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Formulario de trigonometria
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Formulario de trigonometria

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  • 1. ACADEMIA FORMULARIO DE TRIGONOMÉTRIA IDENTIDADES TRIANGULOS NOTABLES TRIGONOMÉTRICAS 45º 60º 53º PITAGORICAS 1 − sen 2 x = cos 2 x 2 2 5 3 sen 2 x + cos 2 x = 1 1 − cos 2 x = sen 2 x 1 1 45º 30º 37º 1 3 4 1 + tg 2x = sec 2 x sec 2 x − tg 2 x = 1 1 + ctg 2 x = csc 2 x csc 2 x − ctg 2 x = 1 127° 153° 75° 5 10 2 4 2 1 1 6- 2 53° 37° 2 2 15° 2 3 6+ 2 POR COCIENTE senx cos x 74º 76º 82º tgx = ctgx = 25 17 5 2 cos x senx 7 1 116º 14° 8º 24 4 7 RECÍPROCAS 1 csc x = 62º 59º senx. csc x = 1 senx 17 31 8 1 3 1 45° cos x. sec x = 1 sec x =28° 2 31º cos x 15 2 +1 5 tgx.ctgx = 1 1 ctgx = tgx IDENTIDADES AUXILIARES RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 30º 60º 45º 37º 53º 1 3 2 3 4 sen 2 2 2 5 5 3 1 2 4 3 cos 2 2 2 5 5 3 3 4 IDENTIDADES PARA ARCOS tg 3 1 3 4 3 COMPUESTOS 3 4 3 ctg 3 1 3 3 4 sen(x ± y) = senx.cosy ± cosx.seny 2 3 5 5 cos(x ± y) = cosx.cosy m senx.seny sec 2 2 3 4 3 tgx ± tgy 2 3 5 5 tg(x ± y) = csc 2 2 1 m tgx.tgy 3 3 4 Prof. Julio C. Cerón Velásquez
  • 2. IDENTIDADES AUXILIARES PARA COMPUESTOS IDENTIDADES PARA ARCO sen(x + y).sen(x - y) = sen 2 x − sen 2 y DOBLE cos(x + y).cos(x - y) = cos 2 x − sen 2 y sen(x ± y) sen2x = 2senx.cosx tgx ± tgy = cos2x = cos 2 x − sen 2 x cos x. cos y sen(y ± x) ctgx ± ctgy = cos2x = 2cos 2 x - 1 AUXILIARES senx.seny cos2x = 1 − 2 sen 2 x cos(x ± y) 2cos 2 x = 1 + cos2x 1 m tgx.tgy = cos x. cos y 2sen 2 x = 1 - cos2x 2tgx cos(x ± y) tg2x = ctgx + tgx = 2csc2x ctgx.ctgy m 1 = 1 - tg 2 x senx.seny ctgx − tgx = 2ctg2x tgx ± tgy ± tg(x ± y).tgx.tgy = tg(x ± y) sec2x + 1 = tg 2x.ctgx sec2x − 1 = tg 2x.tgx Triangulo del ángulo doble PROPIEDADES1) asenx±bcosx= a 2 + b2 .sen(x±θ) tal que: 2 x tg 2 sen2x= 2tg x b a 1+ 2 tg x 1 + tg2 x senθ = y cos θ = a 2 + b2 a 2 + b2 2x 2 cos2x= 1 –tg x 1 + tg2 x 1 – tg 2 x2) ∀ x ∈ R se cumple que: - a 2 + b 2 ≤ asenx ± bcosx ≤ a 2 + b 2 (MINIMO) (MAXIMO) IDENTIDADES PARA ARCO MITAD AUXILIARES PARA TRES ANGULOS AUXILIARES x 1 − cos x1) Si A + B + C = 180° sen = ± x 2 2 cscx + ctgx = ctg Se cumple: 2 1 + cos x x tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC cos x =± cscx − ctgx = tg 2 2 2 ctgA.ctgB+ctgA.ctgC+ctgB.ctgC=1 x 1 − cos x2) Si: A+B+C=90° tg =± 2 1 + cos x Se cumple: Donde el signo ± dependerá del cuadrante en el que se ctgA+ctgB+ctgC=ctgA.ctgB.ctgC x TgA.tgB+tgAtgC+tgB.tgC=1 ubique 2 Prof. Julio C. Cerón Velásquez
  • 3. CASO II IDENTIDADES PARA ARCO TRIPLE Para el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia. sen3x = 3senx - 4sen 3 x Siendo : x > y cos3x = 4cos 3 x - 3cosx 3tgx - tg 3 x 2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x − y) tg3x = 1 - 3tg 2 x 2 Seny Cosx = Sen(x + y) − Sen(x − y) 2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x − y) AUXILIARES 2 Senx Seny = Cos(x − y) − Cos(x + y) sen3x = senx(2cos2x + 1) cos3x = senx(2cos2x − 1) 2. SERIES TRIGONOMETRICOS  2cos2x + 1  tg3x = tgx  Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos  2cos2x + 1  están en progresión aritmética. 4 senx .sen(60° − x ).sen(60 ° + x ) = sen 3x Sen nr ( ) 4 cos x. cos(60° − x ). cos(60° + x) = cos 3x Senα + Sen(α +4 + Sen(α + 2r) + ..... = 2 ( Sen P + U ) tgx .tg(60° − x ).tg(60 ° + x ) = tg 3x tgx + tg(60° + x) + tg(120 ° + x ) = 3tg 3x 1444444 r) 24444444 “n” términos 3 Sen r 2 () 2 Sen nr ( ) TRANSFORMACIONES Cosα + Cos (α +4 + Cos (α + 2r) + ..... = 2 ( Cos P + U ) () 14444444 r) 24444444 4 3 2 TRIGONOMÉTRICAS “n” términos Sen r 21. IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS P : primer ángulo; U : último ángulo r = razónCASO I : Para la suma o diferencia de dos Senoso Cosenos a producto. 3. SERIE ESPECIAL DE COSENOS  A+B  A −B Propiedad ∀n ∈ Z + SenA + SenB = 2Sen   Cos    2   2  SenA − SenB = 2Sen  A − B  Cos  A + B      Cos ( 2nπ+ 1 ) + Cos ( 2n3π 1 ) + Cos ( 2n5π 1 ) + .... n tér min os = 1 + + 2  2   2  Propiedad ∀n ∈ Z + CosA + CosB = 2Cos  A + B  Cos  A − B       2   2  CosB − CosA = 2Sen  A + B  Sen  A − B      Cos ( 2n2π 1 ) + Cos ( 2n4π 1 ) + Cos ( 2n6π 1 ) + .... n términ os = − 1 + + + 2  2   2  Prof. Julio C. Cerón Velásquez
  • 4. 4. PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS 3. TEOREMA DE TANGENTES Dado un triángulo ABCSen ( 2nπ+ 1) Sen ( 2n2π+ 1 ) Sen ( 2n3π+ 1 )....Sen ( 2nnπ+ 1) = 2n + 1 2n B ( 2nπ+ 1 ) Cos ( 2n π 1 ) ( 2n π 1 ) ( 2n π 1 ) = 21 BCos 2 Cos 3 .... Cos n + + + n c aTg ( 2nπ+ 1 ) Tg ( 2n2π 1 ) Tg ( 2n3π 1 ) ... Tg ( 2nnπ 1 ) = + + + 2n + 1 A A b C C Se cumple: RESOLUCION DE TRIANGULOS I. a – b = tg A – B 2 ( ) OBLICUOS a+b tg A + B 2 ( ) 1. TEOREMA DE SENOS b–c = tg B – C 2 ( ) ( ) II. En todo triángulo ABC de circunradio R se verifica b+c tg B+C (O: centro). 2 B III. a – c = tg A–C 2 ( ) c a • a = 2R sen A • b = 2R sen B a+c tg A+C 2 ( ) R O • c = 2R sen C A b C 4. TEOREMA DE PROYECCIONES También: C a = b = c = 2R sen A sen B sen C a b 2. TEOREMA DE COSENOS A B En todo triángulo ABC A B b cos A B c cos B C a c A Se cumple: A C b C = b cos A + c cos B Tambien: Se cumple: a 2 = b2 + c 2 – 2bc cos A .......... (1) a = b cos C + c cos B 2 2 2 b = a + c – 2ac cos B .......... (2) b = a cos C + c cos A c 2 = a 2 + b2 – 2ab cos C .......... (3) Si de (1) se despeja cos A obtenemos: 2 2 2 cos A = b + c – a 2bc Prof. Julio C. Cerón Velásquez