Presenta:
INSTITUTO TECNOLÓGICO
la Laguna
COMPETENCIA
HABILIDADES Y
DESTREZAS
Previo al análisis de un conjunto de ecuaciones que
rigen comportamientos de sistemas ...
JUSTIFICACIÓN
PENSAMIENTO
FORMAL
E = - dφ
dt
i
Modelo Matemático
V = IR
P = VI cosθ
R = ρL
A
a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1
a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2
a31I1 + a32 I2 + a...
MÉTODO CIENTÍFICO
(Antecedentes)
EXPERIMENTACIÓN CON PROTOTIPOS FÍSICOS
+
Sesión experimental Heurística en tema concreto de
Campo Eléctrico (E).
Ley descu...
PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS MATEMÁTICOS
Solución al Sistema Físico
Identificación del Problema
Variables ...
tiempo (t)
 Un Modelo Matemático de un sistema físico
frecuentemente involucra la variable tiempo (t).
La solución de un ...
MODELO DE
CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO
dy = ky, y(to) = yo
dt
Cualquier fenómeno representado por la ecuación diferencial
d...
MODELO DE LEY DE
ENFRIAMIENTO DE
NEWTON
La Ley del Enfriamiento de Newton dice que un cuerpo que
se está enfriando, la rap...
Modelo de Circuitos
eléctricos RCL serie.
La segunda Ley de Kirchoff
dice que un circuito
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Caso de análisis y solución.
LEY DE ENFRIAMIENTO
DE NEWTON
Al sacar un pastel del horno,
su temperatura es de 300º F.
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T = 70 + 230e-0.19018t
TIEMPO (t) TEMPERATURA (T)
0 300
1 260.1663678
2 227.2315106
3 200.0006316
4 177.4858605
5 158.8704...
¿Qué se espera de un Modelo Matemático?
• Tenga una solución congruente con el comportamiento conocido del sistema
físico....
REFERENCIAS INFORMÁTICAS
 Kreyszing, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Editorial
Limusa.
 Rainville, Earl. E...
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Modelo matemático itl(terminado)

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Presentación diseñada por el Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA. Tema: MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS (Caso de Modelos Matemáticos de Ecuaciones Diferenciales)

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Modelo matemático itl(terminado)

  1. 1. Presenta: INSTITUTO TECNOLÓGICO la Laguna
  2. 2. COMPETENCIA HABILIDADES Y DESTREZAS Previo al análisis de un conjunto de ecuaciones que rigen comportamientos de sistemas físicos establecidos, • El Alumno solucionará y simulará con un alto sentido de precisión y profesionalismo, ecuaciones diferenciales ordinarias de sistemas físicos específicos.
  3. 3. JUSTIFICACIÓN PENSAMIENTO FORMAL E = - dφ dt i
  4. 4. Modelo Matemático V = IR P = VI cosθ R = ρL A a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1 a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2 a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3 L d2q + R dq + 1 q = E (t) dt2 dt C SISTEMA FÍSICO
  5. 5. MÉTODO CIENTÍFICO (Antecedentes)
  6. 6. EXPERIMENTACIÓN CON PROTOTIPOS FÍSICOS + Sesión experimental Heurística en tema concreto de Campo Eléctrico (E). Ley descubierta: E = 0 El campo Eléctrico dentro de un conductor es cero. + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + E R r ∞ q E = k q r2 R r < R  E =0 r = R  E = Máximo r ≥ R  E ≠ 0 (decrece)
  7. 7. PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS MATEMÁTICOS Solución al Sistema Físico Identificación del Problema Variables Involucradas Modelo Matemático M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0 SISTEMA FÍSICO Solución y modelación matem.
  8. 8. tiempo (t)  Un Modelo Matemático de un sistema físico frecuentemente involucra la variable tiempo (t). La solución de un modelo representa el estado del sistema en un tiempo determinado. En otras palabras, para valores apropiados de tiempo (t), los valores de la variable (o variables) dependiente describen el sistema al sistema en el pasado, el presente y el futuro. tiempo (t) t T T= f(t) Tm T= temperatura Tm= Temperatura del medio t= tiempo
  9. 9. MODELO DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO dy = ky, y(to) = yo dt Cualquier fenómeno representado por la ecuación diferencial dy/dt =ky, crece (k>0) ó decrece (k<0) exponencialmente. El crecimiento de una población P de bacterias, insectos, o incluso de seres humanos, se puede predecir, frecuentemente , sobre intervalos cortos de tiempo, por medio de la solución exponencial P(t) = Cekt de dicha ecuación. El estudio de sustancias radiactivas, cuya actividad disminuye en el curso del tiempo, condujo al descubrimiento del Carbono 14, el cual ha sido la base para determinar la edad de los fósiles o aun de una momia. t y ekt , k>0 crecimiento ekt , k<0 decrecimiento
  10. 10. MODELO DE LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON La Ley del Enfriamiento de Newton dice que un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tm del medio que lo rodea. Esto es, En donde k es una constante de proporcionalidad. t T T= f(t) Tm T= temperatura Tm= Temperatura del medio t= tiempo
  11. 11. Modelo de Circuitos eléctricos RCL serie. La segunda Ley de Kirchoff dice que un circuito elétrico en serie que contiene sólo una resistencia R y una inductancia L, la suma de las caídas de voltaje a través de inductor [L (di/dt)] y de la resistencia (iR) es igual a la tensión E(t) aplicada al circuito. La caída de voltaje a través de un capacitor con capacitancia C está dada por q/C, en donde q es la carga en el capacitor. Pero la corriente i y la carga están relacionadas por i=dq/dt. L d2q + R dq + 1 q = E(t) dt2 dt C L di + Ri = E (t) dt R dq + 1 q = E (t) dt C L di + R dq + 1 q = E(t) dt dt C L d dq + R dq + 1 q = E(t) dt dt dt CE
  12. 12. Caso de análisis y solución. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300º F. Tres minutos después , su temperatura es de 200º F. ¿Cuánto demorará en enfriarse a una temperatura ambiente de 70º F? Condiciones iniciales: Tm = 70ºF To(0) = 300ºF Condiciones posteriores: T1(3) = 200ºF Ecuación Diferencial de variables Separables M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Solución General Solución particular Condiciones iniciales: Tm = 70ºF , To(0) = 300ºF Condiciones posteriores: T1(3) = 200ºF T = 70 + Cekt Obtención de C sust. t0 = 0, T= 300 T= 70 + Cek(0) 300= 70 + C Por tanto C= 230 T = 70 + 230ekt Obtención de k. Sust. T1 = 3, T= 200 200 = 70 + 230ek(3) 200= 70 + 230e3k 200 – 70 =230e3k 130 = e3k 230 3k = ln (130/230) k= - 0.19018 T = 70 +230 e-0.19018t
  13. 13. T = 70 + 230e-0.19018t TIEMPO (t) TEMPERATURA (T) 0 300 1 260.1663678 2 227.2315106 3 200.0006316 4 177.4858605 5 158.870416 6 143.4789749 7 130.7531729 8 120.2313488 9 111.5317963 10 104.3389167 11 98.39176984 12 93.47460759 13 89.40904722 14 86.04760005 15 83.26832093 16 80.97038434 17 79.07042671 18 77.49952218 19 76.20068214 20 75.12678783 21 74.23888096 22 73.50475041 23 72.89776372 24 72.39590088 25 71.98095551 26 71.63787441 27 71.35421142 28 71.11967595 29 70.9257596 30 70.76542757 31 70.63286339 32 70.52325797 33 70.43263507 34 70.35770713 35 70.29575594 30 MINUTOS APROXIMADAMENTE TARDA EN ENFRIARSE EL PASTEL Lim 70 + 230e-0.19018t t  ∞ = 70
  14. 14. ¿Qué se espera de un Modelo Matemático? • Tenga una solución congruente con el comportamiento conocido del sistema físico. • Complementar, reforzar y validar las hipótesis del sistema. t = tiempo T(t)= Temperatura El Medio Ambiente Externo puede ser afectado por diversos factores que pueden ocasionar variabilidad en la Temperatura ambiente (Tm).
  15. 15. REFERENCIAS INFORMÁTICAS  Kreyszing, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Editorial Limusa.  Rainville, Earl. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Prentice Hall.  Spiegel, Murray R.. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Editorial Prentice Hall.  Zill, Dennis G. Ecuaciones Difenciales con Aplicaciones. Editorial Iberoamérica.  Ley de enfriamiento de Newton. Simulador de la ecuación de la Ley de enfriamiento de Newton. Acceso en internet , en:  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/ enfriamiento.htm#Ley%20del%20enfriamiento%20de%20Newton 
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