Mis Notas de clase cálculo diferencial 2012-2

13,614 views

Published on

Este es un documento fruto de mi labor docente durante más de 20 años en instituciones de educación básica, media, técnicas, tecnológicas y nivel superior.

Published in: Education
1 Comment
7 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
13,614
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,434
Actions
Shares
0
Downloads
382
Comments
1
Likes
7
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Mis Notas de clase cálculo diferencial 2012-2

  1. 1. Cálculo Diferencial“con problemas de aplicación orientados haciala administración y la economía”
  2. 2. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial2Con especial cariño a mimadre Delva por su crianza, por lasemilla que sembraste en mí, a Liliami esposa, por su apoyo, estimulo,comprensión y sacrificio, a mis hijosporque son mi fuente deinspiración, a todas aquellaspersonas que han creído en mitrabajo y que me han dado laoportunidad de seguir creciendocada día y a mis estudiantes aquienes va dirigido este trabajo.GraciasJosé Francisco Barros TroncosoFebrero 12 de 2013
  3. 3. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial3CONTENIDOIntroducción 5FUNCIÓNPareja Ordenada 6Producto Cartesiano 6Intervalo 7Relación 11Función 12Representación de una Función 12Función InversaFunciones Pares e ImparesRaíces e InterceptosFunción Creciente y DecrecienteFunción AcotadaConcavidad y ConvexidadDominios y Rangos18202223242525Notación Funcional 26Algebra de Funciones 30Gráfica de Funciones 34Gráfica de funciones con tecnología 35Función Lineal 41Ecuación de la recta 41Modelación de la función lineal 49Función Cuadrática 52Modelación de la función cuadrática 58Funciones con tecnología 53Función Polinómica de Grado Superior a dos 60Función Exponencial 62Función Logarítmica 65Tipos de logaritmos 60Modelación de las Funciones Exponenciales 64Funciones con tecnología 68Función Cociente 74Función por Parte o por Trozos 77Función Valor Absoluto 84INCREMENTO Y TASAS 86LIMITE 92Limites Laterales 92Propiedades de los límites 93Limites Indeterminados 93Continuidad en un punto 94
  4. 4. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial4Limites de las funciones definidas por partes 95Limites Infinitos 99Limites con Tecnología 103LA DERIVADA 104Tasa de cambio promedio 104Tasa de cambio instantánea 105Pendiente de la recta 105Derivada 105Fórmulas de la Derivada 107Regla de la Cadena 112Regla de la Potencia 112Derivadas de Orden Superior 116Máximos y Mínimos Relativos 117Prueba de la primera derivada 117Prueba de la segunda derivada 118Derivada de las Funciones Logarítmicas 128Derivada de las Funciones Exponenciales 130Derivada Implícita 134Elasticidad en la Demanda 137Derivadas Parciales 141Funciones de dos o más Variables 141Diferenciación Parcial 144Costo Conjunto y Costo Marginal 125Productividad Marginal 150Funciones de Demanda 151LA INTEGRAL 153Antiderivada 153Integral Indefinida 153Reglas de Integración 154Regla de la Potencia para la Integración 158Integrales que Involucran Funciones Exponenciales 164Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas 168Segundo Teorema Fundamental del Cálculo 173Aplicaciones del Cálculo Integral en la Administración y en la Economía 177Valor promedio 177Ingreso Total 179Valor Presente de un flujo continuo de ingreso 180Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso 180Superávit de Consumidor 184Superávit del Productor 186Integración por Partes 189BIBLIOGRAFÍA 194
  5. 5. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial5INTRODUCCIÓNEl presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de laexperiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas deMaicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena,Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de EducaciónSuperior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino).La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particularen la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la quetradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramientafundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de lasociedad.El documento no pretende plagiar la información contenida en librosespecializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sinodar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollode problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional.El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial enforma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas quefaciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el desolucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
  6. 6. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial6FUNCIÓNEn la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente paradeterminar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamientode dos o más variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemáticaspara representar el comportamiento de los agentes económicosEn la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de laotra. Ejemplo:En consecuencia:La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también planonumérico.Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del planogeométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).Cantidad de Producción - Costo AsociadoCantidad Comprada – PrecioMano de Obra - CapitalOferta - DemandaImpuesto - Valor de la MercancíaHoras trabajadas – salarioDistancia – TiempoDedicación – RendimientoMantenimiento – Tiempo de vidabaP(a,b)Producto CartesianoSean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primeracomponente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llamaproducto cartesiano de A y B. Simbólicamente:
  7. 7. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial71122345Ejemplo 1:Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.GráficamenteEjemplo 2:SeanSu representación geométrica es:A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos quepertenecen a los segmentos PQ y QR.INTERVALOSSubconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.Finitos AbiertoSubconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b}Gráficamente∞-∞a b
  8. 8. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial8 CerradoSubconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,simbólicamente [a , b] = {x a x b}Gráficamente Semi-abierto o semi-cerrado(a , b] = {x a x b}[a , b) = {x a x b} Intervalos Infinitos:(a ∞ x / x > a}[a ∞ x x ≥ a}(-∞ a x / x < a}(-∞ a] x x a}Ejercicios1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientesigualdades:(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)2. Sean ya. Calcularb. Representar gráficamente∞-∞a b∞-∞a b∞-∞a b∞-∞a∞-∞a∞-∞a∞-∞a
  9. 9. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial93. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacerun diagrama cartesiano de A x B y B x A.4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráficaa.(1,3) b. (0,3] c. [- ∞ d.(-∞e.[-0.5, 4.5) f.( ] [ ) ( ∞)5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ∞ calcular y representar gráficamentea. A n Bb. B - Ac. Ccd. Ac n Bce. (A - B)c – C6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen:a. Su unión (-8,2]b. Su intersección [-3, 1)c. Su diferencia (-∞d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica?8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a0.80x Si 0 x 0C(x)= 0.70x Si 0 x 000.65x Si x > 200
  10. 10. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial10RelaciónRegla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, sepuede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o unadesigualdad.xy(100,3800)(0,-200)(2.53, 0)(197.46, 0)Unidades VendidasUtilidad, donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg)a. Exprese cada condición en forma de intervalo.b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajadordespués de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de0Donde P es el número de unidades producidas por hora.a. ¿Qué significa la condición 0 ?b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo10.La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de ciertoproductoDetermine el o los intervalosa. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué?b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué?c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué?d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué?Ejercicios1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación:
  11. 11. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial11a. Que la primera componente sea el doble de la segunda.b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera.c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar noconsecutivo.d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de lasegunda.2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas:a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11)b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5)c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17)d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.ProblemasObtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el preciodisminuye en US$ 4 dólares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si sedemandan 5 unidades.2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada año sedeprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehículo a loscinco años de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y lasegunda el precio.3. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en$1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio.4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidadesdemandadas.5. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares omás pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidaddemandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa elprecio y la segunda las unidades demandadas
  12. 12. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial126. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primeracomponente representa la cantidad y la segunda el costo.7. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de SantaMarta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias seincrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y lasegunda el número de familias vinculadas al proyecto.8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función delprecio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio(p) y la segunda el ingreso (I).9. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por00. Si la primera componente representa la cantidad de litros delproducto y la segunda el costo total de la producción.Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denotaf: A Bx y=f(x)Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementosy=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y lavariable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B seconoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman lasvariables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conocecomo variable dependiente.Representación de una FunciónUna función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven,como graficas cartesianas y por formulas.De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos opensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser lamadre de” “ser la cuarta parte de” “ser el siguiente de” “ser el doble de… másunidades” etc.FunciónEs una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la mismaprimera componente.
  13. 13. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial13EjerciciosEscriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa unafunción?1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera?2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda?3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera?4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda?5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anteriorno consecutivo?Problemas1. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículosproducidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades quese produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500unidades2. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en$1200. La primera componente representa el número de años y la segunda elprecio.3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidadesdemandadas.4. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo pordebajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primeracomponente representa el precio y la segunda las unidades demandadas5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina esde $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Laprimera componente representa la cantidad y la segunda el costo.En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores[variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia quedefine determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen elsalario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, preciode cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresasEjercicios
  14. 14. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial141. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyectoapícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007Nº defamilias128 253 378 503 628 753 878 1003 11282. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículoCosto 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 2083. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionadosAño 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999Ingresos(millones)63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.154. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de usoAños de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9Fracción deartefactos quefuncionan0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.335. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de díasque lleva trabajando en una empresas de informáticaDías 1 5 10 15 20 25 30 45 60Número deComputadores1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida yde llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entreéstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso deque los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.
  15. 15. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial15Ejercicios1. 2.f es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, 4}El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16}El Recorrido de f{1, 4, 9, 16}Si en una función el co-dominio es igual alrecorrido se dice sobreyectivaf es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, -2}El Co-dominio de f {1, 4, 9}El Recorrido de f{1, 4, 9}f es sobreyectiva3. 4.f es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3}El Co-dominio de f {1, 4, 9,16}El Recorrido de f{1, 4, 9}f no es sobreyectivaf no es una función porque hay unelemento A que no tiene imagen en BA Bf123414916A Bf14916123A Bf123-2149A Bf12314916
  16. 16. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial165. 6.f no es una función porque hay unelemento A que no tiene dos imágenes enBf es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 4, 16}El Co-dominio de f {1}El Recorrido de f{1}Si y=f(x)=k para cualquier valor de xentonces se dice que la función esconstanteEn forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes dereferencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otrovertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de lavariable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes deizquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente,también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo haciaarriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical quecorta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un puntode la grafica, esta no representa a una función.Es función No es función Es funciónxyxyxyfA B141612-24fA B12341
  17. 17. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial17Es función No es función Es funciónInyectiva sobreyectiva Inyectivaxyxyxyxyxyxyxyf(x)=x^2, x>=0Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica deuna función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno ysi la corta en más de un punto se llama sobreyectivaSi una función, como la que se muestraen la gráfica, una parábola donde seconsidera únicamente la parte positivadel dominio, es inyectiva y sobreyectivase dice biyectiva
  18. 18. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial18Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresionesalgebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relaciónexistente entre las variables independientes y la variable dependiente.Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas ytrascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresionesalgebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales,irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así paradistinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y lastrigonométricasPolínomicasLinealesCuadráticasPolinomialesRacionalesIrracionalesPolínomicasPor trozos, (por sección opor partes )≥Las trascendentesLogarítmicaslogExponenciales00 .TrigonométricascosEsquemáticamenteff:A Bf-1f -1 :B AFunción Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la funciónx= g(y).A Bx y=f(x)B Ay=f(x) x
  19. 19. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial19Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la funciónoriginal, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funcionestienen inversa.EjerciciosObtener la función inversa de cada función1. y=4x + 1DespejandoGraficas2. y=x2+1DespejandoGráficas3.DespejandoGráficas4.DespejandoGráficas5.6.7.8.xyy=4x+1x=(y-1)/4xyy=x^2+1x=(y-1)^(1/2)xyy=(x+3)/(x-2)x=(3+2y)/(y-1)xyy=(x-1)^(1/2)x=y^2+1
  20. 20. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial20La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar essimétrica respecto al origenEjerciciosEn cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ningunade las anteriores1. f(x)=x2 Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=f(1) como f(x)=x2(-1)2=(1)21 = 1Por lo tanto f(x)=x2 es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=-f(1) como f(x)=x2(-1)2=-(1)21 = -1Por lo tanto f(x)=x2 no es imparGráfica2. Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=f(1) como( )= ( )- 1 = 1Por lo tanto no es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1 entoncesf(-1)=-f(1) como( )= - ( )-1 = -1Por lo tanto es imparGráfica   xyy = x^2     xyFunciones Pares e ImparesSe dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tieneque f(-x)=f(x).Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tieneque f(-x)=-f(x).
  21. 21. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial213.4. f(x)=x35. f(x)=2x6. f(x)=4x2-2xEjerciciosVerificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar1. 2.3. 4.     xyy = 3x-x^3   xyxyy = 4x^5+3x^3-2x        xy
  22. 22. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial22Raíces e InterceptosEjerciciosHalle las raíces y los interceptos de cada función (si existen)1. f(x) = x2-2x-3Para hallar las raíces hacemos f(x)=0entonces x2-2x-3=0Factorizando (x-3)(x+1)=0, entoncesx1-3=0 por lo que x1 = 3y x2+1=0 por lo que x2=-1Por lo tanto la función tiene dos raícesque son x1 = 3 y x2=-1.Para los interceptos hacemos x=0,remplazando en la función obtenemosf(0)=-3Por lo tanto la función tiene unintercepto en y=-3Gráfica    xyy = x^3-4xRaices    xyy = x^3-6x+3Intercepto     xyRaicesInterceptosLos interceptos son los puntos para loscuales x=0, es decir los puntos donde lacurva corta al eje de la ordenada (y)Las raíces o ceros son los puntos para loscuales f(x)=y=0, gráficamente son lospuntos donde la grafica corta al eje de laabscisa (x). No todas las funciones tienenraíces, puesto que puede haber curvasque no corten al eje "x".
  23. 23. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial232. f(x)=x(x3-1)Para hallar las raíces hacemos f(x)=0entonces x(x3-1)=0Tenemos x1=0, x3-1=0 despejandox3=1, x2=1Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1Para los interceptos hacemos x=0,remplazando en la función obtenemosf(0)=-1 por lo tanto la función tieneun intercepto en y=-1Gráfica3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. 6. f(x)=Ln(x-1)  xyInterceptosRaiz(-∞ -1) (1, ∞(-1,1)Función Creciente y DecrecienteUna función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo,tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si alincrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta elvalor de la ordenada (y).Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 delintervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente enun punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha)disminuye el valor de la ordenada (y).
  24. 24. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial24Acotada Superiormente Acotada inferiormenteAcotada No acotada  xy(x,y) = (0,1)Cota Superior xyy = x(x^3)Cota Inferior      xyy = 2^(1-x^2)Cota SuperiorCota Inferior   xyy = x(x^2-1)Función AcotadaUna función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todox, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotadainferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f x ≥ b. Al número b´ se lellama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente yinferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f x b
  25. 25. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial25Una función es CÓNCAVA o presenta suconcavidad hacia abajo cuando dados dospuntos cualesquiera el segmento que los unequeda por debajo de la curva.Concavidad y ConvexidadLos puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llamanPUNTOS DE INFLEXIÓN.Dominios y RangosLas funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no seespecifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste entodos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valoresde y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales.En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los númerosreales excepto: Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a cero.EjerciciosEncuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:1.Como la función se hace indeterminada si eldenominador es igual a cero0  xyConcava  xyConvexaUna función es CONVEXA o presenta suconcavidad hacia arriba si dados dospuntos de la curva el segmento que los unequeda por encima de la curva.
  26. 26. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial26Despejamos xSi remplazamos x en la función originalobtendremos 0Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-{ }2.Como la función se hace indeterminada si elradicando es menor que cero0Despejamos xQuiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-∞3.Como la función se hace indeterminada si eldenominador es igual a cero y si el radicandoes menor que cero0Despejamos xQuiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-[ ∞ ]4. 5. 6.7. 8. 9.Ejercicios1. Si f(x)= 3x + 1 entoncesNotación FuncionalPara indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x).Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x)representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).
  27. 27. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial27a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -82. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entoncesa. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 23. Determine f(x + h) sia. f(x) = x entonces f(x + h) = x + hb. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2d. f(x) = entonces f(x + h) =Nótese que donde esta x se escribe x + h4. Encuentre cuando h=0 sia. f(x)= 2xRemplazamosb. f(x) = x2Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2SimplificadoFactorizando
  28. 28. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial28SimplificandoComo h= 0 remplazandoEjercicios1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6)2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6)3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2)4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)EjerciciosEncuentre cuando h=0 si1. f(x) = x + 12. f(x) = 3x + 23. f(x) = 3x24. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3Problemas1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio deC(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares, donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo deproducir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra?Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en laecuación de costos total C(x)C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares.Para 100 unidades x=100C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares
  29. 29. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial29Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque elproducir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100unidades el valor de la unidad sería 322 dólares2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número deWalkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciadosu jornada a las 8:00 a.m. esta dado porN(t) = -t3 + 6t2 + 15t 0 t¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00?y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares porunidad se describe por medio de00a. Determine el precio si se demandan 4 y 8.b. Compare los resultados ¿qué encuentra?4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual decapacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado porf(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54, donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994.¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Quéencuentra?5. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 milesde dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron lasganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?6. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 –6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidoresdemandan q unidades (semanales)a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500b. ¿Qué significa cada expresión?c. Compare e intérprete los resultados7. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de laspartículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio depppC1007300)(Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminacióny haga un análisis de los resultados
  30. 30. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial308. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo estádada porC(x)= ( 0 x 00)a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la poluciónb. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento deniveles de contaminación se determina mediante0000Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles decontaminaciónEjercicioDados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f  g)(x), (f  g)(x)1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/osimplificable se deja indicada (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1Algebra de FuncionesSi f y g funciones se define:a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x)b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x)c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x)d. Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x)e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]
  31. 31. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial312. f(x) = x2 y g(x) = x - 1f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1 f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1 f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2 f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 13. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 24. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 45. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 16. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 27. f(x) = y g(x) =Problemas1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades desu producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) deproducir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de laproducción y la venta de x unidades.Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazandoG(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000La función ganancia seríab. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Quéencuentra?Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidadesno deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 5002. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g,donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es unafunción del número de empleados m, dondeG(x) = 150x - 15000
  32. 32. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial320Determine (g o f) ¿qué encuentra?3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p(en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo,las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10pa. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidorPor datoGc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p)La expresión del gasto del consumidor seríab. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado esde 20 y 30 dólares.Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es elgasto del consumidor4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t)dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representaf(t)/g(t)?5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de laacción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t)6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restauranteen el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en elinstante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t)7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos depublicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidadpor la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la funciónf  g8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades sedefine como:Gc = 10 000p – 10p2
  33. 33. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial33Suponga que el costo total de una compañía se obtiene000 0a. Encuentre una expresión que determine los costos promediosb. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades.¿Qué encuentra9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en undía de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además elnúmero de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentrea. La función compuesta (P o x)(t)b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función delprecio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – q/2.Encuentrea. La función compuesta (I o p)(q).b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidadesc. Compare los resultados que encuentra
  34. 34. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial34GRÁFICA DE FUNCIONESEs posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas enun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones yfunciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendicularesdenominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano encuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa(generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto deintersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, delpunto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa conuna de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primeracomponente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de lasegunda.Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5),B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le correspondeprecisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar también como parejasordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de Bcomo segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan elconjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la funcióndada
  35. 35. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial35La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo:su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos,mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminadosEjercicio Grafique cada función en el intervalo indicado1. f(x)=2x+1 en [0,3]2. f(x) = x2 + 1 en [-3,3]3. f(x)=x3 – 6x2 en [-4,4]4. f(x)= en [-4,4]5. f(x)= en [-1,3]6. f(x)=ln(2x+1) en [1,4]Si x < 17. e. j(x)=2x2 + 1 Si x ≥Grafica de una Función con TecnologíaCon Excel 20071. Entre a Excel2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x)3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre másvalores digite podrá obtener un mejor gráfico.4. En A2 digite la variable dependiente (y)5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe teneren cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1.6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio.7. Seleccione el rango8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea.9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionardatos.10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar,seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulseAceptar.12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) yescoja Hoja nueva.13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie dedatos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escojala opción de formato.Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta
  36. 36. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial362. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica5. Seleccione la carpeta Gráfica6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianasestén activadas.7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estardespejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos,digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráficaseleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir yAceptar.Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments1. Pulse Ctrl + w (Y=)2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER.3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH)Con en el WinplotEl winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puededescargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el iconocorrespondiente. Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menúEcua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación ypulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^. Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadriculaactive cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver lascoordenadas desactiva las opciones escala Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar oGuardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estarubicado en el área de gráfico. Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo llevaal documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Wordinserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo. Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opciónExtremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo
  37. 37. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial37 Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en lagráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsaok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido. Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas yAjuste Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar lasopciones escala Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccioneIntersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar lasintersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulsesiguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulsecerrar Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, delmenú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, parafinalizar pulsa reflejar Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opciónSombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entredos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color ypulse sombrear
  38. 38. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial38TALLER DE GRÁFICOSResponda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso esy= 36 –0.15x.a. ¿Cuál es el valor de de lapropiedad a los 60 meses deuso?b. ¿Cuál es el valor de de lapropiedad los 10 años de uso?c. ¿Cuántos años pasan para que lapropiedad se deprecie porcompleto? Explique2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de ciertoproducto está dada porP(x)=60x – x2a. ¿Cuál es la máximaproductividad que se puedeobtener?b. ¿Para qué intervalo la funcióncreciente y para cuál esdecreciente? ¿qué decisióntomaría al respecto?c. ¿Cuál es la máxima cantidadde unidades que puedeproducir? Justifique surespuesta       xy Valor(Millones de Pesos)Meses      xyy = 60x-x^2UtilidadUnidades Producidas
  39. 39. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial393. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado porR(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3a. ¿Cuál es el ingreso sise venden 100unidades?b. ¿Para qué intervalola función crecientey para cuál esdecreciente? De unaexplicaciónc. ¿Cuál es el máximoingreso que se puedeobtener?d. ¿Cuál es la máximacantidad que sepuede vender?Explique4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para unexamen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esosconocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado porP t0 0e0. te0. ta. A la semana ¿quéporcentaje deconocimientorecuerda?b. ¿En cuántos mesesrecuerda el 40% delconocimiento?c. Escriba 2comentarios de lasituación presentada       xy(x,y) = (614,0)Cantidad VendidaIngresoCantidad Vendida             xySemanasConocimientos RecoordadosSemanas
  40. 40. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial405. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares estadado porP = 10 + 50 ln(3x + 1)a. ¿cuál es el precio sise ofertan 10unidades?b. ¿Cuántas unidadesse deben ofertar aun precio de $260dólares?c. Escriba 2comentarios de lasituaciónpresentada6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) segúny x00xx 0a. ¿cuál es el volumende ventas si seinvierten 10 mildólares enpublicidad?b. ¿Cuánto se debeinvertir enpublicidad paraobtener 150 mildólares en venta?c. Escriba 2comentarios de lasituaciónpresentada         xyUnidadesPrecio                    xyVolumen de VentasGastos de Publicidad (Miles de Dólares)
  41. 41. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial41FUNCIÓN LINEALLa gráfica de una función lineal es una línea rectaEcuación de la RectaToda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde, b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y, m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje laabscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidadque varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10unidadesEn economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir,su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamentecomo:Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos FijosEs decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivelde producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan lapendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) laordenada en el origen.La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:m = y2 – y1x2 – x1Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas sonperpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es:Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a suvariable independiente
  42. 42. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial42y – y1 = m(x2 – x1)La ecuación de la general de la recta está dada por:ax + by + c = 0Ejercicios1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientesfunciones:a. y = 2x + 1b. y = -2x – 1c. 3x + 4y = 12d. 2x – 3y = 122. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:a. (2,1) y (3,-4)b. (3,2) y (-4,2)c. (3,4) y (3,-1)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2.d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ningunade las anteriores:a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 85. Escriba la ecuación de la recta que:a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1.b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.Problemas1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a unprecio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que serebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidadesa. Halle la pendiente ¿qué significa?
  43. 43. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial43Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían laforma (precio, demanda),, es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datospodemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 yy1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500Como sabemos que la pendiente es:00 000000 00000000Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuyela mitad.b. Halle la ecuación de la demandaComo se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación, remplazando000 000000 0000 00000c. Grafique la funciónUbicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta quecorte los dos ejes coordenadosd. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa?              xyPrecioUnidades Dem andadas
  44. 44. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial44Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 sedemandan 6500 unidadese. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar?Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas seríannegativasAnalíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así:0 00, despejando0000000 ó 000f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda?Aquí x=4500 remplazando en la ecuación00 00 0 00 0, a $4500 se demandarían 4250 unidadesg. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario?Aquí y=5240 remplazando0 00, despejando0 00000 ó 0, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $25202. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km.recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine:a. La ecuaciónCosto Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos FijosRelacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos)como x, por datos Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500
  45. 45. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial45 Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800Remplazandoy = 800x + 1500b. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros?x = 5 entonces,y = 800(5) + 1500y=4000+1500y=5500Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500c. ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar?y = 7 900 entonces,7900 = 800x + 15007900 - 1500= 800x6400= 800x0000=xX=8Con $7900 se puede desplazar 8 Km.3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólaresproducir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos porsemana. Suponiendo que la función es lineal determine:a. La expresión que representa el costo en función del número de hornosLas variables que participan en el problema son el costo, que representaremoscon la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si elcosto está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de laforma (x, c)Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000).Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente:000 00000 00000000EntoncesRemplazando en la ecuación obtenemos:000 000000 000Por lo tanto la expresión que representa la función es
  46. 46. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial46   Costo(c)Número de Hornos (x)b. Grafique la funciónc. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 ysignifica que por cada horno que se incremente en la producción los costos seincrementan en 6 dólares.d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen esb=3000, significan los costos fijos¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es, donde x=500, remplazandoPor lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólarese. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación, c=15 000, remplazandoCon 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos4. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos.La relación entre el costo del artículo y la producción genera una función lineal. Encierta empresa si se producen 350 artículos la producción de cada artículo cuesta$993 y si se producen 500 el costo es de $990.c. Halle la función costo
  47. 47. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial47d. ¿Cuánto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artículos?e. ¿Qué encuentra?5. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal querelaciona las temperaturas. Calcule a cuanto °C equivalen 72°F y a cuantos °Fequivalen 38 °C.6. Sea P(x) la producción para cierto articulo y x el dinero invertido. Si se invierten$10.000 dólares se producen 92 artículos; si se invierten $50.500 se producen 497.Suponiendo que la función línea,a) Determine la ecuación de la función suponiendo que la función líneab) ¿Cuántos artículos se producen si se invierten $ 8000 dólares?7. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese latemperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal.8. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensualesy costos varios por lámpara de $ 5 000. Si x representa el número de lámparasproducidas en un mes, determine:a.La expresión que representa la función costo C(x)b.El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra?c.El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000.9. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cadauna, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal,determinea. La ecuación de la demandab. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá?c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio?10.Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar quedisminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determinea. La ecuación de la demandab. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades?c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar?11.Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecialinealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determinea. La ecuación de la depreciaciónb. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado?c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo?
  48. 48. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial4812.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente dedistancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6$12000. Suponiendo que la función es lineal, determinea. La ecuaciónb. El precio de un viaje de 8 millasc. ¿Qué distancia se recorre con $25 000?13.A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de suproducto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determinea. La ecuación de la ofertab. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá?c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender?14. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación linealtotal en 15 años hallara. La ecuaciónb. El valor de la máquina en 7 años15.No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares omás pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200,la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de lademanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares ya qué precio se demandarán 2000 unidades16. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con unvalor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuáles el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para quela impresora se deprecia por completo?17. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle elcosto de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra?18. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cadaunidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares.a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particularb. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la funciónc. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar?e. Grafique la funciónf. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquelaen el mismo plano a la anterior
  49. 49. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial49g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo,¿Qué significa?h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta?19. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y(dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso esy= 36 –0. 15x.a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses?b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?20. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres condistintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F =0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en milesde dólares) de hombres y mujeres respectivamente.a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función?Interprete la pendiente como tasa de cambio.b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿quépronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres?21. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es elnúmero de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válidohasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa.22. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo totalC(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x.a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras?b. Grafique la función gananciac. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades?23. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal delnúmero h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua almes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mesa. Determine la función linealb. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses?c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantescomo máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua?Modelación de Función Lineal1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícolaen la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999
  50. 50. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial50Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007Nº defamilias128 253 378 503 628 753 878 1003 1128a. Escriba una ecuación lineal de la situación.b. Grafique la funciónc. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el2010?d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familiasvinculadas al proyecto?2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio desus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de lasventas con respecto al precioCosto 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación.b.Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000.c.Pronostique a qué precio no venderá nada
  51. 51. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial51TALLER1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientesfunciones:a. y =-3x + 2b. y = 4x – 1c. 10x + 5y =152. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos:a. (5,-9) y (6,8)b. (8,8) y (4,-4)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que:a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2)c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7)d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7.4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ningunade las anteriores:a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6b. 16x + 4y = 4; y= x + 75. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de$59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función eslineala. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990.b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 20104. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como unafunción lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme Naumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), elprecio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la rectadeterminada por esta información.
  52. 52. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial52FUNCIÓN CUADRÁTICALa ecuación general de una función cuadrática tiene la formay = f(x) = ax2 + bx + c,, donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintivallamada parábola.Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo.La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje desimetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de estaotra línea. La ecuación del eje de simetría esabx2El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en  abx2y es: abf2.xyy = -x^2+2x+1a < 0x=-b/2af(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))Máximo RelativoEje de SimetríaValor óptimoxyy = x^2+2x-1a > 0x=-b/2aEje de SimetríaValor óptimof(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))Mínimo Relativo
  53. 53. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial53El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y unpunto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice enLos interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para loscuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son lassoluciones de la ecuación cuadrática que se obtienenaacbbx242Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesariotabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tresvalores a la derecha del eje de simetría.EjercicioEncuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo omínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función.y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18xy=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4 y= x2 − 8x + 15y= x2 − 3x − 28EjercicioDetermine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5)La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la formay = ax2+ bx + c (Ec1)Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazandocada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3,que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así:Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1)8 = a(1)2 + b(1) + c8 = a + b + c (Ec2)Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) abfabV2,2
  54. 54. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial5420 = a(3)2 + b(3) + c20 = 9a + 3b + c (Ec3)Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1)5 = a(-2)2 + b(-2) + c5 = 4a - 2b + c (Ec4)Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5)Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c-8 = - a – b – c12 = 8a + 2bFactorizando: 6 = 4a + b (Ec6)Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c-8 = - a – b – c-3 = 3a - 3bFactorizando: -1 = a – b (Ec7)Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b-1 = a – b5 = 5a despejandoRemplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendoRemplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendoRemplazando en (Ec1) la ecuación sería:EjerciciosDetermine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados:(1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0)ProblemasResuelva cada uno de los siguientes problemas:1. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan xdólares en publicidad del producto, yy = 50x – x2a = 1b = 2c = 5y = x2+ 2x + 5
  55. 55. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial55a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa?Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x -baComparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0Remplazando:xba0 0Remplazando en la función original:y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades yse obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidadb. Halle los interceptos ¿qué significa?Remplazamos a, b y c en la ecuación generalxb b aca0 0 0 0 0 0 0, encontramos 2 raícesx0 00 y x0 0 000Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando seinvierte entre 0 y 50 dólares en publicidadc. Grafique la función     xy(25,625)PublicidadUnidades
  56. 56. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial562. La función costo de un fabricante es C (x)= 1000 + 5x – 0.1 x² dólares, cuando seproducen x unidades de cierto producto al día.a.Halle el valor óptimo ¿qué significa?b.Grafique la función3. Los ingresos mensuales de cierta fabrica de llantas se pueden calcular mediante laexpresiónF(x)=2x2 - 100x – 20, donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en milesde pesos.a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra?b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra?c. Grafique la funciónd. Interprete la gráfica4. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de unamáquina fotocopiadora son deR(x) = -0.04x2 + 2000x, pesos por semanaa. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa?b. Determine los interceptos ¿qué significan?c. Grafique la función5. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades decierto producto está dada porP(x)=60x – x2a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa?b. Grafique la función6. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada porP= 0.125x2- 0.5x + 15, donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares.Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo,¿qué significa?7. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender xunidades de cámaras modelo M1 esP(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000
  57. 57. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial57, dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo omínimo y que significa.8. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto estádada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza laganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.9. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada deproducción diaria es 0. 00 ¿Qué cantidad de unidadesmaximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producciónposible? Grafique la función.10. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente00 unidades se producen durante las primeras t horas de unajornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es lamáxima producción posible? Grafique la función.11. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de1001.016 2 xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia?¿cuál es la máxima ganancia posible?12. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es2004.080 2 xxP ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es lamáxima ganancia posible?13. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2determine:a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría)b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?)c. Grafique la función14. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada porU(x)=130+80x-x2 millones de pesos. Determinea. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo.b. Los interceptos ¿qué significan?c. Grafique la función15.La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x, en millones depesos viene dada por0.00 0.a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo.b. Los interceptos ¿qué significan?c. Grafique la función
  58. 58. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial58Modelación de Función Cuadrática1. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones paraaños seleccionadosa. Encuentre la ecuaciónb. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre elingreso mínimo.c. Compruebe los datos contra los datos de la tablad. Trace la gráfica2. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresapara varios añosa. Encuentre las ecuaciones: De ingreso por venta con respecto al número de años De costos y gastos con respecto al número de añosb. Use la función para: Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima quese pronosticac. Trace la gráfica de la función Costos y Gastosd. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes odecrecientes?Funciones con TecnologíaUtilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de lassiguientes funciones:f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2xAño 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999Ingresos(millones)63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999Ingresox venta2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7Costos ygastos2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9
  59. 59. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial59TALLER1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo omínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función.a. y = 2x2 + 3x – 1b. y = 3 – x - 3x22. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3)3. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 00,donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine.a. El eje de simetríab. El valor óptimo ¿qué significa?c. Los interceptos ¿qué significa?d. Grafique la función.e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100?4. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de susproductos depende del precio. La función que describe esta relación es 000 , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio endólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como elproducto p por q.a. Escriba la expresión que representa el ingresob. El eje de simetríac. El valor óptimo ¿qué significa?d. Los interceptos ¿qué significa?e. Grafique la función.f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.
  60. 60. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial60FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOSLos números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función.En la Economía...Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta enfunción del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios deproducción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta unavariable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables.Problemas1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( endólares por unidad) está dado por000, donde q 0a. Halle la función costo totalb. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidadesc. Interprete los resultados2. Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en milesde pesos), cuando se producen que cientos de unidades está dada porC(q)= 2q³- 9q² +12 q + 20a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades ¿quéencuentra?b. Grafique la función en el intervalo [0,5]3. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajadordespués de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de0Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividaddespués de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafiquela funciónLa función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, seconoce como una función polinómica de n-ésimo grado.
  61. 61. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial614. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el númerode unidades por hora y producidas después de t horas de producción es0 0Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horastrabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función5. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productorade discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué significa?6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcosen x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con laexpresióny = 3x + 8x2 - x3a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m.b. Compare los resultados que encuentra7. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto estádado porR(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3, donde x son las unidades vendidas.a. Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidadesb. Compare los resultados ¿qué encuentra?8. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3a. Calcule C(100) ¿Qué significa?b. Calcule C(200) ¿Qué significa?c. Compare los resultados ¿qué encuentra?9. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans esC(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3a. Calcule el costo de producir 1000 jeans.c. Calcule el costo de producir 2000 jeans.d. Compare los resultados ¿qué encuentra?10.La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para unaempresa, está dada porC(x)= 300x-10x2-a. Calcule el valor de producir 100 unidadesb. Calcule el costo de producir 200 unidadesc. Compare los resultados ¿qué encuentra?
  62. 62. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial62FUNCIÓN EXPONENCIALConsideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversasaplicacionesUna función especial que se presenta con frecuencia en economía es donde ℮ esun número irracional fijo aproximadamente . … .Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, elcrecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula, donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años.El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponencialesque puedan encontrarse.Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimientoexponencial.EjerciciosEmplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar larespuesta en 3 decimales)100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2Si es un número real talque 0 y , entonces la función f(x) es unafunción exponencial
  63. 63. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial63Problemas1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r(expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t)después de t años seráSupóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular elsaldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente ydiariamente (365 días) ¿Qué encuentra?2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interésanual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t)después de t años seráSupóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular elsaldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%.Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza:Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Quéencuentra?4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa deinterés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuotamensual de, donde i es el pago del interés por periodo.Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a unperiodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese quei=.)5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% deinterés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarsemensualmente para amortizar la deuda?6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente,entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por0000 .00 . Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años yde 30 años.
  64. 64. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial647. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevoproducto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión0 00 .a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días despuésdel lanzamiento del comercial.b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que lafracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente.a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año?b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de losartefactos?9. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadorasdomesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada porD(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0)Grafique la función y respondaa. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año?b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.9. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) despuésde t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula0 000 .Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años10. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, paralos años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de.Donde t es el número de años que han pasado desde 1975.a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuosllegará a 20 000.
  65. 65. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial65FUNCIÓN LOGARÍTMICASe llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la basepara obtener dicho número.logDonde a Є R, a 0 y a a se denomina base del sistema de logaritmos.que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llamalogaritmo del número x respecto de la base a " .Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.Propiedadeslog 0 log loglog . log loglog log loglog loglog loglnTipos de LogaritmosLogaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen porbase el número 10. Se escriben log10 x = log xLogaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base elnúmero e. Se escriben loge x = ln xLos logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar,simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizandologaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potenciasen productos y raíces en cocientes.
  66. 66. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial66EjerciciosEscriba cada ecuación en forma exponencial4 = log2 16 4 = log3 81log logEjercicioDespeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponenciallog loglog logEjercicioEscriba cada expresión en forma logarítmica25 = 32 53 = 125 4-1 = 91/2 = 3EjercicioEscriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que nocontienen exponenteslog Ln (x + y)(4x + 5) logEjercicioResuelve cada una de las siguientes ecuaciones:2x – 1= 5 5(3x+2) – 1 = 14EjercicioUse la calculadora para determinarln .ln ln ln ln lnlnln lnlnln
  67. 67. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial67Problemas1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía esX=5000 – 1000 ln(p + 40), donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular lacantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólaresSi p=5,x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8)x= 5000-3806.66=1193.33Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidadesSi p=10x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91)x= 5000-3912.02=1087.97Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades.Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadasdisminuyen de 1193 a 1088.2. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmenteen publicidad para vender x unidades de un producto está dada por00 ln0000a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades,compare los resultados que encuentra.b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólaressemanales en publicidad.3. Digamos que la función demanda para un producto está dada por00lna. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades?b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?4. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado porC(x) = 1500 + 200 ln(2x +1), donde x es el número de unidades producidasa.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades?b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares?
  68. 68. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial685. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado porR(x) =Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado6. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares estadado por P = 10 + 50 ln(3x + 1).a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33.b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares7. La función demanda de un producto está dada por p = donde p es el preciounitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio conrespecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿quéencuentra?8. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicóun examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mesutilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio depuntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo enmeses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debepasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos?9. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelarpor T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura almomento de servirlo?¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomadoT=120 °F?10. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden ent horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos las primeras 48horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos?11. La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante lafunción f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por díadespués de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajadornuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día?12. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de0000 ., donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que hantranscurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar1. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria.b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campañapublicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.
  69. 69. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial6913. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usandoestas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con laecuación.Donde x es el número años transcurridos desde 1990.a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes.Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique lapoblación de 1990.b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008?14. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con laexpresión000 .0 t 0Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debepasar para que un objeto disminuya su valor en $1000015. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos decomputadora después de t años de uso seaP(t)=100(1 – e-0.1t)Grafique la función y responda lo siguientea. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 añosb. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.c. 0000000Modelación de las Funciones Exponenciales10. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, lasventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecerexponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro sevendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habíanbajado a 14000 ejemplares por mes. Determinea. La expresión que representa la funciónLa función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t eltiempo en meses y k la constante de proporcionalidad.Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k,por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando000 0000
  70. 70. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial70           xyNumerodeEjemplares(x)Tiempo (meses)00000000.ln 0. ln0. lnPor lo tanto .Es decir que la función es de la forma .Grafique la funciónb. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando. ..En un año venderá aproximadamente 3 ejemplaresc. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando00 0000 .000000.0.0 .0.0 .. 0 0.Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300ejemplares.11. El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB creceexponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000?Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es:(Ec1)
  71. 71. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial71, donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, quedebemos hallar asíRemplazando00 ., aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdadln . ln 0. 0, entonces k=0.05Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 00 .Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando00 .Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones12. El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacionalde comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?13. Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Suvalor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuyeen forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuálserá el valor de la maquinaria en cuatro años14. Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población,calcule la población en el 2015.
  72. 72. Mis Notas de Clase José F. Barros TroncosoCálculo diferencial72TALLERTEMA: Función Exponencial y Función Logarítmica1. Calcule el valor de la potencia y exprese en forma logarítmicaPotencia Logarítmica Potencia Logarítmica542. Escriba cada ecuación en forma exponencialLogarítmica Exponencial Logarítmica Exponenciallog3 27=3 log3 243=5log log =3. Indique el valor de x escribiendo las ecuaciones en forma exponencialExpresión Valor de x Expresión Valor de xlog loglog log4. Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas queno contienen exponentesExpresión Equivalencialnlnln

×