 4 1  2  3  4 A  A  A  0 1 3   0 1 1  0 1 4    0 1 4 3        4   0 0 1  0 0 1 0 0 1  0 0        1   1 n 1  2  ...  n Na osnovu ovoga možemo predpostaviti da je An  0 1 n  , odnosno, pošto je 1  2  3  ...  n  n(n  1)   2 0 0  1   www.matematiranje.com 6
7. 7.  n(n  1)  1 n 1  2  ...  n  1 n 2  to je onda An  0 1   An   0 1   n   n  0 0 1  0 0 1       Sada ovo moramo dokazati primenom matematičke indukcije . Da bi se podsetili kako ide indukcija, pogledajteistoimeni fajl iz treće godine. 1 1 1za n=1 je A1  0 1 1 tačno.   0 0 1    23 1 2 2  1 2 3     za n=2 je A2   0 1 2   0 1 2  takodje tačno 0 0 1  0 0 1       postavljamo indukcijsku hipotezu, da je formula tačna za n  k  k (k  1)  1 k 2    za n=k je Ak  0 1 k  0 0 1     da dokažemo da je formula tačna za n  k  1  k (k  1)   k (k  1)  1 k 2  1 k 2  1 1 1     Ak   0 1 k   Ak  A  0 1 k   0 1 1   0 0 1  0 0 1  0 0 1            (k  1)(k  2)  1 k 1  2   Ak 1   0 1 k 1  0 0 1     Dakle, naša formula je dobra. www.matematiranje.com 7
8. 8. II načinDatu matricu rastavimo na jediničnu i još jednu matricu: 1 1 1 1 0 0  0 1 1  0 1 1  0 1 1  0 1 0   0 0 1   I  0 0 1 A        0 0 1 0 0 0  0 0 0        0 0 0    0 1 1 Obeležimo matricu 0 0 1 sa slovom M.   0 0 0   Tada je A  I  MAn  ( I  M ) n n n n nKoristimo (a  b) n    a nb 0    a n 1b1    a n  2b 2  .......    a 0b n , ali najpre da vidimo kako se ponašaju stepeni 0 1  2 nmatrice M. 0 1 1 M  0 0 1    0 0 0    0 1 1  0 1 1  0 0 1M  M  M  0 0 1   0 2    0 1   0   0 0  0 0 0  0    0 0  0   0 0  0 0 1  0 1 1  0 0 0M  M  M  0 0 0   0 3 2    0 1   0   0 0  odavde zaključujemo da je:  0 0 0  0    0 0 0   0 0M 4  M 5  ...  M n  0Sad koristimo binomnu formulu: n n n( I  M ) n    I n M 0    I n 1M 1    I n  2 M 2 , svi ostali članovi su jednaki nuli. 0 1  2 www.matematiranje.com 8
9. 9. n(n  1)( I  M ) n  1  I 1  n  I  M  I M 2 2 n(n  1) 2( I  M )n  I  n  M  M 2 1 0 0  0 1 1  0 0 1 (I  M )   n 0 1 0   n  0 0 1   n(n  1)  0 0 0     2   0 0 1    0 0 0    0 0 0     n(n  1)  0 0  1 0 0  0 n n   2  0 1 0   0 0 n   0 0( I  M )n   0       0 0 1  0 0 0  0 0      0      n(n  1)   2n  n(n  1)   2n  n 2  n  1 n n  2  1 n 2  1 n 2       ( I  M ) n  0 1 n   0 1 n   0 1 n  0 0 1  0 0 1  0 0 1                 n2  n   n(n  1)  1 n  1 n  2  2    0 1 n   ( I  M ) n  0 1 n  0 0 1  0 0 1             1 1 9. Ako je data matrica A    , nadji A . n  1 1 Rešenje:  1 1   1 1  11  (1)  (1) 1  (1)  (1) 1  2 2 A2  A  A        1 1   1 1   1 1  1  (1) (1)  (1)  1 1  2 2   2 2   1 1   4 4   22 22 A3  A2  A      2   2 2   1 1   4 4   2 22   4 4   1 1   8 8  23 2 3 A4  A3  A      3   4 4   1 1   8 8   2 23   8 8  1 1   16 16   24 24 A5  A4  A      4   8 8   1 1   16 16   2 24 Na osnovu ovoga možemo predpostaviti da je :  2n 1 2n 1 A   n 1 n   2 2n 1  www.matematiranje.com 9
10. 10. Moramo ovo dokazati matematičkom indukcijom:  211 211   20 20   1 1  za n = 1 je A   11 1   A  2 211   20 2 0   1 1   2k 1 2k 1 Pretpostavimo da je formula tačna za n=k A   k 1 k   2 2k 1 Da dokažemo da formula važi i za n  k  1  2k 1 2k 1   1 1   2k 1 1  (2k 1 )( 1) 2k 1  ( 1)  ( 2k 1 ) 1  Ak 1  Ak  A   k 1     2 2k 1   1 1    2k 1 1  2k 1  (1)  2k 1  (1)  2k 1 1  2k 1  2k 1 2k 1  2k 1   2  2k 1 2  2k 1   2k 2k  k 1 k 1    2  2 2k 1 + 2k 1   2  2k 1 2  2k 1   2k 2k U sledećim primerima ćemo pokušati da vam “približimo” rešavanje matričnih jednačina. Takav zadatak se najčešćesastoji iz dva dela. U prvom delu trebate rešiti matričnu jednačinu, odnosno da izrazite X, a u drugom delu se koristeoperacije sa matricama...10. Rešiti sledeće matrične jednačine:1) AX  B2) XA  B3) AX  I  X  B4) (3 X ) 1  B 1  ( AX ) 15) ( AX  A) 1  BA6) ( AX 1  B ) 1  XB  ( AX )  X T B  A  B 17) TRešenja:Bilo bi dobro da se podsetite pravila koja važe za matrice a koja su date u prethodnom fajlu.1) AX  B sa leve strane množimo celu jednačinu sa A1 A1 AX  A1 B A1 A X  A1 B I  X  A1 B X  A1 B 10
11. 11. 2)XA  B sa desne strane množimo celu jednačinu sa A1XAA1  BA1X  I  BA1 X  BA13)AX  I  X  B nepoznate na levu a poznate na desnu stranu...AX  X  B  I izvlačimo X kao zajednički ispred zagrade , ali sa desne strane!(A  I)X  B  I celu jednačinu množimo sa ( A  I ) 1 , ali sa leve strane!( A  I ) 1 ( A  I ) X  ( A  I ) 1 ( B  I )I  X  ( A  I ) 1 ( B  I ) X  ( A  I ) 1 ( B  I )4)(3 X ) 1  B 1  ( AX ) 1X 1  31  B 1  X 1 A1 Nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu... 1 1 1 1 1B  X A  X 3 Izvlačimo X 1 kao zajednički ispred zagrade ali sa leve strane... 1 Pazi , moramo dodati I kod 31  3 1B 1  X 1  ( A1  I ) Celu jednačinu množimo sa X sa leve strane 3 1X  B 1  X  X 1  ( A1  I ) 3 1X  B 1  I  ( A1  I ) 3 1X  B 1  ( A1  I ) Celu jednačinu množimo sa B sa desne strane 3 1X  B 1 B  ( A1  I ) B 3 1X  I  ( A1  I ) B 3 1 X  ( A1  I )  B 3 www.matematiranje.com 11
12. 12. 5) ( AX  A) 1  BA unutar zagrade izvučemo A sa leve strane[ A( X  I )]1  BA celu jednačinu stepenujemo na () 1[ A( X  I )1 ]1  ( BA) 1A( X  I )  A1 B 1 množimo celu jednačinu sa A1 sa leve straneA1 A( X  I )  A1 A1 B 1I  ( X  I )  A2 B 1X  I  A2 B 1 X  A2 B 1  I6)( AX 1  B) 1  XB celu jednačinu stepenujemo na () 1(( AX 1  B) 1 ) 1  ( XB) 1AX 1  B  B 1  X 1 sad nepoznate na levu a poznate na desnu stranu... 1 1 1AX B X B 1 1(A  B )X B pomnožimo celu jednačinu sa X ali sa desne strane... 1 1( A  B ) X X  BX( A  B 1 ) I  BXA  B 1  BX pomnožimo celu jednačinu sa B 1 ali sa leve strane...B 1 ( A  B 1 )  B 1 BXB 1 ( A  B 1 )  I  XB 1 ( A  B 1 )  X X  B 1 ( A  B 1 )7) ( AX )  X B   A  B T T 1 X A  X B  A  B 1 T T T unutar zagrade izvučemo X T ... X ( A  B)   A  B 1 T T celu jednačinu na -1...X T ( AT  B )  ( A  B ) 1 sa desne strane množimo sa ( AT  B )1X T ( AT  B)( AT  B) 1  ( A  B ) 1  ( AT  B) 1X T  ( A  B) 1  ( AT  B ) 1 spakujemo malo desnu stranuX T  [( AT  B )( A  B)]1 celu jednačinu transponujemo...( X T )T  [( AT  B )( A  B)]1  T X  [( AT  B)( A  B)]1  T www.matematiranje.com 12
13. 13. 2 1 011. Rešiti matričnu jednačinu AX  X  A ako je data matrica A   0 2 1    1 1 2   Rešenje:Najpre rešavamo zadatu matričnu jednačinu:AX  X  AAX  X  A(A  I)X  A( A  I ) 1 ( A  I ) X  ( A  I ) 1 AI  X  ( A  I ) 1 A X  ( A  I ) 1  ADalje tražimo matricu A  I , pa njenu inverznu. Ako vaš profesor dozvoljava , radi lakšeg rada, matricu A  I možemoobeležiti nekim slovom, recimo sa M. Ako se profesor ljuti, vi nastavite da radite sa A  I .  2 1 0  1 0 0  1 1 0 A  I   0 2 1   0 1 0   0 1 1   M       1 1 2  0 0 1  1 1 1       sada je X  M 1  A 1tražimo M 1  adjM det M 1 1 0 1 1 0 1 1det M  0 1 1  0 1 1 0 1  1  1  0  0  1  0  1  det M  1 , matrica je regularna… 1 1 1 1 1 1 1 1Ako vam se u radu dogodi da je det M  0 , onda takva matrica nema inverznu matricu i tu prekidate sa radom.Tražimo kofaktore i adjungovanu matricu: www.matematiranje.com 13
14. 14. 1 1 0 1 1 0 1 1 0   1 1   1 0   1 0M 0 1 1   M 11   0 M 0 1 1   M 21    1 M 0 1 1   M 31   1   1 1   1 1   1 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0   0 1   1 0   1 0M  0 1 1   M 12   1 M 0 1 1   M 22   1 M  0 1 1   M 32    1   1 1   1 1   0 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0   0 1   1 1   1 1M  0 1 1   M 13    1 M 0 1 1   M 23   0 M  0 1 1   M 33   1   1 1   1 1   0 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1  0 1 1 adjM   1 1 1 , odavde smo dobili da je inverzna matrica:    1 0 1     0 1 1   0 1 1  1 1    M 1   1 1 1M    1 1 1   1  1 0 1     1 0 1   Sad možemo da se vratimo u rešenje i da zamenimo:X  M 1  A  0 1 1   2 1 0X   1 1 1   0    2 1   1 0 1  1    1 2   0  2  (1)  0  1 1 0 1  (1)  2  1 1 0  0  ( 1) 1  1  2 X  1  2  1  0  (1) 1  1 1  1  2  (1) 1 1  0  11  (1)  2    (1)  2  0  0  1 1  (1) 1  0  2  1 1 (1)  0  0 1  1  2   1 1 1 X   1 2 1    1 0 2   12. Rešiti matričnu jednačinu AX  B  BX  I ako su date matrice: 1 2 1  1 2 2 A  0 1 1    i B  1 1 2  .   0 2 2    2 1 1  Rešenje: www.matematiranje.com 14
15. 15. AX  B  BX  IAX  BX  B  I A  B X  B  I A  B  A  B X   A  B  B  I  1 1 X   A  B B  I  1Izrazili smo X, sada tražimo inverznu matricu … 1 2 1  1 2 2   0 0 1A  B  0 1 1   1 1 2    1 0 1       0 2 2   2 1 1   2 1 3      Kao i malopre, radi lakšeg rada, ovu matricu ćemo obeležiti sa M.  0 0 1 1M   1 0 1 , onda je M 1    adjM det M  2 1 3   0 0 1 0 0det M  1 0 1 1 0  0  0  1  0  0  0  1 2 1 3 2 1  0 0 1   0 0 1   0 0 1    0 1   0 1   0 1M   1 0 1   M 11   1 M   1 0 1   M 21    1 M   1 0 1   M 31   0   1 3   1 3   0 1  2  1 3    2  1 3    2  1 3   0 0 1   0 0 1   0 0 1    1 1   0 1   0 1M   1 0 1   M 12    1 M   1 0 1   M 22    2 M   1 0 1   M 32   1   2 3   2 3   1 1  2  1 3    2  1 3    2  1 3   0 0 1   0 0 1   0 0 1    1 0   0 0   0 0M   1 0 1   M 13    1 M   1 0 1   M 23   0 M   1 0 1   M 33   0   2 1   2 1   1 0  2  1 3    2  1 3    2  1 3    1 1 0   1 1 0   1 1 0   1 2 1   M 1  1  1 2 1   M 1   1 2 1 adjM    1     1 0 0     1 0 0     1 0 0     1 2 2  1 0 0   2 2 2 B  I  1 1 2   0 1 0   1 2 2         2 1 1  0 0 1   2 1 2        www.matematiranje.com 15
16. 16. I konačno je :  1 1 0   2 2 2 X   A  B   B  I    1 2 1   1 2 2   1      1 0 0   2 1 2       1 2   1 1  0  2 1 2   1  2  0 1 1 2   1  2  0  2     1  2   2  1  1  2  1  2   2   2  1 1  1  2   2   2  1  2    1  2  0 1  0  2   1  2  0  2  0 1  1  2  0  2  0  2   1 0 0 X   2 5 4     2 2 2    www.matematiranje.com 16