Repaso de matematicas

Repaso de Matemáticas TécnicasRepaso de Matemáticas Técnicas
FísicaFísica
(Nivel Bachillerato)(Nivel Bachillerato)

Las MATEMÁTICASLas MATEMÁTICAS
son una herramientason una herramienta
esencial para elesencial para el
científico o ingeniero.científico o ingeniero.
En esta LecciónEn esta Lección
haremos una revisiónharemos una revisión
de las habilidadesde las habilidades
necesarias paranecesarias para
entenderlas y poderentenderlas y poder
aplicarlas a la física.aplicarlas a la física.
Una revisiónUna revisión
exhaustiva esexhaustiva es
Profesor: ¿Defina, qué son las matemáticas?Profesor: ¿Defina, qué son las matemáticas?
Alumno: !!! SON ARMAS DE DESTRUCCÍON MASIVAAlumno: !!! SON ARMAS DE DESTRUCCÍON MASIVA
¡¡¡¡¡¡
Instructor: Dr. Luis G. Cabral RosettiInstructor: Dr. Luis G. Cabral Rosetti ,,

Matemáticas PreparatoriasMatemáticas Preparatorias
Nota:Nota: Esta Lección seEsta Lección se puedepuede saltar consaltar con
base en las necesidades del usuario.base en las necesidades del usuario.
En general, para laEn general, para la Física IntroductoriaFísica Introductoria sese
suponen conocimientos desuponen conocimientos de GeometríaGeometría
Básica, Álgebra, Despeje de fórmulas,Básica, Álgebra, Despeje de fórmulas,
Graficación, Exponentes y Radicales,Graficación, Exponentes y Radicales,
Trigonometría y Notación Científica.Trigonometría y Notación Científica.
Si no está seguro, al menos recorra elSi no está seguro, al menos recorra el
repaso muy conciso de esta Lección.repaso muy conciso de esta Lección.

Objetivos: Después de completarObjetivos: Después de completar
esta Lección, deberá:esta Lección, deberá:
SumarSumar,, RestarRestar,, MultiplicarMultiplicar yy DividirDividir cantidadescantidades AritméticasAritméticas
y Algebraicasy Algebraicas..
Resolver y evaluarResolver y evaluar FórmulasFórmulas para todos los parámetros enpara todos los parámetros en
unauna EcuaciónEcuación..
Uso y aplicación deUso y aplicación de Exponentes, Radicales yExponentes, Radicales y LogaritmosLogaritmos
Construir, evaluar e interpretarConstruir, evaluar e interpretar GráficasGráficas..
Aplicar reglas deAplicar reglas de GeometríaGeometría yy Trigonometría,Trigonometría, a la solucióna la solución
de problemas.de problemas.
Resolver problemas enResolver problemas en Notación CientíficaNotación Científica..

Suma de Números SignadosSuma de Números Signados
• Para sumar dos números dePara sumar dos números de igual signoigual signo,,
sume los valores absolutos de los números ysume los valores absolutos de los números y
asigne a la suma el signo común.asigne a la suma el signo común.
• Para sumar dos números dePara sumar dos números de signo diferentesigno diferente,,
encuentre la diferencia de sus valoresencuentre la diferencia de sus valores
absolutos y asigne el signo del númeroabsolutos y asigne el signo del número másmás
grandegrande..
Ejemplo:Ejemplo: Sumar (-6) a (-3)Sumar (-6) a (-3)
(-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9(-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9
Ejemplo:Ejemplo: Sumar (-6) a (+3). (+3)Sumar (-6) a (+3). (+3)
+ (-6) = -(6 - 3) = -3+ (-6) = -(6 - 3) = -3

Ejemplo 1.Ejemplo 1. Una fuerza dirigida a la derecha es positiva y una
fuerza hacia la izquierda es negativa. ¿Cuál es la suma de A +
B + C si A es 100 lb, derecha; B es 50 lb, izquierda; y C es 30 lb,
izquierda.
Dados:Dados: A = + 100 lb; B = - 50 lb; C = -30 lb
A + B + C = (100 lb) + (-50 lb) + (-30 lb)
A + B + C = (100 lb) + (-50 lb) + (-30 lb)
A + B + C = +20 lbA + B + C = +20 lb
Fuerza Neta = 20 lb,
hacia la derecha
Fuerza Neta = 20 lb,
hacia la derecha
100 lb-30 lb
-50 lb
A + B + C = +(100 lb - 50 lb - 30 lb)

Resta de Números SignadosResta de Números Signados
• ParaPara restarrestar un número signadoun número signado bb de otrode otro
número signadonúmero signado aa, cambie el signo de, cambie el signo de bb yy
súmelo asúmelo a aa; use la regla de la suma.; use la regla de la suma.
Ejemplos:Ejemplos: Restar (-6) de (-3):Restar (-6) de (-3):
(-3) - (-6) = -3 + 6 = +3(-3) - (-6) = -3 + 6 = +3
Restar (+6) de (-3):Restar (+6) de (-3):
(-3) - (+6) = -3 - 6 = -9(-3) - (+6) = -3 - 6 = -9

Ejemplo 2.Ejemplo 2. En un día de invierno, la temperaturaEn un día de invierno, la temperatura
cae decae de 151500
CC a una baja dea una baja de -10-1000
CC. ¿Cuál es el. ¿Cuál es el
cambio en temperatura?cambio en temperatura?
Dados:Dados: t0 = + 150
C; tf = - 100
C
150
C
-100
C
∆t = tf - t0
∆t = (-100
C) - (+150
C) =
-100
C - 150
C = -25 C0
∆t = -25 C0∆t = -25 C0
¿Cuál es el cambio en¿Cuál es el cambio en
temperatura si sube de nuevo atemperatura si sube de nuevo a
+15+1500
C?C?
∆t = +25 C0∆t = +25 C0

Multiplicación: Números SignadosMultiplicación: Números Signados
(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos igualessignos iguales, su, su
producto esproducto es positivopositivo..
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos distintossignos distintos, su, su
producto esproducto es negativonegativo..
Ejemplos:Ejemplos:
( + ) ( + ) = +
( – ) ( – ) = +
( + ) ( – ) = –
( – ) ( + ) = –

Regla de División para Números SignadosRegla de División para Números Signados
( 72) (-72)
12; 12
( 6) (+6)
−
= + = −
−
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos igualessignos iguales, su, su
cociente escociente es positivopositivo..
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos distintossignos distintos, su, su
cociente escociente es negativonegativo..
Ejemplos:Ejemplos:
( + ) ÷ ( + ) = +
( – ) ÷ ( – ) = +
( + ) ÷ ( – ) = –
( – ) ÷ ( + ) = –

Extensión de la Regla por FactoresExtensión de la Regla por Factores
Ejemplos:Ejemplos:
• El resultado seráEl resultado será positivopositivo si todos los factores sonsi todos los factores son
positivos o si hay un número par de factores negativos.positivos o si hay un número par de factores negativos.
• El resultado seráEl resultado será negativonegativo si hay un númerosi hay un número
impar de factores negativos.impar de factores negativos.
( 2)( 4) (-2)(+4)(-3)
4 ; 12
2 (-2)(-1)
− −
= − = +
−

Ejemplo 3:Ejemplo 3: Considere la siguienteConsidere la siguiente
fórmula y evalúe la expresión parafórmula y evalúe la expresión para xx
cuandocuando a = -1a = -1,, b = -2b = -2,, c = 3c = 3,, d = -4d = -4..
2cba
x cd
bc
= +
2(3)( 2)( 1)
(3)( 4)
( 2)(3)
x
− −
= + −
−
x = -1 + 48 x = +47x = +47

Ejemplos 3bis:Ejemplos 3bis:
7 2bc bd para b = 4, c = 3, d = 8a) Hallar el valor numérico de
( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 2 7 4 3 2 4 8 84 64 84 8 672bc bd = = = =
b) Hallar el valor numérico de para m = 2, n = 5
2 3
32m mn n− +
( ) ( ) ( ) ( )
2 32 3
2 3 2 2 2 5 3 5 4 20 375 359m mn n− + = − + = − + =
a b d e
c t
+ −
+c) Hallar el valor numérico de
para a = 2, b = ½, c = ⅓, d = 3/5, e = ¼, t = 3
3 5 71 1
2 5 4 2 20
1 1
3 3
2 15 7 450 7 457
3 3 2 60 60 60
a b d e
c t
+ − + − +
+ = + = + = + = =

Trabajo con Fórmulas:Trabajo con Fórmulas:
Muchas aplicaciones de la física requieren queMuchas aplicaciones de la física requieren que
uno resuelva y evalúe expresiones matemáticasuno resuelva y evalúe expresiones matemáticas
llamadasllamadas fórmulasfórmulas..
Considere, por ejemplo, elConsidere, por ejemplo, el
VolumenVolumen VV ::
V = LWHV = LWH
Al aplicarAl aplicar leyes del álgebraleyes del álgebra, se puede resolver para, se puede resolver para LL,, WW oo HH::
V
L
WH
=
V
W
LH
=
V
H
LW
=
L
W
H

Repaso de ÁlgebraRepaso de Álgebra
UnaUna fórmulafórmula expresa unaexpresa una igualdadigualdad, y dicha, y dicha
igualdad se debe conservar.igualdad se debe conservar.
Si x + 1 = 5 entonces x
debe ser igual a 4 para
conservar la igualdad.
Si x + 1 = 5 entonces x
debe ser igual a 4 para
conservar la igualdad.
Cualquier cosa queCualquier cosa que
se haga en un ladose haga en un lado
de la ecuación sede la ecuación se
debe hacer al otrodebe hacer al otro
para conservar lapara conservar la
igualdad.igualdad.
Por ejemplo:
• Sumar o restar el mismo valor en
ambos lados.
• Multiplicar o dividir ambos lados
por el mismo valor.
• Elevar al cuadrado o sacar la raíz
cuadrada de ambos lados.
Por ejemplo:
• Sumar o restar el mismo valor en
ambos lados.
• Multiplicar o dividir ambos lados
por el mismo valor.
• Elevar al cuadrado o sacar la raíz
cuadrada de ambos lados.

Álgebra con EcuacionesÁlgebra con Ecuaciones
Las fórmulas se pueden resolver al realizar unaLas fórmulas se pueden resolver al realizar una
secuencia de operaciones idénticas en ambos lados desecuencia de operaciones idénticas en ambos lados de
una igualdad.una igualdad.
• Se pueden sumar o restar términos de
cada lado de una igualdad.
x = 2 - 4 + 6
x = +4x = +4
- 4 + 6 = -4 + 6
Restar 4 y sumar 6Restar 4 y sumar 6
a cada ladoa cada lado
x + 4 - 6 = 2 (Ejemplo)

Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)
• Cada término en ambos lados se puede
multiplicar o dividir por el mismo factor.
5x
4; 4 5; 20
5 5
x
x= = × =
5 15
5 15; ; 3
5 5
x
x x= = =
2x 6 4
2 6 4; ; 3 2; 5
2 2 2
x x x− = − = − = =

• Las mismas reglas se pueden aplicar a ecuaciones
literales (a veces llamadas fórmulas).
2 1F m g m g= −Resuelva para g:
Aísle g al factorizar: 2 1( )F g m m= −
Divida ambos lados por: (m2 – m1)
Resuelto para g:
)( 12 mm
F
g
−
=

• Cada lado se puede elevar a una potencia o se
puede sacar la raíz de cada lado.
; resuelva para v
R
mv
mgF
2
+=
Reste mg:
R
mv
mgF
2
=−
Divida por m; multiplique por R:
2
vgR
m
FR
=−
Resuelto para v: gR
m
FR
v −=

Reordenamiento de FórmulasReordenamiento de Fórmulas
Considere la siguiente fórmula:Considere la siguiente fórmula:
A C
B D
=
Multiplique porMultiplique por BB parapara
resolver pararesolver para AA::
BA BC
B D
=
Note queNote que BB se movióse movió
arriba a la derechaarriba a la derecha..
1
A BC
D
=
BC
A
D
=
Por tanto, la soluciónPor tanto, la solución
parapara AA es:es:

Ahora resuelvaAhora resuelva
parapara DD
A C
B D
=
1. Multiplique por1. Multiplique por DD 2. Divida por2. Divida por AA
3. Multiplique por3. Multiplique por BB 4. Solución para4. Solución para DD
DD se mueve arriba a la izquierda.se mueve arriba a la izquierda. AA se mueve abajo a la derecha.se mueve abajo a la derecha.
BB se mueve arriba a la derecha.se mueve arriba a la derecha. Entonces se aíslaEntonces se aísla DD..
DA DC
B D
=
DA C
AB A
=
BD BC
B A
=
BC
D
A
=

Cruces para FactoresCruces para Factores
Cuando en una fórmula sólo hayCuando en una fórmula sólo hay dos términosdos términos
separados por un signo igual, se pueden usar losseparados por un signo igual, se pueden usar los
crucescruces..
AB DE
C F
= ¡¡CrucesCruces sólosólo
para factores!para factores!
A continuación se dan ejemplos deA continuación se dan ejemplos de
soluciones:soluciones:
1
A CDE
BF
=
1
F CDE
AB
=
1
ABF D
CE
=

Ejemplo 4:Ejemplo 4: Resolver paraResolver para n.n.
PV = nRT
PV nRT
1 1
=
R T
=
PV n
1R T
R T
PV
n
RT
=
=
PV n
1R T

SEÑAL DE ADVERTENCIASEÑAL DE ADVERTENCIA
PARA CRUCESPARA CRUCES
¡El método de¡El método de crucescruces SÓLOSÓLO
funciona para FACTORES!funciona para FACTORES!
( )a b c e
d f
+
=
La c no se puede mover a menos
que se mueva todo el factor (b + c).
Solución paraSolución para aa::
( )
ed
a
b c f
=
+
Caution
Caution

Ejemplo 5:Ejemplo 5: Resolver paraResolver para f.f.
( )a b c e
d f
+
=
Primero muevaPrimero mueva ff para tenerlo en el numerador.para tenerlo en el numerador.
( )a b c ef
d
+
=
A continuación muevaA continuación mueva aa, d y (b + c), d y (b + c)
( )
ed
f
a b c
=
+

Cuándo usar los Cruces:Cuándo usar los Cruces:
1. Los cruces sólo funcionan1. Los cruces sólo funcionan
cuando una fórmula tiene UNcuando una fórmula tiene UN
término en cada lado de unatérmino en cada lado de una
igualdad.igualdad.
2. ¡Sólo se pueden mover2. ¡Sólo se pueden mover
FACTORES!FACTORES!
AB DE
C F
=

AVISO: ¡NO MUESTRE ESTE MÉTODOAVISO: ¡NO MUESTRE ESTE MÉTODO
DE “CRUCES” A UN MAESTRO DEDE “CRUCES” A UN MAESTRO DE
MATEMÁTICAS!MATEMÁTICAS!
Use la técnica porque
funciona y es efectiva.
Reconozca los problemas
de confundir factores con
términos.
Use la técnica porque
funciona y es efectiva.
Reconozca los problemas
de confundir factores con
términos.
PERO... No espere que le
guste a todos los profesores.
Utilícela en secreto y no le
diga a nadie.
PERO... No espere que le
guste a todos los profesores.
Utilícela en secreto y no le
diga a nadie.

Con Frecuencia es Necesario Usar
Exponentes en Aplicaciones Físicas.
EE == mcmc22
E = m ( c c )E = m ( c c )
El exponente “2”El exponente “2”
significa “ c” por “c”significa “ c” por “c”
E = mcE = mc22
Cubo
de
lado x
El volumen de un cuboEl volumen de un cubo
de lado x es “xde lado x es “x  xx  x” ox” o
V = xV = x33

¡ Camino Escabroso por Delante !¡ Camino Escabroso por Delante !
Las reglas de exponentesLas reglas de exponentes
y radicales son difícilesy radicales son difíciles
de aplicar, perode aplicar, pero
necesarias en notaciónnecesarias en notación
física.física.
Por favor, ábrase paso aPor favor, ábrase paso a
través de esta revisión;través de esta revisión;
pida ayuda si espida ayuda si es
necesario.necesario.

Exponentes y RadicalesExponentes y Radicales
Reglas de MultiplicaciónReglas de Multiplicación
Cuando se multiplican dos cantidades de laCuando se multiplican dos cantidades de la
misma base, su producto se obtiene al sumarmisma base, su producto se obtiene al sumar
algebraicamente los exponentes.algebraicamente los exponentes.
Cuando se multiplican dos cantidades de laCuando se multiplican dos cantidades de la
misma base, su producto se obtiene al sumarmisma base, su producto se obtiene al sumar
algebraicamente los exponentes.algebraicamente los exponentes.
( )( )m n m n
a a a +
= Ejemplos:Ejemplos:
5 3 5 3 2
2 2 2 2 4− −
× = = =
5 1 5
1 5 4
1
x x x
x
x x
−
− +
× = ×
= =
3 2 4 3 2 3 5 3 3 2 1 4 3 2 3 1 5 3 1 2 2 3 8 3
x y z xy z x y z x y z− − − + − + −
= =g

Reglas de ExponentesReglas de Exponentes
Exponente negativo:Exponente negativo: Un término distinto deUn término distinto de
cero puede tener un exponente negativocero puede tener un exponente negativo
como se define a continuación:como se define a continuación:
Exponente negativo:Exponente negativo: Un término distinto deUn término distinto de
cero puede tener un exponente negativocero puede tener un exponente negativo
como se define a continuación:como se define a continuación:
1 1
o bienn n
n n
a a
a a
−
−
= =
Ejemplos:Ejemplos:
2
2
1
2 0.25
2
−
= =
2 3 3 4 7
4 2 2
x y y y y
y x x
−
−
= =

Exponentes y RadicalesExponentes y Radicales
Exponente CeroExponente Cero
Exponente cero:Exponente cero: Considere los siguientesConsidere los siguientes
ejemplos para exponentes cero.ejemplos para exponentes cero.
Exponente cero:Exponente cero: Considere los siguientesConsidere los siguientes
ejemplos para exponentes cero.ejemplos para exponentes cero.
0 3 0 3
x y z y=
03
4
0
1
0.333
3 3
x
y
z
−
 
 
  = =
0
El exponente cero: a = 1

Otras Reglas de ExponentesOtras Reglas de Exponentes
Regla de división:Regla de división: Cuando seCuando se
dividen dos cantidades de ladividen dos cantidades de la
misma base, su cociente semisma base, su cociente se
obtiene al restar algebraicamenteobtiene al restar algebraicamente
los exponentes.los exponentes.
Regla de división:Regla de división: Cuando seCuando se
dividen dos cantidades de ladividen dos cantidades de la
misma base, su cociente semisma base, su cociente se
obtiene al restar algebraicamenteobtiene al restar algebraicamente
los exponentes.los exponentes.
m
m n
n
a
a
a
−
=
Ejemplos:Ejemplos: 4 2 4 1 2 5 3 3 3
5 3
1 1
x y x y x y x
xy y
− − −
= = =
( )( )3 2 4 3 2 3 5 3 3 2 1 4 3 2 3 1 5 3
2 3 8 3
1 2 2 3 8 3
1 2
x y z xy z x y z
y z
x y z
x
− − − + − +
−
=
= =

Reglas de Exponentes (Reglas de Exponentes (contcont.):.):
Potencia de una potencia:Potencia de una potencia:
Cuando una cantidadCuando una cantidad aamm
sese
eleva a la potenciaeleva a la potencia mm::
Potencia de una potencia:Potencia de una potencia:
Cuando una cantidadCuando una cantidad aamm
sese
eleva a la potenciaeleva a la potencia mm::
( )
n
m mn
a a=
Ejemplos:Ejemplos:
3 5 (5)(3) 15 2 3 6 6
( ) ; ( )x x x q q q− − +
= = = =

Potencia de un producto:Potencia de un producto: SeSe
obtiene al aplicar el exponente aobtiene al aplicar el exponente a
cada uno de los factores.cada uno de los factores.
Potencia de un producto:Potencia de un producto: SeSe
Ejemplo:Ejemplo:
12
3 2 4 (3)(4) ( 2)(4) 12 8
8
( )
x
x y x y x y
y
− − −
= = =
( )
m m m
ab a b=

Potencia de un cociente:Potencia de un cociente: SeSe
Potencia de un cociente:Potencia de un cociente: SeSe
n n
n
a a
b b
  
=   
   
Ejemplo:Ejemplo:
33 2 9 6 9 9
3 3 9 3 6
x y x y x p
qp q p q y
− −
− −
 
= = 
 

Raíces y RadicalesRaíces y Radicales
Raíces de un producto:Raíces de un producto: LaLa nn
-ésima raíz de un producto es-ésima raíz de un producto es
igual al producto de lasigual al producto de las nn
-ésimas raíces de cada factor.-ésimas raíces de cada factor.
Raíces de un producto:Raíces de un producto: LaLa nn
-ésima raíz de un producto es-ésima raíz de un producto es
igual al producto de lasigual al producto de las nn
-ésimas raíces de cada factor.-ésimas raíces de cada factor. ( ) ( )
1/ 1/
n n n
n n
ab a b
a b
=
=
3 3 3 33 3 3
8 27 8 27 2 3 2 3 6× = × = × = × =
Ejemplos:Ejemplos:
3 8 3 3 6 2 2 2 2 23 3 3 3
4 250 4 2 5 4(5 ) 2 20 2x y x y y xy y xy y= = =g g g g

Raíces y Radicales (Raíces y Radicales (contcont.).)
Raíces de una potencia:Raíces de una potencia: LasLas
raíces de una potencia seraíces de una potencia se
encuentran con la definiciónencuentran con la definición
de exponentes fraccionarios:de exponentes fraccionarios:
Raíces de una potencia:Raíces de una potencia: LasLas
raíces de una potencia seraíces de una potencia se
encuentran con la definiciónencuentran con la definición
de exponentes fraccionarios:de exponentes fraccionarios:
( )
1/
/
n
n m m
m n
a a
a
=
=
( )
1/4
16 12 16 12 16/4 12/4 4 34
x y x y x y x y= = =
Ejemplos:Ejemplos:
6 3 6/3 3/3 2
3
9 9/3 3
x y x y x y
z z z
= =

Notación CientíficaNotación Científica
0 000000001 10
0 000001 10
0 001 10
1 10
1000 10
1 000 000 10
1 000 000 000 10
9
6
3
0
3
6
9
.
.
.
, ,
, , ,
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
LaLa notación científicanotación científica proporciona un método abreviado paraproporciona un método abreviado para
expresar números o muy pequeños o muy grandes.expresar números o muy pequeños o muy grandes.
Ejemplos:
93,000,000 mi = 9.30 x 107
mi
0.00457 m = 4.57 x 10-3
m
2
-3
876 m 8.76 x 10 m
0.0037 s 3.7 x 10 s
v = =
5
3.24 x 10 m/sv =

LogaritmosLogaritmos
El logaritmo de un número en una base dada es
a que se debe elevar la base para
obtener el número. Si tenemos :
,entonces : log , c
log log log
log
on
lo
1
I)
I ) gI
b b
a
b
x
b
a b b x a
MN M N
M
N
= =
= +
>
=
el
exponente
1
log
log log
1
log lo
III
g l
)
ogIV)
b b
n
b b
n n
b b b
M N
M n M
M M M
n
−
=
= =

GráficasGráficas
Relación DirectaRelación Directa
Valores crecientes en
el eje horizontal causan
un aumento
proporcional en los
valores del eje vertical.
un aumento
proporcional en los
valores del eje vertical.
una disminución
proporcional en los
valores del eje
horizontal.
una disminución
proporcional en los
valores del eje
horizontal.
Relación IndirectaRelación Indirecta

GeometríaGeometría
LosLos ángulosángulos se miden ense miden en
términos de grados, detérminos de grados, de 0°0° aa
360360ºº..
LíneaLínea ABAB eses perpendicularperpendicular
a líneaa línea CDCD
270º
180º 0º, 360º
90º
ángulo
A
B
C
D
LíneaLínea ABAB
eses paralelaparalela
a líneaa línea CDCD
AB CDAB CD
A
B
C D
AB CDAB CD

Geometría (Geometría (contcont.).)
CuandoCuando dos líneasdos líneas
rectas intersecanrectas intersecan,,
forman ángulosforman ángulos
opuestos iguales.opuestos iguales.
A A ′
B ′
B
ángulo A = ángulo A′
ángulo B = ángulo B ′
Cuando unaCuando una línea rectalínea recta
interseca dos líneas paralelasinterseca dos líneas paralelas,,
los ángulos internos alternoslos ángulos internos alternos
son iguales.son iguales.
A
A ′
B ′B

Geometría (Geometría (contcont.).)
Para todo triángulo, laPara todo triángulo, la
suma de los ángulossuma de los ángulos
internos es 180ºinternos es 180º
Para todo triánguloPara todo triángulo
recto, larecto, la suma de lossuma de los
dos ángulos másdos ángulos más
pequeños es 90ºpequeños es 90º
A + B + C = 180°A + B + C = 180°
AC
B
A + B = 90°A + B = 90°
AC
B

Ejemplo 6:Ejemplo 6: Use geometría para determinar
en la figura los ángulos desconocidos φ y θ.
1. Dibuje líneas1. Dibuje líneas
auxiliaresauxiliares ABAB yy CDCD.. β
500
200
φ θ2. Note:2. Note: θθ + 50+ 5000
= 90= 9000
A BC
D
θ = 400θ = 400
β =β = 202000
3. Ángulos internos alternos son
iguales:
4. ACD es ángulo recto: ββ ++ φφ ++ θθ = 90= 9000
200
+ φ + 400
= 900 φ = 300φ = 300

Trigonometría de Triángulo RectoTrigonometría de Triángulo Recto
Con frecuencia, los ángulos se
representan con letras griegas:
α alfa β beta γ gamma
θ theta φ phi δ
delta
Con frecuencia, los ángulos se
representan con letras griegas:
α alfa β beta γ gamma
θ theta φ phi δ
delta
Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
El cuadrado de laEl cuadrado de la
hipotenusa es igual a lahipotenusa es igual a la
suma de los cuadradossuma de los cuadrados
de los otros dos lados.de los otros dos lados.
Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
El cuadrado de laEl cuadrado de la
hipotenusa es igual a lahipotenusa es igual a la
suma de los cuadradossuma de los cuadrados
de los otros dos lados.de los otros dos lados.
2 2 2
2 2
R x y
R x y
= +
= +
R
x
y

Trigonometría de Triángulo RectoTrigonometría de Triángulo Recto
El valorEl valor senoseno de un triángulo rectode un triángulo recto
es igual a la razón de la longitudes igual a la razón de la longitud
del ladodel lado opuestoopuesto al ángulo, a laal ángulo, a la
longitud de lalongitud de la hipotenusahipotenusa deldel
triángulo.triángulo.
El valorEl valor cosenocoseno de un triángulo recto es igual a lade un triángulo recto es igual a la
razón de la longitud del ladorazón de la longitud del lado adyacenteadyacente al ángulo,al ángulo,
a la longitud de laa la longitud de la hipotenusahipotenusa del triángulo.del triángulo.
cos
Ady
Hip
θ =
El valorEl valor tangentetangente de un triángulo recto es igualde un triángulo recto es igual
a la razón de la longitud del ladoa la razón de la longitud del lado opuestoopuesto alal
ángulo, al ladoángulo, al lado adyacenteadyacente al ángulo.al ángulo.
tan
Op
Ady
θ =
hip
ady
opθsen
Op
Hip
θ =

Ejemplo 5:Ejemplo 5: ¿Cuál es la distancia x a
través del lago y cuál el ángulo θ ?
x
20 m
12 m θ
RR = 20 m es la hipotenusa.= 20 m es la hipotenusa.
Por el teorema de Pitágoras:Por el teorema de Pitágoras:
2 2 2
(20) (12)x= +
400 144 256x = − =
x = 16 mx = 16 m
θ = 53.10θ = 53.10
12 m
cos
20 m
ady
hip
θ =

ResumenResumen
• Para sumar dos números dePara sumar dos números de igual signoigual signo,,
sume los valores absolutos de los númerossume los valores absolutos de los números
y asigne a la suma el signo común.y asigne a la suma el signo común.
• Para sumar dos números dePara sumar dos números de signo distintosigno distinto,,
encuentre la diferencia de sus valoresencuentre la diferencia de sus valores
absolutos y asigne el signo del númeroabsolutos y asigne el signo del número másmás
grandegrande..
• ParaPara restarrestar un número signadoun número signado bb de otrode otro
número signadonúmero signado aa, cambie el signo de, cambie el signo de bb yy
súmelo asúmelo a aa, con la regla de la suma., con la regla de la suma.
Se espera que mínimamente sepa lo siguiente:Se espera que mínimamente sepa lo siguiente:

Resumen (Resumen (contcont.).)
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos distintossignos distintos,,
su producto essu producto es negativonegativo..
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos igualessignos iguales,,
su producto essu producto es positivopositivo..
• El resultado seráEl resultado será positivopositivo si todos lossi todos los
factores son positivos o si hay un númerofactores son positivos o si hay un número
par de factores negativos.par de factores negativos.
• El resultado seráEl resultado será negativonegativo si hay unsi hay un
número impar de factores negativos.número impar de factores negativos.

ResumenResumen
1n
n
a
a
−
=
0
1a =
1n
n
a
a−
=
m
m n
n
a
a
a
−
= ( )
n
m mn
a a=( )( )m n m n
a a a +
=
Trabajo con Ecuaciones:
• Sume o reste el mismo valor a
ambos lados.
• Multiplique o divida ambos lados
por el mismo valor.
• Eleve al cuadrado o saque raíz
cuadrada a ambos lados.
Trabajo con Ecuaciones:
• Sume o reste el mismo valor a
ambos lados.
• Multiplique o divida ambos lados
por el mismo valor.
• Eleve al cuadrado o saque raíz
cuadrada a ambos lados.

Resumen (Resumen (contcont.).)
( )
m m m
ab a b=
n n
n
a a
b b
  
=   
   
n n n
ab a b=
/n m m n
a a=
Revise las secciones acerca deRevise las secciones acerca de
Notación CientíficaNotación Científica,, GeometríaGeometría,,
Gráficas, LogaritmosGráficas, Logaritmos yy
TrigonometríaTrigonometría según requiera.según requiera.
Revise las secciones acerca deRevise las secciones acerca de
Notación CientíficaNotación Científica,, GeometríaGeometría,,
Gráficas, LogaritmosGráficas, Logaritmos yy
TrigonometríaTrigonometría según requiera.según requiera.

Repaso de TrigonometríaRepaso de Trigonometría
Se espera que mínimamente sepa lo siguiente:Se espera que mínimamente sepa lo siguiente:
yy
xx
RR
θ
y = R sen θy = R sen θ
x = R cos θx = R cos θcos
x
R
θ =
tan
y
x
θ = R2 = x2 + y2R2 = x2 + y2
TrigonometríaTrigonometría
sen
y
R
θ=
NOTA: Para estudiar y ampliar los temas vistos aquí, recomiendo el libroNOTA: Para estudiar y ampliar los temas vistos aquí, recomiendo el libro
dede Matemáticas Previas al CálculoMatemáticas Previas al Cálculo , de L. Leithold, Tercera Edición,, de L. Leithold, Tercera Edición,
Oxford University Press, 1998.Oxford University Press, 1998. Instructor: Dr. Luis G. Cabral RosettiInstructor: Dr. Luis G. Cabral Rosetti ,,

Ojalá y podamos evitar cosas como estas . . . .

Muchas Gracias por su AtenciónMuchas Gracias por su Atención

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