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Derivada
 

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Definición formal de la deriva y sus teoremas

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    Derivada Derivada Document Transcript

    • DerivadaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar al autor principal del artículo en su página de discusión pegando: {{subst:Aviso referencias|Derivada}} ~~~~La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la rectatangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva estádibujada en rojo).En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la quecambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Laderivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de larapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervaloconsiderado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello sehabla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa laposición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dichoobjeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando avelocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Paraconocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular lavelocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entrelas 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente,ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función endicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal dela función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para elcaso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valoren cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. Elproceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es unade las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
    • Índice • 1 Historia de la derivada o 1.1 Siglo XVII o 1.2 Newton y Leibniz • 2 Conceptos y aplicaciones • 3 Condiciones de continuidad de una función o 3.1 Condición no recíproca • 4 Definición analítica de derivada como un límite • 5 Notación • 6 Diferenciabilidad • 7 Cociente de diferencias de Newton • 8 Lista de derivadas de funciones elementales • 9 Ejemplos o 9.1 Ejemplo #1 o 9.2 Ejemplo #2 o 9.3 Ejemplo #3 • 10 Generalizaciones • 11 Véase también • 12 Referencias • 13 Enlaces externos[editar] Historia de la derivadaLos problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron aplantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraronmétodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII porobra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieronorigen: • El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) • El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
    • En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculodiferencial.[editar] Siglo XVIILos matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos:Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron aandar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadaspara resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros daríanorigen al cálculo diferencial, los otros al integral.[editar] Newton y LeibnizArtículos principales: Newton y Leibniz.A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por suspredecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglaspara manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptoseran inversos (teorema fundamental del cálculo).Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con eldescubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de sucálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión,que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675.Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 añosantes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada comoun cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor desímbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculointegral, así como los símbolos y el símbolo de la integral .[editar] Conceptos y aplicacionesEl concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal.El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por elteorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo estánbasados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como elÁlgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es elconcepto más importante del Cálculo Infinitesimal.La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casosdonde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud osituación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Químicay Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo,
    • cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como lapendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar lapendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos quedeterminan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante enuna recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedadesgeométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, unadiscontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funcionesque se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, porlo que es susceptible de derivación.Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), sonaproximables linealmente.[editar] Condiciones de continuidad de una funciónUna función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementospequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos deldominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión , queda donde en este caso, . Ello quiere decir que , y si este último límite existesignifica en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los doslímites laterales existen y son iguales) que toda función que cumpla con es continua en el punto .[editar] Condición no recíprocaLa relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza suderivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadaslaterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función se expresa:
    • Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y elresultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, lasderivadas resultan:Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existederivada en el punto, a pesar de que sea continuo.De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe otiene saltos, no es derivable.[editar] Definición analítica de derivada como unlímiteEsquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objetocomo una variable, un vector unitario, una función base, etc.En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmuladetermina las características o propiedades de un cuerpo.
    • En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamosvendría representado en el punto de la función por el resultado de la divisiónrepresentada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valorque se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente enel punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectánguloformado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos másgrande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que elacercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por laizquierda de manera simultánea.Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, setiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue: ,si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta últimaexpresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniformeacelerado en cinemática.Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivadacomo un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para elcálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones deacuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas sonconsecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puedeapreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier puntode su dominio de la siguiente manera: ,La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de latangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de estelímite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformementeacelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición concualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismoresultado.
    • [editar] NotaciónExisten diversas formas para nombrar a la derivada.f es una función, se escribe la derivada de la función respecto alvalor en varios modos: • {Notación de Lagrange}se lee «efe prima de equis» • o {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}se lee « sub de », y los símbolos D y d deben entenderse como operadores. • { Notación de Newton}se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sinembargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notacionesde la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa paradefinir la derivada temporal de una variable. • , ó {Notación de Leibniz}se lee «derivada de ( ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja desugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente dediferenciales.La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Paraidentificar las derivadas de en el punto , se escribe: para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números romanos).Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido, para lasegunda derivada de en , se escribe , y así sucesivamente.La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la funciónderivada de , se escribe:
    • Con esta notación, se puede escribir la derivada de en el punto de dos modosdiferentes:Si , se puede escribir la derivada comoLas derivadas sucesivas se expresan como opara la enésima derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene delhecho que, por ejemplo, la tercera derivada esla cual se puede escribir comoLa notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable dediferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciaciónparcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecencancelarse simbólicamente:En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no puedencancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamentecuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante,se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un puntoarriba del nombre de la función:
    • y así sucesivamente.Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente paraderivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuacionesdiferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.[editar] DiferenciabilidadUna función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si esdiferenciable en todos los puntos del intervalo.Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sinembargo, una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto. Enotras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivadade una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivadade una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto tambiénrecibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.[editar] Cociente de diferencias de NewtonLa derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráficode en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente lapendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un puntoen la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltipleslíneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dospuntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes deesta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la
    • derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la líneatangente.Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un númerorelativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cualpuede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es .Inclinación de la secante de la curva y=f(x).Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de en es ellímite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a lalínea tangente: .Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de comola función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente laderivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador,de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente enlos polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto.Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de lasfunciones simples.Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, esdecir donde no hace un ángulo. En el punto de se puede trazar latangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es , el númeroderivado de en .La función es la derivada de .
    • En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , sepuede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de determina si lafunción crece o decrece.En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba(mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto es positiva, como en el punto ( ), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y esnegativa, como en el punto ( ). En los puntos y , que son máximo ymínimo local, la tangente es horizontal, luego .La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de . En efecto, gracias a unapropiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:Por ejemplo, seaentonces:
    • [editar] Lista de derivadas de funciones elementalesArtículo principal: Anexo:Derivadas.En las fórmulas siguientes se considera que :
    • (regla de la cadena)[editar] Ejemplos[editar] Ejemplo #1Sea la función , definida sobre el conjunto de losnúmeros reales (denotado por ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:Para encontrar el signo de , se tiene que factorizar:lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.También se observa su segunda derivada:Dado que y entonces tiene un mínimo local en 1 y su valor es .Dado que y entonces tiene un máximo local en -4 y suvalor es .
    • Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valoresde tales que , los cuales son y , tomando en cuenta elteorema del valor medio y que entonces la derivada es negativa en elintervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo .Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni porabajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntoscon derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo y en elintervalo .[editar] Ejemplo #2Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de lafunción.Sustituir datos:Desarrollar:Entonces, la derivada de la función es:[editar] Ejemplo #3Encuentra la derivada de:
    • Racionalizando:Calculamos el límite:[editar] GeneralizacionesEl concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sidogeneralizado de varias maneras: • Para funciones de varias variables: o Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables. o Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial. • En análisis complejo: • Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas • En análisis funcional:
    • o Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales. o Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita. o Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.• Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:• Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita).• La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.