1. Movimiento mecánico Mecánica de los cuerpos macroscópicos

2. Cinemática: Rama de laMecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinámica: Rama de laMecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico. Justificar el movimiento.

3. Movimiento Mecánico: Cambio de posición de un cuerpoen función del tiempo, con respecto a otros, tomados como referencia. Definir Sistema de Referencia (SR) El tiempo es el parámetro de control

5. Definición del Sistema de Referencia (SR)

6. Identificación de las magnitudes físicas apropiadas y sus relaciones.

7. Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.

10. Pasos para el estudio del movimiento mecánico SRI:Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU. Los SRI tienen entre ellos velocidad constante SRNI:Es aquel para el cual el sistema bajo estudio sin la acción de otros cuerpos, experimenta aceleraciones.

11. Dinámicas Cinemáticas Posición, Velocidad, Aceleración Fuerza, Torque Pasos para el estudio del movimiento mecánico Magnitudes Físicas

12. Pasos para el estudio del movimiento mecánico Modelos de Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían. de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.

13. Pasos para el estudio del movimiento mecánico Traslación pura Es aplicable el modelo de partícula

14. Pasos para el estudio del movimiento mecánico Rotación pura de cuerpo sólido Es aplicable el modelo de partícula Es aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícula

16. 13 Derivada de funciones Derivada de una función en un punto Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe, Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h->0 se cumplirá que x->a. La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera:

17. Derivada de funciones Sea la función y=f(x) = x2 -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2. La ordenada correspondiente es f(2) = -1 Veamos el procedimiento a seguir:

18. Derivada de funciones Sigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior y=x2 -2x -1 la derivada en x = -1 La ordenada para x = -1 es f(-1)= 2 Esto lo podemos hacer en cualquier punto del dominio de la función. Por ejemplo en el punto cualquiera “a”

19. Derivada de funciones Como “a” es cualquier punto del dominio, entonces es variable que la representaremos con x también y diremos: Comprueba estos resultados:

20. Derivada de funciones Propiedad lineal de la derivada Para funciones dentro del dominio de las derivadas donde c es una constante Derivada de un producto Derivada de un cociente Regla de la cadena

21. Derivada de funciones Otras Propiedades Si f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es creciente Si f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decreciente Si f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un punto critico extremo Si f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un maximo Si f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un minimo Curvatura Si f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es concava hacia arriba Si f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es concava hacia abajo Si f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.

22. Derivada de funciones EJERCICIOS 1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza? 2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros). 3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de areamaxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h

23. Cond. Iniciales Problema inverso EJERCICIO 1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula. Posición (t) P. Inverso Velocidad(t) Aceleración(t)

24. Vectorial

25. De Coord.

26. Natural

27. Ejercicio Si el vector posición de una partícula esta dada por: Hallar: 1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s 3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s 5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s 6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s 7) Su aceleración tangencial en t=2s 8) Su aceleración normal en t=2s 9) Su radio de curvatura en t=2s

28. 25 Ejercicio Un automóvil describe unacurvaplanatalquesuscoordenadasrectangulares, en función del tiempoestándadasporlasexpresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquierinstante. Las componentes de la aceleración en cualquierinstante.

29. 26 Ejercicio Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la leyv=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instantet0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquierinstante. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instantet0=3 s, la velocidad del móvil valev0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante.

30. 27 Ejercicio Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La alturamáxima Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo. Identificar sistema físico: La pelota 2. Selección del SRI (Ubicación del Observador): La azotea (ver gráfico). Tiempo t=0 al inicio del movimiento

31. 28 Ejercicio Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La alturamáxima Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo. 3. Selección del método o métodos: de coordenadas 4. Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos:

32. 29 Ejercicio Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La alturamáxima Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo. Problema indirecto

33. 30 Ejercicio Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La alturamáxima Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo. Distancia horizontal Altura máxima

34. 31 Ejercicio Se lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La alturamáxima Los instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo. Instantes para y=10m El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de alturasobre el suelo (10 sobre el origen), yaquesutrayectoriacorta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m.

35. Ejercicio Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine: a) El tiempo que permanece en el aire. b) Su posición en el instante t = 5 s. c) La altura máxima alcanzada. d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s

36. 33 Movimiento circular Posición angular,q El ánguloq, es el cociente entre la longitud del arcos y el radio de la circunferenciar, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y portanto, no tienedimensiones. Velocidad angular, w Aceleración angular,a

37. 34 Movimiento circular Movimiento circular uniforme Movimiento circular uniformementeacelerado

38. 35 Movimiento circular Magnitudes lineales y angulares Aceleración normal Aceleracióntangencial

39. Movimiento circular Ejemplo Unarueda de r=0.1 m de radio estágirando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manerauniformeen 4s. Calcular: La aceleración angular ω=ω0+αt En el instantet=4 s la velocidad angular ω=0 α=-π rad/s2 El ángulogiradohastaesteinstantees La posición y la velocidad angular del móvil en el instantet=1 s θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad ω=4π+(-π)·1=3π rad/s La velocidad lineal v=ω·r v=0.1·3π=0.3π m/s La componentetangencial de la aceleraciónes at=α·r at=-0.1π m/s2 La componente normal de la aceleraciónes

40. 37 Movimiento circular Movimientode unabicicleta

42. 39

43. 40 Z Z’ P(x,y,z) (x’,y’,z’) O O’ Y X’ X Y’ Relatividad del movimiento Derivando respecto a t la expresión anterior Y derivando nuevamente Si O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene que Transformaciones de Galileo

47. 45 Eje terrestre Vertical Eje terrestre Vertical N Polo Norte N O Plano horizontal S E Plano horizontal Trayectoria S C Plano ecuatorial Relatividad del movimiento Aceleración de Coriolis Desviación hacia la derecha de un cuerpo que se mueve horizontalmente en el hemisferio norte

52. 50 Suma de velocidades Un avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?

54. 52 Suma de velocidades Un ríofluyehacia el este con velocidad de vAT=3 m/s. El bote se mueve en aguaquieta con una velocidad de vBA=4 m/s. ¿Cómodebe ser dirigido el boteparaquellegue a un punto P situado en la orillaopuestaenfrente de O? Calcular la velocidad del boterespecto de tierra. Calcular el tiempoquetarda el bote en desplazarsed=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O. El vector velocidad vBT del barcodebeapuntarhacia P. El resultado de la sumavBT=vBA+vATes vBT=vBAcosθ 0=vAT-vBAsenθ