Introducción a la teoría
de la computabilidad
Lógica y Computabilidad 2010/11
Joaquín Borrego Díaz
Joaquín Borrego Díaz
Departamento de Ciencias de la Computación e IA
Universidad de Sevilla
Contenido
• Un problema
• Modelos de Computación
• Tesis de Church-Turing
• ¿Cómo resolvemos el
problema?
• Guía de viaje por la T.
Computabilidad
Un problema en el
trabajo
• Sr. Pérez, deseo que me programe un
verificador automático de programas
Escenario 1: El sr. Pérez no
ha estudiado computabilidad
• ...(Dos meses de sufrimiento después)
• Jefe, a mí no me sale
• Bueno, Sr. Pérez, no se preocupe
Escenario 2: El sr. Pérez ha
estudiado computabilidad
• (Unas horas después):
• Jefe, he estudiado el problema y NO se puede
resolver con un programa de ningún tipo
• Excelente análisis, Sr. Pérez
Cuestiones
• ¿Existen problemas que no se pueden
resolver mediante programas?
• ¿Qué tipo de análisis ha realizado en Sr.
Pérez?
• ¿Cómo puede afirmar que no se puede
resolver en ningún tipo de lenguaje de
programación, modelo de computación
etc.?
Primera cuestión
• Existen problemas que NO
se pueden resolver
algorítmicamente
• Demostrado por A. Turing
en 1936
• Matemático
• Rompió el código enigma
• Máquinas de Turing
• Test de Turing
La máquina enigma
Apuntes de Turing
La máquina diseñada por
Turing (Bletchley Park)
Modelo formal de computación:
la máquina de Turing
Segunda Cuestión
• El análisis que ha realizado
el Sr. Pérez está basado en
el argumento diagonal
• Diseñado por Georg
Cantor en 1834
• para demostrar que el
cardinal de los reales es
mayor que el de los
naturales
Tercera Cuestión
• Tesis de Church-Turing • Otra versión:
(versión informal):
• Todo algoritmo o
• Cualesquiera dos procedimiento efectivo
modelos de es Turing-computable
computación resuelven
los mismos problemas
• Se puede considerar un
“axioma” en Informática
• Es cierto en todos los
modelos creados
¿Cómo demostrar que un
problema es indecidible?
• Demostramos, en primer lugar, que
el problema no se puede resolver
en un modelo de computación
concreto
• Entonces, por la tesis de Church-
Turing, no es resoluble en ningún
modelo
Guía de viaje por la
computabilidad
El lenguaje GOTO
Matemáticas
Definiciones por recursión
Programa Universal
Codificación de programas
El problema de la parada
El Teorema de Rice Computabilidad
El lenguaje elegido:
GOTO
Modelo de computación basado en
lenguaje
Lenguaje de programación
muy simple
Usa variables como registros
Es computacionalmente completo
Sintaxis de GOTO
Programa Universal en GOTO
• Entrada: datos
+Programa
• Salida: Resultado
de aplicar el
programa al dato
• ¡ES UN
ORDENADOR!
Definiciones por
recursión
• Necesitamos utilizar
mecanismos de
definición por
recursión
• Potente
herramienta de
programación
Haskell, Lisp...
NO es un
juguete
matemático
El problema de la parada
• Entrada: Un programa • Se prueba usando el
y un dato de entrada método diagonal
(usando el programa
• Salida: universal)
• 1 (sí) si el programa
para sobre ese dato
• 0 (no) si no para
Teorema de Rice
• Método para detectar la no computabilidad
de ciertos problemas. Por ejemplo lo
aplicaremos para demostrar la indecidibilidad
de:
• Equivalencia entre programas
• Reconocer los programas que siempre
paran
• Clases de complejidad algorítmica
Aplicaciones (I):
imposibilidad de la corrección parcial
Aplicaciones (II):
imposibilidad de la verificación
automatizada de la equivalencia