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Mis Notas de clase   cálculo diferencial 2012-2
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Mis Notas de clase cálculo diferencial 2012-2

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Este es un documento fruto de mi labor docente durante más de 20 años en instituciones de educación básica, media, técnicas, tecnológicas y nivel superior.

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  • 1. Cálculo Diferencial“con problemas de aplicación orientados haciala administración y la economía”
  • 2. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial2Con especial cariño a mimadre Delva por su crianza, por lasemilla que sembraste en mí, a Liliami esposa, por su apoyo, estimulo,comprensión y sacrificio, a mis hijosporque son mi fuente deinspiración, a todas aquellaspersonas que han creído en mitrabajo y que me han dado laoportunidad de seguir creciendocada día y a mis estudiantes aquienes va dirigido este trabajo.GraciasJosé Francisco Barros TroncosoFebrero 12 de 2013
  • 3. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial3CONTENIDOIntroducción 5FUNCIÓNPareja Ordenada 6Producto Cartesiano 6Intervalo 7Relación 11Función 12Representación de una Función 12Función InversaFunciones Pares e ImparesRaíces e InterceptosFunción Creciente y DecrecienteFunción AcotadaConcavidad y ConvexidadDominios y Rangos18202223242525Notación Funcional 26Algebra de Funciones 30Gráfica de Funciones 34Gráfica de funciones con tecnología 35Función Lineal 41Ecuación de la recta 41Modelación de la función lineal 49Función Cuadrática 52Modelación de la función cuadrática 58Funciones con tecnología 53Función Polinómica de Grado Superior a dos 60Función Exponencial 62Función Logarítmica 65Tipos de logaritmos 60Modelación de las Funciones Exponenciales 64Funciones con tecnología 68Función Cociente 74Función por Parte o por Trozos 77Función Valor Absoluto 84INCREMENTO Y TASAS 86LIMITE 92Limites Laterales 92Propiedades de los límites 93Limites Indeterminados 93Continuidad en un punto 94
  • 4. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial4Limites de las funciones definidas por partes 95Limites Infinitos 99Limites con Tecnología 103LA DERIVADA 104Tasa de cambio promedio 104Tasa de cambio instantánea 105Pendiente de la recta 105Derivada 105Fórmulas de la Derivada 107Regla de la Cadena 112Regla de la Potencia 112Derivadas de Orden Superior 116Máximos y Mínimos Relativos 117Prueba de la primera derivada 117Prueba de la segunda derivada 118Derivada de las Funciones Logarítmicas 128Derivada de las Funciones Exponenciales 130Derivada Implícita 134Elasticidad en la Demanda 137Derivadas Parciales 141Funciones de dos o más Variables 141Diferenciación Parcial 144Costo Conjunto y Costo Marginal 125Productividad Marginal 150Funciones de Demanda 151LA INTEGRAL 153Antiderivada 153Integral Indefinida 153Reglas de Integración 154Regla de la Potencia para la Integración 158Integrales que Involucran Funciones Exponenciales 164Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas 168Segundo Teorema Fundamental del Cálculo 173Aplicaciones del Cálculo Integral en la Administración y en la Economía 177Valor promedio 177Ingreso Total 179Valor Presente de un flujo continuo de ingreso 180Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso 180Superávit de Consumidor 184Superávit del Productor 186Integración por Partes 189BIBLIOGRAFÍA 194
  • 5. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial5INTRODUCCIÓNEl presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de laexperiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas deMaicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena,Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de EducaciónSuperior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino).La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particularen la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la quetradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramientafundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de lasociedad.El documento no pretende plagiar la información contenida en librosespecializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sinodar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollode problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional.El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial enforma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas quefaciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el desolucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
  • 6. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial6FUNCIÓNEn la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente paradeterminar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamientode dos o más variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemáticaspara representar el comportamiento de los agentes económicosEn la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de laotra. Ejemplo:En consecuencia:La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también planonumérico.Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del planogeométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).Cantidad de Producción - Costo AsociadoCantidad Comprada – PrecioMano de Obra - CapitalOferta - DemandaImpuesto - Valor de la MercancíaHoras trabajadas – salarioDistancia – TiempoDedicación – RendimientoMantenimiento – Tiempo de vidabaP(a,b)Producto CartesianoSean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primeracomponente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llamaproducto cartesiano de A y B. Simbólicamente:
  • 7. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial71122345Ejemplo 1:Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.GráficamenteEjemplo 2:SeanSu representación geométrica es:A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos quepertenecen a los segmentos PQ y QR.INTERVALOSSubconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.Finitos AbiertoSubconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b}Gráficamente∞-∞a b
  • 8. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial8 CerradoSubconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,simbólicamente [a , b] = {x a x b}Gráficamente Semi-abierto o semi-cerrado(a , b] = {x a x b}[a , b) = {x a x b} Intervalos Infinitos:(a ∞ x / x > a}[a ∞ x x ≥ a}(-∞ a x / x < a}(-∞ a] x x a}Ejercicios1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientesigualdades:(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)2. Sean ya. Calcularb. Representar gráficamente∞-∞a b∞-∞a b∞-∞a b∞-∞a∞-∞a∞-∞a∞-∞a
  • 9. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial93. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacerun diagrama cartesiano de A x B y B x A.4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráficaa.(1,3) b. (0,3] c. [- ∞ d.(-∞e.[-0.5, 4.5) f.( ] [ ) ( ∞)5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ∞ calcular y representar gráficamentea. A n Bb. B - Ac. Ccd. Ac n Bce. (A - B)c – C6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen:a. Su unión (-8,2]b. Su intersección [-3, 1)c. Su diferencia (-∞d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica?8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a0.80x Si 0 x 0C(x)= 0.70x Si 0 x 000.65x Si x > 200
  • 10. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial10RelaciónRegla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, sepuede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o unadesigualdad.xy(100,3800)(0,-200)(2.53, 0)(197.46, 0)Unidades VendidasUtilidad, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg)a. Exprese cada condición en forma de intervalo.b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajadordespués de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de0Donde P es el número de unidades producidas por hora.a. ¿Qué significa la condición 0 ?b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo10.La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de ciertoproductoDetermine el o los intervalosa. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué?b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué?c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué?d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué?Ejercicios1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación:
  • 11. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial11a. Que la primera componente sea el doble de la segunda.b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera.c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar noconsecutivo.d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de lasegunda.2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas:a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11)b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5)c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17)d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.ProblemasObtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el preciodisminuye en US$ 4 dólares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si sedemandan 5 unidades.2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada año sedeprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehículo a loscinco años de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y lasegunda el precio.3. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en$1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio.4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidadesdemandadas.5. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares omás pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidaddemandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa elprecio y la segunda las unidades demandadas
  • 12. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial126. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primeracomponente representa la cantidad y la segunda el costo.7. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de SantaMarta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias seincrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y lasegunda el número de familias vinculadas al proyecto.8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función delprecio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio(p) y la segunda el ingreso (I).9. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por00. Si la primera componente representa la cantidad de litros delproducto y la segunda el costo total de la producción.Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denotaf: A Bx y=f(x)Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementosy=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y lavariable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B seconoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman lasvariables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conocecomo variable dependiente.Representación de una FunciónUna función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven,como graficas cartesianas y por formulas.De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos opensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser lamadre de” “ser la cuarta parte de” “ser el siguiente de” “ser el doble de… másunidades” etc.FunciónEs una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la mismaprimera componente.
  • 13. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial13EjerciciosEscriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa unafunción?1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera?2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda?3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera?4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda?5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anteriorno consecutivo?Problemas1. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículosproducidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades quese produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500unidades2. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en$1200. La primera componente representa el número de años y la segunda elprecio.3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidadesdemandadas.4. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo pordebajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primeracomponente representa el precio y la segunda las unidades demandadas5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina esde $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Laprimera componente representa la cantidad y la segunda el costo.En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores[variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia quedefine determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen elsalario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, preciode cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresasEjercicios
  • 14. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial141. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyectoapícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007Nº defamilias128 253 378 503 628 753 878 1003 11282. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículoCosto 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 2083. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionadosAño 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999Ingresos(millones)63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.154. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de usoAños de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9Fracción deartefactos quefuncionan0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.335. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de díasque lleva trabajando en una empresas de informáticaDías 1 5 10 15 20 25 30 45 60Número deComputadores1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida yde llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entreéstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso deque los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.
  • 15. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial15Ejercicios1. 2.f es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, 4}El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16}El Recorrido de f{1, 4, 9, 16}Si en una función el co-dominio es igual alrecorrido se dice sobreyectivaf es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, -2}El Co-dominio de f {1, 4, 9}El Recorrido de f{1, 4, 9}f es sobreyectiva3. 4.f es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3}El Co-dominio de f {1, 4, 9,16}El Recorrido de f{1, 4, 9}f no es sobreyectivaf no es una función porque hay unelemento A que no tiene imagen en BA Bf123414916A Bf14916123A Bf123-2149A Bf12314916
  • 16. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial165. 6.f no es una función porque hay unelemento A que no tiene dos imágenes enBf es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 4, 16}El Co-dominio de f {1}El Recorrido de f{1}Si y=f(x)=k para cualquier valor de xentonces se dice que la función esconstanteEn forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes dereferencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otrovertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de lavariable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes deizquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente,también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo haciaarriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical quecorta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un puntode la grafica, esta no representa a una función.Es función No es función Es funciónxyxyxyfA B141612-24fA B12341
  • 17. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial17Es función No es función Es funciónInyectiva sobreyectiva Inyectivaxyxyxyxyxyxyxyf(x)=x^2, x>=0Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica deuna función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno ysi la corta en más de un punto se llama sobreyectivaSi una función, como la que se muestraen la gráfica, una parábola donde seconsidera únicamente la parte positivadel dominio, es inyectiva y sobreyectivase dice biyectiva
  • 18. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial18Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresionesalgebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relaciónexistente entre las variables independientes y la variable dependiente.Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas ytrascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresionesalgebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales,irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así paradistinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y lastrigonométricasPolínomicasLinealesCuadráticasPolinomialesRacionalesIrracionalesPolínomicasPor trozos, (por sección opor partes )≥Las trascendentesLogarítmicaslogExponenciales00 .TrigonométricascosEsquemáticamenteff:A Bf-1f -1 :B AFunción Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la funciónx= g(y).A Bx y=f(x)B Ay=f(x) x
  • 19. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial19Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la funciónoriginal, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funcionestienen inversa.EjerciciosObtener la función inversa de cada función1. y=4x + 1DespejandoGraficas2. y=x2+1DespejandoGráficas3.DespejandoGráficas4.DespejandoGráficas5.6.7.8.xyy=4x+1x=(y-1)/4xyy=x^2+1x=(y-1)^(1/2)xyy=(x+3)/(x-2)x=(3+2y)/(y-1)xyy=(x-1)^(1/2)x=y^2+1
  • 20. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial20La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar essimétrica respecto al origenEjerciciosEn cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ningunade las anteriores1. f(x)=x2 Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=f(1) como f(x)=x2(-1)2=(1)21 = 1Por lo tanto f(x)=x2 es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=-f(1) como f(x)=x2(-1)2=-(1)21 = -1Por lo tanto f(x)=x2 no es imparGráfica2. Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=f(1) como( )= ( )- 1 = 1Por lo tanto no es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=-f(1) como( )= - ( )-1 = -1Por lo tanto es imparGráfica   xyy = x^2     xyFunciones Pares e ImparesSe dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tieneque f(-x)=f(x).Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tieneque f(-x)=-f(x).
  • 21. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial213.4. f(x)=x35. f(x)=2x6. f(x)=4x2-2xEjerciciosVerificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar1. 2.3. 4.     xyy = 3x-x^3   xyxyy = 4x^5+3x^3-2x        xy
  • 22. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial22Raíces e InterceptosEjerciciosHalle las raíces y los interceptos de cada función (si existen)1. f(x) = x2-2x-3Para hallar las raíces hacemos f(x)=0entonces x2-2x-3=0Factorizando (x-3)(x+1)=0, entoncesx1-3=0 por lo que x1 = 3y x2+1=0 por lo que x2=-1Por lo tanto la función tiene dos raícesque son x1 = 3 y x2=-1.Para los interceptos hacemos x=0,remplazando en la función obtenemosf(0)=-3Por lo tanto la función tiene unintercepto en y=-3Gráfica    xyy = x^3-4xRaices    xyy = x^3-6x+3Intercepto     xyRaicesInterceptosLos interceptos son los puntos para loscuales x=0, es decir los puntos donde lacurva corta al eje de la ordenada (y)Las raíces o ceros son los puntos para loscuales f(x)=y=0, gráficamente son lospuntos donde la grafica corta al eje de laabscisa (x). No todas las funciones tienenraíces, puesto que puede haber curvasque no corten al eje "x".
  • 23. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial232. f(x)=x(x3-1)Para hallar las raíces hacemos f(x)=0entonces x(x3-1)=0Tenemos x1=0, x3-1=0 despejandox3=1, x2=1Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1Para los interceptos hacemos x=0,remplazando en la función obtenemosf(0)=-1 por lo tanto la función tieneun intercepto en y=-1Gráfica3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. 6. f(x)=Ln(x-1)  xyInterceptosRaiz(-∞ -1) (1, ∞(-1,1)Función Creciente y DecrecienteUna función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo,tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si alincrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta elvalor de la ordenada (y).Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 delintervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente enun punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha)disminuye el valor de la ordenada (y).
  • 24. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial24Acotada Superiormente Acotada inferiormenteAcotada No acotada  xy(x,y) = (0,1)Cota Superior xyy = x(x^3)Cota Inferior      xyy = 2^(1-x^2)Cota SuperiorCota Inferior   xyy = x(x^2-1)Función AcotadaUna función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todox, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotadainferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f x ≥ b. Al número b´ se lellama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente yinferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f x b
  • 25. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial25Una función es CÓNCAVA o presenta suconcavidad hacia abajo cuando dados dospuntos cualesquiera el segmento que los unequeda por debajo de la curva.Concavidad y ConvexidadLos puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llamanPUNTOS DE INFLEXIÓN.Dominios y RangosLas funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no seespecifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste entodos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valoresde y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales.En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los númerosreales excepto: Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a cero.EjerciciosEncuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:1.Como la función se hace indeterminada si eldenominador es igual a cero0  xyConcava  xyConvexaUna función es CONVEXA o presenta suconcavidad hacia arriba si dados dospuntos de la curva el segmento que los unequeda por encima de la curva.
  • 26. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial26Despejamos xSi remplazamos x en la función originalobtendremos 0Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-{ }2.Como la función se hace indeterminada si elradicando es menor que cero0Despejamos xQuiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-∞3.Como la función se hace indeterminada si eldenominador es igual a cero y si el radicandoes menor que cero0Despejamos xQuiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-[ ∞ ]4. 5. 6.7. 8. 9.Ejercicios1. Si f(x)= 3x + 1 entoncesNotación FuncionalPara indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x).Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x)representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).
  • 27. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial27a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -82. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entoncesa. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 23. Determine f(x + h) sia. f(x) = x entonces f(x + h) = x + hb. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2d. f(x) = entonces f(x + h) =Nótese que donde esta x se escribe x + h4. Encuentre cuando h=0 sia. f(x)= 2xRemplazamosb. f(x) = x2Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2SimplificadoFactorizando
  • 28. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial28SimplificandoComo h= 0 remplazandoEjercicios1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6)2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6)3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2)4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)EjerciciosEncuentre cuando h=0 si1. f(x) = x + 12. f(x) = 3x + 23. f(x) = 3x24. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3Problemas1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio deC(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares, donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo deproducir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra?Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en laecuación de costos total C(x)C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares.Para 100 unidades x=100C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares
  • 29. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial29Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque elproducir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100unidades el valor de la unidad sería 322 dólares2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número deWalkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciadosu jornada a las 8:00 a.m. esta dado porN(t) = -t3 + 6t2 + 15t 0 t¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00?y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares porunidad se describe por medio de00a. Determine el precio si se demandan 4 y 8.b. Compare los resultados ¿qué encuentra?4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual decapacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado porf(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54, donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994.¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Quéencuentra?5. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 milesde dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron lasganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?6. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 –6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidoresdemandan q unidades (semanales)a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500b. ¿Qué significa cada expresión?c. Compare e intérprete los resultados7. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de laspartículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio depppC1007300)(Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminacióny haga un análisis de los resultados
  • 30. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial308. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo estádada porC(x)= ( 0 x 00)a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la poluciónb. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento deniveles de contaminación se determina mediante0000Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles decontaminaciónEjercicioDados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f  g)(x), (f  g)(x)1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/osimplificable se deja indicada (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1Algebra de FuncionesSi f y g funciones se define:a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x)b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x)c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x)d. Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x)e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]
  • 31. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial312. f(x) = x2 y g(x) = x - 1f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2 f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 13. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 24. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 45. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 16. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 27. f(x) = y g(x) =Problemas1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades desu producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) deproducir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de laproducción y la venta de x unidades.Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazandoG(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000La función ganancia seríab. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Quéencuentra?Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidadesno deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 5002. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g,donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es unafunción del número de empleados m, dondeG(x) = 150x - 15000
  • 32. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial320Determine (g o f) ¿qué encuentra?3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p(en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo,las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10pa. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidorPor datoGc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p)La expresión del gasto del consumidor seríab. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado esde 20 y 30 dólares.Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es elgasto del consumidor4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t)dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representaf(t)/g(t)?5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de laacción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t)6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restauranteen el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en elinstante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t)7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos depublicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidadpor la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la funciónf  g8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades sedefine como:Gc = 10 000p – 10p2
  • 33. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial33Suponga que el costo total de una compañía se obtiene000 0a. Encuentre una expresión que determine los costos promediosb. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades.¿Qué encuentra9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en undía de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además elnúmero de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentrea. La función compuesta (P o x)(t)b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función delprecio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – q/2.Encuentrea. La función compuesta (I o p)(q).b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidadesc. Compare los resultados que encuentra
  • 34. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial34GRÁFICA DE FUNCIONESEs posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas enun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones yfunciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendicularesdenominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano encuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa(generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto deintersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, delpunto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa conuna de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primeracomponente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de lasegunda.Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5),B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le correspondeprecisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar también como parejasordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de Bcomo segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan elconjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la funcióndada
  • 35. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial35La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo:su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos,mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminadosEjercicio Grafique cada función en el intervalo indicado1. f(x)=2x+1 en [0,3]2. f(x) = x2 + 1 en [-3,3]3. f(x)=x3 – 6x2 en [-4,4]4. f(x)= en [-4,4]5. f(x)= en [-1,3]6. f(x)=ln(2x+1) en [1,4]Si x < 17. e. j(x)=2x2 + 1 Si x ≥Grafica de una Función con TecnologíaCon Excel 20071. Entre a Excel2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x)3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre másvalores digite podrá obtener un mejor gráfico.4. En A2 digite la variable dependiente (y)5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe teneren cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1.6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio.7. Seleccione el rango8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea.9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionardatos.10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar,seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulseAceptar.12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) yescoja Hoja nueva.13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie dedatos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escojala opción de formato.Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta
  • 36. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial362. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica5. Seleccione la carpeta Gráfica6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianasestén activadas.7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estardespejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos,digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráficaseleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir yAceptar.Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments1. Pulse Ctrl + w (Y=)2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER.3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH)Con en el WinplotEl winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puededescargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el iconocorrespondiente. Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menúEcua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación ypulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^. Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadriculaactive cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver lascoordenadas desactiva las opciones escala Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar oGuardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estarubicado en el área de gráfico. Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo llevaal documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Wordinserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo. Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opciónExtremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo
  • 37. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial37 Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en lagráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsaok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido. Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas yAjuste Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar lasopciones escala Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccioneIntersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar lasintersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulsesiguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulsecerrar Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, delmenú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, parafinalizar pulsa reflejar Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opciónSombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entredos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color ypulse sombrear
  • 38. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial38TALLER DE GRÁFICOSResponda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso esy= 36 –0.15x.a. ¿Cuál es el valor de de lapropiedad a los 60 meses deuso?b. ¿Cuál es el valor de de lapropiedad los 10 años de uso?c. ¿Cuántos años pasan para que lapropiedad se deprecie porcompleto? Explique2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de ciertoproducto está dada porP(x)=60x – x2a. ¿Cuál es la máximaproductividad que se puedeobtener?b. ¿Para qué intervalo la funcióncreciente y para cuál esdecreciente? ¿qué decisióntomaría al respecto?c. ¿Cuál es la máxima cantidadde unidades que puedeproducir? Justifique surespuesta       xy Valor(Millones de Pesos)Meses      xyy = 60x-x^2UtilidadUnidades Producidas
  • 39. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial393. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado porR(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3a. ¿Cuál es el ingreso sise venden 100unidades?b. ¿Para qué intervalola función crecientey para cuál esdecreciente? De unaexplicaciónc. ¿Cuál es el máximoingreso que se puedeobtener?d. ¿Cuál es la máximacantidad que sepuede vender?Explique4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para unexamen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esosconocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado porP t0 0e0. te0. ta. A la semana ¿quéporcentaje deconocimientorecuerda?b. ¿En cuántos mesesrecuerda el 40% delconocimiento?c. Escriba 2comentarios de lasituación presentada       xy(x,y) = (614,0)Cantidad VendidaIngresoCantidad Vendida             xySemanasConocimientos RecoordadosSemanas
  • 40. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial405. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares estadado porP = 10 + 50 ln(3x + 1)a. ¿cuál es el precio sise ofertan 10unidades?b. ¿Cuántas unidadesse deben ofertar aun precio de $260dólares?c. Escriba 2comentarios de lasituaciónpresentada6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) segúny x00xx 0a. ¿cuál es el volumende ventas si seinvierten 10 mildólares enpublicidad?b. ¿Cuánto se debeinvertir enpublicidad paraobtener 150 mildólares en venta?c. Escriba 2comentarios de lasituaciónpresentada         xyUnidadesPrecio                    xyVolumen de VentasGastos de Publicidad (Miles de Dólares)
  • 41. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial41FUNCIÓN LINEALLa gráfica de una función lineal es una línea rectaEcuación de la RectaToda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde, b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y, m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje laabscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidadque varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10unidadesEn economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir,su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamentecomo:Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos FijosEs decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivelde producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan lapendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) laordenada en el origen.La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:m = y2 – y1x2 – x1Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas sonperpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es:Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a suvariable independiente
  • 42. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial42y – y1 = m(x2 – x1)La ecuación de la general de la recta está dada por:ax + by + c = 0Ejercicios1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientesfunciones:a. y = 2x + 1b. y = -2x – 1c. 3x + 4y = 12d. 2x – 3y = 122. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:a. (2,1) y (3,-4)b. (3,2) y (-4,2)c. (3,4) y (3,-1)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2.d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ningunade las anteriores:a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 85. Escriba la ecuación de la recta que:a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1.b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.Problemas1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a unprecio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que serebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidadesa. Halle la pendiente ¿qué significa?
  • 43. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial43Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían laforma (precio, demanda),, es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datospodemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 yy1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500Como sabemos que la pendiente es:00 000000 00000000Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuyela mitad.b. Halle la ecuación de la demandaComo se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación, remplazando000 000000 0000 00000c. Grafique la funciónUbicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta quecorte los dos ejes coordenadosd. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa?              xyPrecioUnidades Dem andadas
  • 44. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial44Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 sedemandan 6500 unidadese. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar?Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas seríannegativasAnalíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así:0 00, despejando0000000 ó 000f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda?Aquí x=4500 remplazando en la ecuación00 00 0 00 0, a $4500 se demandarían 4250 unidadesg. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario?Aquí y=5240 remplazando0 00, despejando0 00000 ó 0, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $25202. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km.recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine:a. La ecuaciónCosto Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos FijosRelacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos)como x, por datos Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500
  • 45. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial45 Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800Remplazandoy = 800x + 1500b. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros?x = 5 entonces,y = 800(5) + 1500y=4000+1500y=5500Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500c. ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar?y = 7 900 entonces,7900 = 800x + 15007900 - 1500= 800x6400= 800x0000=xX=8Con $7900 se puede desplazar 8 Km.3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólaresproducir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos porsemana. Suponiendo que la función es lineal determine:a. La expresión que representa el costo en función del número de hornosLas variables que participan en el problema son el costo, que representaremoscon la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si elcosto está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de laforma (x, c)Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000).Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente:000 00000 00000000EntoncesRemplazando en la ecuación obtenemos:000 000000 000Por lo tanto la expresión que representa la función es
  • 46. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial46   Costo(c)Número de Hornos (x)b. Grafique la funciónc. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 ysignifica que por cada horno que se incremente en la producción los costos seincrementan en 6 dólares.d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen esb=3000, significan los costos fijos¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es, donde x=500, remplazandoPor lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólarese. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación, c=15 000, remplazandoCon 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos4. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos.La relación entre el costo del artículo y la producción genera una función lineal. Encierta empresa si se producen 350 artículos la producción de cada artículo cuesta$993 y si se producen 500 el costo es de $990.c. Halle la función costo
  • 47. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial47d. ¿Cuánto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artículos?e. ¿Qué encuentra?5. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal querelaciona las temperaturas. Calcule a cuanto °C equivalen 72°F y a cuantos °Fequivalen 38 °C.6. Sea P(x) la producción para cierto articulo y x el dinero invertido. Si se invierten$10.000 dólares se producen 92 artículos; si se invierten $50.500 se producen 497.Suponiendo que la función línea,a) Determine la ecuación de la función suponiendo que la función líneab) ¿Cuántos artículos se producen si se invierten $ 8000 dólares?7. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese latemperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal.8. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensualesy costos varios por lámpara de $ 5 000. Si x representa el número de lámparasproducidas en un mes, determine:a.La expresión que representa la función costo C(x)b.El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra?c.El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000.9. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cadauna, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal,determinea. La ecuación de la demandab. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá?c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio?10.Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar quedisminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determinea. La ecuación de la demandab. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades?c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar?11.Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecialinealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determinea. La ecuación de la depreciaciónb. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado?c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo?
  • 48. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial4812.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente dedistancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6$12000. Suponiendo que la función es lineal, determinea. La ecuaciónb. El precio de un viaje de 8 millasc. ¿Qué distancia se recorre con $25 000?13.A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de suproducto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determinea. La ecuación de la ofertab. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá?c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender?14. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación linealtotal en 15 años hallara. La ecuaciónb. El valor de la máquina en 7 años15.No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares omás pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200,la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de lademanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares ya qué precio se demandarán 2000 unidades16. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con unvalor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuáles el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para quela impresora se deprecia por completo?17. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle elcosto de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra?18. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cadaunidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares.a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particularb. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la funciónc. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar?e. Grafique la funciónf. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquelaen el mismo plano a la anterior
  • 49. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial49g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo,¿Qué significa?h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta?19. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso esy= 36 –0. 15x.a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses?b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?20. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres condistintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F =0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en milesde dólares) de hombres y mujeres respectivamente.a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función?Interprete la pendiente como tasa de cambio.b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿quépronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres?21. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es elnúmero de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válidohasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa.22. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo totalC(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x.a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras?b. Grafique la función gananciac. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades?23. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal delnúmero h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua almes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mesa. Determine la función linealb. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses?c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantescomo máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua?Modelación de Función Lineal1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícolaen la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999
  • 50. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial50Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007Nº defamilias128 253 378 503 628 753 878 1003 1128a. Escriba una ecuación lineal de la situación.b. Grafique la funciónc. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el2010?d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familiasvinculadas al proyecto?2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio desus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de lasventas con respecto al precioCosto 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación.b.Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000.c.Pronostique a qué precio no venderá nada
  • 51. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial51TALLER1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientesfunciones:a. y =-3x + 2b. y = 4x – 1c. 10x + 5y =152. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:a. (5,-9) y (6,8)b. (8,8) y (4,-4)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2)c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7)d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7.4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ningunade las anteriores:a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6b. 16x + 4y = 4; y= x + 75. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de$59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función eslineala. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990.b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 20104. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como unafunción lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme Naumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), elprecio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la rectadeterminada por esta información.
  • 52. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial52FUNCIÓN CUADRÁTICALa ecuación general de una función cuadrática tiene la formay = f(x) = ax2 + bx + c,, donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintivallamada parábola.Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo.La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje desimetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de estaotra línea. La ecuación del eje de simetría esabx2El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en  abx2y es: abf2.xyy = -x^2+2x+1a < 0x=-b/2af(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))Máximo RelativoEje de SimetríaValor óptimoxyy = x^2+2x-1a > 0x=-b/2aEje de SimetríaValor óptimof(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))Mínimo Relativo
  • 53. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial53El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y unpunto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice enLos interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para loscuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son lassoluciones de la ecuación cuadrática que se obtienenaacbbx242Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesariotabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tresvalores a la derecha del eje de simetría.EjercicioEncuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo omínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función.y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18xy=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4 y= x2 − 8x + 15y= x2 − 3x − 28EjercicioDetermine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5)La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la formay = ax2+ bx + c (Ec1)Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazandocada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3,que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así:Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1)8 = a(1)2 + b(1) + c8 = a + b + c (Ec2)Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) abfabV2,2
  • 54. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial5420 = a(3)2 + b(3) + c20 = 9a + 3b + c (Ec3)Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1)5 = a(-2)2 + b(-2) + c5 = 4a - 2b + c (Ec4)Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5)Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c-8 = - a – b – c12 = 8a + 2bFactorizando: 6 = 4a + b (Ec6)Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c-8 = - a – b – c-3 = 3a - 3bFactorizando: -1 = a – b (Ec7)Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b-1 = a – b5 = 5a despejandoRemplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendoRemplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendoRemplazando en (Ec1) la ecuación sería:EjerciciosDetermine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados:(1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0)ProblemasResuelva cada uno de los siguientes problemas:1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan xdólares en publicidad del producto, yy = 50x – x2a = 1b = 2c = 5y = x2+ 2x + 5
  • 55. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial55a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa?Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x -baComparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0Remplazando:xba0 0Remplazando en la función original:y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades yse obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidadb. Halle los interceptos ¿qué significa?Remplazamos a, b y c en la ecuación generalxb b aca0 0 0 0 0 0 0, encontramos 2 raícesx0 00 y x0 0 000Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando seinvierte entre 0 y 50 dólares en publicidadc. Grafique la función     xy(25,625)PublicidadUnidades
  • 56. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial562. La función costo de un fabricante es C (x)= 1000 + 5x – 0.1 x² dólares, cuando seproducen x unidades de cierto producto al día.a.Halle el valor óptimo ¿qué significa?b.Grafique la función3. Los ingresos mensuales de cierta fabrica de llantas se pueden calcular mediante laexpresiónF(x)=2x2 - 100x – 20, donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en milesde pesos.a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra?b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra?c. Grafique la funciónd. Interprete la gráfica4. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de unamáquina fotocopiadora son deR(x) = -0.04x2 + 2000x, pesos por semanaa. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa?b. Determine los interceptos ¿qué significan?c. Grafique la función5. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades decierto producto está dada porP(x)=60x – x2a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa?b. Grafique la función6. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada porP= 0.125x2- 0.5x + 15, donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares.Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo,¿qué significa?7. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender xunidades de cámaras modelo M1 esP(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000
  • 57. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial57, dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo omínimo y que significa.8. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estádada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza laganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.9. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada deproducción diaria es 0. 00 ¿Qué cantidad de unidadesmaximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producciónposible? Grafique la función.10. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente00 unidades se producen durante las primeras t horas de unajornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es lamáxima producción posible? Grafique la función.11. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de1001.016 2 xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia?¿cuál es la máxima ganancia posible?12. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es2004.080 2 xxP ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es lamáxima ganancia posible?13. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2determine:a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría)b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?)c. Grafique la función14. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada porU(x)=130+80x-x2 millones de pesos. Determinea. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo.b. Los interceptos ¿qué significan?c. Grafique la función15.La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x, en millones depesos viene dada por0.00 0.a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo.b. Los interceptos ¿qué significan?c. Grafique la función
  • 58. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial58Modelación de Función Cuadrática1. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones paraaños seleccionadosa. Encuentre la ecuaciónb. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre elingreso mínimo.c. Compruebe los datos contra los datos de la tablad. Trace la gráfica2. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresapara varios añosa. Encuentre las ecuaciones: De ingreso por venta con respecto al número de años De costos y gastos con respecto al número de añosb. Use la función para: Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima quese pronosticac. Trace la gráfica de la función Costos y Gastosd. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes odecrecientes?Funciones con TecnologíaUtilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de lassiguientes funciones:f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2xAño 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999Ingresos(millones)63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999Ingresox venta2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7Costos ygastos2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9
  • 59. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial59TALLER1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo omínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función.a. y = 2x2 + 3x – 1b. y = 3 – x - 3x22. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3)3. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 00,donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine.a. El eje de simetríab. El valor óptimo ¿qué significa?c. Los interceptos ¿qué significa?d. Grafique la función.e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100?4. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de susproductos depende del precio. La función que describe esta relación es 000 , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio endólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como elproducto p por q.a. Escriba la expresión que representa el ingresob. El eje de simetríac. El valor óptimo ¿qué significa?d. Los interceptos ¿qué significa?e. Grafique la función.f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.
  • 60. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial60FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOSLos números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función.En la Economía...Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta enfunción del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios deproducción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta unavariable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables.Problemas1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( endólares por unidad) está dado por000, donde q 0a. Halle la función costo totalb. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidadesc. Interprete los resultados2. Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en milesde pesos), cuando se producen que cientos de unidades está dada porC(q)= 2q³- 9q² +12 q + 20a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades ¿quéencuentra?b. Grafique la función en el intervalo [0,5]3. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajadordespués de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de0Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividaddespués de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafiquela funciónLa función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, seconoce como una función polinómica de n-ésimo grado.
  • 61. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial614. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el númerode unidades por hora y producidas después de t horas de producción es0 0Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horastrabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función5. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productorade discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué significa?6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcosen x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con laexpresióny = 3x + 8x2 - x3a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m.b. Compare los resultados que encuentra7. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto estádado porR(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3, donde x son las unidades vendidas.a. Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidadesb. Compare los resultados ¿qué encuentra?8. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3a. Calcule C(100) ¿Qué significa?b. Calcule C(200) ¿Qué significa?c. Compare los resultados ¿qué encuentra?9. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans esC(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3a. Calcule el costo de producir 1000 jeans.c. Calcule el costo de producir 2000 jeans.d. Compare los resultados ¿qué encuentra?10.La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para unaempresa, está dada porC(x)= 300x-10x2-a. Calcule el valor de producir 100 unidadesb. Calcule el costo de producir 200 unidadesc. Compare los resultados ¿qué encuentra?
  • 62. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial62FUNCIÓN EXPONENCIALConsideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversasaplicacionesUna función especial que se presenta con frecuencia en economía es donde ℮ esun número irracional fijo aproximadamente . … .Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, elcrecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula, donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años.El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponencialesque puedan encontrarse.Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimientoexponencial.EjerciciosEmplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar larespuesta en 3 decimales)100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2Si es un número real talque 0 y , entonces la función f(x) es unafunción exponencial
  • 63. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial63Problemas1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r(expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t)después de t años seráSupóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular elsaldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente ydiariamente (365 días) ¿Qué encuentra?2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interésanual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t)después de t años seráSupóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular elsaldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%.Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza:Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Quéencuentra?4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa deinterés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuotamensual de, donde i es el pago del interés por periodo.Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a unperiodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese quei=.)5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% deinterés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarsemensualmente para amortizar la deuda?6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente,entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por0000 .00 . Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años yde 30 años.
  • 64. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial647. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevoproducto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión0 00 .a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días despuésdel lanzamiento del comercial.b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que lafracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente.a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año?b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de losartefactos?9. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadorasdomesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada porD(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0)Grafique la función y respondaa. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año?b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.9. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) despuésde t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula0 000 .Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años10. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, paralos años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de.Donde t es el número de años que han pasado desde 1975.a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuosllegará a 20 000.
  • 65. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial65FUNCIÓN LOGARÍTMICASe llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la basepara obtener dicho número.logDonde a Є R, a 0 y a a se denomina base del sistema de logaritmos.que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llamalogaritmo del número x respecto de la base a " .Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.Propiedadeslog 0 log loglog . log loglog log loglog loglog loglnTipos de LogaritmosLogaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen porbase el número 10. Se escriben log10 x = log xLogaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base elnúmero e. Se escriben loge x = ln xLos logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar,simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizandologaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potenciasen productos y raíces en cocientes.
  • 66. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial66EjerciciosEscriba cada ecuación en forma exponencial4 = log2 16 4 = log3 81log logEjercicioDespeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponenciallog loglog logEjercicioEscriba cada expresión en forma logarítmica25 = 32 53 = 125 4-1 = 91/2 = 3EjercicioEscriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que nocontienen exponenteslog Ln (x + y)(4x + 5) logEjercicioResuelve cada una de las siguientes ecuaciones:2x – 1= 5 5(3x+2) – 1 = 14EjercicioUse la calculadora para determinarln .ln ln ln ln lnlnln lnlnln
  • 67. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial67Problemas1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía esX=5000 – 1000 ln(p + 40), donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular lacantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólaresSi p=5,x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8)x= 5000-3806.66=1193.33Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidadesSi p=10x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91)x= 5000-3912.02=1087.97Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades.Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadasdisminuyen de 1193 a 1088.2. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmenteen publicidad para vender x unidades de un producto está dada por00 ln0000a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades,compare los resultados que encuentra.b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólaressemanales en publicidad.3. Digamos que la función demanda para un producto está dada por00lna. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades?b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?4. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado porC(x) = 1500 + 200 ln(2x +1), donde x es el número de unidades producidasa.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades?b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares?
  • 68. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial685. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado porR(x) =Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado6. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares estadado por P = 10 + 50 ln(3x + 1).a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33.b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares7. La función demanda de un producto está dada por p = donde p es el preciounitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio conrespecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿quéencuentra?8. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicóun examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mesutilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio depuntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo enmeses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debepasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos?9. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelarpor T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura almomento de servirlo?¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomadoT=120 °F?10. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden ent horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos las primeras 48horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos?11. La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante lafunción f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por díadespués de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajadornuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día?12. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de0000 ., donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que hantranscurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar1. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria.b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campañapublicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.
  • 69. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial6913. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usandoestas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con laecuación.Donde x es el número años transcurridos desde 1990.a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes.Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique lapoblación de 1990.b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008?14. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con laexpresión000 .0 t 0Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debepasar para que un objeto disminuya su valor en $1000015. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos decomputadora después de t años de uso seaP(t)=100(1 – e-0.1t)Grafique la función y responda lo siguientea. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 añosb. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.c. 0000000Modelación de las Funciones Exponenciales10. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, lasventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecerexponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro sevendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habíanbajado a 14000 ejemplares por mes. Determinea. La expresión que representa la funciónLa función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t eltiempo en meses y k la constante de proporcionalidad.Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k,por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando000 0000
  • 70. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial70           xyNumerodeEjemplares(x)Tiempo (meses)00000000.ln 0. ln0. lnPor lo tanto .Es decir que la función es de la forma .Grafique la funciónb. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando. ..En un año venderá aproximadamente 3 ejemplaresc. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando00 0000 .000000.0.0 .0.0 .. 0 0.Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300ejemplares.11. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB creceexponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000?Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es:(Ec1)
  • 71. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial71, donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, quedebemos hallar asíRemplazando00 ., aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdadln . ln 0. 0, entonces k=0.05Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 00 .Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando00 .Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones12. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacionalde comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?13. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Suvalor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuyeen forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuálserá el valor de la maquinaria en cuatro años14. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población,calcule la población en el 2015.
  • 72. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial72TALLERTEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica1. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmicaPotencia Logarítmica Potencia Logarítmica542. Escriba cada ecuación en forma exponencialLogarítmica Exponencial Logarítmica Exponenciallog3 27=3 log3 243=5log log =3. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencialExpresión Valor de x Expresión Valor de xlog loglog log4. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas queno contienen exponentesExpresión Equivalencialnlnln
  • 73. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial735. Use la calculadora para determinarExpresión Resultado Expresión Resultadoln ln lnln 0 ln ln 0ln lnln6. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de0000 ., donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanasque han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar:a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria.b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campañapublicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.Funciones con TecnologíaUtilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de lassiguientes funciones:f(x) = 2(x3) f(x) = 3-2x f(x)= e-x f(x) = 50(1+e10x)f(x)= f(x)=14.1 ln(x) f(x)=ln (x-3) f(x)= f(x)=
  • 74. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial74         xyFUNCIÓN COCIENTEProblemas1. Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función quecalcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dadapor:, donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de computadoresque ensambla.a. Grafique la funciónb. ¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadoresensamblará al mes?Para t=1,El primer día ensamblará 1 computadorPara t=30 (un mes)0000.En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores.c. ¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores?Aquí f(t)=3Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por, es otra función definida donde g no puede ser igual a 0 por que tendríamos unaindeterminación.
  • 75. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial75Por lo tanto en 5 días esta ensamblando 3 computadores2. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promediodepende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, deacuerdo a la siguiente fórmula00 00Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se roseacon 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones paragraficar la función.3. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vezmás poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día.Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será0 dólaresDetermine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después dehaber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra?. Utilice un softwaregraficador de funciones para graficar la función.4. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante lafunción00 000, donde x son las unidades demandadas.a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidadesb. Compare los resultados que encuentrac. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.5. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles dedólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de lasiguiente manera:0Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitación.Compare los resultados ¿qué encuentra? Utilice un software graficador de funcionespara graficar la función.
  • 76. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial766. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( enmiles de dólares) segúnx ≥ 0a. Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dólares en publicidad ¿se duplican lasventas?b. ¿Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mildólares?c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.7. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es0 000 000a. Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la poblaciónb. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes?c. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.8. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevopara ensamblar una unidad de un producto está dado por0 0, donde t es el número de días en el trabajo.a. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un meslaborando?b. Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamblesea de 15 minutosc. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función.
  • 77. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial77(x + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 11. j(x) =3 + x Si x > -1, rango 2        xyy=x+3y=(x+2)^3+1FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOSEjerciciosDadas las funcionesDetermine:a. j(-1)Inicialmente debemos ubicar elrango donde está el valor de lavariable independiente x, parael caso particular el valor estáubicado en el primer rango,j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1= 1 + 1 = 2b. j(0)El valor x=0 está ubicado en elsegundo rangoj(0)=3 + 0= 3c. j(-2)El valor x=-2 está ubicado en elprimer rangoj(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1= 0 + 1 = 1Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de lavariable independiente variable “x” esto hace que en muchos casos se necesitehacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se lesdefine como funciones por partes o a trozos.
  • 78. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial78Determinea. f(3)El valor x=3 está ubicado en elsegundo rangof(3)=3 – 2 = 1b. f(1)El valor x=1 está ubicado enel primer rangof(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3c. f(2)El valor x=2 está ubicado en elsegundo rangof(2)=2 – 2 = 0Gráficax2 Si x 0 , Si x < 23. j(x)= 4. j(x) =, Si x > 0 Si x ≥Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2), Si x < 1 , Si x < 25. j(x)= 6. j(x) =2x2 + 1 , Si x ≥ Si x ≥Determine j(-1), j(0) y j(2) Determine j(-1), j(0) y j(2)Problemas2. El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de lasiguiente manera:2 + 4t Si 0 t6 + 2t Si tC(t)=14 Si t50 – 3t Si t      xyy=4-x^2y=x-24 – x2 Si x < 2, rango 12. f(x) =x – 2 Si x ≥ 2, rango 2
  • 79. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial79                  xyC(t)=2+4tC(t)=6+2tC(t)=14C(t)=50-3tHORASNIVELDECONTAMINACIÓN, donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m.a. Represente gráficamente la función dada.b. En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., alas 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m.Hora Tiempo (t) Nivel de contaminación C(t)7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=68:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=1012:00 m 5 C(5)=144:00 p.m. 10 C(10)=148:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8c. Compare los resultados ¿qué encuentra?3. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a0.80x Si 0 x 0C(x)= 0.70x Si 0 x 000.65x Si x > 200, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envio de 50 y200 kilogramosSi x=50, por datos está ubicado en el primer rango,C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólaresSi x=200, por datos está ubicado en el segundo rango,C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140El envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólaresA mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviarmayor carga.
  • 80. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial80Gráfica4. La ecuación oferta para cierto producto es:.0000 000000000 000.000000Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden:a. 2000 unidadesObserve que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango,.000000. ., es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesosb. 7000 unidadesPara este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando000000. ., es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesosc. 14 000 unidadesAcá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando.000000. ., es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos    xyC(x)=0.8xC(x)=0.7xC(x)=0.65xCOSTO(Dólares)PESO (KG)
  • 81. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial81         xyPRECIO(MillonesdePesos)UNIDADES OFERTADAS3.2+X/20003+X/5000 2.8+X/70005. La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguasnegras esta dada por la función0 si 0 t- 0t 0 si tf(t)= 100 si t-5t2 t 0 si t1.25t2 – 26.25t + 162.5 si t 0Donde f(t) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 yen el 2000?Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico secuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año.Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,1991-1989=2, es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazandof(2)=-30(2)+160=-60+160=100, indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidosPara 1995 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,1995-1989=6, es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando-5t2 +25t + 80f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50, indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidosPara 2000 hallamos el número de años que han pasado desde 1989,2000-1989=11, es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema
  • 82. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial82           xy f(t)=-30x+160f(t)=100f(t)=130f(t)=-5t^2+25t+80f(t)=1.25t^2-26.5t+162.5CANTIDADDEDESECHOS(Toneladas/día)AÑOS ( t=0, 1989)6. Cierta compañía de envio de mercados líquida los envíos de acuerdo a120x+1200 Si 0.01 x 20200x+1700 Si 20 < x 30C(x)=250x+2200 Si 30 < x 50280x+2700 Si 50 < x, donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45,30 y 60 gramos7. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por lafunción0 0.0 x Si 0 x 00C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 0049.40 + 0.05(x-500) Si x > 500Calcule el cargo mensual si se consumen:a. 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora c. 1200 kilovatio/hora8. Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones dedólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función
  • 83. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial831.965t – 5.65 cuando 5  t  20P(t)=0.095t2 – 2.925t + 54.15 cuando 20< t  40Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuestopara los programas de educación en 1980 y el 2007.9. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usadapor un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función:7.52 + 0.1079x si 0x519.22 + 0.1079x si 5<x750C(x) = 20.795 + 0.1058x si 750<x1500131.345 + 0.0321x si x>1500Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos.a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh10. La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 estádada aproximadamente por la función. t . Si 0 tf(t)= -0.7t2 . t . Si t2.6t + 9.4 Si 7 t 10, donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900. ¿Cuál era la edad promediode la población de Estados Unidos al inicio de 1900? ¿Al principio de 1950?¿Principio de 1900?11. De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de lasalud, f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a1977, esta dado porSi 0 tf(t)= t + 7 Si t 0Si 10 < t < 20Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992.¿Hasta qué año es aplicable el modelo?
  • 84. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial84FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOEn esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica va a estar siempre porencima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocándolo.Por definición, el valor absoluto de un número positivo es igual al mismo númeropara x ≥ 0Pero el valor absoluto de un número negativo es positivopara x < 0Se puede escribir una función usando una función por pate o por trozosx si x≥0-x si x<0La gráfica que genera una función esEjercicios: Resolver cada funcióna.Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces0 entoncesSe forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cadaintervalo.        xyy = abs(x)La función de valor absoluto tiene por ecuaciónf(x) =y= |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.3+--
  • 85. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial85Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la xes negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante.-(x-3) si x < 3(x-3) si x ≥ 0b.Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces0 entoncesSe forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cadaintervalo.Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la xes negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante.-(2x - 4) si x < 22x - si x ≥c.Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces0, factorizando es decir 0 y 0Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cadaintervalo.Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la xes negativa se cambia el signo de la función. Representamos la función resultante.si x 1si 1<x<4si x ≥ 4d.e.f.g.2+--+--1 4+
  • 86. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial86Funciones TrigonométricasLas Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos ladosde un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas sonfunciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en untriángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución deciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos ynegativos, e incluso a números complejos.Las funciones trigonométricas básicas soncaracterísticas GráficaSeno: Abreviado senRaíz de la palabra del latín sinus(hueco, cavidad, bahía).Dominio: IRRecorrido: [-1, 1]El período de la función seno es 2 π.La función y =sen(x) es impar, ya quesen(-x)=-sen (x), para todo x en IR.La gráfica de y=sen(x) intercepta aleje X en los puntos cuyas abscisasson: x =n π. Para todo número enteron.El valor máximo de sen(x) es 1, y elmínimo valor es -1. La amplitud de lafunción.f(x)=sen(x)Coseno: Abreviado cosEs el complemento del senoDominio: IRRecorrido: [-1, 1]Es una función periódica, y su períodoes 2 π.La función y=cos(x) es par, ya que cos(-x)=cos (x), para todo x en IR.La gráfica de y=cos(x) intercepta al ejeX en los puntos cuyas abscisas son: x=(π/2) + nπ, para todo número enteron.El valor máximo de cos(x) es 1, y elf(x)=cos(x)
  • 87. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial87valor mínimo valor es -1. La amplitudde la función y=cos(x) es 1.Tangente: Abreviada tan o tgLínea o superficie] que se toca en unpunto sin cortarseLa función tangente es una funciónperiódica, y su período es π.La función y=tan x es una funciónimpar, ya que tan(-x)=-tan(x).La gráfica de y=tan(x) intercepta aleje X en los puntos cuyas abscisasson: x =n π , para todo númeroentero n.f(x)=tan(x)Cotangente: Abreviada cot o ctgEs la razón inversa de la tangenteDominio: IR –{n π, n Z}Recorrido: IR Impar: cot x cot(x)f(x)=cot(x)Secante: Del latín secare (cortar), recta quecorta a una circunferencia en 2puntos. Conforme estos puntos seacercan y su distancia se reduce acero, la recta adquiere el nombre derecta tangente. Dos rectas son secantes cuando secortan en un puntoLa función secante. Abreviada secEs la razón inversa de la funcióncosenoDominio: IR –{(2n+1)(π/2), n Z}Recorrido: ∞ ] ∞Período:2 rad Par: sec(-x) = sec(x).f(x)=sec
  • 88. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial88Cosecante Abreviada cscEs la razón inversa del senoDominio: IR –{nπ n Z}Recorrido: ∞ ] ∞Período: 2 radImpar: csc(-x) = -csc (x)f(x)=csc(x)Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque sepueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.INCREMENTO Y TASASEl cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientescuando hay variaciones en variables independientes. Por ejemplo El cambio del costo de operación que resulta de cada unidad adicional producida El cambio en la demanda de cierto artículo si se incrementa o disminuye el preciounitario de este. El cambio del producto nacional bruto de un país con cada año que pasaSea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en elvalor de x, que es x2 – x1 se denomina incremento de x y se denota Δx . Usamos la letragriega Δ para denotar el cambio o incremento de cualquier variable. Es decirΔx = x2 – x1Si y es una variable que depende de x tal que y=f(x) esta definida para todo valor de xentre x1 y x2, cuando x=x1, y1=f(x1), de manera similar si x=x2, y2=f(x2), así elincremento de y esΔy y2 – y1, entoncesΔy f x2) - f(x1)Problemas1. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado porC=0.001x3-0.3x2+40x+1000Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de50 a 60.
  • 89. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial89Debemos calcular ΔC= C2- C1Hallamos C1, hacemos x=50C1=0.001(50)3-0.3(50)2+40(50)+1000C1=125-750+2000+1000=2350Hallamos C2, hacemos x=60C2=0.001(60)3-0.3(60)2+40(60)+1000C2=216-1080+2400+1000=2536Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en186 Unidades monetarias2. La venta semanal S (en dólares) de un producto se obtiene por medio de0000 ., donde x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó lacampaña publicitaria. Determinar la venta si el número de semanas se incrementa de2 a 3.Debemos calcular ΔS= S2- S1Calculamos S1 haciendo x=2, remplazando0000 .0000 .0000 0. 0 .Calculamos S2 haciendo x=3, remplazando0000 .0000 .0000 0. 0 .0.Remplazando en ΔS= S2- S1 = 0 .0. 0 . .El signo negativo indica que pasar de la 2 a la 3 semana las ventas disminuyen en389.56 dólares.Sean los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) de la función y=f(x), el incremento Δx es igual a ladistancia horizontal de P a Q y el incremento Δy la distancia vertical
  • 90. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial90Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1, para x2, x2 = x1 + Δx remplazando x2 en ladefinición de Δy, obtenemosΔy=f(x1 + Δx) – f(x1)EjerciciosDetermine los incrementos de cada función1. f(x)=2x + 7 ; Si x=3 y Δx 0.Remplazando enΔy=f(x1 + Δx) – f(x1)Δy=f(3 + 0.2) – f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7]Δy=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13Δy=0.4Es decir que un incremento de x en 0.2 genera un incremento en y de 0.42. ; .Remplazando enf(x1 + Δx) – f(x1)f(2 + 0.5) – f(2)=f(2.5)-f(2).....Es decir que cuando el incremento de de x es de 0.5 se incrementa en 1.4La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x Δx se definecomo la razón Δy Δx. Por tanto la tasa de cambio promedio de y respecto a x esΔyΔxP(x1,y1)y=f(x)yx0y1y2x1 x2Q(x2,y2)Δy< 0y2y1x2x1y=f(x)P(x1,y1)Q(x2,y2)Δx > 0xy
  • 91. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial91EjerciciosCalcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado1. ; 0.Remplazando en0.0..0..0..0..Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a x cuando x=2 y su incremento0.5 es igual a -5.12. ; .Remplazando en.............Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a t cuando t=5 y su incremento1.24 es igual a 0.16Problemas1. El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía está dado por la función., donde t=0 corresponde a 1991. Calcular la tasa de cambio promedio del IPC entre1992 y 1993.Inicialmente debemos hallarPara 1992, t=1 y en el 1993 t=2 es decir que yRemplazando en
  • 92. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial920 . 0 ..Es decir que la tasa de cambio del índice de precios al consumidor entre 1992 y 1993tuvieron una tasa de cambio promedio de 1.62. Cuando el precio (en dólares) de cierto producto es igual a p, el número de artículosque pueden venderse por semana (demanda) está dado porDetermine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de 4 a6.25Debemos hallarp pp, donde p . y p . . , remplazando... ....Es decir que las unidades demandadas disminuyen en 21 unidades cuando el precio seincrementa de 4 a 6.25 dólares.3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo esC(x)=5000 + 10x + 0.05x2.Determinar la tasa de cambio del costo de producción el número de unidadesproducidas se incrementa de 50 a 100 unidades. Interprete el resultado.4. La relación entre la cantidad de dinero x que se invierte en publicidad por unacompañía y sus ventas totales S(x) está dada por la funciónS(x)=-0.002x3+0.6x2 x 00 0 x 00, donde x se da en miles de dólares. Halle la tasa de cambio promedio de las ventas sila publicidad se incrementa de de 100 000 (x=100) a 150 000 (x=150) dólares.Interprete el resultado.
  • 93. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial935. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promediodepende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, deacuerdo a la siguiente fórmula00 00Determine la tasa de cambio promedio del número de libras de durazno de buenacalidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de 0 a 3 libras. Interprete elresultado.6. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles dedólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de lasiguiente manera:0 x ≥Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedornuevo si las horas de capacitación se incrementan de 10 a 15. Interprete el resultado.7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidadse describe por medio de00 000Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas seincrementan de 40 a 50 unidades. Interprete el resultado.8. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidadse describe por medio de00Determine la tasa de cambio promedio del precio del precio si las unidadesdemandadas disminuyen de 12 a 6. Interprete el resultado.9. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevopara ensamblar una unidad de un producto está dado por0 0, donde t es el número de días en el trabajo.Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos que requiere unempleado para ensamblar una unidad cuando lleva 15 días de haber ingresado altrabajo. Interprete el resultado.
  • 94. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial9410.Suponga que la demanda de un producto se define mediante00 000Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Determine la tasa de cambiopromedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 100 a 200.Interprete el resultado.11.Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para unproducto está dado por, donde p es precio unitario en dólares. Determine la tasa de cambio del volumen deventas si el precio disminuye de 11 a 10 dólares por unidad. Interprete el resultado.12.El costo promedio de fabricar cierto artículo es, donde x es el número de artículos producidos. Determine la tasa de cambio promediodel costo cuando se fabrican entre 10 y 20 artículos. Interprete el resultado.LIMITE¿Qué se entiende por límite? De ordinario hablamos del precio límite, de la velocidadlímite, del límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o deestirar un muelle hasta el límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especiede cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable.A través del límite se pueden visualizar los cambios en el rendimiento por pequeñosnúmeros de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio instantánea, seconvierte en el puente matemático de las tasas de cambio promedio a las tasasinstantáneas.Se ha utilizado la notación f(c) para indicar el valor de una función f(x) en x=c. Si se tieneque analizar un valor al que se aproxime f(x) conforme x se aproxime a c se usa la ideade de limite (Técnicas de Aproximación)Si f(x)= x2-x – 6 = (x – 3) (x + 2) = x + 3x + 2 x + 2
  • 95. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial95x = -2 no está en el dominio de f(x), es decir f(-2) no existe, si tomamos valores próximosa -2x -3 -2.5 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.8 -1.5 -1f(x) -6 -5.5 -5.2 -5.1 -4.9 -4.8 -4.5 -4Suponga que f(x) es una función definida en un intervalo abierto que contiene a cexcepto quizás a c, entonces:Se lee “el límite de f x cuando x tiende a c es igual a L”. El limite L existe si podemoshacer que valores de f(x) estén tan cerca de L como lo deseemos, eligiendo valores de xsuficientemente cercanos a c. Si los valores de f(x) no se aproximan a solo valor finito Lcuando x tiende a c decimos que no existe el limiteLímites LateralesLimite por la derecha:Significa que los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x c, aunque x > c.Limite por la izquierdaSignifica que los valores de f(x) se aproximan al valor M cuando x c, aunque x < c.Consideraciones EspecialesEl límite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c,cuando existe Lim f(x) = L cuando x c, el valor de la función en c puede ser: Igual allímite, Indefinido o definido pero diferente al límite.Se dice que el límite existe solo si L es un valor finito (número real)Propiedades de los LímitesSi k ε R yLim k = kx c-Lim f(x) = Lx cLim f(x) = Lx c+Lim f(x) = Mx c-Lim f(x) = Lx cLim f(x) = Mx c-Lim [f(x) ± g(x)] = L + Mx cLim x = cx c
  • 96. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial96,M 0 x c x cEjercicios 20Utilice las propiedades de límite y métodos algebraicos para encontrar los límitesexistenteslim limlimlimLimites IndeterminadosEjercicios 21Calcule cada límite si existelimlim limlimxlim limxlimxlimxlimxContinuidad en un puntoLim [f(x) . g(x)] = L . Mx cLim f(x) = Lx c g(x) MSi Lim f(x) = Lim g(x) =0 cuando x tiende a c, entonces la expresión racional que tienela forma en x=c. Podemos factorizar x – c en f(x) y g(x), simplificar la fracción paraencontrar una función equivalente en la cual exista el límite.Si Lim f x 0 y Lim g x 0 cuando x tiende a c entonces no existe. En estecaso, los valores de f(x) / g(x) son ilimitados cerca de x=c.
  • 97. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial97La función f es continua en x = c si se satisfacen todas las condiciones siguientes1. f(c): exista2. Lim f(x) cuando x tienda a c exista3. Lim f(x) = f(c), cuando x tienda a c existaSi no satisface una de las tres condiciones decimos que la función es discontinua en c Toda función polinómica es continua para todos los números reales. Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en aquellocuyo denominador es cero.EjerciciosEncuentre los valores de x donde las siguientes funciones son discontinuasEjercicio Determine si cada función es continua o discontinua en el de x dadaf x x 0f xxf xx0x + 2, >0 4x - 7, x >2Límite de las Funciones Definidas por PartesEl límite de una función por partes o por trozos f(x) existe, si el límite de f(x) cuando xtiende a c por la izquierda es igual al límite f(x) cuando x tiende a c por la derecha. Esdecir:Determine si los límites de cada función existen(x + 2)3 Si x -1 4 – x2 Si x < 2a. f(x) = b. g(x)=Lim f(x) = Lx c+= Lim f(x) = Mx c-
  • 98. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial981 - x Si x > -1 x – 2 Si x ≥Ejercicioslim lim lim limlim lim limlim0≥limlim lim limTALLER1. Calcule el límite por tabulación de la función, cuando x toma valores cercanos (por izquierda y derecha) al punto donde lafunción se hace indeterminada2. Calcule cada uno de los siguientes limites (si existen)lim limlim f(x)=lim
  • 99. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial993. De la gráfica de la función f(x)=-x2+4x obtenga el límite cuando x toma valorescercanos a:a. Cero (0)b. 2c. 4Problemas1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promediodepende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, deacuerdo a la siguiente fórmula00 00a. Determine el límite de p cuando x tiende a 0 y a 3b. ¿Qué significa cada expresión? ¿Qué encuentra?2. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por00a. Encuentre lim lim )b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos    xyy = -x^2+4x
  • 100. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1003. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vezmás poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día.Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será00, dólares.a. Encuentre lim lim )b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos4. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles dedólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de lasiguiente manera:0 x ≥a. Encuentre lim , limb. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos5. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( enmiles de dólares) segúnx ≥ 0a. Encuentre lim y x , lim y xb. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos6. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidadse describe por medio de00 000a. Encuentre ,b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos7. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidadse describe por medio de00a. Encuentre ,b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos
  • 101. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1018. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidadse describe por medio de00a. Encuentre ,b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos9. Suponga que el precio p (en dólares) de un producto se determina, mediante lafunción00 000, donde x son las unidades demandadas.a. Encuentre ,b. ¿Cuál es el significado de cada expresión?c. Compare los resultados e interprételos10. El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por lafunción10 + 0.094x Si 0 x 00C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 00 x 0049.40 + 0.05(x-500) Si x < 500Encuentre el límite del cargo mensual cuando el consumo tiende a 100 y a 500Kilovatio/horaPropiedades Si c es cualquier constante entoncesLim 1 = 0x ∞ xLim c = c y Lim c = cx +∞ x -∞Lim c =0, donde p>0x +∞ xpLimites InfinitosAl evaluar la función f(x) = 1 / x, para valores de x muy grandes, f(x) nunca se vuelvenegativo, aunque ningún valor de x hace que 1 / x sea igual a cero, es fácil ver que 1 / xse aproxima a cero a medida que x se hace más grande, lo anterior se denota
  • 102. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial102EjercicioEvaluar cada límiteProblemas1. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promediodepende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, deacuerdo a la siguiente fórmula00 00a. Determine el límite de p cuando x tiende a ∞b. ¿Qué significa la expresión?c. Interprete el resultado2. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es0 000 000Determine la población a largo plazo3. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevopara ensamblar una unidad de un producto está dado por0 0, donde t es el número de días en el trabajo.a.Encuentre limb.¿Cuál es el significado de la expresión?c.Interprete el resultado.4. Suponga que la demanda de un producto se define medianteLim c =0, donde n>0x -∞ xnlimx ∞ xlimx ∞ xlimx ∞xxlimx ∞xx xlimx ∞x xxlimx ∞xx x
  • 103. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial10300 000Donde p es el precio y q es la cantidad solicitadaa.Encuentre limb.¿Cuál es el significado de la expresión?c.Interprete el resultado.5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidosse puede modelar con la función.0.0, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizoen 1981a.Encuentre limb.¿Cuál es el significado de la expresión?c.Interprete el resultado.6. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos depublicidad x(en miles de dólares) según000a. Encuentreb. ¿Cuál es el significado de la expresión?c. Interprete el resultado.7. El porcentaje p de impurezas que se puede eliminar de las aguas residuales de unproceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes0000Encuentrea.¿Cuál es el significado de la expresión?b.Interprete el resultado.8. Suponga que el costo C de eliminar el porcentaje p de impurezas de aguas residualesde un proceso de fabricación se obtiene con000Encuentrea. ¿Cuál es el significado de la expresión?b. Interprete el resultado.
  • 104. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1049. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vezmás poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día.Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será00, dólares.a.Encuentre lim lim )b.¿Cuál es el significado de cada expresión?c.Interprete el resultadoTALLERTEMA: LÍMITES1. Determine el límite de cada función tabulando los datosa.limb.lim2. La gráfica muestra la función y= x3 - 1, use la gráfica para calcular el límite de f(x)cuando x toma valores próximos a 1 y a 0
  • 105. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1053. La gráfica muestra la función y=x2+2x , Use la gráfica para calcular el límite def(x) cuando x toma valores próximos a -2, -1 y 04. Calcule cada uno de los siguientes límiteslimyy y ylimxxx limt 0ttlimx 0xx
  • 106. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1062x+1, Si x>3lim10-x, Si x 3, Si x<2lim, si x≥lim limProblemas1. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar unacampaña publicitaría son0000a.Encuentre lim S t limb.¿Qué significa cada expresión?c.Compare los resultados e interprételos2. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para unproducto está dado por, donde p es precio unitario en dólaresa. Encuentre el límite de las ventas semanales cuando el precios toma valorespróximos a 10 y 11 dólaresb. Compare los resultados e interprételosLimites con TecnologíaUse el Excel para tabular, graficar y calcular el valor de cada límite.LA DERIVADAlim lim lim lim00lim lim lim lim
  • 107. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial107xyx x+hhf(x)f(x+h)(x,f(x))(x+h,f(x+h))LA DERIVADALa tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x))y ((x + h), f( x +h)) así, es decirEjercicioSuponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades estadado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para:Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100)La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de lavariable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivadase puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivasfunciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambiocomo de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puedeutilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre lacurva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizarel ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.
  • 108. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial108Las segundas 100 unidades producidasEjercicioSuponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x)(en pies) se obtiene mediante la ecuaciónf(x)=96+64x-16x2Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+hEjercicioEncuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4)Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta tienesu posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del objeto enel momento x es:lim , si este límite existelimPendiente de la Recta A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) esSi ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1.´ limDERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) paracualquier valor de x, denotada f`(x), esSi este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c.Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o o]o Dxy o Dx[f(x)]
  • 109. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial109EjercicioEncuentre la derivada de cada función aplicando el concepto de límitef(x) = 2x f(x) = x2 f(x) = x3+1 f(x) = 3x2-2x+1ProblemaLa función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número deunidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:limSuponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por00 ≥ 0Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20.Remplazandolim00 ] 00lim00 00 00lim00lim00lim00lim 00 00Como x=2000 0 00 0 0Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mildólares
  • 110. Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄRTipo Función Derivada EjemplosConstante f(x)=k f´(x)=0  Si f(x)=5, f´(x)=0 Si f(x)=-2, f´(x)=0Múltiploconstantef(x)=kx f´(x)=k  Si f(x)=3x, f´(x)=3 Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5xPotencia f(x)=xn f´(x)=nxn-1 Si f(x)=x4, f´(x)=4x3Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4Múltiplo yPotenciaf(x)=kxn f´(x)=k.nxn-1  Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3 Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4Suma f(x) = [g(x) ±h(x)]f´(x)=g´(x) ± h´(x)  Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3 Si f x x-x , f´ x - x-x-Multiplicación f(x)=[g(x).h(x)]f´(x)=g´(x) ± h´(x)  f(x)=(x2+2)(3x-1)f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6 f(x)=x3/2(3x2-x-1)f´(x)= x x -x-x x x-x - x-x x-= x - x-Cocientef xkg x´´  f xx, f´ x -x f xx´Cocientef xg xh xf´ xg´ x h x g x h´ xh x ] f x ´ ´
  • 111. EjerciciosDerivar cada una de las siguientes funcionesf(x) = - 4 f(x) = 0.25 f(x)=21x f(x)= xf(x)=x5 f(x)= f(x)=4x3f(x)=f(x)=4x2 + 5x + 3 f(x)= 6 – x-2 + x1/2 f(x)= (x3-1)(5x2+6x)f(x)=(x2+1)2f(x)= f(x)= f(x)=xx-f(x)=EjerciciosCalcule la derivada de cada función en el punto indicado1. 2. 3.4. 5. 6.7. 8. 9.EjerciciosDetermine la ecuación de la línea tangente a la grafica de las siguientes funciones, utiliceel winplot para graficar las funciones.1. en (1,2)Hallamos la pendiente de la recta tangente a la curva´, como x=1, entonces m=2(1)-3, m=-1Remplazando en la ecuación de la rectaGraficando     xyy=x^2-3x+4y=-x+3
  • 112. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1122. en (1,4)Hallamos la pendiente de la recta tangente´, como x=1, m=3Remplazando en la ecuación de la rectaGraficando3. en (-1,2)Hallamos la pendiente de la recta tangente´, como x=-1, m=0Remplazando en la ecuación de la recta0Graficando    xyy=3x+1y=x^3+3     xyy=x^2+1/x^2y=2
  • 113. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1134. en (1,5)5. en (-1,-3)6.Problema s1. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando lainversión de capital asciende a x millones de dólares, y00 000a. Calcular la tasa de cambio del número de estufas producidas respecto al capitalcuando la inversión se incrementa de 5 a 6 millones de dólares´ 000Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares, x=5´ 0000b. Interprete el resultado en a.Si la inversión del capital se incrementa de 5 a 6 millones de dólares el número deunidades producidas se incrementan en 268 unidades2. Las ganancias trimestrales de una compañía de bienes raíces (en miles de dólares)están dadas por0, donde x (en miles de dólares) es el gasto en publicidad por trimestres.a. Determine la tasa de cambio de la ganancia respecto al gasto en publicidad.b. Calcule la tasa de cambio cuando x=11.c. Interprete el resultado.3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo esC(x)=5000 + 10x + 0.05x2.Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuandox=100.4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans esC(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3a.Encuentre la función costo marginal.b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?
  • 114. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1145.La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3a. Encuentre la función costo marginal.b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?6. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans esC(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3a.Encuentre la función costo marginal.b.Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?7. Suponga que la función ingreso de ciertos productos está dada por:0, donde x esta en miles de unidades y R(x) en miles de dólares. Encuentre el ingresomarginal R´(x) cuando se venden 20 000 unidades, es decir x = 20 ¿Qué significa?8. Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es0.000 0.0000Encontrar el costo promedio marginal cuando se producen 50 unidades9. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años deeducación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que unapersona con x años d educación antes de buscar empleo regular puede esperar recibirun ingreso anual medio de y dólares anuales , donde00Encuentre e interprete la razón de cambio del ingreso con respecto al número de añosde educación cuando x=9.10.Suponga que la función ingreso total para una mercancía es R(x) = 25x – 0.05x2a. Encuentre la función ingreso marginal, es decir R´(x)b. Encuentre el ingreso marginal en x = 50c. ¿Qué significa?11.El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es0, determine:a. La función ingreso marginal (R´(x))b. Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades12.El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una funcióndel tiempo t por la fórmulaS(t)=10 000 + 2 000t -200t2
  • 115. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial115, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semanadetermine la tasa de cambio cuandoa. t=4 y ¿qué significa?b. t=8 y ¿qué significa?c. Compare los resultados ¿qué encuentra?13.El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora dediscos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3,a.Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad.b.Calcule C´(100), ¿qué significa?14.Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisorespequeños sea00 0. 0 00, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal einterprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 60015.Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dadopor la ecuaciónR(x) = 100x – x2 x ≥ 0, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)16.Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de esteproducto, su ingreso esta dado porR(x) = 1 500x – 0.02x2 c0n x 000, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre elingreso marginal en x=500, interprete el resultado.17.La producción semanal de cierto producto esQ(x)= 200x + 6x2, donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producciónocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado18. La demanda de q unidades de cierto producto depende del precio por unidad p (enmiles de pesos) de acuerdo con00
  • 116. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial116Encuentre e interprete la tasa de cambio de la de la demanda si el precio seincrementa en 25 mil pesos.19. El costo promedio en dólares de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas estadado por00000, donde x representa el número de televisores producidos por semana. Calcule einterprete la tasa de variación del costo promedio si la producción se incrementa de100 a 101 televisores por semana.20.El presidente de una importante constructora de vivienda informa que el número deempleos creados por la construcción (en millones) está dado por., donde x denota el número de pies de casa. Suponga que se espera que el número depies de casa en los siguientes meses sea0 000 0, millones de unidades ¿cuál es la razón de cambio del número de empleos creados enun año?14. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbolpromedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fuerociado, de acuerdo a la siguiente fórmula00 00a. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a laslibras insecticidab. Calcular la tasa de cambio de libras de duraznos de buena calidad respecto a laslibras insecticida cuando las libras de insecticida se incrementan a 5 libras.Interprete el resultado15. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es0 000 000Determinea. La tasa de cambio del número de habitantes respecto a los añosb. Calcular la tasa de cambio del número de habitantes dentro de 10 años. Interpreteel resultado16. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevopara ensamblar una unidad de un producto está dado por0 0
  • 117. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial117, donde t es el número de días en el trabajo.a. Calcular M´b. Calcular M´ cuando t=15. Interprete el resultado17.Suponga que la demanda de un producto se define mediante00 000Donde p es el precio y q es la cantidad solicitadaa. Calcule p´b. Calcule p´ cuando q=10. Interprete el resultado.18. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidosse puede modelar con la función.0.0, donde x es el número de años que han transcurrido desde el año escolar que finalizoen 1981a.Encuentre f´(x)b. Calcule f´(20)k. Interprete el resultado.19. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos depublicidad x(en miles de dólares) según000a. Encuentre y´b. Encuentre y´ cuando x=10. Interprete el resultado.20. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cadavez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy endía. Si suponemos que dentro de “x” meses el precio de cierto modelo será00, dólares.a. Encuentre p´(x)b. Calcule p´(24). Interprete el resultado
  • 118. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial118EjercicioDerivarf(x) = 2(x2 – 1)4 f(x) = (x2 – 9)2/3f(x) =EjerciciosDerive cada una de las siguientes funcionesfProblemas1. La producción diaria para cierta fabrica está dada por:´ . ´.Regla de la CadenaSi f y g son funciones diferenciables donde y=f(u) y u=g(x), entonces y es una funcióndiferenciable de x, y, o su equivalenteRegla de la potenciaSi , donde u es diferenciable de x, entonces
  • 119. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial119f x 00 x, donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares.a. Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capitalDerivamos:f´ x 00 xf´ x 00 xb. Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital seincrementa en 1000 a 2000 dólaresPor datos x=1, remplazandof´ x 00 00 00 0.c. Interprete el resultado.Significa que cuando la inversión de capital se incrementa en 1000 a 2000 dólaresla producción diaria se incrementará aproximadamente en 115 unidadesd. Calcule la tasa de cambio de las unidades producidas respecto a la inversión si estase incrementa de 7 a 8 mil dólaresSi la inversión si esta se incrementa de 7 a 8 mil dólares, x=7´00.e. Interprete el resultadoCuando la inversión de capital se incrementa de 7 a 8 mil dólares el número deunidades producidas se incrementan aproximadamente en 52 unidades2. La demanda de computadores viene dada por la ecuación p 00-x , donde x es elnúmero de computadores y p es el precio de cada uno en miles de pesosa. Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandasDerivamosdpdx00 x . x00 x. xdpdxx00 xb. Calcule la tasa de cambio si x=9.
  • 120. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial120Remplazando endpdx 00 00 .0c. Interprete el resultadoSi la demandada de computadores se incrementa de 9 a 10 unidades el preciodisminuye aproximadamente en 0.15 mil pesos11.El costo de producir q unidades de un producto está dado porC=4000 + 10q + 0.1q2Si las unidades producidas q se pueden obtener porq= 800 – 2.5p, donde p es el precio por unidad. Utilice la regla de la cadena para determinar la razónde cambio del costo respecto al precio unitario cuando p=8012.Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio diario (en cientos dedólares) está dado porDetermine el costo marginal si la producción se incrementa en 18 unidades día13.Un fabricante determinó que para su producto el costo promedio (en dólares) estádado por000Encuentre e interprete el costo marginal si la producción se incrementa en 11unidades14.La función de costo total para un fabricante está dada por00, estimar el costo marginal cuando la producción se incrementa en 15 unidades.15.La cantidad mensual demandada x de cierta marca de computadores personales serelaciona con el precio p ( en dólares) así000 000a. Determine la tasa de cambio de la demanda respecto al precio
  • 121. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial121b. Calcule la tasa de cambio cuando p=100c. Interprete el resultado5. La ecuación de demanda de cierto articulo es p=300 (x2 + 1)-1.a. Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas.b. Calcule la tasa de cambio cuando x=3. Interprete el resultado6. La concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de losautomóviles dentro de t años está dada por0.0 0. , partes por millónHalle la tasa con que cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t=5.¿Qué significa?7. El número de personas que ven una serie de televisión con varios años de salir al airese aproxima a la función0, N(x) (dado en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie enla semana x. Calcule N´(12), ¿qué significa?8. La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p= 00 , en donde xunidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine la demanda marginal aun nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.9. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por, donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demandacon respecto al precio cuando p=2410. El importe en dólares del ingreso por la venta de un producto es00 000 000, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre el ingreso marginal cuando sevenden 100 unidades. Interprete el resultado.11.Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas),depende del precio unitario del producto de acuerdo con0, donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando elprecio es de $21? Interprete el resultado.12. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿A qué razónaumentaron las ganancias brutas en 1997 y 2008?
  • 122. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial12213. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada deproducción diaria es 0. 00 . Con base en la experiencia se hadeterminado que aproximadamente 00 unidades se producen durantelas primeras t horas de una jornada de producción. Calcular la razón a la cual cambiael costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada laproducción.EjerciciosEncuentre la derivada indicada10. y = 4x3 -16x, y´´11.y = x5 – x1/2, y´´12.y = x3 + x-1, y´´´13.y = 3x4 + x1/3, y´´´14.y = , y´´´´Problemas1. Suponga que dado el ingreso por la venta de cierto producto y la cantidad vendidaencuentre la tasa de cambio del ingreso marginala. R(x) = 100x – 0.01x2; x = 10b. R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3; x = 100c. R(x) = 15x + 30(4x +1)-1 – 3; x = 25Derivadas de Orden SuperiorComo la derivada de una función es de por sí otra función, podemos calcular unaderivada de la derivada. La derivada de la 1ra derivada recibe el nombre de 2daderivada. También podemos encontrar derivadas de 3er, 4to, 5to orden y superior
  • 123. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial123MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOSPrueba de la primera derivada.Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientesprocedimientos:Nº Procedimiento Ejemplo1 Encuentre la primera derivada de lafunción. ´2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valoresde x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos sedenominan valores críticos. Los valoresque hacen que f´(x) sea indefinida tambiénson valores críticos.´ 00Entonces si 6x=0, x=0Si x – 4 = 0, x = 4Los valores críticos son 0 y 43 Sustituya los valores críticos en la funciónoriginal para encontrar los puntos críticos0Los puntos críticos son (0,6) y(4,-58)4 Evalúe f`(x) en algunos valores de x a laizquierda y a la derecha de cada puntocrítico para construir un diagrama designosSi f`(x) > 0 a la izquierda y f`(x) < 0 a laderecha del valor crítico, el punto críticoes un punto máximo relativoSi f´(x) < 0 a la izquierda y f´(x) > 0 a laderecha del valor crítico es un puntomínimo relativof´(-1)=30 y f`(1)=-18Hay un máximof´(3)=-18 y f`(5)=30Hay un mínimo
  • 124. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial124GráficamenteEjerciciosDetermine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de laprimera derivaday = x3 – 3x + 2 y = 3x – x3 y = x3 – 12x + 2y = -x2 + 6x + 6 y = x4 – 8x2 + 3 y = x2/3 + 2y= x3 – 3x - 4 y = 1 – 3x+ 3x2-x3Prueba de la segunda derivadaPara encontrar los máximos y mínimos relativos de una función realice los siguientesprocedimientos:Nº Procedimiento Ejemplo1 Encuentre la primera derivada de lafunción. ´2 Iguale la derivada a 0 y despeje los valoresde x que satisfacen f`(x)=0. K. Estos sedenominan valores críticos. Los valoresque hacen que f´(x) sea indefinida tambiénson valores críticos.´ 00Entonces si 6x=0, x=0Si x – 4 = 0, x = 4Los valores críticos son 0 y 43 Sustituya los valores críticos en la funciónoriginal para encontrar los puntos críticos0Los puntos críticos son (0,6) y         xyf´(x)f(x)´ 0´´ 0´ 0´ 0Máximo RelativoValor CríticoValor CríticoPunto CríticoPunto CríticoMínimo Relativo
  • 125. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial125(4,-58)4 Evalúe f´´(x) en cada valor crítico para elcual f`(x)=0Si f´´(x0) <0, un máximo relativo ocurre enx0Si f´´(x0) > 0, un mínimo relativo ocurreen x0Si f´´(x0) = 0 ó f´´(x0) es indefinida, laprueba de la segunda derivada falla; use laprueba de la primera derivadaf´´(x)=12x-24Si x=0f´´(x)=12(0)-24=-24Ocurre un máximo relativoSi x=4f´´(4)=12(4)-24=24Ocurre un mínimo relativoGráficamenteEjerciciosDetermine los máximos y mínimos relativos de cada función, utilizando la prueba de lasegunda derivadax x x x xy = 1 – 3x+ 3x2-x3         xyValor Crítico´´Valor CríticoPunto CríticoPunto Crítico´´ 0´´ 0 0Máximo RelativoMínimo Relativo
  • 126. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial126f(x) = 1 – x2 - 4x f(x) = 1 + x4f(x) = x3 – 3x - 4f(x) = (x2 – 2)(x – 4)Ejercicios1. Encuentre los valores críticos, los puntos críticos y determine los máximos o mínimosrelativos (si existen) y grafique cada función.a. h(x) =x3 – 3x2 + 4b. i(x) = x4 -3x2 + 4x - 8c. j(x)y = 2x4 – 16x2 + 4d. k(x) =Problemas1. El análisis marginal es la rama de la economía que estudia la variación de ciertascantidades como precio, ingreso, costo y / o utilidad, cuando se presentan pequeñoscambios en el nivel de producción.La utilidad G percibida por la producción y venta de q unidades es G (q) = I(q) – C(q), donde C(q) es el costo total e I(q) el ingreso que se obtiene por I(q)=p q , donde pes el precio por unidad.Si un fabricante estima que si produce q miles de unidades por mes de cierto artículosu costo total C viene expresado por la relación:. . dólaresEl precio por unidad esta dado por. . dólaresb. Determina los máximo y/mínimos relativos (si existen)Hallamos la función ingreso I(q)=p qI(q)= . .I(q)= . .Hallamos la utilidad G (q) = I(q) – C(q)G (q) = . . . .
  • 127. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial127G (q) = . . . .G (q) = . .DerivamosG ´(q) = . .Igualamos a cero y despejamos. .El valor crítico del nivel de producción se alcanza en q=10 (10000 unidades).Remplazando en la utilidadG (q) = . .G (q) = 99Hallamos la segunda derivadaG ´´(q) = .Por tanto existe un mínimo relativo. Indica que la mínima utilidad que se puedeobtener es de 99 dólares y se alcanza cuando se producen 10 000 unidades.c. Verifique que se cumplan las condiciones I´(qo) = C´(qo) Es decir que el costo marginal y el ingreso marginal sonequivalentes en el punto críticoLa función ingreso es I(q)= . . derivando obtenemos el ingresomarginalI´(q)= ., remplazando q=10, I´(q0)= . entonces I´(q0)=2.2La función costo es . . derivando obtenemos el costomarginal´ . ., remplazando q=10, ´ . . entonces ´ .Por tanto la condición se cumpleHallamos la segunda derivada del ingreso0.y la segunda derivada del costo
  • 128. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1280.Por tanto no se cumple la condición2. Una compañía que fabrica estufas puede producir G(x) unidades diarias cuando lainversión de capital asciende a x millones de dólares, y00 000a. Calcule los máximos y mínimos relativos si existenHallamos la primera derivada´ 000Igualamos la derivada en cero0000Despejamos la variable para hallar el o los valores críticos000000.0.0El valor que tiene sentido para el problema es x=1.0351Obtenemos el punto crítico00 0 .000.000 0 .000.0.El punto crítico es (1.0351, 979.6)Hallamos la segunda derivada´´00Remplazando el valor crítico´´00.0Como ´´ es mayor que cero entonces existe un mínimo relativo.b. Interprete el resultado en c.La mínima cantidad de estufa que se pueden producir son aproximadamente 980con una inversión de capital de 1.0351 millones de dólares.
  • 129. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial129        (5.5, 92)Horas TrabajadasCant.demarcosPintadosy=3x+8^2-x^3y´´=16-6xy´´<0 (Máximo Relativo)3. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcosen x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con laexpresióny = 3x + 8x2 - x3a. Encuentre los valores críticos de esta una funciónHallamos la primera derivada de la función y´= 3 + 16x – 3x2Igualamos la derivada a cero: 3 + 16x – 3x2 = 0Utilizando la ecuación general-b b - acapara la solución de una ecuacióncuadráticaax2+bx +c =0, obtenemos dos soluciones x1=5.5 y x2=-0.1b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?El valor que tiene sentido para el problema es 5.51, por lo que x es el número dehoras trabajadas después de iniciar labores y este no puede ser negativoc. Encuentre los puntos críticosRemplazamos el valor crítico 5.5 en la función originalY= 3(5.5) + 8(5.5)2 - (5.5)3 = 16.5 + 242- 166.3 = 92El punto crítico esta en (5.5, 92)d. Determine los máximos o mínimos relativos siexisten ¿Qué significa?Hallamos la segunda derivada de la función y´´=16 – 6x, remplazamos el valorcrítico, y´´=16 – 6(5.5) = -17Como y´´<0, ocurre un máximo relativo. Significa que la máxima producción de seobtiene 5.5 horas después de haber iniciado labores, pintando 92 marcosc. Graficando la función incluyendo la la segunda derivada
  • 130. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1304. La demanda de cierto producto está dada por, y la función costo promedio0Calcule el precio que maximiza la utilidad.Debemos hallar la función utilidad definida comoUtilidad (U)=Ingreso (R) – Costo total (C)La función Ingreso (R) es el producto del precio por la cantidad, es decirLa función costo total es el producto de la cantidad por el costo promedio es decir00Remplazando en la ecuación de la función utilidad000 0Derivamos la utilidad´ 0Igualamos a cero0 0Despejamos00El valor crítico se obtiene cuando se demandan 5 unidades. Remplazamos en laecuación de la utilidad0 0 0Es decir que existe un punto crítico cuando se demandan 5 unidades y la utilidad es de20 unidades monetarias. Hallamos la segunda derivada de la función utilidad´´Como la segunda derivada es menor que cero, entonces la máxima utilidad es de 20unidades monetarias y se obtiene cuando se demandan 5 unidadesSi remplazamos la cantidad en la ecuación de la demanda0Por lo tanto el precio que maximiza la utilidad es de 22 unidades monetarias
  • 131. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1315. Cierta empresa líquida el costo total de almacenamiento y envio de materiales para unproceso de manufactura de acuerdo con la expresión00 00, donde C(k) se da en dólares y k es el número de toneladas de material que se almacena yenvía. Determine los máximos y/o mínimos relativos que tienen sentido para el problema¿qué significa)6. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( endólares por unidad) está dado por000, donde q 0a. Halle la función costo total ( )b. Determine los máximos y/mínimos de la función costo total (si existen)c. Interprete los resultados7. El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es0, determine:a.El o los valores relativos si existenb.Los máximos o mínimos relativos si existenc.Interprete el resultado8. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada porU(x)=130 + 80x – x2 miles de pesos, donde x es la inversión en publicidad en miles de pesosa.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.Encuentre los puntos críticosc.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?8. El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en ciertacompañía de discos está dado por0.000000a.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticos
  • 132. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial132d.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?9. El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una funcióndel tiempo t por la fórmulaS(t)=10 000 + 2 000t -200t2, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana.a.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticosd.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?10. El costo promedio de fabricar cierto artículo es, donde x es el número de artículos producidosa.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticosd. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?11. Una empresa vende todas las unidades que produce en 4 mil pesos cada una. El costototal de la empresa C por producir x unidades esta dado en miles de pesos porC =50 - 1.3x+0.001x2a. Encuentre los valores críticos de esta una funciónb. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c. Encuentre los puntos críticosd. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?12. La función de costo para una empresa, está dada porC(x)= 300x-10x2-a.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticosd.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?13. La función de costo de una fabricante es C(x)=1000 - 5x + 0.1x2, cuando se producenx artículos por día.a.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.Encuentre los puntos críticosc.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?
  • 133. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial13314. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajadordespués de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de0Donde P es el número de unidades producidas por horaa.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticosd.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?15. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el númerode unidades por hora y producidas después de t horas de producción es0 0a.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticosd.Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?16. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de ciertoproducto es0000000Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de produccióna.Encuentre los valores críticos de esta una funciónb.¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c.Encuentre los puntos críticosd. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?
  • 134. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial134DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICASEjerciciosEncuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:f(x) = 4 ln (x) f(x) =ln (8x) f(x) = ln (4x + 9) f(x) = ln (8x3-2x) –2xf(x) = ln (x) – ln(x-1)f(x)= f(x)=ln(x-1)+ln(2x+1)f(x)=ln[(x-1)(2x+1)]f(x)= ln f(x)= f(x)=ln[t3(t2-1)]f(x)=EjerciciosEncuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existenf(x) = x ln (x) f(x) = x2 ln (x) f(x) = x2 8ln(x) f(x) = ln (x) – xProblemas1. Un fabricante de generadores eléctricos encontró que sus ventas han aumentado hanaumentado constantemente según la ecuación, donde x es el número de años que la compañía está operando, x=0 en 1973 y y es elvolumen de ventas en millones de dólaresa. Calcular la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo´ ln .´ lnb. Halle la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo para 1977,para hallar la tasa de cambio hacemos x=3´ ln .0c. Interprete el resultadoPara 1977 el volumen de ventas se incrementará en 2.09861 millones de dólaresLa función logarítmica ln tiene derivadas sencillas Derivada de la función logarítmica para x> 0 Regla de la cadena para las funciones logarítmicas´
  • 135. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1352. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con elingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuacióna. Halle la propensión marginal (S´) al consumo respecto al ingreso.b. Calcule e interprete la propensión marginal si I=1.3. La ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por0 ln, calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio cuandop=24. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado porC(x) = 1500 + 200 ln(2x +1), donde x es el número de unidades producidasa.Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x))b.Encuentre el costo marginal cuando se producen 200 unidades e interprete elresultado5. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasade interés r compuesta continuamente, de acuerdo cont lna. Con que tasa cambia el tiempo requerido respecto de r si r = 10%, compuestocontinuamenteb. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o muy pequeña5. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado porR(x) =a. Encuentre la función ingreso marginalb. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete elresultado6. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dadoporP = 10 + 50 ln(3x + 1)Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es33.7. La función demanda de un producto está dada por p = , donde p es el preciounitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio delprecio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90unidades ¿qué encuentra?
  • 136. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1368. Un fabricante determina que se venderán x unidades de cierto artículo de lujo cuandoel precio sea p(x) = 112 – x ln(x3)cientos de dólares por unidada. Encuentre la función ingreso [I=x*p(x)] y de ingreso marginal [I´(x)].b. ¿Determine el ingreso marginal obtenido al producir la quinta unidad?9. En un negocio se estima que cuando se emplean x miles de personas, su utilidad seráp(x) millones de dólares, dondeP(x) = 10 + ln -12x2, para x > 0¿Qué nivel de empleo maximiza la utilidad? ¿cuál es la utilidad máxima?10.Entre los años 1976 y 1998, el porcentaje de madres que regresaron al trabajo un añodespués de haber dado a luz se determina mediante w(x) = 1.11 + 165.94 ln (x)donde x es el número de años después de 1970. Si este modelo es preciso después de1998¿con que razón cambiará el porcentaje en el 2009?11.Encuentre la función ingreso marginal si la función de demanda es
  • 137. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial137DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALESEjerciciosEncuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:f(x) = 4 ex f(x) = e5x f(x) = 3e4x f(x) = 3e4x+1f(x) = e^(x2+2x-1)f(x)=x2 ex f(x)=(x2+3x+5) e6x f(x)=(1 - 3ex)2f(x)= e(-1/2)x f(x)= ex ln(x) f(x)= f(x)= eln(x)EjerciciosEncuentre los máximos y mínimos relativos de cada función si existenf(x) = x ex f(x) = x e2-x f(x) = x2 e-x f(x) = ex + e-xProblemas1. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 0 , donde se demanda qunidades cuando el precio es de p dólares.a. Calcule la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandadas cuandoq=2Derivamos´ 0´ 0Como q=2,´ 0 .b. Interprete el resultadoCuando las unidades demandas se incrementa en 3 el precio disminuye e 1.35dólares2. La ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por:x 000e 0.0 p, donde se demanda x unidades cuando el precio es p.La función logarítmica tiene derivadas Derivada de : ex = ex Regla de la cadena para : eh(x)=h’ x eh(x)
  • 138. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial138a. Halle x´Derivandox´ 000 e 0.0 p0.0x´ 00 e 0.0 pb. Calcule x´ cuando p=25Remplazandox´ 00 e 0.000 e 00 0.c. ¿Qué significa? Si el precio se incrementa en 26 las unidades demandadasdisminuyen en 74.3. El costo promedio (en miles de pesos) de producir q unidades de cierto producto estádado por000a. Encuentre la función de costo marginalb. Calcule el costo marginal para q=700. Interprete el resultado.4. La ecuación de oferta de cierta mercancía es p = 20ex/3, donde se ofrecen x miles deunidades cuando el precio es de p dólares. Determinea. La tasa de cambio del precio respecto a las unidades ofertadasb. La tasa de cambio cuando la oferta se incrementa en 6 mil unidades.c. Interprete el resultado5. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para unexamen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esosconocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por0 0 ..a. Calcule P´(t)b. Calcule P´(0) y P´(1). ¿Qué significan? Interprete los resultados6. Una cadena de tienda femenina, determinó que t días después de concluir unapromoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por0 000 .,, millones de pesos. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto alnúmero de días si t=3. ¿Qué significa?
  • 139. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1397. El precio de cierto articulo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en semanas)está dado por p=8+4e-2t+te-2t, determine la tasa de cambio del precio respecto altiempo si t=2. Interprete el resultado.8. La depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una razón tal que su valorcontable dentro de t años será V(t)=50 000e-0.4t dólares, ¿con qué rapidez cambiará elvalor contable de los bienes dentro de 3 años?9. Según la Internet Society, las conexiones de Internet están proliferando a una razóncada vez más creciente. El número de computadores huésped (en millones) se estimaen N(t)= 3.45e0.64t, en t años (t=0 corresponde al principio de 1994). ¿Con quérapidez aumento la cantidad de computadores huésped en 1996 y 1999?10.En un estudio realizado en el 2000, el porcentaje proyectado de hogares que usa labanca en línea es f(t)=1.5e0.78t , donde t se mide en años y t=0 corresponde al iniciodel 2000. Halle f´(t), calcule f(4) interprete el resultado.11.Los viajes aéreos han aumentado drásticamente en los últimos 30 años. En un estudiorealizado en el 2000, una empresa aérea previó un incremento exponencial aún mayoren los viajes aéreos hasta el 2010. La función f(t)=666e0.0413t proporciona la cantidadde pasajeros (en millones) para el año t, donde t=0 corresponde al 2000. Determinef´(t) ¿qué significa? , calcule f´(5) y f´(9) interprete los resultados12.Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales)compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la funciónS p℮0.1nCalcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesosa 1 año.13.Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años esQ(t) = 20 000 e-0.4t dólares.¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10años? ¿Qué encuentra?14.La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p unidades por mescuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio dela demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra?
  • 140. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial140Derivada de las Funciones Trigonométricas]cos .]cot .].].].].Ejercicio Derivar:1. y= sen(2x)Derivando y´= cos(2x)(2) ó y´= 2cos(2x)2. y= cos(3x)Derivando y´= - sen(3x)(3) ó y´= -3sen(3x)3. y=tan(1/x)Derivando y´= sec2(1/x)(-1/x2) ó y´= (-1/x2)sec2(1/x)4. y=cot2(x)Derivando y´=2cot(x)[csc2(x)]5. y=sec2(3x2)Derivando y´=2sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)6x ó y´=12x sec(3x2)sec(3x2)tan(3x2)6.Derivando ´ coscos cos csc cottan sec G(t)= sec(5t)+tan(4t)tan tancos xcsc cot ] x sen tan
  • 141. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial141y=x2sen5(2x) y=sen4(x2+3x) y=sen3[cos(t)]Derivada ImplícitaUna ecuación de la forma F(x,y) = 0, expresa a y como función de x en forma implícita.Se usa la palabra implícita puesto que ya y no está dada de manera explícita como funciónde x. sin embargo se supone o queda implícito que la ecuación define a y por lo menoscomo una función derivable en x.Procedimiento para derivar implícitamentePara una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una funciónderivable en x, la derivada puede encontrarse:7. Derivar cada termino de la ecuación respecto a x y y. Cuando se deriva respecto a y sele agrega .8. Despeja , y tenga en cuenta las restricciones.EjercicioEncuentre mediante diferenciación implícita e indique las restricciones si existen.1.0La ecuación se restringe en y=02.0La ecuación se restringe en y=03.0 , la ecuación se restringe en x=04. 0La diferenciación implícita es una técnica para derivar funciones que no están dadasen la forma usual y = f(x).
  • 142. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial142005.lnlnln6.7.8.9. 010. lnProblemas1. La demanda de cierto producto está dada por la ecuación p2 + q2 = 2500, donde qson las unidades que pueden venderse a una precio de $p cada una. Determine lademanda marginal a un nivel de precio de 40 dólares. Interprete el resultado.2. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas detrabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de0 000
  • 143. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial143Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horasde trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $640003. Suponga que el volumen de ventas de un compañía y (en miles de dólares) serelaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo conxy – 20x + 10y = 0Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto depublicidad cuando x=10 ((miles de dólares)4. Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el númerode horas de trabajo calificado y, y no calificado, x, satisfacen384 = (x + 1)3/4 × (y + 2)1/3Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de lashoras de trabajo no calificado cuando x=255 y y=214. Podemos usar esto parahacer una aproximación del cambio de horas de trabajo calificado requerido paramantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajono calificada en una hora5. Suponga que la producción de 10 000 unidades de cierta cosecha agrícola serelaciona con el número de horas de trabajo, x, y el número de acres de la cosechay , de acuerdo con300x + 30 000y = 11xy – 0.0002x2 – 5yEncuentre la razón de cambio del número de horas respecto al número de acres6. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $p por unidad está dadaporp(q + 1)2 = 200 000Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$80.Interprete el resultado7. Si la función de demanda de q unidades de un producto a $P por unidad está dadaporp2(2q + 1) = 100 000Encuentre la razón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p=$50.Interprete el resultado.8. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingresonacional I por medio de la ecuación
  • 144. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial144, donde S e I están dadas en miles de millones de dólares. Encuentre lapropensión marginal al consumo cuando I=16 y S=129. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad yestima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares enpromoción, los consumidores compraran aproximadamente(320y/y+2)+(160x/x+4) unidades del producto. Si los costos de fabricación deeste producto son US$50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante endesarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en laventa de este producto? [nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad -costo por unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción10. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e ygalones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=1000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x² + xy + y²es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y paramaximizar las utilidades?Elasticidad en la DemandaEl grado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varia en granmedida en diferentes productosCosto del combustible – consumoPrecio de los medicamentos – enfermosSi los cambios de los de los precios son considerables, decimos que la demanda eselástica; cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice que lademanda es inelástica.Los economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo elcambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio. Definimos laelasticidad de la demanda en un punto (qA , pA) comoη (qA, pA)Los economistas clasifican las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de lademanda a los cambios de precios usando la elasticidad
  • 145. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial145 Si η < -1, la demanda es elástica y el decremento porcentual en la demanda esmayor que el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio. Si -1< η 0, la demanda es inelástica y el decremento porcentual en la demandaserá menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio. Si η -1, la demanda es elástica unitaria y el decremento porcentual de lademanda es aproximadamente igual al incremento porcentual correspondiente enel precio.También podemos utilizar diferenciación implícita para encontrar dq/dp para evaluar laelasticidad puntual en la demanda.Problemas1. La ecuación de demanda para cierta mercancía es qp3=24 000 calcule, indique el tipoe intérprete la elasticidad en la demanda cuando p=2Sabemos que la elasticidad en la demanda se define ηConocemos p, debemos hallar q yPara hallar q remplazamos el valor de p en la ecuación original,q 000q000000Hallamos derivando implícitamente la ecuación originalpdqdpqp 0dqdpqppqpRemplazando en la ecuación de la elasticidadηComo η -1, la demanda es ilástica por lo tanto el decremento porcentual en lademanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.2. La ecuación de la demanda para cierta mercancía es 0 , donde se demanda qunidades cuando el precio es de p dólares. Halle la elasticidad en la demanda cuandoq=2 e indique su tipoDerivamos la función0Despejando
  • 146. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1460La elasticidad en la demanda esηRemplazandoη00SimplificandoηComo -1<η 01, la demanda es elástica unitaria por lo tanto el decremento porcentual enla demanda será menor que el incremento porcentual correspondiente en el precio.Problemas1. En cada uno de los siguientes problemas dada la ecuación de la demanda,encuentre la elasticidad de la demanda, indique su tipo y explique cómo afectaráun incremento de precio el ingreso total:a. p + 4q = 80 cuando el precio p = 40b. 2p + 3q = 150 cuando el precio p=15c. p2 + 2p + q = 49 cuando el precio p=6d. pq=81 cuando el precio p=3e. pq + p = 5000 cuando el precio p=450 y q=99f. 2p2q = 10 000 + 9000p2 cuando el precio p=50 y q= 4502g. (p + 1)(q + 1)1/2 = 1 000 cuando el precio p=39h. p2(2q + 1) = 10 000 cuando el precio p=20i. p 00℮-0.1q cuando el precio p=36.79 y q=10j. q= 250 – 30p + p2, cuando p=12k. p=86-6q-3q2,cuando q=32. La ecuación de la demanda de cierta mercancía esx= 5000 – 100 ln (p + 40), donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares.Calcular e indicar el tipo de la elasticidad en la demanda si el precio es de 60dólares3. La relación de la demanda para cierto producto es q=250 -30p +p2, donde qunidades pueden venderse a un precio p cada una. Calculo la elasticidad en lademanda e indique su tipo cuando el p=12
  • 147. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1474. Dada la ecuación de la demanda hallar e indicar el tipode la elasticidad de la demanda cuando el precio es de 9 dólares. Interprete elresultado.5. Dada la ecuación de la demanda donde p es el precio endólares y q las unidades demandadas. Si el precio es de 15 dólares determinar elnúmero de unidades que se deben demandar para que la elasticidad se elásticaunitaria.
  • 148. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial148Derivadas ParcialesFunciones de dos o más VariablesExisten magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo elárea del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo deproducción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, latemperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, laconcentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de habersuministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distanciaen que se encuentra el punto de la inyección,Las funciones de dos variables se simbolizan f: R2 R y se representan generalmente z =f(x; y)El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de lafunción es el rango de la función.EjerciciosEvalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes1. z = x2+4xy+y2; x=1, y=-1z = (1)2+4(1) (-1)+(-1)2z = 1 - 4 + 1z = -22. z = 4x2y-3xy3; x=2, y=2z = 4(2)2(2)-3(2)(2)3z = 32-48z = -163. ; x=4, y=-34. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2=50C(x1,x2)=600+4(400)+6(50)C(x1,x2)=600+1600+300C(x1,x2)=25005. encuentre q(40,35)6. encuentre z(3.-3)Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D R2.Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado(x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y).
  • 149. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1490007. z=3x + 4y; x=-1, y=2 8. z=2x3y-xy2; x=-1, y=19. ; x=3, y=210. C(x1,x2)=500+5x1- 7x2; C(200, 300)11. ,encuentre q(50, 10)12.013. con(1, 3, 1)14.con (2, 3, 1, -1)15. g(PA,PB) = 2PA(PB2– 5); g(4,8)16. h(r,s,t,u)= ; h(-3,3,5,4)17. h(r,s,t,u)= ; h(1,5,3,1)Problemas1. El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidadde varios artículos distinto de maderas está dado porC(x, y)= 5 + 5x +22y, donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número dehoras de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero senecesitan 20 píes de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación.Por datos x=20 y y=2.5 remplazandoC(20 ,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5)C(20 ,2.5)= 5 + 100 +55C(20, 2.5)=160 dólaresEl costo de fabricación de un librero será de 160 dólares2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía sedetermina mediante la función de producción de Cobb-Douglas0, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo.a. Encuentre Q si K=10 000 dólares y L=625 horas.
  • 150. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial150Remplazando0 0 000 0 0 00Cuando el capital invertido es 10 000 dólares y se trabajan 625 horas las unidadesproducidas serán 37 500b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad?Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas.Remplazando0 000 . 0 . 0 . 0Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad laproducción también se reduce a la mitad.c. Si se mantiene la inversión de capital en 10 000 dólares, trace la gráfica de Q comofunción de L.La ecuación sería 0 0 000 003. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY2.a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y.b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, ¿cuántas unidades de X se debencomprar para mantener el mismo nivel de utilidad.c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, ¿cuántas unidades de Y se debencomprar para mantener el mismo nivel de utilidad.4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) máseconómica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote deWilson:                       HORAS TRABAJADAS (L)UNIDADESPRODUCIDAS(Q)
  • 151. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial151Q= f(K, M, h)=, donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h elcosto de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.).Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta.5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía sedetermina mediante la función de producción de Cobb-Douglas0, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo.a. Encuentre Q si K=64 000 dólares y L= 512 horas.b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican?c. Si la inversión de capital se mantiene en 64 000 dólares, trace la gráfica de Q comofunción de L.6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada porz=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y elnúmero promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para unasemana en la que:a. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas detrabajo por máquina es 30b. ¿Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades demercancía?c. ¿Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidadestrabajando en promedio 24 horas?7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. Laganancia, en dólares, para la empresa está dada porP(x, y) = 100x + 64y – 0.01x2 – 0.25y2, donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el numero de libras de Kreamsvendidos por semana.a. ¿Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams?b. ¿Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras deKreams y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares?c. ¿Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras deKisses y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares?8. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas pory, donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitariosson PA y PB.
  • 152. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial152Calcular las demandas de A y B si sus precios son $1000 y $2000Diferenciación ParcialSuponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es unaconstante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variablex, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivadaparcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variabley x fija.En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como y laderivada parcial de z respecto a y se expresa como . Obsérvese que representa laderivada de una función de una variable, x, y representa la derivada parcial de unafunción de dos o más variables.Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a xson:Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y,tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denotaEjercicios 39Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable2. z= x4+3y3La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variabledependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x ey podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otrasegún cambia x, dejando a y fija.
  • 153. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1533. z= 3xy +y24. z=(x3+2y2)35. C(x,y)=600-4x + 10x2y6.7.8. z=5x2-2y9. z= x5-6x+4y3-y210.11. C(x, y)=1000-4xy+xy212.13.EjerciciosEncuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas
  • 154. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1541.f(x, y)=4x3 – 5xy + y2, respecto a x en elpunto(1, -2), como x=1 y y=-2 remplazamos2. , respecto a y en el punto (2, -1), como x=2 y y=-1 remplazando y resolviendo2. , respecto a x en elpunto (1, 1), como x=1 y y=1, remplazando yresolviendo.3. , respecto a y en el punto (0, 1), como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo5. g(PA,PB) = 2PA(PB2 – 5); respecto a PB en elpunto g(4,8)6. h(r,s,t,u)= ; respecto a u en el puntoh(-3,3,5,4)7. h(r,s,t,u)= ; respecto a s en elpunto h(1,5,3,1)8. h(r,s,t,u)= ; respecto a t en elpunto h(1,5,3,1)9.Si z=2x + 3y, demuestre que3zx – 2zy =010.Si , demuestre que xzx + yzy = 011.Si , demuestre quexzx + yzy = 2z12.Si z= x3 + y3, demuestre quexzx + yzy = 3z13.Si , demuestre quexzx - yzy =14. Si , demuestre quexzy – yzx =Costo Conjunto y Costo MarginalSuponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismasmaterias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo deconjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cadabien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces es el costo marginalrespecto al producto x y es el costo marginal respecto al producto y.
  • 155. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial155Problemas1.El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado porC(x, y)= 30 + 3x + 5y, donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra dematerial. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra.Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material eintérprete los resultados.Respecto a la mano de obra hallamosPor tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por librael costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que seincremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante.Respecto a la mano de obra hallamosPor tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por librael costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que seincremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante.2. El costo total de producir un artículo esC(x, y)= 30 + 10x2 + 20y – xy, donde x es la tarifa por hora de la mano de obra y y el costo por libra de materiaprima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y la materia primacuestan $6 por libra ¿Cómo afectará el costo total un incremento dea. $1 por libra de materia prima?Hallamos la derivada parcial del costo respecto a la materia primaRemplazandoSi se incrementa la materia prima en $7 el costo de producción se incrementa en$5b. $1 por hora en los costos de mano de obra?Remplazando
  • 156. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial156Si se incrementa la mano de obra en $16 el costo se incrementa en $2943. La función costo conjunto para dos productos esC(x, y)= 50 + x2 + 8xy + y3a. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3).b. Intérprete los resultados.4. El costo total de producir un artículo esC(x, y)= 40 + 4x + 6y +, donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por horade la mano de obra. ¿De qué manera afectará el costo total un aumento dea. $1 por libra de materia prima?b. $1 por hora en los costos de mano de obra?5.El costo conjunto (en dólares) de los producto X y Y esta dado porC(x, y)= 40 + 3x2+y2+xy, donde x expresa la cantidad del producto X y y la cantidad del producto Y.a. Calcule el costo marginal respecto a x si se producen 20 unidades del producto X y15 del producto Y.b. Calcule el costo marginal respecto a y si se producen 20 unidades del producto X y15 del producto Y.c. Interprete los resultados.6.Si la función costo conjunto para dos productos esC(x, y)=Si se produce 10 unidades de x y 15 de y calcule e interpretea. El costo marginal respecto a x.b. El costo marginal respecto a y.7. La función de costos conjuntos para producir qA unidades del producto A y qBunidades del producto B está dada por00a. Encuentre la función costo marginal con respecto a qA y qBb. Evalúe las funciones costos marginales obtenidas en el enciso anterior cuandoqA =17 y qB = 8. Interprete los resultados
  • 157. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial157Productividad MarginalProblemas1. Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividadesmarginales para los valores dados de L y K. L es el número de horas trabajadas porsemana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semanaa. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK – L2 – 2K2; L=3 y K=10La productividad marginal de mano de obra se obtiene por , derivando P(L, K)0Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesosentonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cadaincremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que seincremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades,manteniendo la inversión de capital K fija.La productividad marginal de capital se obtiene por , derivando P(L, K)La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresapuede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capitalinvertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K elmonto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidasen un mes (la producción total) P se denota P = f(L, K) esta función se conoce comofunción de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores deinsumos de producciónLa derivada parcial se denomina productividad marginal de la mano deobra y productividad marginal del capital.
  • 158. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial158Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesosentonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incrementounitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente elmonto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el númerode horas laboradas L fija.b. P(L, K)= 18L – 5L2 + 3LK+7K - K2; L=96 y K=8c. P(L, K)= 50L + 3L2 – 4L3 + 2LK2 – 3L2K – 2K3; L=64 y K=5b. P(L, K)= 25L + 2L2 – 3L3 + 5LK2 – 7L2K+ 2K2 – K3; L=128 y K=10Funciones de DemandaProblemas 291. La función demanda par dos productos están dadas porq1=300 – 8p1 - 4p2q2=400 – 5p1 - 10p2a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 ydel segundo p2=8q1=300 – 8(10)– 4(8)=188q2=400 – 5(10)– 10(8)=270A los precios dados la demanda del producto 2 es mayorb. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p20Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), lacantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambosproductos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entoncesq1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demandadel segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1y q2 se conocen como funciones de demanda marginal
  • 159. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial159Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 12. La función demanda par dos productos están dadas porq1=900 – 9p1 + 2p2q2=1200 + 6p1 - 10p2a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 ydel segundo p2=12b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p13. Dadas las funciones qA, qB, pA y pB las demandas y los precios (en dólares) de dosproductos A y B calcule las demandas marginales: de qA respecto al precio pA, qArespecto al precio pB, qB respecto al precio pB y qB respecto al precio pAa. qA=400 – 3pA - 2pB y qB=250 - 5pA - 6pBb. qA=600 – 4pA + 6pB y qB=1200 + 8pA - 4pBc. 000 0 0000d. 00 0 000 004. Las ecuaciones de demanda para los productos A y B están dadas pory, donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B cuando los precios unitariosson PA y PB.a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es pA= 1000 ydel segundo p2=2000b. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pAc. Encuentre la demanda marginal de qA respecto al precio pBd. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pAe. Encuentre la demanda marginal de qB respecto al precio pBOtras aplicaciones1. La fórmula del interés compuesto anual está dada por00, donde A es el valor futuro de una inversión de P dólares en los t años a una tasa deinterés anual r.a. Calcule en A(100,10,5)
  • 160. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial160b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado2. El director de mercadeo de una fábrica de bicicletas propone el siguiente esquema:ofrecer x bicicletas y triciclos a un agente de ventas por:00 00 . .dólaresa. Calcule en R(200,100)b. ¿Qué indica la función? e interprete el resultado
  • 161. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial161LA INTEGRALA través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información decosto marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones deingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre elcosto marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacionalcon base en información acerca de la propensión marginal al consumo.AntiderivadaLa integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de unfunción, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Porejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x2,pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de lafunción f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constanteEjercicios 41Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x):1. f´(x) = 4x si f(x) = 2x2 + 12. f´(x) = 3x2 si f(x) = x3 – 123. f´(x) = si f(x) = x2 + 4x - 14. f´(x) = x si f(x) = (1 + x)5. f´(x) = si f(x) =6. f´(x) = x si f(x) =Integral IndefinidaSea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debetener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constanteEl símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es ellímite de una suma- indica que la operación de integración debe realizarse sobrecierta función f. Así∫ f(x) dx = F(x) + CIndica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C,donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante deintegración. La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si lavariable independiente es t se escribe ∫ f(t) dt.
  • 162. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial162Reglas de IntegraciónRegla ExpresiónDe unaConstante∫ k dx kx c donde c es una constante de integraciónEjemplo: ∫ dx x cDe laPotencia∫ xn dx = n 1Ejemplo: ∫ x3dx =De unmúltiploconstante∫k f x dx k ∫ f x dxEjemplo: ∫ x2dx ∫ x2dx = 2 [ ] =xcDe la suma∫ f x g x ] dx ∫f x dx ∫g x dx∫ x2 + 4x – dx ∫ x2 dx + ∫ x dx – ∫ dxx xx c=x3 + 2x2 – x + cExponencialLogarítmicaEjerciciosCalcule las integrales y verifique sus respuestas derivando
  • 163. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial163Problemas1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es:C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólaresSi el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo defabricar 60 unidades.´C x x-x x c Solución GeneralComo C(x)=29 050 cuando x=30,0 0 0 0 0 0 – 00 0000Despejando0 0 0 c ó c 00Remplazando en la solución generalC x x - x x 00 Solución ParticularCuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular0 0 0 0 00 00 00 000 0000El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejoprivado de locales comerciales es: M´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad delcomplejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años.Halle el costo del mantenimiento en 5 años´0x 000 dx 0x000x c 0x 000x cPara x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es0x 000xPara hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando0 000 0 000 0 000 0En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares
  • 164. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1643. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual R ( en miles de pesos) queuna persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número deaños de educación t está dada por00, donde R=55 000 cuando t=9. Encontrara. La función ingreso totalb. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio.4. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal esR(x) = 15 - 4xSi x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:a. Determine la función ingreso total.b. Determine la ecuación de demanda.5. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x segurosde gastos médicos esQ´(x) = 32x + 92, donde x es el número de seguros vendidos y Q´(x) es el costo marginal dado enpesos.a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0entonces Q(x)=10 000).b. Determinar el costo de vender 100 seguros.6. Sea S´(t)= 4 + 5t2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por tsemanas, además la condición inicial es S(0)=3000.a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de tsemanas.b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas7. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo esta dado por´, si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41a. Halle la función que determina el costo promedio.b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos8. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto esR´(x)=12 – 0.0004xSi el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares,determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades9. El costo marginal de cierta empresa está dado por
  • 165. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial165C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentrec. La función costod. El costo de producir 500 unidades10. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de susproductos es00, determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5unidades.11. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =-0.3x + 450, ¿cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades?12. Una compañía a encontrado que la razón de cambio de su costo promedio porproducto es´00, donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio deproducir 20 unidades es de $40.a. Encuentre la función de costo promedio del productob. Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto13. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones dedólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante0. ., donde t es el número de años que han pasado desde 1990.a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995,encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimonialesinvertidos en fondos mutuos.b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 200014. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones dedólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. Larazón de cambio del gasto se puede modelar con0.00 . .
  • 166. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial166, donde t=0 en 1960.a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la saludb. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado alcuidado de la salud para el 201015. Si el ingreso marginal esta dado por00Determine la ecuación de la demanda correspondiente16. Si el costo marginal está dado por, si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y elcosto total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares17. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginaldiario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada porR´(x)=-0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas yvendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresosR(x) asociada con la producción y venta de relojesIntegración por SustituciónEs utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas.Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integralmediante un cambio de variable.EjercicioIntegrar cada función1. ∫Hacemos derivando u respecto a x obtenemos, despejando remplazando en la función originalRemplazando el valor de u obtenemos
  • 167. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1672. ∫ 3. ∫ 7. ∫8. ∫ 9. ∫ 10. ∫11. ∫ 12.∫ 13. ∫Regla de la Potencia para la IntegraciónEjercicios1. ∫ .Si comparamos con la definición y ´entonces.Si derivamosobtenemos ..2. ∫Para que tenga la forma∫ ] . ´ multiplicamosy dividimos por 3.Factorizando.Aplicamos la fórmula∫ ] . ´] .Si derivamosobtenemos ...] . ´]
  • 168. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1683. ∫El ejercicio se puede expresarPara que tenga la forma∫ ] . ´ multiplicamosy dividimos por 4.Factorizando.Aplicamos la fórmula∫ ] . ´] .Si derivamosobtenemos4. ∫El ejercicio se puede expresarPara que tenga la forma∫ ] . ´ multiplicamosy dividimos por -5.Factorizando.Aplicamos la fórmula∫ ] . ´] . .Si derivamosobtenemos
  • 169. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial169Ejercicios. IntegrarProblemas1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de´ 0 0, donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año lospanales costaban $10 dólares.d. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares alinicio del año t.e. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000?Para hallar la expresión del costo deproducción debemos hallarQue podemos expresar ∫Para que tenga la forma∫ ] . ´ multiplicamos ydividimos por 3FactorizandoAplicamos la fórmula∫ ] . ´]La ecuación general sería
  • 170. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial170Como para 1990 los panales costaban $10dólares.00; 0Despejando0Entonces .Remplazando en la ecuación general seobtiene la ecuación particular.Si queremos saber el costo de los panelesen el 2000 hallamos t000 0 0Remplazando00.0. 0. 0.0.Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costoaproximado de $0.93 dólares2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de losestudiantes aumentará a razón de´ 000 0.Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000estudiantesa. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años.b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años?Para hallar la expresión total deestudiantes inscritos debemos hallar000 0.Que podemos expresar000 0.Para que tenga la forma∫ ] . ´ multiplicamos ydividimos por 0.20000. 0.0.
  • 171. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial171Factorizando 0000.0. 0.Aplicamos la fórmula∫ ] . ´] 00000.La ecuación general sería00000.00000..Si la inscripción actual es de 1000estudiantes00000000. 0Despejando 000 000EntoncesRemplazando en la ecuación general seobtiene la ecuación particular .Para saber cuántos estudiantes seinscribirán dentro de cinco años,hacemosRemplazando..En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes3. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos esta dadopor´0000
  • 172. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial172, en donde x es el número de pares de zapatos producidos.a. Determine la función costob. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos4. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por:00Encuentre la función de la demanda si q=1005. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por00, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre elingreso total.6. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por0 0000 0000, donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares.Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras.7. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denominaproductividad física y es una función del número de máquinas y es una funcióndel número de máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física, esla productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unosalbañiles es0, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles,encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=08. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por mediode00000], donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el productoha estado en producción.a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina elnúmero total de artículos producidos como una función del tiempo.b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana?
  • 173. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1739. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producciónse incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasade desempeño está dada por, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar unanueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminarandespués de 8 horas?10. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:R´ xxx 00a.Encuentre la función ingresob.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidadesIntegrales que Involucran Funciones ExponencialesEjerciciosCalcule las integrales1. ∫2. ∫El ejercicio lo podemos escribirTiene la forma ∫ . ´ ∫ , aplicando lafórmula3. ∫Para que quede expresado de la forma ∫ . ´ ,multiplicamos y dividimos por 2Factorizamos. ´
  • 174. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial174Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫4. ∫La expresión se puede escribirSi multiplicamos y dividimos por -2FactorizamosAplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫Ejercicios Calcule cada integral000 .0 .Problemas1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólarespuede modelarse por medio de., donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (endólares) de la casa.a. Encuentre V(t)b. Determine el valor de la casa 10 años después de construidaLa expresión .equivale a ∫ .Factorizando ∫ .Multiplicamos y dividimos por 0.05 ∫. ..
  • 175. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial175Factorizando0.0.0.0Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫, obtenemos la ecuación general 0.0.Para t=0 V=350000, remplazando hallamos elvalor de la constante C00000.0.0000 00000 00Remplazando en la ecuación general0.0.0Para hallar el valor de la casa 10 años despuésde construida hacemos t=10, remplazamos00.0.00 0 .00 0 . 00 . 00 0 0En 10 años la casa costará 350103 dólares2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es´ .¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto?La expresión ´ .equivale a ∫ .Factorizando ∫ .Multiplicamos y dividimos por 0.01 ∫. ..Factorizando0.0.0.0Aplicamos la fórmula ∫ . ´ ∫, obtenemos la ecuación general00 .Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos elvalor de la constante C0 00 .0 0000Remplazando en la ecuación general 00 .0000 .
  • 176. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial176Para hallar el ingreso por la venta de 100unidades hacemos x=10000 .0000 .00 .0 0.El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólaresaproximadamente3. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuestocontinuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es0. .a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años?b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro?4. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los EstadoUnidos, T (en dólares), se puede modelar mediante. ., donde t es el número de años transcurridos desde 1950.a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84,encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los EstadosUnidos.b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).5. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar unacampaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa´ . .0 t 00, donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino.Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0.a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días despuésde culminar la campañab. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña6. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos(en miles de millones de dólares se puede modelar mediante. ., donde t es el número de años que han pasado desde 1960
  • 177. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial177a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentrela función que modela el ingreso personal total.b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60).7. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina enparticular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (númerode unidades por hora) está dado pordxdt0 e t 0Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas8. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una telaparticular dado por ´ 0 ., donde x es el número de rollos producidosde la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calculeel costo de producir 100 rollos de tela.9. Durante una crisis económica, reciente el porcentaje de desempleados creció arazón de´0. .., donde t es el tiempo en meses. Dado que en t=0 había el 4% de desempleados¿qué porcentaje estaba empleado?:a. 10 meses despuésb. 20 meses después10.Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares debocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas deestos sistemas se han incrementado a razón de´ 000 , unidades por añoDonde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántossistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción almercado?Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas
  • 178. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial178EjerciciosCalcule cada integral1. ∫Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada dela expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma ∫´duaplicando la formula ∫´du u c obtenemosln2. ∫Multiplicamos y dividimos el integrando por 4FactorizamosEl integrando tiene la forma ∫´du u c,resolvemosln3. ∫Observamos que la derivada del denominador delintegrando ( es , por lo tanto al numerador lefaltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos ydividimos el integrando por 6Factorizamos el 6 del denominadorEl integrando tiene la forma ∫´du u c,resolvemoslnEjerciciosCalcule cada integral
  • 179. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial179Problemas1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por´, si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demandasi el precio se incrementa en 14 dólaresDebemos hallarFactorizamosEl integrando tiene la forma ∫´du u c,resolvemos y obtenemos la ecuación generallnComo para p=7 dólares x(p)=27 unidades ln.0.Remplazando en la ecuación general ln 0.Para p=14 dólares ln0.Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por´00, donde x es el número de unidades producidasa. Encuentre la función costo
  • 180. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial180b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50unidades?Debemos hallar 00Factorizamos00El integrando tiene la forma ∫´du uc, resolvemos y obtenemos la ecuación general00 lnComo C(5)=1980 0 00 ln0 00 ln00Remplazando en la ecuación general 00 ln 0Para x=50 unidades 00 ln 00Producir 50 unidades costaría 2867 dólares3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por0000Donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuandose producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad.Determine el costo de producir 200 unidades4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidadrespecto a las unidades vendidas semanalmente esta dado por´ , dólaresSi cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule losgastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dadapor´Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda siel precio se incrementa en 4 dólares.
  • 181. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1816. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadasestá dada por´0Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio sise venden 40 unidades
  • 182. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial182TALLERTema: Integrales Indefinidas1. Resuelva cada una de las siguientes integralesa. ∫ = b. ∫ =c. ∫ = d. ∫ =e. ∫ = f. ∫g. ∫ =Problemas2. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diariorelacionada con la producción y venta de sus relojes está dada porR`(x)=-0.009x + 12, donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) semide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre lafunción de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.3. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de..0 ., años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de1900. Halle una expresión para g(t) para la esperanza de vida (en años) de unamujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es laesperanza de vida de una mujer que nace en 1991?
  • 183. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial183SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOEjercicios 47Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones1. ∫2. ∫ 03. ∫4. ∫ln ] ln ] ln ].0 ] 0] . .Ejercicios 48 203212 dxxx 42 454dxx 1123652 dxxxx7122dxxx 301 dxxxSi f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es unaantiderivada de f, entonces:
  • 184. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial184Problemas1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por ´ . . .Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel deventas se incrementa de 100 a 200 unidadesDebemos calcular. .Integrando. .Simplificando yremplazando. . ]. . ]] ]El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es. dólares por año, calcule el costo total de reparación durantelos primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6Debemos calcular.Integrando .Simplificando .Remplazando . ]. ]. ] ] .El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de133.6 dólaresPara un periodo de t=4Calculamos .Remplazando . ] ]. ] ] .El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de300.8 dólares
  • 185. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial185Para un periodo de t=6Calculamos .Remplazando . ] ]. ] ] .El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de511.2 dólaresEncontramos que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo dereparación3. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto esC´(x)= 74 + 1.1x – 0.002x2 + 0.00004x3 dólares por unidadEncuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a1600 unidades4. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sinembargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual seincrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años esta dado porS´(t)= 120 – 4t – 0.5t2 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobrelos primeros 8 años.5. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con uncosto de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía auna tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición.¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años?6. La función ingreso marginal de un fabricante es.Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si laproducción se incrementa de 15 a 25 unidades7. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D´(t)= 3 000 (20 – t) dólarespor año 0 t 0. Use la integral definida para encontrar:a. La depreciación los primeros 10 añosb. La depreciación los primeros 20 añosc. La depreciación entre 10 y 20 años8. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos deoperación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x)pesos al año donde f´(x) = 1000 + 5000x. ¿Cuánto se ahorra en costos deoperación durante los primeros seis años?
  • 186. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1869. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre elsuperávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinteunidades10. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) = . Encuentre laganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos11. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por:S´(t) = -3t2 + 300t, donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0t 0.b. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se término lacampaña (t=0 a t=7)c. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se término lacampaña (t=7 a t=14)12. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0unidades de un artículo esta dado por ∫ donde D(q) es la función de lademanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es D(q)=4(25-q2) dq. Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidoresestán dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos
  • 187. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial187ÁREA BAJO LA CURVASi es un función continua en ] y ≥ en ] entonces el área exacta entrey el eje de las en a esta dada porEjercicio1. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entrey2. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entrey3. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y4. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre y5. Dibuje y encuentre el área entre la curva y el eje de las entre yProblemas de aplicación3. La tasa de depreciación de un edificio está dada por ´ dólares alaño, .a. Haga una grafica que represente la depreciación total del edificiob. Calcule la depreciación de los primeros 10 años.2. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por:S´(t) = -3t2 + 300t, donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 t30. Haga una grafica que represente las ventas los primeros 10 días.
  • 188. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial188APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍAValor promedioProblemas1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por:C (x)= 5000+16x+0.1x2El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costopromedio semanalC (x)= 5000+16x+0.1x2=00- 00∫ 000 x 0. x dx0000=00(5000x +8x² + 0.033x³)0000=00000 00 00 0.0 00 - 000 00 00 0.0 00=00(1.584.000 – 613000) =00(971000)= 9710Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades seráde 9710 dólares2. La función demanda para cierto articulo está dada por:P= 500+, donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si sedemanda en 50 y 100.00- 0∫ 00+ ) dq=000q 00ln q ] 000El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] esValor promedio = ∫
  • 189. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial189= (50461.512- 25393.183) = (25 068.329)= 501.3666El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36Unidades Monetarias.3. El ingreso total de una maquina de videos está dada por:I=50e0.2tEncuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas.= ∫ 0 .dt = ∫ .dt= x.. . .0= . e0.- . e= (62.5 .- 62.5)= (139.096 – 62.5)= 76.596El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de76.59 Unidades Monetarias4. La utilidad (en dólares) de un negocio está dada por p=369q – 2.1q2 – 400, donde q esel número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre elintervalo de q=1 a q=100.5. Suponga que el costo(C) de producir q unidades de un producto está dado porC=4000 + 10q + 0.1q2. Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q=100 aq=5006. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por C(x)= 400+x+0.3x2,donde x es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a20 unidades7. El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo esC(x)=x2 + 400x + 2 000Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa elresultado?
  • 190. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1908. El número de ventas diarias de un producto está dado por00 00, x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto.a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de lacampaña, es decir x=0 a x=20.b. Si no se inicio una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio deventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30)9. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa deinterés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años.Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.Ingreso TotalProblemas 361. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de unpozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo tdada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado delingreso total por este pozo durante los próximos 10 años.2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo deingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000dólares por año3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo deingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500dólares por año4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujocontinuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) =24 000e0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en elprimer añoSea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años estádado porIngreso total = ∫
  • 191. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1915. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingresogenerado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es unflujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10000e0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para losprimeros dos años.6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladoracomo un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dadopor f(t)=80e-0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujopara los siguientes 10 años.Valor Presente de un flujo continuo de ingresoValor Futuro de un flujo continúo de ingresoProblemas1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada porf(t) = 9 000e0.12t (dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuestocontinuamente, para los próximos 10 años encuentrea. El Ingreso totalPor definición el ingreso total esta dado por∫, por datos f(t) = 9 000e0.12t y k = 10 remplazando000 .000.0.0.0000..0. 000 . 00Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r,compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso esValor-presente = ∫Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempoSi f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r,compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso esValor-futuro = ∫
  • 192. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial192000 . .000 . ] 000 . ] 00El ingreso total del flujo continuo f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6%compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 249 009 dólarespor añob. El valor presente000 . .000 .000.0.00.00000.0.0.0 0000 . 000000 . .0000 . 0000 0.El valor Presente del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece auna tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de123 318 dólaresc. El valor futuro.. 00El valor futuro del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece auna tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de224 700 dólares2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada porf(t) = 12 000e0.04t (millones de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa del 8%compuesta encuentre para los próximos 8 añosa. El Ingreso totalPor definición el ingreso total esta dado por, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t y k = 8 remplazando
  • 193. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial193000 .000.0.00.00000.0.0.0 00000 .000000 . .00000 . ] 00000 0. ]El ingreso total del flujo continuo será de 113138 millones de pesosb. El valor presentePor definición el ingreso total esta dado por, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando000 . .000 .000.0.00.00000.0.0.000000 .000000 . .00000 0. ] 00000 0. ] .El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 millones de pesosc. El valor futuroPor definición el ingreso total esta dado por, por datos ∫ . , r=0.08 y k=8, remplazando.. ] . . 0El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806millones de pesos
  • 194. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1943. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presentedurante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañíadetermina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares poraño y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente,encuentre este valor presente4. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 1 000e0.02t, en millones de pesos poraño, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuestocontinuamente, para los próximos 4 años, encuentrea. El valor presenteb. El valor futuro5. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada porf(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para lospróximos 5 años calcule:a. El Ingreso totalb. El valor presentec. El valor futuro6. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensascomo un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual en el tiempo t está dadapor f(t) = 97.5e-0.2(t+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de lasprensas durante los siguientes 10 años.7. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén deropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tieneun flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada porG(t)=30 000 (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuode ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por G(t)=21600e0.08 (miles de pesos por año) .La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro decada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra.
  • 195. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial195Superávit de ConsumidorEl precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta.Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Losconsumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio másbajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p1 se conocecomo superávit del consumidor cuya fórmula está dada por, donde f(x) es la demanda, p1 es el precio de equilibrio y x1 es la cantidad en equilibrio,p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieroncomo ingreso.Problemas1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si elprecio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor?Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1Remplazando000 000Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es000 00 ln 000 ln ln ] 000 . 0] 0 0 0 0
  • 196. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial196El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p =x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el puntode equilibrio y el superávit del consumidor.Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y laofertaElevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad00Factorizando0Ósea que0 o 0Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en laecuación de la ofertaEntonces el precio de equilibrio , como la demanda ,remplazamos en la ecuación ∫Resolviendo000 0. . 0 .El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9.¿Cuál es el superávit del consumidor?4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40.¿Cuál es el superávit del consumidor?
  • 197. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial1975. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad enequilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?6. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad enequilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?7. La función demanda de cierto producto es p = 81 – x2 y la función oferta es p= x2 +4x + 11. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.8. La función demanda de cierto producto es p = 49 – x2 y la función oferta es p= 4x + 4. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.Superávit del ProductorCuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también sebenefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo.El área entre la línea p=p1 y la curva de la oferta x=0 y x=x1 da como resultado elsuperávit del productor.Si la función de la oferta es p = g(x), elsuperávit de productor esta dado por ladiferencia entre el área entre la gráfica p=g(x)y el eje de las x entre 0 a x1., p1x1 representa el ingreso total en el punto deequilibrio.Problemas6. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el preciode equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor?Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio deequilibrio en la función oferta
  • 198. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial19800 0Factorizando 0 ó 0.La cantidad en equilibrio es 0La función oferta es , remplazamos en∫0Resolviendo000000 000 00 . 0] .El superávit del productor será de 2766.67 dólares7. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su funcióndemanda es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11.Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y laofertaDespejando0 0Factorizando0 0Ósea que0 o 2 0 0Es decir que la cantidad en equilibrio unidades, remplazando en la funcióndemandaEntonces el precio de equilibrio , como la oferta es ,remplazamos en ∫Resolviendo00
  • 199. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial199000 00 . 0El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares3. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el preciode equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor?4. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit delproductor cuando se venden 15 unidades?5. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y lafunción oferta es 00 , si la cantidad en equilibrio es de 31 unidadesencuentre:a. El punto de equilibriob. El superávit del consumidorc. El superávit del productor6. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un productocuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguidaa. D: p= 15 -2xO: p=3 + xb. D: p=17 – 0.5xO: p= 5+0.3xc. D: p =1100 –q2O: p = 300 + q2d. D: p = 400 – q2O: p = 20q +100e. D:O: p= x +1f. D: p =110 – x2O: p =2 -6/5x +1/5x2g. D: p = 12/(x + 1)O: p = 1 + 0.2xh. D: p = 49 – x2O: p=4x + 4
  • 200. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial200INTEGRACIÓN POR PARTESLa integración por partes es una técnica de integración donde se usa una fórmula que seorigina de la regla del producto para la derivada.. .. ....EjerciciosIntegre1. ∫Hacemos u=x y dv=exdx entonces du=1dx y v=ex remplazando en la fórmula2. ∫Hacemos u=ln(x) y dv=xdx entonces du= y v= remplazando en la fórmulaln lnln3. ∫ lnHacemos u=ln(x2) y dv=dx entonces du= y v=x remplazando en lafórmulaln ln ln ln4. ∫Hacemos u=x2 y dv=e2xdx entonces du=2xdx y v= e2x remplazando en lafórmulaLa integración por parte es muy útil si la integral que se trata de calcular se puedemanejar como el producto de un función u y el diferencial dv, de una segunda funciónde modo que se pueda encontrar las dos integrales ∫ y ∫
  • 201. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial201Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdxentonces du=dx y v= e2x remplazando5. ∫Hacemos u=x2 entonces du=2xdx y dv=x dx entonces v=remplazandoProblemas1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en elmercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es elnúmero de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S,como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4semanas?Debemos hallar000 .000 .Hacemos entonces y .entonces..,aplicando la formula de integración por parte ∫ . ∫
  • 202. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial202000 .0000..0..000...∫ .]0000..0. 0..]La ecuación general es.. .]Para S(0)=00 0000.0 . .] 000 00000Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular.. .]Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemost=4.. .].Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147juegos2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo deextracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual(en dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y eldinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de lapieza para los próximos 2 años.La fórmula del valor presente es ∫ donde y 0.0remplazando00000 00 .00000 .00 .∫ 00000 .00 ∫ .(1)
  • 203. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial203Resolvemos la integral ∫ .integrando por parte.Hacemos entonces y .entonces ..Aplicando la fórmula ∫ . ∫.0.0.0.0..0.0.0.0..0.0.0.0.Integrando ∫ .... ...0.0.. .00.0.. .0.00 .. .. . . entonces ∫ ..Integramos00000 .000000.0.00000 . .00000 .0000 . .0.Remplazando en (1)00000 .00 .0. 00 .0.El valor presente de la pieza para los próximos 2 años será de 558960.79
  • 204. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial2043. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de susproductos es´ 00 .0 ., dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades4. Si la función oferta para x unidades de una mercancía es p=30 + 50 ln(2x +1)2pesos ¿cuál es el superávit del productor en x=30?5. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujocontinuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t)=10000 – 500t miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuestocontinuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5años.6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón seconsidera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en elmomento t dada por f(t)=280 000 -14 000t miles de pesos por año. Si el dinerocrece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente deesta máquina los próximos 8 años.7. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuode ingreso con una tasa anual dada porf(t)=100te-0.1t, en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10años.8. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país estadada pory = xe (x-1)Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso9. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por´000ln 00, donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $2000, determinela función costo
  • 205. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial205BIBLIOGRAFÍA HARSHBARGER R., REYNOLDS J. Matemáticas Aplicadas a la Administración,Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición LEITHOLD L. El Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales.Editorial Harla. 1988 LEITHOLD L. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Mexicana. QuintaEdición STEWART J. Cálculo Trascendente Tempranas. Ed. Thompson Learning. CuartaEdición HOFFMAN L. D., BRADLEY G. Cálculo Aplicado a la Administración Economía yCiencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición. SOLER F. F., Núñez R. y Aranda S. M. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones alas Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe Ediciones. ARYA J. C., LARDNER R. W. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a laEconomía. Pearson, Prentice Hall. Tercera Edición LARSON R. E, HOSTETLER R. P. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill HAEUSSLER E. F. – PAUL R. S. – WOOD R. J.. Matemáticas para Administración yEconomía. Editorial Pearson Prentice Hall. Decimosegunda edición SOO TANG TAN. Matemáticas para Administración y Economía. EditorialThomson. Tercera Edición. 2005 ANDONEGUI ZABALA, MARTÍN. La función Matemática. Serie Desarrollo delPensamiento Matemático N° 20. Federación Internacional Fe y Alegría. Enero de2008. Caracas Venezuela JIMÉNEZ, RENÉ. Funciones. Pearson Educación, México, 2006 BECERRA ESPINOZA, JOSÉ MANUEL. Matemáticas V, El placer de dominarlas sincomplicaciones. Universidad Nacional Autónoma de México, 2044. PrimeraEdición SALAS, S., HILLE, E., ETGEN, G., CALCULUS: Una y varias variables. Volumen I.Cuarta Edición. Editorial Reverte. España 2007
  • 206. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial206 ZUAZUA, Enrique. Ecuaciones en Derivadas Parciales. Universidad Autonoma deMadrid. España. 2004 ANTONYAN N, CENDEJAS L., AGUILAR G. Matemáticas 2: Funciones. ThomsonEditores S. A. México 2007. CASTRO P J, GONZÁLEZ N. Problemario de Matemáticas para Administración yEconomía. Thomson Editores S.A. México 2002.Web-grafía http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node15.html http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_CNST_2/Aplicaciones_de_las_derivadas/concavidad.htm http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias. Mérida Venezuela 10/Mayo/2011 http://education.ti.com/xchange/LATINOAMERICA/Matematicas/Calculo/17492/AreaEntreCurvas.pdf http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/Derivada_Fun_Trigon.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_%28trigonometr%C3%ADa%29

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