Notas de clase cálculo diferencial marzo-2012

Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”http://www.calameo.com/read/0004911295f278eda2d02

Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso 25 de Junio de 2012Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 2

CONTENIDOIntroducción…….………………………………………………………………………………………………… 5Justificación………..……………………………………………………………………………………………… 6Objetivo General………..………………………………………………………………………………………. 6FUNCIÓNPareja Ordenada …….……..……………………………………………………………………………………. 6Relación……….……………………………………………………………………………………………………… 6Función……….………………………………………………………………………………………………………. 7 Representación de una Función ………………………………………………………………………. 8 Función Inversa ……………………………………………………………………………………………… 13 Funciones Pares e Impares ……………………………………………………………………………… 14 Raíces e Interceptos ………………………………………………………………………………………… 16 Función Creciente y Decreciente ……………………………………………………………………… 18 Función Acotada ……………………………………………………………………………………………... 18 Concavidad y Convexidad ………………………………………………………………………………... 19 Dominios y Rangos……..………………………………………………..…………………………………. 20 Notación Funcional……….…………………………………………………………………..…………….. 21 Algebra de Funciones………..……………………………………………………………………………… 25 Gráfica de Funciones……..………………………………………………….……………………………… 28 Gráfica de funciones con tecnología………..……………………..………………………………. 30Función Lineal……………………………………………………………….…………………………………… 36 Ecuación de la recta …………………………………………………….……………………………………. 36 Modelación de la función lineal.……………………………………………………………………..…. 44Función Cuadrática…………………………………………………………………………………………….. 47 Modelación de la función cuadrática…..……………………………………………………………… 52 Funciones con tecnología…………………………………………………………………………………. 53Función Polinómica de Grado Superior a dos ………………………………………….................... 55Función Exponencial…………………………………………………………………..……………………….. 57Función Logarítmica……………………………………………………………………………………………. 60 Tipos de logaritmos………………………………………………………………………………………….. 60 Modelación de las Funciones Exponenciales…………………….………………………………… 64 Funciones con tecnología…………………………………………………………………….…………….. 68Función Cociente..…………………………………………………………….………………………………..… 69Función por Parte o por Trozos…………………………………………………………………………….. 72LIMITE Limites Laterales……………………………………………………………………………………………… 79 Propiedades de los límites………………………………………………………………………………… 80 Limites Indeterminados………………………………………………………………………………….… 80 Continuidad en un punto……………………………………………………….………………..………… 81 Limites de las funciones definidas por partes…..…………………………………………………. 82 Limites Infinitos……………………………………………………………………………………………… 86 Limites con Tecnología…………………………………………………………………………………..… 91 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 3

LA DERIVADA Tasa de cambio promedio …………………………………………………………………..…………… 92 Tasa de cambio instantánea …………………………………………………………………………… 93 Pendiente de una recta …………………………………………………………………………..……… 93 Derivada ………………………………………………..……………………………………………………… 93 Fórmulas de la Derivada ……………………………………………………………………..……… 95 Regla de la Cadena …………………………………………………………………………….……… 98 Regla de la Potencia ……………………………………………………………………………….… 98 Derivadas de Orden Superior ……………………………………………………………..……… 101 Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la primera derivada…………………………………………………………………. 102 Prueba de la segunda derivada………………………………………………………………… 103 Derivada de las Funciones Logarítmicas…………………………………………………………. 110 Derivada de las Funciones Exponenciales …………………………………………………….. 112 Derivada Implícita…………….…………………………………………………………………….……. 115 Elasticidad en la Demanda…………………………………………………………………………….. 118 Derivadas Parcial …………………………………………………………………………………………. 120 Funciones de dos o más Variables …………………………………………………………….. 120 Diferenciación Parcial ……………………………………………………………………………… 123 Problemas de Aplicación a la Economía ……………………………………………………. 125LA INTEGRAL Antiderivada…………….……………………………………………………………………………….………. 130 Integral Indefinida……………………………………………………………..…………………………… 130 Reglas de Integración.…………………………………………………………………………..……….. 131 Regla de la Potencia para la Integración..…………………………………………………………… 135 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales..…………………………………………. 141 Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas ....…………………………………………. 145 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo……………………………………………………….. 149APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LAECONOMÍA Valor promedio ………………………………………………………………………………….…………….. 153 Ingreso Total……………………………………………………………………………….……………………. 155 Valor Presente de un flujo continuo de ingreso ……………………………………….…………. 155 Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso……………………………………………….…….. 155 Superávit de Consumidor……………………………….…………………………………………………. 159 Superávit del Productor…………………………………………………………………………………….. 161INTEGRACIÓN POR PARTES..……………………………………………………………………………… 164BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………………….. 169 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 4

INTRODUCCIÓNEl presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de laexperiencia obtenida durante 21 años de servicio a la educación en diferentesinstituciones académicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta,particularmente en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino, CorporaciónUnificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en las universidades SergioArboleda y del Magdalena.La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particularen la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la quetradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramientafundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de lasociedad.El documento no pretende plagiar la información contenida en librosespecializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sinodar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollode problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional.El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial enforma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas quefaciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el desolucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 5

FUNCIÓNEn la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente paradeterminar su comportamiento por tanto es necesario estudiar el comportamiento dedos o más variables. Es necesario estudiar los elementos de las matemáticas pararepresentar el comportamiento de los agentes económicosEn la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de laotra. Ejemplo: Cantidad de Producción - Costo Asociado Cantidad Comprada – Precio Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario Distancia – Tiempo Dedicación – Rendimiento Mantenimiento – Tiempo de vida Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a , b) con a, b ε R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. Producto Cartesiano. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: ( , )En consecuencia: ( , ) B ( , ) BLa representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también planonumérico. b P(a,b) a Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 6

Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del planogeométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).Ejemplo 1:Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.Gráficamente 5 4 3 2 1 1 2Ejemplo 2:SeanSu representación geométrica es:A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos quepertenecen a los segmentos PQ y QR.INTERVALOSSubconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 7

Finitos Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b} Gráficamente -∞ ∞ a b Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x a x b} Gráficamente -∞ ∞ a b Semi-abierto o semi-cerrado (a , b] = {x a x b} -∞ ∞ a b [a , b) = {x a x b} -∞ ∞ a b Intervalos Infinitos: (a,∞) x / x > a} -∞ ∞ a [a,∞) x x ≥ a} -∞ ∞ a (-∞, a) x / x < a} -∞ ∞ a (-∞, a] x x a} -∞ ∞ a Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 8

Ejercicios 011. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)2. Sean y a. Calcular b. Representar gráficamente3. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica a.(1,3) b. (0,3] c. [- ,∞) d.(-∞, ) e.[-0.5, 4.5) f.( ] ( , ∞) , [ , )5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ,∞) calcular y representar gráficamente a. A n B b. B - A c. Cc d. Ac n Bc e. (A - B)c – C6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen: a. Su unión (-8,2] b. Su intersección [1,-3) c. Su diferencia (-∞, ) d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 9

8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a 0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg) a. Exprese cada condición en forma de intervalo. b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de ( ) ,0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. a. ¿Qué significa la condición 0 ? b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo10 La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto producto y (100,3800) Utilidad (2.53, 0) (197.46, 0) x (0,-200) Unidades VendidasDetermine el o los intervalos a. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 10

b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué? c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué? d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué? Relación Regla que determina la correlación entre los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad.Ejercicios 021. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación: a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda.2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.Problemas 01Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular a. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. b. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 11

c. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas d. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. e. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto. f. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I). g. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por ( ) 00. Si la primera componente representa la cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la producción. Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota f: A B x y=f(x)Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementosy=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y lavariable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B seconoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman lasvariables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conocecomo variable dependiente.Representación de una FunciónUna función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven,como graficas cartesianas y por formulas. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 12

De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos opensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser lamadre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, másunidades”, etc.Ejercicios 03Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa unafunción? 1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? 2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? 3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? 4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? 5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior no consecutivo?Problemas 02 1. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. 2. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 3. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas 4. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores[variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia quedefine determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen elsalario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, preciode cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 13

Ejercicios 041. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 familias2. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 2083. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingresos 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15 (millones)4. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fracción de 0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33 artefactos que funcionan5. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días que lleva trabajando en una empresas de informática Días 1 5 10 15 20 25 30 45 60 Número de 1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5 ComputadoresEn forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y dellegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos,representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que losconjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 14

Ejercicios 051. 2. f f A B A B 1 1 1 1 2 4 2 4 3 9 3 9 4 16 -2f es una función ya que a cada elemento de f es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno de A le corresponde uno y solamente uno delos elementos de B los elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, 4} El dominio de f: {1, 2, 3, -2}El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Co-dominio de f {1, 4, 9}El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9}Si en una función el co-dominio es igual al f es sobreyectivarecorrido se dice sobreyectiva3. 4. f f A B A B 1 1 1 1 2 4 4 2 3 9 9 3 16 16f es una función ya que a cada elemento de f no es una función porque hay unA le corresponde uno y solamente uno de elemento A que no tiene imagen en Blos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3}El Co-dominio de f {1, 4, 9,16}El Recorrido de f{1, 4, 9}f no es sobreyectiva Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 15

5. 6. f f A A B B 1 1 4 16 1 2 -2 2 3 1 4 4f no es una función porque hay un f es una función ya que a cada elemento deelemento A que no tiene dos imágenes en A le corresponde uno y solamente uno deB los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constanteEn forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes dereferencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otrovertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de lavariable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes deizquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente,también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo haciaarriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical quecorta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un puntode la grafica, esta no representa a una función. y y y x x x Es función No es función Es función Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 16

y y y x x x Es función No es función Es funciónCriterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica deuna función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno ysi la corta en más de un punto se llama sobreyectiva y y y x x x Inyectiva sobreyectiva Inyectiva ySi una función, como la que se muestra f(x)=x^2, x>=0en la gráfica, una parábola donde seconsidera únicamente la parte positivadel dominio, es inyectiva y sobreyectivase dice biyectiva x Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 17

Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresionesalgebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relaciónexistente entre las variables independientes y la variable dependiente.Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas ytrascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresionesalgebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales,irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así paradistinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y lastrigonométricas Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la función x= g(y).Esquemáticamente A B B A f:A B f -1 :B A Función Directa Función InversaPara hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la funciónoriginal, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funcionestienen inversa.Ejercicios 05Obtener la función inversa de cada función1. y=4x + 1 2. y=x2+1 Despejando Despejando Graficas Gráficas Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 18

y y y=4x+1 y=x^2+1 x=(y-1)^(1/2) x=(y-1)/4 x x3. 4. DespejandoDespejando GráficasGráficas y y x=y^2+1 y=(x+3)/(x-2) x y=(x-1)^(1/2) x=(3+2y)/(y-1) x 5. y = 3x – 5 6. y= x2-4 7. 8. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 19

Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar essimétrica respecto al origenEjercicios 06En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ningunade las anteriores1. f(x)=x2 Gráfica  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) y = x^2 y Hagamos x=1 entonces  f(-1)=f(1) como f(x)=x2 (-1)2=(1)2  1=1 Por lo tanto f(x)=x2 es par   Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)  Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x 2 x (-1)2=-(1)2     1 = -1  Por lo tanto f(x)=x2 no es impar2. ( ) Gráfica y  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Hagamos x=1 entonces  f(-1)=f(1) como ( )  ( )= ( ) -1=1  Por lo tanto ( ) no es par x  Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)       Hagamos x=1 entonces  f(-1)=-f(1) como ( ) ( )= - ( )  -1 = -1 Por lo tanto ( ) es impar  Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 20

3. ( ) 4. f(x)=x3 5. f(x)=2x 6. f(x)=4x2-2xEjercicios 06Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar 1. 2. y y       x x               y = 3x-x^3   3. 4. y y       x x                y = 4x^5+3x^3-2x   Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 21

Raíces e Interceptos Las raíces o ceros son los puntos para los y cuales f(x)=y=0, gráficamente son los  puntos donde la grafica corta al eje de la  Raices abscisa (x). No todas las funciones tienen  raíces, puesto que puede haber curvas x que no corten al eje "x".        y x^3-4x =  Los interceptos son los puntos para los  y cuales x=0, es decir los puntos donde la  curva corta al eje de la ordenada (y)     Intercepto   x    y = x^3-6x+3     Ejercicios 07Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen) 1. f(x) = x2-2x-3 Gráfica Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 y  entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces  Ra ice s x1-3=0 por lo que x1 = 3  y x2+1=0 por lo que x2=-1  Por lo tanto la función tiene dos raíces x que son x1 = 3 y x2=-1.    In te rce p tos     Para los interceptos hacemos x=0,  remplazando en la función obtenemos  f(0)=-3  Por lo tanto la función tiene un  intercepto en y=-3 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 22

2. f(x)=x(x3-1) Gráfica Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 y entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando  x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 x Para los interceptos hacemos x=0,    remplazando en la función obtenemos Intercep tos Raiz f(0)=-1 por lo tanto la función tiene  un intercepto en y=-1 3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. ( ) 6. f(x)=Ln(x-1) Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y). (-∞,-1) (-1,1) (1, ∞) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 23

Función AcotadaUna función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todox, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotadainferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f(x) ≥ b. Al número b´ se lellama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente yinferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f(x) b y = x(x^3) y (x,y) = (0,1) y Cota Sup erior   x    x   Cota Inferior   Acotada Superiormente Acotada inferiormente y = 2^(1-x^2) y y = x(x^2-1) y Cota Sup erior    x     x        Cota Inferior  Acotada No acotada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 24

Concavidad y ConvexidadUna función es CÓNCAVA o presenta su Una función es CONVEXA o presenta suconcavidad hacia abajo cuando dados dos concavidad hacia arriba si dados dospuntos cualesquiera el segmento que los une puntos de la curva el segmento que los unequeda por debajo de la curva. queda por encima de la curva. y y Concava   Convexa  x       x     Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llamanPUNTOS DE INFLEXIÓN.Dominios y RangosLas funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no seespecifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste entodos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valoresde y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales.En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los númerosreales excepto:  Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero.  Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo.Ejercicios 08Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: 1. ( ) Como la función se hace indeterminada si el 0 denominador es igual a cero Despejamos x Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 25

Si remplazamos x en la función original ( ) obtendremos 0 Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ( ) ]=R-{ } 2. ( ) Como la función se hace indeterminada si el 0 radicando es menor que cero Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ( ) ]=R- ( ∞, ) 3. ( ) Como la función se hace indeterminada si el 0 denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ( ) ]=R-[ ∞, ] 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) Notación Funcional Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).Ejercicios 09 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 26

b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -82. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 23. Determine f(x + h) si a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2 d. f(x) = entonces f(x + h) = ( ) Nótese que donde esta x se escribe x + h ( ) ( )4. Encuentre cuando h=0 si a. f(x)= 2x Remplazamos ( ) ( ) ( ) b. f(x) = x2 ( ) ( ) ( ) Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( ) ( ) Simplificado ( ) ( ) Factorizando ( ) ( ) ( ) Simplificando ( ) ( ) Como h= 0 remplazando Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 27

( ) ( )Ejercicios 10 1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)Ejercicios 11 ( ) ( )Encuentre cuando h=0 si 1. f(x) = x + 1 2. f(x) = 3x + 2 3. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3Problemas 03 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra? Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x) C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares. Para 100 unidades x=100 C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 28

2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por N(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 t ) ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?3. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Qué encuentra?4. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron ( ) 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?5. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare e intérprete los resultados6. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de 7300 p C ( p)  100  p Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados7. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por C(x)= (0 x 00) a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución8. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 29

000 0 Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x) e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]Ejercicio 12Dados f(x) y g(x) encuentre:  (f + g)(x),  (g - f)(x),  (g * g)(x),  (f  g)(x),  (f  g)(x)1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/o simplificable se deja indicada  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 12. f(x) = x2 y g(x) = x - 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = ,  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x - 1 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 30

3. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 24. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 45. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 16. f(x) = x2 + 5 y g(x) = -27. f(x) = y g(x) =Problemas 04 1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la producción y la venta de x unidades. Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000 La función ganancia sería G(x) = 150x - 15000 b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué encuentra? Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000 Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0 Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500 Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500 2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g, donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde 0 ( ) Determine (g o f) ¿qué encuentra? 3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor Por dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p) La expresión del gasto del consumidor sería Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 31

Gc = 10 000p – 10p2 b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000 A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t) dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representa f(t)/g(t)?5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t)6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t)7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos de publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la función fg8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se define como: Suponga que el costo total de una compañía se obtiene 000 0, a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 32

a. La función compuesta (P o x)(t) b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – q/2. Encuentre a. La función compuesta (I o p)(q). b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c. Compare los resultados que encuentra Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 33

GRÁFICA DE FUNCIONESEs posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas enun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones yfunciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendicularesdenominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el planoen cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa(generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto deintersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, delpunto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisacon una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde laprimera componente representa la coordenada de la primera y la segunda lacoordenada de la segunda.Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A lecorresponde precisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar tambiéncomo parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primeracomponente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan elconjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la funcióndada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 34

La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada función entre los valores indicados 1. f(x)=2x+1 2. f(x) = x2 + 1; para valore de x entre -3 y 3 3. f(x)=x3 – 6x2: de valores a x entre -4 y 4 4. f(x)= 5. f(x)= 6. f(x)=ln(2x+1) Si x < 1 7. e. j(x)= 2x2 + 1 Si x ≥Grafica una Función con TecnologíaCon Excel 2007 1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos. 10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar. 11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 35

Con Excel 2003 o anterior Repite los procedimientos de 1 al 7 de la versión 2007 1. Del menú Insertar seleccione la opción Gráfico 2. Seleccione el tipo de gráfico Líneas y el subtipo Línea y pulse Siguiente 3. Abra la carpeta Serie, en la ventana Serie, pulse Quitar para eliminar la serie1, que corresponde al dominio de la función, abra la ventana de Rótulos del eje de categoría x y seleccione el dominio de la función, pulse el botón de aceptación y pulse siguiente 4. Escriba los títulos correspondientes, abra la carpeta Leyenda y desactive la opción Mostrar leyenda y pulse Siguiente 5. Active la opción En una hoja nueva y pulse Finalizar.Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 2. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas 3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft 4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica 5. Seleccione la carpeta Gráfica 6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianas estén activadas. 7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos, digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica 8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior 9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y Aceptar.Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments 1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 36

Con en el Winplot El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar  Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente.  Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.  Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala  Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir  Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.  Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.  Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo  Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.  Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste  Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala  Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar  Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar  Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 37

TALLER DE GRÁFICOSResponda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0.15x.  y Valor(Millones de Pesos) a. ¿Cuál es el valor de de la  propiedad a los 60 meses de   uso?   b. ¿Cuál es el valor de de la   propiedad los 10 años de uso?  c. ¿Cuántos años pasan para que la    propiedad se deprecie por  Meses x completo? Explique         2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2 a. ¿Cuál es la máxima y productividad que se puede  Utilidad obtener? b. ¿Para qué intervalo la función  y = 60x-x^2 creciente y para cuál es decreciente? ¿qué decisión tomaría al respecto?  c. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que puede Unidades Producidas x producir? Justifique su        respuesta Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 38

3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 a. ¿Cuál es el ingreso si  y Ingreso se venden 100 unidades? b. ¿Para qué intervalo  la función creciente y para cuál es decreciente? De una explicación  c. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener?  (x,y) = (614,0) d. ¿Cuál es la máxima cantidad que se Cantidad Vendida x Cantidad puede Vendida vender?         Explique4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por 0 0e0. t P(t) e0. t a. A la semana ¿qué y  porcentaje de Conocimientos Recoordados  conocimiento  recuerda?   b. ¿En cuántos meses   recuerda el 40% del  conocimiento?   c. Escriba 2  Semanas x comentarios de la Semanas                situación presentada  Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 39

5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) a. ¿cuál es el precio si  y se ofertan 10  Precio unidades?   b. ¿Cuántas unidades  se deben ofertar a  un precio de $260  dólares?   c. Escriba 2  comentarios de la  situación  presentada    Unidades x           6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según 00x y(x) x 0 a. ¿cuál es el volumen y  Volumen de Ventas de ventas si se invierten 10 mil dólares en  publicidad? b. ¿Cuánto se debe  invertir en publicidad para  obtener 150 mil dólares en venta? c. Escriba 2 Gastos de Publicidad (Miles de Dólares) x comentarios de la                      situación presentada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 40

FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su variable independienteLa gráfica de una función lineal es una línea rectaEcuación de la RectaToda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde, b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y, m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje laabscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidadque varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10unidadesEn economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir,su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamentecomo: Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos FijosEs decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivelde producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan lapendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) laordenada en el origen.La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por: m = y2 – y1 x2 – x1Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas sonperpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es: Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 41

y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por: ax + by + c = 0Ejercicios 121. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes funciones: a. y = 2x + 1 b. y = -2x – 1 c. 3x + 4y = 12 d. 2x – 3y = 122. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (2,1) y (3,-4) b. (3,2) y (-4,2) c. (3,4) y (3,-1)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6 b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 85. Escriba la ecuación de la recta que: a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.Problemas 051. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a. Halle la pendiente ¿qué significa? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 42

Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es: 00 000 00 000 000 000 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación ( ) , remplazando 000 ( 000) 000 00 00 000 00c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados  y Unidades Dem andadas              x P recio                d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 43

Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así: 0 00 , despejando 00 ( 00) ( ) 000 ó 000 f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación ( 00) 00 0 00 0 , a $4500 se demandarían 4250 unidades g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando 0 00 , despejando 0 00 0 ( 0) ( ) 0 ó 0 , es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $25202. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km. recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine: a. La ecuación Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Relacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos) como x, por datos  Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 44

 Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800 Remplazando y = 800x + 1500 b. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros? x = 5 entonces, y = 800(5) + 1500 y=4000+1500 y=5500 Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500 c. ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar? y = 7 900 entonces, 7900 = 800x + 1500 7900 - 1500= 800x 6400= 800x 00 =x 00 X=8 Con $7900 se puede desplazar 8 Km.3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la función es lineal determine: a. La expresión que representa el costo en función del número de hornos Las variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c) Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000). Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente: 000 000 000 00 000 00 Entonces Remplazando en la ecuación ( ) obtenemos: 000 ( 000) 000 000 Por lo tanto la expresión que representa la función es Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 45

b. Grafique la función      Costo (c)                Número de Hornos (x) c. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 y significa que por cada horno que se incremente en la producción los costos se incrementan en 6 dólares. d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos ¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es , donde x=500, remplazando ( ) Por lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólares e. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación , c=15 000, remplazando Con 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos4. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C , encuentre la función lineal que relaciona las temperaturas. Calcule a cuantos °C equivalen 72°F y a cuantos °F equivalen 38 °C. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 46

5. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal.6. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5 000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, determine: a.La expresión que representa la función costo C(x) b.El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra? c.El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000.7. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cada una, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación de la demanda b. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá? c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio?8. Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar que disminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determine a. La ecuación de la demanda b. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades? c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar?9. Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine a. La ecuación de la depreciación b. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo?10.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000?11.A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de su producto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determine a. La ecuación de la oferta b. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá? c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender?12. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal total en 15 años hallar Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 47

a. La ecuación b. El valor de la máquina en 7 años13.No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de la demanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares y a qué precio se demandarán 2000 unidades14. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con un valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo?15. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle el costo de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra?16. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cada unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares. 10. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particular 11. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la función 12.¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades? 13.¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar? 14.Grafique la función 15.Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquela en el mismo plano a la anterior 16.El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo, ¿Qué significa? 17.¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta?17. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0. 15x. a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses? b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?18. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 48

a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función? Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres? 19. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa. 20. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total C(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la función ganancia c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades? Modelación de Función Lineal 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 familias a. Escriba una ecuación lineal de la situación. b. Grafique la función c. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el 2010? d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias vinculadas al proyecto?2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208 a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación. b.Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000. c.Pronostique a qué precio no venderá nada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 49

TALLER1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientes funciones: a. y =-3x + 2 b. y = 4x – 1 c. 10x + 5y =152. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (5,-9) y (6,8) b. (8,8) y (4,-4)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1 b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2) c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7) d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7.4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6 b. 16x + 4y = 4; y= x + 75. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de $59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es lineal a. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990. b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 20104. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta determinada por esta información. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 50

FUNCIÓN CUADRÁTICALa ecuación general de una función cuadrática tiene la forma y = f(x) = ax2 + bx + c,, donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintivallamada parábola.Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo. y = -x^2+2x+1 y y = x^2+2x-1 y Máximo Relativo V(-b/2a, f(-b/2a)) f(-b/2a) Valor óptimo Eje de Simetría x=-b/2a x a<0 a>0 x=-b/2a f(-b/2a) x Eje de Simetría V(-b/2a, f(-b/2a)) Valor óptimo Mínimo RelativoLa línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje desimetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de estaotra línea. La ecuación del eje de simetría es b x 2a bEl valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en x    y es:  2a  b f .  2a  Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 51

El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y unpunto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en   b   b  V   2a , f  2a      Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para loscuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son lassoluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen  b  b 2  4ac x 2aPara la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría.Ejercicio 12Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo omínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función. y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18x y=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4Ejercicio 13Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5)La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma y = ax2+ bx + c (Ec1)Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazandocada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3,que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así:Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2)Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c 20 = 9a + 3b + c (Ec3) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 52

Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4)Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5)Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a – b – c 12 = 8a + 2bFactorizando: 6 = 4a + b (Ec6)Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a – b – c -3 = 3a - 3bFactorizando: -1 = a – b (Ec7)Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 = a – b 5 = 5a despejando a=1Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo b=2Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo c=5Remplazando en (Ec1) la ecuación sería: y = x2 + 2x + 5Ejercicios 14Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados: (1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0)Problemas 06Resuelva cada uno de los siguientes problemas:1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x dólares en publicidad del producto, y y = 50x – x2 a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa? b Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x - a Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 53

Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando: b 0 0 x a ( ) Remplazando en la función original: y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625 Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidadb. Halle los interceptos ¿qué significa? Remplazamos a, b y c en la ecuación general b b ac 0 0 ( )(0) 0 0 0 0 x a ( ) , encontramos 2 raíces 0 0 0 0 00 x 0y x 0 Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad c. Grafique la función y  Unidades (25,625)       x       P ublicidad 2. Los ingresos mensuales de cierta fabrica de llantas se pueden calcular mediante la expresión Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 54

F(x)=2x2 - 100x – 20 , donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en miles de pesos. a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra? b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra? c. Grafique la función d. Interprete la gráfica3. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina fotocopiadora son de R(x) = -0.04x2 + 2000x , pesos por semana a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Determine los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función4. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2 a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Grafique la función5. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por P= 0.125x2- 0.5x + 15 , donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, ¿qué significa?6. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es P(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000 , dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mínimo y que significa.7. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.8. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es ( ) 0. 00 ¿Qué cantidad de unidades Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 55

maximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función. 9. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente ( ) 00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción posible? Grafique la función. 10. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de P  16 x  0.1x2  100 dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? 11. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es P  80 x  0.4 x2  200 ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible? 12. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2 determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?) c. Grafique la función 13. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por U(x)=130+80x-x2 millones de pesos. Determine a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la funciónModelación de Función Cuadrática1. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingresos 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15 (millones) a. Encuentre la ecuación b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el ingreso mínimo. c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla d. Trace la gráfica Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 56

2. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresa para varios años Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingreso 2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7 x venta Costos y 2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9 gastos a. Encuentre las ecuaciones:  De ingreso por venta con respecto al número de años  De costos y gastos con respecto al número de años b. Use la función para:  Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que se pronostica c. Trace la gráfica de la función Costos y Gastos d. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o decrecientes?Funciones con TecnologíaUtilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de lassiguientes funciones: f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2x Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 57

Taller1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función. a. y = 2x2 + 3x – 1 b. y = 3 – x - 3x22. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3)3. La función oferta para un producto está dada por la ecuación ( ) 00, donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine. a. El eje de simetría b. El valor óptimo ¿qué significa? c. Los interceptos ¿qué significa? d. Grafique la función. e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100?4. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio. La función que describe esta relación es 00 0 , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a. Escriba la expresión que representa el ingreso b. El eje de simetría c. El valor óptimo ¿qué significa? d. Los interceptos ¿qué significa? e. Grafique la función. f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 58

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n-ésimo grado.Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función.En la Economía...Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta enfunción del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios deproducción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta unavariable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables.Problemas 071. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de ( ) ,0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividad después de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función2. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es 0 ,0 Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función3. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué significa?4. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión y = 3x + 8x2 - x3 a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 59

5. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 , donde x son las unidades vendidas. a.Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidades b.Compare los resultados ¿qué encuentra?6. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3 a.Calcule C(100) ¿Qué significa? b.Calcule C(200) ¿Qué significa? c.Compare los resultados ¿qué encuentra?7. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Calcule el costo de producir 1000 jeans. c.Calcule el costo de producir 2000 jeans. d.Compare los resultados ¿qué encuentra?8. La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para una empresa, está dada por C(x)= 300x-10x2- a. Calcule el valor de producir 100 unidades b. Calcule el costo de producir 200 unidades c. Compare los resultados ¿qué encuentra? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 60

FUNCIÓN EXPONENCIAL Si a es un número real talque a >0 y a ≠ , entonces la función f(x)= a x es una función exponencial.Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversasaplicacionesUna función especial que se presenta con frecuencia en economía es , donde ℮ esun número irracional fijo (aproximadamente . …).Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, elcrecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años.El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponencialesque puedan encontrarse.Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimientoexponencial.Ejercicios 14 Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales) 100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3 e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 61

Problemas 081. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será ( ) ( ) Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra?2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será ( ) Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra?4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de ( ) , donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que . i= )5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda?6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por 0000( .00 ). Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 62

7. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente ( ) . a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los artefactos?8. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada por D(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0) Grafique la función y responda b. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año? c. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.9. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después de t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula 0 000 . Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años10. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de . Donde t es el número de años que han pasado desde 1975. a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990 b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos llegará a 20 000. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 63

FUNCIÓN LOGARÍTMICALos logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar,simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizandologaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias enproductos y raíces en cocientes.Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la basepara obtener dicho número. logDonde a Є R, a > 0 y a ≠ , a se denomina base del sistema de logaritmos.que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llamalogaritmo del número x respecto de la base a " .Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.Propiedades log 0 log log log ( . ) log log log log log log ( ) log ln( ) log ( ) log ( ) ( ) Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln xEjercicios 15Escriba cada ecuación en forma exponencial 4 = log2 16 4 = log3 81 log log Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 64

Ejercicio 16Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log log log logEjercicio 17Escriba cada expresión en forma logarítmica 25 = 32 53 = 125 4-1 = 91/2 = 3Ejercicio 18Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que nocontienen exponentes log Ln (x + y)(4x + 5) log ( )Ejercicio 19Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:2x – 1= 5 5(3x+2) – 1 = 14Ejercicio 19Use la calculadora para determinar ln . (ln ln ) ln ln ln ln ln ln ln lnProblemas 091. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es X=5000 – 1000 ln(p + 40) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares Si p=5, x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8) x= 5000-3806.66=1193.33 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 65

Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades Si p=10 x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91) x= 5000-3912.02=1087.97 Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades. Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas disminuyen de 1193 a 1088.2. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por 00 00 ln( ) 00 a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra. b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares semanales en publicidad.3. Digamos que la función demanda para un producto está dada por 00 ln ( ) a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?4. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares?5. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = ( ) Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado6. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1). a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 66

7. La función demanda de un producto está dada por p = donde p es el precio ( ) unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?8. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos?9. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelar por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura al momento de servirlo?¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomado T=120 °F?10. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden en t horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos las primeras 48 horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos?11. La eficiencia de un obrero común de un fábrica esta determinada mediante la función f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por día después de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día?12. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 0000 . , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar 1. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.13. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la ecuación . Donde x es el número años transcurridos desde 1990. a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la población de 1990. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 67

b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008?14. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión 000 . ,0 t 0 Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $1000015. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de computadora después de t años de uso sea P(t)=100(1 – e-0.1t) Grafique la función y responda lo siguiente a. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos. c. 0000000Modelación de las Funciones Exponenciales 1. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine a. La expresión que representa la función La función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando ( ) 000 0000 000 0000 0. ln(0. ) ln( ) 0. ln Por lo tanto . . Es decir que la función es de la forma Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 68

Grafique la función y Numero de Ejemplares (x)     x             Tiempo (meses)  b. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando . ( ) . . En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares c. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando . 00 0000 00 . 0000 . 0.0 (0.0 ) ( . ) . 0 0. Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares.2. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $ 100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es: (Ec1) , donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar así Remplazando 00 ( ) . , aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad ln( . ) ln 0. 0 , entonces k=0.05 Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 00 . Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 69

00 . ( ) Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones3. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?4. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Su valor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuál será el valor de la maquinaria en cuatro años5. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110 517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población, calcule la población en el 2015. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 70

TALLERTEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica 1. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmica Potencia Logarítmica Potencia Logarítmica 54 2. Escriba cada ecuación en forma exponencial Logarítmica Exponencial Logarítmica Exponencial log3 27=3 log3 243=5 log log = 3. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial Expresión Valor de x Expresión Valor de x log log log log4. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes Expresión Equivalencia ln( )( ) ln ln Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 71

5. Use la calculadora para determinar Expresión Resultado Expresión Resultado ln( ) ln( ) ln ln 0 ln ln 0 ln (ln ln )6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 0000 . , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar: a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.Funciones con TecnologíaUtilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de lassiguientes funciones: ( ) f(x) = 2(x3) f(x) = 3-2x f(x)= e-x f(x) = 50(1+e10x) f(x)=14.1 ln(x) f(x)=ln (x-3) ( )f(x)= f(x)= f(x)= ( ) ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 72

FUNCIÓN COCIENTE Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por ( ) , es otra función definida donde y g no puede ser igual a 0 por que tendríamos una ( ) indeterminación.Problemas 091. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dada por: ( ) , donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de computadores que ensambla. a. Grafique la función y     x             b. ¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadores ensamblará al mes? Para t=1, ( ) ( ) ( ) El primer día ensamblará 1 computador Para t=30 (un mes) ( 0) 0 ( 0) . ( 0) En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores. c. ¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores? Aquí f(t)=3 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 73

( ) Por lo tanto en 5 días esta ensamblando 3 computadores2. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será ( ) 0 dólares Determine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después de haber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra?. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.4. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función 00 0 00 , donde x son las unidades demandadas. a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidades b. Compare los resultados que encuentra c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.5. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: 0 ( ) Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitación. Compare los resultados ¿qué encuentra? Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 74

6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según ( ) ,x≥ 0 a. Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dólares en publicidad ¿se duplican las ventas? b. ¿Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mil dólares? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.7. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 0 000 000 a. Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la población b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.8. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. a. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes laborando? b. Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble sea de 15 minutos c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 75

FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable “x”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.Ejercicios 20Dadas las funciones Determine: a. j(-1) (x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 1 Inicialmente debemos ubicar el1. j(x) = rango donde está el valor de la 3+x Si x > -1, rango 2 variable independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1 y =1+1=2  y=x +3  b. j(0)  El valor x=0 está ubicado en el segundo rango  x j(0)=3 + 0= 3           c. j(-2) y=(x +2 )^ 3 +1 El valor x=-2 está ubicado en el  primer rango  j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 =0+1=1   Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 76

Determine a. f(3) 4 – x2 Si x < 2, rango 1 El valor x=3 está ubicado en el2. f(x) = segundo rango x – 2 Si x ≥ 2, rango 2 f(3)=3 – 2 = 1 b. f(1) El valor x=1 está ubicado en el primer rangoGráfica y f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3 c. f(2)  y=4 -x^ 2 El valor x=2 está ubicado en el  segundo rango f(2)=2 – 2 = 0   y=x-2 x         x2 , Si x 0 , Si x < 23. j(x)= j(x) = , Si x > 0 , Si x ≥ Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2) , Si x < 1 , Si x < 2 9. j(x)= 6. j(x) = 2x2 + 1 , Si x ≥ , Si x ≥ Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)Problemas 101. El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de la siguiente manera: 2 + 4t Si 0 t 6 + 2t Si t C(t)= 14 Si t 50 – 3t Si t Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 77

, donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m. a. Represente gráficamente la función dada. y    C (t)=1 4  N IVE L D E C O N TAMIN AC IÓ N  C (t)=6 +2 t     C (t)=5 0 -3 t    C (t)=2 +4 t    x H O RAS                      b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., a las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m. Hora Tiempo (t) Nivel de contaminación C(t) 7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=6 8:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=10 12:00 m 5 C(5)=14 4:00 p.m. 10 C(10)=14 8:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8 c. Compare los resultados ¿qué encuentra?2. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a 0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y 200 kilogramos Si x=50, por datos está ubicado en el primer rango, C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40 El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólares Si x=200, por datos está ubicado en el segundo rango, C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140 El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólares A mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar mayor carga. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 78

Gráfica y        C(x)=0.65x   COSTO ( Dólares)     C(x)=0.7x     C(x)=0.8x   x PESO (KG)       3. La ecuación oferta para cierto producto es: . , 0 000 000 , 000 000 000 . , > 000 000 Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden: a. 2000 unidades Observe que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango, 000 . . . 000 , es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesos b. 7000 unidades Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando 000 . . 000 , es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesos c. 14 000 unidades Acá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando 000 . . . 000 , es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 79

y PRECIO (Millones de Pesos)       3.2+X/2000  3+X/5000 2.8+X/7000   x            UNIDADES OFERTADAS 4. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras esta dada por la función 0 si 0 t - 0t 0 si t f(t)= 100 si t -5t2t 0 si t 1.25t2 – 26.25t + 162.5 si t 0 Donde f(t) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a 1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y en el 2000? Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico se cuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año. Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1991-1989=2 , es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazando f(2)=-30(2)+160=-60+160=100 , indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidos Para 1995 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1995-1989=6 , es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando -5t2 +25t + 80 f(6)=-5(6) 2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50 , indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidos Para 2000 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 2000-1989=11 , es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 80

y f(t)=-30x+160  f(t)=130   CANTIDAD DE DESECHOS (Toneladas/día)  f(t)=-5t^2+25t+80 f(t)=100    f(t)=1.25t^2-26.5t+162.5       x     AÑOS ( t=0, 1989)         5. Cierta compañía de envio de mercados líquida los envíos de acuerdo a 120x+1200 Si 0.01 x 20 200x+1700 Si 20 < x 30 C(x)= 250x+2200 Si 30 < x 50 280x+2700 Si 50 < x , donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45, 30 y 60 gramos6. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función 0 0.0 x Si 0 x 00 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 00 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500 Calcule el cargo mensual si se consumen: a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora7. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 81

1.965t – 5.65 cuando 5  t  20 P(t)= 0.095t2 – 2.925t + 54.15 cuando 20< t  40 Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educación en 1980 y el 2007.8. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función: 7.52 + 0.1079x si 0x5 19.22 + 0.1079x si 5<x750 C(x) = 20.795 + 0.1058x si 750<x1500 131.345 + 0.0321x si x>1500 Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh9. La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 está dada aproximadamente por la función . t . Si 0 t f(t)= -0.7t 2 . t . Si t 2.6t + 9.4 Si 7 t 10 , donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900. ¿Cuál era la edad promedio de la población de Estados Unidos al inicio de 1900? ¿Al principio de 1950? ¿Principio de 1900?10. De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud, f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a 1977, esta dado por Si 0 t f(t)= t + 7 Si t 0 Si 10 < t < 20 Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992. ¿Hasta qué año es aplicable el modelo? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 82

INCREMENTO Y TASASEl cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientescuando hay variaciones en variables independientes. Por ejemplo  El cambio del costo de operación de una planta que resulta n de cada unidad adicional producida  El cambio en la demanda de cierto artículo si se incrementa o disminuye el precio unitario de este.  El cambio del producto nacional bruto de un país con cada año que pasaSea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en elvalor de x, que es x2 – x1 se denomina incremento de x y se denota Δx . Usamos la letragriega Δ para denotar el cambio o incremento de cualquier variable. Es decir Δx = x2 – x1Si y es una variable que depende de x tal que y=f(x) esta definida para todo valor de xentre x1 y x2, cuando x=x1, y1=f(x1), de manera similar si x=x2, y2=f(x2), así elincremento de y es Δy y2 – y1, entonces Δy f(x2) - f(x1)Problemas 111. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por C=0.001x3-0.3x2+40x+1000 Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. Debemos calcular ΔC= C2- C1 Hallamos C1, hacemos x=50 C1=0.001(50)3-0.3(50)2+40(50)+1000 C1=125-750+2000+1000=2350 Hallamos C2, hacemos x=60 C2=0.001(60)3-0.3(60)2+40(60)+1000 C2=216-1080+2400+1000=2536 Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186 Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en 186 Unidades monetarias Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 83

2. La venta semanal S (en dólares) de un producto se obtiene por medio de 0000 . , donde x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar la venta si el número de semanas se incrementa de 2 a 3. Debemos calcular ΔS= S2- S1 Calculamos S1 haciendo x=2, remplazando 0000 . ( ) 0000 . 0000(0. ) 0 . Calculamos S2 haciendo x=3, remplazando 0000 . ( ) 0000 . 0000(0. ) 0 .0. Remplazando en ΔS= S2- S1 = 0 .0. 0 . . El signo negativo indica que pasar de la 2 a la 3 semana las ventas disminuyen en 389.56 dólares.Sean los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) de la función y=f(x), el incremento Δx es igual a ladistancia horizontal de P a Q y el incremento Δy la distancia vertical y y y=f(x) y2 Q(x2,y2) Δy y1 P(x1,y1) y1 P(x1,y1) Δy< 0 Q(x2,y2) y2 y=f(x) x1 x2 x x Δx Δx > 0 0 x1 x2Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1, para x2, x2 = x1 + Δx remplazando x2 en ladefinición de Δy, obtenemos Δy=f(x1 + Δx) – f(x1)EjerciciosDetermine los incrementos de cada función1. f(x)=2x + 7 ; Si x=3 y Δx 0. Remplazando en Δy=f(x1 + Δx) – f(x1) Δy=f(3 + 0.2) – f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7] Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 84

Δy=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13 Δy=0.4Es decir que un incremento de x en 0.2 genera un incremento en y de 0.42. ( ) ; 0. Remplazando en f(x1 + Δx) – f(x1) f(2 + 0.5) – f(2)=f(2.5)-f(2) ( . ) ( ) . . . .Es decir que cuando el incremento de de x es de 0.5 se incrementa en 1.4La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x Δx se definecomo la razón Δy Δx. Por tanto la tasa de cambio promedio de y respecto a x es ( ) ( )EjerciciosCalcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado1. ( ) ; , 0. Remplazando en ( ) ( ) ( 0. ) ( ) ( . ) ( ) 0. 0. . . 0. 0. .Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a x cuando x=2 y su incremento0.5 es igual a -5.12. ( ) ; , . Remplazando en ( ) ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( ) . . ( . ) ( ) ( . ) ( ) . . Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 85

. 0. . . 0.Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a t cuando t=5 y su incremento1.24 es igual a 0.16Problemas 121. El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía está dado por la función ( ) 0. 00, (0 0) , donde t=0 corresponde a 1991. Calcular la tasa de cambio promedio del IPC entre 1992 y 1993. Inicialmente debemos hallar Para 1992, t=1 y en el 1993 t=2 es decir que y Remplazando en ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 0 . . Es decir que la tasa de cambio del índice de precios al consumidor entre 1992 y 1993 tuvieron una tasa de cambio promedio de 1.62. Cuando el precio (en dólares) de cierto producto es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana (demanda) está dado por 000 Determine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de 4 a 6.25 Debemos hallar ( p) (p) p , donde p . y p . . , remplazando ( . ) ( ) . . . . Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 86

. . Es decir que las unidades demandadas disminuyen en 21 unidades cuando el precio se incrementa de 4 a 6.25 dólares.3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Determinar la tasa de cambio del costo de producción el número de unidades producidas se incrementa de 50 a 100 unidades. Interprete el resultado.4. La relación entre la cantidad de dinero x que se invierte en publicidad por una compañía y sus ventas totales S(x) está dada por la función S(x)=-0.002x3+0.6x2 x 00 (0 x 00) , donde x se da en miles de dólares. Halle la tasa de cambio promedio de las ventas si la publicidad se incrementa de de 100 000 (x=100) a 150 000 (x=150) dólares. Interprete el resultado.5. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 Determine la tasa de cambio promedio del número de libras de durazno de buena calidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de 0 a 3 libras. Interprete el resultado.6. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: ( ) 0 ,x≥ Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedor nuevo si las horas de capacitación se incrementan de 10 a 15. Interprete el resultado.7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 87

00 000 ( ) Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas se incrementan de 40 a 50 unidades. Interprete el resultado.8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 Determine la tasa de cambio promedio del precio del precio si las unidades demandadas disminuyen de 12 a 6. Interprete el resultado.9. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos que requiere un empleado para ensamblar una unidad cuando lleva 15 días de haber ingresado al trabajo.. Interprete el resultado.10.Suponga que la demanda de un producto se define mediante 00 000 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Determine la tasa de cambio promedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 100 a 200. Interprete el resultado.11.Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por ( ) ( ) , donde p es precio unitario en dólares. Determine la tasa de cambio del volumen de ventas si el precio disminuye de 11 a 10 dólares por unidad. Interprete el resultado.12.El costo promedio de fabricar cierto artículo es , donde x es el número de artículos producidos. Determine la tasa de cambio promedio del costo cuando se fabrican entre 10 y 20 artículos. Interprete el resultado. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 88

LIMITE¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidadlímite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o deestirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especiede cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable.A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeñosnúmeros de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, seconvierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasasinstantáneas.Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tieneque analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la ideade de limite (Técnicas de Aproximación) Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x+2 x+2x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximosa -2 x -3 -2.5 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.5 -1 f(x) -6 -5.5 -5.2 -5.1 -4.9 -4.8 -4.5 -4Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a cexcepto quizás a c, entonces: Lim f(x) = L x cSe lee “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemoshacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de xsuficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito Lcuando x tiende a c decimos que no existe el limiteLímites Laterales Lim f(x) = LLimite por la derecha: x c+Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x c, aunque x > c.Limite por la izquierda Lim f(x) = M x c- Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 89

Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x c, aunque x < c.Consideraciones EspecialesEl límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c,cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual allímite, Indefinido o definido pero diferente al límite.Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real)Propiedades de los LímitesSi k ε R, Lim f(x) = L y Lim f(x) = M x c x c-Lim k = kx c- Lim x = c Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c x c ( ) ( ( ) Lim [f(x) . g(x)] = L . M Lim f(x) = ,M ≠ 0 L x c x c x c x c g(x) MEjercicios 20Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límitesexistentes lim ( ) lim ( ) lim limLimites Indeterminados Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene la forma en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción para encontrar una función equivalente en la cual exista el límite. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 90

( ) Si Lim f(x) ≠ 0 y Lim g(x) 0 cuando x tiende a c, entonces no existe. En este ( ) caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.Ejercicios 21Calcule cada limite si existe lim lim lim x x lim lim lim x x x lim lim limContinuidad en un puntoLa función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes 1. f(c): exista 2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c existaSi no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c  Toda función polinómica es continua para todos los números reales.  Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello cuyo denominador es cero.Ejercicios 22Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Ejercicio 23 Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada f(x) x , 0 x x f(x) , f(x) , Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 91

, 0 , ( ) ( ) x + 2, >0 4x - 7, x >2Límite de las Funciones Definidas por PartesEl límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando xtiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Esdecir: Lim f(x) = L = Lim f(x) = M + x c x c-Determine si los límites de cada función existen (x + 2)3 Si x -1 4 – x2 Si x < 2 a. f(x) = b. g(x)= 1-x Si x > -1 x–2 Si x ≥Ejercicios 23 lim lim lim lim lim lim lim 0 , lim ( ) ( )lim ( ) ( ) , ≥ , , > ( ) ( ) lim lim lim Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 92

TALLER1. Calcule el límite por tabulación de la función ( ) , cuando x toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la función se hace indeterminada2. Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen) lim lim , lim f(x)= , > lim3. De la gráfica de la función f(x)=-x2+4x obtenga el límite cuando x toma valores cercanos a: a. Cero (0) b. 2 c. 4 y = -x^2+4x y     x       Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 93

Problemas 111. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 a. Determine el límite de p cuando x tiende a 0 y a 3 b. ¿Qué significa cada expresión? ¿Qué encuentra?2. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por ( ) 00 a. Encuentre lim ( ), lim ( )) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será 0 ( ) 0 , dólares. a. Encuentre lim ( ), lim ( )) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos4. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: ( ) 0 ,x≥ a. Encuentre lim ( ) , lim ( ) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos5. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según ( ) ,x≥ 0 a. Encuentre lim y(x) , lim y(x) b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 94

6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 000 ( ) a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos9. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función 00 0 00 , donde x son las unidades demandadas. a. Encuentre , b. ¿Cuál es el significado de cada expresión? c. Compare los resultados e interprételos10. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función 10 + 0.094x Si 0 x 00 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 00 49.40 + 0.05(x-500) Si x < 500 Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500 Kilovatio/hora Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 95

Limites Infinitos Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota Lim 1=0 x ∞ xPropiedades Si c es cualquier constante entonces Lim c = c y Lim c = c x +∞ x -∞ Lim c =0, donde p>0 x +∞ xp Lim c =0, donde n>0 n x -∞ xEjercicio 21Evaluar cada límiteProblemas 121. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 a. Determine el límite de p cuando x tiende a ∞ b. ¿Qué significa la expresión? c. Interprete el resultado Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 96

2. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 0 000 000 Determine la población a largo plazo3. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. a.Encuentre lim b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.4. Suponga que la demanda de un producto se define mediante 00 000 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada a.Encuentre lim b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función . ( ) 0.0 , donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981 a.Encuentre lim ( ) b.¿Cuál es el significado de la expresión? c.Interprete el resultado.6. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad x(en miles de dólares) según 00 0 a. Encuentre b. ¿Cuál es el significado de la expresión? c. Interprete el resultado. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 97

7. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes 00 00 Encuentre a.¿Cuál es el significado de la expresión? b.Interprete el resultado.8. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con 00 ( ) 0 Encuentre ( ) a. ¿Cuál es el significado de la expresión? b. Interprete el resultado.9. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será 0 ( ) 0 , dólares. a.Encuentre lim ( ), lim ( )) b.¿Cuál es el significado de cada expresión? c.Interprete el resultado Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 98

TALLERTEMA: LÍMITES 1. Determine el límite de cada función tabulando los datos a.lim b.lim 2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a 1 y a 0 3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 99

4. Calcule cada uno de los siguientes límites lim y y y x t x y lim lim lim x x t 0 t x 0 x 2x+1, Si x>3 , Si x<2 lim ( ) lim ( ) 10-x, Si x 3 , si x≥ lim limProblemas 13 1. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una campaña publicitaría son 00 ( ) 00 a.Encuentre lim S(t) lim ( ) b.¿Qué significa cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por ( ) ( ) , donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valores próximos a 10 y 11 dólares b. Compare los resultados e interprételosLimites con TecnologíaUse el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite. 0 lim lim lim lim 0 lim lim lim lim Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 100

LA DERIVADA La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por: y (x+h ,f (x+h )) f (x+h ) (x,f (x)) f (x) h x x+h xSegún la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x))y ((x + h), f( x +h)) así ( ) ( ), es decir ( ) ( )Ejercicio 22Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades estadado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para:Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 101

Las segundas 100 unidades producidas Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es: ( ) ( ) lim , si este límite existeEjercicio 23Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x)(en pies) se obtiene mediante la ecuación f(x)=96+64x-16x2Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h Pendiente de la Tangente A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es ( ) ( ) lim Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1.Ejercicio 24Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4) DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), es ( ) ( ) ´( ) lim Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c. ( )] Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o o o Dxy o Dx[f(x)] Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 102

Ejercicio 25Encuentre la derivada de cada función f(x) = 2x f(x) = x2 f(x) = x3+1 f(x) = 3x2-2x+1Problema 14La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número deunidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es: ( ) ( ) ( ) limSuponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por ( ) 00 , ≥0Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.  Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x.  Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20.Remplazando 00( ) ( ) ] ( 00 ) ( ) lim 00 00 ( ) 00 ) lim 00 ) 00 ) lim lim ( 00 ) lim lim 00 00Como x=20 ( ) 00 ( 0) 00 0 0Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mildólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 103

Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR Tipo Función Derivada Ejemplos Constante f(x)=k f´(x)=0  Si f(x)=5, f´(x)=0  Si f(x)=-2, f´(x)=0 Múltiplo f(x)=kx f´(x)=k  Si f(x)=3x, f´(x)=3 constante  Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x  Potencia f(x)=xn f´(x)=nxn-1 Si f(x)=x4, f´(x)=4x3  Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4 Múltiplo y f(x)=kxn f´(x)=k.nxn-1  Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3 Potencia  Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4 Suma f(x) = [g(x) ± f´(x)=g´(x) ± h´(x)  Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3 h(x)]  Si f(x) x - x , f´(x) - x - x- Multiplicación f(x) = f´(x)=g´(x) ± h´(x)  f(x)=(x2+2)(3x-1) [g(x).h(x)] f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6  f(x)=x3/2(3x2-x-1) f´(x)= x x -x - x ( x x- ) x - x- x x- = x - x- Cociente k ´( )  f(x) , f´(x) - x f(x) ´( ) x g(x) ( ( )) ( )  f(x) , ´( ) ( ) x Cociente g(x) g´(x)h(x) g(x)h´(x) ( ) f(x) f´(x)  f(x) , ´( ) ( ) ( ) ( ) h(x) h(x)] ( )  ( ) , ´( ) ( ) ( ) ( )

Ejercicios 26Derivar cada una de las siguientes funciones f(x) = - 4 f(x) = 0.25 f(x)=21x f(x)= x f(x)=x5 f(x)= f(x)=4x3 f(x)= f(x)=4x2 + 5x + 3 f(x)= 6 – x-2 + x1/2 f(x)= (x3- f(x)=(x2+1)2 1)(5x2+6x) x f(x)= f(x)= f(x)= x- f(x)=Problemas 151. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100.2. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3 a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? c.Calcule C(101) – C(100) d.Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?3. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3 a. Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? c. Calcule C(101) – C(100) 3.Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? c.Calcule C(101) – C(100) d.Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?

Problemas 161. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es ( ) 0 , determine: a. La función ingreso marginal (R´(x)) b. Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades2. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula S(t)=10 000 + 2 000t -200t2 , donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana determine la tasa de cambio cuando a. t=4 y ¿qué significa? b. t=8 y ¿qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?3. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3, a. Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. b. Calcule C´(100), ¿qué significa?4. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores pequeños sea ( ) 00 0. , 0 00 , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 6005. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación R(x) = 100x – x2, x ≥ 0 , donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)6. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso esta dado por R(x) = 1 500x – 0.02x2, c0n x 000 , donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 106

7. La producción semanal de cierto producto es Q(x)= 200x + 6x2 , donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado Regla de la Cadena Si f y g son funciones diferenciables donde y=f(u) y u=g(x), entonces y es una función diferenciable de x, y ´( ). ´( ) , o su equivalente .Ejercicio 27Derivar f(x) = 2(x2 – 1)4 f(x) = (x2 – 9)2/3 f(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Regla de la potenciaSi , donde u es diferenciable de x, entoncesEjercicios 28Derive cada una de las siguientes funciones f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 107

Problemas 171. La producción diaria para cierta fabrica está dada por: f(x) 00 x , donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares. a. Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capital Derivamos: f´(x) 00 ( x ) ( ) f´(x) 00 ( x ) b. Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares Por datos x=1, remplazando f´(x) 00 ( ( ) ) 00 ( ) 00(0. ) c. Interprete el resultado. Significa que cuando la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares la producción diaria se incrementará aproximadamente en 115 unidades2. La demanda de computadores viene dada por la ecuación p 00-x , donde x es el número de computadores y p es el precio de cada uno en miles de pesos a. Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandas Derivamos dp ( 00 x ) . ( x) .( x) dx ( 00 x ) dp x dx 00 x b. Calcule la tasa de cambio si x=9. Remplazando en dp 0 dx 00 00 . c. Interprete el resultado Si la demandada de computadores se incrementa de 9 a 10 unidades el precio disminuye aproximadamente en 0.15 mil pesos Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 108

3. La ecuación de demanda de cierto articulo es p=300 (x2 + 1)-1. a. Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas. b. Calcule la tasa de cambio cuando x=3. Interprete el resultado4. La concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de los automóviles dentro de t años está dada por ( ) 0.0 (0. ) , partes por millón Halle la tasa con que cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t=5. ¿Qué significa?5. El número de personas que ven una serie de televisión con varios años de salir al aire se aproxima a la función ( ) ( 0 ) , N(x) (dado en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie en la semana x. Calcule N´(12), ¿qué significa?6. La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p= 00 , en donde x unidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.7. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por ( ) , donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p=248. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es 00 000( ) 000 , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades. Interprete el resultado.9. Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas), depende del precio unitario del producto de acuerdo con ( ) , >0 , donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de $21? Interprete el resultado.10.Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron ( ) 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razón aumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 109

11.En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es ( ) 0. 00 . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente ( ) 00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción. Derivadas de Orden Superior Como la derivada de una función es de por sí otra función, podemos calcular una derivada de la derivada. La derivada de la 1ra derivada recibe el nombre de 2da derivada. También podemos encontrar derivadas de 3er, 4to, 5to orden y superiorEjercicios 29Encuentre la derivada indicada1. y = 4x3 -16x, y´´2. y = x5 – x1/2, y´´3. y = x3 + x-1, y´´´4. y = 3x4 + x1/3, y´´´5. y = , y´´´´Problemas 181. Suponga que dado el ingreso por la venta de cierto producto y la cantidad vendida encuentre la tasa de cambio del ingreso marginal a. R(x) = 100x – 0.01x2; x = 10 b. R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3; x = 100 c. R(x) = 15x + 30(4x +1)-1 – 3; x = 25 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 110

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOSPrueba de la primera derivada.Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientesprocedimientos: Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la ( ) función. ´( ) 2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores ´( ) 0 de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se ( ) 0 denominan valores críticos. Los valores Entonces si 6x=0, x=0 que hacen que f´(x) sea indefinida también Si x – 4 = 0, x = 4 son valores críticos. Los valores críticos son 0 y 4 3 Sustituya los valores críticos en la función (0) original para encontrar los puntos críticos ( ) Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58) 4 Evalúe f`(x) en algunos valores de x a la f´(-1)=30 y f`(1)=-18 izquierda y a la derecha de cada punto Hay un máximo crítico para construir un diagrama de f´(3)=-18 y f`(5)=30 signos Hay un mínimo Si f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a la derecha del valor crítico, el punto crítico es un punto máximo relativo Si f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a la derecha del valor crítico es un punto mínimo relativoGráficamente y  Punto Crítico  Máximo Relativo Valor Crítico  Valor Crítico ´( ) 0 f´(x) x           f(x)  ´( )>0 ´( ) 0   ´( )>0  ´( ) ( )  Punto Crítico  Mínimo Relativo Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 111

Ejercicios 30Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de laprimera derivada y = x3 – 3x + 2 y = 3x – x3 y = x3 – 12x + 2 y = -x2 + 6x + 6 y = x4 – 8x2 + 3 y = x2/3 + 2 y= x3 – 3x - 4 y = 1 – 3x+ 3x2-x3Prueba de la segunda derivadaPara encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientesprocedimientos: Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la ( ) función. ´( ) 2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores ´( ) 0 de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se ( ) 0 denominan valores críticos. Los valores Entonces si 6x=0, x=0 que hacen que f´(x) sea indefinida también Si x – 4 = 0, x = 4 son valores críticos. Los valores críticos son 0 y 4 3 Sustituya los valores críticos en la función (0) original para encontrar los puntos críticos ( ) Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58) 4 Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para el f´´(x)=12x-24 cual f`(x)=0 Si x=0 Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre en f´´(x)=12(0)-24=-24 x0 Ocurre un máximo relativo Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurre Si x=4 en x0 f´´(4)=12(4)-24=24 Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida, la Ocurre un mínimo relativo prueba de la segunda derivada falla; use la prueba de la primera derivada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 112

Gráficamente y  Punto Crítico ( ) ´´( ) >0  Valor Crítico  Máximo Relativo x           Valor Crítico   ´´(0) 0 Punto Crítico    ´´( ) Mínimo Relativo Ejercicios 31Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de lasegunda derivada ( ) y = 1 – 3x+ 3x2-x3Ejercicios 32 1. Encuentre los valores críticos, los puntos críticos y determine los máximos o mínimos relativos si existen. a. f(x) = x2 – 4x b. g(x) =-t2 + 6t + 6 c. h(x) =x3 – 3x2 + 4 d. i(x) = x4 -3x2 + 4x - 8 e. j(x) =Problema 19Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en xhoras después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión y = 3x + 8x2 - x3a. Encuentre los valores críticos de esta una función Hallamos la primera derivada de la función y´= 3 + 16x – 3x2 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 113

Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x – 3x2 = 0 -b b - ac Utilizando la ecuación general para la solución de una ecuación cuadrática a +c =0 ax2+bx , obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el número de horas trabajadas después de iniciar labores y este no puede ser negativoc. Encuentre los puntos críticos Remplazamos el valor crítico 5.5 en la función original Y= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92 El punto crítico esta en (5.5, 92)d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? Hallamos la segunda derivada de la función y´´=16 – 6x, remplazamos el valor crítico, y´´=16 – 6(5.5) = -17 Como y´´<0, ocurre un máximo relativo. Significa que la máxima producción de se obtiene 5.5 horas después de haber iniciado labores, pintando 92 marcose. Graficando la función incluyendo la la segunda derivada (5.5, 92)  y=3x+8^2-x^3    Cant. de marcos Pintados     y´´=16-6x  Horas Trabajadas           y´´<0 (Máximo Relativo)  Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 114

TALLER1. Encuentre las derivadas de cada función. Simplifique y exprese el resultado usando únicamente exponentes positivos f(x) = 4 f(x) = 5x3 + 4 f(x) = 3x2 + f(x) = (x2 – 2)(x – x4 x x 4) f(x) = 1 – x2 - 4x f(x) = 1 + x4 f(x) = 5 (3x4 – 6x2 + 2)3 22. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por: ( ) , donde x esta en miles de unidades y R(x) en miles de dólares. Encuentre el ingreso marginal R´(x) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa?3. Suponga que la función ingreso total para una mercancía es R(x) = 25x – 0.05x2 a. Encuentre R(50) y R(51) ¿qué representa cada expresión? b. Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x) c. Encuentre el ingreso marginal en x = 50 d. Compare los resultados ¿Qué encuentra? ¿Qué significa?4. Encuentre los puntos críticos y determine si son máximos o mínimos relativos a. f(x) = x3 – 3x - 4 b. f(x) = 1 – 3x+ 3x2-x3 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 115

Problemas 201. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es ( ) 0 , determine: a.El o los valores relativos si existen b.Los máximos o mínimos relativos si existen c.Interprete el resultado2. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por U(x)=130 + 80x – x2 miles de pesos , donde x es la inversión en publicidad en miles de pesos a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?3. El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en cierta compañía de discos está dado por 000 ( ) 0.000 a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?4. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula S(t)=10 000 + 2 000t -200t2 , donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?5. El costo promedio de fabricar cierto artículo es , donde x es el número de artículos producidos a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 116

c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?6. Una empresa vende todas las unidades que produce en 4 mil pesos cada una. El costo total de la empresa C por producir x unidades esta dado en miles de pesos por C =50 - 1.3x+0.001x2 a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?7. La función de costo para una empresa, está dada por C(x)= 300x-10x2- a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?8. La función de costo de una fabricante es C(x)=1000 - 5x + 0.1x2, cuando se producen x artículos por día. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de ( ) ,0 Donde P es el número de unidades producidas por hora a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?10. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es 0 ,0 a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 117

11. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto producto es 000 000 , >0 Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de producción a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 118

DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS La función logarítmica ln tiene derivadas sencillas ( )  Derivada de la función logarítmica para x> 0 ( ( )) ´( )  Regla de la cadena para las funciones logarítmicas ( )Ejercicios 32Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ln (x) f(x) =ln (8x) f(x) = ln (4x + 9) f(x) = ln (8x3-2x) – 2x f(x) = ln (x) – ln(x- f(x)= f(x)=ln(x- f(x)=ln[(x- 1) 1)+ln(2x+1) 1)(2x+1)] f(x)= ln ( ) f(x)= f(x)=ln[t3(t2-1)] f(x)=Ejercicios 33Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen f(x) = x ln f(x) = x2 ln (x) f(x) = x2 8ln(x) f(x) = ln (x) – x (x)Problemas 21 1. La ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por 0 ln ( ) , calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio cuando p=2 2. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x)) b. Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el resultado 3. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con t ln a. Con que tasa cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%, compuesto continuamente b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 119

4. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = ( ) a. Encuentre la función ingreso marginal b. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el resultado5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es 33.6. La función demanda de un producto está dada por p = , donde p es el ( ) precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?7. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuando el precio sea p(x) = 112 – x ln(x3) cientos de dólares por unidad a. Encuentre la función ingreso (x*p(x)) y de ingreso marginal (p´(x)). b. ¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad?8. En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad será p(x) millones de dólares, donde P(x) = 10 + ln -12x2, para x > 0 ¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿cuál es la utilidad máxima?9. Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un año después de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x) donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después de 1998¿con que razón cambiará el porcentaje en el 2009?10. Encuentre la función ingreso marginal si la función de demanda es ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 120

DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES La función logarítmica tiene derivadas  Derivada de : e x = ex  Regla de la cadena para : eh(x) h’ (x) eh(x)Ejercicios 34Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ex f(x) = e5x f(x) = 3e4x f(x) = 3e4x+1 f(x) = e^(x2+2x- f(x)=x2 ex f(x)=(x2+3x+5) e6x f(x)=(1 - 3ex)2 1) f(x)= e(-1/2)x f(x)= ex ln(x) f(x)= f(x)= eln(x)Ejercicios 35Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen f(x) = x ex f(x) = x e2-x f(x) = x2 e-x f(x) = ex + e-xProblemas 22 1. La ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por: x 000e 0.0 p , donde se demanda x unidades cuando el precio es p. a. Halle x´ Derivando x´ 000 e 0.0 p ( 0.0 ) x´ 00 e 0.0 p b. Calcule x´ cuando p=25 Remplazando x´ 00 e 0.0 ( ) 00 e 00(0. ) c. ¿Qué significa? Si el precio se incrementa en 26 las unidades demandadas disminuyen en 74. 2. La ecuación de oferta de cierta mercancía es p = 20ex/3, donde se ofrecen x miles de unidades cuando el precio es de p dólares. Determine a. La tasa de cambio del precio respecto a las unidades ofertadas b. La tasa de cambio cuando la oferta se incrementa en 6 mil unidades. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 121

c. Interprete el resultado3. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por 0 0 . ( ) . a. Calcule P´(t) b. Calcule P´(0) y P´(1). ¿Qué significan? Interprete los resultados4. Una cadena de tienda femenina, determinó que t días después de concluir una promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por ( ) . 0 000( ), , millones de pesos. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al número de días si t=3. ¿Qué significa?5. El precio de cierto articulo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en semanas) está dado por p=8+4e-2t+te-2t, determine la tasa de cambio del precio respecto al tiempo si t=2. Interprete el resultado.6. La depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una razón tal que su valor contable dentro de t años será V(t)=50 000e-0.4t dólares, ¿con qué rapidez cambiará el valor contable de los bienes dentro de 3 años?7. Según la Internet Society, las conexiones de Internet están proliferando a una razón cada vez más creciente. El número de computadores huésped (en millones) se estima en N(t)= 3.45e0.64t, en t años (t=0 corresponde al principio de 1994). ¿Con qué rapidez aumento la cantidad de computadores huésped en 1996 y 1999?8. En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa la banca en línea es f(t)=1.5e0.78t , donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio del 2000. Halle f´(t), calcule f(4) interprete el resultado.9. Los viajes aéreos han aumentado drásticamente en los últimos 30 años. En un estudio realizado en el 2000, una empresa aérea previó un incremento exponencial aún mayor en los viajes aéreos hasta el 2010. La función f(t)=666e0.0413t proporciona la cantidad de pasajeros (en millones) para el año t, donde t=0 corresponde al 2000. Determine f´(t) ¿qué significa? , calcule f´(5) y f´(9) interprete los resultados Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 122

10. Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales) compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la función S p℮0.1n Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesos a 1 año.11. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares. ¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra?12. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 123

Derivada Implícita La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadas en la forma usual y = f(x).Una ecuación de la forma F(x,y) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita.Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como funciónde x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menoscomo una función derivable en x.Procedimiento para derivar implícitamentePara una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una funciónderivable en x, la derivada puede encontrarse:1. Derivar cada termino de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se le agrega .2. Despeja , y tenga en cuenta las restricciones.Ejercicio 36Encuentre mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si existen. 1. 0, , La ecuación se restringe en y=0 2. 0 La ecuación se restringe en y=0 3. 0, , la ecuación se restringe en x=0 4. 0 0, Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 124

0, , ( ) , , 5. ( ) ln( ) ln( ) (ln( ) ) ( ( ) ) 6. 7. 8. 9. 0 10. ln( )Problemas 23 1. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + q2 = 2500, donde q son las unidades que pueden venderse a una precio de $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado. 2. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas de trabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de 0 000 Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas de trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64 000 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 125

3. Suponga que el volumen de ventas de un compañía y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con xy – 20x + 10y = 0 Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto de publicidad cuando x=10 ((miles de dólares)4. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen 384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3 Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificada en una hora5. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola se relaciona con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosecha y , de acuerdo con 300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5y Encuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres6. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad está dada por p(q + 1)2 = 200 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80. Interprete el resultado7. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad está dada por p2(2q + 1) = 100 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50. Interprete el resultado.8. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 126

, donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I=16 y S=12 9. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y/y+2)+(160x/x+4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US$50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad - costo por unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción 10. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x² + xy + y² es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y para maximizar las utilidades?Elasticidad en la DemandaEl grado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varia en granmedida en diferentes productos Costo del combustible – consumo Precio de los medicamentos – enfermosSi los cambios de los de los precios son considerables, decimos que la demanda eselástica; cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice que lademanda es inelástica.Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo elcambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos laelasticidad de la demanda en un punto (qA , pA) como η (qA, pA)Los economistas clasifican las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de lademanda a los cambios de precios usando la elasticidad  Si η > , la demanda es elástica y el decremento porcentual en la demanda es mayor que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 127

 Si η , la demanda es inelástica y el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.  Si η , la demanda tiene elástica unitaria y el decremento porcentual de la demanda es aproximadamente igual al incremento porcentual correspondiente en el precio.También podemos utilizar diferenciación implícita para encontrar dq/dp para evaluar laelasticidad puntual en la demanda.Problema 24La ecuación de demanda para cierta mercancía es qp3=24 000 calcule, indique el tipo eintérprete la elasticidad en la demanda cuando p=2Sabemos que la elasticidad en la demanda se define ηConocemos p, debemos hallar q yPara hallar q remplazamos el valor de p en la ecuación original, q( ) 000 000 q 000Hallamos derivando implícitamente la ecuación original dq p qp 0 dp dq qp q dp p pRemplazando en la ecuación de la elasticidad ηComo η , la demanda es inelástica por lo tanto el decremento porcentual en lademanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.Problemas 25 1. En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre la elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectará un incremento de precio el ingreso total: a. p + 4q = 80 cuando el precio p = 40 b. 2p + 3q = 150 cuando el precio p=15 c. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=6 d. pq=81 cuando el precio p=3 e. pq + p = 5000 cuando el precio p=450 y q=99 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 128

f. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 4502 g. (p + 1)(q + 1)1/2 = 1 000 cuando el precio p=39 h. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=20 i. p 00℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10 j. q= 250 – 30p + p2, cuando p=12 k. p=86-6q-3q2,cuando q=32. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es x= 5000 – 100 ln (p + 40) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular e indicar el tipo de la elasticidad en la demanda si el precio es de 60 dólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 129

Derivadas ParcialesFunciones de dos o más VariablesExisten magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo elárea del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo deproducción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, latemperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, laconcentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de habersuministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distanciaen que se encuentra el punto de la inyección,Las funciones de dos variables se simbolizan f: R2 R y se representan generalmente z =f(x; y) Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D R2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y).El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de lafunción es el rango de la función.Ejercicios 38Evalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes 1. z = x2+4xy+y2; x=1, y=-1 2. z = 4x2y-3xy3; x=2, y=2 z = (1)2+4(1) (-1)+(-1)2 z = 4(2)2(2)-3(2)(2)3 z =1-4+1 z = 32-48 z = -2 z = -16 2. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2=50 3. ; x=4, y=-3 C(x1,x2)=600+4(400)+6(50) ( ) C(x1,x2)=600+1600+300 C(x1,x2)=2500 ( ) 4. ( , ) encuentre z(3.-3) 3. ( , ) encuentre q(40,35) ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 130

5. z=3x + 4y; x=-1, y=2 6. z=2x3y-xy2; x=-1, y=1 8. C(x1,x2)=500+5x1- 7x2; C(200, 300)7. ; x=3, y=2 10. ( , ) , (0, )9. ( , ) , encuentre q(50, 10) 12. ( , , , ) con (2, 3, 1, -1)11. con(1, 3, 1)Problemas 261. El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidad de varios artículos distinto de maderas está dado por C(x, y)= 5 + 5x +22y , donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número de horas de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero se necesitan 20 píes de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación. Por datos x=20 y y=2.5 remplazando C(20 ,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5) C(20 ,2.5)= 5 + 100 +55 C(20, 2.5)=160 dólares El costo de fabricación de un librero será de 160 dólares2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas 0 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K=10 000 dólares y L=625 horas. Remplazando 0( 0 000) ( ) 0( 0)( ) 00 Cuando el capital invertido es 10 000 dólares y se trabajan 625 horas las unidades producidas serán 37 500 b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad? Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas. Remplazando Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 131

0( 000) ( . ) 0( . 0)( . ) 0 Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción también se reduce a la mitad. c. Si se mantiene la inversión de capital en 10 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L. La ecuación sería 0( 0 000) 00     UNIDADES PRODUCIDAS (Q)      HORAS TRABAJADAS (L)                         3. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY2. a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y. b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, ¿cuántas unidades de X se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, ¿cuántas unidades de Y se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad.4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) más económica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote de Wilson: Q= f(K, M, h)= , donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h el costo de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.). Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta.5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas 0 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 132

a. Encuentre Q si K=64 000 dólares y L= 512 horas. b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican? c. Si la inversión de capital se mantiene en 64 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L.6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada por z=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y el número promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para una semana en la que: d. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas de trabajo por máquina es 30 e. ¿Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10 máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades de mercancía? f. ¿Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidades trabajando en promedio 24 horas?7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. La ganancia, en dólares, para la empresa está dada por P(x, y) = 100x + 64y – 0.01x2 – 0.25y2 , donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el numero de libras de Kreams vendidos por semana. a. ¿Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams? b. ¿Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras de Kreams y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares? c. ¿Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras de Kisses y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares?Diferenciación Parcial La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es unaconstante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variablex, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivadaparcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variabley x fija. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 133

En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como y laderivada parcial de z respecto a y se expresa como . Obsérvese que representa laderivada de una función de una variable, x, y representa la derivada parcial de unafunción de dos o más variables.Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a xson: ( , ) , , , ( , ), ,Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y,tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denota ( , ) , , , ( , ), ,Ejercicios 39Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable 2. z= x4+3y3 3. z= 3xy +y2 4. z=(x3+2y2)3 ( ) ( ) 5. C(x,y)=600-4x + 10x2y ( )( ) 6. ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 134

7. ( ) ( ) 8. z=5x2-2y 9. z= x5-6x+4y3-y2 10. ( , ) 11. C(x, y)=1000-4xy+xy2 12. 13.Ejercicios 40Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas 1.f(x, y)=4x3 – 5xy + y2, respecto a x en el 2. ( , ) , respecto a y en el punto (2, - punto(1, -2) 1) ( ) ( ) ( ) b. , como x=2 y y=-1 remplazando y c., como x=1 y y=-2 remplazamos resolviendo d. ( ) ( ) 3. ( , ) , respecto a x en el 3. , respecto a y en el punto (0, 1) punto (1, 1) ( ) , como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo , como x=1 y y=1, remplazando y resolviendo Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 135

. ( ) 5.Si z=2x + 3y, demuestre que 3zx – 2zy 6.Si , demuestre que xzx + yzy = 0 =0 7.Si , demuestre que xzx + yzy 8.Si z= x3 + y3, demuestre que xzx + yzy = 2z = 3z 9.Si , demuestre que xzx - yzy = 10.Si , demuestre que xzy – yzx =Costo Conjunto y Costo Marginal Suponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismas materias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo de conjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cada bien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces es el costo marginal respecto al producto x y es el costo marginal respecto al producto y.Problemas 271.El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado por C(x, y)= 30 + 3x + 5y , donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra de material. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra. Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material e intérprete los resultados. Respecto a la mano de obra hallamos Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante. Respecto a la mano de obra hallamos Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 136

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante.2.La función costo conjunto para dos productos es C(x, y)= 50 + x2 + 8xy + y3 d. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3). e. Intérprete los resultados.3. El costo total de producir un artículo es C(x, y)= 40 + 4x + 6y + , donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por hora de la mano de obra. ¿De qué manera afectará el costo total un aumento de f. $1 por libra de materia prima? g. $1 por hora en los costos de mano de obra?4. El costo total de producir un artículo es C(x, y)= 30 + 10x2 + 20y – xy , donde x es la tarifa por hora de la mano de obra y y el costo por libra de materias primas. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y las materias primas cuestan $6 por libra ¿Cómo afectará el costo total un incremento de h. $1 por libra de materia prima? i. $1 por hora en los costos de mano de obra?5.El costo conjunto (en dólares) de los producto X y Y esta dado por C(x, y)= 40 + 3x2+y2+xy , donde x expresa la cantidad del producto X y y la cantidad del producto Y. a. Calcule el costo marginal respecto a x si se producen 20 unidades del producto X y 15 del producto Y. b. Calcule el costo marginal respecto a y si se producen 20 unidades del producto X y 15 del producto Y. c. Interprete los resultados.6.Si la función costo conjunto para dos procductos es C(x, y)= a. Encuentre la función costo marginal respecto a x. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 137

b. Encuentre la función costo marginal respecto a y.Productividad Marginal La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capital invertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K el monto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidas en un mes (la producción total) P se denota P = f(L, K) esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores de insumos de producción La derivada parcial se denomina productividad marginal de la mano de obra y productividad marginal del capital.Problemas 281. Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividades marginales para los valores dados de L y K. L esta dado en miles de horas trabajadas por semana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semana a. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK – L2 – 2K2; L=3 y K=10 La productividad marginal de mano de obra se obtiene por , derivando P(L, K) ( 0) ( ) Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cada incremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que se incremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital K fija. La productividad marginal de capital se obtiene por , derivando P(L, K) Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incremento unitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente el monto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el número de horas laboradas L fija. b. P(L, K)= 18L – 5L2 + 3LK+7K - K2; L=4 y K=8 c. P(L, K)= 50L + 3L2 – 4L3 + 2LK2 – 3L2K – 2K3; L=2 y K=5 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 138

d. P(L, K)= 25L + 2L2 – 3L3 + 5LK2 – 7L2K+ 2K2 – K3; L=3 y K=10Funciones de Demanda Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entonces q1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demanda del segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1 y q2 se conocen como funciones de demanda marginalProblemas 291. La función demanda par dos productos están dadas por q1=300 – 8p1 - 4p2 q2=400 – 5p1 - 10p2 a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=8 q1=300 – 8(10) – 4(8)=188 q2=400 – 5(10) – 10(8)=270 A los precios dados la demanda del producto 2 es mayor b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1 disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2 c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2 0 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2 disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 e. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1 disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 12. La función demanda par dos productos están dadas por q1=900 – 9p1 + 2p2 q2=1200 + 6p1 - 10p2 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 139

a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=12 b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2 f. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p13. Dadas las funciones qA, qB, pA y pB las demandas y los precios (en dólares) de dos productos A y B calcule las demandas marginales: de qA respecto al precio pA, qA respecto al precio pB, qB respecto al precio pB y qB respecto al precio pA a. qA=400 – 3pA - 2pB y qB=250 - 5pA - 6pB b. qA=600 – 4pA + 6pB y qB=1200 + 8pA - 4pB c. 000 0 0000 d. 00 0 000 00 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 140

LA INTEGRALA través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información decosto marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones deingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre elcosto marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacionalcon base en información acerca de la propensión marginal al consumo.AntiderivadaLa integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de unfunción, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Porejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x2,pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de lafunción f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constanteEjercicios 41Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x): 1. f´(x) = 4x si f(x) = 2x2 + 1 2. f´(x) = 3x2 si f(x) = x3 – 12 3. f´(x) = si f(x) = x2 + 4x - 1 4. f´(x) = x si f(x) = (1 + x) 5. f´(x) = si f(x) = 6. f´(x) = x ( ) si f(x) = ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 141

Integral Indefinida El símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una suma- indica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así ∫ f(x) dx = F(x) + C Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable independiente es t, se escribe ∫ f(t) dt.Reglas de IntegraciónRegla Expresión EjemploDe una ∫ k dx kx c ∫ dx = 2x + cConstanteDe la ∫ xn dx = n≠ ∫ x3dx =PotenciaDe un ∫ x2dx ∫ x2dx = 2 [ ]múltiplo ∫k f(x) dx k ∫ f(x) dx c es kte x xconstante = c= c ∫( x2 + 4x – 1)dx= ∫ f(x) g(x)] dx =∫ x2 dx ∫ x dx – ∫ dxDe la suma x x ∫f(x) dx ∫g(x) dx = c c-x c =x3 + 2x2 – x + cEjercicios 42Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando ( ) ( ) ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 142

( )Problemas 30 1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es: C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de fabricar 60 unidades. ( ) ´( ) ( ) C(x) x-x x c Solución General Como C(x)=29 050 cuando x=30, 0 0 ( 0) 0 0 0 – 00 000 0 Despejando 0 0 0 cóc 00 Remplazando en la solución general C(x) x-x x 00 Solución Particular Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular ( 0) ( 0) 0 0 00 00 00 000 00 00 El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares 2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad del complejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años ( ) ´( ) x ( 0x 000)dx 0 000x c 0x 000x c Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es ( ) 0x 000x Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando ( ) 0( ) 000( ) 0( ) 000 0 000 0 En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 143

3. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es R(x) = 15 - 4x Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos: a. Determine la función ingreso total. b. Determine la ecuación de demanda.4. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros de gastos médicos es Q´(x) = 32x + 92 , donde x es el número de seguros vendidos y Q´(x) es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0 entonces Q(x)=10 000). b. Determinar el costo de vender 100 seguros.5. Sea S´(t)= 4 + 5t2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es S(0)=3000. a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas6. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo esta dado por ´( ) , si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos7. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es R´(x)=12 – 0.0004x Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares, determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades8. El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2 Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre a. La función costo b. El costo de producir 500 unidades9. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus productos es Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 144

00 , determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5 unidades.10. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =- 0.3x + 450, ¿cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades?11. Una compañía a encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es 00 ´( ) , donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40. a. Encuentre la función de costo promedio del producto b. Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto12. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante . 0. , donde t es el número de años que han pasado desde 1990. a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995, encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos. b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 200013. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de cambio del gasto se puede modelar con 0.00 . . , donde t=0 en 1960. a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al cuidado de la salud para el 201014. Si el ingreso marginal esta dado por Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 145

00 Determine la ecuación de la demanda correspondiente 15. Si el costo marginal está dado por , si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares 16. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por R´(x)=-0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x) asociada con la producción y venta de relojesRegla de la Potencia para la Integración ( )] ( )] . ´( ) , ≠Ejercicios 43 1. ∫( ) . Si comparamos con la definición ( ) y ´( ) entonces ( ) ( ) . Si derivamos ( ) obtenemos ( ) . ( ) . 2. ∫( ) Para que tenga la forma ( ) . ∫ ( )] . ´( ) multiplicamos y dividimos por 3 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 146

Factorizando ( ) . Aplicamos la fórmula ( ) ( ) ( )] . ∫ ( )] . ´( ) Si derivamos ( ) obtenemos .( ) .( ) . ( )3. ∫ El ejercicio se puede expresar ( ) Para que tenga la forma ( ) ∫ ( )] . ´( ) multiplicamos . y dividimos por 4 Factorizando ( ) . Aplicamos la fórmula ( ) ( ) ( )] . ∫ ( )] . ´( ) Si derivamos ( ) obtenemos ( ) ( ) ( )4. ∫ ( ) El ejercicio se puede expresar ( ) Para que tenga la forma ( ) ∫ ( )] . ´( ) multiplicamos .( ) y dividimos por -5 Factorizando ( ) .( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 147

Aplicamos la fórmula ( ) ( )] . . ∫ ( )] . ´( ) ( ) ( ) Si derivamos ( ) ( ) obtenemos ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicios ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Problemas 31 1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de ´( ) (0 0) ( ) , donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares. d. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t. e. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000? Para hallar la expresión del costo de producción debemos hallar ( ) Que podemos expresar ∫ ( ) ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 148

Para que tenga la forma ( ) ( ) ∫ ( )] . ´( ) multiplicamos y dividimos por 3 Factorizando ( ) ( ) Aplicamos la fórmula ( ) ( )] ( ) ∫ ( )] . ´( ) ( ) ( ) La ecuación general sería ( ) ( ) Como para 1990 los panales costaban $10 0 ; 0 dólares. ( (0) ) Despejando 0 Entonces . Remplazando en la ecuación general se ( ) . obtiene la ecuación particular ( ) Si queremos saber el costo de los paneles 000 0 0 en el 2000 hallamos t Remplazando ( ) 0. ( ( 0) ) ( ) 0. 0. 0. 0. Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de ´( ) 000( 0. ) Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años. b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 149

Para hallar la expresión total de 000( 0. )estudiantes inscritos debemos hallarQue podemos expresar 000 ( 0. )Para que tenga la forma ( 0. ) (0. )∫ ( )] . ´( ) multiplicamos y 000dividimos por 0.2 0.Factorizando 000 ( 0. ) (0. ) 0.Aplicamos la fórmula ( ( )] 0. )∫ ( )] . ´( ) ( ) 0000La ecuación general sería ( ) 0000 ( 0. ) ( ) 0000 ( 0. ) ( ) .Si la inscripción actual es de 1000 0000 000estudiantes 0. (0)Despejando 000 000EntoncesRemplazando en la ecuación general se ( )obtiene la ecuación particular .Para saber cuántos estudiantes seinscribirán dentro de cinco años,hacemosRemplazando ( ) . ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 150

( ) . En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes3. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dado por ´( ) 00 00 , en donde x es el número de pares de zapatos producidos. c. Determine la función costo d. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos4. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por: 00 ( ) Encuentre la función de la demanda si q=1005. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por 0 0 ( ) , donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total.6. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por 0 000 0 000 ( 0 ) , donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras.7. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física, es la productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles es 0( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 151

, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=08. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de 00 00 ] ( 0) , donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo. b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana?9. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por , donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas?10. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por: x R´(x) x 00 a.Encuentre la función ingreso b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 152

Integrales que Involucran Funciones Exponenciales . ´Ejercicios 44Calcule las integrales 1. ∫ 2. ∫ El ejercicio lo podemos escribir ( ) Tiene la forma ∫ . ´ ∫ , aplicando la fórmula 3. ∫ Para que quede expresado de la forma ∫ . ´ , ( ) multiplicamos y dividimos por 2 Factorizamos ( ) Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫ 4. ∫ La expresión se puede escribir ( ) Si multiplicamos y dividimos por -2 ( ) Factorizamos ( ) Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫ Ejercicios Calcule cada integral . . 000 0 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 153

(Problemas 32 1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares puede modelarse por medio de . , donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa. a. Encuentre V(t) b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida . La expresión . equivale a ( ) ∫ Factorizando . ( ) ∫ . Multiplicamos y dividimos por 0.05 ( ) ∫ ( . ) . Factorizando . ( ) (0.0 ) 0.0 Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫ . ( ) , obtenemos la ecuación general 0.0 Para t=0 V=350000, remplazando hallamos el . ( ) 0000 valor de la constante C 0.0 0000 0( ) 0000 0 0 Remplazando en la ecuación general . ( ) 0 0.0 Para hallar el valor de la casa 10 años después . ( ) ( 0) de construida hacemos t=10, remplazamos 0.0 0 . ( 0) 0 0 ( 0) 0( . ) 0 ( 0) . 0 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 154

( 0) 0 0 En 10 años la casa costará 350103 dólares2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es . ´( ) ¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto? . . La expresión ´( ) equivale a ( ) ∫ Factorizando ( ) . ∫ . Multiplicamos y dividimos por 0.01 ( ) ∫ ( . ) . Factorizando . ( ) (0.0 ) 0.0 ( ) . Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫ 00 , obtenemos la ecuación general Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el 00 . ( ) 0 valor de la constante C 00( ) 0 00 Remplazando en la ecuación general ( ) 00 . 00 ( ) . 00( ) Para hallar el ingreso por la venta de 100 ( ) 00( . ( ) ) unidades hacemos x=100 ( ) 00( ) ( ) 00( . ) ( ) 00( . ) ( ) 0 0. El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares aproximadamente3. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es . 0. a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro?4. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 155

. . , donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos. b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 5. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa . ´( ) . , 0 t 00 , donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0. a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después de culminar la campaña b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña 6. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante . . , donde t es el número de años que han pasado desde 1960 a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total. b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).7. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por dx 0 ( e t 0) dt Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas8. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela . particular dado por ´( ) 0 , donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.9. Durante una crisis económica, reciente el porcentaje de desempleados creció a razón de Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 156

. 0. ´( ) . ) ( , donde t es el tiempo en meses. Dado que en t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado?: a. 10 meses después b. 20 meses después 10.Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá rendido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por 0( ) ¿Cuántas unidades de rendimiento alcanzará la persona en sus primeras 50 horas? 11.Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de ´( ) 000( ) , unidades por año Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado?Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas ´ . ´ ( )Ejercicio 45Calcule cada integral 1. ∫ Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de ´ la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma ∫ du ´ aplicando la formula ∫ du (u) c obtenemos ln( ) 2. ∫ Multiplicamos y dividimos el integrando por 4 ( ) ( )( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 157

Factorizamos ´ El integrando tiene la forma ∫ du (u) c, ln( ) resolvemos 3. ∫ Observamos que la derivada del denominador del integrando ( ) es , por lo tanto al numerador le ( )( ) faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6 Factorizamos el 6 del denominador ( ) ´ El integrando tiene la forma ∫ du (u) c, ln( ) resolvemosEjercicios 46Calcule cada integralProblemas 33 1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por ´( ) ( ) , si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar ( ) ( ) Factorizamos ( ) ( ) ´ El integrando tiene la forma ∫ du (u) c, ( ) ln( ) resolvemos y obtenemos la ecuación general Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 158

Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades ln( ) . 0. Remplazando en la ecuación general ( ) ln( ) 0. Para p=14 dólares ( ) ln( ) 0. ( ) Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por 00 ´( ) , donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades? Debemos hallar 00 ( ) Factorizamos ( ) 00 ´ ( ) 00 ln( ) El integrando tiene la forma ∫ du (u) c, resolvemos y obtenemos la ecuación general Como C(5)=1980 0 00 ln( ( ) ) 0 00 ln( ( ) ) 0 0 Remplazando en la ecuación general ( ) 00 ln( ) 0 Para x=50 unidades ( ) 00 ln( ( 0) ) 0 ( ) Producir 50 unidades costaría 2867 dólares3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por 00 0 0 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 159

Donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente esta dado por ´( ) , dólares Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por ´ ( ) Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares.6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por 0 ´ Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 160

TALLERTema: Integrales Indefinidas1. Resuelva cada una de las siguientes integrales a. ∫ = b. ∫( ) = c. ∫( ) = d. ∫ = e. ∫( ) = f. ∫ g. ∫( ) =Problemas 342. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por R`(x)=-0.009x + 12 , donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.3. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de . ( ) . ( .0 ) , años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para g(t) para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 161

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f, entonces: ( ) ( ) ( ) ( )Ejercicios 47Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones 1. ∫ ( ) ( ) ( ) 2. ∫ 0 3. ∫ ln ( )] ln ( )] ln ( )] 4. ∫ .0 ] 0] . .Ejercicios 48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2  0 2x 2  x 3  1  dx  x  1 4 4  2x 2  5 x  6  dx 2 5x 4  dx 3 1 3 x2 7 1 x  2  dx 0 x  x  1  dx Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 162

Problemas 35 1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por ´( ) . . . Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades Debemos calcular ( ) ( . . ) Integrando ( ) . . Simplificando y ( ) . ( ) . ( ) ] remplazando . ( ) . ( ) ] ( ) ] ] El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias 2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es . dólares por año, calcule el costo total de reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular ( . ) Integrando . Simplificando ( . ) Remplazando ( ) ( ) . ( ) ] ( ) ( ) . ( ) ] . ] ] . El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de 133.6 dólares Para un periodo de t=4 Calculamos ( . ) Remplazando ( ) ( ) . ( ) ] ] . ] ] . Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 163

El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de 300.8 dólares Para un periodo de t=6 Calculamos ( . ) Remplazando ( ) ( ) . ( ) ] ] . ] ] . El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de 511.2 dólares Encontramos que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de reparación3. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es C´(x)= 74 + 1.1x – 0.002x2 + 0.00004x3 dólares por unidad Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades4. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años esta dado por S´(t)= 120 – 4t – 0.5t2 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años.5. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años?6. La función ingreso marginal de un fabricante es . Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades7. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D´(t)= 3 000 (20 – t) dólares por año, 0 t 0. Use la integral definida para encontrar: a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 164

8. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f´(x) = 1000 + 5000x. ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?9. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades10. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) = . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos11. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S´(t) = -3t2 + 300t , donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 t 0. b. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se término la campaña (t=0 a t=7) c. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se término la campaña (t=7 a t=14)12. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades de un artículo esta dado por ∫ ( ) , donde D(q) es la función de la demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es D(q)=4(25- q2) dq. Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 165

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍAValor promedio El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es Valor promedio = ∫ ( )Problemas 361. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por: C (x)= 5000+16x+0.1x2 El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal C (x)= 5000+16x+0.1x2 00 = 00- ∫ ( 000 00 00 x 0. x )dx 00 = (5000x +8x² + 0.033x³) 00 00 = ( 000( 00) ( 00) 0.0 ( 00) )- ( 000( 00) ( 00) 0.0 ( 00) ) 00 = (1.584.000 – 613000) = (971000) 00 00 = 9710 Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades será de 9710 dólares2. La función demanda para cierto articulo está dada por: P= 500+ , donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se demanda en 50 y 100. ∫ ( 00+ ) dq 00- 0 00 = 00q 00ln q ] 0 0 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 166

= (50461.512- 25393.183) = (25 068.329) = 501.3666 El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 Unidades Monetarias.3. El ingreso total de una maquina de videos está dada por: I=50e0.2t Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas. . . = ∫ 0 dt = ∫ dt . = x . . . 0 = . e0. - . e . = (62.5 - 62.5) = (139.096 – 62.5) = 76.596 El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias 4. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por C(x)= 400+x+0.3x2, donde x es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a 20 unidades 5. El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=x2 + 400x + 2 000 Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa el resultado? 6. El número de ventas diarias de un producto está dado por 00 00 , x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto. a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la campaña, es decir x=0 a x=20. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 167

b. Si no se inicio una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30) 7. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa de interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años. Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.Ingreso Total Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por Ingreso total = ∫ ( )Problemas 36 1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años. 2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000 dólares por año 3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500 dólares por año 4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) = 24 000e0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el primer año 5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un flujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10 000e0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los primeros dos años. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 168

6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=80e-0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo para los siguientes 10 años.Valor Presente de un flujo continúo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es Valor-presente = ∫ ( ) Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempoValor Futuro de un flujo continúo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es Valor-futuro = ∫ ( )Problemas 37 1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t) = 9 000e0.12t (dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre a. El Ingreso total Por definición el ingreso total esta dado por ( ) ∫ , por datos f(t) = 9 000e0.12t y k = 10 remplazando . (0. ) . 000 000 0. 000 . . 0 (0. ) 000 0. 0 . ( ) . ( ) 000 000 . ] 000 . ] 00 El ingreso total del flujo continuo f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 249 009 dólares por año Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 169

b. El valor presente . . . . (0.0 ) 000 000 000 0.0 000 . . 0 (0.0 ) 0000 0.0 0 . ( ) . ( ) ) ) 0000 0000( . 0000(0. El valor Presente del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 123 318 dólares c. El valor futuro . ( ) ( ) ( ) ( . )( ) 00 El valor futuro del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 224 700 dólares2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 12 000e0.04t (millones de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa del 8% compuesta encuentre para los próximos 8 años a. El Ingreso total Por definición el ingreso total esta dado por ( ) , por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t y k = 8 remplazando . 000 . (0.0 ) 000 0.0 000 . . (0.0 ) 00000 0.0 0 . ( ) . ( ) 00000 00000 . ] 00000 0. ] Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 170

El ingreso total del flujo continuo será de 113138 millones de pesos b. El valor presente Por definición el ingreso total esta dado por ( ) , por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando . . 000 . 000 . ( 0.0 ) 000 0.0 000 . ( 0.0 ) 0.0 . . ( ) . ( ) 00000 00000 0 00000 0. ] 00000 0. ] . El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 millones de pesos c. El valor futuro Por definición el ingreso total esta dado por ( ) , por datos ∫ ( ) . , r=0.08 y k=8, remplazando ( ) . ( ) . ] . ( . ) 0 El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806 millones de pesos3. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares por año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente, encuentre este valor presente Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 171

4. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 1 000e0.02t, en millones de pesos por año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto continuamente, para los próximos 4 años, encuentre a. El valor presente b. El valor futuro 5. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por f(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los próximos 5 años calcule: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 6. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual es el tiempo t está dada por f(t) = 97.5e-0.2(t+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las prensas durante los siguientes 10 años. 7. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de ropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por G(t)=30 000 (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por G(t)=21 600e0.08 (miles de pesos por año) . La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra.Superávit de Consumidor Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 172

El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta.Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Losconsumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio másbajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p 1 se conocecomo superávit del consumidor cuya fórmula está dada por ( ), donde f(x) es la demanda, p1 es el precio de equilibrio y x1 es la cantidad en equilibrio,p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieroncomo ingreso.Problemas 381. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor? Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1 Remplazando 00 00 0 , 0 Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es 00 0 00 ln( ) 0 00 ln( ) ln( )] 0 00 . 0] 0 0 0 0 El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares 2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p = x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 173

Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad ( ) 0 0 Factorizando ( )( ) 0 Ósea que 0, o 0, Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la ecuación de la oferta , Entonces el precio de equilibrio , como la demanda ( ) , remplazamos en la ecuación ∫ ( ) ( )( ) Resolviendo ( ) 0 0 ( ( )) ( (0)) 0 ( . ) ( . ) 0 . El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9. ¿Cuál es el superávit del consumidor?4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40. ¿Cuál es el superávit del consumidor?5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?6. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?7. La función demanda de cierto producto es p = 81 – x2 y la función oferta es p = x2 +4x + 11. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 174

8. La función demanda de cierto producto es p = 49 – x2 y la función oferta es p = 4x + 4. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.Superávit del Productor Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p1 y la curva de la oferta x=0 y x=x1 da como resultado el superávit del productor. Si la función de la oferta es p = g(x), el superávit de productor esta dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x1. ( ) , p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio.Problemas 39 1. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el precio de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor? Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio de equilibrio en la función oferta 0 0 0 Factorizando 0ó 0. La cantidad en equilibrio es 0 La función oferta es ( ) , remplazamos en ∫ ( ) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 175

( )( 0) ( ) Resolviendo 0 0 0 ( 0) (0) 0 0 ( 0) (0) (0) 0 . 0] . El superávit del productor será de 2766.67 dólares2. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta Despejando 0 0 Factorizando ( )( 0) 0 Ósea que 0, o2 0 0, Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la función demanda , Entonces el precio de equilibrio , como la oferta es ( ) , remplazamos en ∫ ( ) ( )( ) ( ) Resolviendo 0 0 0 0 ( ) ( ) (0) (0) 0 ( . 0) El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 176

3. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el precio de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor?4. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit del productor cuando se venden 15 unidades?5. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 49 – x2 y su función oferta es p = 4x +4.6. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 12/(x + 1) y su función oferta es p = 1 + 0.2x7. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p =110 – x2 y su función oferta es p =2 -6/5x +1/5x2.8. La función de la demanda para un producto es y la función oferta es p = x +1. Encuentre el superávit del productor.9. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y la función oferta es 00 , si la cantidad en equilibrio es de 31 unidades encuentre: a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor10. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida a. D: p= 15 -2x b. D: p=17 – 0.5x O: p=3 + x O: p= 5+0.3x Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 177

INTEGRACIÓN POR PARTESLa integración por partes es una técnica de integración donde se usa una fórmula que seorigina de la regla del producto para la derivada ( . ) . . ( . ) . ( . ) ( . ) .La integración por parte es muy útil si la integral que se trata de calcular se puedemanejar como el producto de un función u y el diferencial dv, de una segunda funciónde modo que se pueda encontrar las dos integrales ∫ y∫Ejercicios 50Integre 1. ∫ Hacemos u=x y dv=exdx entonces du=1dx y v=ex remplazando en la fórmula 2. ∫ ( ) Hacemos u=ln(x) y dv=xdx entonces du= y v= remplazando en la fórmula ln( ) ln( ) ln( ) 3. ∫ ln( ) Hacemos u=ln(x2) y dv=dx entonces du= y v=x remplazando en la fórmula ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) 4. ∫ Hacemos u=x2 y dv=e2xdx entonces du=2xdx y v= e2x remplazando en la fórmula Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 178

Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx entonces du=dx y v= e2x remplazando ( ) 5. ∫ Hacemos u=x2 entonces du=2xdx y dv=x( ) dx entonces v= ( ) remplazando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Problemas 40 1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas? Debemos hallar ( ) . 000 ( ) . 000 . . Hacemos entonces y entonces , . aplicando la formula de integración por parte ∫ . ∫ Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 179

( ) . . . 000 000 ( ) 0. 0. ( ) . . 000 ∫ ] . . ( ) . . 000 ( )] 0. 0. 0. La ecuación general es ( ) . . ] . Para S(0)=0 . ( ) . ( ) 0 000 (0) )] 000( ) 00000 0. Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular ( ) . . ] . Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemos t=4 ( ) . ( ) . ( ) ( ) ] . ( ) . Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147 juegos2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza para los próximos 2 años. La fórmula del valor presente es ∫ ( ) donde y 0.0 remplazando . . . ( 00000 00 ) 00000 00 . . ∫ 00000 00 ∫ (1) . Resolvemos la integral ∫ integrando por parte. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 180

. . Hacemos entonces y entonces . Aplicando la fórmula ∫ . ∫ . . . 0.0 0.0 . . . 0.0 0.0 . . . 0.0 0.0 Integrando . . . 0.0 0.0 0.0 . . . . 0.0 0 . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( ) . (0) . 0.0 0.0 ( ) . . . . entonces ∫ . Integramos . 00000 . . ( ) . ( ) 00000 ( ) 0000( ) 0.0 0 . . ( ) . ( ) 00000 0000( ) 0. Remplazando en (1) . . 00000 00 0. 00( . ) 0. El valor presente de la pieza para los próximos 2 años será de 558960.793. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus productos es ´( ) 00 . 0 . , dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades4. Si la función oferta para x unidades de una mercancía es p=30 + 50 ln(2x +1)2 pesos ¿cuál es el superávit del productor en x=30? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 181

5. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t)=10 000 – 500t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años.6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por f(t)=280 000 -14 000t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina los próximos 8 años.7. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo de ingreso con una tasa anual dada por f(t)=100te-0.1t , en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10 años.8. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país esta dada por y = xe (x-1) Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso9. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por 000ln ( 0) ´( ) ( 0) , donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $2000, determine la función costo Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 182

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Notas de clase cálculo diferencial marzo-2012

by Jose Francisco Barros Troncoso

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