03 d unidimensional

UNIDAD III:
MEDIDAS DE POSICIÓN

Biometría I
Universidad de San Antonio Abad del Cusco

Semestre 2012 - 2

Lic. Dionicio Cárdenas Cancha

Unidad III: Medidas de posición

CONTENIDO
1. Medidas de tendencia central
Media
Mediana
Moda
2. Medidas de posición no centrales
Cuartiles
Deciles
Percentiles

02/04/2013 Biometría I 2


Empresa INKA S.A.
La dirección está a cargo del Sr. Juan, su hermano y 6
parientes. La fuerza laboral consiste en 5 encargados y 10
operarios. Los negocios van bien, y la fábrica precisa un
operario más.
El Sr. Juan está entrevistando a Félix, candidato al puesto.
Sr. Juan: Aquí pagamos muy bien. El salario medio es de S/.
600.00 semanales. Durante el período de formación sólo
cobrará usted 150, pero pronto le subiremos el sueldo.
Al cabo de unos cuantos días, Feliz quiso ver al jefe.
Félix: Ud. Me ha engañado. He hablado con todos los
operarios y ninguno gana más de S/. 200.00 a la semana.
¿Cómo puede ser de 600 soles el salario medio?


Sr. Juan: Vamos Félix, no se excite. El salario medio es de
600 soles. Se lo voy a demostrar. He aquí la nómina semanal.
Yo gano 4800, mi hermano 2000, mis seis parientes sacan 500
cada uno, los cinco capataces, 400 cada uno, y los diez
operarios, 200 cada uno. El total semanal es de 13800 para 23
personas ¿Me equivoco?
Félix: Bueno, tiene Ud. Razón. El promedio es de 600 soles
semanales. Pero aún así usted me ha engañado.
Sr. Juan: No estoy de acuerdo. Lo que pasa que usted no ha
comprendido nada. Pude haber ido diciéndole los salarios por
orden, el salario medio sería entonces de 400 soles. Pero eso
no es la media sino la mediana.



Félix: ¿Y qué hacen aquí los 200 soles?
Sr. Juan: Eso se llama moda. Es el salario ganado por el
máximo número de personas.
Sr. Juan: Muchacho, lo malo de usted es que no distingue
entre media, mediana y moda.
Félix: Bueno, ahora ya se la diferencia. Y … me despido.

Martin Gardner.



Definición
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen
los datos.

Tipos
a) Media aritmética o media
b) La mediana
c) La moda
d) La media geométrica
e) La media cuadrática
f) La media armónica




Definición
Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el
resultado entre el número total de datos.

a.1) Media aritmética de datos no tabulados
Definición.- Sea X1, X2, … , Xn valores de la variable
cuantitativa X, la media aritmética simple es:
n
xi
X1 X 2 ... X n i 1
X
n n
Donde n es el tamaño de la muestra o número de
elementos del conjunto de observaciones.



Ejemplo:
Hallar la media aritmética de las observaciones:
x1 20, x2 18, x3 24, x4 26, x5 30, x6 32

20 18 24 26 30 32 150
X 25 X 25
6 6




a.2) Media aritmética datos tabulados (variable discreta)
Definición.- Sea n valores de una variable estadística discreta
X se clasifican en k valores distintos x1, x2, …, xk con
frecuencias absolutas respectivas f1, f2, …, fk, entonces la
media aritmética es el número. k
xi f i
X1 f1 X 2 f 2 ... X k f k i 1
X
n n
Ejemplo:
Dada la siguiente distribución de frecuencias hallar la media
aritmética. xi 1 2 3 4 5 6
fi 3 8 12 9 7 4



Solución:

Xi fi Xi fi xi f i 150
X 3, 49
1 3 3 n 43
2 8 16

3 12 36 X 3, 49
4 9 36

5 7 35

6 4 24

n=43 150




a.3) Media aritmética datos tabulados (por intervalos)
Definición.- Si n valores de alguna variable X están tabulados
en una distribución de frecuencias de k intervalos donde
y1, y2, …, yk son marcas de clase f1, f2, …, fk, con las
frecuencias absolutas respectivas, entonces su media
aritmética es el número. k
yi f i
Y1 f1 Y2 f 2 ... Yk f k i 1
Y
n n
Ejemplo:
Determine la media de la distribución:
Calificaciones [0, 5> [5, 10> [10, 12> [12, 15> [15, 12>
Nro. estudiantes 2 8 20 15 5



Solución:

intervalos fi yi fi yi fi yi 575
Y 11,5
[0, 5> 2 2.5 5 n 50
[5, 10> 8 7.5 60 Y 11,5
[10, 12> 20 11 220

[12, 15> 15 13.5 202.5

[15, 20> 5 17.5 87.5

n=50 575

Por tanto, la nota promedio del grupo de 50 alumnos es de 11.5




a.4) Media aritmética ponderada
Definición.- La media aritmética de los valores x1, x2, …, xk
ponderada por los pesos w1, w2, …, wk, es:
k
wi xi
W1 X1 W2 X 2 ... Wk X k i 1
X k
w1 w2 ... wk
wi
i 1

Ejemplo:
En un ascensor hay 10 personas, 4 mujeres y 6 hombres. El
peso medio de las mujeres es de 60 kilos y el de los hombres
de 80. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del
ascensor?


Solución:
w1 = 4, w2 =6, x1 = 60 y x2 = 80
Reemplazando valores se tiene:

4(60) 6(80) 720
X 72 kilos
4 6 10



B) Mediana (Me)
Definición
Es el valor que divide a una serie de observaciones
ordenadas en dos partes de igual número de datos. Se
presentan dos casos. Se presentan dos casos:

b.1) Para datos no tabulados (variable cuantitativa)
Procedimiento:
1) Ordenar los datos en forma creciente
2) Si n es impar
La posición del elemento que representa la Mediana
es posicion = (n + 1) / 2
Si n es par
La mediana es el promedio de los dos valores
centrales.


Ejemplo:
Calcular la Mediana para los siguientes datos.
1) 7, 10, 8, 6 y 4 (n impar)
2) 18, 19, 13, 10, 12, 15 ( n par)

Solución:
1) Ordenando 4, 6, 7, 8, 10 (n = 5)
Posicion = (n + 1)/2 = (5+1)/2 = 6/3 = 3 entonces el elemento
de la posición 3 es, Me = 7

2) Ordenando 10, 12, 13, 15, 18, 19 (n=6)
Me = (13 + 15) / 2 = 14, los valores centrales son 13 y 15.



B) Mediana (Me)
b.2.1) Para datos tabulados (variable discreta)
Si los valores de una variable discreta se agrupan en una
distribución de frecuencias de la forma datos->frecuencia,
el calculo de la mediana se hace siguiendo el método de
datos no agrupados.
Caso I: si n es impar Me X n 1
( )
2
Caso II: si n es impar X n X n
( ) ( 1)
2 2
Me
2



Ejemplo:
Dadas las distribuciones de frecuencias siguientes:
Xi 1 2 3 4 Xi 0 1 2 3 4 5

fi 5 12 7 3 fi 4 9 15 8 5 3

Hallar la mediana en cada caso.



Solución:

Xi fi Fi Me X ( n 1) Xi fi Fi X n X n
2 ( ) ( 1)
2 2
1 5 5 0 4 4 Me
2
Me X (14 ) 1 9 13
2 12 17
X ( 22 ) X ( 23)
3 7 24 2 15 28 Me
Me 2 2
4 3 27 3 8 36
2 2
4 5 41 Me
Total n=27 2
5 3 44
Me 2

Total n=44



B) Mediana (Me)
b.2.2) Para datos agrupados en intervalos (v. continua)
En este caso el problema consiste en determinar un punto
dentro del intervalo en que está comprendida la mediana.
Procedimiento:
1) Calcular la posición de orden n/2, como la variable es
continua, no se debe preocupar si n es par o impar.
2) Por las frecuencias absolutas acumuladas se identifica
la clase que contiene a la mediana, esto es, la clase
para la clase para la cual se cumple.
n
Fj 1 Fj
2
Con lo cual la mediana estará en la clase que contiene
como frecuencia absoluta acumulada Fj.



B) Mediana (Me)
b.2.2) Para datos agrupados en intervalos (v. continua)
3) Utilizar la fórmula:
n
Fj 1
Me y'j 1 c 2
Fj F j 1
Donde:
Yj-1: límite inferior de la clase que contiene a la mediana
c: amplitud de clase
n: tamaño de muestra
Fj-1: frecuencia absoluta acumulada inmediatamente antes
de la clase de la mediana.
Fj: frecuencia absoluta acumulada de la clase de la
mediana.


Ejemplo:
Calcular la mediana para la siguiente tabla de distribución de
frecuencias.
[y’i-1, y’i> [82, 88> [88, 94> [94, 100> [100, 106> [106, 112>

fi 5 15 24 10 6

Solución:
1) n/2 = 60/2 = 30
2) 20 < 30 < 44 [y’i-1, y’i> yi fi Fi
[82, 88> 85 5 5
30 20 10 [88, 94> 91 15 20
Me 94 6 94 6 94 2.5
44 20 24 [94, 100> 97 24 44
[100, 106> 103 10 54
Me 96.5 [106, 112> 109 6 60
n=60



C) Moda (Mo)
Definición
La media de una muestra x1, x2, x3, …, xn es aquel valor de la
variable que se presenta con mayor frecuencia; es decir es el
valor que más se repite y se denota por Mo. La moda no
siempre existe. Si la distribución tiene:
i) Una sola moda, se llama unimodal.
ii) Dos modas, se llama bimodal.
iii) Más de dos modas, se llama multimodal.
c.1) Moda de datos no clasificados
Ejemplo: dados los siguientes conjuntos de datos, determinar
la moda.
a) 5, 2, 7, 2, 9, 9, 10, 11, 10, 9, 13
b) 8, 3, 5, 12, 10, 18, 16
c) 5, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 9, 7, 8, 7, 7


Solución:
a) 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 13
El valor 9 ocurre 3 veces, entonces Mo = {9}

b) 3, 5, 8, 10, 12, 16, 18
Estos valores no definen moda porque cada uno ocurre solo una vez.

c) 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 9
Los valores 4 y 7 ocurren 3 veces cada uno. Luego la moda de estas
observaciones es:

Mo = 4, Mo = 7 o Mo = {4, 7}



C) Moda (Mo)
c.2) Moda de datos clasificados en intervalos (v. continua)
Se utiliza la siguiente fórmula: 1
Mo y'j 1 cj
1 2
Donde:
Yj-1: límite inferior de la clase modal
fj fj 1 2 fj fj 1
1
fj: frecuencia absoluta de la clase modal
fj-1: frecuencia absoluta de la clase inmediatamente
anterior a la clase modal
fj+1: frecuencia absoluta de la clase inmediatamente
posterior a la clase modal
cj: amplitud de la clase modal



Ejemplo:
Determinar la moda de la siguiente distribución:
[y’i-1, y’i> [82, 88> [88, 94> [94, 100> [100, 106> [106, 112>

fi 5 15 24 10 6

Solución:
Si observamos la tabla notamos un máximo absoluto sobre la clase:
[94, 100>. Se tiene: f f j j 1
Mo y'j 1 cj
2fj fj 1 fj 1

fj= 42, fj-1 = 15, fj+1= 10, cj = 6, y’j-1 = 94
Reemplazando:
24 15 9
Mo 94 6 94 6 94 2.35 96.39 Mo 96.39
2(24) 15 10 23



A) Cuartiles
Definición:
Son los valores de la variable que dividen la distribución
en cuatro partes iguales. Cada grupo está formado por
25% de los datos de la muestra y se denotan por Q1, Q2 y
Q3 respectivamente (Q2 = Me)



Cuartiles para datos no agrupados
Con frecuencias absolutas acumuladas

jN
xi si Ni 1 Ni
4
Qj
xi xi 1 jN
si N j
2 4

Con frecuencias relativas acumuladas
j
xi si Fi 1 Fi
4
Qj
xi xi 1 j
si F j
2 4



Cuartiles para datos agrupados

jN
Ni 1
4 jN
Qj Li 1 ci si Ni 1 Ni
ni 4


j
Fi 1 j
Qj Li 1 ci 4 si F 1 F
fi i 4 i



B) Deciles
Definición:
Son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados
en forma ascendente (o descendente) en diez partes
iguales y se representa por Di, i = 1, 2, 3, … , 9
(D5=Q2=Me)



Deciles para datos no agrupados

jN
xi si Ni 1 Ni
10
Dj
xi xi 1 jN
si Ni
2 10

j
xi si Fi 1 Fi
10
Dj
xi xi 1 j
si F j
2 10



Deciles para datos agrupados

jN
Ni 1 jN
Dj Li 1 ci 10 si N i 1 Ni
ni 10

j
Fi 1 j
Dj Li 1 ci 10 si F 1 F
fi i 10 i



C) Percentiles
Definición:
Son valores que dividen a la muestra ordenada
ascendente (o descendente) en 100 partes iguales y se
denotan por pi, i = 1, 2, 3, … , 99



Percentiles para datos no agrupados

jN
xi si Ni 1 Ni
100
Pj
xi xi 1 jN
si Ni
2 100

j
xi si Fi 1 Fi
100
Pj
xi xi 1 j
si F j
2 100



Percentiles para datos agrupados

jN
Ni 1 jN
Pj Li 1 ci 100 si N i 1 Ni
ni 100

j
Fi 1 j
Pj Li 1 ci 100 si F 1 F
fi i 100 i


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