Stat matematika II (7)

2,031 views
1,903 views

Published on

unj fmipa-fisika

Published in: Education
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,031
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
21
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Stat matematika II (7)

  1. 1. StatistikaMatematika II<br />Suyono<br />Sesion #07<br />JurusanMatematika<br />FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam<br />
  2. 2. Outline <br />Kecukupan estimator <br />Statistikcukup<br />Sifat-sifatStatistikCukup<br />KelengkapandanKelasEksponensial<br />05/01/2011<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />2<br />
  3. 3. Kecukupan estimator <br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />3<br />05/01/2011<br />
  4. 4. 7. Kecukupan estimator<br /> 7.1 Statistikcukup<br />Definisi 1.1<br />MisalkanX=(X1, X2, …, Xn) mempunyaidensitasbersamaf(x,), dimanamerupakanvektor parameter. StatistikS=(S1, S2, …, Sk) merupakanstatistikcukupgabunganuntukjikauntuksebarangvektorstatistikT yang lain, distribusibersyaratdariTdiberikanS=s, dinotasikandenganfT|s(t), tidaktergantung. DalamkasusdimensisatuSdinamakanstatistikcukupuntuk.<br />05/01/2011<br />4<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  5. 5. Definisi 1.2<br /> Suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistik cukup gabungan yang lain.<br />05/01/2011<br />5<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  6. 6. Definisi 1.1 tidak bersifat operasional untuk menyelidiki bahwa suatu statistik merupakan statistik cukup. Karena sebarang statistik merupakan fungsi dari sampel X=(X1, X2, …, Xn) maka untuk menyelidiki statistik cukup, cukup ditunjukan bahwa fX|s(x), tidak tergantung .<br />05/01/2011<br />6<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  7. 7. Contoh 2.1<br /> Misalkan X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial X~EXP(). Disini <br />05/01/2011<br />7<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  8. 8. Akan ditunjukkan bahwa <br /> adalah statistik cukup untuk . Karena S berdistribusi gamma, S~GAM( ,n), dengan fungsi densitas<br />05/01/2011<br />8<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  9. 9. maka <br /> tidak tergantung pada . Jadi S merupakan<br /> statistik cukup untuk .<br />05/01/2011<br />9<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  10. 10. Untuk menemukan suatu statistik cukup dapat digunakan teorema berikut.<br /> Teorema 1.3<br /> Jika X1, X2, …, Xn, mempunyai densitas bersama f(x,) maka S=(S1, S2, …, Sk) merupakan statistik cukup gabungan untuk  jika dan hanya jika <br /> dimana g(s,) tidak tergantung pada x1, …, xn, kecuali melalui s, dan h(x1, …, xn) tidak tergantung .<br />05/01/2011<br />10<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  11. 11. Contoh 2.1<br />MisalkanX1, X2, …, Xnmerupakansampelacakdaridistribusi Bernoulli, X~BIN(1,). Disini<br />dimanadanh(x1, …, xn)=1. Jadimerupakanstatistikcukupuntuk.<br />05/01/2011<br />11<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  12. 12. 7.2 Sifat-sifatStatistikCukup<br />Teorema 2.1<br />JikaS1, …, Skadalahstatistikcukupgabunganuntukdanjikaadalahsatu-satunya MLE untuk, makamerupakanfungsidariS1, …, Sk.<br />05/01/2011<br />12<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  13. 13. Teorema 2.2<br /> Jika X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak dari sebarang distribusi kontinu dengan fungsi densitas bersama f(x,) maka order statistik membentuk statistik cukup gabungan untuk .<br />05/01/2011<br />13<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  14. 14. Teorema 2.3 (Rao-Blackwell)<br /> Misalkan X1, X2, …, Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x,) dan S=(S1, S2, …, Sk) merupakan statistik cukup gabungan untuk . Jika T adalah sebarang estimator tak bias untuk () dan T*=E(T|S) maka <br /> a. T* adalah estimator tak bias untuk ( ),<br /> b. T* adalah fungsi dari S, dan<br /> c. Var(T*) Var(T) untuk setiap  dan Var(T*) < Var(T) untuk suatu  jika tidak benar bahwa T*=T dengan probabilitas 1.<br />05/01/2011<br />14<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  15. 15. Dalam kasus tertentu UMVUE untuk () dapat ditemukan dengan menggunakan batas bawah Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB).<br />05/01/2011<br />15<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  16. 16. KelengkapandanKelasEksponensial<br />05/01/2011<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />16<br />
  17. 17. 8. KelengkapandanKelasEksponensial<br />Definisi 8.1<br />Keluargafungsidensitas {fT(t, ); } dikatakanlengkapjikaE[u(T)]=0 untuksemuamengakibatkanu(T)=0 denganprobabilitas 1 untuksemua.<br />Sebuahstatistikcukupdarianggotakeluarga yang lengkapdinamakanstatistikcukuplengkap.<br />05/01/2011<br />17<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  18. 18. Teorema 8.2 (Lehmann-Scheffe)<br /> Misalkan X1, X2, …, Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x,) dan S=(S1, S2, …,Sk) satatistik cukup gabungan untuk . Jika T*=T*(S1, S2, …,Sk) adalah statistik yang tak bias untuk ( ) dan merupakan fungsi dari S, maka T* adalah UMVUE untuk ( ).<br />05/01/2011<br />18<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  19. 19. Definisi 8.3<br /> Sebuah fungsi densitas dikatakan termasuk dalam anggota keluarga eksponensial reguler jika fungsi densitas tersebut dapat dituliskan dalam bentuk<br />05/01/2011<br />19<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  20. 20. dan f(x,)=0 untuk nilai x yang lain, dimana  adalah vektor parameter berdimensi k, jika ruang parameter  berbentuk<br /> ={ : aiibi, i=1,…,k}<br /> dan jika f(x,) memenuhi kondisi reguler 1, 2, dan 3a atau 3b, yaitu<br />05/01/2011<br />20<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  21. 21. 1. Himpunan A={x: f(x,) >0} tidak tergantung .<br /> 2. Fungsi qj( ) tidak trivial, independen, dan kontinu.<br /> 3a. Untuk variabel acak kontinu fungsi turunan tj’(x) linear independen dan kontinu. <br /> 3b. Untuk variabel acak diskret fungsi tj(x) tidak trivial pada A dan tak satupun yang merupakan fungsi linear dari yang lain. <br />05/01/2011<br />21<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />
  22. 22. Teorema 8.4<br /> Jika X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak dari anggota kelas eksponensial reguler maka satatistik-statistik<br /> adalah himpunan minimal dari statistik cukup lengkap untuk 1,…,k. <br />05/01/2011<br />22<br />© 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |<br />

×