Fractales y Teoría del Caos

FRACTALES Y TEORÍA DEL CAOS

ALGUNOS INVENTOS INUTILES A lo largo de la historia, el hombre ha demostrado una curiosa necesidad de crear artefactos de dudosa utilidad o simplemente inútiles. He aquí algunos ejemplos...

El masticómetro ! ALGUNOS INVENTOS INUTILES

Mantequilla en barra ! ALGUNOS INVENTOS INUTILES

Sombrero con papel Higiénico ! ALGUNOS INVENTOS INUTILES

El “mano libres” ALGUNOS INVENTOS INUTILES

El láser ??? Tras la invención del láser su utilidad era menospreciada... ALGUNOS INVENTOS INUTILES Cuando se inventó en 1960, se denominó como " una solución buscando un problema a resolver "

Algunas utilidades del láser hoy día...

Medicina: Intervenciones quirúrgicas de alta precisión.

Investigación científica: Medir la distancia entre la tierra y la luna, detectar movimientos telúricos

Comunicaciones : Fibra óptica

Militar: Misiles guiados por láser

Entretenimiento: CD, DVD, luces láser

EL LÁSER

Y los fractales son útiles ??? FRACTALES

Para entender los fractales es necesario conocer algunos concepto de antemano.

Dimensiones

Recursividad

Autosemejanza

FRACTALES

El concepto de dimensión en nuestro contexto tradicional referencia las extensiones del universo en las que existimos. DIMENSIONES Video Sagan (22:53)

DIMENSIONES Según la relatividad especial existimos en un universo tetradimensional conformado por la suma de las dimensiones del espacio mas el tiempo, conformando un ente denominado espacio-tiempo.

Fenómeno donde algo se define en términos de si mismo. RECURSIVIDAD La parte contiene al todo

RECURSIVIDAD

RECURSIVIDAD La frase de abajo es verdadera La frase de arriba es falsa Recursividad indirecta

RECURSIVIDAD Como se define la función factorial : n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)…1 Ejemplo: 5!=5*4*3*2*1=120 int Factorial( int n ) { int i, res=1; for(i=1; i<=n; i++ ) res = res*i; return(res); } Tradicionalmente la solución de los problemas se encuentra en algoritmos externos al problema 1 1 120 5 24 4 6 3 2 2 res i

RECURSIVIDAD Si analizamos con atención el ejemplo constatamos que: 5!=5* 4*3*2*1 =120 4!=4* 3*2*1 3!= 3* 2*1 2!= 2*1 1!= 1 Y según esto podemos afirmar que: 5!=5*4! 4!=4*3! 3!=3*2! 2!=2*1! 1!=1*0! Por definición; 0!=1 LA CONDICIÓN DE FINALIZACIÓN

RECURSIVIDAD Esto nos conduce a una nueva definición del factorial mucho más determinística pero también de mucho menos sentido común: Si n=0 entonces n!=1 sino n!=n*(n-1)! int Factorial( int n ) {if(n==0) return(1); else return(n*Factorial(n-1)); } Los modelos recursivos encuentran la solución al problema en el mismo problema 1*0! 1 5*4! 5 1 0 2*1! 2 3*2! 3 4*3! 4 Return n

RECURSIVIDAD TORRES DE HANOI Esta técnica puede agregar más confusión que beneficio en problemas sencillos, pero resulta muy útil en problemas esencialmente recursivos. static void hanoi(int height) { int[] HeightStack = new int[height]; int SP = -1; while (height > 0) { SP++; HeightStack[SP] = height; height--; } while (SP >= 0) { height = HeightStack[SP]; SP--; moveDisk(height); height--; while (height > 0) { SP++; HeightStack[SP] = height; height--; } } } void Hanoi( n, inicial, aux, final ) { if( n>0 ) { Hanoi(n-1, inicial, final, aux ); printf("Mover %d de %c a %c", n, inicial, final ); Hanoi(n-1, aux, inicial, final ); } }

AUTOSIMILITUD Perfecta : Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo.

AUTOSIMILITUD Estadistica: cada área conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales.

AUTOSIMILITUD

Teoría matemática encargada de analizar sistemas con comportamientos impredecibles y aparentemente aleatorios. TEORIA DEL CAOS

Algunos sistemas caóticos

Un río: Es una entidad cambiante e impredecible, relativa a su interacción con el medio ambiente. Hecho ya conocido por Heráclito

Tráfico Vehicular : Sistema dinámico basado en las decisiones individuales de varios conductores.

BIG-BAN: Explosión que dio origen al universo y

la subsiguiente interacción de los cuerpos

celestes producidos.

PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente) El rio tiende a conservar su forma, pero experimenta una renovación permanente. El ser humano experimenta el mismo fenómeno

El tráfico vehicular es claramente caótico visto desde dentro de los autos. Pero una visión aérea nos revela formas y figuras claramente definidas.

PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente)

El BIG-BAN a pesar de ser una explosión, los sistemas astrales generados ostentan un nivel extraordinario de orden subyacente.

PARADOJA DEL CAOS (Orden subyacente)

Teoría del caos - orígenes En los años 60 el meteorólogo Edward Lorenz probaba un sistema de ecuaciones para predicción climática basado en tres variables; velocidad del viento, presión de aire y temperatura. Las ecuaciones se retroalimentaban con sus valores resultantes con el fin de obtener valores futuros.

En un primer experimento los cálculos se realizaron con una precisión de 6 decimales, en una segunda versión sistematizada del experimento, los cálculos fueron realizados con 3 decimales de precisión, por limitantes de la arquitectura de su máquina, lo cual debería introducir un pequeño margen de error en los resultados. Los resultados obtenidos fueron radicalmente diferentes! el pequeño factor de error se vio amplificado por el carácter retroalimentado del experimento. “ Un sistema no lineal” Teoría del caos - orígenes

Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales del sistema pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del mismo... Este comportamiento no es un defecto en el experimento, al contrario, es una imagen fiel del sistema climático. El sistema climatológico, es un sistema retroalimentado no lineal donde pequeñas variaciones de presión o temperatura pueden causar grandes alteraciones climáticas. Teoría del caos - orígenes

El efecto mariposa “ Provoca el aleteo de una mariposa en Brasil, un tornado en Texas ?” Las predicciones climáticas realizadas hoy día ignoran demasiadas mariposas como para poder ir mas lejos de tres días en el futuro

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, posee dimensión fraccionaria y extensión infinita FRACTALES

Fractales - origenes En la década de los 70, Benoit Mandelbrot expone su teoría de fractales basándose en la siguiente pregunta : Cuánto mide la costa del Reino Unido? INFINITO !!!

La longitud de su perímetro es infinita

Características:

Son autosemejantes

Poseen dimensión fraccionaria

Demo... FRACTALES

Complejos: Por ecuaciones dinámicas no lineales Se generan por ecuaciones retroalimentadas TIPOS DE FRACTALES

Lineales: Sistemas L Se generan por patrones auto replicados . TIPOS DE FRACTALES

Lineales: IFS (Iterated Function System) Se generan por coeficientes de funciones retroalimentadas seleccionados aleatoriamente . TIPOS DE FRACTALES

Caóticos TIPOS DE FRACTALES

Código fuente Helecho IFS X := 0; y := 0 ; Repeat r := Random(100); If (r <= 1) Then Begin a := 0; b := 0; c := 0; d := 0.16; e := 0; f := 0; End Else If (r <= 86) Then Begin a := 0.85; b := 0.04; c := -0.04; d := 0.85; e := 0; f := 1.6; End Else If (r <= 93) Then Begin a := 0.2; b := -0.26; c := 0.23; d := 0.22; e := 0; f := 1.6; End Else Begin a := -0.15; b := 0.28; c := 0.26; d := 0.24; e := 0; f := 0.44; End; newx := (a * x) + (b * y) + e; newy := (c * x) + (d * y) + f; x := newx; y := newy; PutPixel(x * ProporcionX, y * ProporcionY); Until KeyPressed; Demo... TIPOS DE FRACTALES