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Notas de clase cálculo diferencial 2013-2

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Este es un trabajo fruto de más de 20 años de experiencia en la labor docente

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  • 1. Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”
  • 2. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 Cálculo diferencial 2 Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso Febrero 12 de 2013
  • 3. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 Cálculo diferencial 3 CONTENIDO Introducción 5 FUNCIÓN Pareja Ordenada 7 Producto Cartesiano 7 Intervalo 8 Relación 11 Función 13 Representación de una Función 13 Función Inversa Funciones Pares e Impares Raíces e Interceptos Función Creciente y Decreciente Función Acotada Concavidad y Convexidad Dominios y Rangos 20 21 23 25 26 27 27 Notación Funcional 29 Algebra de Funciones 33 Gráfica de Funciones 37 Gráfica de funciones con tecnología 38 Función Lineal 44 Ecuación de la recta 44 Función Cuadrática 55 Modelación de la función cuadrática 61 Funciones con tecnología 62 Función Polinómica de Grado Superior a dos 63 Función Exponencial 65 Función Logarítmica 68 Tipos de logaritmos 68 Modelación de las Funciones Exponenciales 72 Funciones con tecnología 77 Función Cociente 78 Función por Parte o por Trozos 81 Función Valor Absoluto 88 Funciones trigonométricas 90 INCREMENTO Y TASAS 92 LIMITE 100 Limites Laterales 100 Propiedades de los límites 101 Limites Indeterminados 101
  • 4. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 Cálculo diferencial 4 Continuidad en un punto 102 Limites de las funciones definidas por partes 103 Limites Infinitos 107 Limites con Tecnología 111 LA DERIVADA Tasa de cambio promedio 112 Tasa de cambio instantánea 113 Pendiente de la recta 113 Derivada 113 Fórmulas de la Derivada 115 Regla de la Cadena y de la potencia 123 Derivadas de Orden Superior 128 Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la primera derivada 129 Prueba de la segunda derivada 130 Derivada de las Funciones Logarítmicas 141 Derivada de las Funciones Exponenciales 144 Derivada de las Funciones Trigonométricas 149 Derivada Implícita 151 Elasticidad en la Demanda 155 DERIVADAS PARCIALES Funciones de dos o más Variables 159 Diferenciación Parcial 163 Costo Conjunto y Costo Marginal 165 Productividad Marginal 169 Funciones de Demanda 170 LA INTEGRAL Antiderivada 173 Integral Indefinida 173 Reglas de Integración 174 Integración por sustitución 178 Regla de la Potencia para la Integración 179 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales 185 Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas 189 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo 195 Aplicaciones del Cálculo Integral en la Administración y en la Economía Valor promedio 200 Ingreso Total 202 Valor Presente y futuro un flujo continuo de ingreso 203 Superávit de Consumidor 207 Superávit del Productor 209
  • 5. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 5 Cálculo diferencial 5 Integración por Partes 212 BIBLIOGRAFÍA 217 INTRODUCCIÓN El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
  • 6. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 6 Cálculo diferencial 6 FUNCIÓN En la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamiento de dos o más variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemáticas que representen el comportamiento de los agentes económicos En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: En consecuencia: Cantidad de Producción - Costo Asociado Cantidad Comprada – Precio Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario Distancia – Tiempo Producto Cartesiano Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: Pareja Ordenada Conjunto de números de Una pareja ordenada consiste en dos elementos la forma , de los cuales designa el primer elemento o componente, y el segundo. Dos parejas ordenadas y son iguales si y solamente si y
  • 7. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 7 Cálculo diferencial 7 1 1 2 2 3 4 5 La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. Gráficamente Ejemplo 2: Sean Su representación geométrica es: b a P(a,b)
  • 8. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 8 Cálculo diferencial 8 A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. INTERVALOS Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Finitos  Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b} Gráficamente  Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x / a x b} Gráficamente  Semi-abierto o semi-cerrado (a , b] = {x a x b} [a , b) = {x a x b}  Intervalos Infinitos: (a ∞ x / x > a} [a ∞ x x ≥ a} (-∞ a x / x < a} ∞-∞ a b ∞-∞ a b ∞-∞ a b ∞-∞ a b ∞-∞ a ∞-∞ a ∞-∞ a
  • 9. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 9 Cálculo diferencial 9 (-∞ a] x x a} Ejercicios 1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x) 2. Sean y a. Calcular b. Representar gráficamente 3. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A. 4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica a.(1,3) b. (0,3] c. [- ∞ d.(-∞ e.[-0.5, 4.5) f.( ] [ ) ( ∞) 5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ∞ calcular y representar gráficamente a. A n B b. B - A c. Cc d. Ac n Bc e. (A - B)c – C 6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen: a. Su unión (-8,2] b. Su intersección [-3, 1) c. Su diferencia (-∞ d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales 7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica? ∞-∞ a
  • 10. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 10 Cálculo diferencial 10 x y (100,3800) (0,-200) (2.53, 0) (197.46, 0) Unidades Vendidas Utilidad 8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a 0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg) a. Exprese cada condición en forma de intervalo. b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg 9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. a. ¿Qué significa la condición 0 ? b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo 10.La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto producto Determine el o los intervalos a. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué?
  • 11. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 11 Cálculo diferencial 11 Relación Regla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad. b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué? c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué? d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué? Ejercicios 1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación: a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda. 2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37) 3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación. Problemas Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular 1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el precio disminuye en US$ 4 dólares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si se demandan 5 unidades. 2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada año se deprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehículo a los cinco años de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y la segunda el precio.
  • 12. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 12 Cálculo diferencial 12 3. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. 0 4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 0 0 5. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas 6. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. 7. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto. 8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I). 9. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por 00. Si la primera componente representa la cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la producción. Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota f: A B x y=f(x) Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.
  • 13. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 13 Cálculo diferencial 13 variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de” “ser la cuarta parte de” “ser el siguiente de” “ser el doble de… más unidades” etc Ejercicios Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa una función? 1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? 2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? 3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? 4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? 5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior no consecutivo? Problemas 1. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades que se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500 unidades 2. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas sagital, como graficas cartesianas y por formulas.
  • 14. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 14 Cálculo diferencial 14 3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 4. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas 5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el salario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, precio de cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Ejercicios 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 2. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208 3. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
  • 15. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 15 Cálculo diferencial 15 Ingresos (millones) 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15 4. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fracción de artefactos que funcionan 0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33 5. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días que lleva trabajando en una empresas de informática Días 1 5 10 15 20 25 30 45 60 Número de Computadores 1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5 En forma de Diagramas Sagital o de Venn Euler son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Ejercicios 1. 2. A B f 1 2 3 4 1 4 9 16 A B f 1 2 3 -2 1 4 9
  • 16. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 16 Cálculo diferencial 16 f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, 4} El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} Si en una función el co-dominio es igual al recorrido se dice sobreyectiva f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, -2} El Co-dominio de f {1, 4, 9} El Recorrido de f{1, 4, 9} f es sobreyectiva 3. 4. f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3} El Co-dominio de f {1, 4, 9,16} El Recorrido de f{1, 4, 9} f no es sobreyectiva f no es una función porque hay un elemento A que no tiene imagen en B 5. 6. f no es una función porque hay un elemento A que no tiene dos imágenes en B f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} A B f 1 4 9 16 1 2 3 A B f 1 2 3 1 4 9 16 f A B 1 4 16 1 2 -2 4 f A B 1 2 3 4 1
  • 17. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 17 Cálculo diferencial 17 Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constante En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos. Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la grafica, esta no representa a una función. Es función No es función Es función Es función No es función Es función x y x y x y x y x y x y
  • 18. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 18 Cálculo diferencial 18 Inyectiva sobreyectiva Inyectiva Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas y trascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas Polínomicas Lineales x y x y x y x y f(x)=x^2, x>=0 Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica de una función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno y si la corta en más de un punto se llama sobreyectiva Si una función, como la que se muestra en la gráfica, una parábola donde se considera únicamente la parte positiva del dominio, es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva
  • 19. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 19 Cálculo diferencial 19 Cuadráticas Polinomiales Racionales Irracionales Polínomicas Por trozos, (por sección o por partes ) ≥ Las trascendentes Logarítmicas log Exponenciales 00 Trigonométricas cos Esquemáticamente Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1 (x) se obtiene expresando la función x= g(y).
  • 20. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 20 Cálculo diferencial 20 f f:A B f-1 f -1 :B A Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la función original, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funciones tienen inversa. Ejercicios Obtener la función inversa de cada función 1. y=4x + 1 Despejando Graficas 2. y=x2+1 Despejando Gráficas 3. Despejando Gráficas 4. Despejando Gráficas x y y=4x+1 x=(y-1)/4 x y y=x^2+1 x=(y-1)^(1/2) A B x y=f(x) B A y=f(x) x
  • 21. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 21 Cálculo diferencial 21 5. 6. 7. 8. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar es simétrica respecto al origen Ejercicios En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ninguna de las anteriores 1. f(x)=x2  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como f(x)=x2 (-1)2=(1)2 1 = 1 Por lo tanto f(x)=x2 es par  Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x2 (-1)2=-(1)2 1 = -1 Por lo tanto f(x)=x2 no es impar Gráfica 2.  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Gráfica x y y=(x+3)/(x-2) x=(3+2y)/(y-1) x y y=(x-1)^(1/2) x=y^2+1          x yy = x^2 Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).
  • 22. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 22 Cálculo diferencial 22 Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como ( )= ( ) - 1 = 1 Por lo tanto no es par  Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como ( )= - ( ) -1 = -1 Por lo tanto es impar 3. 4. f(x)=x3 5. f(x)=2x 6. f(x)=4x2-2x Ejercicios Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar 1. 2. 3. 4.             x y             x y y = 3x-x^3           x y
  • 23. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 23 Cálculo diferencial 23 Raíces e Interceptos            x y y = 4x^5+3x^3-2x             x y             x y y = x^3-4x Raices                 x y y = x^3-6x+3 Intercepto Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada (y) Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la grafica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".
  • 24. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 24 Cálculo diferencial 24 Ejercicios Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen) 1. f(x) = x2-2x-3 Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x1-3=0 por lo que x1 = 3 y x2+1=0 por lo que x2=-1 Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x1 = 3 y x2=-1. Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-3 Por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-3 Gráfica 2. f(x)=x(x3-1) Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1 Gráfica 3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. 6. f(x)=Ln(x-1)                x y Raices Interceptos       x y Interceptos Raiz
  • 25. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 25 Cálculo diferencial 25 (-∞ -1) (1, ∞(-1,1) Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y).
  • 26. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 26 Cálculo diferencial 26 Acotada Superiormente Acotada inferiormente Acotada No acotada       x y(x,y) = (0,1) Cota Superior    x yy = x(x^3) Cota Inferior          x yy = 2^(1-x^2) Cota Superior Cota Inferior       x yy = x(x^2-1) Función Acotada Una función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todo x, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotada inferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f x ≥ b. Al número b´ se le llama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente y inferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f x b
  • 27. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 27 Cálculo diferencial 27 Una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Concavidad y Convexidad Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.       x y Concava         x y Convexa Una función es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.
  • 28. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 28 Cálculo diferencial 28 Ejercicios Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: 1. Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero 0 Despejamos x Si remplazamos x en la función original obtendremos 0 Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-{ } 2. Como la función se hace indeterminada si el radicando es menor que cero 0 Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R- ∞ DOMINIOS Y RANGOS Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales. En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números reales excepto:  Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero.  Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo.  Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a cero.
  • 29. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 29 Cálculo diferencial 29 3. Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero 0 Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-[ ∞ ] 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Ejercicios 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2 3. Determine f(x + h) si Imagen de una Función Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x” Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).
  • 30. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 30 Cálculo diferencial 30 a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2 d. f(x) = entonces f(x + h) = Nótese que donde esta x se escribe x + h 4. Dado encuentre con h 0, simplificando a su más mínima expresión a. f(x)= 2x Remplazamos b. f(x) = x2 Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Simplificado Factorizando Simplificando Ejercicios 1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2) Ejercicios
  • 31. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 31 Cálculo diferencial 31 Dado encuentre con h 0, simplifique hasta su forma más simple 1. f(x) = x + 1 2. f(x) = 3x + 2 3. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3 Problemas 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra? Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x) C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares. Para 100 unidades x=100 C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares 2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por N(t) = -t3 + 6t2 + 15t 0 t ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra? 3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares por unidad se describe por medio de
  • 32. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 32 Cálculo diferencial 32 00 a. Determine el precio si se demandan 4 y 8. b. Compare los resultados ¿qué encuentra? 4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Qué encuentra? 5. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008? 6. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare e intérprete los resultados 7. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de p p pC   100 7300 )( Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados 8. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por C(x)= ( 0 x 00) a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución 9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante
  • 33. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 33 Cálculo diferencial 33 000 0 Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación Ejercicio Dados f(x) y g(x) encuentre:  (f + g)(x),  (g - f)(x),  (g * g)(x),  (f  g)(x),  (f  g)(x) 1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/o simplificable se deja indicada  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1 2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = ,  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 - 2x + 1 Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x) e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]
  • 34. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 34 Cálculo diferencial 34 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 1 3. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 2 4. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4 5. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 1 6. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 2 7. f(x) = y g(x) = x+1 8. f(x) = y g(x) = Problemas 1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la producción y la venta de x unidades. Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000 La función ganancia sería b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué encuentra? Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000 Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0 Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500 Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500 2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g, donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde 0 Determine (g o f) ¿qué encuentra? 3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor Por dato G(x) = 150x - 15000
  • 35. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 35 Cálculo diferencial 35 Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p) La expresión del gasto del consumidor sería b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000 A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor 4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t) dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representa f(t)/g(t)? 5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t) 6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t) 7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos de publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la función f  g 8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se define como: Suponga que el costo total de una compañía se obtiene 000 0 a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra Gc = 10 000p – 10p2
  • 36. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 36 Cálculo diferencial 36 9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre a. La función compuesta (P o x)(t) b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es 10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – 0.5q. Encuentre a. La función compuesta (I o p)(q). b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c. Compare los resultados que encuentra
  • 37. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 37 Cálculo diferencial 37 GRÁFICA DE FUNCIONES Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa. Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda. Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0) Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le corresponde precisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar también como parejas
  • 38. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 38 Cálculo diferencial 38 ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y). La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función dada La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada función en el intervalo entero indicado 1. 0 ] 2. ] 3. ] 4. ] 5. ] 6. ] 7. ] Si x < 1 8. 2x2 + 1 Si x ≥ Grafica de una Función con Tecnología Con Excel 2007 1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos. 10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.
  • 39. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 39 Cálculo diferencial 39 11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato. Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 2. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas 3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft 4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica 5. Seleccione la carpeta Gráfica 6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianas estén activadas. 7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos, digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica 8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior 9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y Aceptar. Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments 1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Con en el Winplot El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar  Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente.  Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.
  • 40. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 40 Cálculo diferencial 40  Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala  Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir  Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.  Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.  Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo  Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.  Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste  Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala  Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar  Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar  Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear
  • 41. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 41 Cálculo diferencial 41 TALLER DE GRÁFICOS Responda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular 1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0.15x. a. ¿Cuál es el valor de de la propiedad a los 60 meses de uso? b. ¿Cuál es el valor de de la propiedad los 10 años de uso? c. ¿Cuántos años pasan para que la propiedad se deprecie por completo? Explique 2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2                       x y Valor(Millones de Pesos) Meses
  • 42. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 42 Cálculo diferencial 42 a. ¿Cuál es la máxima productividad que se puede obtener? b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? ¿qué decisión tomaría al respecto? c. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que puede producir? Justifique su respuesta 3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 a. ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? De una explicación c. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener? d. ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede vender? Explique           x y y = 60x-x^2 Utilidad Unidades Producidas             x y (x,y) = (614,0) Cantidad Vendida Ingreso Cantidad Vendida
  • 43. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 43 Cálculo diferencial 43 4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por P t 0 0e0 t e0 t a. A la semana ¿qué porcentaje de conocimiento recuerda? b. ¿En cuántos meses recuerda el 40% del conocimiento? c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada 5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) a. ¿cuál es el precio si se ofertan 10 unidades? b. ¿Cuántas unidades se deben ofertar a un precio de $260 dólares? c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada                            x y Semanas Conocimientos Recoordados Semanas                           x y Unidades Precio
  • 44. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 44 Cálculo diferencial 44 6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según y x 00x x 0 a. ¿cuál es el volumen de ventas si se invierten 10 mil dólares en publicidad? b. ¿Cuánto se debe invertir en publicidad para obtener 150 mil dólares en venta? c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada FUNCIÓN LINEAL La gráfica de una función lineal es una línea recta Ecuación de la Recta Toda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde , b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y , m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje la abscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10 unidades                          x y Volumen de Ventas Gastos de Publicidad (Miles de Dólares) Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su variable independiente
  • 45. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 45 Cálculo diferencial 45 En economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir, su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamente como: Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Es decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivel de producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan la pendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) la ordenada en el origen. La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por: m = y2 – y1 x2 – x1 Se pueden presentar las siguientes situaciones:  m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha.  m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda  m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa.  Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es: y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por: ax + by + c = 0 Ejercicios 1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes funciones: a. y = 2x + 1 b. y = -2x – 1 c. 3x + 4y = 12 d. 2x – 3y = 12 2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (2,1) y (3,-4) b. (3,2) y (-4,2)
  • 46. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 46 Cálculo diferencial 46 c. (3,4) y (3,-1) 3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6) 4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6 b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 8 5. Escriba la ecuación de la recta que: a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1. Problemas 1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a. Halle la pendiente ¿qué significa? Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es: 00 000 000 000 00 000 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad. b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación , remplazando
  • 47. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 47 Cálculo diferencial 47 000 000 000 00 00 000 00 c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así: 0 00 , despejando 00 00 000 ó 000                               x y Precio Unidades Dem andadas
  • 48. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 48 Cálculo diferencial 48 f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación 00 00 0 00 0 , a $4500 se demandarían 4250 unidades g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando 0 00 , despejando 0 00 0 0 0 ó 0 , es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520 2. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km. recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine: a. La ecuación Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Relacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos) como x, por datos  Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500  Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800 Remplazando y = 800x + 1500 b. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros? x = 5 entonces, y = 800(5) + 1500 y=4000+1500 y=5500 Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500 c. ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar? y = 7 900 entonces, 7900 = 800x + 1500
  • 49. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 49 Cálculo diferencial 49                     Costo(c) Número de Hornos (x) 7900 - 1500= 800x 6400= 800x 00 00 =x X=8 Con $7900 se puede desplazar 8 Km. 3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la función es lineal determine: a. La expresión que representa el costo en función del número de hornos Las variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c) Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000). Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente: 000 000 00 000 000 00 Entonces Remplazando en la ecuación obtenemos: 000 000 000 000 Por lo tanto la expresión que representa la función es b. Grafique la función
  • 50. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 50 Cálculo diferencial 50 c. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 y significa que por cada horno que se incremente en la producción los costos se incrementan en 6 dólares. d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos ¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es , donde x=500, remplazando Por lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólares e. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación , c=15 000, remplazando Con 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos 4. El propietario de una pequeña empresa inicia el negocio con una deuda de $100 000. Después de 5 años de operación acumula una utilidad de $40 000. Suponiendo que la función es lineal determine a. La ecuación. b. La utilidad a los 4 años de haber iniciado. c. El tiempo que debe pasar para obtener una utilidad de $152 000. 5. El editor de una revista descubre que si fija un precio de us$1 a su revista, vende 20000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio es de us$1.5 sus ventas serán de 15000 ejemplares. Suponiendo que la ecuación de la demanda es lineal determine a. La ecuación b. ¿Cuántos ejemplares venderá si fija el precio en us$1.2? c. ¿Cuál debe ser el precio si desea vender 25000 ejemplares?
  • 51. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 51 Cálculo diferencial 51 6. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. La relación entre el costo del artículo y la producción genera una función lineal. En cierta empresa si se producen 350 artículos la producción de cada artículo cuesta $993 y si se producen 500 el costo es de $990. a. Halle la función costo b. ¿Cuánto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artículos? c. ¿Qué encuentra? 7. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal que relaciona las temperaturas. ¿cuántos °C equivalen 72°F y cuántos °F equivalen 38 °C? 8. Sea P(x) la producción para cierto articulo y x el dinero invertido. Si se invierten $10.000 dólares se producen 92 artículos; si se invierten $50.500 se producen 497. Suponiendo que la función línea, a. Determine la ecuación de la función suponiendo que la función línea b. ¿Cuántos artículos se producen si se invierten $ 8000 dólares? 9. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal. 10. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5 000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, determine: a.La expresión que representa la función costo C(x) b.El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra? c.El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000. 11. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cada una, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación de la demanda b. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá? c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio? 12. Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar que disminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determine a. La ecuación de la demanda b. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades? c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar? 13. Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine
  • 52. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 52 Cálculo diferencial 52 a. La ecuación de la depreciación b. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo? 14.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000? 15.A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de su producto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determine a. La ecuación de la oferta b. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá? c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender? 16. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal total en 15 años hallar a. La ecuación b. El valor de la máquina en 7 años 17.No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de la demanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares y a qué precio se demandarán 2000 unidades 18. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con un valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo? 19. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle el costo de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra? 20. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cada unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares. a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particular b. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la función c. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?
  • 53. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 53 Cálculo diferencial 53 d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar? e. Grafique la función f. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquela en el mismo plano a la anterior g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo, ¿Qué significa? h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta? 21. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0. 15x. a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses? b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo? 22. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente. a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función? Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres? 23. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa. 24. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total C(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la función ganancia c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades? 25. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal del número h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mes a. Determine la función lineal b. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses? c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantes como máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua?
  • 54. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 54 Cálculo diferencial 54 Modelación de Función Lineal 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 a. Escriba una ecuación lineal de la situación. b. Grafique la función c. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el 2010? d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias vinculadas al proyecto? 2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208 a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación. b.Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000. c.Pronostique a qué precio no venderá nada TALLER 1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientes funciones: a. y =-3x + 2 b. y = 4x – 1
  • 55. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 55 Cálculo diferencial 55 c. 10x + 5y =15 2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (5,-9) y (6,8) b. (8,8) y (4,-4) 3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1 b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2) c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7) d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7. 4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6 b. 16x + 4y = 4; y= x + 7 5. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de $59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es lineal a. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990. b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010 4. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta determinada por esta información. FUNCIÓN CUADRÁTICA La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma y = f(x) = ax2 + bx + c,
  • 56. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 56 Cálculo diferencial 56 , donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo. La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es a b x 2   El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en         a b x 2 y es:        a b f 2 . El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en x yy = -x^2+2x+1 a < 0 x=-b/2a f(-b/2a) V(-b/2a, f(-b/2a)) Máximo Relativo Eje de Simetría Valor óptimo x yy = x^2+2x-1 a > 0 x=-b/2a Eje de Simetría Valor óptimo f(-b/2a) V(-b/2a, f(-b/2a)) Mínimo Relativo
  • 57. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 57 Cálculo diferencial 57 Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen a acbb x 2 42   Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones 1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice 2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría. Ejercicio Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función. y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18x y=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4 y= x2 − 8x + 15 y= x2 − 3x − 28 Ejercicio Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5) La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma y = ax2+ bx + c (Ec1) Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así: Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2) Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c               a b f a b V 2 , 2
  • 58. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 58 Cálculo diferencial 58 20 = 9a + 3b + c (Ec3) Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4) Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5) Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a – b – c 12 = 8a + 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6) Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a – b – c -3 = 3a - 3b Factorizando: -1 = a – b (Ec7) Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 = a – b 5 = 5a despejando Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo Remplazando en (Ec1) la ecuación sería: Ejercicios Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados: (1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0) Problemas Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 5. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x dólares en publicidad del producto, y y = 50x – x2 a = 1 b = 2 c = 5 y = x2 + 2x + 5
  • 59. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 59 Cálculo diferencial 59 a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa? Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x - b a Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando: x b a 0 0 Remplazando en la función original: y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625 Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad b. Halle los interceptos ¿qué significa? Remplazamos a, b y c en la ecuación general x b b ac a 0 0 0 0 0 0 0 , encontramos 2 raíces x 0 0 0 y x 0 0 00 0 Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad c. Grafique la función               x y (25,625) Publicidad Unidades
  • 60. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 60 Cálculo diferencial 60 6. La función demanda ara cierto producto está dada por 00 , donde es el precio (en miles de pesos) por unidad cuando se demandan unidades. Si el ingreso total es el producto del precio por la demanda, determine: 2. El número de unidades que maximiza el ingreso. 3. El ingreso máximo. 4. La máxima cantidad de unidades que se pueden demandar ¿por qué? 5. Grafique la función 7. La función costo de un fabricante es C (x)= 1000 + 5x – 0.1 x² dólares, cuando se producen x unidades de cierto producto al día. a.Halle el valor óptimo ¿qué significa? b.Grafique la función 8. Los ingresos mensuales de cierta fabrica de llantas se pueden calcular mediante la expresión F(x)=2x2 - 100x – 20 , donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en miles de pesos. a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra? b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra? c. ¿Cuántas llantas se debe vender para que los ingresos sean de 180 miles de pesos? d. Grafique la función e. Interprete la gráfica 9. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina fotocopiadora son de R(x) = -0.04x2 + 2000x , pesos por semana a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. ¿Cuántas copias debe vender para obtener ingresos de 20000 pesos por semana? c. Determine los interceptos ¿qué significan? d. Grafique la función 10. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2
  • 61. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 61 Cálculo diferencial 61 a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Grafique la función c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener una utilidad de 40 millones de pesos 11. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por P= 0.125x2- 0.5x + 15 , donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, ¿qué significa? 12. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es P(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000 , dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mínimo y que significa. 13. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función. 14. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es 0 00 ¿Qué cantidad de unidades maximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función. 15. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción posible? Grafique la función. 16. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de 1001.016 2  xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? 17. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es 2004.080 2  xxP ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible?
  • 62. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 62 Cálculo diferencial 62 18. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2 determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?) c. Grafique la función 19. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por U(x)=130+80x-x2 millones de pesos. Determine a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función 20. La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x, en millones de pesos viene dada por 0 00 0 a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función Modelación de Función Cuadrática 1. Sabemos que la función tiene un máximo en el punto (3,8), halle los valores de “a” y “b” 2. Se estima que la cantidad de desperdicios echados a un río es una función cuadrática del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 días, y 20.8 ton después de 8 días, hallar la cantidad tirada en t días. 3. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados a. Encuentre la ecuación b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el ingreso mínimo. c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla d. Trace la gráfica Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingresos (millones) 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15
  • 63. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 63 Cálculo diferencial 63 4. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresa para varios años a. Encuentre las ecuaciones:  De ingreso por venta con respecto al número de años  De costos y gastos con respecto al número de años b. Use la función para:  Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que se pronostica c. Trace la gráfica de la función Costos y Gastos d. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o decrecientes? Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones: f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2x Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingreso x venta 2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7 Costos y gastos 2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9
  • 64. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 64 Cálculo diferencial 64 TALLER 1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función. a. y = 2x2 + 3x – 1 b. y = 3 – x - 3x2 2. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3) 5. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 00, donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine. a. El eje de simetría b. El valor óptimo ¿qué significa? c. Los interceptos ¿qué significa? d. Grafique la función. e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100? 6. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio. La función que describe esta relación es 00 0 , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a. Escriba la expresión que representa el ingreso b. El eje de simetría c. El valor óptimo ¿qué significa? d. Los interceptos ¿qué significa? e. Grafique la función. f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.
  • 65. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 65 Cálculo diferencial 65 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función. En la Economía... Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. Problemas 1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en dólares por unidad) está dado por 0 00 , donde q 0 a. Halle la función costo total b. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidades c. Interprete los resultados 2. Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en miles de pesos), cuando se producen que cientos de unidades está dada por C(q)= 2q³- 9q² +12 q + 20 La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n-ésimo grado.
  • 66. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 66 Cálculo diferencial 66 a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades ¿qué encuentra? b. Grafique la función en el intervalo [0,5] 3. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividad después de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función 4. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es 0 0 Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función 5. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué significa? 6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión y = 3x + 8x2 - x3 a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra 7. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 , donde x son las unidades vendidas. a. Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidades b. Compare los resultados ¿qué encuentra? 8. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3 a. Calcule C(100) ¿Qué significa? b. Calcule C(200) ¿Qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?
  • 67. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 67 Cálculo diferencial 67 9. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Calcule el costo de producir 1000 jeans. c. Calcule el costo de producir 2000 jeans. d. Compare los resultados ¿qué encuentra? 10.La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para una empresa, está dada por C(x)= 300x-10x2- a. Calcule el valor de producir 100 unidades b. Calcule el costo de producir 200 unidades c. Compare los resultados ¿qué encuentra? FUNCIÓN EXPONENCIAL Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es donde ℮ es un número irracional fijo aproximadamente … . Si es un número real talque 0 y , entonces la función f(x) es una función exponencial
  • 68. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 68 Cálculo diferencial 68 Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse. Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento exponencial. Ejercicios Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales) 100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3 e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2 Problemas 1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra? 2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente 3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra?
  • 69. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 69 Cálculo diferencial 69 4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de , donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que i= ) 5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda? 6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por 0000 00 . Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años. 7. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión 0 00 a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días después del lanzamiento del comercial. b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas 8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los artefactos? 9. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada por D(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0) Grafique la función y responda a. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año? b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.
  • 70. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 70 Cálculo diferencial 70 10. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después de t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula 0 000 Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años 11. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de Donde t es el número de años que han pasado desde 1975. a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990 b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos llegará a 20 000. 12. Una organización de investigación de mercado afirma que si una compañía gasta x millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función 0 , donde P se expresa en millones de pesos. a. ¿Cuál será la utilidad cuándo se gasta 2 millones (x=2), 4 millones (x=4) y 6 millones (x=6)? b. Compare los resultados ¿qué encuentra? FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. log Donde a Є R, a 0 y a a se denomina base del sistema de logaritmos. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
  • 71. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 71 Cálculo diferencial 71 Un logaritmo no es otra cosa que un exponente. Propiedades log 0 log log log log log log log log log log log log ln Ejercicios Escriba cada ecuación en forma exponencial 4 = log2 16 4 = log3 81 log log Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log log log log Ejercicio Escriba cada expresión en forma logarítmica 25 = 32 53 = 125 4-1 = 91/2 = 3 Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln x
  • 72. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 72 Cálculo diferencial 72 Ejercicio Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes log Ln (x + y)(4x + 5) log Ejercicio Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 2x – 1= 5 log log 5(3x+2) – 1 = 14 ln ln log log log 0 0 0 0 0 Ejercicio Use la calculadora para determinar ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Problemas 1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es X=5000 – 1000 ln(p + 40) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares Si p=5, x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8) x= 5000-3806.66=1193.33 Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades Si p=10 x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91) x= 5000-3912.02=1087.97 Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades.
  • 73. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 73 Cálculo diferencial 73 Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas disminuyen de 1193 a 1088. 2. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x es 0 00 0 ln a. Determine el costo promedio de realizar la tarea con 3, 6 y 9 personas. b. Compare los resultados ¿qué encuentra? 3. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por 00 ln 00 00 a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra. b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares semanales en publicidad. 4. Digamos que la función demanda para un producto está dada por 00 ln a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4? 5. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares? 6. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado
  • 74. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 74 Cálculo diferencial 74 7. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1). a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares 8. La función demanda de un producto está dada por p = donde p es el precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra? 9. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos? 10. La ecuación de demanda para cierto producto está dada por , donde es el precio por unidad en miles de pesos y las unidades demandadas. Calcular a. El precio si se demandan 500 unidades R/9.09 miles de pesos b. ¿Cuántas unidades se demandan si el precio es de 5 mil pesos. R/Aproximadamente 1099 unidades 11. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelar por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura al momento de servirlo? ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomado T=120 °F? 12. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden en t horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos las primeras 48 horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos? 13. La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante la función f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por día después de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día? 14. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 0000
  • 75. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 75 Cálculo diferencial 75 , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000. 15. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la ecuación Donde x es el número años transcurridos desde 1990. a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la población de 1990. b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008? 16. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión 000 0 t 0 Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $10000 17. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de computadora después de t años de uso sea P(t)=100(1 – e-0.1t) Grafique la función y responda lo siguiente a. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos. Modelación de las Funciones Exponenciales 1. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine a. La expresión que representa la función
  • 76. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 76 Cálculo diferencial 76                  x y NumerodeEjemplares(x) Tiempo (meses) La función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando 000 0000 000 0000 0 ln 0 ln 0 ln Por lo tanto Es decir que la función es de la forma Grafique la función b. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares c. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando 00 0000 00 0000 0 0 0 0 0 0 Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares.
  • 77. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 77 Cálculo diferencial 77 2. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $ 100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es: (Ec1) , donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar así Remplazando 00 , aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad ln ln 0 0 , entonces k=0.05 Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 00 Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando 00 Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones 3. Los sicólogos en ocasiones usan la función , para medir la cantidad L aprendida en el tiempo t. E número A representa la cantidad que debe aprenderse y k mide la tasa de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprenderse una cantidad A de 200 palabras de vocabulario de vocabulario. Un sicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras en 5 minutos. a. Determine la tasa de aprendizaje k b. ¿Aproximadamente cuántas palabras aprenderá en 10 minutos? c. ¿Cuánto tiempo toma aprender 180 palabras? 4. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008? 5. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Su valor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuál será el valor de la maquinaria en cuatro años
  • 78. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 78 Cálculo diferencial 78 6. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110 517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población, calcule la población en el 2015. 7. La presión atmosférica como función de está dada por la fórmula donde y son constante, es la altura y es la presión en función de la altura. Si en el barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 1000 pies. 8. El azúcar se descompone en el agua según la fórmula donde y son constante. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos e 4 horas ¿cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar. TALLER TEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica
  • 79. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 79 Cálculo diferencial 79 1. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmica Potencia Logarítmica Potencia Logarítmica 54 2. Escriba cada ecuación en forma exponencial Logarítmica Exponencial Logarítmica Exponencial log3 27=3 log3 243=5 log log = 3. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial Expresión Valor de x Expresión Valor de x log log log log 4. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes Expresión Equivalencia ln ln ln 5. Use la calculadora para determinar
  • 80. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 80 Cálculo diferencial 80 Expresión Resultado Expresión Resultado ln ln ln ln 0 ln ln 0 ln ln ln 6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 0000 , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar: a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000. Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones: f(x) = 2(x3) f(x) = 3-2x f(x)= e-x f(x) = 50(1+e10x) f(x)= f(x)=14.1 ln(x) f(x)=ln (x-3) f(x)= f(x)= FUNCIÓN COCIENTE
  • 81. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 81 Cálculo diferencial 81                 x y Problemas 1. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dada por: , donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de computadores que ensambla. a. Grafique la función b. ¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadores ensamblará al mes? Para t=1, El primer día ensamblará 1 computador Para t=30 (un mes) 0 0 0 0 En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores. c. ¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores? Aquí f(t)=3 Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por , es otra función definida donde g no puede ser igual a 0 por que tendríamos una indeterminación.
  • 82. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 82 Cálculo diferencial 82 Por lo tanto en 5 días esta ensamblando 3 computadores 2. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será 0 dólares Determine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después de haber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra?. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 4. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función 00 0 00 , donde x son las unidades demandadas. a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidades b. Compare los resultados que encuentra c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 5. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: 0 Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitación. Compare los resultados ¿qué encuentra? Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.
  • 83. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 83 Cálculo diferencial 83 6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según x ≥ 0 a. Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dólares en publicidad ¿se duplican las ventas? b. ¿Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mil dólares? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 7. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 0 000 000 a. Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la población b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes? c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 8. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. c. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes laborando? d. Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble sea de 15 minutos e. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.
  • 84. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 84 Cálculo diferencial 84 (x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 1 1. j(x) = 3 + x Si x > -1, rango 2                   x y y=x+3 y=(x+2)^3+1 FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS Ejercicios Dadas las funciones Determine: a. j(-1) Inicialmente debemos ubicar el rango donde está el valor de la variable independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1 = 1 + 1 = 2 b. j(0) El valor x=0 está ubicado en el segundo rango j(0)=3 + 0= 3 c. j(-2) El valor x=-2 está ubicado en el primer rango j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1 = 1 Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente variable “x” esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se les define como funciones por partes o a trozos.
  • 85. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 85 Cálculo diferencial 85 Determine a. f(3) El valor x=3 está ubicado en el segundo rango f(3)=3 – 2 = 1 b. f(1) El valor x=1 está ubicado en el primer rango f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3 c. f(2) El valor x=2 está ubicado en el segundo rango f(2)=2 – 2 = 0 Gráfica x2 Si x 0 , Si x < 2 3. j(x)= 4. j(x) = , Si x > 0 Si x ≥ Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2) , Si x < 1 , Si x < 2 7. j(x)= 6. j(x) = 2x2 + 1 , Si x ≥ Si x ≥ Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2) Problemas 1. El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de la siguiente manera: 2 + 4t Si 0 t 6 + 2t Si t C(t)= 14 Si t 50 – 3t Si t             x y y=4-x^2 y=x-2 4 – x2 Si x < 2, rango 1 2. f(x) = x – 2 Si x ≥ 2, rango 2
  • 86. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 86 Cálculo diferencial 86                                     x y C(t)=2+4t C(t)=6+2t C(t)=14 C(t)=50-3t HORAS NIVELDECONTAMINACIÓN , donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m. a. Represente gráficamente la función dada. b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., a las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m. Hora Tiempo (t) Nivel de contaminación C(t) 7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=6 8:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=10 12:00 m 5 C(5)=14 4:00 p.m. 10 C(10)=14 8:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8 c. Compare los resultados ¿qué encuentra? 2. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a 0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y 200 kilogramos Si x=50, por datos está ubicado en el primer rango, C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40 El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólares Si x=200, por datos está ubicado en el segundo rango, C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140
  • 87. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 87 Cálculo diferencial 87 El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólares A mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar mayor carga. Gráfica 3. La ecuación oferta para cierto producto es: 000 0 000 000 000 000 000 000 Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden: a. 2000 unidades Observe que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango, 000 000 , es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesos b. 7000 unidades Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando 000 000 , es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesos                           x y C(x)=0.8x C(x)=0.7x C(x)=0.65x COSTO(Dólares) PESO (KG)
  • 88. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 88 Cálculo diferencial 88                      x y PRECIO(MillonesdePesos) UNIDADES OFERTADAS 3.2+X/2000 3+X/5000 2.8+X/7000 c. 14 000 unidades Acá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando 000 000 , es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos 4. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras esta dada por la función 0 si 0 t - 0t 0 si t f(t)= 00 si t -5t2 t 0 si t 1.25t2 – 26.25t + 162.5 si t 0 Donde f(t) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a 1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y en el 2000? Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico se cuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año. Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1991-1989=2 , es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazando f(2)=-30(2)+160=-60+160=100 , indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidos Para 1995 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1995-1989=6 , es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando -5t2 +25t + 80
  • 89. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 89 Cálculo diferencial 89                            x y f(t)=-30x+160 f(t)=100 f(t)=130 f(t)=-5t^2+25t+80 f(t)=1.25t^2-26.5t+162.5 CANTIDADDEDESECHOS(Toneladas/día) AÑOS ( t=0, 1989) f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50 , indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidos Para 2000 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 2000-1989=11 , es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema 5. Cierta compañía de telefonía celular líquida el pago mensual de sus usuarios de acuerdo a la siguiente tabla 0 0 -55+2x 0 00 -115+2.5x 00 00 -355+3x 00 , donde es el número de minutos de llamadas al mes. Calcule el pago para clientes que consumen 50, 80, 400 y 600 minutos, grafique la función 6. Cierta compañía de envio de mercados líquida los envíos de acuerdo a 120x+1200 Si 0.01 x 20 200x+1700 Si 20 < x 30 C(x)= 250x+2200 Si 30 < x 50
  • 90. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 90 Cálculo diferencial 90 280x+2700 Si 50 < x , donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45, 30 y 60 gramos 7. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función 10 + 0.094x Si 0 x 00 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 00 49.40 + 0.05(x-500) Si x > 500 Calcule el cargo mensual si se consumen: a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora 8. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función 1.965t – 5.65 Si 5  t  20 P(t)= 0.095t2 – 2.925t + 54.15 Si 20< t  40 Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educación en 1980 y el 2007. 9. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función: 7.52 + 0.1079x si 0x5 19.22 + 0.1079x si 5<x750 C(x) = 20.795 + 0.1058x si 750<x1500 131.345 + 0.0321x si x>1500 Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh 10. La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 está dada aproximadamente por la función t Si 0 t f(t)= -0.7t2 t Si t
  • 91. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 91 Cálculo diferencial 91 2.6t + 9.4 Si 7 t 10 , donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900. ¿Cuál era la edad promedio de la población de Estados Unidos al inicio de 1900? ¿Al principio de 1950? ¿Principio de 1900? 11. De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud, f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a 1977, esta dado por Si 0 t f(t)= t + 7 Si t 0 Si 10 < t < 20 Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992. ¿Hasta qué año es aplicable el modelo?
  • 92. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 92 Cálculo diferencial 92 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica va a estar siempre por encima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocándolo. Por definición, el valor absoluto de un número positivo es igual al mismo número para x ≥ 0 Pero el valor absoluto de un número negativo es positivo para x < 0 Se puede escribir una función usando una función por pate o por trozos x si x≥0 -x si x<0 La gráfica que genera una función es La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) =y= |x| , y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
  • 93. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 93 Cálculo diferencial 93 Ejercicios: Resolver cada función a. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 0 entonces Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante. -(x-3) si x < 3 (x-3) si x ≥ 0 b. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 0 entonces Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante. -(2x - 4) si x < 2               x yy = abs(x) 3 +-- 2 +--
  • 94. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 94 Cálculo diferencial 94 2x - si x ≥ c. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces 0 , factorizando es decir 0 y 0 Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante. si x 1 si 1<x<4 si x ≥ 4 d. e. f. g. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones trigonométricas básicas son Características Gráfica +-- 1 4 + Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
  • 95. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 95 Cálculo diferencial 95 Seno: Abreviado sen Raíz de la palabra del latín sinus (hueco, cavidad, bahía). Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] El período de la función seno es 2 π. La función y =sen(x) es impar, ya que sen(-x)=-sen (x), para todo x en IR. La gráfica de y=sen(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. Para todo número entero n. El valor máximo de sen(x) es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función. f(x)=sen(x) Coseno: Abreviado cos Es el complemento del seno Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] Es una función periódica, y su período es 2 π. La función y=cos(x) es par, ya que cos(-x)=cos (x), para todo x en IR. La gráfica de y=cos(x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =(π/2) + nπ, para todo número entero n. El valor máximo de cos(x) es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cos(x) es 1. f(x)=cos(x) Tangente: Abreviada tan o tg Línea o superficie] que se toca en un punto sin cortarse La función tangente es una función periódica, y su período es π. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan(x). La gráfica de y=tan(x) intercepta al f(x)=tan(x)
  • 96. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 96 Cálculo diferencial 96 eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , para todo número entero n. Cotangente: Abreviada cot o ctg Es la razón inversa de la tangente Dominio: IR –{n π, n Z} Recorrido: IR  Impar: cot x cot(x) f(x)=cot(x) Secante:  Del latín secare (cortar), recta que corta a una circunferencia en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.  Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto La función secante. Abreviada sec Es la razón inversa de la función coseno Dominio: IR –{(2n+1)(π/2), n Z} Recorrido: ∞ ] ∞ Período:2 rad  Par: sec(-x) = sec(x). f(x)=sec Cosecante Abreviada csc Es la razón inversa del seno Dominio: IR –{nπ n Z} Recorrido: ∞ ] ∞ Período: 2 rad Impar: csc(-x) = -csc (x) f(x)=csc(x)
  • 97. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 97 Cálculo diferencial 97 Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. INCREMENTO Y TASAS El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientes cuando hay variaciones en variables independientes. Por ejemplo  El cambio del costo de operación que resulta de cada unidad adicional producida  El cambio en la demanda de cierto artículo si se incrementa o disminuye el precio unitario de este.  El cambio del producto nacional bruto de un país con cada año que pasa
  • 98. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 98 Cálculo diferencial 98 Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1 se denomina incremento de x y se denota Δx . Usamos la letra griega Δ para denotar el cambio o incremento de cualquier variable Es decir Δx = x2 – x1 Si y es una variable que depende de x tal que y=f(x) esta definida para todo valor de x entre x1 y x2, cuando x=x1, y1=f(x1), de manera similar si x=x2, y2=f(x2), así el incremento de y es Δy y2 – y1 , entonces Δy f x2) - f(x1) Problemas 1. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por C=0.001x3-0.3x2+40x+1000 Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. Debemos calcular ΔC= C2- C1 Hallamos C1, hacemos x=50 C1=0.001(50)3-0.3(50)2+40(50)+1000 C1=125-750+2000+1000=2350 Hallamos C2, hacemos x=60 C2=0.001(60)3-0.3(60)2+40(60)+1000 C2=216-1080+2400+1000=2536 Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186 Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en 186 Unidades monetarias 2. La venta semanal S (en dólares) de un producto se obtiene por medio de 0000 , donde x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar la venta si el número de semanas se incrementa de 2 a 3. Debemos calcular ΔS= S2- S1 Calculamos S1 haciendo x=2, remplazando
  • 99. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 99 Cálculo diferencial 99 0000 0000 0000 0 0 Calculamos S2 haciendo x=3, remplazando 0000 0000 0000 0 0 0 Remplazando en ΔS= S2- S1 = 0 0 0 El signo negativo indica que pasar de la 2 a la 3 semana las ventas disminuyen en 389.56 dólares. Sean los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) de la función y=f(x), el incremento Δx es igual a la distancia horizontal de P a Q y el incremento Δy la distancia vertical Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1, para x2, x2 = x1 + Δx remplazando x2 en la definición de Δy, obtenemos Δy=f(x1 + Δx) – f(x1) Ejercicios Determine los incrementos de cada función 1. f(x)=2x + 7 ; Si x=3 y Δx 0 Remplazando en Δy=f(x1 + Δx) – f(x1) Δy=f(3 + 0.2) – f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7] Δy=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13 Δy=0.4 Es decir que un incremento de x en 0.2 genera un incremento en y de 0.4 2. Δy Δx P(x1,y1) y=f(x) y x 0 y1 y2 x1 x2 Q(x2,y2) Δy< 0 y2 y1 x2x1 y=f(x) P(x1,y1) Q(x2,y2) Δx > 0 x y
  • 100. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 100 Cálculo diferencial 100 Remplazando en f(x1 + Δx) – f(x1) f(2 + 0.5) – f(2)=f(2.5)-f(2) Es decir que cuando el incremento de de x es de 0.5 se incrementa en 1.4 La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x Δx se define como la razón Δy Δx Por tanto la tasa de cambio promedio de y respecto a x es Ejercicios Calcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado 1. 0 Remplazando en 0 0 0 0 0 Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a x cuando x=2 y su incremento 0.5 es igual a -5.1 2. Remplazando en
  • 101. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 101 Cálculo diferencial 101 Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a t cuando t=5 y su incremento 1.24 es igual a 0.16 Problemas 1. El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía está dado por la función , donde t=0 corresponde a 1991. Calcular la tasa de cambio promedio del IPC entre 1992 y 1993. Inicialmente debemos hallar Para 1992, t=1 y en el 1993 t=2 es decir que y Remplazando en 0 0 Es decir que la tasa de cambio del índice de precios al consumidor entre 1992 y 1993 tuvieron una tasa de cambio promedio de 1.6 2. Cuando el precio (en dólares) de cierto producto es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana (demanda) está dado por Determine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de 4 a 6.25 Debemos hallar p p p , donde p y p , remplazando
  • 102. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 102 Cálculo diferencial 102 Es decir que las unidades demandadas disminuyen en 21 unidades cuando el precio se incrementa de 4 a 6.25 dólares. 3. El propietario de una construcción la deprecia de acuerdo con 0 , donde es el valor de la construcción (en millones de pesos) después de meses de uso. Calcular la tasa de variación media del valor de la construcción después de 5 a 10 años de uso. Interprete el resultado. 4. El ingreso total (en dólares) por la venta de unidades de cierto producto se modela con 0 Determine la tasa de variación del ingreso si la venta disminuye de 50 a 25 unidades. Interprete el resultado. R/-750 5. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Determinar la tasa de cambio del costo de producción el número de unidades producidas se incrementa de 50 a 100 unidades. Interprete el resultado. 6. La relación entre la cantidad de dinero x que se invierte en publicidad por una compañía y sus ventas totales S(x) está dada por la función S(x)=-0.002x3+0.6x2+x+500 0 x 00 , donde x se da en miles de dólares. Halle la tasa de cambio promedio de las ventas si la publicidad se incrementa de de 100 000 (x=100) a 150 000 (x=150) dólares. Interprete el resultado. 7. El costo total de fabricar unidades de cierto producto está dado por 0 00 Calcular la tasa de variación media cuando se produce de 100 a200 unidades. Interprete el resultado. 8. Un análisis de producción diaria de una empresa muestra que en promedio, el número de unidades producidas por hora después de horas de labores es 0 Calcular e interpretar la tasa de variación media entre las 4 y 8 horas de labores.
  • 103. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 103 Cálculo diferencial 103 9. Las ventas en (en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad de acuerdo con 00 0 Calcular e interpretar la tasa media cuando la inversión en publicidad disminuye de 10 a 5 mil dólares. 10. La demanda de cierto producto esta dada por 000 , donde es el precio por unidad cuando se demandan unidades. Calcular e interpretar la tasa de variación media del precio cuando la demanda disminuye de 50 a 30 unidades. 11.El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 Determine la tasa de cambio promedio del número de libras de durazno de buena calidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de 0 a 3 libras. Interprete el resultado. 12.Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: 0 x ≥ Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedor nuevo si las horas de capacitación se incrementan de 10 a 15. Interprete el resultado. 13. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 000 Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas se incrementan de 40 a 50 unidades. Interprete el resultado. 14. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de
  • 104. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 104 Cálculo diferencial 104 00 Determine la tasa de cambio promedio del precio del precio si las unidades demandadas disminuyen de 12 a 6. Interprete el resultado. 15. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos que requiere un empleado para ensamblar una unidad cuando lleva 15 días de haber ingresado al trabajo. Interprete el resultado. 16. Suponga que la demanda de un producto se define mediante 00 000 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Determine la tasa de cambio promedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 100 a 200. Interprete el resultado. 17. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por , donde p es precio unitario en dólares. Determine la tasa de cambio del volumen de ventas si el precio disminuye de 11 a 10 dólares por unidad. Interprete el resultado. 18. El costo promedio de fabricar cierto artículo es , donde x es el número de artículos producidos. Determine la tasa de cambio promedio del costo cuando se fabrican entre 10 y 20 artículos. Interprete el resultado.
  • 105. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 105 Cálculo diferencial 105 LIMITE Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tiene que analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la idea de de limite (Técnicas de Aproximación) x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximos a -2 x -3 -2.5 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.5 -1 f(x) -6 -5.5 -5.2 -5.1 -4.9 -4.8 -4.5 -4 Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a c excepto quizás a c, entonces: Se lee “el límite de f x cuando x tiende a c es igual a L” El limite L existe si podemos hacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de x suficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito L cuando x tiende a c decimos que no existe el limite Límites Laterales Limite por la derecha: Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x c, aunque x > c. Si f(x)= x2 -x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3 x + 2 x + 2 Lim f(x) = L x c Lim f(x) = L x c+ ¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidad límite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeños números de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, se convierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas.
  • 106. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 106 Cálculo diferencial 106 Limite por la izquierda Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x c, aunque x < c. Consideraciones Especiales El límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c, cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual al límite, Indefinido o definido pero diferente al límite. Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real) Propiedades de los Límites Si k ε R y Lim k = k x c- ,M 0 x c x c Ejercicios 20 Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límites existentes lim lim lim lim Limites Indeterminados Lim f(x) = M x c- Lim f(x) = L x c Lim f(x) = M x c- Lim [f(x) ± g(x)] = L + M x c Lim [f(x) . g(x)] = L . M x c Lim f(x) = L x c g(x) M Lim x = c x c
  • 107. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 107 Cálculo diferencial 107 Ejercicios 21 Calcule cada límite si existe lim lim lim lim x lim lim x lim x lim x lim x Continuidad en un punto La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes 1. f(c): exista 2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista 3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c exista Si no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c  Toda función polinómica es continua para todos los números reales.  Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquello cuyo denominador es cero. Ejercicios Encuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuas Si Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tiene la forma en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción para encontrar una función equivalente en la cual exista el límite. Si Lim f x 0 y Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces no existe. En este caso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.
  • 108. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 108 Cálculo diferencial 108 Ejercicio Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dada f x x 0 f x x f x x 0 x + 2, >0 4x - 7, x >2 Límite de las Funciones Definidas por Partes El límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Es decir: Determine si los límites de cada función existen (x + 2)3 Si x -1 4 – x2 Si x < 2 a. f(x) = b. g(x)= 1 - x Si x > -1 x – 2 Si x ≥ Ejercicios Calcular cada limite si existe lim lim lim lim lim lim lim lim x x 0 0 lim lim x x lim lim 0 ≥ Lim f(x) = L x c+ = Lim f(x) = M x c-
  • 109. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 109 Cálculo diferencial 109 TALLER 1. Calcule el límite por tabulación de la función , cuando x toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde la función se hace indeterminada 2. Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen) lim lim lim f(x)= lim 3. De la gráfica de la función f(x)=-x2+4x obtenga el límite cuando x toma valores cercanos a: a. Cero (0) b. 2 c. 4           x yy = -x^2+4x
  • 110. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 110 Cálculo diferencial 110 Propiedades Si c es cualquier constante entonces Ejercicio Evaluar cada límite Lim 1 = 0 x ∞ x Lim c = c y Lim c = c x +∞ x -∞ Lim c =0, donde p>0 x +∞ xp Lim c =0, donde n>0 x -∞ xn lim x ∞ x lim x ∞ x lim x ∞ x x lim x ∞ x x x lim x ∞ x x x lim x ∞ x x x Limites Infinitos Al evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelve negativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / x se aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota
  • 111. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 111 Cálculo diferencial 111 Problemas 1. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por 00 a. Encuentre lim lim ¿Cuál es el significado de cada expresión? b. Compare los resultados e interprételos 2. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: 0 x ≥ a. Encuentre lim , lim . ¿Cuál es el significado de cada expresión? b. Compare los resultados e interprételos 3. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 a. Calcule él lim cuando 0 ¿qué encuentra? b.Calcule él lim cuando ∞ ¿qué significa la expresión? ¿qué encuentra? 4. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 0 000 000 Determine la población a largo plazo. 5. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. Encuentre lim ¿qué significa la expresión?¿qué encuentra? 6. Suponga que la demanda de un producto se define mediante 00 000 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Encuentre lim ¿qué significa la expresión?¿qué encuentra?
  • 112. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 112 Cálculo diferencial 112 7. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función 0 0 , donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981. ¿Qué pasará con el número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos a largo plazo? 8. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad x(en miles de dólares) según 00 0 a. Encuentre lim y x , lim y x b. ¿Qué pasa con cuando la inversión en publicidad es muy alta? 9. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será 0 0 , dólares. ¿Qué pasará con el precio de las calculadoras a largo plazo? 10.Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 000 ¿Qué pasa con el precio si la demanda es muy alta? 11.Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 00 ¿Qué pasa con el precio si la demanda es muy alta? 12.Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de
  • 113. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 113 Cálculo diferencial 113 00 ¿Qué pasa con la demanda si el precio es muy alto? 13.Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante la función 00 0 00 , donde x son las unidades demandadas. ¿Qué pasa con el precio si la demanda es muy alta? 14. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes 00 00 Encuentre ¿qué significa la expresión? ¿qué encuentra? 15. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con 00 0 Encuentre ¿Cuál es el significado de la expresión? ¿Qué significa la expresión? ¿qué encuentra?
  • 114. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 114 Cálculo diferencial 114 TALLER TEMA: LÍMITES 1. Determine el límite de cada función tabulando los datos a.lim b.lim 2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a 1 y a 0
  • 115. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 115 Cálculo diferencial 115 3. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite de f(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 0 4. Calcule cada uno de los siguientes límites lim y y y y lim x x x lim t 0 t t lim x 0 x x 2x+1, Si x>3 lim 10-x, Si x 3 , Si x<2 lim , si x≥ lim lim Problemas 1. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una campaña publicitaría son 00 00
  • 116. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 116 Cálculo diferencial 116 a.Encuentre lim S t lim b.¿Qué significa cada expresión? c.Compare los resultados e interprételos 2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por , donde p es precio unitario en dólares a. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valores próximos a 10 y 11 dólares b. Compare los resultados e interprételos Limites con Tecnología Use el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite. LA DERIVADA La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por: La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda. lim lim lim lim 0 0 lim lim lim lim
  • 117. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 117 Cálculo diferencial 117 x y x x+h h f(x) f(x+h) (x,f(x)) (x+h,f(x+h)) Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x)) y ((x + h), f( x +h)) así , es decir Ejercicio Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades esta dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para: Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100) Las segundas 100 unidades producidas Ejercicio Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto en el momento x es: lim , si este límite existe
  • 118. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 118 Cálculo diferencial 118 Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x) (en pies) se obtiene mediante la ecuación f(x)=96+64x-16x2 Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h Ejercicio Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4) Ejercicio Encuentre la derivada de cada función aplicando el concepto de límite f(x) = 2x f(x) = x2 f(x) = x3+1 f(x) = 3x2-2x+1 Problema La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número de unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es: lim Pendiente de la Recta A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1. ´ lim DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para cualquier valor de x, denotada f`(x), es Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c. Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o o ] o Dxy o Dx[f(x)]
  • 119. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 119 Cálculo diferencial 119 lim Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por 00 ≥ 0 Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.  Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x.  Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20. Remplazando lim 00 ] 00 lim 00 00 00 lim 00 lim 00 lim 00 lim 00 00 Como x=20 00 0 00 0 0 Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil dólares
  • 120. Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR Tipo Función Derivada Ejemplos Constante f(x)=k f´(x)=0  Si f(x)=5, f´(x)=0  Si f(x)=-2, f´(x)=0 Múltiplo constante f(x)=kx f´(x)=k  Si f(x)=3x, f´(x)=3  Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x Potencia f(x)=xn f´(x)=nxn-1  Si f(x)=x4, f´(x)=4x3  Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4 Múltiplo y Potencia f(x)=kxn f´(x)=k.nxn-1  Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3  Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4 Suma f(x) = [g(x) ± h(x)] f´(x)=g´(x) ± h´(x)  Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3  Si f x x- x , f´ x - x- x- Multiplicación f(x)= [g(x).h(x)] f´(x)=g´(x) ± h´(x)  f(x)=(x2+2)(3x-1) f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6  f(x)=x3/2(3x2-x-1) f´(x)= x x -x- x x x- x - x- x x- = x - x- Cociente f x k g x ´ ´  f x x , f´ x - x  f x x ´ Cociente f x g x h x f´ x g´ x h x g x h´ x h x ]  f x ´  ´
  • 121. Ejercicios Derivar cada una de las siguientes funciones 1.f(x) = - 4 2.f(x) = 0.25 3.f(x)=21x 4.f(x)= x 5.f(x)=x5 6.f(x)= 7.f(x)= 6 – x-2 + x1/2 8.f(x)= 9.f(x)= x x- 10.f(x)=4x3 11.f(x)= (x3-1)(5x2+6x) 12.f(x)=(x2+1)2 13.f(x)= 14.f(x)= 15.f(x)=4x2 + 5x + 3 16.f(x)= 17. 18. 19. 20. Ejercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Ejercicios Determine la ecuación de la línea tangente a la grafica de las siguientes funciones, utilice el winplot para graficar las funciones. 1. en (1,2) Hallamos la pendiente de la recta tangente a la curva ´ , como x=1, entonces m=2(1)-3, m=-1 Remplazando en la ecuación de la recta Graficando                x y y=x^2-3x+4 y=-x+3
  • 122. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 122 Cálculo diferencial 122 2. en (1,4) Hallamos la pendiente de la recta tangente ´ , como x=1, m=3 Remplazando en la ecuación de la recta Graficando 3. en (-1,2) Hallamos la pendiente de la recta tangente ´ , como x=-1, m=0 Remplazando en la ecuación de la recta 0 Graficando      x y y=3x+1 y=x^3+3
  • 123. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 123 Cálculo diferencial 123 4. en (1,5) 5. 6. 7. 0 0 8. 9. Problema s 1. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, y 00 0 00 a. Calcular la tasa de cambio del número de estufas producidas respecto al capital cuando la inversión se incrementa de 5 a 6 millones de dólares ´ 0 00 Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares, x=5 ´ 0 00 0 b. Interprete el resultado en a. Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares el número de unidades producidas se incrementan en 268 unidades 2. Las ganancias trimestrales de una compañía de bienes raíces (en miles de dólares) están dadas por 0 , donde x (en miles de dólares) es el gasto en publicidad por trimestres. a. Determine la tasa de cambio de la ganancia respecto al gasto en publicidad. b. Calcule la tasa de cambio cuando x=11. c. Interprete el resultado.       x y y=x^2+1/x^2 y=2
  • 124. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 124 Cálculo diferencial 124 3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100. 4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3 a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? 5.La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3 a. Encuentre la función costo marginal. b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? 6. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a.Encuentre la función costo marginal. b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica? 7. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por: 0 , donde x esta en miles de unidades y R(x) en miles de dólares. Encuentre el ingreso marginal R´(x) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa? 8. Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es 0 000 0 0 000 Encontrar el costo promedio marginal cuando se producen 50 unidades 9. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con x años d educación antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales , donde 00 Encuentre e interprete la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación cuando x=9.
  • 125. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 125 Cálculo diferencial 125 10.Suponga que la función ingreso total para una mercancía es R(x) = 25x – 0.05x2 a. Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x) b. Encuentre el ingreso marginal en x = 50 c. ¿Qué significa? 11.El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es 0 , determine: a. La función ingreso marginal (R´(x)) b. Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades 12.El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula S(t)=10 000 + 2 000t -200t2 , donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana determine la tasa de cambio cuando a. t=4 y ¿qué significa? b. t=8 y ¿qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra? 13.El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3, b.Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad. c.Calcule C´(100), ¿qué significa? 14.Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores pequeños sea 00 0 0 00 , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 600 15.Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación R(x) = 100x – x2 x ≥ 0 , donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)
  • 126. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 126 Cálculo diferencial 126 16.Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso esta dado por R(x) = 1 500x – 0.02x2 c0n x 000 , donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado. 17.La producción semanal de cierto producto es Q(x)= 200x + 6x2 , donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado 18. La demanda de q unidades de cierto producto depende del precio por unidad p (en miles de pesos). En cada una de las ecuaciones de demanda encuentre la tasa de variación de las unidades demandadas respecto al precio cuando . Interprete cada resultado. a. b. c. d. e. 19. El costo promedio en dólares de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas esta dado por 0000 0 , donde x representa el número de televisores producidos por semana. Calcule e interprete la tasa de variación del costo promedio si la producción se incrementa de 100 a 101 televisores por semana. 20.El presidente de una importante constructora de vivienda informa que el número de empleos creados por la construcción (en millones) está dado por , donde x denota el número de pies de casa. Suponga que se espera que el número de pies de casa en los siguientes meses sea 0 00 0 0 , millones de unidades ¿cuál es la razón de cambio del número de empleos creados en un año?
  • 127. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 127 Cálculo diferencial 127 21. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 00 00 a. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a las libras insecticida b. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a las libras insecticida cuando las libras de insecticida se incrementan a 5 libras. Interprete el resultado 22. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 0 000 000 Determine a. La tasa de cambio del número de habitantes respecto a los años b. Calcular la tasa de cambio del número de habitantes dentro de 10 años. Interprete el resultado 23. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 0 0 , donde t es el número de días en el trabajo. a. Calcular M´ b. Calcular M´ cuando t=15. Interprete el resultado 24.Suponga que la demanda de un producto se define mediante 00 000 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada 4. Calcule p´ 5. Calcule p´ cuando q=10. Interprete el resultado. 25. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la función 0 0 , donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizo en 1981
  • 128. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 128 Cálculo diferencial 128 a.Encuentre f´(x) b. Calcule f´(20)k. Interprete el resultado. 26. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad x(en miles de dólares) según 00 0 a. Encuentre y´ b. Encuentre y´ cuando x=10. Interprete el resultado. 27. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será 0 0 , dólares. Calcule p´(24). Interprete el resultado Ejercicios Derive cada una de las siguientes funciones ´ ´ Regla de la Cadena Si f y g son funciones diferenciables donde y=f(u) y u=g(x), entonces y es una función diferenciable de x, y , o su equivalente Regla de la potencia Si , donde u es diferenciable de x, entonces
  • 129. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 129 Cálculo diferencial 129 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.f(x) = (x2 – 9)2/3 12.f(x) = 13. 6)14 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Problemas 1. La producción diaria para cierta fabrica está dada por: f x 00 x , donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares. a. Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capital Derivamos: f´ x 00 x f´ x 00 x b. Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares Por datos x=1, remplazando f´ x 00 00 00 0 c. Interprete el resultado.
  • 130. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 130 Cálculo diferencial 130 Significa que cuando la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólares la producción diaria se incrementará aproximadamente en 115 unidades d. Calcule la tasa de cambio de las unidades producidas respecto a la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares Si la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares, x=7 ´ 00 e. Interprete el resultado Cuando la inversión de capital se incrementa de 7 a 8 mil dólares el número de unidades producidas se incrementan aproximadamente en 52 unidades 2. La demanda de computadores viene dada por la ecuación p 00-x , donde x es el número de computadores y p es el precio de cada uno en miles de pesos a. Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandas Derivamos dp dx 00 x x 00 x x dp dx x 00 x b. Calcule la tasa de cambio si x=9. Remplazando en dp dx 00 00 0 c. Interprete el resultado Si la demandada de computadores se incrementa de 9 a 10 unidades el precio disminuye aproximadamente en 0.15 mil pesos 3. Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio diario (en cientos de dólares) está dado por
  • 131. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 131 Cálculo diferencial 131 Determine el costo marginal si la producción se incrementa en 18 unidades día Inicialmente hallamos el costo total, dado por la expresión Remplazando Derivamos para hallar el costo marginal ´ Para determinar la variación del costo cuando la producción se incrementa en 18 unidades día hacemos ´ ´ 0 ´ Si la producción se incrementa en 18 unidades, el costo se incrementará en 3 cientos dólares. 4. El costo de producir q unidades de un producto está dado por C=4000 + 10q + 0.1q2 Si las unidades producidas q se pueden obtener por q= 800 – 2.5p , donde p es el precio por unidad. Utilice la regla de la cadena para determinar la razón de cambio del costo respecto al precio unitario cuando p=80 5. Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio (en dólares) está dado por 000
  • 132. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 132 Cálculo diferencial 132 Encuentre e interprete el costo marginal si la producción se incrementa en 11 unidades 6. La función de costo total para un fabricante está dada por 00 , estimar el costo marginal cuando la producción se incrementa en 15 unidades. 7. La cantidad mensual demandada x de cierta marca de computadores personales se relaciona con el precio p ( en dólares) así 00 0 000 a. Determine la tasa de cambio de la demanda respecto al precio b. Calcule la tasa de cambio cuando p=100 c. Interprete el resultado 8. La ecuación de demanda de cierto articulo es 00 a. Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas. b. Calcule la tasa de cambio cuando x=3. Interprete el resultado 9. La concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de los automóviles dentro de t años está dada por 0 0 0 , partes por millón Halle la tasa con que cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t=5. ¿Qué significa? 10.El número de personas que ven una serie de televisión con varios años de salir al aire se aproxima a la función 0 , N(x) (dado en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie en la semana x. Calcule N´(12), ¿qué significa? 11.La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p= 00 , en donde x unidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 unidades. Interprete el resultado. 12. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por
  • 133. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 133 Cálculo diferencial 133 , donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p=24 13. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es 00 000 000 , donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades. Interprete el resultado. 14.Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas), depende del precio unitario del producto de acuerdo con 0 , donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de $21? Interprete el resultado. 15.Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razón aumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008? 16. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es 0 00 . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción. Ejercicios Encuentre la derivada indicada 2. y = 4x3 -16x, y´´ 2. y = x5 – x1/2, y´´ 3. y = x3 + x-1, y´´´ 4. y = 3x4 + x1/3, y´´´ 5. y = , y´´´´ Derivadas de Orden Superior Como la derivada de una función es de por sí otra función, podemos calcular una derivada de la derivada. La derivada de la 1ra derivada recibe el nombre de 2da derivada. También podemos encontrar derivadas de 3er, 4to, 5to orden y superior
  • 134. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 134 Cálculo diferencial 134 Problemas 1. Suponga que dado el ingreso por la venta de cierto producto y la cantidad vendida encuentre la tasa de cambio del ingreso marginal a. R(x) = 100x – 0.01x2; x = 10 b. R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3; x = 100 c. R(x) = 15x + 30(4x +1)-1 – 3; x = 25 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Prueba de la primera derivada. Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes procedimientos: Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la función. ´ 2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se ´ 0 0
  • 135. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 135 Cálculo diferencial 135 denominan valores críticos. Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos. Entonces si 6x=0, x=0 Si x – 4 = 0, x = 4 Los valores críticos son 0 y 4 3 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos 0 Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58) 4 Evalúe f`(x) en algunos valores de x a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico para construir un diagrama de signos Si f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a la derecha del valor crítico, el punto crítico es un punto máximo relativo Si f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a la derecha del valor crítico es un punto mínimo relativo f´(-1)=30 y f`(1)=-18 Hay un máximo f´(3)=-18 y f`(5)=30 Hay un mínimo Gráficamente Ejercicios Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la primera derivada 1. y = x3 – 3x + 2 2. y = 3x – x3 3. y = x3 – 12x + 2 4. y = -x2 + 6x + 6 5. y = x4 – 8x2 + 3 6. y = x2/3 + 2 7. 8. 9.                    x y f´(x) f(x) ´ ´ 0 Máximo Relativo ´ 0 ´ 0 ´ 0 Valor Crítico Valor Crítico Punto Crítico Punto Crítico Mínimo Relativo
  • 136. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 136 Cálculo diferencial 136 10. y= x3 – 3x - 4 11. y = 1 – 3x+ 3x2-x3 12. 13. 14. 15. Prueba de la segunda derivada Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientes procedimientos: Nº Procedimiento Ejemplo 1 Encuentre la primera derivada de la función. ´ 2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valores de x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos se denominan valores críticos. Los valores que hacen que f´(x) sea indefinida también son valores críticos. ´ 0 0 Entonces si 6x=0, x=0 Si x – 4 = 0, x = 4 Los valores críticos son 0 y 4 3 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos 0 Los puntos críticos son (0,6) y (4,-58) 4 Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para el cual f`(x)=0 Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre en x0 Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurre en x0 Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida, la prueba de la segunda derivada falla; use la prueba de la primera derivada f´´(x)=12x-24 Si x=0 f´´(x)=12(0)-24=-24 Ocurre un máximo relativo Si x=4 f´´(4)=12(4)-24=24 Ocurre un mínimo relativo Gráficamente
  • 137. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 137 Cálculo diferencial 137 Ejercicios Determine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de la segunda derivada y grafique 2. Se halla la primera derivada: ´ Se iguala a cero 0 Factorizando 0 Es decir 0 por lo que ó 0 es decir por lo que tendríamos tres valores críticos, Reemplazando los valores críticos en la función original: Si entonces , tendríamos un punto crítico en (0, 4) Si entonces , tendríamos un punto crítico en (2, -28) Si entonces , tendríamos un punto crítico en (-2, -28) Hallamos la 2da derivada ´´ Se evalúa el valor crítico en la 2da derivada: Si entonces ´´ entonces existe un máximo relativo en el punto (0, 4) Si entonces ´´ entonces existe un mínimo relativo en el punto (2, -28) Si entonces ´´ entonces existe un mínimo relativo en el punto (-2, -28) Para graficar inicialmente siga los siguientes pasos 1. ubique en el plano cartesiano los valores críticos, 2. luego los puntos críticos,                    x y Valor Crítico ´´ Valor Crítico Punto Crítico Punto Crítico ´´ 0 ´´ 0 0 Máximo Relativo Mínimo Relativo
  • 138. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 138 Cálculo diferencial 138                   x y 3. En cada punto crítico la curva cambia de dirección teniendo en cuenta que Si es un máximo la forma de la curva toma la forma Si es un mínimo la forma de la curva toma la forma 4. Para finalizar una las líneas La grafica resultante es 3. 4. x x x 5. x x 6. 7. 8.y = 1 – 3x+ 3x2-x3 9. 10. 11. 12.f(x) = 1 – x2 - 4x 13.f(x) = 1 + x4 14.f(x) = x3 – 3x - 4 15.f(x) = (x2 – 2)(x – 4) 16. 17. f(x)= x3 – 3x2 + 4 18. f(x) = x4 -3x2 + 4x 19. f(x)= 20.
  • 139. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 139 Cálculo diferencial 139 Problemas 1. El análisis marginal es la rama de la economía que estudia la variación de ciertas cantidades como precio, ingreso, costo y / o utilidad, cuando se presentan pequeños cambios en el nivel de producción. La utilidad G percibida por la producción y venta de q unidades es G (q) = I(q) – C(q) , donde C(q) es el costo total e I(q) el ingreso que se obtiene por I(q)=p q , donde p es el precio por unidad. Si un fabricante estima que si produce q miles de unidades por mes de cierto artículo su costo total C viene expresado por la relación: dólares El precio por unidad esta dado por dólares b. Determina los máximo y/mínimos relativos (si existen) Hallamos la función ingreso I(q)=p q I(q)= I(q)= Hallamos la utilidad G (q) = I(q) – C(q) G (q) = G (q) = G (q) = Derivamos G ´(q) = Igualamos a cero y despejamos El valor crítico del nivel de producción se alcanza en q=10 (10000 unidades). Remplazando en la utilidad G (q) = G (q) = 99 Hallamos la segunda derivada G ´´(q) =
  • 140. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 140 Cálculo diferencial 140 Por tanto existe un mínimo relativo. Indica que la mínima utilidad que se puede obtener es de 99 dólares y se alcanza cuando se producen 10 000 unidades. c. Verifique que se cumplan las condiciones  I´(qo) = C´(qo) Es decir que el costo marginal y el ingreso marginal son equivalentes en el punto crítico La función ingreso es I(q)= derivando obtenemos el ingreso marginal I´(q)= , remplazando q=10, I´(q0)= entonces I´(q0)=2.2 La función costo es derivando obtenemos el costo marginal ´ , remplazando q=10, ´ entonces ´ Por tanto la condición se cumple  Hallamos la segunda derivada del ingreso 0 y la segunda derivada del costo 0 Por tanto no se cumple la condición 3. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, y 00 0 00 a. Calcule los máximos y mínimos relativos si existen Hallamos la primera derivada ´ 0 00 Igualamos la derivada en cero 0 00 0
  • 141. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 141 Cálculo diferencial 141 Despejamos la variable para hallar el o los valores críticos 0 00 00 0 0 0 El valor que tiene sentido para el problema es x=1.0351 Obtenemos el punto crítico 00 0 0 00 0 00 0 0 00 0 El punto crítico es (1.0351, 979.6) Hallamos la segunda derivada ´´ 00 Remplazando el valor crítico ´´ 00 0 Como ´´ es mayor que cero entonces existe un mínimo relativo. b. Interprete el resultado en c. La mínima cantidad de estufa que se pueden producir son aproximadamente 980 con una inversión de capital de 1.0351 millones de dólares. 4. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión y = 3x + 8x2 - x3 a. Encuentre los valores críticos de esta una función Hallamos la primera derivada de la función y´= 3 + 16x – 3x2 Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x – 3x2 = 0 Utilizando la ecuación general -b b - ac a para la solución de una ecuación cuadrática ax2+bx +c =0 , obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1 b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?
  • 142. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 142 Cálculo diferencial 142                     (5.5, 92) Horas Trabajadas Cant.demarcosPintados y=3x+8^2-x^3 y´´=16-6x y´´<0 (Máximo Relativo) El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el número de horas trabajadas después de iniciar labores y este no puede ser negativo c. Encuentre los puntos críticos Remplazamos el valor crítico 5.5 en la función original Y= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92 El punto crítico esta en (5.5, 92) d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? Hallamos la segunda derivada de la función y´´=16 – 6x, remplazamos el valor crítico, y´´=16 – 6(5.5) = -17 Como y´´<0, ocurre un máximo relativo. Significa que la máxima producción de se obtiene 5.5 horas después de haber iniciado labores, pintando 92 marcos c. Graficando la función incluyendo la la segunda derivada 5. La demanda de cierto producto está dada por , y la función costo promedio 0 Calcule el precio que maximiza la utilidad. Debemos hallar la función utilidad definida como Utilidad (U)=Ingreso (R) – Costo total (C) La función Ingreso (R) es el producto del precio por la cantidad, es decir
  • 143. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 143 Cálculo diferencial 143 La función costo total es el producto de la cantidad por el costo promedio es decir 0 0 Remplazando en la ecuación de la función utilidad 0 0 0 0 Derivamos la utilidad ´ 0 Igualamos a cero 0 0 Despejamos 0 0 El valor crítico se obtiene cuando se demandan 5 unidades. Remplazamos en la ecuación de la utilidad 0 0 0 Es decir que existe un punto crítico cuando se demandan 5 unidades y la utilidad es de 20 unidades monetarias. Hallamos la segunda derivada de la función utilidad ´´ Como la segunda derivada es menor que cero, entonces la máxima utilidad es de 20 unidades monetarias y se obtiene cuando se demandan 5 unidades Si remplazamos la cantidad en la ecuación de la demanda 0 Por lo tanto el precio que maximiza la utilidad es de 22 unidades monetarias 6. Cierta empresa líquida el costo total de almacenamiento y envio de materiales para un proceso de manufactura de acuerdo con la expresión 00 00 , donde C(k) se da en dólares y k es el número de toneladas de material que se almacena y envía. Determine los máximos y/o mínimos relativos que tienen sentido para el problema ¿qué significa) Derivamos el costo
  • 144. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 144 Cálculo diferencial 144 ´ k 00 k Igualamos a cero 00 k 0 k 0 Despejando k k Es decir, se tendría dos valores críticos k=4 y k=-4, como k es la cantidad de toneladas de material k=-4 no tiene sentido, por lo tanto lo depreciamos y trabajamos solo con k=4. Hallamos el punto crítico, remplazando k=4 en la función original 00 00 00 Es decir, se tiene un punto crítico en Se halla la 2da derivada: ´´ Se evalúa el valor crítico en la 2da derivada: ´´ 00 ´´ 0 Luego existe un mínimo relativo en el punto (4,17200) El costo mínimo de almacenamiento es de 17200 dólares y se obtiene cuando se almacena y envía 4 toneladas de material. 7. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en dólares por unidad) está dado por 0 00 , donde q 0 a. Halle la función costo total ( ) b. Determine los máximos y/mínimos de la función costo total (si existen)
  • 145. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 145 Cálculo diferencial 145 c. Interprete los resultados 8. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es 0 , determine: a.El o los valores relativos si existen b.Los máximos o mínimos relativos si existen c.Interprete el resultado 9. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por U(x)=130 + 80x – x2 miles de pesos , donde x es la inversión en publicidad en miles de pesos a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 8. El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en cierta compañía de discos está dado por 0 000 000 a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 9. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula S(t)=10 000 + 2 000t -200t2 , donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 10. El costo promedio de fabricar cierto artículo es , donde x es el número de artículos producidos
  • 146. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 146 Cálculo diferencial 146 a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 11. Una empresa vende todas las unidades que produce en 4 mil pesos cada una. El costo total de la empresa C por producir x unidades esta dado en miles de pesos por C =50 - 1.3x+0.001x2 a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 12. La función de costo para una empresa, está dada por C(x)= 300x-10x2- a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 13. La función de costo de una fabricante es C(x)=1000 - 5x + 0.1x2, cuando se producen x artículos por día. a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.Encuentre los puntos críticos c.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 14. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0 Donde P es el número de unidades producidas por hora a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 15. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es 0 0 a.Encuentre los valores críticos de esta una función
  • 147. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 147 Cálculo diferencial 147 b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 16. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto producto es 000 000 0 Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de producción a.Encuentre los valores críticos de esta una función b.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? c.Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa? 17. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas í 0 00 0 a. Determine el número de personas que deberían ser contratadas para minimizar el costo promedio. b. ¿Cuál es el mínimo costo promedio?
  • 148. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 148 Cálculo diferencial 148 DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Ejercicios Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ln (x) f(x) =ln (8x) f(x) = ln (4x + 9) f(x) = ln (x) – ln(x-1) f(x)=ln(x-1)+ln(2x+1) f(x)= ln f(x)=ln[t3(t2-1)] ln f(x)=ln[(x-1)(2x+1)] f(x) = ln (8x3-2x) – 2x f(x)=ln ln f(x)= Ejercicios Si ln ] entonces ´ ´
  • 149. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 149 Cálculo diferencial 149 Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen f(x) = x ln (x) f(x) = x2 ln (x) f(x) = x2 8ln(x) f(x) = ln (x) – x Problemas 1. Un fabricante de generadores eléctricos encontró que sus ventas han aumentado han aumentado constantemente según la ecuación , donde x es el número de años que la compañía está operando, x=0 en 1973 y y es el volumen de ventas en millones de dólares a. Calcular la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo ´ ln ´ ln b. Halle la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo para 1977, para hallar la tasa de cambio hacemos x=3 ´ ln 0 c. Interprete el resultado Para 1977 el volumen de ventas se incrementará en 2.09861 millones de dólares 2. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuando el precio sea p(x) = 112 – x ln(x3)cientos de dólares por unidad a. Encuentre la función ingreso [I=x*p(x)] y de ingreso marginal [I´(x)]. Hallamos la función ingreso Derivamos ´ ´ b. ¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad? Hacemos x=4 ´ ´ La producción de la quinta unidad incrementa el ingreso en 66.72 dólares 3. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación
  • 150. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 150 Cálculo diferencial 150 a. Halle la propensión marginal (S´) al consumo respecto al ingreso. b. Calcule e interprete la propensión marginal si I=1. 4. La ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por 0 ln , calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio cuando p=2 5. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x)) b.Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete el resultado 6. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con t ln a. Con que tasa cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%, compuesto continuamente b. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña 7. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = a. Encuentre la función ingreso marginal b. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el resultado 8. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es 33. 9. La función demanda de un producto está dada por p = , donde p es el precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?
  • 151. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 151 Cálculo diferencial 151 10.En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad será p(x) millones de dólares, donde P(x) = 10 + ln -12x2, para x > 0 ¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿cuál es la utilidad máxima? 11.Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un año después de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x) donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después de 1998¿con que razón cambiará el porcentaje en el 2009? 12.Encuentre la función ingreso marginal si la función de demanda es 13. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x es 0 00 0 ln a. Determine el número de personas que deberán ser contratadas para minimizar el costo promedio. b. ¿Cuál es el mínimo es costo promedio? DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Ejercicios Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: f(x) = 4 ex f(x) = e5x f(x) = 3e4x f(x) = 3e4x+1 f(x) = e^(x2+2x- 1) f(x)=x2 ex f(x)=(x2+3x+5) e6x f(x)=(1 - 3ex)2 f(x)= e(-1/2)x f(x)= ex ln(x) f(x)= f(x)= eln(x) Ejercicios Encuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existen La función logarítmica tiene derivadas  Derivada de : ex = ex  Regla de la cadena para : eh(x) h’ x eh(x)
  • 152. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 152 Cálculo diferencial 152 f(x) = x ex f(x) = x e2-x f(x) = x2 e-x f(x) = ex + e-x Problemas 1. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 0 , donde se demanda q unidades cuando el precio es de p dólares. a. Calcule la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandadas cuando q=2 Derivamos ´ 0 ´ 0 Como q=2, ´ 0 b. Interprete el resultado Cuando las unidades demandas se incrementa en 3 el precio disminuye e 1.35 dólares 2. La ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por: x 000e 0 0 p , donde se demanda x unidades cuando el precio es p. a. Halle x´ Derivando x´ 000 e 0 0 p 0 0 x´ 00 e 0 0 p b. Calcule x´ cuando p=25 Remplazando x´ 00 e 0 0 00 e 00 0 c. ¿Qué significa? Si el precio se incrementa en 26 las unidades demandadas disminuyen en 74. 3. El costo promedio (en miles de pesos) de producir q unidades de cierto producto está dado por 000
  • 153. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 153 Cálculo diferencial 153 a. Encuentre la función de costo marginal. Inicialmente debemos hallar el costo total por la expresión Remplazando 000 Es decir 000 Para hallar el costo marginal derivamos la función costo total, ´ 000 00 ´ 0 b. Calcule el costo marginal para q=700. Interprete el resultado. Remplazamos q, ´ 00 0 00 Es decir si la producción de la unidad 701 aumenta el costo total de producción en 27.18 mil de pesos. 4. Una organización de investigación de mercado afirma que si una compañía gasta x millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función 0 , donde P se expresa en millones de pesos. a. ¿Cuál debería ser el gasto en publicidad por televisión con el fin de maximizar la utilidad? b. ¿Cuál es la utilidad máxima que se puede obtener? Hallamos la primera derivada de la utilidad respecto a la inversión en publicidad ´ 0 0 0 0 0 Igualamos a cero 0 0 0 Despejamos 0 0 Existe un valor crítico cuando se invierten 4 millones de pesos en publicidad. Remplazamos en la función original
  • 154. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 154 Cálculo diferencial 154 0 Es decir que el punto crítico es (4, 86.61) Hallamos la segunda derivada 0 0 0 ] 0 0 0 ] 0 0 ] 0 0 ] 0 0 0 0 0 0 0 , evaluamos el valor crítico en la segunda derivada (x=4) 0 0 a. La inversión en publicidad que maximizar la utilidad es de 4 millones de pesos. b. La utilidad máxima que se puede obtener es de 86.61 millones de pesos 4. La ecuación de demanda par cierto producto está dada por . Dado que el ingreso es encuentre el ingreso marginal cuando la demanda se incrementa en 11 unidades. 5. La ecuación de oferta de cierta mercancía es p = 20ex/3, donde se ofrecen x miles de unidades cuando el precio es de p dólares. Determine a. La tasa de cambio del precio respecto a las unidades ofertadas b. La tasa de cambio cuando la oferta se incrementa en 6 mil unidades. c. Interprete el resultado 6. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por 0 0 a. Calcule P´(t) b. Calcule P´(0) y P´(1). ¿Qué significan? Interprete los resultados 7. Una cadena de tienda femenina, determinó que t días después de concluir una promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por 0 000 , , millones de pesos. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al número de días si t=3. ¿Qué significa?
  • 155. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 155 Cálculo diferencial 155 8. El precio de cierto articulo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en semanas) está dado por p=8+4e-2t+te-2t, determine la tasa de cambio del precio respecto al tiempo si t=2. Interprete el resultado. 9. La depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una razón tal que su valor contable dentro de t años será V(t)=50 000e-0.4t dólares, ¿con qué rapidez cambiará el valor contable de los bienes dentro de 3 años? 10.Según la Internet Society, las conexiones de Internet están proliferando a una razón cada vez más creciente. El número de computadores huésped (en millones) se estima en N(t)= 3.45e0.64t, en t años (t=0 corresponde al principio de 1994). ¿Con qué rapidez aumento la cantidad de computadores huésped en 1996 y 1999? 11.En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa la banca en línea es f(t)=1.5e0.78t , donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio del 2000. Halle f´(t), calcule f(4) interprete el resultado. 12.Los viajes aéreos han aumentado drásticamente en los últimos 30 años. En un estudio realizado en el 2000, una empresa aérea previó un incremento exponencial aún mayor en los viajes aéreos hasta el 2010. La función f(t)=666e0.0413t proporciona la cantidad de pasajeros (en millones) para el año t, donde t=0 corresponde al 2000. Determine f´(t) ¿qué significa? , calcule f´(5) y f´(9) interprete los resultados 13. Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales) compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la función S p℮0.1n Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesos a 1 año. 14. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares. ¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra? 15.La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra?
  • 156. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 156 Cálculo diferencial 156 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ] cos ] cot ] ] ] ] Ejercicio Derivar: 1. y= sen(2x) Derivando y´= cos(2x)(2) ó y´= 2cos(2x)
  • 157. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 157 Cálculo diferencial 157 2. y= cos(3x) Derivando y´= - sen(3x)(3) ó y´= -3sen(3x) 3. y=tan(1/x) Derivando y´= sec2(1/x)(-1/x2) ó y´= (-1/x2)sec2(1/x) 4. y=cot2(x) Derivando y´=2cot(x)[csc2(x)] 5. y=sec2(3x2) Derivando y´=2sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)6x ó y´=12x sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2) 6. Derivando ´ cos 7. sen tan Derivando ´ cos ] tan sen ´ tan cos tan sen Como: tan y Sec x ´ cos cos cos sen cos x ´ cos sen ´ cos cos ] ´ cos ] 8. ´ cos cos sen sen cos ´ cos ] cos ´ cos cos
  • 158. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 158 Cálculo diferencial 158 Como: ´ cos cos 10. cos 11. cos 12. tan 13. sec 14. 15. 16. 17. 18. 19. csc cot ] 20.y=x2sen5(2x) 21.y=sen4(x2+3x) 22. csc cot 23. cos x 24.G(t)= sec(5t)+tan(4t) 25. x sen tan 26. 27.y=sen3[cos(t)] 28. 29. DERIVADA IMPLÍCITA Una ecuación de la forma F(x,y) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita. Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como función de x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menos como una función derivable en x. La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadas en la forma usual y = f(x).
  • 159. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 159 Cálculo diferencial 159 Procedimiento para derivar implícitamente Para una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una función derivable en x, la derivada puede encontrarse: 10.Derivar cada termino de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y se le agrega . 11.Despeja , y tenga en cuenta las restricciones. Ejercicio Encuentre mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si existen. 1. 0 La ecuación se restringe en y=0 2. 0 La ecuación se restringe en y=0 3. 0 , la ecuación se restringe en x=0 4. 0 0 0
  • 160. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 160 Cálculo diferencial 160 5. ln ln ln 6. 7. 8. 9. ln 10. 0 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Problemas 1. La producción de cierta planta es 0 0 0 0 0 , unidades por día , donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de horas-trabajador no calificado. Actualmente, se emplean 60 horas-trabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Calcule intérprete la tasa de variación del número de horas-trabajador no calificado Derivamos implícitamente respecto al número de horas-trabajador calificado (x) 0 0 0 0 0 Despejamos 0 0 0 0
  • 161. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 161 Cálculo diferencial 161 Factorizamos 0 0 ] 0 0 0 0 0 0 Como 0 y 00 remplazamos 0 0 0 00 0 0 0 00 Si las horas–trabajador calificado se incrementan en 61, las horas-trabajo no calificado disminuyen en 1.28 horas por día. 2. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + q2 = 2500, donde q son las unidades que pueden venderse a una precio de $p cada una. Determine la demanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado. 3. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas de trabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de 0 000 Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas de trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64 000. 4. Suponga que el volumen de ventas de un compañía y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con xy – 20x + 10y = 0 Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto de publicidad cuando x=10 (miles de dólares) 5. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen 384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3 Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido para mantener el
  • 162. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 162 Cálculo diferencial 162 mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificada en una hora 6. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola se relaciona con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosecha y , de acuerdo con 300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5y Encuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres 7. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad está dada por p(q + 1)2 = 200 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80. Interprete el resultado 8. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad está dada por p2(2q + 1) = 100 000 Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50. Interprete el resultado. 9. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación , donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I=16 y S=12 10.Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y/y+2)+(160x/x+4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US$50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad - costo por unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción 11.Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=1000-x, y el de la
  • 163. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 163 Cálculo diferencial 163 leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x² + xy + y² es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y para maximizar las utilidades? ELASTICIDAD EN LA DEMANDA El grado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varia en gran medida en diferentes productos Costo del combustible – consumo Precio de los medicamentos – enfermos Si los cambios de los de los precios son considerables, decimos que la demanda es elástica; cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice que la demanda es inelástica. Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo el cambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos la elasticidad de la demanda en un punto (qA , pA) como η (qA, pA) Los economistas clasifican las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de la demanda a los cambios de precios usando la elasticidad  Si η < -1, la demanda es elástica y el decremento porcentual en la demanda es mayor que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio.  Si -1< η 0, la demanda es inelástica y el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.  Si η -1, la demanda es elástica unitaria y el decremento porcentual de la demanda es aproximadamente igual al incremento porcentual correspondiente en el precio. También podemos utilizar diferenciación implícita para encontrar dq/dp para evaluar la elasticidad puntual en la demanda. Problemas 1. La ecuación de demanda para cierta mercancía es qp3=24 000 calcule, indique el tipo e intérprete la elasticidad en la demanda cuando p=2 Sabemos que la elasticidad en la demanda se define η
  • 164. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 164 Cálculo diferencial 164 Conocemos p, debemos hallar q y Para hallar q remplazamos el valor de p en la ecuación original, q 000 q 000 000 Hallamos derivando implícitamente la ecuación original p dq dp qp 0 dq dp qp p q p Remplazando en la ecuación de la elasticidad η omo η -1, la demanda es elástica por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio. 2. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 0 , donde se demanda q unidades cuando el precio es de p dólares. Halle la elasticidad en la demanda cuando q=2 e indique su tipo Derivamos la función 0 Despejando 0 La elasticidad en la demanda es η Remplazando η 0 0 Simplificando η Como -1<η la demanda es elástica unitaria por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.
  • 165. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 165 Cálculo diferencial 165 3. Dada la ecuación de la demanda donde p es el precio en dólares y q las unidades demandadas. Si el precio es de 15 dólares determinar el número de unidades que se deben demandar para que la elasticidad se elástica unitaria. Derivamos implícitamente: 0 Como p=15, remplazamos 0 0 La fórmula de la elasticidad es η . Como elasticidad se elástica unitaria η -1, sustituyendo 0 Despejando 0 0 Para que la elasticidad sea elástica unitaria se tienen que demandar 150 unidades. Problemas 1. En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre la elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectará un incremento de precio el ingreso total: a. p + 4q = 80 cuando el precio p = 40 b. 2p + 3q = 150 cuando el precio p=15 c. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=6 d. pq=81 cuando el precio p=3 e. pq + p = 5000 cuando el precio p=450 y q=99 f. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 4502 g. (p + 1)(q + 1)1/2 = 1 000 cuando el precio p=39 h. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=20 i. p = 00℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10 j. q= 250 – 30p + p2, cuando p=12 k. p=86-6q-3q2,cuando q=3 Problemas
  • 166. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 166 Cálculo diferencial 166 2. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es x= 5000 – 100 ln (p + 40) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular e indicar el tipo de la elasticidad en la demanda si el precio es de 60 dólares 3. La relación de la demanda para cierto producto es q=250 -30p +p2, donde q unidades pueden venderse a un precio p cada una. Calculo la elasticidad en la demanda e indique su tipo cuando el p=12 4. Dada la ecuación de la demanda hallar e indicar el tipo de la elasticidad de la demanda cuando el precio es de 9 dólares. Interprete el resultado. 5. Dada la ecuación de la demanda . Calcular el número de unidades que se tienen que demandar para que la elasticidad sea elástica unitaria si p=20. 6. La relación de demanda para cierto producto es 0 0 . Calcular el número de unidas que se deben demandar para que la eslaticidad sea elástica unitaria
  • 167. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 167 Cálculo diferencial 167 Derivadas Parciales Funciones de dos o más Variables Existen magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo el área del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo de producción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, la concentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de haber suministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distancia en que se encuentra el punto de la inyección, Las funciones de dos variables se simbolizan f: R2 R y se representan generalmente z = f(x; y) El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Ejercicios Evalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes 1. z = x2+4xy+y2; x=1, y=-1 z = (1)2+4(1) (-1)+(-1)2 z = 1 - 4 + 1 z = -2 2. z = 4x2y-3xy3; x=2, y=2 z = 4(2)2(2)-3(2)(2)3 z = 32-48 z = -16 3. ; x=4, y=-3 4. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2=50 C(x1,x2)=600+4(400)+6(50) C(x1,x2)=600+1600+300 C(x1,x2)=2500 Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D R2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y).
  • 168. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 168 Cálculo diferencial 168 5. encuentre q(40,35) 0 0 0 7. encuentre z(3.-3) 8. z=3x + 4y; x=-1, y=2 9. z=2x3y-xy2; x=-1, y=1 10. ; x=3, y=2 11. C(x1,x2)=500+5x1- 7x2; C(200, 300) 12. , encuentre q(50, 10) 13. 0 14. con(1, 3, 1) 15. con (2, 3, 1, -1) 16. g(PA,PB) = 2PA(PB 2 – 5); g(4,8) 17. h(r,s,t,u)= ; h(-3,3,5,4) 18. h(r,s,t,u)= ; h(1,5,3,1) Problemas 1. El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidad de varios artículos distinto de maderas está dado por C(x, y)= 5 + 5x +22y , donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número de horas de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero se necesitan 20 píes de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación. Por datos x=20 y y=2.5 remplazando C(20 ,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5) C(20 ,2.5)= 5 + 100 +55 C(20, 2.5)=160 dólares El costo de fabricación de un librero será de 160 dólares
  • 169. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 169 Cálculo diferencial 169 2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas 0 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K=10 000 dólares y L=625 horas. Remplazando 0 0 000 0 0 00 Cuando el capital invertido es 10 000 dólares y se trabajan 625 horas las unidades producidas serán 37 500 b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad? Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas. Remplazando 0 000 0 0 0 Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción también se reduce a la mitad. c. Si se mantiene la inversión de capital en 10 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L. La ecuación sería 0 0 000 00 3. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY2. a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y.                                   HORAS TRABAJADAS (L) UNIDADESPRODUCIDAS(Q)
  • 170. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 170 Cálculo diferencial 170 b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, ¿cuántas unidades de X se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, ¿cuántas unidades de Y se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. 4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) más económica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote de Wilson: Q= f(K, M, h)= , donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h el costo de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.). Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta. 5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas 0 , donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K=64 000 dólares y L= 512 horas. b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican? c. Si la inversión de capital se mantiene en 64 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L. 6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada por z=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y el número promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para una semana en la que: a. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas de trabajo por máquina es 30 b. ¿Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10 máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades de mercancía? c. ¿Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidades trabajando en promedio 24 horas? 7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. La ganancia, en dólares, para la empresa está dada por P(x, y) = 100x + 64y – 0.01x2 – 0.25y2 , donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el numero de libras de Kreams vendidos por semana. a. ¿Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams?
  • 171. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 171 Cálculo diferencial 171 b. ¿Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras de Kreams y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares? c. ¿Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras de Kisses y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares? 8. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por y , donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios son PA y PB. Calcular las demandas de A y B si sus precios son $1000 y $2000 DIFERENCIACIÓN PARCIAL Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija. En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como y la derivada parcial de z respecto a y se expresa como . Obsérvese que representa la derivada de una función de una variable, x, y representa la derivada parcial de una función de dos o más variables. Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a x son: La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.
  • 172. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 172 Cálculo diferencial 172 Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y, tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denota Ejercicios 39 Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable 2. z= x4+3y3 3. z= 3xy +y2 4. z=(x3+2y2)3 5. C(x,y)=600-4x + 10x2y 6. 7. 8. z=5x2-2y 9. z= x5-6x+4y3-y2 10. 11. C(x, y)=1000-4xy+xy2
  • 173. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 173 Cálculo diferencial 173 12. 13. Ejercicios Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas 1.f(x, y)=4x3 – 5xy + y2, respecto a x en el punto(1, -2) , como x=1 y y=-2 remplazamos 2. , respecto a y en el punto (2, -1) , como x=2 y y=-1 remplazando y resolviendo 2. , respecto a x en el punto (1, 1) , como x=1 y y=1, remplazando y resolviendo 4. , respecto a y en el punto (0, 1) , como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo 5. g(PA,PB) = 2PA(PB 2 – 5); respecto a PB en el punto g(4,8) 6. h(r,s,t,u)= ; respecto a u en el punto h(-3,3,5,4) 7. h(r,s,t,u)= ; respecto a s en el punto h(1,5,3,1) 8. h(r,s,t,u)= ; respecto a t en el punto h(1,5,3,1) 9.Si z=2x + 3y, demuestre que 3zx – 2zy =0 10.Si , demuestre que xzx + yzy = 0 11.Si , demuestre que xzx + yzy = 2z 12.Si z= x3 + y3, demuestre que xzx + yzy = 3z
  • 174. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 174 Cálculo diferencial 174 13.Si , demuestre que xzx - yzy = 14. Si , demuestre que xzy – yzx = Costo Conjunto y Costo Marginal Problemas 1.El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado por C(x, y)= 30 + 3x + 5y , donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra de material. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra. Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material e intérprete los resultados. Respecto a la mano de obra hallamos Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante. Respecto a la mano de obra hallamos Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante. 2. El costo total de producir un artículo es Suponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismas materias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo de conjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cada bien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces es el costo marginal respecto al producto x y es el costo marginal respecto al producto y.
  • 175. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 175 Cálculo diferencial 175 C(x, y)= 30 + 10x2 + 20y – xy , donde x es la tarifa por hora de la mano de obra y y el costo por libra de materia prima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y la materia prima cuestan $6 por libra ¿Cómo afectará el costo total un incremento de a. $1 por libra de materia prima? Hallamos la derivada parcial del costo respecto a la materia prima Remplazando Si se incrementa la materia prima en $7 el costo de producción se incrementa en $5 b. $1 por hora en los costos de mano de obra? Remplazando Si se incrementa la mano de obra en $16 el costo se incrementa en $294 3. La producción de cierta planta es 0 00 0 0 0 unidades por día, donde X es el número de horas-trabajador calificado utilizado y Y es el número de horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horas- trabajador-calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Utilice el cálculo para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual Derivamos parcialmente respecto a las horas-trabajador calificado 0 0 0 Para que la producción se mantenga en su nivel actual 0 y como x=60, remplazamos 0 0 0 0 0 0 0 0 Despejando 0 0
  • 176. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 176 Cálculo diferencial 176 Para que la producción se mantenga en su nivel actual las horas-trabajo no calificado tienen que disminuirse en 5.14 horas día aproximadamente 4. La función costo conjunto para dos productos es C(x, y)= 50 + x2 + 8xy + y3 a. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3). b. Intérprete los resultados. 5. El costo total de producir un artículo es C(x, y)= 40 + 4x + 6y + , donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por hora de la mano de obra. ¿De qué manera afectará el costo total un aumento de a. $1 por libra de materia prima? b. $1 por hora en los costos de mano de obra? 6.El costo conjunto (en dólares) de los producto X y Y esta dado por C(x, y)= 40 + 3x2+y2+xy , donde x expresa la cantidad del producto X y y la cantidad del producto Y. a. Calcule el costo marginal respecto a x si se producen 20 unidades del producto X y 15 del producto Y. b. Calcule el costo marginal respecto a y si se producen 20 unidades del producto X y 15 del producto Y. c. Interprete los resultados. 7.Si la función costo conjunto para dos productos es C(x, y)= Si se produce 10 unidades de x y 15 de y calcule e interprete a. El costo marginal respecto a x. b. El costo marginal respecto a y. 8. La función de costos conjuntos para producir qA unidades del producto A y qB unidades del producto B está dada por 00 a. Encuentre la función costo marginal con respecto a qA y qB
  • 177. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 177 Cálculo diferencial 177 b. Evalúe las funciones costos marginales obtenidas en el enciso anterior cuando qA =17 y qB = 8. Interprete los resultados Productividad Marginal Problemas La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capital invertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K el monto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidas en un mes (la producción total) P se denota P = f(L, K) esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores de insumos de producción La derivada parcial se denomina productividad marginal de la mano de obra y productividad marginal del capital.
  • 178. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 178 Cálculo diferencial 178 1. Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividades marginales para los valores dados de L y K. L es el número de horas trabajadas por semana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semana a. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK – L2 – 2K2; L=3 y K=10 La productividad marginal de mano de obra se obtiene por , derivando P(L, K) 0 Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cada incremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que se incremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital K fija. La productividad marginal de capital se obtiene por , derivando P(L, K) Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incremento unitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente el monto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el número de horas laboradas L fija. b. P(L, K)= 18L – 5L2 + 3LK+7K - K2; L=96 y K=8 c. P(L, K)= 50L + 3L2 – 4L3 + 2LK2 – 3L2K – 2K3; L=64 y K=5 b. P(L, K)= 25L + 2L2 – 3L3 + 5LK2 – 7L2K+ 2K2 – K3; L=128 y K=10 Funciones de Demanda Problemas 29 1. La función demanda par dos productos están dadas por q1=300 – 8p1 - 4p2 q2=400 – 5p1 - 10p2 Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entonces q1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demanda del segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1 y q2 se conocen como funciones de demanda marginal
  • 179. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 179 Cálculo diferencial 179 a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=8 q1=300 – 8(10)– 4(8)=188 q2=400 – 5(10)– 10(8)=270 A los precios dados la demanda del producto 2 es mayor b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1 disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2 c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2 0 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2 disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1 disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 2. La función demanda para dos productos están dadas por q1=900 – 9p1 + 2p2 q2=1200 + 6p1 - 10p2 a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=12 b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p1 3. Dadas las funciones qA, qB, pA y pB las demandas y los precios (en dólares) de dos productos A y B calcule las demandas marginales: de qA respecto al precio pA, qA respecto al precio pB, qB respecto al precio pB y qB respecto al precio pA Función Demanda PA PB a. qA=400 – 3pA - 2pB y qB=250 - 5pA - 6pB 10 15
  • 180. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 180 Cálculo diferencial 180 b. qA=600 – 4pA + 6pB y qB=1200 + 8pA - 4pB 5 7 c. 000 0 0000 4 6 d. 00 0 000 00 10 12 5. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas por y , donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitarios son PA y PB. a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es pA= 0.1 y del segundo p2=0.2 b. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pA c. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pB d. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pA e. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pB Otras aplicaciones 1. La fórmula del interés compuesto anual está dada por 00 , donde A es el valor futuro de una inversión de P dólares en los t años a una tasa de interés anual r. a. Calcule en A(100,10,5) b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado 2. El director de mercadeo de una fábrica de bicicletas propone el siguiente esquema: ofrecer x bicicletas y triciclos a un agente de ventas por: 00 00 dólares a. Calcule en R(200,100) b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado
  • 181. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 181 Cálculo diferencial 181 LA INTEGRAL Antiderivada A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con base en información acerca de la propensión marginal al consumo.
  • 182. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 182 Cálculo diferencial 182 La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de un función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x2, pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de la función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante Ejercicios 41 Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x): 1. f´(x) = 4x si f(x) = 2x2 + 1 2. f´(x) = 3x2 si f(x) = x3 – 12 3. f´(x) = si f(x) = x2 + 4x - 1 4. f´(x) = x si f(x) = (1 + x) 5. f´(x) = si f(x) = 6. f´(x) = x si f(x) = Integral Indefinida Reglas de Integración Regla Expresión De una Constante ∫ k dx kx c donde c es una constante de integración Ejemplo: ∫ dx x c Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante El símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una suma- indica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así ∫ f(x) dx = F(x) + C Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable independiente es t, se escribe ∫ f(t) dt.
  • 183. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 183 Cálculo diferencial 183 De la Potencia ∫ xn dx = n Ejemplo: ∫ x3dx = De un múltiplo constante ∫k f x dx k ∫ f x dx Ejemplo: ∫ x2dx ∫ x2dx = 2 [ ] = x c De la suma ∫ f x g x ] dx ∫f x dx ∫g x dx ∫ x2 + 4x – dx ∫ x2 dx ∫ x dx – ∫ dx x x x c =x3 + 2x2 – x + c Exponencial Logarítmica Ejercicios Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando Problemas 1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es: C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares
  • 184. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 184 Cálculo diferencial 184 Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de fabricar 60 unidades. ´ x x-x x c Solución General Como C(x)=29 050 cuando x=30, 0 0 0 0 0 0 – 00 000 0 Despejando 0 0 0 c ó c 00 Remplazando en la solución general x x - x x 00 Solución Particular Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular 0 0 0 0 00 00 00 000 00 00 El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares 2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M'´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad del complejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años ´ 0x 000 dx 0 x 000x c 0x 000x c Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es 0x 000x Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando 0 000 0 000 0 000 0 En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares 3. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual R ( en miles de pesos) que una persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número de años de educación t está dada por
  • 185. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 185 Cálculo diferencial 185 00 , donde R=55 000 cuando t=9. Encontrar a. La función ingreso total b. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio. 4. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es R'(x) = 15 - 4x Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos: a. Determine la función ingreso total. b. Determine la ecuación de demanda. 5. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros de gastos médicos es Q´(x) = 32x + 92 , donde x es el número de seguros vendidos y Q´(x) es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0 entonces Q(x)=10 000). b. Determinar el costo de vender 100 seguros. 6. Sea S´(t)= 4 + 5t2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es S(0)=3000. a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas 7. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo esta dado por ´ , si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos 8. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es R´(x)=12 – 0.0004x Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares, determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades 9. El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2
  • 186. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 186 Cálculo diferencial 186 Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre c. La función costo d. El costo de producir 500 unidades 10. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus productos es 00 , determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5 unidades. 11. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =- 0.3x + 450, ¿cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades? 12. Una compañía a encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es ´ 00 , donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40. a. Encuentre la función de costo promedio del producto b. Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto 13. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante 0 , donde t es el número de años que han pasado desde 1990. a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995, encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos. b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000 14. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de cambio del gasto se puede modelar con
  • 187. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 187 Cálculo diferencial 187 0 00 , donde t=0 en 1960. a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al cuidado de la salud para el 2010 15. Si el ingreso marginal esta dado por 00 Determine la ecuación de la demanda correspondiente 16. Si el costo marginal está dado por , si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares 17. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por R´(x)=-0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x) asociada con la producción y venta de relojes INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Ejercicio Integrar cada función 1. ∫ Hacemos derivando u respecto a x obtenemos , despejando remplazando en la función original Es utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas. Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integral mediante un cambio de variable.
  • 188. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 188 Cálculo diferencial 188 Remplazando el valor de u obtenemos 2. ∫ 3. ∫ 9. ∫ 10. ∫ 11.∫ 12. ∫ 13. ∫ 14.∫ 15. ∫ Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios 1. ∫ Si comparamos con la definición y ´ entonces Si derivamos obtenemos 2. ∫ Para que tenga la forma ∫ ] ´ multiplicamos y dividimos por 3 Factorizando ] ´ ]
  • 189. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 189 Cálculo diferencial 189 Aplicamos la fórmula ∫ ] ´ ] Si derivamos obtenemos 3. ∫ El ejercicio se puede expresar Para que tenga la forma ∫ ] ´ multiplicamos y dividimos por 4 Factorizando Aplicamos la fórmula ∫ ] ´ ] Si derivamos obtenemos 4. ∫ El ejercicio se puede expresar Para que tenga la forma ∫ ] ´ multiplicamos y dividimos por -5 Factorizando
  • 190. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 190 Cálculo diferencial 190 Aplicamos la fórmula ∫ ] ´ ] Si derivamos obtenemos Ejercicios. Integrar Problemas 1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de ´ 0 0 , donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares. a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t. b. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000? Para hallar la expresión del costo de producción debemos hallar Que podemos expresar ∫
  • 191. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 191 Cálculo diferencial 191 Para que tenga la forma ∫ ] ´ multiplicamos y dividimos por 3 Factorizando Aplicamos la fórmula ∫ ] ´ ] La ecuación general sería Como para 1990 los panales costaban $10 dólares. 0 0 0 Despejando 0 Entonces Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular Si queremos saber el costo de los paneles en el 2000 hallamos t 000 0 0 Remplazando 0 0 0 0 0 0 Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares 2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de ´ 000 0
  • 192. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 192 Cálculo diferencial 192 Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años. b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años? Para hallar la expresión total de estudiantes inscritos debemos hallar 000 0 Que podemos expresar 000 0 Para que tenga la forma ∫ ] ´ multiplicamos y dividimos por 0.2 000 0 0 0 Factorizando 000 0 0 0 Aplicamos la fórmula ∫ ] ´ ] 0000 0 La ecuación general sería 0000 0 0000 0 Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes 000 0000 0 0 Despejando 000 000 Entonces Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular Para saber cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años, hacemos
  • 193. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 193 Cálculo diferencial 193 Remplazando En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes 3. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dado por ´ 00 00 , en donde x es el número de pares de zapatos producidos. a. Determine la función costo b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos 4. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por: 00 Encuentre la función de la demanda si q=100 5. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por 0 0 , donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total. 6. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por 0 000 0 000 0 , donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras. 7. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física, es
  • 194. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 194 Cálculo diferencial 194 la productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles es 0 , donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0 8. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de 00 00 0 ] , donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo. b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana? 9. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por , donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas? 10. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por: R´ x x x 00 a.Encuentre la función ingreso b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades Integrales que Involucran Funciones Exponenciales ´
  • 195. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 195 Cálculo diferencial 195 Ejercicios Calcule las integrales 1. ∫ 2. ∫ El ejercicio lo podemos escribir Tiene la forma ∫ ´ ∫ , aplicando la fórmula 3. ∫ Para que quede expresado de la forma ∫ ´ , multiplicamos y dividimos por 2 Factorizamos Aplicamos la fórmula ∫ ´ ∫ 4. ∫ La expresión se puede escribir Si multiplicamos y dividimos por -2 Factorizamos Aplicamos la fórmula ∫ ´ ∫ Ejercicios Calcule cada integral 000 0
  • 196. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 196 Cálculo diferencial 196 Problemas 1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares puede modelarse por medio de , donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa. a. Encuentre V(t) b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida La expresión equivale a ∫ Factorizando ∫ Multiplicamos y dividimos por 0.05 ∫ Factorizando 0 0 0 0 Aplicamos la fórmula ∫ ´ ∫ + , obtenemos la ecuación general 0 0 Para t=0 V=350000, remplazando hallamos el valor de la constante C 0000 0 0 0000 0 0000 0 0 Remplazando en la ecuación general 0 0 0 Para hallar el valor de la casa 10 años después de construida hacemos t=10, remplazamos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
  • 197. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 197 Cálculo diferencial 197 En 10 años la casa costará 350103 dólares 2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es ´ ¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto? La expresión ´ equivale a ∫ Factorizando ∫ Multiplicamos y dividimos por 0.01 ∫ Factorizando 0 0 0 0 Aplicamos la fórmula ∫ ´ ∫ + , obtenemos la ecuación general 00 Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el valor de la constante C 0 00 0 00 00 Remplazando en la ecuación general 00 00 00 Para hallar el ingreso por la venta de 100 unidades hacemos x=100 00 00 00 00 0 0 El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares aproximadamente 3. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es 0 a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro? 4. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante
  • 198. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 198 Cálculo diferencial 198 , donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos. b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 5. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa ´ 0 t 00 , donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0. a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después de culminar la campaña b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña 6. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante , donde t es el número de años que han pasado desde 1960 a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total. b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 7. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por dx dt 0 e t 0 Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas 8. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela particular dado por ´ 0 , donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.
  • 199. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 199 Cálculo diferencial 199 9. Durante una crisis económica, reciente el porcentaje de desempleados creció a razón de ´ 0 , donde t es el tiempo en meses. Dado que en t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado?: a. 10 meses después b. 20 meses después 10.Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de ´ 000 , unidades por año Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado? Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas Ejercicios Calcule cada integral 1. ∫ Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma ∫ ´ du aplicando la formula ∫ ´ du u c obtenemos ln 2. ∫ Multiplicamos y dividimos el integrando por 4
  • 200. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 200 Cálculo diferencial 200 Factorizamos El integrando tiene la forma ∫ ´ du u c, resolvemos ln 3. ∫ Observamos que la derivada del denominador del integrando ( es , por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6 Factorizamos el 6 del denominador El integrando tiene la forma ∫ ´ du u c, resolvemos ln Ejercicios Calcule cada integral 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫ 4. ∫ 5. ∫ 6. ∫ 7. ∫ 8.∫ 9. ∫ Problemas 1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por ´ , si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar Factorizamos
  • 201. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 201 Cálculo diferencial 201 El integrando tiene la forma ∫ ´ du u c, resolvemos y obtenemos la ecuación general ln Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades ln 0 Remplazando en la ecuación general ln 0 Para p=14 dólares ln 0 Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades 2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por ´ 00 , donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades? Debemos hallar 00 Factorizamos 00 El integrando tiene la forma ∫ ´ du u c, resolvemos y obtenemos la ecuación general 00 ln Como C(5)=1980 0 00 ln 0 00 ln 0 0 Remplazando en la ecuación general 00 ln 0 Para x=50 unidades 00 ln 0 0 Producir 50 unidades costaría 2867 dólares
  • 202. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 202 Cálculo diferencial 202 3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por 0 00 0 Donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades 4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente esta dado por ´ , dólares Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades 5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por ´ Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares. 6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por ´ 0 Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades TALLER Tema: Integrales Indefinidas 1. Resuelva cada una de las siguientes integrales a. ∫ = b. ∫ =
  • 203. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 203 Cálculo diferencial 203 c. ∫ = d. ∫ = e. ∫ = f. ∫ g. ∫ = Problemas 2. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por R`(x)=-0.009x + 12 , donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes. 3. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de 0 , años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para g(t) para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991? SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
  • 204. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 204 Cálculo diferencial 204 Ejercicios 47 Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones 1. ∫ 2. ∫ 0 3. ∫ 4. ∫ ln ] ln ] ln ] 0 ] 0] Ejercicios 48 1.∫ 2.∫ 3.∫ 4.∫ 5.∫ 6.∫ 7.∫ 8.∫ 9.∫ 10.∫ 11.∫ 12.∫ 13.∫ 14.∫ 15.   2 0 32 12 dxxx 16.   4 2 4 5 4 dx x 17.    1 1 23 652 dxxxx 18.∫ 19.∫ 20.∫ 21.∫ Problemas 1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por ´ . Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f, entonces:
  • 205. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 205 Cálculo diferencial 205 Debemos calcular Integrando Simplificando y remplazando ] ] ] ] El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias 2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es dólares por año, calcule el costo total de reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular Integrando Simplificando Remplazando ] ] ] ] El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de 133.6 dólares Para un periodo de t=4 Calculamos Remplazando ] ] ] ] El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de 300.8 dólares Para un periodo de t=6 Calculamos Remplazando ] ] ] ]
  • 206. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 206 Cálculo diferencial 206 El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de 511.2 dólares Encontramos que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de reparación 3. La función de costo marginal de un fabricante es Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades. 4. La función de ingreso marginal de un fabricante es Si R está en dólares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 500 a 800 unidades 5. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es C´(x)= 74 + 1.1x – 0.002x2 + 0.00004x3 dólares por unidad Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades 6. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años esta dado por S´(t)= 120 – 4t – 0.5t2 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años. 7. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años? 8. La función ingreso marginal de un fabricante es Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades
  • 207. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 207 Cálculo diferencial 207 9. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D´(t)= 3 000 (20 – t) dólares por año 0 t 0 Use la integral definida para encontrar: a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años 10. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f´(x) = 1000 + 5000x. ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? 11. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades 12. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) = . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos 13. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S´(t) = -3t2 + 300t , donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 t 0 a. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se término la campaña (t=0 a t=7) b. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se término la campaña (t=7 a t=14) 14. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 unidades de un artículo esta dado por ∫ donde D(q) es la función de la demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos
  • 208. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 208 Cálculo diferencial 208 ÁREA BAJO LA CURVA Ejercicio 1. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y 2. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y 3. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y 4. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y 5. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y Problemas de aplicación 3. La tasa de depreciación de un edificio está dada por ´ dólares al año, . a. Haga una grafica que represente la depreciación total del edificio b. Calcule la depreciación de los primeros 10 años. Si es un función continua en ] y ≥ en ] entonces el área exacta entre y el eje de las en a esta dada por
  • 209. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 209 Cálculo diferencial 209 2. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: S´(t) = -3t2 + 300t , donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 t 30. Haga una grafica que represente las ventas los primeros 10 días. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA Valor promedio Problemas 1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por: C (x)= 5000+16x+0.1x2 El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal C (x)= 5000+16x+0.1x2 = 00- 00 ∫ 000 x 0 x dx 00 00 = 00 (5000x +8x² + 0.033x³) 00 00 = 00 000 00 00 0 0 00 - 000 00 00 0 0 00 = 00 (1.584.000 – 613000) = 00 (971000) = 9710 Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades será de 9710 dólares 2. La función demanda para cierto articulo está dada por: P= 500+ El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es Valor promedio = ∫
  • 210. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 210 Cálculo diferencial 210 , donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se demanda en 50 y 100. 00- 0 ∫ 00+ ) dq = 0 00q 00ln q ] 00 0 = (50461.512- 25393.183) = (25 068.329) = 501.3666 El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 Unidades Monetarias. 3. El ingreso total de una maquina de videos está dada por: I=50e0.2t Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas. = ∫ 0 dt = ∫ dt = x 0 = e0 - e = (62.5 - 62.5) = (139.096 – 62.5) = 76.596 El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias 4. La utilidad (en dólares) de un negocio está dada por p=369q – 2.1q2 – 400, donde q es el número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de q=1 a q=100. 5. Suponga que el costo(C) de producir q unidades de un producto está dado por C=4000 + 10q + 0.1q2. Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q=100 a q=500
  • 211. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 211 Cálculo diferencial 211 6. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por C(x)= 400+x+0.3x2, donde x es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a 20 unidades 7. El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=x2 + 400x + 2 000 Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa el resultado? 8. El número de ventas diarias de un producto está dado por 00 00 , x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto. a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la campaña, es decir x=0 a x=20. b. Si no se inicio una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30) 9. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa de interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años. Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años. 10.La ecuación de demanda para cierto producto está dada por 0 0 00 Encuentre el precio promedio si se demandan de 100 a 200 unidades Ingreso Total Problemas 36 1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por Ingreso total = ∫
  • 212. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 212 Cálculo diferencial 212 dada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años. 2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000 dólares por año 3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500 dólares por año 4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) = 24 000e0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el primer año 5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un flujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10 000e0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los primeros dos años. 6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=80e0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo para los siguientes 10 años. Valor Presente de un flujo continuo de ingreso Valor Futuro de un flujo continúo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es Valor-presente = ∫ Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo
  • 213. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 213 Cálculo diferencial 213 Problemas 1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t) = 9 000e0.12t (dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre a. El Ingreso total Por definición el ingreso total esta dado por ∫ , por datos f(t) = 9 000e0.12t y k = 10 remplazando 000 000 0 0 000 0 0 000 0 0 000 000 ] 000 ] 00 El ingreso total del flujo continuo f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 249 009 dólares por año b. El valor presente 000 000 000 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0000 0 0 0000 0000 0000 0 El valor Presente del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 123 318 dólares Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es Valor-futuro = ∫
  • 214. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 214 Cálculo diferencial 214 c. El valor futuro 00 El valor futuro del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 224 700 dólares 2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 12 000e0.04t (millones de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa del 8% compuesta encuentre para los próximos 8 años a. El Ingreso total Por definición el ingreso total esta dado por , por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t y k = 8 remplazando 000 000 0 0 0 0 000 0 0 0 0 00000 0 00000 00000 ] 00000 0 ] El ingreso total del flujo continuo será de 113138 millones de pesos b. El valor presente Por definición el ingreso total esta dado por , por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando
  • 215. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 215 Cálculo diferencial 215 000 000 000 0 0 0 0 000 0 0 0 0 00000 0 00000 00000 0 ] 00000 0 ] El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 millones de pesos c. El valor futuro Por definición el ingreso total esta dado por , por datos ∫ , r=0.08 y k=8, remplazando ] 0 El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806 millones de pesos 3. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares por año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente, encuentre este valor presente 4. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 1 000e0.02t, en millones de pesos por año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto continuamente, para los próximos 4 años, encuentre a. El valor presente b. El valor futuro
  • 216. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 216 Cálculo diferencial 216 5. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por f(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los próximos 5 años calcule: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 6. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual en el tiempo t está dada por f(t) = 97.5e-0.2(t+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las prensas durante los siguientes 10 años. 7. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de ropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por G(t)=30 000 (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por G(t)=21 600e0.08 (miles de pesos por año) . La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra. Superávit de Consumidor El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta. Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Los consumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio más
  • 217. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 217 Cálculo diferencial 217 bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p1 se conoce como superávit del consumidor cuya fórmula está dada por , donde f(x) es la demanda, p1 es el precio de equilibrio y x1 es la cantidad en equilibrio, p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso. Problemas 1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor? Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1 Remplazando 0 00 00 0 Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es 00 0 00 ln 0 00 ln ln ] 0 00 0] 0 0 0 0 El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares 2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p = x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad
  • 218. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 218 Cálculo diferencial 218 0 0 Factorizando 0 Ósea que 0 o 0 Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la ecuación de la oferta Entonces el precio de equilibrio , como la demanda , remplazamos en la ecuación ∫ Resolviendo 0 0 0 0 0 El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares 3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 6. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 7. La función demanda de cierto producto es p = 81 – x2 y la función oferta es p = x2 +4x + 11. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.
  • 219. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 219 Cálculo diferencial 219 8. La función demanda de cierto producto es p = 49 – x2 y la función oferta es p = 4x + 4. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. SUPERÁVIT DEL PRODUCTOR Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p1 y la curva de la oferta x=0 y x=x1 da como resultado el superávit del productor. Si la función de la oferta es p = g(x), el superávit de productor esta dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x1. , p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio. Problemas 1. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el precio de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor? Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio de equilibrio en la función oferta 0 0 0 Factorizando 0 ó 0 La cantidad en equilibrio es 0 La función oferta es , remplazamos en ∫
  • 220. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 220 Cálculo diferencial 220 0 Resolviendo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] El superávit del productor será de 2766.67 dólares 2. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta Despejando 0 0 Factorizando 0 0 Ósea que 0 o 2 0 0 Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la función demanda Entonces el precio de equilibrio , como la oferta es , remplazamos en ∫ Resolviendo 0 0 0 0 0 0 0 0
  • 221. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 221 Cálculo diferencial 221 El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares 3. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el precio de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor? 4. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit del productor cuando se venden 15 unidades? 5. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y la función oferta es 00 , si la cantidad en equilibrio es de 31 unidades encuentre: a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor 6. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida D: p= 15 -2x O: p=3 + x D: p=17 – 0.5x O: p= 5+0.3x D: p =1100 –q2 O: p = 300 + q2 D: p = 400 – q2 O: p = 20q +100 D: O: p= x +1 D: p =110 – x2 O: p =2 -6/5x +1/5x2 D: p = 12/(x + 1) O: p = 1 + 0.2x D: p = 49 – x2 O: p=4x + 4 D: p =22 – 0.8x O: p = 6 + 1.2x D: x= 30 – 2p O: x= 4p + 6 INTEGRACIÓN POR PARTES La integración por partes es una técnica de integración donde se usa una fórmula que se origina de la regla del producto para la derivada
  • 222. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 222 Cálculo diferencial 222 Ejercicios Integre 1. ∫ Hacemos u=x y dv=exdx entonces du=1dx y v=ex remplazando en la fórmula 2. ∫ Hacemos u=ln(x) y dv=xdx entonces du= y v= remplazando en la fórmula ln ln ln 3. ∫ ln Hacemos u=ln(x2) y dv=dx entonces du= y v=x remplazando en la fórmula ln ln ln ln 4. ∫ Hacemos u=x2 y dv=e2xdx entonces du=2xdx y v= e2x remplazando en la fórmula La integración por parte es muy útil si la integral que se trata de calcular se puede manejar como el producto de un función u y el diferencial dv, de una segunda función de modo que se pueda encontrar las dos integrales ∫ y ∫
  • 223. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 223 Cálculo diferencial 223 Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx entonces du=dx y v= e2x remplazando 5. ∫ Hacemos u=x2 entonces du=2xdx y dv=x dx entonces v= remplazando Problemas 1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas? Debemos hallar 000 000 Hacemos entonces y entonces , aplicando la formula de integración por parte ∫ ∫ 000 000 0 0
  • 224. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 224 Cálculo diferencial 224 000 ∫ ] 000 0 0 0 ] La ecuación general es ] Para S(0)=0 0 000 0 0 ] 000 00000 Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular ] Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemos t=4 ] Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147 juegos 2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza para los próximos 2 años. La fórmula del valor presente es ∫ donde y 0 0 remplazando 00000 00 00000 00 ∫ 00000 00 ∫ (1) Resolvemos la integral ∫ integrando por parte.
  • 225. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 225 Cálculo diferencial 225 Hacemos entonces y entonces Aplicando la fórmula ∫ ∫ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Integrando ∫ 0 0 0 0 0 0 0 0 entonces ∫ Integramos 00000 00000 0 0 0 0000 00000 0000 0 Remplazando en (1) 00000 00 0 00 0 El valor presente de la pieza para los próximos 2 años será de 558960.79
  • 226. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 226 Cálculo diferencial 226 3. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus productos es ´ 00 0 , dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades 4. Si la función oferta para x unidades de una mercancía es p=30 + 50 ln(2x +1)2 pesos ¿cuál es el superávit del productor en x=30? 5. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t)=10 000 – 500t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años. 6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por f(t)=280 000 -14 000t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina los próximos 8 años. 7. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo de ingreso con una tasa anual dada por f(t)=100te-0.1t , en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10 años. 8. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país esta dada por y = xe (x-1) Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso 9. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por ´ 000ln 0 0
  • 227. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 227 Cálculo diferencial 227 , donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $2000, determine la función costo BIBLIOGRAFÍA  HARSHBARGER R., REYNOLDS J. Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición  LEITHOLD L. El Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. Editorial Harla. 1988  LEITHOLD L. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Mexicana. Quinta Edición  STEWART J. Cálculo Trascendente Tempranas. Ed. Thompson Learning. Cuarta Edición  HOFFMAN L. D., BRADLEY G. Cálculo Aplicado a la Administración Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición.  SOLER F. F., Núñez R. y Aranda S. M. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe Ediciones.  ARYA J. C., LARDNER R. W. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Pearson, Prentice Hall. Tercera Edición  LARSON R. E, HOSTETLER R. P. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill  HAEUSSLER E. F. – PAUL R. S. – WOOD R. J.. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Decimosegunda Edición. México 2008.  SOO TANG TAN. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson. Tercera Edición. 2005  ANDONEGUI ZABALA, MARTÍN. La función Matemática. Serie Desarrollo del Pensamiento Matemático N° 20. Federación Internacional Fe y Alegría. Enero de 2008. Caracas Venezuela  JIMÉNEZ, RENÉ. Funciones. Pearson Educación, México, 2006
  • 228. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 228 Cálculo diferencial 228  BECERRA ESPINOZA, JOSÉ MANUEL. Matemáticas V, El placer de dominarlas sin complicaciones. Universidad Nacional Autónoma de México, 2044. Primera Edición  SALAS, S., HILLE, E., ETGEN, G., CALCULUS: Una y varias variables. Volumen I. Cuarta Edición. Editorial Reverte. España 2007  ZUAZUA, Enrique. Ecuaciones en Derivadas Parciales. Universidad Autonoma de Madrid. España. 2004  ANTONYAN N, CENDEJAS L., AGUILAR G. Matemáticas 2: Funciones. Thomson Editores S. A. México 2007.  CASTRO P J, GONZÁLEZ N. Problemario de Matemáticas para Administración y Economía. Thomson Editores S.A. México 2002. Web-grafía  http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node15.html  http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_CNST_2/Aplicaciones_de_las_deri vadas/concavidad.htm  http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/mar ia_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf  Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias. Mérida Venezuela 10/Mayo/2011  http://education.ti.com/xchange/LATINOAMERICA/Matematicas/Calculo/17492 /AreaEntreCurvas.pdf  http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/Derivada_Fun_Trigon. pdf  http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica  https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_%28trigonometr%C3%ADa%29  http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria _victoria/funciones.pdf  http://www.ing.unp.edu.ar/matematica/Modulos/Unidad_7.PDF

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