Matematicas1`ESAP

MMMMATEMÁTICAS IIII
PROGRAMA ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

Director
HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO
Subdirector académico
CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE
Decano de pregrado
JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO
Coordinador Nacional de A.P.T
JOSE PLACIDO SILVA RUIZ
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ
Bogotá D.C., Noviembre de 2008

TABLA DE CONTENIDO
DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS
INTRODUCCIÓN
CAPITULO 1. ECUACIONES
1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable
1.2 Aplicaciones
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable
1.5 Aplicaciones
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables
1.7 Sistemas de ecuaciones lineales
1.8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Ejercicios de repaso de la unidad
CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS
2.1 Definición de función
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares
2.3 Funciones especiales
CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
3.1 Funciones exponenciales
3.2 Funciones logarítmicas
3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
3.4 Aplicaciones
CAPITULO 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD
4.1 Noción de límite
4.2 Álgebra de límites
4.3 Límites infinitos
4.4 Límites al infinito
4.5 Continuidad
4.6 Aplicaciones
CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN
5.1 La derivada
5.2 Reglas de diferenciación
5.3 Aplicaciones

DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS
El plan de estudios del Programa de Administración Pública Territorial, modalidad
a distancia, se encuentra estructurado en siete núcleos temáticos. Éstos, a su vez,
se constituyen en los contenidos nucleares del plan de formación que, en la
exposición didáctica del conocimiento, se acompañan de contenidos
complementarios específicos.
Cada uno de los siete núcleos temáticos que componen el programa tiene una
valoración relativa en número de créditos y, en consecuencia, varía también en el
número de asignaturas que lo conjugan. El primer momento en cualquier proceso
de formación ha de establecer las particularidades del programa, de ahí que sea
necesario dar a conocer los núcleos temáticos con su respectiva valoración en
número de créditos: Problemática pública, once (11) créditos; Problemática del
estado y del poder, 23 créditos; Organizaciones públicas, 24 créditos; Espacio–
tiempo y territorio, 22 créditos; Gestión del desarrollo, 16 créditos; Economía de lo
público, 18 créditos; y Formación general, 21 créditos.
De igual manera, se debe reconocer que el plan de estudios se cimienta en el
principio de la problematización. En otras palabras, la formación en Administración
Pública Territorial parte del hecho de que la disciplina se encuentra en constante
cambio teórico y práctico; lo cual genera, a su vez, problemas multifacéticos que
implican la formación de profesionales con capacidad de comprender, explicar y
resolver los distintos textos y contextos que conforman la administración pública.
EL TRABAJO DEL TUTOR
El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológica
frente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de los
módulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores
podrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio
para el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de los
módulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamente
los contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberá
diseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo.
El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación las
actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría
(incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (una
sesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias de
evaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de
autoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de APT son de dos
créditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32

horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (64
horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así:
MÓDULO DE MATEMÁTICAS I (3 créditos)
No.
Créditos
Horas por
crédito
Total
horas
Tutoría
Grupal
No. de
sesiones
Horas por
sesión
No. mínimo
de
encuentros
tutoriales*
No. max.
sesiones
por
encuentro
2 16 32 8 4 2 8
3 16 48 12 4 3 12
4 16 64 16 4 4 16
* El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al
CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se
podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros
para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos.
Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo.
Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.

MATEMÁTICAS I
CONTENIDO SINTÉTICO
Este módulo brinda a los estudiantes las bases
matemáticas necesarias en cuanto a ecuaciones,
funciones, límites y derivadas, que contribuyen tanto a
nivel teórico como práctico a su desarrollo en materias
específicas de Administración y economía.
OBJETIVOS GENERALES
Comprender, interpretar y solucionar problemas
específicos en administración pública.
Definir los objetos que se estudian con ayuda de
las nociones introducidas precedentemente y así,

organizar la adquisición de nuevos conocimiento
Utilizar ejemplos y problemas cuya solución exija
poner en acción los conocimientos de cada tema.
Buscar la correcta representación de los
conocimientos y tomar conciencia de los
resultados.
Encontrar buenas preguntas y hallar posibles
soluciones.
Actuar, formular, probar, construir modelos,
lenguajes, conceptos y teorías que pueda
intercambiar con otros.
Adaptar los conocimientos a situaciones
específicas, planteando modelos para resolverlos,
pues las posibilidades se crean en un contexto y
en unas relaciones con el medio. Así, los
conocimientos aparecen como solución óptima.
Valorar la importancia que tienen los procesos
constructivos y de interacción social en la
enseñanza y en el aprendizaje de las
matemáticas, utilizándolos en situaciones
problemáticas que pueden provenir de la vida
cotidiana, generando preguntas y situaciones
interesantes.
Reconocer que existe un núcleo de conocimientos
matemáticos básicos que debe dominar todo
ciudadano.
Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías
como herramientas computacionales para resolver
problemas y tomar decisiones.
Reflexionar sobre el propio proceso de
pensamiento con el fin de mejorarlo
conscientemente.
Adquirir confianza en sí mismo.
Divertirse con su propia actividad mental, creando
estrategias informales y de sentido común.
Tener en cuenta en el desarrollo del programa la
historia, la génesis y la práctica de las
matemáticas, como aspectos internos del ser y del
conocer.

Desarrollar las competencias lógico matemáticas
del futuro administrador público territorial, base
fundamental para la toma de decisiones, la
comunicación y planificación.
Adquirir herramientas de análisis que permitan
apoyar la comprensión de algunas de las
temáticas estudiadas en la carrera.
Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en
la administración y la economía, especialmente las
que se refieren a la maximización de los
beneficios, la eficiencia de los procesos, lo mismo
que a la minimización de los costos.
INTRODUCCIÓN
Este documento forma parte del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior
de Administración pública ESAP, con el fin de desarrollar el programa de Administración
Púbica Territorial.
El modelo pedagógico aplicado para la enseñanza de matemática en este caso, recurre a
prácticas didácticas tradicionales y a métodos activos contando con la utilización de las
nuevas tecnologías.
Clase participativa: En el desarrollo de las sesiones los alumnos construyen los
conceptos a través de la guía del tutor.
Talleres de aplicación: Se adelantan trabajos de aplicación con información
pertinente al campo de la administración pública.
Tutorías de asistencia grupal, con énfasis en el desarrollo de la habilidad del
manejo de un software.
Investigación formativa: Durante el semestre se desarrollarán investigaciones
sobre temas propuestos en el plan o por los estudiantes, inscritos en el dominio de
la administración pública.

El enfoque metodológico aplicado en la enseñanza de la matemática genera una relación
entre el tutor y el estudiante que se caracteriza por la iniciativa, experimentación, práctica
y construcción del conocimiento de acuerdo con el ritmo y con los descubrimientos
progresivos que va logrando el dicente; el tutor es un orientador y un asesor para las
inquietudes y logros.
Atendiendo a que nuestro quehacer diario debe dirigirse hacia las metas anteriores, serán
tenidos en cuenta todos los aspectos que constituyen el ser integral del alumno, por lo
cual tomamos como referencia las preguntas:
1. ¿Qué queremos que el estudiante aprenda?
2. ¿Cómo puede lograrse ese aprendizaje?
3. ¿Cómo sabemos cuándo hay aprendizaje?
4. ¿Qué tiempo se necesita?
Así, la metodología, apuntará a desarrollar las siguientes ideas:
o Formación en la solución de problemas como competencia básica no solo en
matemáticas. Así, se experimenta la potencia y utilidad de las matemáticas en el
mundo que nos rodea.
o La capacidad para resolver problemas, que es la conducta más inteligente del
hombre y la preocupación central de las matemáticas.
o El manejo de códigos matemáticos como elemento esencial para comprender el
nivel abstracto inmerso en varias situaciones de la vida real.
o El desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, que permite la ubicación de
nuestro ser y nuestro entorno.
o Búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico en los estudiantes.
o Manejo de material (representación espacio-temporal), representación gráfica
(puramente espacial, no hay tiempo) y manejo de símbolos: formas y tamaños,
proposiciones, ambiente de las figuras, palabras que aportan y dan información
adicional al dibujo, todo lo cual evidencie una construcción de conocimiento.
o Las matemáticas como verdades de razón (competencias básicas: interpretativa,
argumentativa y propositiva).
La dinámica de las sesiones presenciales consistirá en una explicación sobre el tema o
temas a tratar, con suficientes ejemplos ilustrativos, ejercicios y problemas de aplicación a
la administración y economía, a lo cual seguirá la realización de un taller en grupos. La
investigación en matemáticas en los ámbitos numérico, lógico y geométrico es de especial
importancia, ya que con ella el estudiante muestra su capacidad de análisis, interpretación
y argumentación del tema y podrá solucionar problemas que requieran inferencias lógicas
como estrategia didáctica fundamental.
Se realizarán tutorías en las cuales se observará el desarrollo y la aplicación de algunos
conceptos, reforzando el proceso operativo con el uso de programas como el
MATHEMATICA y / o DERIVE.

En todo momento se aceptará la contribución que el alumno pueda hacer para el
desarrollo de la clase, tanto en el ámbito de plan de estudios como metodológico.
El contenido básico del módulo abarca los elementos principales del cálculo infinitesimal o
diferencial, sin embargo no se centra en el desarrollo de los conceptos meramente
matemáticos, sino en las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la
administración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones básicas sin ahondar
en demostraciones, centrándose principalmente en los ejemplos de aplicación.
La estructura de cada capítulo del módulo contiene los objetivos específicos, que
debemos recordar nos servirán como referente del aprendizaje obtenido. Las lecciones
están conformadas por un título, un desarrollo de los temas, algunos ejemplos,
explicaciones, gráficos, notas y definiciones como apoyo. En cada capítulo se enuncian
ejercicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje permitiendo reflexionar o
clarificar aspectos básicos del tema que se estudia. Al final del capítulo se presenta una
autoevaluación presentada como ejercicios de repaso del capítulo que le permite al
estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y que está en capacidad de
presentar sus evaluaciones.

Contenido sintético de este módulo

Contenido sintético de los capítulos 1, 2 y 3

CAPITULO 1. ECUACIONES
Objetivos Generales:
1. Solucionar ecuaciones cuadráticas y lineales.
2. Plantear la ecuación correspondiente en problemas de aplicación
Objetivos específicos:
Resolver ecuaciones con métodos algebraicos
Resolver problemas dando solución en forma de conjunto y/o
intervalo.
Subtemas:
1.2 Aplicaciones
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable
1.5 Aplicaciones
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables
1.7 Sistemas de ecuaciones
1.8 Aplicaciones
Ejercicios de repaso del capítulo
Palabras clave:
Igualdad
Despeje de una variable
Plano cartesiano
Coordenada
Factorización
Operaciones con reales

Repaso sobre los Números Reales (R)
Los conjuntos vistos en matemáticas anteriores sugieren que los números
naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) se relacionan de la siguiente
manera:
N Z Q
Lo cual significa que todo número natural es también entero y todo número entero
es también racional y por lo tanto todo número natural es racional.
Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los números
irracionales (I) disyuntos entre sí, se genera un conjunto conocido como el
conjunto de los números reales, nominado con la letra R.
Recordemos que:
N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}
Z: Números Enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q: Números Racionales {..., , -3/2, , -2/6, -1/3, , , 0, , 1/4, 2/9, , ...}
R: Números Reales = Q U I
C: Números Complejos, compuestos por una parte real y una imaginaria, cuya
notación incluye la letra i.
ECUACIONES
Poco se conoce de la vida personal del matemático griego Diofante, que vivió en
Alejandría, Egipto, en el siglo III de la era cristiana. Sin embargo, su trabajo
influyó sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. La leyenda asegura que
sobre la tumba de este matemático ilustre se escribió el siguiente epitafio:
Diofante pasó una sexta parte de su vida en la niñez, una doceava parte en la
juventud y una séptima parte soltero. Cinco años después de su matrimonio nació
un niño que murió cuatro años antes de que su padre cumpliera la mitad de su
edad (final).
Si x representa la edad de Diofante al morir, entonces la información anterior
puede representarse con la ecuación
En este módulo obtendremos técnicas que nos permitirán resolver ésta y muchas

ta: La división entre
ecuaciones más que podremos aplicar a problemas prácticos.
Conceptos básicos: Operaciones con reales, factorizaciones y operaciones con
fracciones algebraicas.
Una ecuación es una proposición en la cual aparece la igualdad entre dos
expresiones algebraicas. Por ejemplo:
;
En ella se relacionan partes literales (letras o variables) y partes numéricas.
Solucionar, resolver o hallar la (s) raíz (ces) de una ecuación consiste en
determinar el o los valores de la incógnita o variable, que al ser reemplazados en
la ecuación dada la verifiquen, es decir, que conduzcan a una proposición
verdadera (la expresión a la izquierda del signo igual sea equivalente a la de la
derecha). Se dice que un número satisface la ecuación si es una solución.
Ejemplo 1. Los números -5 y 5 son soluciones o raíces de la ecuación:
ya que . (Recordemos que ).
Ejemplo 2. tiene como raíz a ya que si reemplazamos
en la ecuación 3 (-2) – 1 = 2(-2)-3 obtenemos -7 = -7 que es una proposición
verdadera.
Ejemplo 3. Los valores que puede tomar la variable en
son todos aquellos reales diferentes de 1 ya que con este
último, el denominador nos daría cero y la división no se podría efectuar. Lo
expresaremos así: S = R
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
3x+2 = 0 ; 3x = -2 ; x =
Para obtener ecuaciones equivalentes o identidades podemos realizar las
siguientes operaciones:
• Sumar o restar la misma expresión (que represente un número real) a
ambos lados de la ecuación.
• Multiplicar o dividir cada lado de la ecuación por la misma expresión (que
represente un número real diferente de cero).
Ejemplo 4. 3 x + 2 = 0
3x + 2 - 2 = 0 - 2
3 x = - 2
• Recuerda que:
25 -25

(3x) = (-2)
x =
Por lo tanto la solución es única y se representa en un conjunto: S = .
Para probar el valor hallado, se reemplazamos en la ecuación original y vemos
que genera una proposición verdadera, así:
3 x + 2 = 0
3 + 2 = 0
-2 + 2 = 0
0 = 0
Ecuaciones Lineales
Son una clase especial de ecuaciones polinómicas, es decir de la forma
an xn
+ an-1 xn-1
+ an-2 xn-2
+ an-3 xn-3
+ an-4 xn-4
+ …+ a1 x1
+ a0 x0
, con ai R y n un
entero no negativo.
Aquellas que tienen la forma a1 x1
+ a2 x0
= 0; con a1, a2 R; a1 ≠ 0 y n = 1
son lineales.
Ejemplo 5.
Efectuamos las operaciones indicadas, antes enunciadas, teniendo en cuenta el
orden presentado por los paréntesis:
o
Por tanto, el conjunto solución es: S =
Ejemplo 6.
Al multiplicar por ( x- 5 ) a cada lado de la ecuación, se obtiene una ecuación
lineal:

Pero, al multiplicar por una expresión que contiene una variable, debemos
verificar que x = 5 sea efectivamente una solución:
Y como no es posible dividir entre cero, llamamos a x = 5 una solución extraña y
por lo tanto la ecuación no tiene solución, es decir, S = o S =Ø.
Ejemplo 7.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador
que en este caso es (diferencia de cuadrados), ya que la factorización es
Al probar en la ecuación original se nota que dos de los denominadores se
vuelven cero, por lo tanto es una solución extraña. S = .
Ejemplo 8.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador
que en este caso es , ya que la factorización es (Factor
común)

Sustituyendo por 3 en la ecuación original, hallamos que este valor satisface
la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es S = .
1.2 Aplicaciones de ecuaciones lineales
Áreas. El área de una figura plana se puede cambiar a una forma más
conveniente despejando o solucionando para una de las variables en términos de
las variables restantes, encontrando ecuaciones equivalentes.
Ejemplo 9. El área de un triángulo de base y altura se halla mediante la
fórmula .
Para despejar , multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2, así:
Ahora, multiplicamos por :
Ejemplo 10. Así mismo, el área de un trapecio con bases y y altura
está dada por
Al despejar tenemos:
O, al expresar con común denominador:
h
b
B
h
b

En álgebra es útil traducir las palabras en las que viene enunciado un problema
en una ecuación algebraica apropiada. Debemos leer el problema atentamente,
identificar la cantidad desconocida, si es posible hacer un diagrama, asignar una
variable a la cantidad desconocida, representar cualquier otra cantidad en
términos de la variable escogida, escribir una ecuación que exprese con precisión
la relación descrita en el problema, solucionar la ecuación y verificar que la
respuesta concuerde con las condiciones planteadas.
Ejemplo 11. En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años.
¿Cuántos años tiene?
Asignamos x = edad actual de Bryan
x + 5 será entonces la edad en cinco años
x – 7 la edad que tenía hace 7 años
3 ( x – 7 ) tres veces la edad que tenía hace 7 años
La ecuación que expresa la relación del problema será:
x + 5 = 3 ( x – 7 )
despejando x para hallar la solución:
x + 5 = 3 x - 21
x – 3x = - 21 - 5
-2 x = - 26
x =
x = 13 años
Puesto que 13 + 5 = 3 (13 - 7), la edad actual de Bryan es 13 años.
Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula de interés simple:
I = C r t
Donde I es la cantidad de interés ganada sobre un capital C invertida a una tasa
de interés simple r de porcentaje por t años.
Ejemplo 12. La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de
• Recuerda que: al
tener un número
negativo
multiplicando en un
lado de la
ecuación, lo
pasamos con el
mismo signo, para
despejar la
variable.

ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%.
Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en el
título?
Notemos con la letra x la cantidad de dinero invertida en el título, entonces
10.000 – x será el dinero puesto para el certificado de ahorros.
Podemos organizar la información dada en un cuadro así:
Capital C Tasa de
interés r
Tiempo
t
Interés ganado
I = C r t
Certificado de
ahorros 10.000 -x 0,07 1 (10.000-x)(0,07)(1)=
700- 0,07 x
Título x 0,12 1 x (0,12) (1) = 0,12 x
Como el total de interés recibido es de US$ 900 se tiene:
700- 0,07 x + 0,12 x = 900 de donde,
- 0,07 x + 0,12 x = 900 – 700
0,05 x = 200
x = 4.000
Por lo tanto se invirtieron US$ 4.000 en el título.
Razón de cambio. Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces
la distancia d que recorre en t unidades de tiempo está dada por
d = v t , o , t = d / v , o , v = d / t
Ejemplo 13. Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50
Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicleta
fue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad.
Distancia Velocidad Tiempo
En auto 289
En bicicleta 50
Como el tiempo total fue de 12 horas, tenemos:

(velocidad del auto)
¼ = ¼ (40,75) = 10,1875 Km / h ( velocidad de la bicicleta)
Problemas de mezclas. Se dan principalmente en química, farmacología,
manufactura. Al resolver este tipo de problemas nos centramos en la cantidad
que tiene un elemento en cada una de las diferentes combinaciones. Es útil, igual
que en los casos anteriores organizar la información en forma de matriz (filas y
columnas).
Ejemplo 14. Halle cuántos litros de alcohol puro pueden añadirse a 15 lt. de
solución que contiene 20% de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30%
de alcohol.
Si x son los litros de alcohol añadidos, entonces,
15 + x representa la cantidad en litros en la nueva solución.
Litros de solución Concentración de alcohol Litros de alcohol
Solución
original 15 0,20 0,20 (15)
Alcohol
puro x 1,00 1,00 x
Mezcla
resultante 15 + x 0,30 0,30 ( 15 + x)
Si la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puro
añadida balancean la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, se tiene:
0,20 (15) + 1,00 x = 0,30 ( 15 + x)
3 + x = 4,5 + 0,3 x
0,7 x = 1,5

x =
Por lo tanto la cantidad de alcohol añadida es lt.
Recordemos que podemos probar la respuesta reemplazando en a ecuación
original el valor encontrado.
Problemas de trabajo. Si un individuo puede hacer un trabajo en T unidades de
tiempo, se concluye que en x unidades de tiempo, x/T del trabajo se completa.
Por ejemplo, si una persona hace un trabajo en 7 horas, entonces en 3 horas
podrá hacer 3/7 de trabajo.
Ejemplo 15. Trabajando sola una bomba A puede llenar un tanque en 2 horas y
una bomba B lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué tan rápido las bombas pueden
llenar el tanque trabajando juntas?
Siendo el número de horas que se gastan las dos bombas en llenar el tanque,
entonces,
será la fracción de trabajo de la bomba A en x horas
la fracción de trabajo culminado en x horas por la bomba B.
Así,
Tiempo para completar
todo el trabajo
Fracción del trabajo
completado en x horas
Bomba A 2
Bomba B 3
Ambas bombas 1
La suma de lo que aporta cada bomba en fracción de trabajo en x horas debe ser
la unidad, que en este caso representa el trabajo completo, por lo tanto:
= horas
Trabajando ambas bombas se demoran horas (1 horas 12 minutos) para
llenar el tanque.

1.3 Ecuaciones lineales en dos variables.
El descubrimiento del sistema de coordenadas cartesianas representó un avance
muy importante en matemáticas. Gracias a él, René Descartes, filósofo y
matemático francés, logró transformar los problemas geométricos, que exigían
largos y tediosos razonamientos en problemas algebraicos que se podían
resolver más fácilmente. Esta relación entre la geometría y el álgebra dio como
resultado la geometría analítica, que en un principio resolvió los siguientes
planteamientos:
- Dada una ecuación, hallar la gráfica correspondiente
- Dada una figura geométrica, encontrar la respectiva ecuación.
Cualquier ecuación que se pueda escribir como , con R; y
variables, se llama ecuación lineal en dos variables.
Una solución de una ecuación de este tipo es un par ordenado de números
reales, que satisfacen la expresión, es decir que la ecuación es cierta cuando las
coordenadas obtenidas se sustituyen por y .
Ejemplo 16. ¿Cuál de los pares ordenados (2,-3) y (-2,-2) es una solución de la
ecuación lineal y = 4x -11?
Al sustituir el valor de la abscisa por x y el valor de la ordenada por y para el
punto (2,-3), obtenemos:
y = 4x -11
-3 = 4 ( 2 ) – 11
-3 = 8 – 11
-3 = -3
Como la expresión obtenida es verdadera, concluimos que la pareja ordenada
(2,-3) sí es solución a la ecuación.
Efectuando el mismo procedimiento con ( -2,-2) tenemos:
y = 4x -11
-2 = 4 ( -2 ) – 11
-2 = -8 – 11
-3 = -19
Proposición falsa, por lo cual la pareja ordenada escogida no es solución.
Una ecuación lineal tiene un número infinito de soluciones. Para encontrar todas
las soluciones, sustituimos x por un valor real y resolvemos para y (o despejamos
y).
Ejemplo 17. Formemos una tabla de datos con algunas soluciones y
representemos en el plano cartesiano, para la ecuación y = 2 x – 4:
• Recuerda que: el
hecho de que los
exponentes de las
dos variables (x, y)
sean uno, hace que
la ecuación sea
lineal.

Valor para x Valor para y Par ordenado (x , y)
-4 2 (-4) – 4 = -12 (-4,-12)
-2 2 (-2) – 4 = -8 (-2,-8)
0 2 (0) – 4 = -4 (0,-4)
2 2 (2) – 4 = 0 (2,0)
4 2 (4) – 4 = 4 (4,4)
6 2 (6) – 4 = 8 (6,8)
8 2 (8) – 4 = 12 (8,12)
Cuando se representan gráficamente los pares ordenados los puntos caen en
una línea recta. Así, hemos representado gráficamente la solución de la ecuación
lineal ya que la recta representa todas las soluciones de la ecuación.
Ejemplo 18. Teniendo en cuenta uno de los teoremas de la Geometría
Euclidiana, en el cual enuncia que para trazar una recta es suficiente tener dos
puntos, ahora realizamos la gráfica con las coordenadas al origen, es decir las
parejas ordenadas en las cuales la gráfica corta a los ejes coordenados, para la
ecuación: x + 3y = 6
x 0 6
y 2 0
Si tomamos x = 0 y reemplazamos en la ecuación, obtenemos que y = 2. Con
esto tenemos el corte de la recta con el eje y o la ordenada al origen, (0, 2)
Si tomamos y = 0, al reemplazar en la ecuación, obtenemos que x = 6. Con esto
tenemos el corte de la recta con el eje x o la abscisa al origen, (6,0)

1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable.
Son ecuaciones polinómicas de la forma a x2
+ bx + c = 0 ; con a, b, c R y
a ≠ 0.
Para resolver o hallar los valores de la variable en una ecuación cuadrática
contamos con tres métodos: factorización, raíz o la fórmula cuadrática.
Método de factorización. Este método se basa en la propiedad de la
multiplicación por cero: si a y b representan números reales y a.b = 0 entonces,
a = 0, o, b = 0.
Ejemplo 19. Resuelva
Factorizando el polinomio tenemos:
Sacando factor común en el primer paréntesis y cancelando con el 2 del
denominador:
Así,
de donde
Por lo tanto el conjunto solución es: S =
Al igual que con las ecuaciones anteriores, podemos probar nuestras respuestas
sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original.

Escribiendo nuestra ecuación de la forma :
Sacando factor común 3 :
Y pasando el 3 a dividir:
Factorizando:
Así,
de donde
Luego el conjunto colusión es: S =
Método de la raíz cuadrada. Utilizado cuando la ecuación cuadrática tiene la
forma .
Aquí, sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos:
Luego el conjunto solución es: S =
Podemos probar nuestras respuestas sustituyendo los valores encontrados en la
ecuación original.
• Recuerda que:
para resolver una
ecuación
cuadrática por
factorización es
necesario igualar
a cero para poder
aplicar la
propiedad.

Sacando raíz cuadrada en ambos lados obtenemos:
Despejando :
Y por lo tanto el conjunto solución es: S =
La fórmula cuadrática. El más potente de los métodos de solución, que se basa
en la fórmula cuadrática, , cuya deducción presentamos a
continuación:
Partimos de nuestra forma original:
Dividiendo los dos términos de la igualdad entre a se tiene:
Agrupando los términos que tienen y haciendo completación de cuadrados, es
decir sumando a ambos lados de la ecuación el término necesario para
formar, al lado izquierdo, un trinomio al cuadrado perfecto:
Y factorizando el trinomio,

Sacando raíz cuadrada en ambos lados:
Sacando denominador común:
Extrayendo la raíz del denominador:
Despejando :
, o ,
La naturaleza de las raíces está dada por el radicando, llamado discriminante,
así:
Si la ecuación tiene dos raíces reales iguales
Si la ecuación tiene dos raíces reales distintas
Si la ecuación tiene dos raíces complejas
Identificando = 3 , = -7 ,y, = 2, se tiene:
Con lo que obtenemos dos respuestas:
• Recuerda que:
la fórmula
cuadrática solo
utiliza los
coeficientes de
la ecuación
cuadrática.

Luego el conjunto solución es: S =
Identificando = 9 , = 30 ,y, = 25, se tiene:
Con lo que obtenemos dos respuestas iguales:
Tenemos una solución doble: S =
Organizando la ecuación:
Identificando = -2 , = 3 ,y, = -3/2, se tiene:
Con lo que obtenemos dos respuestas pertenecientes al conjunto numérico de
los complejos:

Así, la solución viene dada por: S =
1.5 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas
Ejemplo 26. El área de un rectángulo es 138 m2
. , si la longitud es 5m. más que
tres veces el ancho, halle las dimensiones del rectángulo.
Designamos como el ancho, por lo que el largo será 3 + 5.
Como se tiene el valor del área tenemos:
Aplicando la propiedad distributiva,
Y resolviendo por la fórmula cuadrática se encuentra que 1 = -23/3 y 2 = 6.
Como el ancho de un rectángulo no puede ser negativo, descartamos la primera
respuesta y tomamos el ancho igual a 6, de donde, reemplazando en 3 + 5
obtenemos que el largo es de 3(6) + 5 = 23 m.
El Teorema de Pitágoras es uno de los más utilizados y muchas de sus
aplicaciones incluyen ecuaciones cuadráticas.
3 + 5
• Recuerda que: El
Teorema de
Pitágoras dice
que en un
triángulo
rectángulo el
cuadrado de la
longitud de la
hipotenusa es
igual a la suma
de los cuadrados
de los catetos.
hipotenusa

Ejemplo 27. En un parque dos aceras forman un ángulo recto con el patio P, el
puesto de refrigerio R y el estacionamiento E, como muestra la figura. La
longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar a través del pasto
directamente del estacionamiento al patio, los niños pueden acortar la distancia
en 200 m. ¿Cuáles son las longitudes de las aceras?
Designamos = longitud de la acera del punto P al R.
700 – = longitud de la acera de R a E
Puesto que la distancia de P a E es 200 m. menor que la longitud total de las dos
aceras, se tiene,
700 – 200 = 500 distancia de P a E
Así, obtenemos la siguiente relación por el Teorema de Pitágoras:
Reescribiendo la ecuación y solucionando por factorización:
De donde,
o
P
R E
700 -
500

Al reemplazar por = 400, la longitud de la acera desde el patio hasta el puesto
de refrigerio R es de 400 m. y la longitud de la acera desde el punto R hasta el
estacionamiento es 700 – 400 = 300.
Si hacemos los mismo con = 300 obtenemos los valores invertidos, con lo cual
hay dos posibles soluciones al problema (300,400) o (400,300).
Ejemplo 28. Un comisionista de vinos gastó US$800 en algunas botellas de vino
añejo Cabernet Sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado US$4
más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por el dinero que dio.
¿Cuántas botellas se compraron?
Si designamos = número de botellas compradas, entonces representa el
costo por botella.
Así, al precio más alto, – 10 es el número de botellas compradas, y
, sería el costo por botella.
Se establece la relación:
(Costo por botella) ( número de botellas) = 800
De donde aplicando la propiedad distributiva, y resolviendo la ecuación
,
obtenemos que el número de botellas de vino compradas es 50.
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables.
Al igual que con las ecuaciones lineales en dos variables, la solución de este tipo
de ecuaciones es una gráfica, que en este caso se denomina parábola.
Una ecuación cuadrática, es aquella de la forma , con ,
donde , y c son constantes.
En general, la gráfica de la parábola depende de las siguientes características de
la ecuación:
Gráfica Ecuación

,
La variable que está al cuadrado es .
Si > 0 , la parábola abre hacia
arriba, por ejemplo:
,
La variable que está al cuadrado es .
Si < 0 , la parábola abre hacia
abajo, por ejemplo:
,
La variable que está al cuadrado es
.
Si > 0 , la parábola abre hacia la
derecha, por ejemplo:

,
La variable que está al cuadrado es
.
Si < 0 , la parábola abre hacia la
izquierda, por ejemplo:
Para hallar los puntos pertenecientes a una parábola, que abre hacia arriba o
hacia abajo, comenzaremos con el vértice o la punta de la parábola, que se
encuentra en y luego tabularemos dos valores a la izquierda y
dos a la derecha de esta coordenada, con el fin de ver la simetría de la curva.
Ejemplo 29. Hallar la solución de la ecuación
Para hallar el vértice: tenemos: = -8 ; = 2
Abscisa del vértice: = = 2
Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Valor para Valor para Par ordenado
2 (2,3)
1 (1,-1)
0 (0,5)
3 (3,-1)
4 (4,5)

Organizando la ecuación:
Para hallar el vértice: tenemos: = 12 ; = -2
Abscisa del vértice: = = 3
Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Relacionaremos ahora con ecuaciones cuadráticas en una sola variable, ya que
si resolvemos la ecuación:
Obtendremos los cortes de la parábola con el eje :
Factorizando:
Y aplicando nuestra propiedad:

,o,
De donde ,o,
Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (6,0)
3 (3,18)
2 (2,16)
1 (1,10)
0 (0,0)
4 (4,16)
5 (5,10)
6 (6,0)
Utilizando la propiedad distributiva:
Para hallar el vértice, debemos tener en cuenta que la variable que está al
cuadrado es y, por lo cual con la fórmula obtendremos no la abscisa sino la
ordenada del vértice, así:
= -8 ; = 2

Ordenada del vértice: = = 2
Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Así, el vértice está en (-8,2)
Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0:
, con lo cual el único corte está en (0,0).
Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0:
Factorizando:
Y aplicando nuestra propiedad:
,o,
De donde ,o,
Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (0,4)
2 (-8,2)
3 (-6,3)
4 (0,4)
1 (-6,1)
0 (0,0)
-1 (10,-1)

Ordenando la ecuación:
Obtenemos la ordenada del vértice,
= -5 ; = -1
Ordenada del vértice: = = -5/2
Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Así, el vértice está en
Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0:
, con lo cual el único corte está en (2,0).
Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0:
Resolviendo por la fórmula cuadrática u otro método se obtiene:
Por lo tanto los puntos hallados son: y , o

y
Valor para Par ordenado
-5/2 (33/4,-5/2)
0 (2,0)
(0, )
(0, )
-1 (6,-1)
-3 (8,-3)
1.7 Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales.
Muchos problemas se pueden resolver adecuadamente planteando un sistema
con dos ecuaciones y dos incógnitas. Por ejemplo, si una tabla de 12 pies se
corta en dos partes, de tal manera que una de ellas mida 4 pies más de largo que
la otra, ¿Cuál será la longitud de cada parte?
Si asignamos = la longitud de la parte mayor
= la longitud de la parte menor
entonces:
Resolver este sistema significa encontrar todos los pares ordenados de números
reales que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo. En general nos
interesa resolver sistemas del siguiente tipo:
donde , , , , , son constantes reales.
Dos rectas en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, en un plano, se
deben relacionar de una de estas tres maneras:
1) Se intersecan en un solo punto, es decir tienen una única solución,
situación ilustrada en el siguiente gráfico:
2) No se intersecan en ningún punto, es decir son paralelas y la solución es
vacía, cuya posible representación es:

3) Todos los puntos son comunes, es decir las rectas coinciden. El sistema
tiene infinitas soluciones., como se puede observar en la gráfica siguiente:
Aunque la gráfica brinda una información útil, puede resultar difícil obtener
soluciones racionales y/o decimales, por lo cual veremos tres métodos de
solución que nos darán las aproximaciones deseadas. Estos implican la
sustitución de un sistema de ecuaciones por un sistema equivalente más simple,
para ello se aplican las transformaciones apropiadas y se continúa el proceso
hasta obtener un sistema cuya solución sea obvia.
Solución por sustitución.
Ejemplo 1. Para resolver nuestro problema inicial,
Primero despejamos de una de las dos ecuaciones una de las dos incógnitas:
Luego reemplazamos en la ecuación que no hemos utilizado la expresión
encontrada para :

Al quedar una sola ecuación lineal con una incógnita, podemos resolver
despejando :
Con el valor hallado, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones,
convenientemente en:
Por lo tanto el punto de corte y la solución del sistema es el punto (8,4)
Procedemos ahora a elaborar la gráfica de ambas ecuaciones en el mismo
sistema de coordenadas, ya que el punto que tienen en común debe ser la
solución, ya que satisface ambas ecuaciones:
Solución por igualación.
Ejemplo 2. Resuelva el sistema

Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones:
= = 1 – 2x
Por la propiedad transitiva, tenemos que la primera expresión debe ser igual a la
tercera, atendiendo a que el valor de que buscamos debe ser el mismo para
las dos ecuaciones.
Así nos queda una sola ecuación en la que podemos despejar :
=
Sustituyendo para hallar el valor de tenemos:
Por lo tanto la solución es el conjunto unitario: S = (2,-3)

Solución por eliminación.
Escogemos una variable para ser eliminada mediante suma de ecuaciones.
Recordemos que se necesita que los coeficientes sean opuestos para que nos de
cero la suma. Así, si elegimos , debemos convertir cada uno de los coeficientes
de esta variable que intervienen en el mínimo común múltiplo de los dos, en este
caso m.c.m. (3,5) =15, por lo cual debemos multiplicar la ecuación primera por (5)
y la segunda por (3) así:
Obteniendo:
Sumando las dos ecuaciones término a término :
de donde
Y reemplazando en cualquiera para hallar :
• Recuerda que: Al
multiplicar una
ecuación por un
número debemos
multiplicar todos
los términos de la
ecuación.

Por lo tanto la solución es S = (-2,3)
Por igualación tenemos:
Lo cual constituye una proposición verdadera. Pero como no nos generó valor
para la variable, concluimos que son la misma recta, es decir que el sistema tiene
un número infinito de soluciones. Cuando una ecuación es múltiplo de otra, se
dice que el sistema es dependiente.
Por eliminación, multiplicando la primera ecuación por (-2) para convertir el
coeficiente de en el m.c.m. (3,6) = 6.

Y sumando las ecuaciones.
Por lo cual, al ser una proposición falsa, debe ser falsa nuestra suposición de que
hay valores para y para que satisfacen simultáneamente las dos
ecuaciones. Si verificamos la pendiente de cada recta encontraremos que son
iguales (pero las ordenadas al origen son diferentes); por tanto, las rectas son
paralelas y el sistema no tiene solución. Los sistemas de este tipo se llaman
incompatibles.
1.8 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar en
monedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12 monedas, después
de introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas monedas de cada tipo recibe?
Sean = número de monedas de 25 centavos
= número de monedas de 5 centavos
Resolviendo el sistema, obtenemos que = 2 ,y, = 10
Ejemplo 7. Un joyero tiene dos barras de aleación de oro: una es de 12 quilates y
la otra de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro; el de 12 quilates corresponde a
de pureza: el de 18, a de pureza y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos
de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gr. de oro de 14 quilates?

Sean = número de gramos utilizados de oro de 12 quilates.
= número de gramos utilizados de oro de 18 quilates.
Resolviendo el sistema tenemos que se necesitan x = , y, = gramos de
oro de 12 y 18 quilates respectivamente.
Resumen:
Cuando resolvemos una ecuación podemos aplicar ciertas reglas para obtener
ecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente las
mismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Estas reglas incluyen la
suma (o resta) del mismo polinomio a ambos miembros, así como la
multiplicación o división) de ambos miembros por (entre) la misma constante,
excepto por (entre) cero.
Una ecuación lineal en es de primer grado y tiene la forma
donde
0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolverla le
aplicamos ciertas operaciones matemáticas hasta obtener una ecuación
equivalente en la que la incógnita queda aislada en un lado de la ecuación.
Una ecuación cuadrática en es de segundo grado y tiene la
forma , donde . Tiene dos raíces reales y diferentes,
exactamente una raíz real o no tiene raíces reales. Una ecuación de este tipo
puede ser resuelta ya sea factorizando o por medio de la fórmula cuadrática
.
Cuando se resuelve una ecuación fraccionaria o radical, con frecuencia se
aplican operaciones que no garantizan que la ecuación resultante sea
equivalente a la original. Estas operaciones incluyen la multiplicación de ambos
miembros por una expresión que contenga a la variable, y elevar ambos
miembros a la misma potencia; todas las soluciones obtenidas al final de dichos
procedimientos deben verificarse en la ecuación dada. De esta manera se
pueden encontrar las llamadas soluciones extrañas.
Un problema expresado en palabras se debe plantear transformando los
enunciados en una ecuación. Esto es modelación matemática. Es importante que
primero lea el problema más de una vez de modo que entienda con claridad qué
se le pide encontrar. Después debe seleccionar una letra para representar la
cantidad desconocida que quiere determinar. Utilice las relaciones y hechos
dados en el problema y forme una ecuación que implique a dicha letra. Por último

resuelva la ecuación y mire si su solución responde a lo preguntado. Algunas
veces la solución de la ecuación no es la respuesta al problema, pero puede ser
útil para obtenerla. Algunas relaciones básicas que son utilizadas en problemas
de administración son:
Costo total = costo variable + costo fijo
Ingreso total = (precio por unidad)(número de unidades vendidas)
Utilidad = ingreso total – costo total
GLOSARIO
Ecuación: expresión algebraica que contiene dos miembros uno a cada lado de
un signo igual.
Variable: letra del alfabeto, usualmente x o y que representa cualquier valor o
uno específico, dependiendo si hace parte de la solución de una ecuación.
Raíz de una ecuación: o solución, es el valor (o valores ) que la variable puede
tomar para que el miembro izquierdo de la ecuación sea igual al derecho.
Conjunto solución: es la expresión en simbología de conjunto de la solución o
soluciones de una ecuación.
Ecuación equivalente: es aquella que con base en operaciones algebraicas o
entre reales, produce una expresión que tiene las mismas soluciones que la
ecuación original.
Solución extraña: es aquella que, siendo solución de una ecuación, al probarla
es decir al reemplazarla en la ecuación no genera una proposición verdadera.
1. Se planea invertir un total de $2’400.000. Parte se pondrá en un certificado de
ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversiones
que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto se debe invertir en cada uno para
obtener una ganancia de 10% sobre el dinero, después de un año?
Rta. 1’600.000 , $800.000
2. Una pareja tiene US$ 40.000. Si invierte US$ 16.000 al 12% y US$ 14.000 al
8% ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de US$ 4.000
proveniente de sus inversiones? Rta. 9,6%
3. El señor Monson tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de
US$ 2.780. Una inversión de US$ 7.000 está a una tasa de interés anual del 8%.
Otra inversión de US$ 10.000 está a una tasa anual de 9%. ¿Cuál es la tasa de
interés anual que recibe sobre la tercera inversión de US$ 12.000? Rta. 11%
4. La señora Sanz invirtió parte de US$ 10.000 en un certificado de ahorros al 7%
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO

de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un
total de US$ 900 de interés por el año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? Rta.
US$ 4.000
5. Los Wilson tienen invertidos US$ 30.000 al 12% y otra suma invertida al 8,5%.
Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentaje
de 10% sobre el total, ¿cuánto han invertido al 8,5%? Rta. US$ 40.000
6. Kolman tiene 4 monedas más de 10 centavos (dimes) que de 5 centavos
(nickels). Si el valor total de esas monedas es de US$ 2,35, encuentre cuántas
monedas de cada denominación tiene. Rta. 13 nickels y 17 dimes.
7. Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular de
modo que el área cercada sea de 800 pies2
y el largo del terreno sea el doble del
ancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? Rta. 120 pies
8. La compañía Geometric Products fabrica un producto con un costo variable de
$2,20 por unidad. Si los costos fijos son de $95.000 y cada unidad se vende a $3,
¿cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad
de 50.000? Rta. 181.250
9. Una persona desea invertir US$ 20.000 en dos empresas, de modo que el
ingreso total por año sea de US$ 1.440. Una empresa paga al 6% anual, la otra
tiene mayor riesgo y paga a un 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una?
Rta. US$ 4.000 y US$ 16.000
10. El costo de un producto al menudeo es de $ 3,40. Si desea obtener una
ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse el
producto? Rta. $ 4,25
11. Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el
precio sea de (80-q) /4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas
a fin de que el ingreso por ventas sea de 400 dólares? Rta. 40 unidades
12. El ingreso mensual R de cierta compañía está dado por R = 800 p – 7 p2
,
donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio el ingreso
será de US$ 10.000 si el precio debe ser mayor de US$ 50? Rta. US$ 100.
13. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un
fabricante suministra 2p – 8 unidades al mercado y que los consumidores
demandan 300 – 2p unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la
demanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Determine ese valor de p.
Rta. 77
14. Una compañía fraccionadora compra una parcela en $7.200. Después de
vender todo excepto 20 acres con una ganancia de $30 por acre sobre su costo
original; el costo total de la parcela se recuperó. ¿Cuántos acres fueron
vendidos? Rta. 60
15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad
de A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son

respectivamente $1.500 y $1.000 y se hacen 25 unidades más de A que de B.
¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican? Rta. 150 de A y 125 de B o
125 de A y 100 de B.
16. Una compañía fabrica un dulce en forma de arandela. A causa del incremento
en los costos, la compañía cortará el volumen del dulce en un 20%. Para hacerlo
conservarán el mismo grosor y radio exterior, pero harán mayor el radio interno.
El grosor y radio interno actuales son de 2 mm. y el radio exterior de 7 mm.
Determine el radio interno del dulce con el nuevo estilo. (Sugerencia: El volumen
V de un disco sólido es de
π r2
h, donde r es el radio y h el grosor). Rta. 13±
17. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas
herramienta donde se fabrican las partes de los muebles y una división de
ensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el producto
terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división y
que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen sólo dos artículos:
sillas y mesas. Una silla requiere
17
384 horas de maquinado y
17
480 horas de
ensamble y terminado. Una mesa requiere
17
240 horas de maquinado y
17
640 horas
de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de
estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus
empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica?
18. La alacena de ingredientes mágicos de una bruja contiene 10 onzas de
tréboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La
alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene.
Una porción de amor requiere
13
1
3 onzas de tréboles y
13
2
2 onzas de mandrágora.
Una receta de una conocida cura para el resfriado común requiere
13
5
5 onzas de
tréboles y
13
10
10 onzas de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del
remedio para el resfriado debe hacer la bruja para usar toda la reserva de su
alacena?
19. Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento.
Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% del
requerimiento diario de proteína y 15 % del de carbohidratos. Una unidad
estándar del B proporciona 12% del requerimiento diario de proteína y 8 % del de
carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% de los
requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades
de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día?
20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representa
el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo,
encuentre el punto de equilibrio para:
a) Oferta: 2
100
1
+= qp ; Demanda: 12
100
7
+
−
= qp

b) Oferta: 025023 =+− pq ; Demanda: 05,57365 =−+ pq
c) Oferta: 2
)10( += qp ; Demanda: 2
16388 qqp −−=
d) Oferta: 10+= qp ; Demanda: qp −= 20
21. Las ecuaciones de Ingreso total en dólares y costo total en dólares para un
fabricante son
10
1000
100
+
−=
q
y ; 40+= qy , respectivamente. En ellas q
representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades
vendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama.
BIBLIOGRAFIA
Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo. Vol. 1 y 2 .
Ed. Mc. Graw- Hill. Bogotá, 1.996.
Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de una
variable. Editorial Limusa. Bogotá, 1.995.
Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas para
Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida.
Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002
WEB- GRAFIA
www. Matematicastyt.cl/calculo-diferencial/
es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/
www.emagister.com/calculo-diferencial
matematicas.uniandesx.edu.co/

CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS
Objetivos Generales:
1. Realizar la gráfica de una función a partir de sus elementos para describirla
y explicar su comportamiento
2. Analizar las propiedades numéricas, geométricas y analíticas de la funciones
3. Analizar y explicar distintas representaciones de una función
4 .Identificar y analizar diferentes tipos de funciones como: lineal, cuadrática,
racional y polinómica.
5. Resolver situaciones a partir de los diferentes tipos de funciones estudiados.
6. Solucionar sistemas de ecuaciones (funciones) y aplicarlos a problemas de la
vida cotidiana
Objetivos específicos:
Utilizar distintas herramientas matemáticas (sistemas numéricos,
geometría, aproximación) para trazar la gráfica de una función o para
hallar elementos relevantes de la misma.
Expresar verbal o simbólicamente características de funciones y de
expresiones matemáticas.
Comprender y resolver problemas referentes a funciones
Subtemas:
2.1 Definición
2.3 Funciones especiales
Palabras Clave:
Operaciones con reales
Ecuación
Polinomio
Propiedades de exponentes
Propiedades de radicales

Muchas relaciones usuales involucran a dos variables de modo tal que el valor de
una ellas depende del valor de la otra. Así, las ventas de un producto dependen
de su precio. La distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad.
Consideremos la relación entre el área de un círculo y su radio. Puede ser
expresada por la ecuación , donde el valor de depende del
elegido. Hablamos de como variable dependiente y de como variable
independiente.
2.1 Definición de función
Una relación es un proceso que indica una correspondencia entre un primer
conjunto de elementos denominado dominio y un segundo conjunto denominado
rango, tal que a cada elemento del primero le corresponde uno o más elementos
del segundo.
Una relación se puede expresar como una regla que puede estar dada por una
ecuación o un sistema de ecuaciones.
Dominio y rango
En una relación, al conjunto de todos los valores posibles del primer
componente ( ), se le llama dominio y al conjunto de todos los valores del
segundo componente ( ), que resulta del uso de los valores en el dominio, se
le llama rango.
Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le
corresponde uno y sólo un elemento del rango. Toda función es una relación
pero existen relaciones que no son funciones.
En el conjunto de pares ordenados: {(1 , 3), (2 , 6), (5 , 9), (-2 , - 4)}
El dominio corresponde a los primeros componentes {1 , 2 , 5 , -2}
El rango corresponde a los segundos componentes {3 , 6 , 9 , -4}
Ejemplo 1. Supongamos que la relación entre y , en la que representa las
unidades de servicio producidas y representa el costo total de producción, con
unos costos fijos de $ 2, está dada por la siguiente ecuación:
Si damos a un valor de 1, entonces = 3(1) + 2 = 5
• Recuerda que:
el costo de
producir un bien
o servicio
depende de los
costos fijos
(servicios,
gastos de
personal,
arrendamientos
, etc.), y de los
costos variables
(que dependen
exclusivamente
del nivel de
producción o
unidades
producidas,
como materia
primas).
Además, los
costos totales
son iguales a
los fijos más los
variables.

Si damos a un valor de 4, entonces = 3(4) + 2 = 14
Si damos a un valor de -3, entonces = 3(-3) + 2= -7.
Sin embargo ¿tiene sentido el valor -3 dentro del ejemplo?
Así, algunos pares ordenados que definen la relación entre y son: (1 , 5),
(4, 14) y (-3, -7). Como se puede observar, los pares ordenados son de la forma
En la función , a se le denomina variable independiente, ya que no
depende de ninguna otra, y, a la variable dependiente porque su valor
depende del valor elegido para .
Para realizar la gráfica de una función, podemos elaborar una tabla en donde se
muestren algunos valores de las respectivas variables. Asignamos valores del
dominio a la variable independiente y encontramos el correspondiente valor para
la variable dependiente. A continuación ubicamos en el plano cartesiano las
parejas de la forma igual que con las ecuaciones ya vistas, y según el
dominio de la función, dichos puntos se podrán unir mediante un trazo continuo.
x 1 4 - 3
y 5 14 -7
Ejemplo 2. En la ecuación , el único valor que no puede asignarle a
es 2 porque en ese caso el denominador sería igual a cero y recuerde que la
división entre cero no está definida. Teniendo en cuenta esto, el dominio de la
función será el conjunto de todos los números reales excepto el 2.

Dominio = { : R ; ≠ 2} o R
Ahora bien como nunca es igual a cero porque para que una fracción sea igual
a cero es necesario que el numerador sea igual a cero y en este caso el
numerador siempre es 1, el rango son todos los números reales excepto el 0.
Rango = { : R ; ≠ 0}
La gráfica de esta función corresponde a:
Gráficamente se puede decir que una relación es una función si una recta vertical
trazada en el sistema de coordenadas no interseca a la gráfica en más de un
punto.
Como la recta azul, en nuestra gráfica, corta a la curva en un solo punto, decimos
que la relación es función.
Ejemplo 3. En la relación , debido a que sólo es posible extraer la
raíz cuadrada de números reales no negativos, tenemos que - 9 debe ser
mayor o igual a cero así que:
- 9 ≥ 0, transponiendo el 9 tenemos:
x ≥ 9
Por lo tanto,
Dominio = { : ≥ 9}
Esta ecuación podría ser escrita como . Elevando al cuadrado ambos
lados y según lo visto anteriormente, su gráfica es una parábola abierta hacia la
derecha, por lo cual a cada valor de le corresponde más de un valor en ,
razón por la que no es una función.

Pero atendiendo a que una raíz cuadrada tiene doble signo, para que pueda ser
tratada como función, solo tomaremos uno de los dos signos, en este caso el
positivo, es decir la raíz principal.
Rango = { : ≥ 0}
Usualmente una función se define mediante una letra o grupo de letras como f, g,
h, F, G, H, sen, cos, ln,... entre otros. Si es la variable independiente y es la
variable dependiente, entonces el número que pertenece a se puede designar
como ƒ( ), g( ), h( ), f( ), G( ), dependiendo de cómo se identifique la
función.
La notación ƒ(x) se lee "ƒ de x". En algunos casos se utiliza la notación f: A → B
que significa que A es el dominio de la función y B es el conjunto en donde están
contenidos los elementos del rango.
Ejemplo 4. Sea la función: = 3 + 5 se puede escribir como ƒ( ) = 3 + 5.
Esta notación es muy útil cuando deseamos conocer el valor de una función en
un punto específico, así si se desea conocer el valor de cuando = -2,
tenemos que:
ƒ(-2) = 3 (-2) + 5
= - 6 + 5
= - 1
El valor de (-2) es -1. Así obtenemos el par ordenado (-2, -1).

Existen funciones en donde se utilizan variables diferentes de y . Como por
ejemplo , que sería una función en .
Ejemplo 5. Si , calcular f (-4) ; f (-5/2)
)
+ 7 ) + 7
35,75
Ejemplo 6. Si , calcular (3 + t ).

Ejemplo 7. Si : R→ R, tal que =ƒ( ) = 5, obtenemos una recta, ya que es
una ecuación lineal con pendiente cero.
Ejemplo 8. Para = , haremos la tabla de datos y la gráfica.
x -2 1 0 -3 -4
y -1 -3/2 3 3/2
Podemos utilizar el símbolo en lugar de las palabras “No existe”.

Al valor de en donde el denominador se vuelve cero, es decir aquel que
sacamos del dominio, se le llama Asíntota vertical y es aquella recta imaginaria,
paralela al eje , en donde la gráfica no existe y que divide la curva en dos. En
este caso, la asíntota es = -2. Como se puede observar, las dos ramas de la
hipérbola se acercan a esta recta pero nunca la cruzan.
2.3 Funciones especiales.
Función lineal. Es aquella cuya gráfica es una recta, y con ecuación de la forma
y=ƒ(x) = m x + b, en donde m representa el grado de inclinación o pendiente de la
recta y b representa el punto de corte con el eje vertical, conceptos ya estudiados
en las ecuaciones lineales en dos variables.
Ejemplo 9. Si
ƒ(x) = = 3x - 4;
g(x) = = -2x - 4;
h(x) = = 2/3 x - 4;
p(x) = = -3/5 x – 4
Se espera que todas corten al eje en el valor - 4.
• Señale sobre la figura la ecuación que corresponde a cada recta.
• Recuerda que:
para hallar la
pendiente de una
recta teniendo
dos puntos
utilizamos la
fórmula
,
para los puntos
y
(

• Escriba la ecuación de tres rectas que corten al eje en el valor 3 y haga
las gráficas en un mismo plano, para observar que el punto de
intersección es efectivamente (0,3).
Ejemplo 10. Las rectas ƒ(x) = y = 3x - 3; g(x) = y = 3x - 1; h(x) = y =3 x + 2;
p(x) = y =3 x + 4 ; son todas paralelas y tienen la pendiente positiva 3.
Funciones Lineales de Costo.
A las empresas industriales y comerciales del Estado les interesan los costos
porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse al
pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, calefacción, servicios

públicos y otros gastos. Según se señaló con anterioridad, los contadores,
economistas y administradores públicos definen el costo total en términos de dos
componentes: costo total variable y costo total fijo. Ambos componentes deben
sumarse para determinar el costo total.
Ejemplo 11. Si para un puesto de salud local se pretende comprar una
ambulancia, y se ha estimado que el costo del carro totalmente equipado es de
US$18.000 y el costo promedio de operación es de US$0.40 dólares. La función
de costo de compra y operación del carro de ambulancia es un ejemplo de
función lineal de costo. La función de costo: p = C(q) = 0.40q + 18.000 tiene
costos variables que cambian con el número de millas recorridas (q) y costos fijos
de US$18.000.
Los costos totales variables cambian con el nivel de producción y se calculan
como el producto del costo variable por unidad y nivel de producción. En un
ambiente de producción, el costo variable por unidad suele estar constituido por
los costos de materias primas y mano de obra. En el ejemplo de la ambulancia, el
costo variable por milla se compone de los costos de operación por milla, como
gasolina, aceite, gastos de mantenimiento y depreciación.
Ejemplo 12. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la
función que expresa el costo total anual C(q) en función de la cantidad de
unidades producidas q. En contabilidad indican que los gastos fijos cada año son
de 50.000 dólares. También han estimado que las materias primas por cada
unidad producida ascienden a $5,50 y que los gastos de mano de obra son de
$1,50 en el departamento de montaje, $0,75 en el cuarto de acabado y $1,25 en
el departamento de empaque y embarque.
Costo Total Costo total variable Costo total fijo
C(q)= De materias
primas (5,50)
De mano de obra
- Dpto. de montaje (5,50)
-Sala de acabado (0,75)
Costo total fijo
(50.000)

-Dpto. de embarque (1,25)
C(q) = 5,50 q + (1,50 q + 0,75 q + 1,25 q) + 50.000
C(q) = 9 q + 50.000
En la ecuación anterior, el 9 representa el costo variable combinado (US$9.00)
por unidad producida.
Si graficamos en un plano cartesiano, tomando a q como y a C(q) como
tenemos:
Depreciación Lineal.
Cuando las entidades compran equipo, vehículos, edificios y otros tipos de
"bienes de capital", en contabilidad se le asigna el costo del bien a lo largo del
periodo de uso. En el caso de un camión que cueste US$10.000 dólares y que
tenga una vida útil de 5 años, se le asignará US$2.000 anuales por el costo de
poseer el camión. El costo asignado a un periodo determinado de tiempo se
llama depreciación. Por ejemplo, el valor del camión aparecerá en los estados
contables como US$10.000 en el momento de su compra,
US$10.000 - US$2.000 = US$8.000,
un año después de su adquisición y así sucesivamente.
La depreciación puede considerarse así mismo como el monto que ha disminuido
el valor en libros de un activo.

Ejemplo 13. Uno de los métodos más sencillos para calcular la depreciación es el
de la línea recta, en el cual es constante la tasa de depreciación y corresponde a
la pendiente de dicha recta. Si V es el valor en libros de un activo y t indica el
tiempo medido a partir de la fecha de compra para el camión antes mencionado,
V = f(t) = costo de compra – depreciación
V = 10.000 - 2.000 t .
Depreciación lineal con valor de salvamento.
Muchos activos tienen un valor de reventa o de salvamento, aún después de
haber cumplido con el propósito para el cual fueron adquiridos inicialmente. En
tales casos el costo asignado durante la vida del activo es la diferencia entre el
costo de compra y el de reventa. El costo asignado en cada periodo es el que se
obtiene al dividirlo entre la vida útil.
Ejemplo 14. Suponga que el camión del caso anterior tiene una vida útil de 5
años y que transcurrido ese lapso, puede venderse en US$1.000. El costo total
que puede asignarse a lo largo de la vida del bien es de US$10.000 - US$1.000 =
US$9.000. Si el camión debe depreciarse con este método, la depreciación anual
será de

La función que expresa el valor en libros V en función del tiempo es
V =ƒ(t) = 10.000-1.800 t
Oferta y Demanda Lineal.
En la práctica, algunas ecuaciones de oferta y demanda son aproximadamente
lineales en un intervalo particular, otras son no lineales. Aún en estos últimos
casos, las ecuaciones lineales proporcionan representaciones razonablemente
precisas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado.
Para el análisis económico sólo es pertinente la parte de la gráfica que aparece
en el primer cuadrante, porque la oferta, precio y cantidad son, en general cero o
positivas.
Por tal razón, se ha dejado sólo punteada la curva en los demás cuadrantes.
Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado,
sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio
satisfactorio. Un precio negativo, implica que se paga a los compradores para
que se lleven los bienes del mercado. Una capacidad de demanda negativa,
implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercado
hasta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio.
La curva de demanda lineal, en el caso más común, tiene pendiente negativa, es
decir, a medida que el precio aumenta, la cantidad demandada decrece y
viceversa.
En algunos casos la pendiente de una curva de demanda puede ser cero ( precio
constante sin considerar la demanda). En otros casos la pendiente puede no
estar definida (demanda constante sin importar el precio).

En el caso más común, la pendiente de la curva de oferta es positiva, es decir,
que al aumentar el precio aumenta el abastecimiento y decrece al disminuir el
precio. En ciertos casos la pendiente de una curva de oferta puede ser cero lo
que indica un precio constante e independiente de la oferta. En otros casos la
pendiente de la curva de oferta puede no estar definida (oferta constante e
independiente del precio).
Ejemplo 15. Demanda con pendiente negativa. En una empresa de telefonía
TPBC (Telefonía Pública Básica Conmutada) se determinó que cuando el precio
del impulso (impulso: tres minutos o fracción de comunicación efectiva continua)
era de $80, el consumo promedio diario por suscriptor era de 10 impulsos y se
consumían 20 cuando el precio era de $60. ¿Cuál es la ecuación de demanda?
p − 80 = −2q + 20
o, en términos de y , siendo = q y = p :
Ejemplo 16. Demanda con pendiente cero. Por ser la leche un artículo de primera
necesidad y cuyo consumo produce un impacto en la calidad de vida de los
grupos de población con menores recursos, el alcalde ordena a los productores

que el precio de la leche durante un año será de $1.200 el litro, sin importar la
cantidad demandada. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?
Ejemplo 17. Demanda con pendiente no definida. Por considerarse necesarios
para la seguridad nacional, se compran anualmente 50 grandes generadores, sin
importar el precio. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?
q = 50
Ejemplo 18. Oferta dependiente del precio. Cuando el precio es US$ 50, hay
disponibles 50 cámaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es
US$ 75 hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?
=
p = 1200

Ejemplo 19. Oferta lineal constante. De acuerdo con el contrato entre la
compañía A y la de teléfonos, la compañía A pagará US$ 500 al mes por las
llamadas de larga distancia sin límite de tiempo. ¿Cuál es la ecuación de la
oferta?
y = 500
Equilibrio del Mercado.
Se dice que existe equilibrio en el mercado en el punto (precio) en el que la
cantidad de un artículo demandado es igual a la cantidad en oferta. Así pues, si
se usan las mismas unidades para precio p y la cantidad, en ambas ecuaciones
(de oferta y demanda), la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio
corresponden a las coordenadas del punto de intersección de tales curvas.
Algebraicamente la cantidad y el precio se hallan resolviendo simultáneamente
las ecuaciones de oferta y demanda.
Para que los puntos de equilibrio tengan sentido deben ser positivos o cero, es
decir que las curvas de oferta y demanda se han de intersecar en el primer

cuadrante. En otros casos el punto de equilibrio no tiene sentido para fines
económicos.
Ejemplo 20. Equilibrio del mercado – modelo lineal. Hallar el punto de equilibrio
para las siguientes ecuaciones de oferta y demanda:
Oferta ; Demanda .
Resolviendo las ecuaciones simultáneamente por igualación:

Donde, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que le punto
de equilibrio está en:
S =
Función cuadrática. Es aquella cuya gráfica es una parábola, y con ecuación de
la forma y=ƒ(x) = a x2
+ b x + c, en donde a, b, c son constantes reales,
conceptos ya estudiados en las ecuaciones del mismo nombre.
Función Cuadrática de Ingreso.
La función del ingreso en economía nos muestra el comportamiento de las
cantidades recibidas por vender en el mercado un producto, las cuales dependen
de la cantidad demandada en el mercado. Esta función es fácilmente modelable
con una función cuadrática. A menudo la demanda del producto de una empresa
puede describirse en función del precio que se le fija.
Ejemplo 21. Ingreso por ventas. Supóngase que la empresa ha descubierto que
la cantidad de demanda de uno de sus productos depende del precio. La función

que describe esta relación es:
f ( p) = q = 1.500 − 50 p
donde q es la cantidad demandada en miles de unidades y p indica el precio en
dólares.
El ingreso total logrado con la venta de q unidades se formula como el
producto de p y q, es decir, = p q. Puesto que q se expresa en función de p, el
ingreso total se formulará en función del precio, así:
Y(q) = : estamos diciendo que es una función que depende de q. Así,
reemplazando q = 1.500 − 50.p, tenemos:
= p.q = p (1.500 − 50.p)
q = 1.500 p − 50 p2
Ésta ecuación corresponde a una función cuadrática. La función del ingreso total
está representada en la gráfica anterior. Observe que el dominio restringido de la
función consta de los valores no negativos de p.
• ¿tiene esto sentido?
El ingreso total esperado al cobrar determinado precio se calculará sustituyendo
el valor de p en la función del ingreso total. Por ejemplo, el ingreso total
correspondiente al precio de $10 es: Y(10) = 1.500(10) − 50(10)2
= 15.000 −
5.000 = 10.000
• Dadas las intersecciones con el eje en la gráfica, ¿qué valor de p
produce el valor máximo de ? ¿Cuál es el máximo ingreso total
esperado? ¿Qué cantidad se demanda a ese precio? ¿Qué sucederá si

p > 30?
Curvas de Oferta y Demanda.
Las porciones de gráfica que quedan en el primer cuadrante, de distintos tipos de
parábolas, frecuentemente son adecuadas para representar funciones de oferta y
demanda. La porción del primer cuadrante de una hipérbola equilátera con
frecuencia se usa para representar una función de demanda. Estas ecuaciones
se obtienen a partir de graficar observaciones recolectadas por medio de
encuestas o de resultados de operaciones efectivas. Si se verifica que el
comportamiento de la función se asemeja a una parábola, entonces se crea un
sistema de ecuaciones simultáneas a partir del cual se genera la respectiva
ecuación. Este procedimiento se estudiará en el próximo curso de matemática.
Por ahora concentrémonos en las ecuaciones de oferta y demanda ya obtenidas.
Ejemplo 22. Función cuadrática de oferta. La función que determina la oferta de
un producto es: q = 0,5 p2
− 200 y pretendemos determinar la cantidad ofrecida
cuando el precio del mercado para el artículo es de $50.
q = 0,5p2
− 200= 0,5(2.500) − 200=1050 unidades en miles.
• ¿Cuál es el dominio restringido de la función de oferta? En la gráfica,
interprete el significado de las intersecciones con los ejes, recuerde que
los valores para la variable p están en el eje y los de la variable q
aparecen en el eje .
Ejemplo 23. Función cuadrática de la demanda. En relación con el ejemplo
anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de
determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores
preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y
con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios
precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la
conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma

óptima por una función cuadrática.
También encontraron que la representación cuadrática, sólo era válida entre los
precios $5 y $45. Al sustituir los puntos graficados en la ecuación general de la
función y resolver simultáneamente se obtiene la función de demanda:
q = p2
− 100 p + 2500 donde p es el precio de venta en dólares y q denota la
demanda expresada en miles de unidades.
La cantidad demandada a cualquier precio se calculará al sustituir el precio en la
función de demanda. Por ejemplo, a un precio de $30, la cantidad demandada
será:
q (30) = (30)2
− 100(30) + 2500 = 900 − 3.000 + 2.500 = 400 unidades (en miles).
Equilibrio de Mercado.
El precio y la cantidad de equilibrio en el mercado se pueden hallar
geométricamente como las coordenadas del punto de intersección de las curvas
de oferta y demanda en cualquier forma adecuada, por lo que se puede
determinar una solución aproximada geométricamente.
Por otra parte, en unos casos sólo se requiere la solución de ecuaciones de
segundo grado. Esto sucede por ejemplo, si una de las ecuaciones es lineal y la
otra es parabólica o hiperbólica, o bien si ambas ecuaciones son cuadráticas
respecto a la misma variable.
Ejemplo 24. Equilibrio entre oferta y demanda. El equilibrio del mercado puede
estimarse para las funciones de oferta y demanda de los ejemplos anteriores, con
sólo determinar el precio de mercado que iguale la cantidad ofrecida y la cantidad
demandada. Esta condición se expresa con la ecuación:
0.5 2
− 200 = 2
− 100 + 2500

ecuación que puede arreglarse de modo que:
0.5 2
− 100 + 2700 = 0
Ahora emplearemos la fórmula cuadrática para determinar las raíces de la
ecuación:
Los dos valores que satisfacen la ecuación cuadrática obtenida son 1= $32.18 y
2 = $167.82. La segunda raíz se encuentra fuera del dominio relevante (dominio
restringido) de la función de demanda y por lo tanto, carece de significado.
Al sustituir = 32.18 en las funciones de oferta y demanda, se produce la
cantidad de equilibrio del mercado.
q = 0.5 2
− 200 = 0.5 (32.18)2
− 200 = 317.77
En conclusión, se alcanza el equilibrio del mercado cuando el precio del mercado
es igual a $32.18 y la cantidad ofrecida y demandada es aprox. de 317.77
unidades.
Revisemos esto en la gráfica.
Ejemplo 25. Demanda lineal y oferta no lineal. Hallar el precio y la cantidad de
equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes, donde p
representa el precio y q la cantidad.

2q + p − 10 = 0 ; p2
− 8q − 4 = 0
Resolviendo el sistema por sustitución,
q = (− p + 10) / 2, de la primera ecuación y 8q = p2
− 4 de la segunda.
Así, 8 (− p + 10) / 2 = p2
– 4,
-4 p + 40 = p 2
– 4,
p 2
+ 4 p − 44 = 0
Al resolver esta ecuación tenemos dos valores para p: p1 = 4.9 y p2 = 8.9, y
reemplazar en la ecuación adecuada, obtenemos que las soluciones
aproximadas son (2.5, 4.9) y (9.5,-8.9) y el punto de equilibrio es (2.5, 4.9),
aproximadamente, teniendo en cuenta que el otro punto de la solución carece de
sentido en términos económicos.
Ejemplo 26. Demanda hiperbólica y oferta lineal. Hallar la cantidad y el precio de
equilibrio del mercado para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes (en
donde q representa la cantidad y p el precio)
(q − 12)(p + 6)= 169
q − p + 6 = 0
Sustituyendo, p = q + 6 , en la primera ecuación
(q − 12)((q + 6)+ 6)= 169
entonces, (q − 12)(q + 12)= 169 ,de donde, q = ±17.69 aprox.

Entonces deducimos que p = 23.69 en un caso y p = -11.69 en el otro.
La solución es entonces (17.69, 23.69).
Ejemplo 27. Curva de transformación parabólica. Una empresa de economía
mixta de acerías, produce cantidades y de dos clases diferentes de acero
utilizando el mismo proceso de producción. La curva de transformación de
producto para la materia prima utilizada está dada por .
(a)¿Cuáles son las mayores cantidades de y que se pueden producir? (b)
¿Qué cantidades y se deben producir para que la producción de sea 4
veces la de ?
(a) es tan grande como se pueda si = 0, por lo que la mayor cantidad de
es 20. Ahora, es tan grande como se pueda si = 0, por lo que la mayor
cantidad es
luego = 2.9 aprox.; = - 6.9 aprox. son los valores que solucionan la
ecuación. Concluimos que la mayor cantidad de es 2.9.
(b) Sustituyendo en

Como no puede haber cantidades de producto negativo, entonces tenemos que
el valor válido para es 2. Luego las cantidades producidas son = 8, = 2.
Resumen:
Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada número de
entrada x exactamente un número de salida f (x). Por lo común, una función está
especificada por una ecuación que indica lo que debe hacerse a una entrada x
para obtener f(x). Para conseguir un valor particular de la función, f(a),
reemplazamos cada en la ecuación por a.
El dominio de una función lo constituyen todos los números de entrada, y el rango
todos los números de salida. A menos que se diga lo contrario, el dominio de f
consiste en todos los números reales x para los cuales f (x) también es un real.
Algunos tipos especiales de funciones son: funciones constantes, polinómicas y
racionales. Una función que está definida por más de una expresión es llamada
función definida por partes.
En economía las funciones de oferta y demanda establecen una correspondencia
entre el precio p de un producto y el número de unidades q del producto que los
productores (o consumidores) ofrecerán (o comprarán a este precio).
Dos funciones f y g pueden ser combinadas para formar una suma, resta,
producto, cociente o composición.

Un sistema de coordenadas rectangulares nos permite representar
geométricamente ecuaciones con dos variables, así como funciones. La gráfica
en el plano cartesiano consiste en todos los puntos (x,y) que corresponden a las
soluciones de la ecuación.
Trazamos un número suficiente de puntos y los unimos (cuando sea apropiado)
de manera que la forma básica de la gráfica sea visible. Los puntos en donde la
gráfica interseca a los ejes, se encuentran haciendo x = 0 para hallar el corte con
el eje , y , = 0 para hallar el corte con el eje .
La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) y consiste en todos
los puntos donde x está en el dominio de f. Los ceros de f son los valores de x
para los cuales f (x) = 0. A partir de la gráfica de una función, es fácil determinar
el dominio y el rango.
El hecho de que una gráfica represente una función puede ser determinado
usando la prueba de la recta vertical, que consiste en trazar una recta paralela al
eje y y esta no puede cortar la gráfica de una función en más de un punto.
La orientación de una recta no vertical está caracterizada por su pendiente:
Donde (x,y) y (x1 , y1) son dos puntos diferentes sobre la recta. La pendiente de
una vertical no está definida y la de una horizontal es cero. Rectas que ascienden
de izquierda a derecha tienen pendiente positiva y las que descienden pendiente
negativa. Dos recta son paralelas si tienen la misma pendiente o son verticales.
Dios rectas son perpendiculares si se cumple que la multiplicación de sus
pendientes es igual a -1. Una recta horizontal y una vertical son perpendiculares
entre sí (forman ángulos de 90º). La función lineal y = mx + b , tiene como gráfica
una líneas recta. La cuadrática o de la forma ax2
+bx+c = y es una parábola que
tiene un punto llamado vértice de donde se desprenden dos ramas simétricas.
Depende del valor del coeficiente de la variable que esté al cuadrado, as
parábolas abren hacia arriba o hacia abajo (para que sean funciones).
Un sistema de ecuaciones lineales o no lineales puede ser resuelto por
eliminación, sustitución o igualación. La solución de un sistema formado por
ecuaciones de oferta y demanda para un producto, da como resultado el número
de equilibrio que indica el precio al que los clientes comprarán la misma cantidad
de un producto que los productores desean vender a ese precio. También el
punto de equilibrio es aquel en donde la ganancia total es igual al costo total.
GLOSARIO
Oferta: Es la cantidad ofrecida de un bien. Es la cantidad que los productores
están dispuestos a vender en un periodo dado a un precio en particular.

Demanda: Cantidad de productos que existen en el mercado y que los
consumidores están dispuestos a comprar en un momento dado.
Costo: Es todo egreso en que incurre el productor para elaborar y colocar en el
mercado su producto.
Ingreso: Es lo que recibe el productor como compensación por entregar en el
mercado un producto.
Economía: Es la ciencia que se dedica a la producción, distribución y consumo
para el bienestar de la sociedad humana. Toda economía debe responder: Qué
es lo que va a producir, como producir, dónde, cuánto, para quién y cuánto
producir. Existen dos variables que marcan la pauta de la economía: La
disponibilidad de materias primas y el mercado.
1. Ecuación de la demanda. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades
de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el
precio es de $18 por cada una. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo
que es lineal, y el precio por unidad cuando 30 unidades son requeridas.
2. Ecuación de la Oferta. Suponga que un fabricante de zapatos coloca en el
mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es de $35 (dólares por par) y 35
pares cuando cuestan $30. Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que el
precio p y la cantidad q están relacionados linealmente.
3. Ecuación de costo. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un
producto es de $40 y el de 20 unidades es $70. Si el costo c está relacionado
linealmente con el producto q, determine una ecuación lineal que relacione c con
q. Encuentre el costo de producir 35 unidades.
4. Depreciación. Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye
cada año en un 10% de su valor original. Si el valor original es $8.000, encuentre
una ecuación que exprese el valor v de la maquinaria después de t años de la
compra, donde 0<t<10. Bosqueje la ecuación, seleccione t como el eje horizontal
y v como el vertical. ¿Cuál es la pendiente de la recta resultante? Este método de
considerar el valor del equipo es llamado depreciación lineal.
5. Escala de calificaciones. Por razones de comparación, un profesor quiere
cambiar la escala de calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de
modo que la calificación máxima siga siendo 100 pero la media (promedio) sea
80 en lugar de 56.
(a) Determine una ecuación lineal que haga esto. [Sugerencia: Quiere que 56 se
convierta en 80 y 100 permanezca como 100. Considere que los puntos (56 , 80)
y (100 , 100) y, de manera más general, (x,y), donde x es la calificación anterior y
y la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma punto-pendiente. Exprese y
en términos de x.]
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO

(b) Si 60 en la nueva escala es la calificación más baja para acreditar, ¿Cuál fue
la calificación más baja para acreditar en la escala anterior?
6. Punto de equilibrio. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto
son 3q- 200p+1.800=0, y 3q+100p-180=0, respectivamente, donde p representa
el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por periodo.
(a) Algebraicamente encuentre el precio de equilibrio y dedúzcalo gráficamente.
(b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos
por unidad al proveedor.
7. Punto de equilibrio. Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total
está dado por Y(q)=7q, y el costo total es C(q)= 6q+ 800, donde q representa el
número de unidades producidas y vendidas.
(a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama
de equilibrio.
(b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio si el costo total es
incrementado en 5%.
8. Negocios. Un fabricante vende un producto a $8,35 por unidad, vendiendo todo
lo producido. El costo fijo es de $2.116 y el costo variable es de $7,20 por unidad.
¿A qué nivel de producción existirán utilidades de $4.600? ¿A qué nivel de
producción existirá perdida de$1.150? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto
de equilibrio?
9. Oferta y demanda. El punto de equilibrio del mercado para un producto ocurre
cuando 13.500 unidades son producidas a un precio de $4,50 por unidad. El
productor no proveerá unidades a $1 y el consumidor no demandará unidades a
$20. Encuentre las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales.
10. Costo variable. Un fabricante alcanzará el punto de equilibrio en un volumen
de ventas de $200.000. Los costos fijos son de $40.000 y cada unidad se vende
a $5. Determine el costo variable por unidad.
11. Política de descuento. Un museo de historia natural local cobra por la entrada
de grupos de acuerdo con la siguiente política. A los grupos menores de 50
personas se les cobra una tarifa de U$1,50 por persona, mientras que a los
grupos de 50 personas o más se les cobra una tarifa reducida de U$1 por
persona.
(a) Exprese la suma que ha de cobrar a un grupo por su entrada al museo como
una función del tamaño del grupo.
(b) Represente gráficamente esta función.
(c) ¿Para cuales valores de la variable independiente tiene esta función una
interpretación práctica?
(d) ¿Cuánto dinero ahorrará un grupo de 49 personas en los costos de entrada si

se puede conseguir un miembro adicional?
12. Análisis gráfico. Investigue los valores de la tasa representativa del mercado
del dólar durante un mes, haga el gráfico correspondiente y elabore un análisis
de la tendencia del dólar durante dicho periodo. Para ello una buena fuente es la
revista del Banco de la República, lo mismo que las estadísticas del DANE. Si no
logra acceso a las revistas y boletines estadísticos, puede consultar los diarios o
las páginas web:
www.banrep.gov.co;www.dane.gov.co;
www.bolsadebogota.com.co.
13. Oferta y demanda. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan curvas
de demanda, cuáles representan curvas de oferta, y cuáles no representan
ninguna de ellas?
(a) q - 2 p = 0,
(b) 3 q + 4 y - 10 = 0,
(c) p - 4 = 0,
(d) q - 3 = 0,
(e) 2 q - 3 p + 1= 0,
(ƒ) 2 q + 5 p + 4 = 0,
(g) 3 q + 4 p - 12 = 0,
(h) 5 q - p - 10 = 0,
(i) 2 p + 3 q +2 = 0,
(j) q - 3 p = 0.
14. Oferta lineal. La curva de oferta de un artículo es q =1.1p – 0.1.
(a) Hallar la cantidad demandada para precios de 4, 16, 25.
(b) Hallar el precio si la cantidad demandada es de 9, 7, 2.
(c) ¿Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo?
(d) ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis?
(e) Graficar la curva.
15. Oferta lineal. La ecuación de oferta de un artículo es q = a p-b, en donde a y b
son constantes positivas, p representa el precio y q la cantidad en oferta.
(a) Hallar el precio si la cantidad en oferta es (i) 5a-b, (ii) a+2b.
(b) Hallar la cantidad en oferta si el precio es (i) 3b/a, (ii) 5b/a.
(c) ¿Cuál es el menor precio al que se ofrecería este artículo?
16. Ingreso - Costo lineales. Un manufacturero vende sus artículos a $5 por
unidad.
(a)¿Cuál es el ingreso total por ventas de 5.000 unidades del producto? ¿Cuál es

la ecuación para esta función de ingresos? Graficar la función.
(b) Los costos fijos son constantes con valor de $3.000 sin importar el número de
unidades producidas.
(c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En
esta compañía se estima que los costos variables son de un 40% del ingreso
total. ¿Cuál es el costo total cuando se venden 5.000 unidades del producto?
Graficar superpuesta sobre la de (a).
(d) ¿Cuál es el punto de equilibrio? Indicar dicho punto en la gráfica y resolver
para la correspondiente cantidad vendida. Indicar en la gráfica la cantidad con
que el fabricante cubre sus costos fijos.
17. Equilibrio del mercado. Identificar cuál de las siguientes ecuaciones
representa una curva de oferta y cuál una curva de demanda; determinar el punto
de equilibrio y graficar las curvas (i) q+p=5, (ii) 2q-p=5,5.
18. Costo Lineal. La gerencia de una empresa comercial de producción de
herramientas agrícolas del municipio X (empresa creada con el objetivo principal
de generar empleo), tiene costos fijos (a salida cero) de $300 diarios y costos
totales de $4.300 diarios cuando hay una salida de 100 pares de patines por día.
Suponga que el costo C está linealmente relacionado con la salida.
(a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las
salidas de cero y 100; es decir, la recta que pasa por (0,300) y (100, 4.300).
(b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la salida con el costo. Escriba
la respuesta final en la forma C= m q+b.
(c) Construya la gráfica de la ecuación del costo tomado de la parte B para
0<q<200.
BIBLIOGRAFIA
Swokowski, Earl W. / Cole, Jeffery A. Álgebra y Trigonometría.
International Thomson Editores.1.998.
Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica.
Ed. Harla, S.A. 1.982.
Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica.
Ed. Grupo Editorial Iberoamérica.1.989.
Kleiman, Ariel. Conjuntos: Aplicaciones Matemáticas a la
Administración. Editorial Limusa, México,1994
Fregoso, Arturo. Los elementos del lenguaje de la matemática: Lógica

y Teoría de Conjuntos.
Editorial Trillas, México ,1977
Rubio Segovia. Lógica y teoria de conjuntos.
Editorial Alhambra, Madrid, 1974.
WEB- GRAFIA
matematicasunal.edu.co/
www.universia.net.co/publicaciones-por-tema-2008
www.guiamath.net/ejercicios-resultados
es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/
www1.universia.net/

CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Objetivos Específicos:
1. Analizar las funciones exponenciales y sus aplicaciones en finanzas,
economía y otras áreas.
2. Estudiar las funciones logarítmicas, sus propiedades y aplicaciones
3. Desarrollar técnicas para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales
4. Resolver problemas relacionados con el cálculo de logaritmos.
Subtemas:
3.4 Aplicaciones
Palabras Clave:
Elementos de una potencia
Logaritmo
Propiedades de los exponentes
Propiedades de los logaritmos
Transposición de términos

Introducción:
Algunas bacterias como la Lactobacillus acidophilus, que se encuentran en la
boca y en los intestinos, se reproducen muy rápidamente. En circunstancias
adecuadas, el número de bacterias en ciertos cultivos se duplica en un tiempo tan
corto como una hora (o menos). En esta parte analizaremos algunas funciones
que se pueden usar para modelar este crecimiento tan rápido.
Función no lineal es aquella, cuya representación gráfica en el intervalo
correspondiente al dominio restringido, no es una recta. En este capítulo,
solamente presentaremos más detalladamente las funciones exponencial y
logarítmica. El capítulo no se centrará en el estudio de las características de
estas funciones, sino en las aplicaciones que tienen que ver con los campos
pertenecientes al ámbito de la administración pública como son la administración,
la economía, la política, entre otras.
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma y =ƒ(x) = ax
, con
a>0 y a , donde la base de la potencia "a" es una constante (un número) y el
exponente la variable x. Se usan predominantemente en biología para determinar
la propagación de bacterias; en psicología para estudiar el incremento en el
aprendizaje; en administración para estudiar los incrementos en el personal; en
matemática financiera para el estudio de las capitalizaciones y amortizaciones; en
sociología y demografía para estudiar el crecimiento de la población, entre otros
campos. El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su
rango el conjunto de los reales positivos.
Debemos determinar dos formas generales para este tipo de función, siempre
recordando que como todo número elevado a la cero es igual a uno, las gráficas
de las funciones exponenciales siempre pasarán por el punto (0,1).
Clases:
(a) Cuando la base es mayor que uno ( a >1)
Ejemplo 1. Graficar la función F(x) = 3x
. La gráfica es creciente de izquierda a
derecha, es decir si aumenta el valor de x aumenta también el de y.

x -2 -1 0 1 2
y 1/9 1/3 1 3 9
(b) Cuando la base es mayor que cero y menor que uno ( 0 < a < 1)
Ejemplo 2. Graficar la función G(x) = = La gráfica es decreciente de
izquierda a derecha, es decir si aumenta el valor de x disminuye el de y.
x -2 -1 0 1 2
y 9 3 1 1/3 1/9
La inversa de la función exponencial ƒ(x) = ax
, a > 0, a≠ 1, se denomina función
logarítmica, se simboliza: loga x, se lee “logaritmo en base a de x”. Si a> 0, a≠ 1,
entonces, loga x = y si, y solamente si, a y
= x. Es decir cada expresión
• Recuerda que:
=
.
Además,

logarítmica tiene su correspondiente exponencial. Por lo tanto, todas las gráficas
pasan por el punto (1,0) ya que y el eje es asíntota vertical para la
función, ya que el logaritmo de cero y de valores negativos no existe.
Ejemplo 1. Graficar la función f ( ) = = (logaritmo decimal de ,
porque la base es 10). La gráfica es creciente de izquierda a derecha, es decir si
aumenta el valor de aumenta también el de .
x 1/2 1 2 3 4
y -0,3 0 0,3 0,48 0,6
Los valores su pueden hallar con una
calculadora con la tecla “log” y están
aproximados.
Ejemplo 2. Graficar la función f ( ) = = (logaritmo natural de . La
base es el número de Euler, e, cuya aproximación es de 2.7182).
Los valores se pueden hallar con
una calculadora con la tecla “ln” y
están aproximados.
1/2 1 2 3 4
-0,69 0 0,69 1,1 1,39
Los dos ejemplos anteriores presentan las dos funciones logarítmicas principales,
cuyos valores obtenemos con la calculadora. Pero para realizar una tabla de
datos de un logaritmo en una base diferente a estas dos debemos hacer uso de
la fórmula del cambio de base:
• Recuerda
que: el
logaritmo de
un número
es el
exponente al
que debo
elevar la
base para
obtener la
cantidad
logarítmica.
Ej:
Porque

Por ejemplo, para hallar procedemos así:
Ejemplo 3. Graficar la función f ( ) = . (logaritmo en base 3 de ).
1/3 1/2 1 1,3 2
-1 -0,63 0 0,24 0,63
Ejemplo 4. Graficar la función f ( ) = .
-2 -1 0 0,5 2
0 0,69 0,92 1,39
Como su nombre lo indica, una ecuación logarítmica o exponencial es aquella

que posee expresiones logarítmicas o exponenciales respectivamente. Para
hallar la solución, es decir el valor o valores de la variable, es necesario aplicar
propiedades de logaritmos y/o exponenciales según el caso.
Propiedades
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ejemplo 1. Resolver:
Ejemplo 2. Resolver:
=
- 10 = 0
Así, = -5 ,o, = 2, al reemplazar en la ecuación original por = -5 genera
log (-2), que como lo vimos en la sección anterior no existe.
3.4 Aplicaciones
Interés Compuesto.
Una de las principales aplicaciones de la funciones exponenciales es el interés
compuesto, en el cual el interés generado por una cantidad de dinero invertida
(Capital inicial) es reinvertida de manera que también genere interés. Así el
interés es compuesto porque se suma a la cantidad invertida y entonces hay
"interés sobre interés".

Matematicas1`ESAP

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to Matematicas1`ESAP

Similar to Matematicas1`ESAP (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Matematicas1`ESAP