Lenguajes Regulares y Autómatas Finitos - Clase 7

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Autómata Finito. Configuración de un AF. Leguaje aceptado por un AF. Autómata Finito Determinista (AFD). AFD conexo y completo. Estados sumidero y generador. Representación Matricial. AFD y ER.

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Lenguajes Regulares y Autómatas Finitos - Clase 7

  1. 1. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATA FINITO (AF): El Autómata Finito es la máquina más restrictiva de todas y desde luego que se puede definir como un caso particular de una MT. También podemos verla como un AP sin pila. Obviamente que al sacarle la pila lo único que queda es la cinta finita de entrada. Este modelo matemático abstracto representa la solución del problema de aceptación de lenguajes de tipo 3 o LR. Para su mejor comprensión lo representaremos con el siguiente esquema: e1 e2 ••• ••• en-1 en Cabezal de Lectura Cinta Finita Entrada 01 Estados X Control . 2 . . 3 ING. JORGE BUABUD
  2. 2. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATA FINITO (AF): Al comienzo se escribe en la cinta de entrada la palabra que se desea analizar (ei ), la misma termina con un símbolo de fin de cadena que por simplicidad no consideraremos en forma explícita y un cabezal de lectura se encuentra sobre la posición del primer símbolo de dicha palabra. Esta descripción corresponde al estado inicial y desde aquí el modelo comienza a funcionar del siguiente modo: 1) LEE un símbolo de la cinta de entrada y mueve el cabezal a la derecha. 2) De acuerdo al ESTADO ACTUAL y al símbolo leído, transiciona a un NUEVO ESTADO (que puede ser el mismo). 3) Repite 1) y 2) hasta que lee totalmente la palabra, en este caso si se encuentra en alguno de los llamados ESTADOS FINALES se dice que la palabra escrita inicialmente es ACEPTADA y en caso contrario es RECHAZADA; o hasta que se llega a un estado en el que no está definida una transición, entonces se dice que el AF se BLOQUEA y la secuencia de entrada es RECHAZADA. ING. JORGE BUABUD
  3. 3. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATA FINITO (AF): Definición formal de un Autómata Finito: AF = 〈 Q , Σ , q0 , F , f 〉 Q : Conjunto finito y no vacío de estados. Σ : Alfabeto de símbolos de entrada. q0 : Estado inicial (perteneciente a Q). F : Conjunto de estados finales (incluido en Q). f : Función de control o transición, que se define como: f:QxΣ⇒ Q En este caso F esta en el dominio, es decir que los estados finales no son de parada y el final de cadena está implícito en el funcionamiento del AF. ING. JORGE BUABUD
  4. 4. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATA FINITO (AF): En el caso de los AF y en correspondencia con el algoritmo constructivo de comprobación de pertenencia para LDC, que por jerarquía de Chomsky vale para LR, el lenguaje universal Σ* , queda dividido en dos subconjuntos: Todas las palabras aceptadas por el AF. Σ* Todas las palabras rechazadas por el AF. Es decir que para todo LR existe un AF que es capaz de aceptarlo y a la vez rechazar a su complemento. ING. JORGE BUABUD
  5. 5. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATA FINITO (AF): Representación formal de la función de transición: Tabla de Transición Est. Actual Símb. Leído Est. Nuevo q e q’ Grafo de Transición e q0 q q’ F ING. JORGE BUABUD
  6. 6. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATA FINITO (AF): En ambos casos se representa cada pareja estímulo/ /reacción, compuesta por el par (estado actual, símbolo leído) y el (estado nuevo) respectivamente. Al igual que todos los modelos, la relación de transición puede ser determinista o no-determinista. Pero en este caso se puede demostrar que el AF es DETERMINISTA por naturaleza. Es decir que todos los AF no-deterministas tienen un equivalente determinista. ING. JORGE BUABUD
  7. 7. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS EJEMPLO DE AF: AF = 〈 Q , Σ , q0 , F , f 〉 Q = { 1, 2 } La función de control f se Σ = { a, b } representa con su tabla y grafo q0 = 1 F={2} de transición. Este AF acepta el lenguaje L(AF) = { an bm / n ≥ 0 , m ≥ 1 } sobre el alfabeto {a, b}, que contiene todas las palabras compuestas por una secuencia de “a” seguida de otra secuencia de “b” o solamente una secuencia de “b”. ING. JORGE BUABUD
  8. 8. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS EJEMPLO DE AF: GRAFO DE TRANSICIÓN TABLA DE a b TRANSICIÓN Est. Sím. Est. 1 2 Actual Leído Nuevo b →1 a 1 1 b 2 * 2 b 2 ING. JORGE BUABUD
  9. 9. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS CONFIGURACIÓN DE UN AF: Una descripción instantánea de un AF requiere las siguientes especificaciones: Estado actual del AF. Contenido que falta leer de la cinta de entrada. Este par constituye la CONFIGURACIÓN del AF y vamos a representar con el estado actual seguido de la secuencia de símbolos que faltan leer en la cinta de entrada: qkei...en De igual modo que en los modelos anteriores, una sucesión de configuraciones consecutivas se llama SECUENCIA DE CONFIGURACIÓN del AF. ING. JORGE BUABUD
  10. 10. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS LENGUAJE ACEPTADO POR UN AF: Se define el lenguaje aceptado por un AF como el conjunto de palabras que partiendo de una configuración inicial, llegan a una configuración que contiene un estado final del AF y el total de la entrada leída. Formalmente se representa como: L(AF) = {w / w∈Σ* ∧ q0w├─ * qF ∧ qF ∈ F } ∈Σ Por otro lado, todas las palabras que partiendo de una configuración inicial llegan a un estado no final o producen el bloqueo del modelo, dice que son rechazadas por el AF. ING. JORGE BUABUD
  11. 11. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS EJEMPLO DE SECUENCIA DE CONFIGURACION: Consideremos el ejemplo de AF anterior y las palabras: w1 = aabbb , w2 = bb , w3 = aaa , w4 = baa Las secuencias de configuración correspondientes serían: 1) 1aabbb ├─ 1abbb ├─ 1bbb ├─ 2bb ├─ 2b ├─ 2 final/acepta 2) 1bb ├─ 2b ├─ 2 final/acepta 3) 1aaa ├─ 1aa ├─ 1a ├─ 1 no-final/rechaza 4) 1baa ├─ 2aa bloqueo/rechaza ING. JORGE BUABUD
  12. 12. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): En síntesis: Los AF son modelos abstractos capaces de aceptar LR. Un AF es un caso particular de MT con ciertas restricciones. Un AF es Determinista (AFD) si para cada estímulo tiene solo una reacción posible, caso contrario es No-determinista. Por naturaleza estos modelos son DETERMINISTAS. La función de transición tiene los siguientes dominio y rango f: QxΣ ⇒Q ING. JORGE BUABUD
  13. 13. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): AUTÓMATA CONEXO: Un AFD se dice conexo cuando todos sus estados son accesibles desde el estado inicial. AUTÓMATA COMPLETO: Un AFD se dice completo cuando todos sus estados tienen transiciones con cada uno de los símbolos de entrada válidos. ESTADO SUMIDERO: Un estado se llama sumidero cuando no es final y transiciona con todos los símbolos de entrada a si mismo. Es un estado de rechazo. ESTADO GENERADOR: Un estado se llama generador cuando solo salen transiciones desde él. Solo es útil cuando es el inicial. ING. JORGE BUABUD
  14. 14. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): EJEMPLOS DE AFD: AFD2 b a AFD1 b a a b b 2 3 a 3 a 1 a b 7 a a 1 2 a 5 4 a 5 b b b 4 b 6 Características: Características: No-conexo b,a Conexo Completo Incompleto Estado 5 generador Estado 1 generador Estado 6 sumidero ING. JORGE BUABUD
  15. 15. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): EJEMPLOS DE AFD: AFD4 b AFD3 a a b 2 3 b b a 3 a 1 a a 6 a b 1 2 a 5 4 a 5 b b,a b 4 b b Características: Características: a,b Conexo Conexo Completo Completo Estado 1 generador Estado 4 sumidero Estado 4 sumidero ING. JORGE BUABUD
  16. 16. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): REPRESENTACIÓN MATRICIAL: Cuando tenemos un AF completo conviene representar su función de transición con una matriz cuyas columnas representan los símbolos de entrada AFD2 a b y sus filas los estados. AFD4 a b →1 1 2 AFD3 a b →1 4 2 *2 7 2 →1 2 1 *2 3 2 3 2 7 2 3 4 3 4 6 4 3 4 3 5 1 4 4 4 *5 4 7 4 4 4 *5 4 3 6 6 6 *5 2 4 *6 6 5 *7 6 7 ING. JORGE BUABUD
  17. 17. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): ¿ CÓMO HACEMOS CONEXO A UN AF ? : Simplemente se elimina los estados inaccesibles y todas las transiciones que salen o llegan a ellos. Hay una correspondencia entre estos estados y los No-terminales inútiles de una GR. Por ejemplo, el AFD2 quedaría: AFD2 b AFD2 a b b a 7 →1 1 2 a a 2 *2 7 2 b 6 6 6 1 6 b,a *7 6 7 ING. JORGE BUABUD
  18. 18. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): ¿ CÓMO COMPLETAMOS UN AF ? : Si el AF tiene un estado sumidero o algún estado sin transiciones, enviamos todas las transiciones faltantes hacia ese estado. Caso contrario agregamos un estado sumidero nuevo y procedemos igual. Por ejemplo, el AFD1 quedaría: AFD1 b AFD1 a b 1 a a 3 a →1 2 6 2 3 4 b 2 a 5 3 5 3 6 b 4 b 4 6 5 a *5 2 6 a,b b 6 6 6 ING. JORGE BUABUD
  19. 19. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): Ejemplos de AFD para ER sencillas: Lenguaje sobre Σ={a,b,c} de secuencias de Lenguaje sobre Σ={a,b} de secuencias “a,b” con prefijo “a,b,c” y con sufijo “c” de “a” con prefijo “ab” y sufijo “ba”: más secuencias de “a”: ER = a.b.a*.b.a a ER = (a+b+c).(a+b)*.c.a* a, b a a b a 1 3 4 b a 1 2 3 b a, b, c c 2 b b, c a, b 5 a a, b, c 4 a, b AFD5 6 AFD6 ING. JORGE BUABUD
  20. 20. U.T.N. – F.R.T. LENGUAJES REGULARES Y S. y S. de los L. AUTÓMATAS FINITOS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): Ejemplos de AFD para ER sencillas: Lenguaje de secuencias pares y λ Lenguaje de secuencias con prefijo sobre Σ={a, b, c}: “a” y sufijo “b” sobre Σ={a, b}: ER = ((a+b+c).(a+b+c))* ER = a.(a+b)*.b a b a, b, c a b 1 2 4 1 2 3 a, b, c a, b, c b 3 a AFD7 AFD8 a,b ING. JORGE BUABUD
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