SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES: UMA TAREFA PARA A SALA DE AULA

Patrícia Alexandra da Silva Ribeiro Sampaio
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2011 sequências e regularidades uma tarefa para a sala de aula

  1. 1. SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES: UMA TAREFA PARA A SALA DE AULA Patrícia Alexandra da Silva Ribeiro Sampaio Escola Profissional de Fermil, Celorico de Basto patisampaio@gmail.com Resumo.—A Álgebra é um dos temas fundamentais ao longo dos três ciclos do Ensino Básico, tendo merecido especial atenção nas sucessivas reformulações do Programa de Matemática. No âmbito da Oficina de Formação de Formadores para o novo Programa de Matemática do Ensino Básico, 3o ciclo (Álgebra), durante os meses de Novembro e Dezembro de 2009, elaborou-se uma tarefa para uma aula de 90 minutos, para o 7o ano de escolaridade segundo o tema «Sequências e Regularidades», a qual foi aplicada em contexto de sala de aula. Esta tarefa foi concebida por quatro docentes de Matemática e aplicada em quatro turmas diferentes, duas do novo programa e duas do programa em vigor na altura. Elaborou-se uma tarefa denominada «Construir rectângulos»{1} dividida em duas partes: uma relativa ao cálculo das áreas dos rectângulos e outra relativa ao cálculo dos perímetros, com diferentes níveis de complexidade. Fez-se uma análise qualitativa e interpretativa da resolução da tarefa por estes alunos, procurando compreender: os tipos e os processos de raciocínio matemático usados; como é que esta tarefa pode servir de suporte à aprendizagem de métodos formais algébricos. Verificou- se que apesar de os alunos conseguirem formular conjecturas, por vezes, com facilidade, não sentem necessidade de as testar ou justificar; evidenciam dificuldades na tradução entre a linguagem natural e a linguagem algébrica. Salienta-se ainda a importância do papel do professor aquando da comparação de diferentes raciocínios obtidos pelos alunos, de forma a orientá-los a não fornecer respostas pouco reflexivas, fazendo-os compreender que há distintas formas de pensar sobre uma mesma situação. Palavras-chave.—Pensamento algébrico, Sequências e regularidades. Introdução Os docentes de Matemática têm vindo a estudar as alterações do Programa Nacional em vigor até agora, relativamente ao novo Programa de Matemática do Ensino Básico e a elaborar várias tarefas matemáticas. Numa Oficina de Formação de Formadores (Álgebra) para o Novo Programa de Matemática do Ensino Básico, elaborou-se uma tarefa, por quatro professores diferentes, para uma aula, de duração de 90 minutos, do 7o ano de escolaridade, conforme o tema «Sequências e Regularidades», tendo sido aplicada em contexto de sala de aula em quatro turmas diferentes, duas do novo programa e duas do programa em vigor na altura. Apresenta-se a tarefa e analisam-se as respostas dos alunos, apresentando-se as conclusões da sua aplicação. Com base na perspectiva de Orton e Orton (1999) de que a exploração de padrões ajuda os alunos a desenvolver as suas capacidades de raciocínio algébrico, abordamos o ensino e aprendizagem da Álgebra partindo da procura e identificação de padrões pela tarefa «Construir rectângulos». A Álgebra no Ensino Básico Ao longo dos três ciclos do Ensino Básico, o Programa de Matemática estrutura- se em quatro grandes temas: Números e operações, Álgebra, Geometria e Organização e tratamento de dados, para além das Capacidades transversais: Reso- {1} Tarefa elaborada e aplicada por Berta Alves, Eduarda Pereira, Patrícia Sampaio e Raúl Gonçalves. PROFMAT2011 ACTAS 1
  2. 2. lução de problemas, Raciocínio matemático e Comunicação matemática. A Álgebra como grande tema deste Programa só surge de forma independente nos 2o e 3o ciclos. No entanto, são vários os aspectos de carácter algébrico que são trabalhados logo no 1o ciclo. Segundo Ponte et al (2007, p. 7), «as ideias algébricas aparecem logo no 1o ciclo no trabalho com sequências, ao estabelecerem-se relações entre números e entre números e operações, e ainda no estudo de propriedades geométricas como a simetria». O estudo da Álgebra pode ter o seu início, simplesmente, pelo estudo de padrões desde muito cedo. Através da comunicação na sala de aula, usando as suas próprias palavras/simbologias, de um modo intuitivo, os alunos devem ser estimulados para desenvolverem o pensamento algébrico. O termo Álgebra surge com o trabalho Al-Jabr wa-al-Muqabilah de al- Khwarizmi (século IX), matemático nascido na Pérsia. A palavra Álgebra derivou da palavra Al-jabr que significa reunião, conexão ou complementação. No século XII, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber Algebrae et almucabala. No século XVI, entra-se na era da Álgebra simbólica com François Viète, que é configurada na forma actual por René Descartes (século XVII) (Struik, 1997 [1948]). Para Ponte, Branco e Matos (2009, p. 10-11), «o pensamento algébrico incluiu três vertentes: representar, raciocinar e resolver problemas». Estamos perante a vertente da representação quando se traduz informação representada simbolicamente para outras formas de representação, isto é, se utilizam diferentes sistemas de representação. Já passamos para a vertente do raciocínio quando se relacionam e analisam propriedades, efectuando generalizações e deduções. Por fim, a vertente da resolução de problemas abarca o uso de diversas representações algébricas (equações, inequações, funções ...) na interpretação e resolução de problemas, modelando situações. Para Ponte, Branco e Matos (2009, p. 13), «símbolos, expressões algébricas, equações, sistemas, inequações e funções continuam a ter um papel central no currículo da Álgebra escolar», mas «os alunos precisam de entender os conceitos algébricos, as estruturas e princípios que regem as manipulações simbólicas e como estes símbolos podem ser utilizados para traduzir ideias matemáticas» (Vale, Palhares, Cabrita & Borralho, 2006, p. 193). Tarefa: «Construir Rectângulos» A tarefa foi elaborada no âmbito do tema «Sequências e Regularidades», para o 7o ano de escolaridade, visando os tópicos: «Termo geral de uma sequência numérica», «Representação» e «Expressões Algébricas». Foi pensada como uma tarefa introdutória ao tema, com o intutito de entranhar algumas noções destes tópicos. Inicialmente a tarefa apresenta uma sequência de três rectângulos com alguns dados (figura 1), dividindo-se posteriormente em duas explorações: a das áreas dos rectângulos e a dos perímetros. Apresenta como propósito principal de ensino (Ponte et al, 2007, pp. 55): «Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébricos, bem como a capacidade de interpretar, representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na exploração e modelação de situações em contextos diversos.» Figura 1.—Excerto da tarefa»Construir Rectângulos». 2 Esta tarefa foi aplicada por professores/investigadores de Matemática que observaram o seu emprego em quatro turmas de agrupamentos diferentes (Famalicão, Felgueiras, Guimarães e Valongo), duas já com o Novo Programa da Matemática e duas com o Programa ainda em vigor (tabela 1), não tendo considerado relevante esta diferença visto que o Novo Programa só tinha sido introduzido há pouco mais de dois meses. A aplicação da tarefa foi numa aula de 90 minutos do 7o ano de escolaridade.
  3. 3. Tabela 1.—Pequena descrição das turmas. A tarefa foi dividida em cinco segmentos, um destinado à organização física da mesma pela composição e disposição dos grupos de trabalho, dois momentos de realização da tarefa em grupo e dois momentos de discussão no grupo turma sobre as reflexões obtidas em cada grupo. Efectuou-se uma previsão de cerca de 20 minutos para a primeira parte da tarefa, sobre a exploração da área dos rectângulos (figura 2), resolvida em grupo pelos alunos e com a orientação do professor quando solicitado. Esperava-se que os alunos conseguissem realizar a tarefa com sucesso e com relativa facilidade. No momento de síntese relativa à primeira parte da tarefa salienta-se o papel fundamental do professor que deve aproveitar o trabalho realizado nos grupos, o qual deverá ser expresso pelos seus elementos, para introduzir os conceitos de ordem, termo e termo geral de uma sequência. Tinha-se previsto que este período de discussão durasse cerca de 15 minutos. Figura 2.—Excerto da tarefa»Construir Rectângulos» relativa à exploração da área. De seguida tem-se um momento de exploração do perímetro dos rectângulos (figura 3) com uma duração de cerca de 30 minutos destinado à resolução da segunda parte da tarefa, em grupo, seguido de um período de síntese de cerca de 15 minutos, novamente. O aumento da durabilidade relativamente à primeira parte da tarefa, sobre a área, deve-se à maior complexidade da mesma, saliente pela nova sequência a tratar e sobretudo na última questão. Neste caso, já se esperava que os alunos conseguissem realizar a segunda parte da tarefa com sucesso, mas com algumas dificuldades na determinação do termo geral e possivelmente só alguns conseguiriam comparar diferentes termos gerais, mesmo que parcialmente. Por fim, a comparação dos raciocínios da Neusa e da Ana com o dos alunos envolve um nível de abstracção ainda mais elevado, tornando-se seguramente na questão mais complexa de toda a tarefa, pois além de envolver diferentes expressões algébricas há a necessidade que o aluno se envolva num processo metacognitivo no sentido de «pensar pelo outro» e que não é esperado que esteja desenvolvido em todos os alunos da mesma forma. De qualquer modo, prevêse que seja realizado algum trabalho parcial no sentido da interpretação das expressões e que nas discussões dentro dos grupos se possam obter informações importantes para desenvolver no momento seguinte de síntese já com toda a turma. 3 Figura 3.—Excerto da tarefa»Construir Rectângulos» relativa à exploração do perímetro. PROFMAT2011 ACTAS
  4. 4. Para finalizar a aula, espera-se que o professor aproveite o trabalho realizado nos grupos, o qual deverá ser expresso pelos seus elementos, para discutir as produções da segunda parte da tarefa e reforçar os conceitos de ordem, termo e termo geral de uma sequência. Prevê-se que este período de discussão dure cerca de 15 minutos. Salienta-se que o papel do professor é muito importante aquando da discussão da última questão da tarefa, que compara diferentes raciocínios para representar a mesma sequência, pois deve conseguir orientá-la sem fornecer respostas pouco reflexivas, isto é, os alunos devem reflectir e opinar sobre as diferentes expressões, compreendendo que há distintas formas de pensar sobre uma mesma situação e por conseguinte desenvolverem o pensamento algébrico. O pensamento algébrico deve ser trabalhado desde os primeiros anos e integrado na exploração dos outros temas. De facto, o pensamento algébrico constitui um dos eixos fundamentais no desenvolvimento do ensino e aprendizagem da Matemática ao longo dos três ciclos. Sendo assim, embora a Álgebra seja introduzida como tema programático apenas nos 2o e 3o ciclos, é no 1o ciclo que se inicia o pensamento algébrico, em particular, na investigação de regularidades em sequências numéricas e padrões geométricos. De acordo com as indicações curriculares dadas pelo Programa, neste ciclo, os alunos deverão procurar regularidades estabelecendo conexões entre a geometria e a aritmética. Ao efectuar este trabalho com regularidades generalizáveis, e de acordo com regras que podem ser formuladas pelos próprios alunos, estará a contribuir-se para o desenvolvimento da sua capacidade de abstracção, contribuindo assim para o desenvolvimento do pensamento algébrico. O Programa prevê ainda que, no «2.o ciclo, ampliam e aprofundam esse trabalho, explorando padrões, determinando termos de uma sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de formação pelo estudo da relação entre os termos» (Ponte et al, 2007, p. 40). Espera-se também neste ciclo que os alunos desenvolvam «a capacidade de identificar relações e de usar a linguagem simbólica para as descrever» (ibidem). Os padrões são a base do pensamento algébrico e o trabalho com padrões solicita aos alunos a identificação de relações, efectuando generalizações (NCTM, 2007). Aplicação da tarefa A aula foi estruturada em cinco momentos essenciais descritos na tabela 2, onde também se encontra registada a forma como decorreu a implementação da tarefa em cada uma das quatro turmas onde foi aplicada: Tabela 2.—Tempos registados nos vários momentos da implementação da tarefa. 4 Pela análise dos tempos utilizados para os diferentes momentos que haviam sido propostos, pode verificar-se que a primeira turma demorou um tempo relativamente elevado para se organizar em grupos.Quanto à proposta de 20 minutos para a exploração da área dos rectângulos, depreende-se que os alunos necessitariam de um pouco de mais tempo, tendo apenas a turma 3 conseguido realizar a actividade no tempo previsto e a turma 4 excedido-se um pouco, já que demorou mais do dobro do tempo estipulado. Na discussão relativa a esta parte inicial da tarefa obteve-se um tempo médio de 12 minutos. Já na segunda parte da tarefa, relativa à exploração dos perímetros dos rectângulos, todas as turmas respeitaram o tempo previsto de 30 minutos. Na discussão final, como as turmas 1 e 4 necessitaram de mais tempo para realizarem as propostas anteriores, somente as turmas 2 e 3 conseguiram efectuá-la e a turma 1 apenas começou. Deste modo, se a turma 1 fosse um pouco mais organizada na distribuição dos grupos, as primeiras três turmas teriam conseguido realizar a tarefa na íntegra. Quanto à turma 4, a docente responsável pela mesma considerou que os alunos não estavam a compreender bem a tarefa inicialmente e decidiu dar bastante mais tempo para eles se ambientarem com a mesma. Uma nova possível estrutura da aula, mais exequível, seria:
  5. 5. 1. 2. 3. 4. 5. Início da aula, organização dos grupos de trabalho e introdução à tarefa – 10 minutos; Exploração, em pequeno grupo, da primeira parte da tarefa, sobre as áreas dos rectângulos – 30 minutos; Apresentação, discussão e sistematização de resultados com toda a turma – 10 minutos; Exploração, em pequeno grupo, da segunda parte da tarefa, sobre os perímetros dos rectângulos – 30 minutos; Apresentação, discussão e sistematização de resultados com toda a turma – 10 minutos. Relativamente à primeira parte da tarefa que explora a área dos rectângulos da sequência, quase todos os grupos desempenharam com sucesso as primeiras quatro questões, mas surgiram diversas dúvidas quanto ao significado da «n-ésima figura». Para a construção do 4o rectângulo da sequência, os alunos adoptaram três racicocínios distintos: o acréscimo de 1 cm2 à área, de um quadrado ao rectângulo ou de 1 cm ao comprimento do rectângulo. Todos os alunos responderam com sucesso a esta questão, mas alguns não justificaram, salientando alguma dificuldade na comunicação matemática. Seguidamente, era-lhes pedido que determinassem a medida das áreas dos 3o e 4o rectângulos e eles repetiram os raciocínios anteriores. Já na determinação das medidas das áreas dos 8o e 25o rectângulos, alguns grupos decidiram calcular todas as medidas das áreas até à do 25o, ainda não conseguindo uma abstracção. Em todas as turmas, houve um grupo que utilizou a «regra de três simples», também conhecida como «regra milagrosa», para resolver a questão, já que esta regra é «solução» para tudo. Por outro lado, já houve diversos grupos a determinarem as medidas das áreas pedidas através de uma generalização pela ordem quer pelo raciocínio n+1 (figura 4) quer pelo raciocínio 2+(n-1) (figura 5). Figura 4.—Generalização para n+1 (turma 2) Figura 5.—Generalização para 2+(n-1) (turma 4) Na determinação da posição de um rectângulo de 120 cm2, bastantes grupos responderam correctamente, embora quase todos não tenham apresentado qualquer justificação. Em todas as turmas houve quem não conseguisse chegar à posição 119o, tendo simplesmente não respondido ou realizado um racicocínio de proporcionalidade directa tal como na questão anterior. Os poucos grupos que apresentaram uma justificação realizaram um raciocínio inverso ao que tinham efectuado nas alíneas anteriores (figura 6). Salienta-se ainda um grupo que não conseguiu realizar este raciocínio inverso, tendo aumentado 1 como nas alíneas anteriores. 5 Figura 6.—Raciocínio inverso (turma 4) PROFMAT2011 ACTAS
  6. 6. Todos os grupos solicitaram o professor para a última questão em todas as turmas, pois não percebiam o que significava «n-ésima» posição. Foram dadas explicações sucintas e informais sobre o significado de n como representação de um qualquer número natural. No entanto, muitos grupos simplesmente não responderam à questão ou apresentaram um exemplo concreto, não considerando a «n-ésima» posição. Alguns grupos descreveram, utilizando apenas linguagem natural, a generalização implícita nesta situação (figura 7), alguns escreveram o termo geral n+1 (figura 8) e outros o termo geral n+1x1 (figura 9). Convém ainda referir que um grupo apresentou uma resposta não numérica, através de uma representação geométrica (figura 10). Figura 7.—Linguagem natural (turma 4) Figura 8.—Termo geral n+1 (turma 1) Figura 9.—Termo geral n+1x1 (turma 1) 6 Figura 10. —Representação geométrica (turma 4)
  7. 7. Após a realização da primeira parte da tarefa sobre as áreas dos rectângulos, em grupo, passou-se para a apresentação e discussão dos resultados obtidos. Neste momento, era o papel do professor gerir os diálogos e a participação dos vários alunos. Em duas turmas, o professor questionou quem queria responder, tendo-se partido da resposta apresentada por um grupo para que os outros acrescentassem apenas os diferentes raciocínios. Nas outras duas turmas, o professor decidiu que cada grupo devia expôr o seu raciocínio através de um porta-voz. Em qualquer um dos casos, foi uma apresentação oral bastante rápida. Inicialmente, alguns alunos estavam um pouco inseguros, mas rapidamente confrontaram as suas ideias com as dos colegas. As primeiras duas questões não geraram qualquer polémica, tendo sido respondidas muito rapidamente. Nas duas questões seguintes ocorreu uma maior variedade de raciocínios, embora só o raciocínio proporcional tenha gerado um pouco mais de confusão. Finalmente, após terem sido discutidas as primeiras quatro questões com a introdução, informal e apenas oral, do significado de ordem, termo e termo geral, procedeu-se à correcção da última questão sobre as áreas dos rectângulos que tinha levantado imensas dúvidas relativamente ao significado da «n-ésima» figura. Vários grupos não tinham conseguido chegar ao termo geral da sequência, mas após o confronto com as respostas dos colegas, muitos afirmaram que já sabiam que era sempre «mais um», não sabiam era como escrever essa ideia. Após esta discussão que permitiu introduzir alguns conceitos sobre sequências, os alunos começaram a resolver a segunda parte da tarefa, agora relativa aos perímetros dos rectângulos. Na determinação da medida do perímetro dos primeiros três rectângulos não ocorreu qualquer dúvida, assim como na dos 10o e 73o rectângulos. Para a determinação das medidas dos perímetros destes últimos rectângulos, os alunos adoptaram cinco racicocínios distintos: (n+1)+1+(n+1)+1, n+n+4, determinação de todas as medidas dos perímetros até ao 73o rectângulo, raciocínio proporcional efectuado apenas por um grupo da turma 4. Salienta-se que um grupo da turma 4 confundiu as noções de área e perímetro tendo considerado que se um quadrado tem 1 cm2 de área, então a medida do comprimento de cada lado é 0,25cm. Na verificação da existência ou não de dois rectângulos cujas medidas do perímetro eram 101 cm e 232 cm, a maioria dos grupos simplesmente respondeu sim ou não, sem qualquer justificação, alguns grupos apresentaram respostas baseadas em rectângulos que não satisfaziam as condições iniciais da sequência, outros justificaram o raciocínio com a paridade (figura 11) e muito poucos determinaram correctamente as dimensões dos rectângulos de forma a respeitar as condições iniciais (figura 12). Figura 11.—Raciocínio relacionado com a paridade (turma 2) Figura 12.—Determinação das dimensões dos rectângulos (turma 3) 7 Na determinação do termo geral da sequência, poucos grupos acertaram e os que responderam correctamente não justificaram. Surgiram diferentes raciocínios: (n+1)+(n+1)+1+1, sendo o mais predominante, 2(n+1)+2, (n+n)+4, 2(n+2), 2n+4. Salienta-se uma resposta errada baseada no raciocínio correcto de que a sequência avança sempre de dois em dois (figura 13). PROFMAT2011 ACTAS
  8. 8. Figura 13.—Raciocínio incorrecto na determinação do termo geral da sequência (turma 3) Para finalizar a tarefa era-lhes fornecido dois possíveis termos gerais para a sequência, que eles deveriam verificar se estavam correctos. Pois bem, esta questão não foi respondida por muitos grupos, afirmando na discussão que não tinham entendido a questão ou que não tiveram tempo. Acrescenta-se que alguns grupos, em todas as turmas, questionaram o professor sobre o significado de 2(n+1) ou 2(n-1), pelo facto de não saberem o que «um número seguido de um parêntesis, sem sinal entre eles» significava. Esta última pergunta da tarefa era bastante mais complexa que as restantes. Exigia dos alunos uma comparação de raciocínios diferentes, levando-os a compreender que não há uma solução única para o mesmo problema. Apresentam-se algumas respostas dadas pelos alunos: uma explicação do raciocínio da Neusa (figura 14) e um início de explicação do raciocínio da Ana (figura 15). Figura 14.—Raciocínio que explica o termo geral 2(n+1)+2 (turma 3). Figura 15.—Raciocínio que explica o termo geral 6+2(n-1) (turma 3) Para terminar a aplicação da tarefa procedeu-se à discussão da segunda parte tendo o professor da turma 1 aproveitado o raciocínio adoptado por um grupo que determinou todas as medidas dos perímetros dos rectângulos e cometeu um pequeno erro, não conseguindo chegar ao valor correcto para o 73o rectângulo, o que se tornou muito proveitoso já que a ideia de um raciocínio mais generalista ser mais vantajoso foi reforçada. Por falta de tempo, as turmas 1 e 4 só terminaram a discussão na aula seguinte. Orton e Orton (1999) referem que encontrar termos numa sequência torna-se progressivamente mais difícil, muitos alunos têm mais facilidade em continuar um padrão do que explicá-lo e torna-se mais simples explicar uma regra de uma sequência oralmente do que por escrito, o que vem de encontro à aplicação desta tarefa. Para que os estudantes possam compreender alguns aspectos substanciais da Álgebra é importante que tenham experiências algébricas informais que envolvam a análise de padrões e relações numéricas, da sua representação e generalização por meio, sempre, de diferentes processos. A realização de tarefas que envolvam o estudo de padrões permite que os alunos compreendam a noção de variável e a procura de relações próximas e distantes, envolvendo generalizações, entre termos promove o pensamento algébrico (Borralho & Barbosa, 2009, p. 2). 8 Conclusão Os professores têm o difícil papel de seleccionar um conjunto de tarefas que motivem os alunos para a aula e, em particular, para a Matemática. Apresenta-se um exemplo de uma tarefa relevante para a sala de aula no âmbito do tema «Sequências e Regularidades», tendo sido aplicada em quatro turmas do 7o ano de escolaridade, numa tentativa de desen-
  9. 9. volver o pensamento algébrico dos alunos. Nunes e Alves (2005, p. 255) afirmam que, «os problemas de raciocínio algébrico têm caminhos de solução múltiplos, e permitem abordagens criativas pelo que os alunos deveriam ser encorajados a explorar métodos de solução alternativos». Orton e Orton (1999) acrescentam que os padrões são um dos caminhos possíveis para a introdução da Álgebra e o desenvolvimento do pensamento algébrico. Através desta experiência de ensino constatamos que a realização de tarefas exploratórias são actividades desafiadoras para os alunos, que, em particular, envolvendo padrões, são um bom ponto de partida para trabalhar o pensamento algébrico, já que a procura e identificação de padrões faz sobressair a exploração/investigação e a conjectura com justificação/prova. Bibliografía BORRALHO, António; BARBOSA, Elsa (2009). Pensamento algébrico e exploração de padrões. In ProfMat 2009. Viana do Castelo: APM. (disponível em http://www.apm.pt/files/_Cd_Borralho_Barbosa_4a5752d698ac2.pdf acedido a 10/05/2011). National Council of Teachers of Mathematics - NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM NUNES, Cláudia; ALVES, M. (2005). Desenvolvendo o pensamento algébrico com actividades de investigação. Em GTI (Org.), O Professor e o Desenvolvimento Curricular. Lisboa: APM. pp. 249–271. ORTON, Anthony; ORTON, J. (1999). Pattern and Approach to Algebra. Em Anthony Orton (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics. Londres: Cassel. pp. 104–124. PONTE, João; SERRAZINA, Lurdes; GUIMARÃES, Henrique; BRENDA, Ana; GUIMARÃES, Fátima; SOUSA, Hélia; MENEZES, Luís; MARTINS, Maria; OLIVEIRA, Paulo (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: ME/DGIDC. PONTE, João; BRANCO, Neusa; MATOS, Ana (2009). Álgebra no Ensino Básico. Lisboa: ME/DGIDC. (disponível em http://area.dgidc.min- edu.pt/materiais_NPMEB/algebra02brochuras.htm acedido em 05/04/2011). STRUIK, Dirk (1997 [1948]). História concisa das Matemáticas. (3a edição). Lisboa: Gradiva. VALE, Isabel; PALHARES, Pedro; CABRITA, Isabel; BORRALHO, António (2006). Os padrões no Ensino-Aprendizagem da Álgebra. In Isabel Vale; Teresa Pimentel; Ana Barbosa; Lina Fonseca; Leonor Santos & Paula Canavarro (Org.), Números e Álgebra na aprendizagem da matemática e na formação de professores. Lisboa: Secção de Educação. pp. 193–212. 9 PROFMAT2011 ACTAS

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