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6. ed capítulo vi centro de gravedad y centroide
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  • 1. ESTÁTICA CAPÍTULO VI CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE Ing. Andrés Velástegui Montoya, M.Sc. Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT) andvelastegui@gmail.com 1
  • 2. Objetivos  Analizar el concepto de centro de gravedad, centro de masa, y centroide.  Mostrar cómo determinar la ubicación del centro de gravedad y centroide para un sistema de partículas discretas y un cuerpo de forma arbitraria.  Presentar un método para encontrar la resultante de una carga general distribuida, y mostrar cómo se aplica cuando es necesario determinar la resultante de un fluido. 2
  • 3. Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partículas  Centro de gravedad. El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas.  La ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa. 3
  • 4. Centro de masa, y centroide para un cuerpo  Centro de masa. La densidad ρ, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la ecuación ϒ = ρg, donde g es la aceleración debida a la gravedad.  Centroide. El centroide es un punto que define el centro geométrico j de un objeto. Si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo. 4
  • 5. Centro de masa, y centroide para un cuerpo  Centroide - Volumen Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, la ubicación del centroide C(x,y,z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los “momentos” de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. 5
  • 6. Centro de masa, y centroide para un cuerpo  Centroide - Área De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una placa o un cascarón, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los “momentos” de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados. 6
  • 7. Centro de masa, y centroide para un cuerpo  Centroide - Línea Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dL con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta en: 7
  • 8. Centro de masa, y centroide para un cuerpo  Centroide En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje. 8
  • 9. Centro de masa, y centroide para un cuerpo  Centroide En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes. 9
  • 10. Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo Puntos importantes  El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo.  En algunos casos, el centoide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo. 10
  • 11. Cuerpos compuestos  Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos "más simples" conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc.  Un cuerpo de esta índole a menudo puede ser seccionado o dividido en sus partes componentes y, si se conocen el peso y la ubicación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar el centro de gravedad del cuerpo entero. 11
  • 12. Cuerpos compuestos  Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico constantes, el centro de gravedad coincide con el centroide del cuerpo.  Los centroides para formas comunes de líneas, áreas, cascarones y volúmenes, que a menudo constituyen un cuerpo compuesto, están dados en la tabla siguiente: 12
  • 13. 13
  • 14. 14
  • 15. 15
  • 16. 16
  • 17. Cuerpos compuestos Procedimiento de análisis  Partes componentes.  Mediante un croquis, divida el cuerpo u objeto en un número finito de partes componentes que tengan formas más simples (parecidas al de las tablas).  Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica que no contenga material, entonces considérela sin el agujero y a éste como una parte componente adicional con peso o tamaño negativos.  Brazos de momento.  Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine las coordenadas x, y, z del centro de gravedad o centroide de cada parte.  Sumatorias.  Determine x, y, z aplicando las ecuaciones del centro de gravedad.  Si un objeto es simétrico con respecto a un eje, su centroide se encuentra sobre este eje. 17
  • 18. Ejercicio  Localice el centroide del alambre mostrado en la figura 18
  • 19. Ejercicio  Localice el centroide del área de la placa mostrada en la figura 19
  • 20. Ejercicio  Localice el centro de masa del conjunto compuesto mostrado en la figura. La densidad del cono truncado es ρc = 8 mg/m3, y la de la semiesfera es ρh = 4 mg/m3. En el centro se tiene un agujero cilíndrico de radio igual a 25mm. 20
  • 21. Tarea  (41) Localice el centroide (x, y) del alambre uniforme doblado en la forma que se muestra. 21
  • 22. Tarea  (42) Cada uno de los tres miembros del bastidor tiene una masa por longitud unitaria de 6 kg/m. Localice la posición (x, y) del centro de gravedad. Ignore el tamaño de los pasadores situados en los nudos y el espesor de los miembros. Calcule también las reacciones en el pasador A y en el rodillo E. 22
  • 23. Tarea  (43) El muro de gravedad está hecho de concreto. Determine la ubicación (x, y) del centro de gravedad G del muro. 23
  • 24. Tarea  (44) Localice el centroide y del área de la sección transversal de la viga construida con una canaleta y una placa. Suponga que todas las esquinas están a escuadra e ignore el tamaño de la soldadura ubicada en A. 24
  • 25. Tarea  (45) Localice el centroide y de la sección transversal de la viga construida a partir de una canaleta y una viga de patín ancho. 25
  • 26. Tarea  (46) Determine la distancia z al centroide de la forma que consiste en un cono con un agujero de altura h = 50 mm perforado en su base. 26
  • 27. Tarea  (47) Localice el centro de masa z del cuerpo mostrado. El material tiene una densidad de ρ = 3 mg/m3. El cuerpo tiene un agujero de 30 mm de diámetro perforado a través del centro. 27
  • 28. Presión de un fluido  De acuerdo con la ley de Pascal, en un punto, un fluido en reposo genera cierta presión p que es la misma en todas direcciones.  La magnitud de p, medida como una fuerza por área unitaria, depende del peso específico ϒ o de la densidad de masa ρ del fluido y de la profundidad z del punto desde la superficie del fluido. La relación puede ser expresada matemáticamente como:  La ecuación es válida sólo para fluidos que se suponen incompresibles, lo cual es caso de la mayoría de los líquidos.  Los gases son fluidos compresibles, y puesto que sus densidades cambian considerablemente con la presión y la temperatura, (la ecuación anterior no puede ser usada). 28
  • 29. Placa plana de ancho constante 29
  • 30. Placa plana de ancho constante 30
  • 31. Placa curva de ancho constante 31
  • 32. Placa curva de ancho constante 32
  • 33. Placa curva de ancho constante 33
  • 34. Ejercicio  Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la placa rectangular AB sumergida como se muestra en la figura. La placa tiene un ancho de 1.5 m; ρagua = 1000 kg/m3. 34
  • 35. Ejercicio  Determine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la superficie del muro marino con forma de parábola como se muestra en la figura. El muro tiene 5 m de largo; ρagua = 1020 kg/m3. 35
  • 36. Ejercicio  La compuerta AB tiene 8 m de ancho. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza que actúa sobre el pasador en B y la reacción vertical en el soporte liso A. ρagua = 1 Mg/m3. 36
  • 37. Tarea  (48) Determine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre la presa y su ubicación, medi-da desde la superficie superior del agua. El ancho de la presa es de 8 m; ρagua = 1.0 Mg/m3. 37
  • 38. Tarea  (49) Cuando el agua de la marea A desciende, la compuerta de marea gira automáticamente abriéndose para drenar el agua de la ciénaga B. Para la condición de marea alta mostrada, determine las reacciones horizon-tales desarrolladas en la articulación C y en el tope D. La longitud de la compuerta es de 6 m y su altura de 4 m. ρagua = 1.0 Mg/m3 38
  • 39. Tarea  (50) La presa de "gravedad" de concreto es manteni-da en su lugar por su propio peso. Si la densidad del con-creto es ρc = 2.5 Mg/m3, y el agua tiene una densidad de ρagua = 1.0 Mg/m3, determine la dimensión d más pequeña que impedirá que la presa se voltee alrededor de su extremo A. 39
  • 40. Tarea  (51) La superficie AB en arco tiene la forma de un cuarto de círculo. Si mide 8m de longitud, determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante causada por el agua actuando sobre la superficie. ρagua = 1.0 Mg/m3. 40

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