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  • 1. Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica Procesamiento Digital de Señales (TC61) Sesión: 3 y 4 Señales, secuencias y muestreo de señales Ing. José C. Benítez P.
  • 2. Sesión 3 y 4. Temas Muestreo de señales Señales Filtros Secuencias Muestreo de Señales. Teorema de Muestreo. Alliasing. Error de Cuantización. Decimación e Interpolación. Tasa de Bits Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2
  • 3. Muestreo de señales Objetivos Comprender los pasos necesarios para la digitalización de señales analógicas. Comprender la teoría del muestreo de señales de banda base y pasa banda. Interpretar y aplicar correctamente el teorema fundamental del muestreo. Se da una visión general del tratamiento digital de señales, se explican las diferencias fundamentales entre los distintos tipos de señales, se presentan los dos tipos básicos de filtros (de paso bajo y de paso alto) y se comentan las ventajas del PDS sobre las técnicas analógicas. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 3
  • 4. Muestreo de señales Introducción Nuestro principal objetivo es el estudio de PDS, sin embargo muchas de las señales que se transmiten en estos sistemas son analógicas por lo que estas señales tienen que ser muestreadas, cuantificadas y codificadas para ser procesadas. Por lo tanto el muestreo y la cuantificación son operaciones básicas en todo sistema de PDS. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 4
  • 5. Muestreo de señales PDS El PDS (digital signal processing, DSP) trata de la: representación, transformación y manipulación de señales y de la información que contienen. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 5
  • 6. Muestreo de señales Ejemplos de aplicaciones DSP: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 6
  • 7. Señales analógicas y digitales Señales Una señal es una descripción de cómo un parámetro varía con otro parámetro. p1=f(p2) Por ejemplo, el cambio de la tensión en un circuito a lo largo del tiempo. Tipos de señales Esta variable independiente puede ser continua o discreta lo que da lugar a dos tipos de señal en función de su distribución temporal: Señales en tiempo continuo Señales en tiempo discreto Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 7
  • 8. Señales en tiempo continuo Señales analógicas Están definidas para cualquier instante del intervalo de medición (por ejemplo, voz, audio, etc.) y Vienen representadas por una función; que no tiene por qué ser continua. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 8
  • 9. Señales en tiempo discreto Señales digitales Están definidas sólo en un conjunto particular de instantes de tiempo (por ejemplo, temperatura al mediodía) y Vienen representadas por una secuencia. Además de ser discretas en dominio, lo son en rango (es decir, su amplitud es discreta) . Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 9
  • 10. Filtros de paso bajo y paso alto Filtros Un filtro es un dispositivo que permite el paso de un determinado rango de frecuencias y elimina el resto. Tipos básicos de filtros: Filtro paso bajo (low-pass filter, LPF): sólo permite el paso de frecuencias inferiores a una determinada frecuencia(denominada frecuencia de corte). Filtro paso alto (high-pass filter, HPF): sólo permite el paso de frecuencias superiores a la frecuencia de corte. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 10
  • 11. Filtros de paso bajo y paso altoEjemplo:La señal azul es el resultado desumar una señal de 50 Hz(roja) y otra de 250 Hz(verde). Un LPF con frecuenciade corte de 100 Hz sólo dejaríapasar la componente rojamientras que un HPF similarsólo dejaría pasar la verde. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 11
  • 12. Ventajas del PDS El PDS presenta básicamente las siguientes ventajas frente a las técnicas analógicas: Inmunidad frente al ruido. Soportes de almacenamiento universales. Unidades de procesamiento universales. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 12
  • 13. SecuenciasUna secuencia es una función cuyo dominio es elconjunto de los números enteros. Su valor puedeexpresarse mediante: Enumeración: x[n] = {1; 2; 3; 4; 5} Formulación: x[n] = n + 1, 0 <= n <= 4El primer elemento definido corresponde a x[0] (en casocontrario el elemento correspondiente a x[0] se subraya) ylos valores no definidos se consideran nulos: x[n] = {1; -1; 1; -1; 1}La longitud de una secuencia se define como el númerode muestras contenidas en el intervalo más estrecho querecoge todas las muestras no nulas y que contiene a x[0]: x[n] = {1; 1; 0; 2; 3; 0; 0; 1} => long(x[n]) = 8 Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 13
  • 14. Tipos básicos de secuencias Muestra unitaria (MU) o delta: d[n] = 1, n = 0 Escalón unitario: u[n] = 1, n >= 0 Signo: signo[n] = 1, n > 0 signo[n] = 0, n = 0 signo[n] = -1, n < 0 Pulso: pL[n] = 1, 0 <= n < L Exponencial: x[n] = an Sinusoidal: x[n] = A sen(w0n + R) Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 14
  • 15. Operaciones con secuenciasSuma: consiste en sumar sus elementos de dos en dos(tomando uno de cada secuencia). Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} b[n] = {1; 0; 1; -1; -2} a[n] + b[n] = {2; 2; 4; 3; 3}Escalado: consiste en multiplicar una secuencia a[n] porun escalar K. Es decir, multiplicar cada elemento de a[n]por K. Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} 2a[n] = {2; 4; 6; 8; 10} Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 15
  • 16. Operaciones con secuenciasProducto: consiste en multiplicar sus elementos de dosen dos (tomando uno de cada secuencia). Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} b[n] = {1; 0; 1; -1; -2} a[n]b[n] = {1; 0; 3; -4; -10}Desplazamiento: la operación de desplazamiento(también llamada retardo) consiste en desplazar loselementos de una secuencia a[n] un determinado númeroK de muestras. Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} a[n − 3] = {0; 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5} Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 16
  • 17. Operaciones con secuenciasConvolución (Suma de): se denota con un asterisco (*)y se calcula como:c[n] = a[n] * b[n] = Σk=-∞,∞ a[k]b[n – k] Su longitud de la convolucion siempre es 1 menos que la suma de las longitudes: long(a[n] * b[n]) = long(a[n]) + long(b[n]) - 1 Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 17
  • 18. Operaciones con secuenciasPropiedades de la convolución: Conmutatividad: a[n] * b[n] = b[n] * a[n] Asociatividad: (a[n] * b[n]) * c[n] = a[n] * (b[n] * c[n]) Distributividad respecto a la suma: a[n] * (b[n] + c[n]) = a[n] * b[n] + a[n] * c[n] Elemento neutro (d[n] es la secuencia delta): a[n] * d[n] = a[n] Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 18
  • 19. Operaciones con secuenciasDiagrama de flujo de una convolución (c[n] = a[n] * b[n])Técnica rápida para calcular la convolución entre a[n] ={1; -2; 3} y b[n] = {-1; 0; 2}. Deben multiplicarse loselementos entre sí y sumar las diagonales: a[n] * b[n] ={-1; 2; -1; -4; 6}. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 19
  • 20. Operaciones con secuencias Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 20
  • 21. Operaciones con secuencias Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 21
  • 22. Operaciones con secuencias Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 22
  • 23. Propiedades de una secuenciaUna secuencia es causal si y sólo si todas susmuestras anteriores a n = 0 son nulas: causal(x[n]) <=> x[n] = 0, n < 0En oposición a esto podemos hablar de secuenciasanticausales. Es decir, secuencias cuyas muestrasson nulas para n >= 0: anticausal(x[n]) <=> x[n] = 0, n >= 0 Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 23
  • 24. Propiedades de una secuenciaSe definen como parte causal y parte anticausal deuna secuencia los conjuntos de muestrascorrespondientes: La parte causal de una secuencia x[n] es el conjunto de muestras correspondientes a n >= 0 La parte anticausal es el conjunto de muestras correspondientes a n < 0 Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 24
  • 25. Propiedades de una secuenciaUna secuencia es finita si y sólo si su longitud lo es(en caso contrario se trataría de una secuenciainfinita): finita(x[n]) <=> long(x[n]) < ∞Una secuencia es acotada si y sólo si todas susmuestras tienen un valor finito: acotada(x[n]) <=> |x[n]| < ∞ Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 25
  • 26. MuestreoEl proceso de conversión analógico-digital (analog-to-digital conversion, ADC), permite transformar unaseñal analógica en otra digital equivalente.Este proceso también se denomina digitalización.Una señal analógica es continua tanto en dominio(tiempo) como en rango (amplitud) por lo que enesta conversión debe realizarse dos procesos dediscretización: Discretización en tiempo (muestreo) Discretización en amplitud (cuantización) Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 26
  • 27. MuestreoEl proceso de muestreo (sampling) consiste enalmacenar los valores (muestras) que toma la señalanalógica en determinados instantes de tiempo.Estos instantes son equidistantes y el tiempo quetranscurre entre uno y el siguiente se denominaperiodo de muestreo (suele denotarse como Ts).En consecuencia, se define la frecuencia demuestreo como la inversa de este periodo: f s = 1 / Ts Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 27
  • 28. MuestreoComo ya se ha comentado, el proceso de digitalizaciónconlleva dos procesos de discretización: discretización en tiempo (muestreo) y discretización en amplitud (cuantización).Si dichos procesos no se realizan de manera adecuada,pueden producirse errores en la generación de la nuevaseñal digital.A continuación se presenta el teorema del muestreo (queestablece el criterio adecuado para realizar un muestreocorrecto), se habla del aliasing (efecto que se producecuando la frecuencia de muestreo no es suficientementeelevada), el proceso de cuantización y, por último, elconcepto de tasa de bits y su influencia en la calidad dela información digital. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 28
  • 29. Muestreo El resultado del proceso de muestreo es una señal en tiempo discreto.Considerando: x(t) como la señal analógica original, x[n] como la señal en tiempo discreto (secuencia) resultante y Ts como el periodo de muestreo, esta recogida de muestras puede expresarse formalmente como: x[n] = x(nTs) De esta ecuación se deduce que cualquier proceso de muestreo lleva asociado un determinado periodo de muestreo. Es decir, para que la información que contienen las muestras tenga sentido, es imprescindible conocer qué periodo de muestreo se ha utilizado en su obtención. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 29
  • 30. Teorema de MuestreoEl teorema del muestreo fue formulado comoconjetura por Harry Nyquist en 1928 y, más tarde,fue probado formalmente por Claude E. Shannon en1949.Este teorema establece el criterio que debe seguirsepara no perder información durante el proceso demuestreo.Para comprender este teorema es necesario pensarque una señal, al igual que en el tiempo está formadapor infinitos puntos, en la frecuencia podemosconsiderar que está formada por infinitas señalessinusoidales de diferentes frecuencias. Cada una deestas señales sinusoidales se conoce como unacomponente frecuencial. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 30
  • 31. Teorema de MuestreoLa señal que se representa (magenta) está formada portres componentes frecuenciales de; 50 Hz (azul), 500 Hz(roja) y 1000 Hz (verde). Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 31
  • 32. Teorema de MuestreoDe esta manera, podemos enunciar el teoremadel muestreo de la siguiente forma:« Sea x(t) una señal analógica y sea fmax lafrecuencia de su componente de mayorfrecuencia. Dicha señal x(t) estará determinadade forma única por sus muestras x[n] = x(nTs),siendo n entero, si se cumple que : fs >= 2fmax ,siendo fs = 1/Ts.»Además, aunque no todos lo autores coincidenen esto, en general se denomina frecuenciade Nyquist a la mitad de la frecuencia demuestreo: fNyq = fs / 2 Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 32
  • 33. Teorema de MuestreoEjemplo de muestreo: la fmax de la señal originales 110 Hz y la frecuencia de muestreo se haestablecido en 250 Hz. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 33
  • 34. AliasingCuando se digitaliza una señal sinusoidal x(t) sinrespetar el teorema del muestreo, puede ocurrirque se obtengan las mismas muestras que seobtendrían de una señal también sinusoidal perode menor frecuencia.Si la frecuencia de x(t) es fx, las muestrasresultantes serían compatibles con una sinusoidede frecuencia fs - fx. En este caso, cada una de lasseñales se convierte en un alias de la otra. Enconsecuencia, si se muestrea a esa frecuencia fsuna señal que contenga ambas componentes, laseñal no podría ser reconstruida con exactitud. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 34
  • 35. AliasingEjemplo de aliasing: la señal x(t) de 50 Hz (roja)se muestrea a una frecuencia de 60 Hz por lo quese confunde con la señal y(t) de 10 Hz (verde).Según el teorema del muestreo el proceso deberíahaberse realizado al menos con fs = 100 Hz. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 35
  • 36. CuantizaciónLa cuantización consiste en la aproximación deun rango continuo de valores mediante unconjunto relativamente pequeño de valoresenteros.Ejemplo: en los discos compactos, la señal deaudio se muestrea a una frecuencia de 44100 Hzy se cuantiza utilizando 16 bits; lo que permiteaproximar los valores originales mediante unagama de 65536 (216) posibles valores enteros.Error de cuantización (EQ): error que se cometeal aproximar el valor continuo original mediante elnuevo valor entero.EQ depende directamente del número de bitsutilizados en el proceso (bits por muestra). Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 36
  • 37. CuantizaciónEjemplo de cuantización utilizando 4 bits pormuestra Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 37
  • 38. CuantizaciónEjemplo de cuantización utilizando 8 bits pormuestra Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 38
  • 39. CuantizaciónEjemplo de cuantización utilizando 16 bits pormuestra Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 39
  • 40. CuantizaciónEjemplo de cuantización utilizando 32 bits pormuestra Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 40
  • 41. Tasa de bitsLa tasa de bits (bitrate) es el número de bits porsegundo que se utilizan para almacenar o transmitir unadeterminada señal digital. Se mide por tanto utilizandola unidad "bits por segundo" (bit/s o bps) y a menudoincorpora un prefijo del sistema internacional: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 41
  • 42. Tasa de bitsPara calcular la tasa de bits es necesario tener en cuenta tantola frecuencia de muestreo como el número de bits pormuestra. De esta forma podemos expresarla como: bitrate = fs Bdonde : fs es la frecuencia de muestreo (es decir, el número de muestras por segundo) y B es el número de bits por muestra (es decir, la cantidad de bits que ocupa cada muestra).Por ejemplo, en el caso de los discos compactos, la tasa de bitssería: bitrate = 44100 x 16 x 2 = 1411,2 kbit/s (El factor 2 aparece debido a que el sonido es estéreo.) Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 42
  • 43. Muestreo de señales Muestreo Como se muestra en la figura, una señal digital se obtiene de una señal analógica después de muestrearla, cuantificarla y codificarla. La señal analógica que se denota por x(t) es una señal continua tanto en el tiempo como en amplitud. El resultado de muestrear una señal es otra señal que es discreta en el tiempo pero que todavía es continua en amplitud. Una señal digital se obtiene al cuantificar los valores de una señal muestreada en el tiempo en un intervalo finito de valores. Como se verá más adelante, se introduce error en cada paso de este proceso. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 43
  • 44. Muestreo de señales Teorema del Muestreo en Banda Base El primer paso para formar una señal digital a partir de una señal analógica x(t) consiste en muestrear la señal x(t) a intervalos de tiempo uniformemente espaciados para producir xs(t) = x(kTs) = x[Ts ], la notación que emplea corchetes significa que se trata de una señal discreta por lo que no es necesario acompañar el índice k de Ts. El parámetro Ts se conoce como el periodo de muestreo y es la inversa de la frecuencia de muestreo fs. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 44
  • 45. Muestreo de señales Función de Muestreo Un modelo para realizar la operación de muestreo se ilustra en la Figura. La señal x(t) es multiplicada por una señal periódica de pulsos p(t) para formar la señal discreta xs(t), en otras palabras: xs(t) = x(t) p(t) La señal p(t) se conoce como la función de muestro. La función de muestreo es un impulso de corta duración de tiempo, el cual puede tomar los valores de cero o uno. De esta manera xs(t) = x(t) cuando p(t) = 1, y xs(t) = 0 cuando p(t) = 0. Más adelante en nuestra discusión veremos que sólo el periodo de la función de muestreo p(t) es significativo y que la forma de p(t) es arbitraria. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 45
  • 46. Muestreo de señales Función de Muestreo Puesto que p(t) es una señal periódica, puede ser representada en series de Fourier: en donde los coeficientes de Fourier están dados por: Reemplazando tenemos: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 46
  • 47. Muestreo de señales Deducción… Con el fin de deducir el teorema del muestreo y por lo tanto demostrar que bajo condiciones apropiadas x(t) está totalmente representada por las muestras de x(kTs), debemos pues determinar el espectro de xs (t) y demostrar que x(t) puede ser reconstruida a partir de xs (t). La transformada de Fourier de la señal muestreada es: lo cual, después de intercambiar el orden de la integral por el de la suma vendría a ser: Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la señal continua en el tiempo x(t) es: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 47
  • 48. Muestreo de señales Teorema de Muestreo Se puede deducir que la transformada de Fourier de la señal muestreada puede ser escrita de la siguiente manera: Por lo tanto podemos ver que el efecto de muestrear una señal de tiempo continuo es repetir el espectro de la señal en f = 0 en todas los harmónicos de la frecuencia de muestreo f = nfs. Los espectros trasladados están ponderados por los coeficientes de Fourier que resultan de la expansión en series de la función p(t). El siguiente y último paso en nuestra discusión y desarrollo del teorema de muestreo es definir p(t). Considerando que las muestras son tomadas instantáneamente una definición apropiada para p(t) es: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 48
  • 49. Muestreo de señales Cual es la función de muestreo? La cual se conoce como función impulso de muestreo, en donde los coeficientes de Fourier están dados por: Aplicando la propiedad del desplazamiento de la función delta obtenemos: Usando los resultados obtenidos anteriormente, tenemos que la transformada de Fourier de la función p(t) está representada por: Así usando esta expresión, el espectro de la señal muestreada vendría a ser: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 49
  • 50. Muestreo de señales Convolucion? Debe de hacerse notar que este resultado también pudo haberse obtenido de la expresión: La generación de Xs(f) empleando la convolución para una señal con un ancho de banda limitado. El teorema del muestreo puede ser deducido a partir de la sigiente figura 3. Con el fin de que las muestras de x(nTs) contengan toda la información de la señal continua en el tiempo x(t), de tal manera que no se pierda información en el proceso de muestreo, las muestras deben ser tomadas tal que x(t) pueda ser reconstruida sin error a partir de las muestras x(nTs). Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 50
  • 51. Muestreo de señales Comprobación Podemos pues observar que la reconstrucción de x(t) a partir de xs(t) se logra extrayendo el término para n = 0 de Xs(t) empleando para ello un filtro pasa bajo. Por lo tanto para lograr la reconstrucción sin errores se requiere que la porción del espectro de Xs(f) para f = ±fs no traslape la porción del espectro para f = 0. Esto requiere que fs - fh > fh o fs > 2 fh, lo cual comprueba el teorema del muestreo para señales de banda base. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 51
  • 52. Muestreo de señales Teorema del Muestreo en Banda Base Teorema Una señal con un ancho de banda finito puede ser reconstruida sin error a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo fs es mayor que 2 fh, donde fh es la frecuencia más alta presente en la señal muestreada. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 52
  • 53. Muestreo de señales Teorema del Muestreo de Señales Pasa Banda Hay diversas estrategias que pueden emplearse para representar señales pasa banda como un conjunto de muestras. Consideraremos los dos métodos más comunes. Teorema 2 Si una señal pasa banda tiene un ancho de banda B, con frecuencia máxima fh, la señal puede ser muestreada y reconstruida usando una frecuencia fs = 2 fh/m, donde m es el mayor entero que no exceda a fh/B. Todas las frecuencias mayores no son necesarias a menos que excedan a 2fh , que es el valor de fs que indica el teorema del muestreo para señales en banda base. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 53
  • 54. Muestreo de señales Teorema del Muestreo de Señales Pasa Banda Vamos a suponer que tenemos una señal pasa banda expresada de la siguiente forma: La función A(t) es conocida como la envolvente de la señal pasa banda y la función φ(t) se conoce como la desviación de fase de la señal pasa banda. En la mayor cantidad de aplicaciones de comunicaciones tanto A(t) como φ(t) son señales en banda base y tienen un ancho de banda en el orden del ancho de banda de la información que representan. Usando transformaciones trigonométricas esta señal la podemos escribir de esta manera: Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 54
  • 55. Muestreo de señales Teorema del Muestreo de Señales Pasa Banda En esta representación: se conoce como la componente directa o en fase y es la componente en cuadratura. Debido a que A(t) y cos φ(t) son señales en banda base, podemos deducir que xd(t) y xq(t) son también señales en banda base por lo que deben de muestrearse con el criterio del teorema del muestreo de señales en banda base. Hay que notar que si se conoce xd(t) , xq(t) y la frecuencia de la portadora , entonces la señal pasa banda puede reconstruirse sin error. La representación de señales pasa banda usando sus componentes directa y en cuadratura se estudiará en detalle más adelante. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 55
  • 56. Muestreo de señales La representación de una señal pasa banda en el dominio de la frecuencia se ilustra en la Figura 2.4(a). La envolvente compleja de esta señal se define como: Puesto que xd(t) y xq(t) son señales en banda base entonces es también una señal en banda base como se ilustra en la Figura 2.4(b). En la Figura 2.4 vemos que X(f), y por consiguiente xd(t) y xq(t) son señales en banda base por lo que deben de muestrearse de acuerdo al teorema de muestreo de señales en banda base. Como la mayor frecuencia presente en xd(t) y xq(t) es B/2, la mínima tasa de muestreo para cada una es B. Sin embargo se debe de muestrear dos señales en lugar de una señal. Como resultado, se debe emplear una tasa superior a 2B. Observamos que muestrear la envolvente compleja empleando el teorema del muestreo para señales en banda base, llega al mismo requerimiento de muestrear una señal pasa banda usando el teorema del muestreo para señales pasa banda. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 56
  • 57. Tarea 3 1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 5 y 6.- Sistemas LIT. 2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea. Presentación: • Impreso y en USB el desarrollo de la tarea. • Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas conceptuales en CMapTools. • En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.). • La fuente debe provenir de una universidad. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 57
  • 58. Presentación Todas las fuentes deben presentarse en formato digital (USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso, sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea. Ejemplo: PDS_BenitezPalacios_T3 La fuente debe conservar el nombre original y agregar _tema. Las Tareas que no cumplan las indicaciones no serán recepcionados por el profesor. Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 58
  • 59. Sesión 3 y 4. Señales, secuencias y Muestreo Procesamiento Digital de Señales Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 59

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