06 Distribución Binomial

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06 Distribución Binomial

  1. 1. Distribución Binomial Ing. Julio Carreto
  2. 2. <ul><li>Una persona arroja 1 dado apostando con otro a que saca un as. La probabilidad de sacar el as es igual a : </li></ul>La Distribución Binomial
  3. 3. <ul><li>Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente. </li></ul>La Distribución Binomial
  4. 4. <ul><li>Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... ases ?. </li></ul>La Distribución Binomial
  5. 5. La Distribución Binomial 0 As
  6. 6. La Distribución Binomial 1 As
  7. 7. La Distribución Binomial 2 Ases
  8. 8. La Distribución Binomial 3 Ases
  9. 9. La Distribución Binomial 4 Ases
  10. 10. La Distribución Binomial 5 Ases
  11. 11. <ul><li>¿Es tan probable sacar 1 ó 2 ases como sacar 5 ases?. </li></ul><ul><li>A priori parecería que no. </li></ul>La Distribución Binomial
  12. 12. <ul><li>Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernouilli. </li></ul>La Distribución Binomial
  13. 13. <ul><li>En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles: </li></ul>La Distribución Binomial Ningún As Un As
  14. 14. <ul><li>Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y la probabilidad de obtener un as es: </li></ul>La Distribución Binomial
  15. 15. <ul><li>Y la probabilidad de obtener cualquier otro resultado que no sea un as es: </li></ul>La Distribución Binomial
  16. 16. <ul><li>Entonces, cuando arrojamos 5 dados , la probabilidad de obtener 5 ases es: </li></ul>La Distribución Binomial
  17. 17. <ul><li>La probabilidad de no tener ningún as (0 ases) también podemos calcularla, porque al arrojar un sólo dado, la probabilidad de que no salga un as es: </li></ul>La Distribución Binomial
  18. 18. <ul><li>Y la probabilidad de no obtener ningún As en los 5 dados arrojados es: </li></ul>La Distribución Binomial
  19. 19. <ul><li>Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...ases. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial. </li></ul>La Distribución Binomial
  20. 20. La Distribución Binomial <ul><li>¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados ? </li></ul><ul><li>Por ejemplo, una forma es que salga un As en el primer dado: </li></ul>
  21. 21. <ul><li>La probabilidad de sacar 1 As en el primer dado y no sacar As en los otros cuatro es: </li></ul>La Distribución Binomial Probabilidad de no sacar As Probabilidad de sacar 1 As
  22. 22. <ul><li>Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 As en cinco dados arrojados: </li></ul>La Distribución Binomial
  23. 23. La Distribución Binomial
  24. 24. <ul><li>Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados es: </li></ul>La Distribución Binomial Probabilidades de no sacar As Probabilidad de sacar 1 As Nº de formas de sacar 1 As
  25. 25. <ul><li>Para calcular la probabilidad de obtener 1 As en cinco dados arrojados debemos calcular: </li></ul><ul><li>La probabilidad de que en cinco dados arrojados uno de ellos sea un As y los otros cuatro no sean As . </li></ul><ul><li>El número de combinaciones diferentes en que se puede dar esa situación: un As en cinco dados . </li></ul>La Distribución Binomial
  26. 26. <ul><li>Hemos visto como hacer lo primero: </li></ul>La Distribución Binomial Cálculo de la Probabilidad de obtener 1 As al arrojar cinco dados
  27. 27. La Distribución Binomial <ul><li>Y sabemos que hay cinco maneras diferentes de obtener un As en cinco dados arrojados: </li></ul>Nº de formas diferentes de obtener 1 As al arrojar cinco dados
  28. 28. <ul><li>¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco dados arrojados? </li></ul>La Distribución Binomial
  29. 29. <ul><li>La respuesta la dan los números combinatorios: </li></ul>La Distribución Binomial
  30. 30. <ul><li>donde </li></ul>La Distribución Binomial <ul><li>son el factorial de m y de n respectivamente. </li></ul>
  31. 31. <ul><li>La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de a n (agrupados de a n ). </li></ul>La Distribución Binomial
  32. 32. <ul><li>Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC, ...etc., hacemos el cálculo siguiente: </li></ul>La Distribución Binomial
  33. 33. La Distribución Binomial <ul><ul><li>ABC DBC EBC ADC AEC </li></ul></ul><ul><ul><li>ABD ABE DEC DBE ADE </li></ul></ul><ul><ul><li>ABCDE </li></ul></ul>Todas las combinaciones agrupando de a tres Total de Letras
  34. 34. <ul><li>Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto (Probabilidad 1-p de tener un fallo). </li></ul>La Distribución Binomial
  35. 35. <ul><li>Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es: </li></ul>La Distribución Binomial
  36. 36. <ul><li>Esta probabilidad es un término del binomio siguiente: </li></ul>La Distribución Binomial
  37. 37. <ul><li>donde </li></ul>La Distribución Binomial <ul><li>porque en un ensayo de Bernouilli ambos eventos acierto/fallo se excluyen mutuamente, es decir, ocurre un acierto o un fallo, pero nunca ambos simultáneamente. </li></ul>
  38. 38. <ul><li>Los términos de la suma son las probabilidades P(y), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y , la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.). </li></ul>La Distribución Binomial
  39. 39. <ul><li>Aplicando la fórmula al caso de 5 dados: </li></ul>La Distribución Binomial
  40. 40. <ul><li>La probabilidad de no sacar ningún As es: </li></ul>La Distribución Binomial
  41. 41. <ul><li>La probabilidad de obtener 1 As: </li></ul>La Distribución Binomial
  42. 42. <ul><li>La probabilidad de obtener 2 Ases: </li></ul>La Distribución Binomial
  43. 43. <ul><li>La probabilidad de obtener 3 Ases: </li></ul>La Distribución Binomial
  44. 44. <ul><li>La probabilidad de obtener 4 Ases: </li></ul>La Distribución Binomial
  45. 45. <ul><li>Y la probabilidad de obtener 5 Ases: </li></ul>La Distribución Binomial
  46. 46. <ul><li>Resumiendo en una tabla: </li></ul>La Distribución Binomial
  47. 47. La Distribución Binomial
  48. 48. <ul><li>¿Cuál es el promedio de la variable aleatoria Y ? </li></ul>La Distribución Binomial
  49. 49. <ul><li>La media de la variable aleatoria Y es: </li></ul>La Distribución Binomial
  50. 50. <ul><li>La varianza de Y es: </li></ul>La Distribución Binomial
  51. 51. <ul><li>Y entonces la desviación standard resulta: </li></ul>La Distribución Binomial
  52. 52. <ul><li>En la experiencia de arrojar 5 dados: </li></ul>La Distribución Binomial
  53. 53. <ul><li>¿Cómo interpretamos este resultado? </li></ul><ul><li>Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 As que de sacar 2 o más ases. </li></ul>La Distribución Binomial
  54. 54. <ul><li>De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83 </li></ul>La Distribución Binomial
  55. 55. <ul><li>La varianza de Y resulta: </li></ul>La Distribución Binomial
  56. 56. <ul><li>Y la desviación standard : </li></ul>La Distribución Binomial
  57. 57. <ul><li>Volvamos, ahora a nuestro apostador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más ases. </li></ul>La Distribución Binomial
  58. 58. <ul><li>¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir: </li></ul>La Distribución Binomial
  59. 59. La Distribución Binomial Probabilidad de obtener 3 o más Ases
  60. 60. La Distribución Binomial
  61. 61. <ul><li>Quiere decir que la probabilidad de ganar es aproximadamente del 3,5 %. </li></ul>La Distribución Binomial
  62. 62. Fin de la sección

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