Matematicas cuaderno Cálculo Númerico
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Matematicas cuaderno Cálculo Númerico

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Describe Modelo matemáticos para el cálculo

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Matematicas cuaderno Cálculo Númerico Matematicas cuaderno Cálculo Númerico Document Transcript

  • Modelos, computadoras y analisis de errorLos metodos numericos constituyen tecnicas, mediante las cuales el posibleformular problemas matematicos, de tal forma que pueden resolverse utilizandooperaciones aritmeticas.Aunque existen muchos tipos de metodos numericos estos comparten unacaracteristica comun. Invariablemente requiere n de un buen numero de tediososcalculos aritmeticos, no es raro que con el desarrollo de computadoras digitaleseficientes y rapidas, el papel de los metodos numericos en la solucion deproblemas de ingenieria, hayan aumentado de forma considerable en los ultimosaños. Métodos sin computadoraAdemás de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidadcreciente de las computadoras y su asociación con los métodos han influido demanera significativa de la solución a cuál de los problemas en ingeniería. Antesde la era de las computadoras los ingenieros solo contaban con 3 métodos parala solución de problemas.1.- Se encontraban las soluciones de algunas problemas usando métodos exactosy analíticos dicho soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensiónexcelente de comportamiento de algunas sistemas. No obstante las solucionesanalíticas solo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Estosincluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y tambiénaquellos que tiene una geometría simple y de bajas dimensiones. Enconsecuencia, las soluciones analíticas, tiene un valor práctico limitado porque lamayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesoscomplejos.2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas que se usaban solucionesgraficas, las cuales tomaban la forma o monograma; aunque las técnicasgraficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos los resultados noson muy precisos. Además, las soluciones graficas sin la ayuda de unacomputadora son un extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, lastécnicas graficas están limitadas a los problemas que pueden describirse usando3 dimensiones o menos.3.- Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas decálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían de ser, perfectasadecuados para resolver problemas complicados, en la práctica se presentabanvarias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.
  • Además los resultados no son consistentes ya que surgen equivocaciones cuandose efectúan los numerosos cálculos de esta manera.La era antes de las computadoras La era de las computadoras Formulación: leyes Formulación: exposición fundamentales profunda de la relación explicadas brevemente. del problema con las leyes fundamentales Solución: métodos muy elaborados y con Solución: método de la frecuencia complicados computadora fácil de para hacer manejable el usar problema Interpretación: la facilidad Interpretación: análisis de calcular permite profundo limitado por una olisticamente y desarrollo. solución que consume La intuición; es factible tiempo estudiar la sensibilidad y comportamiento de los sistemas. Modelo matemático y solución de problemasEl conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz decualquier herramienta si no sabemos cómo funcionan las herramientas porejemplo tendremos serios problemas para reparar un automóvil aunque la cajade herramientas sea la más completa.Esta es la realidad particularmente cuando se utilizan computadoras para resolverproblemas de ingenieros. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, sonprácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas deingeniería. Esta comprensión es inusualmente es empírica resulta esencial, soloestamos a la mitad del camino. Durante muchos años de observación yexperimentación los ingenieros y los científicos han advertido que ciertos aspectosde sus estudios empíricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento generalpuede expresarse como las leyes fundamentales que engloban en esencia elconocimiento acumulada de la experiencia pasada. Así muchos problemas de
  • ingeniería que resuelven con el empleo de un doble enfoque: empírico y análisisteórico.Debe destacarse que ambos estrechamente relacionados conforme se obtienennuevos mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o a un descubrirseotros nuevas. En lo particular generalizaciones sirven para organizar principios quese utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en unsistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones.Desde la perspectiva de solución de un problema de ingeniería, el sistema es aunmás útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático. Un modelo matemático simpleUn modelo matemático se define de manera general, como una formulación ouna ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o deun proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representamediante una relación funcional de la forma:Variable dependiente = F (Variable independiente, parámetros, funciones defuerza)Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja elcomportamiento o estudio de un sistema, las variables independientes son, por locomún dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales sedetermina el comportamiento del sistema; parámetros son el reflejo de laspropiedades o la composición del sistema y las funciones de fuerza sin influenciasexternas que actúan sobre el sistema. Programación y softwareHemos vistos desarrollos de modelos matemáticos a partir de la fuerza total parapredecir un dato. Para el modelo matemático hacer a mano sería muy laboriosoy tomaría mucho tiempo pero, con la ayuda de la computadora tales cálculospueden realizarse fácilmente. Programas computacionalesLos programas computacionales son únicamente conjunto de instrucciones quedirigen a la computadora para realizar una cierta tarea. Hay mucha gente queescribe programas para un amplio rango de aplicaciones en los lenguajes de altonivel, porque tienen una gran variedad de capacidades.
  • Aunque habrá algunos ingenieros que usaran toda la amplia gama decapacidades, la mayoría necesitara realizar los cálculos numéricos orientados auna ingeniería. Programación estructuradaEn los comienzos de la computación, los programadores nos daban muchaimportancia a que sus programas fueran claros y fáciles de entender. Sinembargo ahí se reconoce que escribir programas realizados y bien estructurados. AlgoritmoProcedimientos matemáticos general que vamos a aplicar a los problemas que senos presentan; es un procedimiento matemático que nos indica la seria de pasosy decisiones que normas a tomar para la solución del problema característicos.Siempre debe terminar en un determinado número de pasos:Las acciones deben definirse sin ambigüedadPuede tener entrada.- una o varias entradasSalida: puede tener una o varias salidasEfectividad.- todas las operaciones deber de ser los suficientemente básicas paraque pueden hacerse en un tiempo no mayor que el de una persona que tengalápiz y papel. Errores accidentalesDebido a las apreciaciones del observador y cortas causas Error de truncamientoSe debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.Sucede cuando se toman solo algunos términos de una serie inf. ó cuando setoma solo un numero finito de intervalos un caso adicional de error detruncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada solo toma encuenta los dígitos que aparecen en la pantalla y no analizan los primeros dígitosperdidos. Error de redondeo interior
  • Se deprecian los dígitos que no pueden conservarse de la localización dememoria correspondiente (pensando de una manera estricta este caso puedeconsiderarse como un truncamiento). Este caso tiene dos alternativas a) Para números positivos: el último digito que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual que el 5. b) Para los números negativos: el último digito en la localización de memoria se reduce en una unidad si el primer digito despreciado es mayor o igual a 5. Error AbsolutoEs la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado.y= valor realy*= valor aprox.ly = 1y-y*1 Error RelativoEs el cociente del error absoluto entre el valor realRy= ey error absoluto /yRy= y-y*Para todo y diferente a cero.Ejemplos numero 1, serie de Taylorcos x = 0.8775825619  valor realAplicando la serie Taylorn=0 = 1 valor aprox.
  • Error absoluto:ey= |y-y*|ey= |0.877582 -1|ey= 0.122418Error Relativo:ry= =ry= = 0.32425y= 0.877582Para n=1 = = -0.125Ey=|y-y*|= |0.8775825619 + .125|= |.00258256|Ry= = 1.142436Para n=2x= 0.5 y=0.8775825619y*= = = 0.015625ey= |y-y*|= |0.8775825619-0.015625|= 0.86195756ry= = = 0.9821950738Para n=3x= 0.5 y= .8775825619y* = = = -0.0208333ey= |y-y*|= |0.8775825614 + 0.0208333| = 0.89841589ry= = = 1.02373
  • Calcular el cos 0.5 Rad. Valor real y valor aprox. Utilizando la serie Taylor para lasinteracciones:n=1n=2n=3n=4Calcular el error absoluto, el error relativo - serie de Taylor cos x = - = -0.1250.5 = 0.87500000 valor aproximadoey= |y-y*|= |0.87758256- 0.87500000|= 0.00258256  error absolutoErry = = 0.00294281Cos x= |-0.125 + 0.00260416= 0.87760416 + (-0.00002170) = 0.87758246Cos (0.5) = 0.87758256n=2 = = = = 0.00260416ey= |y-y*|ey= |0.87758256 – 0.87760416|ey= 0.00002160ry= | |=ry= = = 0.00002462
  • n=3Valor real = .87758256n=3 = = = -0.00002170ey= |y-y*|ey=|0.87758256 - 0.87758246|ey= 0.00000010ry= | |=ry= = 0.00000011n=4x=0.5y=0.87758256y*= = = = 0.0000009ey= |y-y*| = |0.87758256 – 0.87758255 = 0.00000001ry= = = 0.00000001 - Calcular para sen (0.5) con la serie de Taylor - Para n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
  • 1.- sen (0.5) = 0.47942554n=0(-1)°ey= |y-y*| = |0.47942554 – 0.5|= 0.02057446ry= = = 0.04291482Para n =1 =0.5 - 0.02083333 =0.47916667Error absolutoey = ly-y*ley = l0.47942554-0.47916667l = 0.00025887Error relativory=ry=para n=2 = 0.5 – 0.02083333 +0.00026042 =0.47942709Error absolutoey= |y-y*|ey= |0.47942554 – 0.47942709| = 0.00000155Error relativory=
  • ry=para n=3=0.47942709- 0.00000155=0.47942554Error absolutoey= |y-y*|ey= |0.47942554 – 0.47942554| = 0Error relativory=ry=para n=4=0.47952554 – 0.00000001=0.47942555Error absolutoey= |y-y*|ey= |0.47942554 – 0.47942555| = 0.00000001Error relativory=ry=Calcular por donde x=0.3 interaccion n=0 a n=8
  • Calcular valor real, valor aproximado, error absoluto, error relativo.Valor real N=0Valor aproximadoError absolutoey= |y-y*|ey= |1.3498588 –1| = 0.34985881Error relativory=ry=Para n=1Error absolutoey= |y-y*|ey= |1.3498588 –1.3| = 0.04985881Error relativory=ry=para n=2= 1.3 + 0.045 = 1.34500000Error absolutoey= |y-y*|ey= |1.34985881 –1.34500000| = 0.00485881
  • Error relativory=ry=ry=para n=4Error absolutoey= |y-y*|ey= |1.34985881 –1.34983750| = 0.00002131Error relativory=ry=para n=5Error absolutoey= |y-y*|ey= |1.34985881 –1.34985775| = 0.00000106Error relativory=ry=para n=6Error absoluto
  • ey= |y-y*|ey= |1.34985881 –1.34985876| = 0.00000005Error relativory=ry=para n=7Error absolutoey= |y-y*|ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001Error relativory=ry=para n=8Error absolutoey= |y-y*|ey= |1.34985881 –1.34985880| = 0.00000001Error relativory=ry=
  • Calcular para x=0.7 n=1, n=2, n=3, n=4Valor real, valor aproximado, Error absoluto, Error relativoln(x+1)=(-1)^n-1 ^npara n=0ln(0.7+1)=0.53062825 valor realValor aprox. (-1)^0-1 ^ 0 =(-1)^-1 = ^1 = -1Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-1l = 0.46937175Error relativo ry= = = 0.88455854para n=1Valor aproximado ^1= = -1 + 0.7 = -0.30000000Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.30000000l = 0.23062825Error relativo ry= = = 0.43463244para n=2Valor aproximado (-1) ^2-1 ^2= = -0.245-0.30000000=-0.54500000Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-Error relativo ry= = = 0.53828316para n=3Valor aproximado (-1) ^3-1 ^3= = -0.11433333-0.245= -0.13066667Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.13066667l= 0.39996158
  • Error relativo ry= = = 0.75375101para n=4Valor aproximado (-1) ^4-1 ^4 = = -0.060025-0.13066667= -0.019069167Error absoluto ey= ly-y*l = l0.53062825-0.19069167l= 0.33993658Error relativo ry= = = 0.64063038 Relación de NewtonSirve para determinar donde existen raíces positivas, su formula es la sig:Donde a1, a2, a3 son los primeros coeficientes del polinomio dado. ØIntervalo donde existen raíces positivas*Ejemplo:Calcular la relación de newton para el intervalo donde existen raíces positivas.Para f(x) =a1 = 1a2 = -2.0374a3 = -15.4245a4 = 15.6696
  • Calcular el rango de raíces positivas en base a la relación de Newtonf(x) =f(x) =f(x)=f(x)=a1 = 1a2 = -5a3 = -2a4=76a=1a2=-25a3=164a4=-320
  • a1 = 1a2 = -2a3 = 8a4 = -4Calcular las raíces positivas de la sig. FunciónCalcular los intervalos para los subintervalos n = 12a1= 1a2= -5a3= -12 = = 0. 58333333
  • X f(x) Xa 0 -79 Xa+h 0.58333333 -39.62668808 Xa+2h 1.16666666 -12.75386825 Xa+3h 1.74999999 -0.16796885 Xa+4h 2.33333332 -0.87654307 Xa+5h 2.91666665 -11.10816899 Xa+6h 3.49999998 -24.31249960 Xa+7h 4.08333331 -31.16025271 Xa+8h 4.66666664 -19.54321105 >Raíz positiva Xa+9h 5.24999997 25.42577779 Xa+10h 5.83333330 121.4128013 Xa+11h 6.41666663 288.8628822 Xa+12 6.99999996 550.9999782Calcular las raíces positivas de las sig. funciones.f(x) = a) Calcular b) Calcular los intervalos c) Calcular los subintervalos para n = 12 d) Realizar la tabla de tabulación y determinar los cambios de signo de Descartes =17.23368784a1= 1a2 =-25a3=164
  • X f(x) Xa 0 -320 Xa+h 1.43614066 -133.0733915 Xa+2h 2.87228132 -31.49954221 >Raíz positiva Xa+3h 4.30842198 2.49378860 >Raíz positiva Xa+4h 5.74456264 -13.32115847 Xa+5h 7.18070330 -61.17214280 Xa+6h 8.61684396 -123.2869238 Xa+7h 10.05298462 -181.8932607 Xa+8h 11.48912528 -219.2189131 Xa+9h 12.92526594 -217.4916401 Xa+10h 14.36140660 -158.9392014 Xa+11h 15.79754726 -25.78935606 >Raíz positiva Xa+12h 17.23368792 199.7301364a) Calcular Xrmaxb) Calcular los intervalos para subintervalos de n = 13c) Determinar y marcar los cambios de signo de Descartes donde se encuentra laposible raíza1= 1a2= -3a3= -1
  • x f(x)Xa 0 -5Xa+h .27735010 -0.27232758 >Raíz positivaXa+2h .55470020 3.84646954Xa+3h .83205030 7.18538590Xa+4h 1.10940040 9.71542788Xa+5h 1.38675050 11.54961370Xa+6h 1.66410060 12.94297339Xa+7h 1.94145070 14.29254886Xa+8h 2.21880080 16.13739383Xa+9h 2.49615090 19.15857386Xa+10h 2.77350100 24.17916636Xa+11h 3.05085110 32.16426057Xa+12h 3.32820120 44.22095757Xa+13h 3.60555130 61.59837029 Método de bisección, método del medio intervalo, búsqueda binaria.Para xa ≤ x ≤ xbXm =f (xm) * f (xb) | ≤ EpUna vez que el intervalo contiene la raíz, ha sido localizado por el técnico debúsqueda este puede todavía subdividirse reiteradamente para encerrar aunmas a la raíz localizada.Este proceso se continúa hasta que el sub intervalo sea tan pequeño que la raízserá determinada, El procedimiento es el sig.:
  • 1.-Se determina el punto medio del intervalo Xm = 2.-Se determina el producto f (xm) * f (xb), si este producto es negativo o nos indica que las funciones son de signo contrario, quedando localizada la raíz entre xm y xb, si el producto es f(x) no la atravesado el eje x entre xm y xb y la raíz debe encontrarse entre xa y xm. 3.-Se selecciona el intervalo el cual tiene la raíz, se bisecta y se vuelve a repetir el procedimiento, esto se realiza hasta que la raíz es localizada con la precisión deseada aplicando la formula . f(x) = x3 - 25x2 + 164x - 320 = 0 Intervalo= 2.8722812 ≤ x ≤4.30842189 xm = |(xa+xb)/2| xa (xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb) ≤ Ep ≤ 0.00012.8722812 3.5403525 4.3084218 -31.4995422 -7.174221 2.4937886 0.718 -3.5403525 3.94938715 4.3084218 -7.174221 0.64194669 2.4937886 0.1793.94938715 4.12890448 4.3084218 -0.64194669 1.3329829 2.4937886 0.0853.94938715 4.03914582 4.12890448 -0.64194669 0.4498886 1.3329829 0.044 -3.94938715 3.99042268 4.03914582 -0.64194669 0.11612114 0.4498886 0.0243.99042268 4.01478425 4.03914582 -0.11612114 0.17457277 0.4498886 0.0123.99042268 4.00260347 4.01478425 -0.11612114 0.3115348 0.17457277 0.0063.99042268 3.99651308 4.00260347 -0.11612114 -0.0420012 0.03115348 0.0033.99651308 3.99955828 4.00260347 -0.0420012 -0.005303 0.03115348 0.001
  • Intervalo= 4.30842189 ≤ x ≤ 5.74456264 xm = |(xa+xb)/2| xa (xa+xb)/2 xb f ( xa) f (xm) f (xb) ≤ Ep ≤ 0.0001 - 4.30842189 5.02649227 5.74456264 2.49378821 -0.29841478 13.32115847 0.35903519 4.30842189 4.66745708 5.02649227 2.49378821 2.51534999 -0.29841478 0.1795176 4.66745708 4.84697468 5.02649227 2.51534999 1.44552772 -0.29841478 0.0897588 4.84697468 4.93673348 5.02649227 1.44552772 0.65565201 -0.29841478 0.0448794 4.93673348 4.98161288 5.02649227 0.65565201 0.19887129 -0.29841478 0.0224397 4.98161288 5.00405258 5.02649227 0.19887129 -0.04474249 -0.29841478 0.01121985 4.98161288 4.99283273 5.00405258 0.19887129 0.0783259 -0.04474249 0.00560993 4.99283273 4.99844266 5.00405258 0.0783259 0.01710654 0.04474249 0.00280496 4.99844266 5.00124762 5.00405258 0.01710654 -0.01373938 -0.04474249 0.00140248 Intervalo= 15.79754726 ≤ x ≤ 17.23368796 |(xa+xb)/2| xm = ≤ Ep ≤ xa (xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb) 0.000115.79754726 16.51561761 17.23368796 -25.7893561 74.31342236 199.7301441 0.3590351815.79754726 16.15658244 16.51561761 -25.7893561 21.23663587 74.31342236 0.1795175915.79754726 15.97706485 16.15658244 -25.7893561 -3.01535338 21.23663587 0.089758815.97706485 16.06682365 16.15658244 -3.01535338 8.92372372 21.23663587 0.044879415.97706485 16.02194426 16.06682365 -3.01535338 2.90772722 8.92372372 0.022439715.97706485 15.99950456 16.02194426 -3.01535338 -0.06539309 2.90772722 0.0112198515.99950456 16.01072441 16.02194426 -0.06539309 1.41826865 2.90772722 0.0056099315.99950456 16.00511449 16.01072441 -0.06539309 0.67571379 1.41826865 0.0028049615.99950456 16.00230953 16.00511449 -0.06539309 0.30497999 0.67571379 0.00140248
  • f(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0 Intervalo= 4.66666664 ≤ x ≤ 5.24999997 xm = |(xa+xb)/2| Xa (xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb) ≤ Ep ≤ 0.0001 - 4.66666664 4.95833331 5.24999997 19.54321105 -2.26670882 25.42577779 0.14583333 4.95833331 5.10416664 5.24999997 -2.26670882 10.13816317 25.42577779 0.07291667 4.95833331 5.03124998 5.10416664 -2.26670882 3.59323003 10.13816317 0.03645833 4.95833331 4.99479165 5.03124998 -2.26670882 0.57983013 3.59323003 0.01822917 4.95833331 4.97656248 4.99479165 -2.26670882 -0.86402495 0.57983013 0.00911459 4.97656248 4.98567707 4.99479165 -0.86402495 -0.14727754 0.57983013 0.00455729 4.98567707 4.99023436 4.99479165 -0.14727754 0.21497737 0.57983013 0.00227865 4.98567707 4.98795572 4.99023436 -0.14727754 0.03352581 0.21497737 0.00113932 F(x)= x4-3x3-2x2+17.81x-5 = 0 Intervalo= 0.27735010 ≤ x ≤ 0.55470020 xm = |(xa+xb)/2| ≤ xa (xa+xb)/2 Xb f ( xa) f (xm) f (xb) Ep ≤ 0.00010.2773501 0.41602515 0.5547002 -0.27232759 1.87719663 3.84646954 0.069337530.2773501 0.34668763 0.41602515 -0.27232759 0.82356062 1.87719663 0.034668760.2773501 0.31201887 0.34668763 -0.27232759 0.28069208 0.82356062 0.017334380.2773501 0.29468449 0.31201887 -0.27232759 0.00542352 0.28069208 0.008667190.2773501 0.2860173 0.29468449 -0.27232759 -0.13314526 0.00542352 0.00433360.2860173 0.2903509 0.29468449 -0.13314526 -0.06378365 0.00542352 0.00216680.2903509 0.2925177 0.29468449 -0.06378365 -0.02916065 0.00542352 0.0010834
  • MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN Xn=xa+δ E F(xb) δ Xa ≤ x ≤ xbXA XN Razón T.T C B XB =A F(xa) D Xb-xaCriterio + (positiva) xa ≤ x ≤ xnF(xn)*f(xb)= -(negativo) xn ≤ x ≤ xb
  • F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79 = 0 Intervalo= 4.6666 ≤ x ≤ 5.24999 xn=xa+ɗ xa Xb f (xa) f(xb) d xn f (xn) Ep. 4.6666 5.24999 -19.5461331 25.42462751 0.25356517 4.92016517 -5.07267633 0.05153591 4.6666 4.92016517 -19.5461331 -5.07267633 0.20131837 4.86791837 -8.63380116 0.010732884.86791837 4.92016517 -8.63380116 -5.07267633 0.03291061 4.90082898 -6.42778779 0.003945494.90082898 4.92016517 -6.42778779 -5.07267633 0.0108073 4.91163628 -5.67583669 0.00173647 F(x)= x3-25x2+164x-320 = 0 Ep=0.00001 ≤ x Intervalo= 2.87228000 ≤ x ≤ 4.30842000 Criterio: F(xa)*f(xn) < 0 xb=xn F(xa)*f(xn) > 0 xa=xn ≤ Ep≤xn Xa xb f(xa) f(xb) d xn = xb - d f (xn) 0.0001 1 2.87228 4.30842 -31.49954221 2.49378015 0.10555254 4.20286746 190,774,089 2 2.87228 4.20286746 -31.49954221 1.90774089 0.07598391 4.12688355 131,535,270 0.01841193 3 2.87228 4.12688355 -31.49954221 1.31535227 0.05028955 4.076594 0.84331102 0.01233617 4 2.87228 4.076594 -31.49954221 0.84331102 0.03140141 4.04519259 0.51585257 0.00776265 5 2.87228 4.04519259 -31.49954221 0.51585257 0.01889872 4.02629387 0.30655684 0.00469383 6 2.87228 4.02629387 -31.49954221 0.30655684 0.01112274 4.01517113 0.17906493 0.00277018 7 2.87228 4.01517113 -31.49954221 0.17906493 0.00646025 4.00871088 0.10354479 0.00161155
  • Calcular las raíces positivas del siguiente polinomio utilizado el método de falsaposición, calcule las interacciones cuando n = 12F(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 a1=-0.1 a2=-0.15 a3=-0.5Xrmax (a2/a1)2- 2 (a3/a1) Xrmax (-0.15/-0.1)2- 2 (-0.5/-0.1) = x f(x) -5 -53.80000000 -4.5 -35.13750000 -4 -21.80000000 -3.5 -12.62500000 -3 -6.60000000 -2.5 -2.86250000 -2 -0.70000000 -1.5 0.45000000 -1 1.00000000 -0.5 1.21250000 0 1.20000000 0.5 0.92500000 1 0.20000000 1.5 -1.31250000 2 -4.10000000 2.5 -8.80000000 3 -16.20000000 3.5 -27.23750000 4 -43 4.5 -64.72500000 5 -93.80000000
  • F (x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 intervalos = -2 < x < -1.5 d = f (xb)*(xa-xb) ep = xn – (xn - 1) f (xa)- f (xb) xnn xa xb F(xa) F(xb) d xn=xb-d F(xn) ep1 -2 -1.5 -0.70000000 0.45000000 0.19565217 -1.69565217 0.09090663 -------------2 -2 -1.69565217 -0.70000000 0.09090663 0.03498167 -1.73063384 -0.66709372 0.020213213 -1.73063384 -1.69565217 -0.66709372 0.09090663 0.00419534 -1.69984751 0.08206244 0.018111234 -1.73063384 -1.69984751 -0.66709372 0.08206244 0.00337233 -1.70321984 0.07491576 0.00197997 Método Newton – Raphson M = y2 – y1 -xn+1 = f (xn) - xn X2 – x1 f ´ (xn) M = f (xn)- f (xn + 1) xn + 1 = xn - f (xn) xn – xn +1 f ´ (xn) f ´(x) = f (xn) ep = xn+1 – xn xn - xn+1 xn + 1 xn – xn+1 = f (xn) f ´(xn)
  • f(xb) f(x) xa < x < xb xa xb xn+1 m f(xa) Considera la grafica de la función xn es una primera aproximación a una raíz , si dibujamos una recta tangente a la curva x=a xn intersectaran el eje x en un valor xn + 1 que constituye una aproximación mejorada ala raíz la pendiente de la tangente es f(xn) – f (xn+1) la cual presenta la derivada de la función en punto n xn - xn + 1 Xn lo que simbolizamos con f´(xn) resolviendo la ecuación para xn+1 tenemos la siguiente ecuación xn+1= xn – f (xn) de donde se repite el procedimiento con d f´(xn) Esta nueva aproximación obteniendo un valor mejorado ala raíz y continuamos hasta que 2 valores consecutivos de la raíz difieran en una cantidad menor que cierto valor de error permitido que controla el valor predecible de la raíz. f(x) = x3 – 25x2 + 164x -320 = 0 f(x) =3x2 - 50x + 164 = 0n Xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep1 4.308421986 2.49378862 4.26640073 0.58451814 3.72390385 0.156963812 3.72390385 -4.32517815 19.40718715 -0.22286478 3.94676863 0.056467663 3.94676863 -0.67576380 13.39251636 -0.05045831 3.99722694 0.012623334 3.99722694 -0.03337671 12.07212263 -0.00276478 3.99999172 0.000691205 3.99999172 -0.00009936 12.00021528 -0.00000828 4.00000000 0.000002076 4.00000000 0 12 0 4 0
  • f(x)= -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 f´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0 Intervalo = -2 < x < 1.5n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep1 -2 -0.700000000 3.15000000 -0.22222222 -1.77777778 0.125000002 -1.77777778 -0.09187624 2.35301784 -0.03904613 -1.73873165 0.022456673 -1.73873165 -0.00240055 2.23090205 -0.00107604 -1.73765561 0.000619254 -1.73765561 -0.00000170 2.22760807 -0.00000080 -1.73765481 0.000000465 -1.73765481 0 2.22760562 0 -1.73765481 0 f(x) = -0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2 f´(x)= -0.40x3 - 0.45x2 -1x - 0.25=0 Interval = 1< x < 1.5 n xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep 1 1 0.20000000 -2.10000000 -0.09523810 1.09523810 0.08695653 2 1.09523810 -0.01454231 -2.41054963 0.00603278 1.08920532 0.00553870 3 1.08920532 -0.00006219 -2.38995046 0.00002602 1.08917930 0.00002389 4 1.08917930 0 -2.38986189 0 1.08917930 0 Determinar las raíces positivas por medio del método newton raphson F(x) = x5- 3x4+3x3-17x-3=0 f ´(xn)= 5x4-12x3+9x2-17=0 x F(x) -5 -5293 -4.5 -3275.34375000 -4 -1919 -3.5 1047.53125000 -3 -519 -2.5 -222.21875000 -2 -73 -1.5 -10.40625000 -1 7 -0.5 4.90625000 0 -3 0.5 -11.28125000 1 -19 1.5 -25.96875000
  • 2 -29 2.5 -18.15625000 3 27 3.5 141.15625000 4 377 4.5 808.96875000 5 1537 xn F(xn) F´(xn) F(xn)/ F´(xn) Xn+1 ep1 -1.5 -10.40625000 69.06225000 -0.15067873 -1.34932127 0.111670022 -1.34932127 -1.84880357 45.44015974 -0.04068656 -1.30863471 0.031090853 -1.30863471 -0.11252868 39.96926207 -0.00281538 -1.30581933 0.02156034 -1.30581933 -0.00051455 39.60403579 -0.00001299 -1.30580634 0.000009955 -1.30580634 -0.00000010 39.60235460 0 -1.30580634 0 Intervalo= -0.5 ≤ x ≤ 0 xn+1=xn- |(xn+1 - xn)/xn+1| n xn f(xn) f(xn) f(xn)/f(xn) (f(xn)/f(xn)) ≤ Ep≤0.00001 - 1 -0.5 4.90625 -12.9375 0.37922705 -0.12077295 3.14 2 -0.12077295 -0.95280868 -16.846522 0.05655818 -0.17733113 0.31894109 3 -0.17733113 -0.005242 -16.6451217 0.00031493 -0.17764606 0.00177278 4 -0.17764606 -0.00000022 -16.6437232 0.0000001 -0.17764607 0.00000007 5 -0.17764607 0 -16.6437232 0 -0.17764607 0 Intervalo= 2.5 ≤ x ≤ 3 xn+1=xn- |(xn+1 - xn)/xn+1| n xn f(xn) f(xn) f(xn)/f(xn) (f(xn)/f(xn)) ≤ Ep≤0.00001 - 1 2.5 -18.15625 47.0625 0.38579017 2.88579017 0.13368615 2 2.88579017 12.11760658 116.323194 0.10417189 2.78161829 0.0374501 3 2.78161829 1.20603414 93.7034892 0.01287075 2.76874754 0.00464858 4 2.76874754 0.01662911 91.1272124 0.00018248 2.76856505 0.00006591 5 2.76856505 0.0000033 91.0910189 0.00000004 2.76856502 0.00000001 6 2.76856502 0 91.0910117 0 2.76856502 0
  • Método de secantexa ≤ x ≤xb M=f’(x) Xn+1 xa Xn-1 xn F(xa) F(xn+1) F(xn-1)m= =Por el método de Newton Raphson
  • F(x)= x4-5x3-12x2+76x-79=0 Intervalo = 2.1 ≤ x ≤ 2.5n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.0011 2.5 2.1 -3.0625 0.8231 -0.084473337 2.184473337 0.038662 2.1 2.184473337 0.8231 0.40744376 -0.08280432 2.267277657 0.036521473 2.18447334 2.26727766 0.40744376 -0.22348814 0.02933087 2.23794679 0.013106154 2.26727766 2.23794679 -0.22348814 0.02448622 -0.00289628 2.24084307 0.0013625 F(x)=x4-2.0374x3-15.424x2+15.6696x+35.4936=0 Intervalo = 3.944053118 ≤ x ≤ 4.4370599758 n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001 1 4.43705998 3.944053118 10.9819303 -25.656687 -0.34523472 4.28928784 0.08048766 2 3.94405312 4.28928784 -25.656687 -3.35947823 -0.05201586 4.3413037 0.01198162 - 3 4.28928784 4.3413037 3.35947823 1.33107987 0.01476099 4.32654271 0.00341173 4 4.3413037 4.32654271 1.33107987 -0.03855114 -0.00041548 4.32695819 0.00009602 Intervalo = 1.972026559 ≤ x ≤ 2.465033199 n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001 1 2.4650332 1.972026559 -13.1972309 5.91089891 -0.15250642 2.12453298 0.0717835 2 1.97202656 2.12453298 5.91089891 0.00134378 -0.00003465 2.12456763 0.0000163
  • F(x)=25x3-6x2+7x-88=0 Intervalo = 1.5 ≤ x ≤ 2n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.0011 2 1.5 102 -6.625 -0.03049982 1.53049482 0.019924812 1.5 1.53049452 -6.625 -1.71469495 -0.01064889 1.54114372 0.00690973 1.53049482 1.54114372 -1.71469495 0.047446 0.00028672 1.54085699 0.00018608 Calcularlas raíces del sig. Polinomio. f(x)= -0.5x2+2.5x+4.5=0 f’(xn)= -1x+2.5=0 Por el método de Newton Raphson Intervalo= -1.5 ≤ x ≤ -1 |xn+1- xn+1= xn- xn/xn+1| n xn f(xn) f(xn) f(xn)/f(xn) (f(xn)/f(xn)) ≤Ep≤0.00001 1 -1.5 -0.375 4 -0.09375 -1.40625 0.06666667 3.90652 2 -1.40625 -0.00439453 5 -0.001125 -1.405125 0.00080064 - 3.90512 3 1.405125 -0.0000063 5 -0.00000016 -1.40512484 0.00000012 Intervalo= 6 ≤ x ≤ 6.5 xn+1= xn- |xn+1- (f(xn)/f(xn) xn/xn+1| n xn f(xn) f(xn) f(xn)/f(xn) ) ≤Ep≤0.00001 1 6 1.5 -3.5 -0.42857143 6.42857123 0.66666667 6.4285712 2 3 -0.09183673 -3.92857143 0.02337662 6.40519481 0.00364964 6.4051948 3 1 -0.00027323 -3.90519481 0.00006997 6.40512484 0.00001092
  • Determinar las raíces de la función: f(x)= -82x-90x2+44x3-8x4+0.7x5=0 Por el método de secante Intervalo= -1 ≤ x ≤ -0.5n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.0011 -0.5 -1 12.47812500 -60.70000000 -0.41474143 -0.58525857 0.708646492 -1.0 -0.58525857 -60.70000000 7.35649476 0.04483104 -0.63008961 0.071150263 -0.58525857 -0.63008961 7.35649476 3.59894824 0.04293881 -0.67302842 0.063799404 -0.63008961 -0.67302842 3.59894824 -0.73065376 -0.00724626 -0.66578216 0.010883835 -0.67302842 -0.66578216 -0.73065376 0.05154407 0.0004775 -0.66625967 0.000716706 -0.66578216 -0.66625967 0.05154407 0.00065209 0.00000612 -0.666265780 0.00000917 Intervalo= 0 ≤ x ≤ 0.5 n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001 1 0.5 0 -58.47812500 0 0 0 0 Intervalo= 4.5 ≤ x ≤ 5 n xn-1 xn f(xn-1) f(xn) xn+1 Ep≤0.001 - 1 5.0 4.5 27.50000000 170.80312500 -0.43066171 4.93066171 0.08734359 - 2 4.5 4.93066171 170.80312500 -6.39204599 -0.01674345 4.94740516 0.00338429 3 4.93066171 4.94740516 -6.39204589 1.58252140 0.00332267 4.94408249 0.00067205 4 4.94740516 4.94408249 1.58252140 0.01046623 -0.00002183 4.94410432 0.00000442 5 4.94408249 4.94410432 -0.01046623 -0.00001697 -0.00000004 4.94410436 0.00000001
  • 2. Calcular las raices de la función f(x)= 5x3-5x2+6x-2=0 por el método de falsa posición Intervalo= 0<x<0.5n xa Xb f(xa) f(xb) ∂ xn f(xn) Ep 1 0 0.5 -2 0.375 0.07894737 0.42105263 0.01312145 2 0 0.42105263 -2 0.01312145 0.0027444 0.41830823 0.01312145 0.00656071 3 0 0.41830823 -2 0.00092207 0.00019277 0.41811546 0.00092207 0.00046104 4 0 0.41811546 -2 0.00006592 0.00001368 0.41810168 0.00006592 0.00003296 5 0 0.41810168 -2 0.00000472 0.00000099 0.41810069 0.00000472 0.00000257 6 0 0.41810069 -2 0.00000034 0.00000007 0.41810062 0.00000034 0.00000017 7 0 0.41810062 -2 0.00000002 0.00000001 0.41810062 0.00000002 0 El método de Birge-Vieta aplica Newton raphson para encontrar una raíz del polinomio p(x). Dado un punto xdk evalúa p(xk) y p’(xk) mediante división sintética cuando encuentra una raíz p; elimina el factor x-p mediante división sintética y continua trabajando sobre el polinomio restante. El proceso se repite hasta encontrar la raíz del polinomio. Ejemplo: P(x)= x3-2x3-5x+6 valor inicial 0.8333 X1=xk- p(xk)/p’(xk) División sintética 1 -2 -5 6 0.8333 0.8333 0.9722 -4.9766 1 -1.1667 -5.9722 1.0234 0.8333 -0.2778 1 -0.3333 -6.25 X1=0.8333-1.0234/(-6.2500)=0.997044 X1=0.997044=xk
  • 1 -2 -5 -60.997044 0.997044 -0.99999 -5.982254 1 -1.002956 -5.99999 0.017746 0.997044 -0.005894 1 -0.005912 -6.005884X1=0.99704-0.017746/(-6.00589352)=0.999999X1=0.999998 1 -2 -5 60.999998 0.999998 -1 -5.999988 1 -1.000002 -6 0.000012P(x)= x3-25x2+164x-320=0 paraxk: 2.8722812, 4.3084218, 15.79754 1 -25 164 -3202.8722812 2.8722812 -63.55703071 288.500452 1 -22.1277188 100.4429693 -31.4995476 2.8722812 -55.30703142 1 -19.2554376 44.69296858X1=2.8722812-(-31.49954763)/44.69296858=3.577079933X1=3.577079933 1 -25 164 -3203.57707993 3.577079933 -76.63149748 312.5241171 -21.42292007 87.36850252 3.577079933 -63.83599664 -17.84584014 23.53250588
  • X1=3.577079933-(-7.475882852)/23.53250588=3.894763179X1=3.894763179 1 -25 164 -3203.894763179 3.894763179 -82.19989925 318.5920204 1 -21.10523682 81.80010075 -1.40797958 3.894763179 -67.03071903 1 -17.21047364 14.76938172X1=3.894763179-(-1.40797958)/14.76938172=3.990094155X1=3.990094155 1 -25 164 -3203.990094155 3.990094155 -83.83150251 319.8798533 1 -21.00990584 80.168.49749 -0.120146741 3.990094155 -67.91065112 1 -17.01981169 12.25784637X1=3.990094155-(-.01201467408)/12.25784637=3.999895774X1=3.999895774 1 -25 164 -3203.999895774 3.999895774 -83.99822815 319.9987491 1 -21.00010423 80.00177185 -0.001250853X=4Xk=4.3084218 1 -25 164 -3204.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878 1 -20.6915782 74.85195341 2.4937783 4.3084218 -70.58554819 1 -16.3831564 4.266405223
  • 1 -25 164 -3204.3084218 4.3084218 -89.59195341 322.4937878 1 -20.6915782 74.85195341 2.4937783 4.3084218 -70.58554819 1 -16.3831564 4.266405223X1=4.3084218-(2.49378783)/4.266405223=3.7239004461X1=3.7239004461 1 -25 164 -3203.723900446 3.723900446 -79.23014709 -4.325166598 1 -21.27609554 84.7698529 3.723904461 -65.36268266 1 -17.55219108 19.40717025X1=3.7239004461-(-4.325166598)/19.40717025=3.946768822X1=3.946768822 1 -25 164 -320 3.946768822 3.946768822 -83.09223642 319.3242388 1 -2105323118 80.90776358 -0.675761227 3.946768822 -67.51525229 1 -17.10646236 13.39251129X1=3.946768822-(-0.6757612266)/13.38251129=3.997226963X1= 3.997226963 1 -25 164 -320 3.997226963 3.997226963 -83.95285068 319.9666236 1 -21.00277304 80.04714932 0.033376428 3.997226963 -67.9750273 1 -17.00554608 12.07212202
  • X1=3.997226963-(-0.03337642759)/12.07212202=3.999991715X1=3.999991715 1 -25 164 -3203.999991715 3.999991715 -83.99985915 319.9999006 1 -21.00000829 80.0014085 -0.000994209X=4 1 -25 164 -320 15.79754 -145.376229 294.209752 15.79754 1 -9.20246 18.6237701 -25.790247 15.79754 104.18604 6.59508 122.80981xk=16.00754153 1 -25 164 -32016.00754 16.00754 -143.947152 320.99678 1 -8.992458 20.05284 0.996789 16.007541 112.294233 1 7.015083 132.34708xk=16.0000099 1 -25 164 -32016.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305 1 -8.99999 20.000008 0.001305
  • Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomioP(x)=x4-5x3-5x2+23x+10-Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6de .6 en .6-Encontrar las raíces utilizando el método de Birdge-Vieta x f(x) -4 414 -3.4 204.15 -2.8 77.62 -2.2 11.86 -1.6 -12.56 -1 -12 -0.4 0.34 0.2 14.36 0.8 23.04 1.4 22.52 2 12 2.6 -6.21 3.2 26.48 3.8 40.64 4.4 36.52 5 0 5.6 87.2 1 -5 -5 23 10 -2.2 2.2 15.84 -23.834 1.8656 1 -7.2 10.84 -0.848 11.8656 -2.2 20.68 -69.344 1 -9.4 31.52 -70.192xk= 2.030955095
  • 1 -5 -5 23 10 16.00754 -2.030955 14.279554 -8.4358 -8.435878 1 -7.03095 9.272534 4.153642 1.564138 -2.030955 18.404433 -56.224856 1 -9.05191 27.683888 -52.071014xk=- 2.0009 1 -5 -5 23 10 -2.0009 -2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955 1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449 -2.0009 14.0082 -54.0641 1 -9.0018 27.0199 -49.0888xk= 1.9999 es la raiz 1 -5 -5 23 10 1.9999 -1.9999 13.9999 -17.9476 -10.0042 1 -6.9999 8.9992 5.0023 -0.0042xk= 2 1 -5 -5 23 10 -1 -1 6 -1 -22 1 -6 1 22 -12 -1 7 -8 1 -7 8 14xk=-0.1428
  • 1 -5 -5 23 10 0.1428 -0.1428 0.7323 0.6091 -3.3713 1 -5.1428 -4.2656 23.6091 6.6286 -0.1428 0.7547 0.5013 1 -5.2856 -3.5108 24.1104xk=0-4177 1 -5 -5 23 10 -0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846 1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846 -0.4177 2.4372 0.1251 1 -5.8354 -0.2995 24.2683xk=0.4142 1 -5 -5 23 10 0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997 1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093xk=0.4142 es la raíz 1 -5 -5 23 10 2 2 -6 -22 2 1 -3 -11 1 12 2 -2 -26 1 -1 -13 -25xk=2.48
  • 1 -5 -5 23 102.48 2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495 1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495 2.48 -0.0992 -28.145 1 -0.04 -11.3488 -33.044xk= 2.4149 1 -5 -5 23 102.4149 2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214 1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214 2.4149 -0.4107 -28.1417 1 -0.1701 -11.6533 -32.2915xk= 2.4142 1 -25 164 -320 15.79754 -145.376229 294.209752 15.79754 1 -9.20246 18.6237701 -25.790247 15.79754 104.18604 6.59508 122.80981xk=16.00754153 1 -25 164 -320 16.00754 16.00754 -143.947152 320.99678 1 -8.992458 20.05284 0.996789 16.007541 112.294233 1 7.015083 132.34708xk=16.0000099
  • 1 -25 164 -320 16.0000099 16.000001 -143.99999 320.001305 1 -8.99999 20.000008 0.001305Calcular las raíces reales o iguales a 0 del siguiente polinomioP(x)=x4-5x3-5x2+23x+10-Encuentre posibles raíces con el cambio de signo de Descartes a partir del -4 a 6de .6 en .6-Encontrar las raíces utilizando el método de Birge-vieta x f(x) -4 414 -3.4 204.15 -2.8 77.62 -2.2 11.86 -1.6 -12.56 -1 -12 -0.4 0.34 0.2 14.36 0.8 23.04 1.4 22.52 2 12 2.6 -6.21 3.2 26.48 3.8 40.64 4.4 36.52 5 0 5.6 87.2
  • 1 -5 -5 23 10 -2.2 2.2 15.84 -23.834 1.8656 1 -7.2 10.84 -0.848 11.8656 -2.2 20.68 -69.344 1 -9.4 31.52 -70.192xk= 2.030955095 1 -5 -5 23 10 16.00754 -2.030955 14.279554 -8.4358 -8.435878 1 -7.03095 9.272534 4.153642 1.564138 -2.030955 18.404433 -56.224856 1 -9.05191 27.683888 -52.071014xk=- 2.0009 1 -5 -5 23 10 -2.0009 -2.0009 14.0082 -18.0247 -9.955 1 -7.0009 9.00082 4.9753 0.0449 -2.0009 14.0082 -54.0641 1 -9.0018 27.0199 -49.0888xk= 1.9999 1 -5 -5 23 10 1.9999 -1.9999 13.9999 -17.9476 -10.0042 1 -6.9999 8.9992 5.0023 -0.0042
  • xk=-1 1 -5 -5 23 10 -1 -1 6 -1 -22 1 -6 1 22 -12 -1 7 -8 1 -7 8 14xk=-0.1428 1 -5 -5 23 10 0.1428 -0.1428 0.7323 0.6091 -3.3713 1 -5.1428 -4.2656 23.6091 6.6286 -0.1428 0.7547 0.5013 1 -5.2856 -3.5108 24.1104xk=0-4177 1 -5 -5 23 10 -0.4177 -0.4177 2.2669 1.1432 -10.0846 1 -5.4177 -2.737 24.1432 -0.0846 -0.4177 2.4372 0.1251 1 -5.8354 -0.2995 24.2683xk=0.4142 1 -5 -5 23 10 0.4142 -0.4142 2.2426 1.1421 -9.9997 1 5.4142 -2.7424 24.1421 0.00093xk=0.4142 es la raíz
  • 1 -5 -5 23 10 2 2 -6 -22 2 1 -3 -11 1 12 2 -2 -26 1 -1 -13 -25xk=2.48 1 -5 -5 23 102.48 2.48 -6.2496 -27.899 -12.1495 1 -2.52 -11.2496 -4.899 -2.1495 2.48 -0.0992 -28.145 1 -0.04 -11.3488 -33.044xk= 2.4149 1 -5 -5 23 102.4149 2.4149 -6.2429 -27.1428 -10.0214 1 -2.585 -11.2426 -4.1498 -0.0214 2.4149 -0.4107 -28.1417 1 -0.1701 -11.6533 -32.2915xk= 2.4142
  • Calcular las raíces del siguiente polinomio: P(x)= 2x6-3x5-13x4+29x3-27x2+32x-12 a) Realizar las tabulaciones y encontrar los cambios de signo según descartes para encontrar las posible raíz real de .3 en .3 de -5 a 5 b) Calcular las raíces por el método de Birge-Vieta c) Realizar la grafica del polinomiosX F(x)-5 28028-4.7 18325.49857-4.4 11441.73363-4.1 6706.626212-3.8 3573.483008-3.5 1603.25-3.2 449.815808 -3.2-2.9 -153.635188-2.6 -407.219968-2.3 -455.904232-2 -400-1.7 -304.613452-1.4 -218.043008-1.1 -129.127648-0.8 -73.545472-0.5 -39.0625-0.2 -19.7317120.1 -9.0423280.4 -2.019328 0.40.7 3.7267881 81.3 9.0685281.6 5.7643521.9 0.6324922.2 4.1300482.5 39.8752.8 150.9447683.1 407.2245323.4 913.8053123.7 1820.4318084 33324.3 5720.1045084.6 9335.6357124.9 14622.42663
  • 2 -3 -13 29 -27 32 -12-3.2 -6.4 30.08 -54.656 82.0992 -176.3174 461.8158 2 -9.4 17.08 -25-656 55.0992 -144.3174 449.8185 -6.4 50.56 -216.448 774.7328 -2655.4624 2 -15.8 67.64 -242.104 829.832 -2799.7798Xi= -3.2 – (( 449.8158)/(-2799.7798)) = -3.0393 = xk 2 -3 -13 29 -27 32 -12-3.0393 -6.0786 27.5928 -44.3519 46.6592 -59.7503 84.3416 2 -9.0786 14.5928 -15.3519 19.6592 -27.7503 72.3416 -6.0786 46.0672 -184.3641 606.9970 -1904.5963 2 -15.1572 60.6600 -199.7160 626.6562 -1932.3466Xk=3.0018 2 -3 -13 29 -27 32 -12-3.0018 -6.0037 27.0273 -42.1074 39.3457 -37-0596 15.1879 2 -9.0037 14.0273 -13.1074 12.3457 -5.0596 3.1879 -6.0037 45.0492 -177.3358 571.6726 -1753.1062 2 -15.0074 59.0765 -190.4432 584.0183 -1758.1658Xk=- 2.9999 =
  • 2 -3 -13 29 -27 32 -12-2.9999 -5.9999 26.9990 -41.9956 38.9856 -35.9558 11.8672 2 -8.9999 13.9990 -12.9956 11.9856 -3.9558 -0.1327 -5.9999 44.9979 -176.9898 569.9222 -1745.6652 2 -14.9998 58.9996 -189.9804 581- -1749.6210 9078Xk=- 2.9999 X= -3 es la raízxk= 0.4 2 -3 -13 29 -27 32 -120.4 -0.8 -0.88 -5.552 9.3792 -7.04832 9.9806 2 -2.2 -13.88 23.448 -17.6208 24.95168 -2.0193 -0.8 -1.2 -6.032 6.9664 -4.2617 2 -3 -15.08 17.416 -10.5644 20.6898Xk=- 0.4975 2 -3 -13 29 -27 32 -120.4975 -0.995 -0.9974 -6.9637 10.9630 -7.9783 11.9507 2 -2.005 -13.9974 22.0362 -16.0369 24.0216 -0.0492 -0.995 -0.5024 -7.2136 7.3741 -4.3096 2 -1.01 -14.4998 14.8225 -8.6627 19.7119Xk=- 0.4999
  • 2 -3 -13 29 -27 32 -120.4999 -0.9999 -0.9998 -6.9985 10.9985 -7.9991 11.9980 2 -2.0000 -13.9998 22.0014 -16.0014 24.0008 -0.0019X= -0.5 es la raízSistema de Ecuaciones lineales (Algebraicas)a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 + ... a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 + ... a2n xn = b2a31 x1 + a32 x2+ .a33 x3 + ... a3n xn = b3 . . . . . . . . . . .am1 x1 + am2 x2+ am3 x3 + ... amn xn = bmAx= BDonde: A = es la matriz de coeficiente b = es el vector del coeficiente X = es el vector de solución Determinados (solución única) ConsistentesSolución de Indeterminados (familia de soluciones)Sistemas deEcuacionesLineales Inconsistentes (no tiene solución)
  • l2 l1 l1 l2 Solución Familia de soluciones y l1 Única (x, y) Linea Paralela l2 x No solucion x y yx + y = 10-10 20 -13x–y=30 10 -310 0 7y= 10 – xx=3+y (-10, 20)
  • (-10, -20) 20 18 16 14 12 10 (0, 10) 8 (10, 7) 6 4 (10, 0) 2 -2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 -4 -6 (0, -3) -8 -10 -12 -14 (-10, -13)x=3+y x = 3 + 3.5y = 10 – (3 + y ) x = 6.5y= 10 – 3 – y2y = 7Y = 7/2 = 3.5
  • Método de GaussEl método de Gauss consiste en resolver un sistema de ecuaciones linealestransformándola en una matriz. Haciendo la diagonal principal “unos” y eltriángulo inferior “ceros”.Matriz Identidad:1 0 00 1 00 0 1Triangulo Inferior Diagonal Principal Triangulo SuperiorPara hacer la diagonal principal “unos” y el triángulo inferior “ceros” se debe deproceder a hacer las operaciones básicas de las matrices. 1) Intercambiar filas. 2) Dividir entre un escalar. 3) Multiplicar entre un escalar y sumar una fila.Ejemplo:Determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2. 23x + 4y = 3x + 5y = 7 3 4 3 1 5 7 1 5 7 -> -> 1 5 7 3 4 3 0 -11 -18 F2 <-> F1 F1(-3) + F2 F2(-1/11) 1 5 7 0 1 1 7/11y = 18/11 verificación:x + 5(18/11) = 7 x + 5y = 7x = 7 – 90/11 -13/11 + 5(18/11) = 7x = -13/11 77/11 = 7 7=73x1 + 6x2 – 2x3 = 11x1 + 0x2 + 4x3 = 94x1 + 3x2 – 5x3 = -5
  • 3 6 -2 11 1 0 4 9 1 0 4 9 -> 3 6 -2 11 4 -3 -5 -5 4 3 -5 -5 F1 <-> F2 F1 (-3) + F2 F1 (-4) + F3 1 0 4 9 1 0 4 9 0 6 -14 -16 -> 0 1 -2 1/3 -2 2/3 0 3 -21 -41 0 3 -21 -41 F2 (1/6) F2 (-3) + F3 1 0 4 9 1 0 4 9 0 1 -2 1/3 -2 2/3 -> 0 1 -2 1/3 -2 2/3 0 0 -14 -33 0 0 1 2 5/14 F3 (-1/14)x3 = 33/14x2 = -8/3 + 77/14 = 119/42x1 = 9 – 4(33/14) = 126/14 – 132/14 = -6/14 = -3/7Verificación:x1 + 0x2 + 4x3 = 9-3/7 + 132/14 = 9-3/7 + 66/7 = 963/7 = 99=9
  • Sistema de Ecuaciones 4 x 4:20x1 - x2 – 4x3 + x4 = 30-x1 - 30x2 + 3x3 - x4 = 40x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40-x1 - x2 – 2x3 -25x4 = 50 20 1 -4 1 30 1 1 -32 -1 40 -1 -30 3 -1 40 -1 -30 3 -1 40 -> 1 1 -32 -1 40 20 1 -4 1 30 -1 -1 -2 -25 50 -1 -1 -2 -25 50 F1 <-> F3 F1 (1) + F2 F1 (-20) + F3 F1 (1) + F4 1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40 0 -29 -31 -2 80 0 1 31/29 2/29 -80/29 -> 0 -21 636 21 -770 0 -21 636 21 -770 0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90 F2 (-1/29) F2 (21) + F3 1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40 0 1 31/29 2/29 -80/29 0 1 31/29 2/29 -80/29 -> 0 0 19095/29 651/29 -24010/29 0 0 1 217/6365 -4802/3819 0 0 -34 -26 90 0 0 -34 -26 90 F3(29/19095) F3(34)+F4 1 1 -32 -1 40 1 1 -32 -1 40 0 1 31/29 2/29 -80/29 0 1 31/29 2/29 -80/29 0 0 1 217/6365 -4802/3819 0 0 1 217/6365 -4802/3819 0 0 0 0 0 0 1 F4(-6365/158112) -158112/6365 506978/3819 3226914970/603829728x4 = 1267445/237168x3 = -770x2 = -80/29 +31 – 725/58 = 913/58x1 = 1604 – 98560/4 + 725/4 = 97675/4Verificación:x1 + x2 – 32x3 – x4 = 40-97675/4 + 913/58 – 32(-770) – 725/4 = 40-5665150/232 + 3652/232 + 5716480/232 – 42050/232 = 409280/232 = 40
  • 40 = 40X1 + 10X2 - X3 = 10X1 - 2X2 + 10X3 = 1210X1 + 3X2 + X3 = 141 10 -1 10 ] 1 10 -1 10 1 10 -1 10 1 10 -1 101 -2 10 12 ] = 0 -12 11 2 = 0 1 -11/12 -2/12 = 0 1 -11/12 -2/1210 3 1 14 ] 0 -97 11 -86 0 -97 11 -86 0 0 -935/12 -1226/12F1 (-1) + F2 F2 (-1/12) F2 (97) + F3 F3 (-12/935)F1 (-10) + F3 1 10 -110= 0 1 -11/12 -1/60 0 1 1226/935X3 = 1226/935X2 – 11/12 X3 = -1/6X1 + 10X2 – 1X3 = 10X2 – 11/12(1226/935) = -2/12 X1 + 10(88/85) – 1226/935 = 10X2 – 613/510 = -2/12 X1 + 176/17 – 1226/935 = 10X2 = -1/6 + 613/510 X1 = 10 – 176/17 + 1226/935X2 = 88/85 X1 = 896/935896/935 + 10(88/85) – 1226/935 = 10
  • 2X1 + 3X2 – 5X3 = -34X1 – X2 – 2X3 = -12-3X1 + 10X2 - 5X3 = 112 3 -5 -3 1 3/2 -5/2 -3/2 1 3/2 -5/2 -3/2 1 3/2 -5/2 -3/24 -1 -2 -12 = 4 -1 -2 -12 = 0 -7 8 -6 = 0 1 -8/7 6/7-3 10 -5 11 -3 10 -5 11 0 29/2 -25/2 13/2 ] 0 29/2 -25/2 13/2F1 (1/2) F1 (-4) + F2 F2 (-1/7) F2 (-29/2) + F3 F1 (3) + F3 1 3/2 -5/2 -3/2 ] 1 3/2 -5/2 -3/2= 0 1 -8/7 6/7 ] = 0 1 -8/7 6/70 0 57/14 -83/14 ] 0 0 1 -83/57 F3(14/57)X3= -83/57X2 - 8/7X3 = 6/7X1 + 3/2X2 – 5/2X3 = 3/2X2 – 8/7(-83/57) = 6/7 X1 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2X2 + 664/399 = 6/7 X1 – 23/19 + 415/114 = -3/2X2 = 6/7 – 664/399 X1 = -3/2 + 23/19 -415/114 = -224/57X2 = -46/57-224/57 + 3/2(-46/57) – 5/2(-83/57) = -3/2
  • -224/57 – 23/19 + 415/114 = -3/2 Método de Gauss – Jordan (Matriz Aumentada)X1 + 2X2 – X3 = 10X1 – X2 + 3X3 = 53X1 + X2 – 4X3 = 31 2 -1 10 1 0 0 ] 1 2 -1 10 1 0 0 1 2 -1 10 1 0 01 -1 3 5 0 1 0 ]= 0 -3 4 -5 -1 1 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 03 1 -4 3 001] 0 -5 -1-27 -3 0 1 0 -5 -1 -27 -3 0 1F1(-1) + F2 F2(-1/3) F2(-2) + F1F1(-3) + F3 F2(5) + F3 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0 1 0 5/3 20/3 1/3 2/3 0= 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 = 0 1 -4/3 5/3 1/3 -1/3 0 0 0 -23/3 -56/3 -4/3 -5/31 00 1 56/23 4/23 5/23 -3/23 F3(-3/23) F3(-2/3) + F1F3(4/3) + F2 1 0 0 60/23 1/23 7/23 5/23= 010 113/23 13/23 -1/23 -4/23 001 56/23 4/235/23 -3/23X1 = 60/23X2 = 113/23X3 = 56/23
  • 4x1 – 8x2 = -24X1 + 6x2 = 344 -8 -24 1 0 1 6 34 0 11 6 34 0 1 = 4 -8 -24 1 0 F1 = F2 F1 (-4)+ F21 6 34 01 1 6 34 0 10 -32 -160 1 -4 = 0 1 160/32 -1/32 4/32 F2 (-1/32) F2 (-6) + F1 X1 = 4 X2 = 5 -1.1X1 + 10X2 = 120 -2X1 + 17.4X2 = 174 -1.1 10 120 1 0 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 -2 17.4 174 0 1 = -2 17.4 174 0 1 = F1 (-1/1.1) F1 (2) + F2 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 0 -0.7818 -44.1818 -1.8181 1 = F2 (-1/.7818) 1 -9.0909 -109.0909 -0.9090 0 0 1 56.5129 2.3254 -1.279 = F2 (9.0909) + F1
  • 1 0 404.6623 20.2309 -11.627 0 1 56.5129 2.3254 -1.279 X1 = 404.6623 X2 = 56.51290.5X1 – X2 = -9.51.02X1 – 2X2 = -18.80.5 -1 -9.5 0 1 1 -2 -19 2 01.02 0.04 -18.8 0 1 = 1.02 -2 -18.8 0 2 = F1 (2) F1 (-1.02) + F21 -2 - 19 2 0 1 -2 -19 2 00 0.04 0.58 2.04 2 = 0 1 14.5 51 50 = F2 (1/0.04) F2 (2) + F11 0 10 104 1000 1 14.5 51 50 X1 = 10 X2 = 14.5
  • 10X1 + 2X2 – X3 =27-3X1 – 6X2 + 2X3 = -61.5X1 + X2 + 5X3 = -21.510 2 -1 27 1 0 0 1 1 5 -21.5 0 0 1-3 -6 2 -61.5 0 1 0 = -3 -6 2 -61.5 0 1 0 =1 1 5 -21.5 0 0 1 10 2 -1 27 1 0 0 F1= F3 F1 (3) + F2 F1 (-10) + F31 1 5 - 21.5 0 0 1 1 1 5 -21.5 0 0 10 -3 17 -126 0 1 3 = 0 1 -17/3 42 0 -1/3 1 =0 -8 -51 242 1 0 0 0 -8 -51 242 1 0 0 F2 (-1/3) F2 (-1) + F1 F2 (8) + F31 0 32/3 -63.5 0 1/3 2 1 0 32/3 -63.5 0 1/3 20 1 -17/3 42 0 -1/3 -1 = 0 1 - 17/3 42 0 -1/3 -10 0 -289/3 578 1 -8/3 -8 0 1 -6 -3/289 8/289 24/289 F3 (-3/289) f3 (17/3) + f2 F3 (-32/3) + F11 0 0 0.5 32/289 11/289 322/289 X1 = 0.50 1 0 8 -1/17 -3/17 - 9/17 X2 = 80 0 1 -6 - 3/289 8/289 24/289 X3 = -6
  • 8x1+2x2-2x3=-210x1+2x2+4x3=412x1+2x2+2x3=68 2 -2 -21 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 010 2 4 40 1 0 = 10 2 4 4 0 1 0 =12 2 2 6 0 0 1 12 2 2 6 0 0 1 F1(1/8) F1(-10)+f2 F1(-12)+f31 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 00 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =0 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1F2(2/1) f2(1/4)+f1 f3(1)+f31 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3 - 1/2 1/2 00 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8F3(-1/8) F3(-3)+f1 F3(13)+f2 1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 3/2 x2=-13/2 x3 = 1/2 0 1 0 -13/2 7/8 5/4 -13/8 0 0 -1 1/2 -1/8 1/4 -1/8
  • 2x1-6x2-x3=-38-3x1+x2+7x3=-34-8x1+x2-2x3=-202-6 -1 -38 1 0 0 1 -3-1/2 -19 1/2 0 0-3 -1 7 -34 0 1 0 =-3-1 7 34 0 1 0=-8 1- 2 20 0 0 1 81- 2 -20 0 0 1 F1(1/2) F1(3)+f2 F1(8)+f31 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/8 0 00 1/2 13/2 13/2 -5/4 1 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 00 -1 5 9 -3/2 0 1 0 -1 5 9 -3/2 0 1F2(2/1) F2(1/4)+f1 F3(1)+f31 0 3 3 - 1/2 1/2 0 1 0 3 3: - 1/2 1/2 00 1 -13 -13 5/2 -2 0 = 0 1 -13 -13 5/2 -2 0 =0 0 -8 -4 1 -2 1 0 0 1 1/2 1/8 1/4 -1/8F3(-1/8) F3(-3)+F1 F3(13)+F2 1 0 0 3 - 1/2 1/2 0 x1 = 4 x2=8 x3 = -2 0 1 0 13/2 7/8 5/4 -13/8 0 0 -1 1/2 -1/8 1/4 -1/8
  • Método de Gauss Seidel2x1 – 6x2 + x3 = 12 x1 = (12 + 6x2 - x3)/2-x1 + 7x2- x3 = -8 x2 = (-8 + x1 + x3)/7x1- 3x2 + 2x3 = 16 x3 = (16 - x1 + 3x2)/2{0, 0, 0}x1 = (12 + (6*0) -0)/2 x2 = (-8+6+0)/7 x3 = (16-6+(3*-0.28))/2x1 = 6 x2 = -0.28 x3 = 4.58{6, -0.28, 4.58}x1 = (12 + (6*-0.28) -4.58)/2 x2 = (-8+2.87+4.58)/7 x3 = (16-2.87+(3*-0.07))/2x1 = 2.87 x2 = -0.07 x3 = 6.46Ep = | (6-2.87)/6 | Ep = 0.521{2.87, -0.07, 6.46}x1 = (12 + (6*-0.07) -6.46)/2 x2 = (-8+2.56+6.46)/7 x3 = (16-2.56+(3*0.14))/2x1 = 2.56 x2 = 0.14 x3 = 6.93Ep = | (2.56 -2.87)/2.56 | Ep = 0.121{2.56, 0.14, 6.93}x1 = (12 + (6*0.14) -6.93)/2 x2 = (-8+2.95+6.93)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.26))/2x1 = 2.95 x2 = 0.26 x3 = 6.91Ep = | (2.95-2.56)/2.95 | Ep = 0.13
  • {2.95, 0.26, 6.91}x1 = (12 + (6*0.26) -6.91)/2 x2 = (-8+3.32+6.9)/7 x3 = (16-2.95+(3*0.31))/2x1 = 3.32 x2 = 0.31 x3 = 6.97Ep = | (3.32-2.95)/3.32 | Ep = 0.111{3.32, 0.31, 6.97}x1 = (12 + (6*0.31) -6.97)/2 x2 = (-8+3.44+6.97)/7 x3 = (16-3.44+(3*0.34))/2x1 = 3.44 x2 = 0.34 x3 = 6.7Ep = | (3.44-3.32)/3.44 | Ep = 0.03{3.44, 0.34, 6.7}x1 = (12 + (6*0.34) -6.7)/2 x2 = (-8+3.67+6.7)/7 x3 = (16-3.67+(3*0.33))/2x1 = 3.67 x2 = 0.33 x3 = 6.66Ep = | (3.67-3.44)/3.67 | Ep = 0.05{3.67, 0.33, 6.66}x1 = (12 + (6*0.33) -6.66)/2 x2 = (-8+3.66+6.66)/7 x3 = (16-3.66+(3*0.33))/2x1 = 3.66 x2 = 0.33 x3 = 6.66Ep = | (3.66-3.67)/3.66 | Ep = 0.001X1 = 3.66x2 = 0.33x3 = 6.66
  • Por Medio De Gauss Seidel2x1-6x2+x3=12-x1+7x2-x3=-8X1-3x2+2x3=16 2 -6 1 12 1 -3 2 16 -1 7 -1 -8 -1 7 -1 -8 1 -3 2 16 2 -6 1 12F1 = F3 F1(1)+F2 F1(-2)+F3 1 -3 2 16 1 -3 2 160 4 1 8 0 1 ¼ 2 0 0 -3 -20 0 0 -3 -20 F2(1/4) F3(-1/3) 1 -3 2 16 0 1 ¼ 2 0 0 1 20/3X3=20/3 x2=2-1/4(20/3) X1=11/3X2+1/4+3=2 x2= 2 -20/12->5/3 X2=1/3X1-3x2+2x3=16 x2= 6/3 - 5/3 = 1/3 X3=20/3
  • Por Metodo De Gauss – SeidelX1=(12x+6x2-x3)/20 , 0 , 0X2= (-8+x1+x3)/7X3=(16-x1+3x2)/2X1=(12+6(0)-0= 12/2=6 X2=-8+6+0=2/7 =-0.2857X3=16-6+3(-0.2857)=9/2=4X1=12+6(0.2857)-(4)= 6/2 X2=-8+3+4=1/7 =-0.1428 X3=16-3+3(-0.1428)=13/2=7 3-6 =1 3X1=(12+6(-0.1428)-(7))/2= 4/2=2 X2=(-8+2+4=1/7 )/7=0.1428 X3=16-2+3(0.1428)=14/2=7X1=12+6(0.1428)-(7)= 5/2=2.5 X2=-8+2.5+7=1.5/7 =0.2142 X3=16-2.5+3(0.2142)=15/2=7.52.5-2 =0.252.5X1=(12+6(0.2142)-(7) )/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7)/7=2/7 =0.2857 X3=(16-3+3(0.2857))/2=14/2=7X1=(12+6(0.2142)-(7) )/2= 6/2=3 X2=(-8+3+7) )/7=2/7 =0.2857 X3=(16-3+3(0.2857) )/2=14/2=73-3 =03X1+X2+6X3=8X1+5X2-X3=54X1+2X2-2X3=4
  • 1 1 6 8 1 1 6 8 1 5 -1 5 0 4 -7 -3 4 2 -2 4 0 -2 -26 -28F1(-1)+F2 F2(1/4)F1(-4)+F3 1 1 6 8 1 0 31/4 35/4 0 1 -7/4 -3/4 0 1 -7/4 -3/4 0 -2 -26 -28 0 0 -59/2 -59/2F2(-1)+F1 F3(-2/59)F2(2=+F3 1 0 31/4 167/236 1 0 0 -167/236 0 1 -7/4 327/236 0 1 0 327/236 0 0 1 327/236 0 0 1 72/59F3 (-31/4)+F1F3 (7/4)+F2